resumao de integrais multiplas do responde ai
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7/24/2019 Resumao de Integrais Multiplas Do Responde Ai
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- RESUMO -INTEGRAIS MLTIPLAS
(Clculo)Formulrio, Dicas e Macetes para a Prova
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Integrais Duplas
Da mesma forma que, nas integrais simples, somamos os valores de uma funo
()em comprimentos
, nas integrais duplas, fazemos o mesmo para funes
(, )em uma rea: =.O intervalo de integrao passa a ser uma regio (rea) de integrao. Aqui, usamos o
Teorema de Fubini. Sendo a regio de integrao um retngulo = [, ] [,]: (, ) = (, ) = (, )
Assim, calculamos separadamente as integrais em e . Se liga!! Comeamos sempreresolvendo a integral de dentro!
O teorema no serve s para regies retangulares, podemos us-lo para uma regio qualquer. A os limites de integrao de dentro vo ser funes e os de fora, nmeros.Para facilitar, separamos as regies em dois tipos: I ou II, vamos ver como elas so.
Regies do Tipo I Regies do Tipo II
Limitadas em por funes (em cima eembaixo temos curvas)
Limitades em por por nmeros (naesquerda e na direita temos retas verticais) Limitadas em por funes (na esquerda e
na direita temos curvas)
Limitades em por por nmeros (em cima eembaixo temos retas horizontais)
Temos () 2()e , na integral: (, ) ()()
Temos () 2()e , na integral: (, ) ()()
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Percebeu que a primeira tinha e a segunda , n? Aqui vai o bizu...
Ok, mas e se a regio no se encaixa em nenhum desses dois tipos? A voc chora.
Mentira! Nesse caso, voc provavelmente vai ter que dividir sua regio em duas
partes! Como assim? D uma olhada na regio abaixo:
No d para escrever como tipo I nem II, n? Mas se a gente dividir a regio em duas
(em = ), podemos escrever cada uma das partes como tipo I: para 0 e0 ()e para 2 < e 0 2(). Beleza?
Hora do Bizu
O intervalo que funo sempre fica dentro e os
diferenciais devem estar na ordem dos intervalos!
Passo a passo
Mudana na ordem de integrao
1.
Ver que no d para integrar em , mas em fica mais fcil(ou vice-versa);2. Fazer um esboo da regio de integrao;3. Trocar o jeito de escrever a regio (tipo I vira II e vice-versa);
4. Reescrever a integral com os diferenciais invertidos e com os
novos intervalos;
5. Integrar!
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Mudana de Variveis
Muitas vezes, a sada de uma questo de integral dupla mudar as variveis das
integrais, procurando deix-las mais fceis de calcular.
Para fazer uma mudana de variveis em integrais duplas, usamos essa frmula aqui:
(, ) =(,)|| Para isso, temos que calcular o Jacobiano da mudana, que vai ser
=(,)(,) =
=
Repare que o termo que acrescentamos integral o mdulo do Jacobiano,portanto, ||. Perceba tambm que, alm de reescrevermos a funo a ser integradanas novas variveis, tambm temos que achar a nova regio de integrao.
=
rea
Calculamos a rea de uma regio assim:
Hora do Biz
Fazemos mudana de variveis quando encontramos:
Termos repetidos na funo a ser integrada
Termos repetidos nas funes que limitam a regio de integrao
Termos complicados dentro de senos, cossenos, razes, etc.
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Coordenadas Polares
Para escrever um ponto em coordenadas polares precisamos de duas informaes: sua
distncia at a origem, que chamamos de , e o ngulo que o segmento faz com oeixo . No desenho fica mais fcil entender:
A mudana que fazemos e o seu respectivo Jacobiano so: = =
|| =
Passo a passo
Mudana de variveis
1.
Chamar os termos complicados e/ou que se repetem de e ;2. Calcular o Jabobiano da mudana;3. Encontrar a nova regio de integrao no plano , fazendo amudana nas funes do plano ;
4. Reescrever a integral com os intervalos da nova regionoesquecer o Jacobiano;
5. Integrar!
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Temos duas formas especiais de coordenadas polares que usamos de vez em quando:
Passo a passo
Coordenadas polares
1. Ver que a boa fazer a mudana polar;
2. Fazer um esboo da regio e encontrar os intervalos de e (sepreciso, substituir a mudana polar nas equaes que limitam a regio);
3.
Reescrever a integral, fazendo a mudana polar na funo a serintegrada, trazendo os intervalos de e e trocando por ;4. Integrar!
Hora do Biz
Pense em coordenadas polares quandoa regio de
integrao tiver circunferncias/elipses e quando a
funo a ser integrada tiver termos
2e
2.
22 + 22 = 12
2 + 2
2
= cos =
|| =
Coordenadas elpticasUsamos quando:
A regio tem uma elipse do tipo
A funo integrada tem um termo
A mudana a seguinte:
( )2 + ( )2 =2
= c o s +
= + | | =
Coordenadas polares deslocadasUsamos quando:
A regio tem uma circunferncia com
centro (,)do tipoA mudana a seguinte:
Cuidado que isso nem sempre facilita a questo,
faz com calma e qualquer coisa usa a coordenada
polar normal mesmo!
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Integrais Triplas
Da mesma forma que temos integrais simples (para funes do tipo ()) e integraisduplas (para funes
(, )), temos as integrais triplas, para funes
(, , ).
