rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuaţiilor

8/14/2019 Rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuaţiilor

http://slidepdf.com/reader/full/rezolvarea-problemelor-cu-ajutorul-ecuatiilor 1/31

REZOLVAREA PROBLEMELOR CU AJUTORUL ECUAŢIILOR

OBIECTIVELE ACESTUI CAPITOL

Prin rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuaţiilor, cunoştinţele de algebră aleelevilor se încheagă, în sensul că aici se aplică aproape tot ce au învăţat ei la algebră:calcul algebric, rezolvarea ecuaţiilor şi a sistemelor de ecuaţii şi, mai ales, ei învaţă săaplice aceste cunoştinţe la situaţii concrete cât mai variate. Trebuie, totuşi, subliniat că,dacă este adevărat că aceste probleme au un conţinut concret, cele mai multe dintre elenu sunt cu adevărat practice. Când parcurgi zecile de probleme care se găsesc în manualeşi în culegeri, vei găsi cu greu o problemă care să fi izvorât efectiv din activitateapractică din zilele noastre. Cele mai multe dintre ele datează din Evul Mediu sau sunt şimai vechi. În lumea şcolară, temele vechi au fost reluate şi amplificate, uneori li s-a

schimbat haina, aşa că astăzi dispunem de un stoc imens de probleme, dintre care unelesunt foarte complicate. Trebuie să ne ferim de exagerări. Să nu transformăm acesteprobleme într-un scop în sine. Ele sunt un exerciţiu util al spiritului, dar numai atât. Pentrustudiile de mai târziu, aceste probleme nu sunt absolut necesare. În aplicaţii, ori de câteori trebuie scrisă ecuaţia care descrie o anumită situaţie, se dau toate explicaţiile. Deexemplu, la fizică apare, în legătură cu calorimetrul, o ecuaţie destul de lungă careexprimă că cantitatea de căldură pe care o cedează un corp este egală cu cantitatea decăldură pe care o primeşte un alt corp. Această problemă, pusă într-o culegere deprobleme de algebră, ar fi considerată ca o problemă uşoară. Totuşi, în cărţile de fizică seexplică amănunţit cum se ajunge la ea. Din aceste motive nu se poate formula precis caresunt obiectivele acestui capitol. Se poate spune doar atât: elevii să fie în stare să rezolvecu ajutorul ecuaţiilor probleme de greutate mijlocie; nu se poate spune precis ce este oproblemă de greutate mijlocie, dar se poate face recomandarea ca profesorul să păstrezemăsura.

CE ESTE O PROBLEMĂ DE ALGEBRĂ

1. Ce este o problemă de algebră? 2. Problemele inverse 3. În ce constă

dificultatea de a rezolva unele probleme pe cale aritmetică?4. Caracterul relativ al acestei clasificări

În lumea şcolară se face distincţie între probleme de aritmetică, ce se pot rezolvape baza cunoştinţelor care se capătă la aritmetică şi probleme de algebră, care se rezolvăcu ajutorul ecuaţiilor, sau între soluţia aritmetică şi soluţia algebrică a unei probleme. Înultimă analiză, orice problemă care se poate rezolva cu ajutorul unei ecuaţii de gradul I



sau a unui sistem de două ecuaţii de gradul I cu două necunoscute se poate rezolva şi pecale aritmetică. Acest lucru este uneori foarte anevoios, dar este totdeauna posibil. Careeste atunci deosebirea dintre problemele de aritmetică propriu-zisă şi problemele dealgebră? De ce este uneori foarte greu să rezolvi pe acestea din urmă pe cale aritmetică?

