rezolvarea numerică a ecuaţiilor(algebrice,transcendente)

Rezolvarea numerică a ecuaţiilor(algebrice,transcendente)


Proiect la disciplina Matematici asistate de calculator

An universitar 2003-2004


Cuprins

pag1.Consideraţii teoretice…………………………………….……………..3

1.1.Prezentarea tematicii…………………………..…………….…….3 1.2.Prezentarea metodelor implementate …………………………3

1.2.1. Metoda falsei poziţii………………………………………...3 1.2.2.Metoda Bailey……………………………………………….5

1.2.3.Metoda Newton simplificată…………………………………7 1.2.4.Metoda bisecţiei………………………………………………7

2.Exemplificări…………………………………….……………………….9 2.1. Metoda falsei poziţii……………………………………….……….9

2.2.Metoda Bailey……………………………………………………..11 2.3.Metoda Newton simplificată………………………………………12 2.4.Metoda bisecţiei……………………………………………………133.Prezentarea implementărilor…………………………………………..15 3.1. Metoda falsei poziţii……………………………………….……....15

3.2.Metoda Bailey……………………………………………………...15 3.3.Metoda Newton simplificată……………………………………….16 3.4.Metoda bisecţiei…………………………………………………….17

1.Consideraţii teoretice

2


1.1.Prezentarea tematicii Se consideră o ecuaţie de forma generală :f(x)=0, (1) f:IRR , f poate fi polinom sau o ecuaţie transcendentă . A rezolva ecuaţia (1) înseamnă găsirea zerourilor funcţiei f,adică a valorilor x=c care verifică relaţia (1).Metodele numerice de rezolvare se împart în trei categorii: metode de separare sau localizare a soluţiilor ecuatţiei , adică de izolare a unor

domenii de definiţie I ,care să conţină câte unul din zerourile funcţiei; metode de determinare cu o precizie fixată , a unei soluţii care a fost izolată în

prealabil ,pornind de la o valoare aproximativă a acesteia; metode de determinare a tuturor soluţiilor aplicabile ,de regulă în cazul în care

f este un polinom;Se spune că c este o valoare exactă a unei soluţii a funcţiei f dacă f(c)=0,iarc׳ este o valoare aproximativă a acestei soluţii care se poate defini astfel:

- x=c' cu proprietatea | c'-c|<x,cu x >0 şi f(c)=0;- x=c' cu proprietatea |f(c')|<f ,cu f >0 şi f(c)=0.

x reprezintă eroarea admisă pentru soluţie;f reprezintă eroarea admisă pentru funcţie;

1.2.Prezentarea metodelor implementate 1.2.1. METODA FALSEI POZITII Aceasta metoda mai este cunoscuta si sub denumirea de metoda coardei,metoda secantei sau metoda impartirii intervalului in parti proportionale. Metoda se bazeaza pe faptul ca,pornind de la intervalul [a,b],la fiecare pas se restrange domeniul de cautare a solutiei,prin impartirea intervalului de la pasul anterior in raportul valorilor functiei la capetele intervalului.Interpretarea geometrica a metodei este descrisa in figura de mai jos,unde coarda are ecuatia:

de unde rezulta abscisa punctului de intersectie cu axa Ox:

Algoritmul metodei falsei pozitii este urmatorul:

3


I) Se initializeaza limitele intervalului curent de cautare,”r” si “s”:

si se calculeaza f(r0) si f(s0)

y f(b)

a x1 0 f(a) y=f(x) b

II) La un pas oarecare k, k=1, 2, 3,…,al procesului iterativ de calcul,se calculeaza noua valoare a solutiei:

III) La acelasi pas k se calculeaza f(xk ),rezultand noile limite ale intervalului de cautare ,rk si sk :

- daca f(xk) f(rk-1) < 0 ,atunci : rk= rk-1 si sk= xk ;

- daca f(xk) f(rk-1) < 0 ,atunci : rk= xk si sk= sk-1 ;

- daca f(xk) f(rk-1) = 0 ,atunci calculul este terminat;

IV) Calculul se termina cand sunt indeplinite conditiile : | rk -sk | x

si/sau | f(rk)| f

1.2.2. METODA BAILEY(NEWTON DE ORDINUL II)

4


Se consideră ecuaţia de forma f(x)=0,pentru care s-a separat o în prealabil o radacină în intervalul [a,b].Cunoscând faptul că f(x),f(x),f(x) sunt continue pe intervalul [a,b] trebuie să se determine soluţia în cauză,erorile admise fiind x (se referă la soluţie ),respectiv f (se referă la funcţie). Pentru a determina o relaţie de recurenţă între xk-1 şi xk (xk-1 respectiv xk

reprezintă o valoare aproximativă a soluţiei determinată în pasul k-1 respectiv k) se consideră că s-a ajuns la pasul k al procesului iterativ ,ultima valoare aproximativă a soluţiei fiind xk-1 şi se determină o corecţie hk-1 care adăugată la xk-1 să conducă la soluţia excată c (f(c)=0): c= xk-1 +hk-1

