32Gua Didctica curso: Clculo Diferencial

3. RELACIONES Y FUNCIONES

OBJETIVOS

1. A travs del concepto de relacin, definir el concepto de funcin, sus diferentes tipos y sus grficos.

2. Definir en todas sus formas el concepto de funcin lineal su ecuacin y forma de graficar y su aplicacin.

3. Aprender los diferentes mtodos de solucin de ecuaciones lineales y aplicarlos a la solucin de ejercicios.

4. Trabajar los conceptos de funcin cuadrtica, exponencial y logartmica y su aplicacin a otras reas de la administracin y la economa.

3.1. Concepto de relacin y de funcin

3.1.1. Definicin de relacin y de funcin

Relacin

Se llama relacin a todo subconjunto de un producto cartesiano formado por parejas ordenadas as:

Sea A = {1,2} el producto cartesiano AxA = {(1,1); 1,2), (2,1), (2,2)}

Ejemplo:

Dados los conjuntos A = {3,5} y B = {0, 1, 9} construir una relacin R: B ( (se lee relacin de B en A) definida por la funcin proporcional x es menor o igual que y.

BxA = {(0,3), (0,5) (1,5), (0,9), (9,5)}

Luego, se seleccionan las parejas que hacen verdadera la funcin proposicional x menor o igual que y.

R = {(0,3),(0,5),(1,3), (1,5)}

Grficamente se tiene:

De las parejas que se obtienen en la relacin, a las primeras componentes de la relacin se les llama Dominio de la relacin (valores de x que pueden ser relacionadas) y a los valores de la segunda componente se les llama rango o imgenes de la relacin.

Ejemplo:

Hallar el dominio y el rango de la relacin

R ={(x,y) / 2xy 3y + 5 =0} definida en los nmeros reales.

Solucin:

Dominio: se debe despejar y de la relacin y analizar x.

2xy 3y + 5 = 0

2xy 3y = - 5

y (2x 3 = - 5

y =

2x 3 ( 0 entonces x ( 3/2

Rango:

Se despeja x, y se analiza y

2xy = -5 + 3y el rango es para

x = 2x = 0 ( x = 0 o sea reales.

Funcin

Muchos modelos matemticos se describen mediante el concepto de Funcin.

Un fabricante desea conocer la relacin entre las ganancias de su compaa y su nivel de produccin; un bilogo se interesa en el cambio de tamao de cierto cultivo de bacterias durante un tiempo; un psiclogo quisiera conocer la relacin entre el tiempo de aprendizaje de un individuo y la longitud de una lista de palabras; y a un qumico le interesa la relacin entre la velocidad de una reaccin y la sustancia utilizada. En cada caso la pregunta es la misma: cmo depende una cantidad de otra? Esta dependencia entre dos cantidades se describe en Matemticas como una Funcin.

Definicin de funcinUna funcin es una regla que asigna a cada elemento de un conjunto A uno y slo un elemento de un conjunto B.

Ejemplo:

Al conjunto A se le denomina dominio de la funcin y se denota, como f. Si x es un elemento de f, entonces el elemento en B se denota por y = f(x) (se lee f de x) y al conjunto de valores de B se le llama conjunto imagen.Se puede pensar una funcin f como una mquina donde el dominio es el conjunto de entradas (la materia prima) para la mquina; la regla describe la forma de procesar la entrada y los valores de la funcin son las salidas de la mquina (ver figura 3).

Figura 3

Es importante entender que la salida f(x) asociada con una entrada x es nica.

Un ejemplo de funcin surge a partir de la relacin entre el rea de un crculo y su radio. Si x es el radio y y el rea de un crculo se tiene que y = ( x2.

Para calcular el rea de un crculo cuyo radio es 5 cm. Se reemplaza x = 5 en la ecuacin y se tiene:

y = ( (5cm)2 = 25 ( cm2

En general para evaluar una Funcin se reemplazan los valores de x.

Sea f la funcin definida por la regla f(x) = 2x2 x + 1.

Calcular:

a. f(1)

b. f (-2)

c. f(h)

f (1) = 2(1)2 1 + 1 = 2

f (-2) = 2 (-2)2 (-2) + 1 = 11

f(h) = 2(h)2 h + 1

= 2h2 h + 1

3.1.2. Tipos de funciones

En el recorrido del mdulo se tomarn las funciones de ms frecuencia utilizadas en Administracin.