1. Ce este o problemă de algebră? Mijlocul cel mai bun de a clasifica problemele la carene referim este de a examina ce fel de relaţii între date şi necunoscute intervin în ele.Acest lucru se vede cel mai bine pe ecuaţiile respective. Orice problemă de aritmeticăpoate fi pusă în ecuaţie. Cazurile cele mai banale sunt, de exemplu, probleme ca: O ladăare a kg, o altă ladă are b kg; cât au cele două lăzi împreună? sau: O ladă conţine a kg; câtconţin b lăzi? cărora le corespund ecuaţiile: x = a + b şi x = ab . Aceste cazuri suntbanale fiindcă ecuaţia apare gata rezolvată. Lucrurile se schimbă îndată ce ecuaţia conţineo operaţie în care unul din componenţi este necunoscut, ca în problemele inverse celor demai sus: Două lăzi au împreună a kg, iar una din ele are b kg; cât are cealaltă? respectiv: Oladă conţine a kg, câte lăzi conţin b kg? De data aceasta, ecuaţiile sînt respectiv: a + x =

b şi ax = b, şi trebuie rezolvate în raport cu x . Totuşi, aceste probleme sunt privite caprobleme de aritmetică, nu de algebră. Aceasta se datoreşte faptului că în şcoală lucrurilese prezintă altfel. Ecuaţiile a + x = b şi ax = b nu sunt prezentate ca ecuaţii. Cu ajutorullor se definesc două operaţii noi: în loc de: a rezolva ecuaţia a + x = b , se spune: a scădeaa din b ; această operaţie se notează „–” şi i se dă o semnificaţie concretă (a scoate b obiecte dintr-o colecţie de a obiecte, a micşora a cu b ş.a.m.d.). Tot aşa, în loc de arezolva ecuaţia ax = b , se spune: a împărţi b prin a ; această operaţie se notează „:” şi areo semnificaţie concreta (de câte ori se cuprinde a în b , câte părţi de măsură a se pot facedintr-un obiect de măsură b ş.a.m.d.).

Datorită operaţiilor inverse, se ocoleşte noţiunea de ecuaţie şi cu ajutorul celorpatru operaţii aritmetice se pot rezolva un număr mare de probleme puse de practică.Problemele complexe se descompun în probleme simple, care duc la forma x = a + b , x =a - b , x = ab , x = a:b , unde a şi b sunt numere date sau care se află în prealabil tot prinprobleme de acest tip. În cadrul aritmeticii se rezolvă şi probleme a căror ecuaţie estemai complicată. Cele mai importante sunt cazurile când ecuaţia are forma: x:a = b:c saua:x = b:c . Aceste probleme sunt obiectul unui capitol special – „Regula de trei”. La

capitolul „Procente” apare nevoia de a rezolva ecuaţia:100

Np P = în raport cu N sau în

raport cu p (aflarea întregului când se cunoaşte un număr de procente din el, aflarearaportului procentual a două numere); la probleme de amestec şi aliaj apare nevoia de arezolva ecuaţia b f t := (t - titlul, f - greutatea metalului preţios, b - greutatea (brută) a întregului aliaj). Aceste probleme se rezolvă prin regula de trei simplă sau pe baza„proprietăţilor operaţiilor”. Comun acestor ecuaţii este faptul că necunoscuta figurează osingură dată.

2



Să considerăm în schimb problema: Ce număr trebuie să adăugăm la ambii termeni ai

fracţiei18

11ca să obţinem o fracţie egală

3

2? Este drept că problema se poate rezolva

pe cale aritmetică (aflarea a doi termeni când se cunoaşte diferenţa 18 – 11 = 7 şi raportul2:3), dar în mod obişnuit această problemă este privită ca problemă de algebră. Ecuaţia eieste:

32

1811 =

++ x x .

Deosebirea esenţială dintre această ecuaţie şi cele precedente constă în faptul cănecunoscuta figurează aici de două ori. În general, se poate spune că: dacă în ecuaţia unei probleme necunoscuta figurează cel puţin de două ori, avem de-a face cu o problemă de algebră. Acest fapt a fost verificat pe un număr mare de probleme din diferite manualede algebră. Aici avem în vedere problemele cu o singură necunoscută. Problemele cu douăsau mai multe necunoscute sunt, în general, probleme de algebră - în afară de cazul cândproblema se reduce uşor la o problemă cu o singură necunoscută, valorile celorlalte

necunoscute fiind uşor de aflat îndată ce s-a aflat valoarea uneia din ele. Nu avem învedere aşa-numitele probleme tipice, nici problemele care se rezolvă prin metode speciale(metoda ipotezelor, metoda retrogradă etc).