Dezvoltând în serie Taylor rezultă expresia:

Dacă în relaţia (1) se reţin doar termenii care conţin pe f(x) şi f(x),restul termenilor cu derivate de ordin superior neglijându-se se exprimă hk-1 dată de relaţia (2):

Dacă în relaţia (1) se reţine şi termenul care conţine şi derivata de ordinul 2 şi scoţând factor comun pe hk-1 rezultă :

Înlocuind în relaţia (3) pe hk-1 din paranteza dreaptă cu aproximarea dată de relaţia (2) se obţine :

Valoarea lui hk-1 din relaţia (4) nu va mai conduce la soluţia exactă c ci la noua valoare aproximativă xk a soluţiei mai bună decât xk-1.Relaţia (4) se numeşte corecţia pentru metoda Bailey:

xk= xk-1 +hk-1 (5)Interpretarea gepmetrică a acestei metode este ilustrată în figura de mai jos:

y

5


a c b 0 x

x2 x1 x0

Algoritmul metodei este următorul:

I) Se iniţializează soluţia cu valoarea x0;II) La un pas oarecare k,k=1,2,3,…,al procesului iterativ de calcul ,se determină

f(xk-1), f(xk-1) şi f(xk-1) ,noua valoare a soluţiei aproximative rezultănd din relaţiile (4) şi (5).

III) Calculul se consideră terminat când sunt îndeplinite relaţiile (6) şi (7) (sau una dintre ele ):

| hk-1|=| xk -xk-1| x (6)

| f(xk)| f (7)

La metoda Bailey convergenţa este condiţionată remarcându-se iurmătoarele

aspecte:- convergenţa este sigură dacă f (x) este de semn constant în intervalul

[a,b],în aceste condiţii relaţia (6) garantând satisfacerea condiţiei |xk-c|<x;

- semnul constant al lui f (x) în intervalul [a,b] asigură o viteză sporită de convergenţă;

- convergenţa depinde şi de soluţia iniţială,recomandându-se , pentru reducerea numărului de iteraţii satisfacerea condiţiei f(x0)f (x0)>0;

Metoda Bailey se caracterizează prin creşterea timpului de calcul pe iteraţie şi reducerea numărului de iteraţii şi conduce la reducerea timpului total de calcul.

1.2.3. METODA NEWTON SIMPLIFICATĂ

Teoremă : Fie f:[a,b]R o aplicaţie de două ori derivabilă, cu f(x), () x ab, şi f(a)*f(b)<0.

Atunci unica soluţie a ecuatiei este limita şirului (xn ), n>0 : xn =xn-1 – f(xn-1) / f(x0 ), (relaţia 1)

Unde x0 [a,b] este arbitrar fixat a. î. f(x0)*f(x0)>0.

6


Scurtă explicaţie :

După cum am văzut, variabila x este iniţializată cu o valoare arbitrară din domeniul [a,b], de care aparţine rădăcina ecuaţiei, şi aplicăm în paşi succesivi relaţia (1) pînă cînd observăm că valoarea lui x începe să conveargă spre un anumit număr. Ne oprim atunci cînd distanţa dintre 2 paşi succesivi devine < decît un anumit .

1.2.4. METODA BISEC ŢIEI(ÎNJUMĂTĂŢIRII INTERVALULUI)

Metoda este destinată rezolvării ecuaţiei f(x)=0 , x [a,b] ,pentru care sa separat în prealabil o soluţie în intervalul [a,b] , adică: f(a)f(b)<0 . Se consideră că f este continuă pe intervalul [a,b] , iar soluţia în cauză va fi determinată cu erorile admise x (pentru solutie) si f (pentru functie).

Metoda se bazează pe faptul că,pornind de la intervalul [a,b],la fiecare pas se restrînge domeniul în care se caută soluţia prin injumătăţirea intervalului de la pasul anterior ,pană la atingerea preciziei dorite.Metoda bisecţiei este o metoda simplă,însă slab convergentă.

Algoritmul metodei bisecţiei este următorul:

I) Se iniţializează limitele intervalului de căutare, "r" si "s", cu valorile limitelor intervalului în care s-a separat soluţia: r0=a, s0=b (indicele superior corespunde iteraţiei curente).

