representación de datos experimentales
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República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Defensa
Universidad Nacional Experimental Politécnica
De la Fuerza Armada Bolivariana
Núcleo Aragua. Extensión Colonia Tovar
“05-IDS-D01”
Representación de Datos
Experimentales
Prof: Bachilleres:
Yerlis Fabio Dorta
Colonia Tovar, mayo 2014
INTRODUCCION
Las ciencias experimentales o naturales son aquellas que estudian los
fenómenos observables en la naturaleza. Se llaman experimentales porque parten
de la experiencia y utilizan como criterio para aceptar sus tesis, la verificación
experimental, su comprobación en la experiencia.
Experiencia se define por tanto, como todo objeto, hecho o fenómeno
susceptible de ser observado o experimentado a través de la percepción sensible.
En este tema hablaremos de los distintos método, en la cuales tenemos los
método gráficos, métodos promedio y métodos mínimos cuadrados y podemos
indicar que se utilizaran principalmente para ilustrar características de los
problemas.
Representación de Datos Experimentales
Métodos Gráficos:
El método gráfico se utiliza para resolver cada una de las ecuaciones que
forman un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas esta es la de una
función de primer grado, es decir, una recta. Este tipo de sistemas consiste, por
tanto, en representar en unos ejes cartesianos, o sistema de coordenadas, ambas
rectas y comprobar si se cortan y, si es así, dónde.
Hay que tener en cuenta, que, en el plano, dos rectas sólo pueden tener tres
posiciones relativas (entre sí): se cortan en un punto, son paralelas o son
coincidentes (la misma recta).
Si las dos rectas se cortan en un punto, las coordenadas de éste son el par (x,
y) que conforman la única solución del sistema, ya que son los únicos valores de
ambas incógnitas que satisfacen las dos ecuaciones del sistema, por lo tanto, el
mismo es compatible determinado.
Si las dos rectas son paralelas, no tienen ningún punto en común, por lo que
no hay ningún par de números que representen a un punto que esté en ambas
rectas, es decir, que satisfaga las dos ecuaciones del sistema a la vez, por lo que
éste será incompatible, o sea sin solución.
Por último, si ambas rectas son coincidentes, hay infinitos puntos que
pertenecen a ambas, lo cual nos indica que hay infinitas soluciones del sistema
(todos los puntos de las rectas), luego éste será compatible indeterminado.
El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método
gráfico se resume en las siguientes fases:
Se despeja la incógnita y en ambas ecuaciones.
Se construye, para cada una de las dos funciones de primer grado obtenidas,
la tabla de valores correspondientes.
Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.
En este último paso hay tres posibilidades:
Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos
valores de las incógnitas x e y.
Sistema compatible determinado.
Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son
las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden
ambas.
Sistema compatible indeterminado.
Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución. Sistema incompatible.
Ejemplo: Entre Valeria y Sebastian tienen 600bsf, pero Sebastian tiene el doble de
bolívares que Valeria. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?
Llamemos x al número de bsf de Valeria e y al de Sebastian. Vamos a expresar
las condiciones del problema mediante ecuaciones: Si los dos tienen 600bsf, esto
nos proporciona la ecuación x + y = 600. Si Sebastian tiene el doble de bsf que
Valeria, tendremos que y = 2x. Ambas ecuaciones juntas forman el siguiente
sistema:
x + y = 600
2x - y = 0
Para resolver el sistema por el método gráfico despejamos la incógnita y en
ambas ecuaciones y tendremos:
y = -x + 600
y = 2x
Vamos ahora, para poder representar ambas rectas,a calcular sus tablas de
valores:
y = -x + 600 y = 2x
x y x y
200 400 100 200
600 0 200 400
Con estas tablas de valores para las dos rectas y eligiendo las escalas
apropiadas en los ejes OX y OY, podemos ya representar gráficamente:
La gráfica, las dos rectas se cortan en el punto (200, 400), luego la solución
del sistema es x = 200 e y = 400. Por tanto, la respuesta al problema planteado es
que Valeria tiene 200bsf y Sebastian tiene 400bsf.
Método de Promedios.
Es un método de búsqueda incremental, donde el intervalo se divide siempre
en dos. Si la función cambia de signo sobre un intervalo, se evalúa el valor de la
función en el punto medio.
La posición de la raíz se determina situándola en el punto medio del sub-intervalo
dentro del cual ocurre el cambio de signo. El proceso se repite hasta obtener una
mejor aproximación.
Escoger valores iniciales X1 y Xu de tal manera que la función cambie de
signo sobre el intervalo.
Se halla el valor real (al trabajar con errores de tolerancia).