2. Problemele inverse. Deosebirea dintre problemele de aritmetică şi problemele dealgebră cu o singură necunoscută se poate pune în evidenţă şi cu ajutorul noţiunii deproblemă inversă. Am arătat mai sus că ecuaţiile cele mai simple apar la definireaoperaţiilor inverse. Această idee se poate generaliza. Fiind dată o problemă în careintervin n numere cunoscute, a 1 , a 2 , ..., a n şi un număr necunoscut x , o problemă inversă faţăde cea dată este aceeaşi problemă, dar în care x şi numerele a 1 , a 2,..., a k-1 , a k+1 , ..., a n suntdate, iar a k este necunoscut. O problemă admite atâtea probleme inverse câte numerecunoscute intervin în enunţul ei.

La aritmetică, problema inversă se foloseşte deseori pentru a face proba. De celemai multe ori, o problemă de algebră este inversa unei probleme de aritmetică (v. şi I, § 4;3, unde acest fapt a apărut într-o ordine de idei apropiată). Vom verifica aceastăafirmaţie pe un exemplu. Considerăm situaţia următoare: Şoseaua care uneşte două localităţi A şi B urcă tot timpul. Un biciclist merge la deal cu o viteză v kmloră, iar când merge la vale viteza sa este cu v’ kmloră mai mare. El face drumul de la A la B în t ore, iar de la B la A în t’ ore.

Când merge la deal, biciclistul are viteza v şi parcurge drumul AB în t ore, deci AB = vt ; când merge la vale, el are viteza v + v’ şi parcurge distanţa AB în t ’ ore, deci AB = (v +v’)t’ . Scriind că cele două expresii ale distanţei AB sunt egale, obţinem relaţia:

( .''t vvvt += Aici intră patru numere v, v’, t, t’, deci se pot compune patru probleme, după

cum se cere unul sau altul dintre aceste numere, şi anume:a) Se dă: v = 9, v' = 6, t = 5; se cere t . Aceasta corespunde unei probleme uşoare de

aritmetică, şi anume: Biciclistul merge la deal cu 9 km/oră şi parcurge un drum AB în 5

3



ore. Viteza cu care merge la vale este cu 6 km/oră mai mare. În cât timp va parcurge

biciclistul drumul de la B la A” ? Se obţine uşor pe cale aritmetică: .369

59' oret =+⋅

=

Dacă privim această problemă ca directă, celelalte probleme sunt:b) Se dă v = 9, v’ = 6, t’ = 3 şi se cere t .c) Se dă v = 9, t = 5, t’ = 3 şi se cere v’.

d) Se dă v’ = 6, t = 5, t ’ = 3; se cere v. Textul corespunzător se compune uşor.Problemele b) şi c) sunt probleme uşoare de aritmetică. Problema d) însă este o

problemă de algebră. Ecuaţia ei este: ( ).635 += x x

Aşadar, din cele patru probleme posibile, trei sunt de aritmetică şi una este dealgebră. Acest lucru se putea vedea direct pe ecuaţia (1). Se constată că t’, t şi v’ figurează câte o singură dată, iar v figurează de două ori. Mai observăm că, dacă pornimde la problema d), toate problemele inverse sunt uşoare. Acest fapt va fi folosit ca mijlocde a-i învăţa pe elevi să pună probleme în ecuaţie (v. § 3; 2).

Independent de scopul urmărit aici, acest procedeu poate fi folosit pentru a

compune probleme de algebră.