II) La pasul de calcul k,k=1,2,3, ... , se detemină noua valoare a soluţiei:

III) La acelaşi pas k se calculează f(xk) şi f(rk-1)rezultând noile limite ale intervalului de căutare ,rk si sk :

- dacă f(xk) f(rk-1) < 0 ,atunci : rk= rk-1 si sk= xk ;

- dacă f(xk) f(rk-1) < 0 ,atunci : rk= xk si sk= sk-1 ;

- dacă f(xk) f(rk-1) = 0 ,atunci calculul este terminat;

IV) Calculul se termina cand sunt indeplinite conditiile : | rk -sk | x

si/sau

7


| f(rk)| f

Interpretarea geometrică a metodei bisecţiei este ilustrată în figura de mai jos:

y=f(x)

r2

r0 r1

0 a x f(x2)

f(r0) f(x1) x2 b x s2 s0

s1

2.Exemplificări

2.1. METODA FALSEI POZITII

Se considera ecuatia: f(x)=0, unde f(x)=2tgx-10x+3, x=0.001, f=0.01 în intervalul [-1,1];

Sa se rezolve aceasta ecuatie utilizand metoda falsei pozitii.

Solutie: Se aplica metoda falsei pozitii parcurgand etapele mai sus descrise:

I) Se fac initializarile: si se calculeaza valorile functiei f in r0 si s0:

8


Pentru k=1,2,3,…,se repeta etapele II),…IV),pana cand conditiile etapei IV) sunt indeplinite:Iteratia k=1:II) Se determina x1 cu formula cunoscuta:

III) Se determina valoarea functiei f in x1:

IV) Se verifica conditiile de terminare a algoritmului:

Se observa ca relatiile | rk -sk | x si | f(rk)| f

nu sunt satisfacute,prin urmare se trece la iteratia urmatoare:

Iteratia k=2: II) Se determina x2:

Relatiile | rk -sk | x si | f(rk)| f nefiind satisfacute se trece la iteratia urmatoare.

9


Se poate observa ca erorile au scazut semnificativ,scaderea lor fiind mai rapida decat in cazul metodei bisectiei,insa inca nu s-a ajuns la indeplinirea conditiilor de terminare a calculelor.Iteratiile sunt prezentate in tabelul de mai jos:

Iteratia xk rk sk | rk -sk | |f(xk)|0 - -1 1 - -1 0.4357 -1 0.4357 1.4357 0.4262 0.364 0.3764 0.4357 0.05 0.02653 0.3799 0.3764 0.3799 0.0035 1.910-4

4 0.3798 0.3764 0.3798 0.0035 7.910-8

5 0.3798 0.3764 0.3798 0.0035 3.2910-11

6 0.3798 0.3764 0.3798 0.0035 1.310-14

7 0.3798 0.3798 0.3798 1.7210-15 1.3310-14

2.2. METODA BAILEY(NEWTON DE ORDINUL II)

Se consideră ecuaţia:f(x)=0, unde f(x)=2tgx-10x+3, cu x0=3, x=0.001, f=0.01

I) Se iniţializează soluţia cu valoarea x0=3;Iteraţia k=1:II)

III) | h0|= 3.919>x

| f(x1)|=f(-0.9190)= 9.5689 >f

Iteraţia k=2:II)

III) | h1|=0.4907 >x

10


| f(x2)|=f(-0.9190)= 6.3699 >f

Iteraţia k=3: II)

III) | h2 |=0.7485 >x

| f(x3)|=f(0.3202)= 0.4612 >f

Deoarece s-a ales o valoare iniţială destul de depărtată de valoarea exactă,convergenţa este mai lentă.Se observă că nu s-a ajuns la precizia dorită,astfel calculele sunt prezentate în tabelul de mai jos:

Iteraţia x f(x) f(x) f(x) |h|0 3 -27.2851 -7.9594 -0.5818 3.9191 -0.919 9.5691 -4.5644 -14.2484 0.49072 -0.4283 6.37 -7.5831 -2.2071 0.74853 0.3202 0.4612 -7.7801 1.4724 0.05964 0.3798 3.610-4 -7.6813 1.8512 310-5

2.3. METODA NEWTON SIMPLIFICATĂ

Se consideră ecuaţia f(x)=0.