3. La primera aproximación se determina con una fórmula:
4. Se evalúa el producto de f(X1)xf(Xr).
Si f(X1)x f(Xr) < 0 --- la raíz está en el 1er sub-intervalo --- Xu = Xr
Si f(X1)x f(Xr) > 0 --- la raíz está en el 2do sub-intervalo --- X1 = Xr
Si f(X1)x f(Xr) = 0 --- la raíz es Xr
5. Se determina el error verdadero y el error.
Gráfica: Método de Promedios.
Métodos de Mínimos Cuadrados:
Existen numerosas leyes físicas en las que se sabe de antemano que dos
magnitudes x e y se relacionan a través de una ecuación lineal:
y = ax + b
Donde las constantes b (ordenada en el origen) y a (pendiente) dependen del
tipo de sistema que se estudia y, a menudo, son los parámetros que se pretende
encontrar.
El método más efectivo para determinar los parámetros a y b se conoce como
técnica de mínimos cuadrados.
Consiste en someter el sistema a diferentes condiciones, fijando para ello
distintos valores de la variable independiente x, y anotando en cada caso el
correspondiente valor medido para la variable dependiente y.
De este modo se dispone de una serie de puntos (x1,y1), .... (xn,yn) que,
representados gráficamente, deberían caer sobre una línea recta. Sin embargo,
los errores experimentales siempre presentes hacen que no se hallen
perfectamente alineados.
El método de mínimos cuadrados determina los valores de los parámetros a
y b de la recta que mejor se ajusta a los datos experimentales. Sin detallar el
procedimiento, se dará aquí simplemente el resultado:
Donde n es el número de medidas y representa la suma de todos los
datos que se indican.
Los errores en las medidas, se traducirán en errores en los resultados de a
y b. Se describe a continuación un método para calcular estos errores. En
principio, el método de mínimos cuadrados asume que, al fijar las condiciones
experimentales, los valores y i de la variable independiente se conocen con
precisión absoluta (esto generalmente no es así, pero lo aceptamos como esencial
en el método). Sin embargo, las mediciones de la variable x, irán afectadas de sus
errores correspondientes, si es el valor máximo de todos estos errores.
La pendiente de la recta se escribirá, y la ordenada en el origen.
El coeficiente de correlación es otro parámetro para el estudio de una distribución
bidimensional, que nos indica el grado de dependencia entre las variables x e y. El
coeficiente de correlación r es un número que se obtiene mediante una fórmula.
Su valor puede variar entre 1 y -1.
Si r = -1 todos los puntos se encuentran sobre la recta existiendo una correlación
que es perfecta e inversa.
Si r = 0 no existe ninguna relación entre las variables.
Si r = 1 todos los puntos se encuentran sobre la recta existiendo una correlación
que es perfecta y directa.
Ejemplo: Supongamos un muelle sometido a tracción, se ha cargado el muelle con
diferentes pesos (F, variable independiente o y) y se han anotado los
alargamientos (l variable dependiente o x).
Cargas
sucesivas F(yi)
gramos Lecturas
sucesivas (xi)
mm
200 60
400 120
500 150
700 210
900 260
1000 290
Los distintos datos que se necesitan son:
N 6
xi 1090
xi2 236300
yi 3700
yi2 2750000
xiyi 806000
0,2
Con lo cual aplicando las expresiones [1], [2], [3] y [4]:
b = -18,4153; a = 3,4959; b =0,08164966; a =0,00102217; r = 0,9995
Redondeando en la forma usual b = -18,42 ± 0,08 mm; a =3,50 ± 0,00 mm/Kp
Funciones de tipo potencial y exponencial:
Función Potencial:
En esta clase de función, la variable dependiente cambia más rápidamente
que en el caso lineal, cuando cambia el valor de la variable independiente, bien
sea en forma creciente o decreciente y la curva que la representa no es una línea
recta.
En los procesos que ocurren en los seres vivos no se encuentran magnitudes
relacionadas linealmente sino en casos aproximados o en intervalos muy
limitados. En la literatura médica es frecuente encontrar modelos matemáticos
obtenidos de datos experimentales, expresados mediante funciones en las cuales
la variable dependiente es proporcional a alguna potencia (entera o fraccionaria)
de la variable independiente.
La expresión de una función potencia tiene la forma:
y=bx^n
Donde x e y son las variables relacionadas y b y n son constantes.
Para graficar estas funciones se utiliza papel logarítmico, en donde las dos
escalas (vertical y horizontal) son logarítmicas (de uno o varios ciclos).
Si un conjunto de datos se ajustan a la forma de una función del tipo y=bx^n
entonces, al graficar y -vs- x en un papel logarítmico, se obtiene una línea recta.
En efecto, tomando logaritmo a ambos lados:
y=bx^n
Log y = Log (bx^n)
Log y = n Log x + Log b
Si hacemos el cambio de variables
y^' = Log y
x^' = Log x
b^' = Log b
Entonces se tiene que:
y^'=nx^'+ b^'
En donde n es la pendiente de la recta (en papel logarítmico) y b′ es el
intercepto. Nótese que con el cambio de variable, la función potencia adopta la
forma de una función lineal.