3. În ce constă dificultatea de a rezolva unele probleme pe cale aritmetică? În modobişnuit, pentru a rezolva o problemă de aritmetică, se procedează astfel: problemapropusă se descompune în probleme simple, care se rezolvă printr-o singură operaţie,astfel încât fiecare din ele să se poată rezolva pe baza datelor din problemă sau folosindrezultatele problemelor simple rezolvate în prealabil, iar rezultatul ultimei problemesimple să constituie totodată răspunsul la problema propusă. Să luăm, de exemplu,problema următoare care nu este dintre cele mai uşoare.

Într-un camion s-au încărcat 2 200 kg de cereale, şi anume: 11 saci de grâu de cîte 80 kg sacul, 7 saci de orz şi 12 saci de porumb; 3 saci de orz cântăresc cu 20 kg mai mult decît 2 saci de grâu. Cât cântăreşte 1 sac de porumb?

Această problemă se descompune în următoarele probleme simple care îndeplinesccondiţiile de mai sus:I. Cât cântăresc cei 11 saci de grâu? kg 8801180 =⋅

II. Cât cântăresc 2 saci de grâu? kg 160280 =⋅

III. Cât cântăresc 3 saci de orz? 160 + 20 = 180 kgIV. Cât cântăreşte 1 sac de orz? 180 : 3 = 60 kg

V.Cât cântăresc 7 saci de orz? 60 – 7 = 420 kgVI.Cât cântăresc cei 11 saci de grâu şi cei 7 saci de orz împreună? 880 + 420 = 1300 kgVII. Cât cântăresc cei 12 saci de porumb? 2200 – 1300 = 900 kgVIII. Cît cîntăreşte 1 sac de porumb? 900:12 = 75 kgSoluţia problemei este dată de expresia: VII I VI II III IV V VIII ( )[ ]{ }{ } ,12:73:2028011802200 ⋅+⋅+⋅−= x în care cifreleromane puse deasupra semnelor operaţiilor indică problema la care se răspunde prinoperaţia respectivă. Pentru ca elevii să poată rezolva astfel de probleme, se face o

4



pregătire în două direcţii. În primul rând, pe măsură ce se înaintează în predareaaritmeticii, în decursul anilor, se rezolvă în prealabil multe probleme simple. Datorităacestei pregătiri, elevii rezolvă cu mare uşurinţă fiecare dintre problemele simple şi, maimult, ei parvin să recunoască şi să pună astfel de probleme atunci când este cazul. Secreează astfel un anumit fond de „prefabricate”, de piese gata făcute pentru a fiasamblate. În al doilea rând, nu se trece de-a dreptul la probleme atât de lungi ca cea demai sus. Astfel de probleme se dau abia după ce s-au rezolvat probleme care sedescompun în două, apoi în trei probleme simple ş.a.m.d. şi unde problemele simplecomponente se rezolvă prin operaţii felurite: o adunare şi o împărţire, o înmulţire şi oscădere ş.a.m.d. În felul acesta, elevii învaţă treptat să descompună o problemă înprobleme simple. Această descompunere este de multe ori înlesnită de ordinea în careapar datele în enunţul problemei şi de faptul că problemele de aritmetică au de cele maimulte ori o formă narativă. La nevoie, îi dăm noi această formă, căutăm să vedem „cum s-au petrecut lucrurile”. În cazul problemei de faţă, se consideră că s-au depus în camion întâi sacii de grâu, apoi sacii de orz - căci putem afla greutatea lor - , iar la urmă sacii de

porumb, care figurează în întrebare. Astfel, apar problemele I şi V de mai sus, iarproblema a V-a ne obligă să ne punem şi să rezolvăm problemele II-IV. Acţiunile concretedin care se compune încărcarea camionului corespund problemelor simple în care trebuiesă descompunem problema propusă şi ne arată cum să facem descompunerea.

Aşadar, elevii parvin să rezolve probleme aritmetice obişnuite datorită unei dublepregătiri îndelungate: rezolvarea problemelor simple şi descompunerea problemelorcomplexe în probleme simple, această descompunere fiind de multe ori înlesnită de unanumit paralelism cu nişte acţiuni concrete. Aceste probleme sunt obişnuite nu princaracterul lor propriu, ci prin faptul că în şcoală se obişnuieşte să se rezolve astfel de

probleme - lucru determinat în parte de faptul că ele sunt apropiate de probleme ce apar în practică.