Iată un exemplu : f(x)=2tan(x) +10x+3, pt. care s-a separat o soluţie în intervalul [-1,1].După cum am precizat deja, această funcţie, nefiind polinomială, trebuie calculată derivata ei, MatLab neputînd efectua acest lucru : f(x)=2/cos2 (x) –10.0) x0 =0 – iniţializare cu o valoare arbitrară din intervalul [-1,1]0 =0.001 – precizia calculelor1) x1= x0 –f(x0)/f ( x0)= 0-3/(-8)=0.3751 = x1 – x0 =0.375>0

2) x2= x1 –f(x1)/f ( x0)= 0.37972 = x2 – x1 = 0.0047>0

3) x3= x2 –f(x2)/f ( x0)= 0.37983 = x3 – x2 = 0.0001<0

Ne oprim aici deoarece s-a atins precizia dorită.

11


2.3. METODA BISECŢIEI

Se considera ecuatia: f(x)=0, unde f(x)=2tgx-10x+3 , pentru care s-a separat o soluţie in intervalul [-1,-1].Să se determine soluţia ecuaţiei utilizând metoda bisecţiei,erorile admise fiind x=10‾³ şi f =10‾² Soluţie: Se parcurg etapele metodei bisecţiei.Astfel:I) Se fac iniţializarile:r0 =-1, s0=1, | r0-s0|=2. Iteraţia k=1 :II)

III) f(x1 )=f(0)=3,f(r0 )=f(-1)=9.885,f(x1)f(r0) >0 r1= x1=0 , s1=s0=1.

IV) Se verifică dacă sunt indeplinite condiţiile de terminare:| r1 -s1 |=1 >x şi | f(x1)|=3>f

Iteraţia k=2 :II)

III) f(x2 )=f(0.5)=-0.9074,f(r1 )=f(0)=3,f(x2)f(r1) >0 r2= r1=0 , s2=x2=.05.

IV) Se verifică dacă sunt indeplinite condiţiile de terminare:| r2 –s2 | =0.5>x şi | f(x2)|=0.9074>f

Iteraţia k=3 :II)

III) f(x3 )=f(0.25)=1.011,

f(r2 )=f(0)=3,f(x3)f(r2) >0 r3= x3=0.25 , s3=s2=0.5.

12


IV) Se verifică dacă sunt indeplinite condiţiile de terminare:| r3 –s3 | =0.25>x şi | f(x3)|=1.011>f

Datorită convergenţei slabe a acestei metode , erorile nu au scăzut sub limitele dorite.Pentru ilustrarea metodei pe acest exemplu sunt prezentate calculele în tabelul de mai jos:

Iteraţia x f(x) r s |r-s|0 - - -1 1 21 0 3 0 1 12 0.5 -0.907 0 0.5 0.53 0.25 1.0107 0.25 0.5 0.254 0.3750 0.0373 0.3750 0.5 0.1255 0.4375 -0.4395 0.375 0.4375 0.06256 0.4062 -0.2021 0.375 0.4062 0.03127 0.3906 -0.0827 0.375 0.3906 0.01568 0.3828 -0.0228 0.375 0.3828 0.00789 0.3789 0.0072 0.3789 0.3828 0.003910 0.3809 -0.0078 0.3789 0.3809 0.002011 0.3799 -2.710-4 - - 9.710-4

3.Prezentarea implementărilor

3.1. METODA FALSEI POZITII

Metoda falsei poziţii este implementată în fişierul funcţie “coarda.m “.Această funcţie are cinci parametri de intrare :- func – funcţie pentru rezolvarea ecuaţiei f(x)=0;- a,b – marginile intervalului [a,b];- epx - eroarea pentru soluţie; - epf - eroarea pentru funcţie, şi 2 parametrii de ieşire:- sol - soluţia ;- iter- numărul de iteraţii;

13


Prototipul functiei este: function [sol,iter]=coarda(func,a,b,epx,epf)La începutul funcţiei se fac iniţializările necesare :tic;r=a;s=b;x=(r*feval(func,s)-s*feval(func,r))/(feval(func,s)--feval(func,r));iter=0;

Cât timp nu s-a ajuns la soluţia cu aproximarea dorită se găseşte o nouă valoare a acesteia folosind ciclul while: while (abs(r-s)>epx)|(abs(feval(func,x))>epf)iter=iter+1;x=(r*feval(func,s)-s*feval(func,r))/(feval(func,s)-feval(func,r));if (feval(func,x)*feval(func,r)<0) s=x;else r=x;end;end;

Funcţia returnează soluţia sol ,numărul iteraţiilor iter şi timpul de execuţie t.