Estas funciones son: Funcin lineal, Funcin cuadrtica, Funcin exponencial y Funcin logartmica, con sus respectivas grficas. Las anteriores funciones se tratarn ms detalladamente en captulos posteriores a esta unidad.

3.2. Funcin lineal y ecuaciones lineales

Funcin lineal

La funcin f definida por: y = f (x)= mx + b donde m y b son constantes, se denomina funcin lineal.

Su nombre se debe al hecho de que su representacin, en un sistema de coordenadas de dos dimensiones, es una lnea recta.

El dominio y el rango de esta funcin es el conjunto de todos los nmeros reales. A m se le denomina pendiente o inclinacin de la recta, y a b el intercepto o corte con el eje y del plano cartesiano.

La inclinacin de la recta depender del signo de m y su grfica:

Para graficar una funcin lineal se elabora una tabla de valores, dando a x valores arbitrarios, para obtener as los valores de y. Despus de ubicar cada pareja en el plano cartesiano y marcar un punto, se unen stos para as obtener su grfica.

Ejemplo 1:

Graficar las funciones lineales cuyas ecuaciones son:

x012x012

y-113y31-1

y

4

3y=2x-1

2

1

x

-3-2-1123

-1y=-2x+3

-2

-3y=2x-1

La funcin lineal presenta otra ecuacin muy importante, denominada ecuacin punto-pendiente. Esta ecuacin se obtiene luego de conocer las coordenadas de dos puntos de una misma lnea recta o de los datos de un problema especfico.

La ecuacin tendr la siguiente forma as:

y - y1= m (x-x1) y - y2= m (x-x2)Donde P1 (x1,y1) ^ P2 (x2,y2) son las coordenadas de los dos puntos pertenecientes a la misma lnea recta; y la pendiente m se calcula as:

m=

m=

Ejemplo 2:

Encuentre la ecuacin de una lnea recta que pasa por los puntos P1(-3, -2) y P2 (2, 3) y realice su grfico.

m - y2 y1 - 3 (-2) - 3 + 2 - 5 - 1

x2 x1 2 (-3) 2 + 3 5

y y1 = m (x x1)

y y2 = m (x x2)y (-2)= 1 (x (-3))

y - 3 = 1 (x 2)

y + 2 = x + 3

y 3 = x - 2

y = x + 3 2

y = x 2 + 3

y = x + 1

y = x + 1

Ejemplo 3:

Se pide al estudiante calcular la ecuacin de la recta que pasa por los puntos P1(3, -1) y P2(4,5) y realizar su grfico.

Las funciones lineales desempean un papel muy importante en el anlisis cuantitativo de los problemas comerciales y econmicos. Muchos problemas son lineales por naturaleza y pueden formularse en trminos de funciones lineales. Adems, como es tan sencillo trabajar con funciones lineales, en muchos casos es posible obtener modelos matemticos aceptables que aproximan las situaciones reales.

Aplicaciones de las funciones lineales

Las funciones lineales son de gran aplicacin en todos los campos del saber; para nuestro inters, slo abordaremos lo que se refiere a ellas, en problemas de Administracin y Economa.

La direccin de una empresa (ya sea de un dueo nico o una gran corporacin) debe mantener un registro constante de los costos de operacin, de los ingresos resultantes de la venta o servicios y, tal vez, lo ms importante, de las ganancias obtenidas. Tres funciones ofrecen a la direccin una medida de estas cantidades: la funcin de costos totales, la funcin de ingresos y la funcin de ganancias.

Para la produccin de cualquier bien en una empresa intervienen dos tipos de costos que se conocen como costos fijos y costos variables. Los costos fijos no dependen del nivel o cantidad de artculos producidos. Ejemplo de stos son: las rentas, los intereses sobre prstamos y los salarios de administracin.

Los costos variables dependen del nivel de produccin, es decir, de la cantidad de artculos producidos. Ejemplo de estos son los materiales y la mano de obra empleada en la produccin.

El modelo lineal para el costo es:

Se denota x como el nmero de unidades producidas o vendidas, m el costo variable por unidad y b como los costos fijos, entonces, la funcin de costos totales es:

Ejemplo 4:

El costo variable de procesar un kilo de granos de caf es de 50 y los costos fijos por da son de $300.

a. Halle la ecuacin de corte lineal y dibuje su grfica.

b. Determine el costo de procesar 1000 kg de caf en un da.