Alta este situaţia problemelor care se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor. Exemplu:„Şoseaua care uneşte localităţile A şi B urcă mereu. Viteza cu care un biciclist merge la vale este cu 6 km/oră mai mare decât viteza cu care merge la deal. El face drumul de la Ala B în 5 ore, iar drumul de la B la A în 3 ore. Cu ce viteză merge biciclistul la deal?”

Soluţia aritmetică nu este deloc uşoară. Problema se poate descompune în problemesimple astfel:

I. Dacă biciclistul merge la deal timp de 3 ore, câţi kilometri îi mai rămân de făcut

ca să ajungă în B? ............ .1836 km=⋅ (căci, dacă merge la vale, ar parcurge în 3 oretot drumul; mergând la deal el face în fiecare oră cu 6 km mai puţin, deci în 3 ore - cu

.1836 km=⋅ mai puţin decât tot drumul)II. În cât timp face el acest drum? .............. 5 – 3 = 2 oreIII. Cu ce viteză merge? ............ 18 : 2 = 9 km/orăSoluţia problemei este dată de expresia: I III II

6 – 3 : (5 – 2), unde cifrele romaneindică problema simplă corespunzătoare. Această problemă se rezolvă prin aceeaşi metodă

5



ca şi cea precedentă, şi anume: prin descompunere în probleme simple. Ea este mai scurtă,căci se rezolvă doar prin trei operaţii. Totuşi, ea este cu mult mai grea. Care este cauza?

Este o chestiune de obişnuinţă. Am arătat mai sus că elevii reuşesc să descompunăprobleme complexe în probleme simple datorită faptului că au rezolvat în prealabil multeprobleme simple şi astfel ajung să le recunoască cu uşurinţă atunci când se ivesc, în cazulde faţă, această condiţie nu este îndeplinită, căci elevii nu au rezolvat în prealabil oproblemă cu enunţul următor: şoseaua care uneşte două localităţi A şi B urcă mereu.Viteza cu care un biciclist merge la vale este cu 6 km/oră mai mare decât viteza cu caremerge la deal. Biciclistul parcurge drumul de la B la A în 3 ore.

Câţi kilometri îi mai rămân de făcut dacă merge la deal timp de 3 ore? Dacă elevii arfi obişnuiţi cu probleme de acest fel, ca de exemplu: 1 kg de piersici costă cu 6 lei maimult decât 1 kg de prune. Dacă, în loc de 3 kg de piersici, cumpăr 3 kg de prune, câţi bani îmi rămân? Sau: O ladă mare conţine cu 6 kg mai mult decât o ladă mică. În loc de 3 lăzimari, am primit 3 lăzi mici. Câte kilograme de marfă mai am de primit? - formulareaproblemei simple I ar fi mult uşurată. Dar în practica şcolară astfel de probleme se pun

rareori; de cele mai multe ori se cunoaşte viteza, preţul unui kilogram de fructe,greutatea unei lăzi, nu diferenţa de viteze, de preţuri, de greutate; de aceea ne vine greusă desprindem din problema în cauză prima problemă simplă.

Aşadar, deosebirea dintre problemele de aritmetică şi cele de algebră nu esteesenţială. Totul depinde de felul problemelor simple cu care suntem obişnuiţi. Unui elevcare a făcut foarte puţine probleme simple, prima problemă îi pare tot atât de grea ca adoua. În general, greutatea de a rezolva unele probleme pe cale aritmetică se datoreştefaptului că nu suntem destul de familiarizaţi cu problemele simple în care ele se potdescompune.