Aqui, no temos mais um intervalo de integrao ou uma regio plana, como vimos
nas integrais simples e duplas, mas sim um volume. Ou seja, integramos a funo em
um volumes =.O Teorema de Fubinicontinua valendo! Sendo um paraleleppedo [, ] [, ] [,]:
(,,)
=
( , ,)
Da mesma forma que fizemos nas integrais duplas, sempre resolvemos as triplas
comeando pelas integrais de dentro!
E, novamente, esse teorema vale para regies quaisquer, em que os intervalos das
integrais de dentro so funes em vez de nmeros.
Podemos dividir as regies de integrao em trs tipos.
Regies do Tipo I Regies do Tipo II Regies do Tipo III
Limitadas em por superfcies eno plano por uma rea . Limitadas em por superfcies eno plano por uma rea . Limitadas em por superfciese no plano por uma rea .
Temos (, ) 2(, )e(, ) , a integral fica: (, , )(,)(,)
Temos (, ) 2(, )e(, ) , a integral fica: (, , )(,))(,)
Temos (, ) 2(, )e(, ) , a integral fica: (, , )(,)(,)
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Para resolver essas integrais, escrevemos uma integral simples em uma varivel e uma
integral dupla no plano das variveis que sobrarem. A, resolvemos essa integral dupla
da forma que j sabemos!
Nas questes de integrais triplas, voc pode precisar usar isso aqui:
Passo a passoIntegrais triplas
1. Fazer um esboo da regio;
2. Ver se a boa escrever como tipo I, II, ou III e escrever uma das variveis
entre duas superfcies, chamando a projeo no plano tal de ;3. Montar a integral tripla como uma dupla em , mais uma simples na varivel
que sobrou;
4. Resolver a integral simples;
5.
Descobrir quem e achar os intervalos da integral dupla;6. Resolver a integral dupla.
V = d x d y d z Volume
O volume de uma regio W dado por:
M = (x,y,z)dxdydz
Massa
Sendo sua densidade, a massa de W dada por:
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Coordenadas Cilndricas
Para escrever um ponto em coordenadas cilndricas, escrevemos sua projeo no plano
em coordenadas polares (
e
so os mesmos que voc j conhece) e sua
coordenada continua a mesma:
Em resumo, isso aqui:
= c o s
= s e n
= || = Importante: se for uma funo de e (por exemplo, = + ) fazendo amudana cilndrica, temos = (cos + ).
Hora do Bizu
Usamos essa mudana de variveis quando a regio envolve
cilindros, cones, paraboloides. Em geral, quando temos
simetria em relao ao eixo e a projeo fica bem escrita emcoordenadas polares.
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Coordenadas Esfricas
Para escrever um ponto em coordenadas esfricas, precisamos de trs informaes:
sua distncia at a origem
, o ngulo
que a projeo de
no plano
faz com o
eixo e o ngulo que faz com a parte positiva do eixo .Na figura fica mais fcil de entender:
Para fazer a mudana para coordenadas esfricas, usamos as seguintes equaes:
= = = c o s
|| = 2
Se voc estiver na dvida entre mudana polar ou cilndrica, tenta a cilndrica primeiro!
Hora do Bizu
Fazemos essa mudana de variveis quando a regio deintegrao envolve esferas, cones, elipsoides. Em geral,
quando temos simetria em relao origem.
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Vamos ver agora um caso especial de coordenadas esfricas:
Passo a passo
Mudana cilndrica/esfrica
1. Fazer um esboo da regio;
2. Ver qual mudana melhor e achar os intervalos de , e ou , e . Para isso, faa a mudana de variveis nasequaes das superfcies que limitam a regio;
3. Reescrever a integral com os novos intervalos (do passo
anterior), fazendo a mudana na funo a ser integrada etrocando por 2 ou (dependendo da mudana);
4. Resolver as trs integrais, comeando pela de dentro!
22 + 22 + 22 = 12
2 + 2
2 + 2
2
= =
= cos || = 2
Coordenadas elipsidicas
Usamos quando
A regio limitada por um elipsoide do tipo
A funo integrada tem um termo do tipo
A mudana a seguinte:
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Relembrando as Principais Superfcies...
Bom, j deu pra perceber que temos que trabalhar com superfcies o tempo todo
resolvendo questes de integrais triplas. Por isso, fizemos aqui um resumo das
principais superfcies que aparecem nesse tipo de questo, para voc saber reconhecerquando vir:
Cones: 2 = 2 + 2; Cilindros: 2 + 2 = 1(cilindro elptico); = 2(cilindro de parbola); Paraboloides elpticos: = 2 + 2; Hiperboloides de uma folha: 2 + 2 2 = 1;
OBS:o eixo de simetria sempre aquela varivel que falta na equao ou aquelacom sinal diferente. Aqui, escrevemos essas superfcies com eixo de simetria
.
Esferas: 2 + 2 + 2 = 2(quando os coeficientes so diferentes de 1, temosum elipsoide);OBS:no nosso resumo, as superfcies esto centradas na origem, mas tambmpodemos encontrar algo do tipo:
( )2 + ( )2 + ( )2 = 2Isso uma esfera com centro deslocado (,,). O mesmo raciocnio vale para asoutras superfcies!
Planos: + + + = 0(todas as variveis so elevadas a "1").
Muita coisa para estudar em pouco tempo?
No Responde A, voc pode se aprofundar na matria com explicaes
simples e muito didticas. Alm disso, contamos com milhares de exercciosresolvidos passo a passo para voc praticar bastante e tirar todas as suas
dvidas.
Acesse j:www.respondeai.com.br e junte-se a outros milhares de alunos!
Excelentes notas nas provas, galera :)
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