Para calcular n, se escogen dos puntos (x1, y1) y (x2, y2) sobre la recta
obtenida al graficar los datos en papel logarítmico y se evalúa
El intercepto de la recta con el eje vertical de la gráfica en papel logarítmico
es Log b, por lo que b se lee directamente de la gráfica en papel logarítmico.
Debe tenerse en cuenta extrapolar la línea, si es necesario, para tomar a b sobre
el eje vertical que cae sobre el punto identificado con Log 1 sobre el eje horizontal
en el papel logarítmico, ya que este corresponde al cero.
Función Exponencial:
En esta clase de función, la variable dependiente cambia (aumentando o
disminuyendo) muy rápidamente. Son muchos los ejemplos en la Naturaleza que
involucran este tipo de función: el decaimiento radiactivo, la atenuación del sonido
y de la luz, la densidad atmosférica, el crecimiento de las bacterias, la
esterilización, la mortalidad y la sobrevida en cáncer y enfermedades crónicas, la
depuración renal, cinética de drogas y muchos más. La expresión de una función
exponencial tiene la forma:
y=ba^mx
Donde x e y son las variables relacionadas y b, a y m son constantes.
Para graficar este tipo de funciones se utiliza el papel semi-logarítmico, en
donde solamente una de las escalas (vertical) es logarítmica y la otra (horizontal)
es milimetrada.
Si se toma logaritmo a ambos lados de la expresión:
y=ba^mx
Log y = Log (ba^mx)
Log y = (m Log a)x + Log b
Si hacemos el cambio de variables
y^' = Log y
a^' = m Log a
b^' = Log b
Se obtiene entonces la ecuación de una línea recta:
y^'=a^' x+ b^'
El valor de la pendiente a′ se calcula escogiendo dos puntos (x1, y1) y (x2, y2)
de la recta dibujada en el papel semi-logarítmico.
Como a′ = m Loga, debemos hallar el valor de m y el valor de a, y lo que
tenemos es una ecuación con dos incógnitas. Por simplicidad se puede suponer el
valor a =10, y así estaríamos tomando el papel semi-logarítmico con una base
decimal. También se puede escoger un valor diferente para a o para m. Tenemos
entonces:
a′ = m Log10 = m
El intercepto con el eje vertical de la gráfica corresponde a b′, y se lee
directamente sobre el valor de cero en la escala lineal.
En síntesis, las rectas en papel semi-logarítmico corresponden a
ecuaciones del tipo y=ba^mx, en donde m se encuentra con el procedimiento
anteriormente citado, y b = 〖10〗^b es un número que se lee directamente de la
gráfica.
Ejemplo: Grafica de funciones exponenciales. Efecto de propagación de errores.
En ciencias e ingeniería es imprescindible realizar mediciones, que consisten
en obtener la magnitud física de algún atributo de objetos (proceso, fenómeno,
sustancia, etc). Ejemplos de algunos atributos son; longitud, masa, temperatura,
resistencia. Para determinar el valor de una magnitud física se emplea un
instrumento de medición y un método de medición. Así también se requiere definir
una unidad de medición.
El termino error es sinónimo como incertidumbre experimental. Existen
limitaciones instrumentales, físicas y humanas que causan una desviación del
valor “verdadero” de las cantidades que se desean medir. Estas desviaciones son
denominadas incertidumbres experimentales o errores en la medición. El valor
verdadero es aquel que obtendríamos si no existiesen errores en las mediciones,
sin embargo esto es imposible. Se puede mejorar el procedimiento de medición
pero jamás se puede eliminar el error, por lo que jamás podemos esperar el valor
verdadero.
Entre las varias limitaciones de medición se tienen:
La precisión y exactitud de los instrumentos de medición.
La interacción del método de medición con el mesurando.
La definición del objeto a medir.
La influencia del observador que realiza la medición.
Tipos de Errores.
Los errores experimentales son de dos tipos: determinados (sistemáticos) e
indeterminados.
Los Errores Determinados o Sistemáticos: Sistemático, significa que cuando
se realizan mediciones repetidas, el error tiene la misma magnitud y el mismo
signo algebraico, Determinado, significa que pueden ser reconocidos e
identificados, por lo tanto la magnitud y el signo son determinables.
Ejemplos:
Un instrumento o escala no calibrada, una persona que no distingue colores
correctos, el uso de un valor no correcto de una constante (o unidades no
adecuadas).