4. Caracterul relativ al acestei clasificări. Împărţirea unui anumit cerc de probleme îndouă clase: probleme de aritmetică şi probleme de algebră, nu are aşadar nici un temeiobiectiv. Totul depinde de gradul de familiarizare a rezolvitorului cu problemele simplecorespunzătoare. Dacă în şcoală s-ar cultiva mai mult unele tipuri de probleme, hotaruldintre problemele de aritmetică şi cele de algebră s-ar deplasa în favoarea primelor.Pentru a arăta şi mai bine cât de relativă este această clasificare, să punem şi ipotezainversă. Să presupunem pentru un moment că la aritmetică s-ar învăţa cele două operaţiidirecte, adunarea şi înmulţirea, iar scăderea şi împărţirea nu ar fi cristalizate ca operaţii

deosebite. Atunci probleme atât de simple ca: un muncitor are de făcut 38 de piese şi afăcut până în prezent 15 piese; câte mai are de făcut? Sau: un muncitor face 15 piese peoră; în cât timp face el 180 de piese? ar fi privite ca probleme de algebră, care se rezolvăcu ajutorul ecuaţiilor 3815 =+ x şi 18015 = x . În aceste condiţii, prima dintre problemelede mai sus ar fi o problemă de algebră care se rezolvă cu ajutorul sistemului de ecuaţii:

6



=+⋅+

+⋅=

,2 2 071 18 01 2

2 028 03

y x

y

unde y reprezintă greutatea unui sac de orz, iar x greutatea unui sac de porumb (să se

observe că în aceste ecuaţii intervin numai adunări şi înmulţiri, nici o operaţie inversă).Hotarul dintre problemele de aritmetică şi cele de algebră s-ar deplasa astfel sen-sibil în favoarea acestora din urmă. Practic, acest hotar - care nu este foarte precis - arezultat din condiţiile de organizare a învăţământului. Chestiunea are şi un aspect social.Înainte de Reforma învăţământului din 1948, exista în ţara noastră şcoala primară închisă,fără perspectiva ca absolvenţii ei să poată trece în învăţământul mediu şi apoi în celsuperior. La această şcoală primară se preda numai aritmetica, algebra fiind rezervatăpentru licee (până şi în fostele şcoli normale se făcea foarte puţin algebră). Sunt însăunele probleme care nu sunt aplicaţii imediate ale celor patru operaţii aritmetice şi serezolvă mai uşor cu ajutorul ecuaţiilor, dar care trebuie incluse în programa şcolii primaredin cauza caracterului lor practic (procentele, problemele de amestec şi aliaj). Acestechestiuni au fost incluse în programa de aritmetică. Un exemplu caracteristic suntproblemele de sută mărită şi sută micşorată. Ele sunt probleme tipice de algebră, ecuaţia

este de forma bax

x =+100

(necunoscuta intervine de două ori), iar la aritmetică ele

formează un capitol deosebit.Încheiem aceste consideraţiuni cu observaţia că în condiţiile generalizării

învăţământului, când toţi copiii capătă şi cunoştinţe de algebră, devine actualăreexaminarea conţinutului aritmeticii şcolare. Toate problemele „tip” care se rezolvă prin

metode speciale ar urma să fie trecute la algebră - unde îşi găsesc locul firesc - chiardacă rezolvarea lor pe cale aritmetică este un prilej de a stimula inventivitatea unoradintre elevi. Mai mult, şi o serie de teme care fac parte din programa tradiţională dearitmetică ar putea fi trecute la algebră.

INDICAŢII METODICE

1. Consideraţii generale 2. Regula fundamentală 3. Exerciţii parţiale 4.Analiza ecuaţiei unei probleme 5. Una sau mai multe necunoscute 6.Întocmirea unor tabele 7. Probleme care duc la ecuaţii de aceeaşi formă

8. Lecţii speciale de punere a problemelor în ecuaţie

1. Consideraţii generale. În multe manuale de algebră se spune că nu se poate da nici oregulă după care se pun probleme în ecuaţie. Acest lucru este adevărat. Este şi firesc să