C(x) el costo de procesar x kilos de granos de caf por da, donde b= $300 y m= $0.5, de acuerdo con el modelo lineal queda:

Ahora, si x = 0, entonces, C(0)=0.5(0)+300

C(0)=300

Si x = 200, entonces, C(200)=0.5(200)+300

C(200)=100+300

C(200)=$400

Con las dos parejas (0, 300) y (200, 400) se realiza la grfica.

Si x = 1.000 kg, entonces, C(1.000)=0.5 (1.000)+300

C(1.000)=500+300

C(1.000)=800

Por lo tanto, el costo de procesar 1.000 kg de caf al da es de $800.

Ejemplo 5:

Si cuesta $4.500 producir 75 unidades semanales de un producto y $5.200 producir 100 a la semana. Cules son los costos fijos semanales y cul el costo variable por unidad?

Resolverlo considerando:

x = nmero de unidades

y = el precio

y la ecuacin y - y1= m(x-x1)La funcin de ingresos es:

R(x)= Precio por unidad x cantidad de unidades vendidas del producto

Si x = nmero de vendidas y P el precio de venta de cada unidad, entonces, la funcin de ingreso es:

La funcin de ganancia es:G(x)= Ganancia Total obtenida por la fabricacin y venta de x unidades del producto.

La funcin de ganancia se define como:

Ganancia = Ingresos costos

G(x)= R(x) - C(x)

Ejemplo 6:

Una empresa, fabricante de filtros para agua, tiene costos fijos por $20.000; costos de produccin de $20 por unidad, y un precio de venta unitario de $30. Determine las funciones de costos, ingresos y ganancia para dicha empresa. Tambin la ganancia por la venta de 2.500 unidades.

Sea x el nmero de unidades producidas y vendidas. Entonces:

C(x)= 20x+20.000

R(x)= 30x

G(x)= R(x) C (x)

= 30x (20x+20.000)

= 30x 20x 20.000

= 10x 20.000

Si x = 25.000, entonces, G(2.500) = 10(2.500) 20.000

=25.000-20.000

=$5.000

Otra aplicacin importante de las funciones lineales es la que se denomina depreciacin lineal.

Cuando una empresa compra parte de un equipo o maquinaria, reporta el valor de ese equipo como uno de los activos en su hoja de balance. En aos subsecuentes este valor debe disminuirse debido al lento desgaste del equipo, o bien, a que se vuelve obsoleto. Esta reduccin gradual del valor de un activo se denomina depreciacin.

Un mtodo comn de calcular el monto de la depreciacin es reducir el valor, cada ao, en una cantidad constante, de forma tal que dicho valor se reduzca a un valor de desecho al final del tiempo de vida til estimado del equipo. Esto se denomina depreciacin lineal.

Se tiene:

Ejemplo 7:

Una empresa compra maquinaria por $150.000. Se espera que el tiempo de vida til de la maquinaria sea de 12 aos, con un valor de desecho de cero. Determine el monto de depreciacin anual y una frmula para el valor depreciado despus de x aos.

Solucin:

Depreciacin por ao

=(Precio de adquisicin inicial Valor de desecho)

(vida til en aos)

= 150.000 0

12

= 12.500 dlares

Valor despus de x aos = (Valor inicial) (Depreciacin por ao) (nmero de aos)

= (150.000) (12.500) (x aos)

= 150.000 12.500 x dlares

Resuelve el estudiante.

Ejemplo 8:

Una compaa est utilizando una depreciacin lineal para calcular el valor de su planta, recientemente construida. Despus de dos aos est valorada en $8.8 millones, y despus de 6 aos, en $7.2 millones. Cul es el costo inicial y despus de cuntos aos el valor se deprecia a cero?

Oferta y demandaLas leyes de la oferta y la demanda son dos de las relaciones fundamentales en cualquier anlisis econmico. La cantidad x de cualquier artculo, que ser adquirida por los consumidores, depende del precio en que el artculo est disponible. A esta relacin se le denomina ley de la demanda.

La ley ms simple es una relacin del tipo: P = mx + b. Donde P es el precio por unidad del artculo y m y b son constantes. La grfica de una ley de demanda se llama curva de demanda.

Es un hecho que si el precio por unidad de un artculo aumenta, la demanda por el artculo disminuye, porque menos consumidores podrn adquirirlo; mientras que si el precio por unidad disminuye, la demanda se incrementar.

La pendiente de esta funcin es negativa y su grfica se inclina hacia abajo y hacia la derecha.