Los Errores Indeterminados: Están siempre presentes en las mediciones
experimentales. En estos no existe la manera de determinar el signo ni la
magnitud del error en mediciones repetidas. Los errores indeterminados resultan,
en el proceso de medición, en la obtención de diferentes valores cuando se
efectúan mediciones repetidas (asumiendo que todas las condiciones permanecen
constantes). Las causas en los errores indeterminados son diversas; error del
operador o sesgo, condiciones experimentales fluctuantes, variabilidad inherente
en los instrumentos de medición, etc. El efecto que tienen los errores
indeterminados en los resultados se puede minimizar al efectuar mediciones
repetidas y después calcular el promedio. El promedio se considera una mejor
representación del valor verdadero que una sola medición, ya que los errores de
signo positivo y los de signo negativo tienden a compensarse en el cálculo de la
media.
Los errores determinados pueden ser más importantes que los
indeterminados por tres razones; no existe método seguro para descubrirlos e
identificarlos al analizar los datos experimentales, sus efectos no pueden ser
reducidos al promediar mediciones repetidas, los errores determinados tienen la
misma magnitud y signo para cada medición en un conjunto de mediciones
repetidas, por lo que no tienden a cancelarse los errores negativos y los positivos.
Expresión del Error:
Se ha mencionado que el error en la medición está asociado al concepto de
incertidumbre. Se desea expresar el grado de error en las mediciones o el limite
probabilístico de la incertidumbre.
Conceptualmente se concibe el error como la dispersión de las diferentes
mediciones de un valor central.
Esto se expresa como:
x ± Δx = (x - Δx) < x < (x +Δx)
24.2 ± .8 = (24.2 - 8) < 24.2 < (24.2 +.8)
El error se puede expresar como:
Error Absoluto Є = Δx
Error Relativo Єx =Δx/X
Eror Porcentual Єx % = Єx * 100
Propagación de Errores:
Supongamos que se miden dos dimensiones con sus respectivos errores
(x ± Δ x), (y ± Δy) y con las mismas unidades, pero se desea encontrar una tercera
cantidad que es el resultado de operaciones aritméticas de las dos primeras
mediciones (x, y). Lo cual puede ser:
z = x + y
z = x – y
z = x*y
z = x/y
Por lo tanto se propaga para el resultado (z) a partir de los errores asociados
a cada dimension original (x, y). Finalmente se expresa elresultado respectivo con
un error propagado.
Z ± Δz
Para encontrar el error propagado Δz se emplean diversas fórmulas,
dependiendo de la operación aritmética empleada en el cálculo de z. Los valores
de Δx y Δy corresponden a la desviación estándar respectiva.
Caso suma y resta:
Z = x + y
Δz = {(Δx)2 + (Δy)2 } ½
Z = x - y
Δz = {(Δx)2 + (Δy)2} ½
Ejemplo: En un experimento se introducen dos líquidos en un matraz y se quiere
hallar la masa total del líquido. Se conocen:
M1 = Masa del matraz 1 + contenido = 540 ± 10 g
m1 = Masa del matraz 1 = 72 ± 1 g
M2 = Masa del matraz 2 + contenido = 940 ± 20 g
m2 = Masa del matraz 2 = 97 ± 1 g
La masa de líquido será:
M = M1 – m1 + M2 – m2 = 1311g
Su error:
δM = δM1 + δm1 + δM2 + δm2 = 32g
El resultado se expresará:
M = 1310 ± 30 g
Caso multiplicación y división:
Z = x * y
(Δz /Zz) = {(Δx/x)2 + (Δy/y)2 } ½
Z = x/y
(Δz/Z) = { Δx/x)2 + (Δy/y)2 } ½
Ejemplo: Para medir la altura de un árbol, L, se mide la longitud de su sombra, L1,
la altura de un objeto de referencia, L2, y la longitud de su sombra, L3. Por
semejanza:
L=L_(1 L_2/L_3 )
Realizadas las medidas resultan:
L1 = 200 ± 2 cm, L2 = 100.0 ± 0.4 cm, L3 = 10.3 ± 0.2 cm
Por tanto: Su error será: L = 2000 ± 70 cm
CONCLUSION
Mediante los métodos mencionados anterior mente se pudieron solucionar
distintos tipos de problemas llevándonos a una solución, cada método
corresponde a procedimientos distintos pero con fácil comprensión. En el cual
cada valor corresponde a otro disminuyendo o aumentando.
Para resaltar y no olvidar, cabe mencionar que los métodos llevan a
resolver y a comprender cada paso que ponemos en práctica pero otro nos abre
un camino de búsqueda en donde nos puede alargar el procedimiento para
encontrar la solución del mismo.
En fin cada método o proceso nos llevara a una solución, pero solo
aplicando el correcto llegaremos al resultado adecuado.
“La vida es muy peligrosa. No por las personas que hacen el mal, sino por las que
se sientan a ver lo que pasa.” (Albert Einstein).