2.2. METODA BAILEY(NEWTON DE ORDINUL II)

Această metodă este implementată în fişierul funcţie “bailey.m “.Această funcţie are cinci parametri de intrare :- f – funcţie pentru rezolvarea ecuaţiei f(x)=0;- f – prima derivată a funcţiei f;- f- derivata de ordinul 2 a funcţiei f;- x0-aproximarea iniţială a soluţiei;- epx - eroarea pentru soluţie; - epf - eroarea pentru funcţie, şi 2 parametrii de ieşire:- sol - soluţia ;- iter- numărul de iteraţii;Prototipul funcţiei este: function [sol,iter]=bailey(f,f1,f2,x0,epsx,epsf)

Funcţia “bailey” se bazează exclusiv pe algoritmul de aplicare al metodei“bailey” – algoritm ce a fost prezentat în subcapitolul 1.2.2. şi constă în :

- iniţializarea variabilelor: tic;iter=0;x=x0;

14


h=feval(f,x)/(feval(f1,x)- -(feval(f,x)*feval(f2,x)/(2*feval(f1,x))));

- repetarea iteraţiilor pentru determinarea soluţiei ,până se atinge aproximaţia dorită.Această repetare se realizează cu ciclul while:

while (abs(h)>epsx)|(abs(feval(f,x))>epsf) x1=x-h; iter=iter+1; x=x1; h=feval(f,x)/(feval(f1,x)- -(feval(f,x)*feval(f2,x)/(2*feval(f1,x)))); end;


3.3. METODA NEWTON SIMPLIFICATĂ

Am implementat această metodă sub 2 forme, în 2 fişiere “.m” : “newtons.m”, “newtons1.m”. Diferenţa este că funcţia “newtons1” poate calcula doar rădăcinile polinoamelor, folosind funcţiile specifice acestora din MatLab : “polyval()”, “polyder()”, spre deosebire de funcţia “newtons”, care este mai generală, pt. a îngloba şi ecuaţiile transcendente.

Astfel, dacă funcţiei “newton1” îi dăm un singur parametru-funcţie, sub formă de polinom (ex: p=[1 0 2]), urmînd ca aceasta să calculeze singură ,prin polyder() derivata funcţiei polinomiale ,acest lucru nu mai este valabil şi pentru funcţia “newtons” unde trebuie noi să introducem ca parametru suplimentar derivata funcţiei respective ,deoarece MatLab este conceput ca un limbaj practicpentru lucru matriceal , nu neapărat ca un limbaj matematic avansat.

Metoda în sine este extrem de simplă şi de scurtă, funcţiei fiindu-i atribuiţi 5 parametri de intrare, ea returnînd 3 de ieşire.

[x,i,t]=newtons(f,g,a,b,x0,ex,ey)

x-soluţia finală (xn )i-nrul iteraţiilort-timpul de lucru

f - funcţiag - derivataa, b – capetele intervaluluix0 – valoarea iniţialăex, ey – erorile admise pt. x, respectiv y=f(x)

15


x1 – variabilă internă – memorează valoarea precedentă a lui x (xn-1 )

3.4. METODA BISECŢIEI

Metoda este implementată în funcţia MatLab “bisectie.m” şi are prototipul:function [sol,iter]=bisectie(func,a,b,epx,epf);

Metoda bisectiei următorii cinci parametri de intrare :- func – funcţie pentru rezolvarea ecuaţiei f(x)=0;- a,b – marginile intervalului [a,b];- epx - eroarea pentru soluţie; - epf - eroarea pentru funcţie, şi 2 parametrii de ieşire:- sol - soluţia ;- iter- numărul de iteraţii;

La începutul acestei funcţii se fac iniţializările:tic;iter=0;r=a;s=b;x=(r+s)/2;

Pentru a se ajunge la o soluţie cu o aproximaţie impusă , se repetă ciclul while cât timp eroarea nu convine:while (abs(r-s)>epx)|(abs(feval(func,x))>epf) x=(r+s)/2; if (feval(func,x)*feval(func,r)<0) s=x; else r=x; end; iter=iter+1; end;


Obseraţii:Pe lângă funcţiile care au fost descrise mai sus mai avem funcţiile MatLab

f.m, f1.m , f2.m care au fost create pentru exemplu prezentat la fiecare metodă :- f.m –ecuaţia din exemplu: function y=f(x); y=2*tan(x)-10*x+3;- f1.m – derivata funcţiei f:

16


function y=f1(x) y=2*1/cos(x)^2-10;

- f2.m –derivata de ordinul 2 a funcţiei f: function y=f2(x) y=2*sin(2*x)/cos(x)^4;

17

rezolvarea numerică a ecuaţiilor(algebrice,transcendente)

Documents