La cantidad de un artculo determinado, que sus proveedores estn dispuestos a ofrecer, depende del precio al cual pueden venderlo. Una relacin que especifique la cantidad de cualquier artculo que los fabricantes (o vendedores) puedan poner en el mercado a varios precios, se denomina ley de la oferta y su grfica se le llama curva de oferta.

En general, los proveedores inundarn el mercado con una gran cantidad de artculos, si pueden colocarle un precio alto.

Ejemplo 9:

Un fabricante de televisores advierte que a un precio de $500 por televisor, las ventas ascienden a 2.000 televisores al mes. Sin embargo, a $450 por televisor, las ventas son de 2.400 unidades. Determine la ecuacin de demanda, suponiendo que es lineal, y realice su grfica.

Solucin:

Formando las parejas cantidad (x) y precio (p), se tiene:

(2.000, 500) y (2.400, 450)

m = 450 500__ = -50__ = -0.125

2.400 2.000 400

Utilizando la ecuacin punto pendiente:

P P1 = m (X-X1) queda

P 500 = 0.125 (X 2.000)

P = -0.125X + 250 + 500

P = -0.125X + 750

Si x = 0, entonces, P = 750

Si x = 6,000, entonces, P = 0

Ejemplo 10:

A un precio de $10 por unidad, una compaa proveera 1.200 unidades de su producto, y a $15 por unidad, 4.200 unidades.

Determine la relacin de la oferta, suponiendo que sea lineal.

Solucin:

(1.200, 10) y (4.200, 15)

m - 15 10 - 5 - 1

4.200 1.200 3.000 600

P P1 = m (x x1)P 10 - 1 (x 1.200)

600

P - 1 x 2 + 10

600

P - 1 x + 8

600

Si x = 0, entonces, P = 8

Si x = 6.000, entonces, P = 18

Sistemas de ecuaciones lineales

Una ecuacin es una proposicin que expresa la igualdad de dos expresiones algebraicas. Por lo regular involucra una o ms variables y el smbolo de igualdad, =.

Una ecuacin polinomial de grado 1, se denomina ecuacin lineal.

La forma cannica de una ecuacin lineal en la variable x es:

ax + b = 0 (a 0)

Donde a y b son constantes.

Ejemplo 1:

a. x 4 = 0 es una ecuacin lineal. Se pasa 4 al lado derecho, cambiando de signo, se obtiene x = 4 esto equivale a sumar 4 a ambos lados. nica solucin de la ecuacin.

b. 2x + 3 = 0 ecuacin lineal. Se pasa 3 al lado derecho, se obtiene:

2x = 3 dividiendo entre 2 a ambos lados, resulta que:

x - -3_, as es la nica solucin de la ecuacin.

2

c. En el caso general,

ax + b = 0

Se pasa b al lado derecho, lo que da:

ax = -b

Dividiendo entre a, a los dos lados de la igualdad se tiene:

x = -b

a

Al resolver ecuaciones, se dejan los trminos que incluyen a la variable al lado izquierdo de la ecuacin, y se pasan las constantes al segundo miembro.

Resolver las ecuaciones siguientes:

1. 5t 3 = 18 + 3 (1 t)

5t 3 = 18 + 3 3t

5t + 3t= 18 + 3 + 3

8t = 24

t = 24

8

t = 3

2. 2x 5 (1 3x) = 1 3 ( 1 2x)

2x 5 +15x = 1 3 + 6x

2x + 15x 6x = 1 3 + 5

11x = 3

x = 3_ 11

3. La solucin a la ecuacin lineal

3z 2 + 4 (1 z) = 5 (1 2z) 12 es:

a. 1

b. 2

c. 1

d. No tiene solucin

Resolver las ecuaciones:

a. 179 18 (x-10) = 158 3 (x-17)

179 18x + 180 = 158 3x + 51

- 18x + 3x = 158 179 180 + 51

- 15x = - 150

x =

x = 10

b.

Sistemas de ecuaciones lineales 2 x 2

Resolver un sistema de ecuaciones es hallar el valor de las variables desconocidas. Aunque se resuelve por varios mtodos, en este tema slo se vern tres de ellos, as:

Mtodo de igualacin

De ambas ecuaciones se despeja la misma variable y, luego, se igualan las ecuaciones resultantes. Hallada una de las variables, se sustituye ese valor en alguna de las ecuaciones para hallar la otra variable.

Mtodo de reduccin o eliminacinSe elige la variable que va a eliminarse, y se debe buscar que sta quede con el mismo coeficiente en las dos ecuaciones, pero con signo contrario. Luego, se suman o restan verticalmente las dos ecuaciones, se despeja la variable que queda y se halla su valor. Posteriormente, se reemplaza este valor en una de las ecuaciones anteriores para hallar la otra variable.

Mtodo por determinantesSe resuelve con el siguiente arreglo:

Sean las ecuaciones:

Ejemplos:

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

3x + 4y = 10 (1)

4x + y = 9 (2)

Mtodo de igualacinDe (1) 3x = 10 4y

De (2) 4x = 9 y

(3)

(4)

(3) = (4)

4(10 4y) = 3(9 y)

40 16 y = 27 3y

- 16y + 3y = 27 40

- 13y = -13

y =

y = 1

x =

x =

x = 2

Mtodo de reduccin3x + 4y = 10 (1) por 1

4x + y = 9 (2) por 4

Queda:

3x + 4y = 10

x = 2

Mtodo por determinantes

3.3. Funciones cuadrticas, exponenciales y logartmicas

Concepto de funcin cuadrtica, exponencial y logartmica

Funcin cuadrtica

La ecuacin es y = f (x) = ax2 + bx +c su dominio es el conjunto de los nmeros reales y su grfica es una parbola, con dos formas, as:

Para tener una grfica aproximada, basta con hallar el vrtice, punto mnimo o mximo. As:

Ejemplo 1:

Graficar la funcin

y = 2x2 4x + 1

x =

y = 2(1)2 - 4(1) + 1

y = 2 4 + 1

y = - 1

V(1, -1)

Ejemplo 2:

y = - 2x2 + 8x

V (2,8)

Solucin de una ecuacin cuadrtica

Una ecuacin cuadrtica tiene la forma ax2 + bx + c = 0 se resuelve por factorizacin, o con la frmula

Ejemplo:

Resolver la ecuacin cuadrtica: 2x2 + 5x 12 = 0, por ambos mtodos.

a. Factorizacin:

2x2 + 5x 12 = 0

2x - 3

8x 3x = 5x

x + 4

(2x 3) (x + 4) = 0

2x 3 = 0

x + 4 = 0

2x = 3

x = - 4

x = 3/2

b. Por la frmula:

2x2 + 5x 12 = 0

a = 2 , b = 5, c = 12

Funcin exponencial

Tiene dos formas as:

y = ax ( base a = un nmero

y = ex ( base e

E = 2.7182, su grfica es una curva por encima del eje x, debe pasar por el punto (0,1); su dominio son los nmeros reales, y su imagen va de (0, ).

Ejemplo:

X-1012x-101

Y124y03712.7

Las grficas son:

Es una funcin creciente cuando la base es e o un entero; y decreciente cuando la base es una fraccin.

Esta funcin es muy utilizada para predecir el crecimiento de poblacin, el clculo de inters compuesto y del valor futuro (en Matemticas Financieras).

Funcin logartmica

Considrese la forma ms usada y = Lnx logaritmo natural de x, base e.

Aunque tambin se tiene el logaritmo decimal logx.

Ejemplo:

Calcular los siguientes logaritmos:

Log2 16 = 4 porque 24 = 16

Log1000 = 3

Ln1 = 0

El dominio de esta funcin es (0,) su imagen (-,) queda al lado derecho del eje y, pasa por el punto (1,0). Su grfica es:

Se utiliza siempre con la funcin exponencial y es muy til en Finanzas e Ingeniera.

BibliografaDiez, L. (2005). Matemticas operativas. 2 ed. Medelln: Universidad de Antioquia.

Montoya, M. (2008). Fundamentos Matemticos: Gua Didctica y Mdulo. Medelln: Fundacin universitaria Luis Amig.Revista de Matemticas: Enseanza Universitaria (2011). Recuperado de http://revistaerm.univalle.edu.co/Revista para la enseanza y el aprendizaje de las matemticas. Recuperado de http://www.revistasuma.es/Tan, S. (2002). Matemticas para Administracin y Economa. Segunda edicin. Mxico: Thomson Learning, 992 p.

Y = 2x-1 ^Y = -2x+3

Yc=C(x)=mx+b

R(x)=P.x

m > 0

x

y

(0,b)

(0,b)

y

m 0

COSTO TOTAL = COSTOS VARIABLES + COSTOS FIJOS

EMBED MSGraph.Chart.8 \s

C(x)=0.5x+300

Tasa de depreciacin (anual) = (Valor inicial valor de desecho)

(tiempo de vida en aos)

y = 2X y y = eX

OBJETIVOS

322Fundamentos matemticos

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