7



fie aşa. Ecuaţiile însele sunt un instrument de rezolvare a problemelor. Un instrumentmatematic, ca orice instrument, este util numai dacă ştim să-l mânuim. În această mânuireintervine totdeauna un element viu, gândirea omului, care nu poate fi eliminat - cel puţin în învăţământ. Punerea problemelor în ecuaţie constituie tocmai acest element viu, care nupoate fi turnat în tipare. De aceea, ne vom mărgini în cele ce urmează la câteva indicaţiisistematice cu caracter didactic. În multe manuale se dă un plan de rezolvare aproblemelor cu ajutorul ecuaţiilor (alegerea necunoscutei, punerea problemei în ecuaţie,rezolvarea ecuaţiei, proba). Acest plan este de puţin folos. El dă o imagine falsă arealităţii prin faptul că pune punctul al doilea - formarea ecuaţiei - pe acelaşi plan cucelelalte, când, de fapt, acest punct conţine aproape totul. Singura indicaţie care s-arputea da în această privinţă ar fi următoarea: se exprimă sub formă de ecuaţie relaţiiledintre datele problemei şi necunoscute. Dar această indicaţie este prea generală pentru afi utilă. În cele ce urmează facem, într-o ordine întâmplătoare, unele recomandări.

2. Regula fundamentală. Greutatea principală pe care o întâmpină elevii la punerea

problemelor în ecuaţie se datoreşte nu atât de mult faptului că ei nu-şi dau seama cerelaţii există între mărimile ce intervin în problemă, cât faptului că nu sunt obişnuiţi săexprime aceste relaţii cu ajutorul necunoscutei sau necunoscutelor. De exemplu, în cazulrelaţiei S = vt, orice elev ştie să calculeze drumul parcurs de un mobil care are o mişcareuniformă când cunoaşte viteza şi timpul, dar pentru aceasta v şi t trebuie să fie daţinumeric; le vine greu „să exprime” drumul parcurs când v sau t conţine necunoscuta. Deaceea, punerea problemelor în ecuaţie este mult uşurată dacă se ia mai întâi pentrunecunoscută un număr luat la întâmplare şi se rezolvă problema inversă, apoi se pune înlocul numărului arbitrar litera x , ca în exemplele următoare:

1) Două maşini pleacă în acelaşi timp din oraşul A şi merg spre oraşul B. Prima maşină merge cu viteza de 60 km/oră, a doua merge cu o viteză de 40 km/oră şi ajunge în oraşul B mai târziu cu două ore decât prima. Se cere distanţa dintre cele două oraşe.

Presupunem că am rezolvat problema, că am aflat că distanţa este de 300 km, deexemplu, şi facem proba, calculând cu cât ajunge maşina a doua mai târziu - trebuie să deadouă ore. Se obţine:

timpul în care prima maşină face drumul: ore560

300= ;

timpul în care maşina a doua face drumul: ore2

1740

300= ;

întârzierea: .22

1252

1760

300

40

300≠=−=−

Bineînţeles, proba nu a ieşit - nu am ghicit rezultatul. Acum notăm cu x distanţa

dintre cele două localităţi. În loc de ;60

apare60

300 xîn loc de .

40

xapare

40

300Facem

8



scăderea6040

x x− şi punem condiţia ca diferenţa să fie egală cu 2. Obţinem ecuaţia:

,26040

=−x x

care dă x = 240. Lucrările se pot aşeza pe două coloane astfel:300

∣300

60=5

∣30040

=71

2

∣71

2−5≠2

¿}

¿

∣ x

∣ x

60

∣ x

40

∣ x

40−

x

60=2

Mai frumos este dacă rezultatul problemei numerice se exprimă direct printr-oformulă, apoi se taie peste tot numărul 300 şi se înlocuieşte cu x . Pe tablă apare direct

ecuaţia problemei: .26040

=−x x

Să observăm că, dacă notăm cu V şi v vitezele, cu d distanţa dintre cele două oraşe,

iar cu i întârzierea, între aceste mărimi există relaţia: .V

d

v

d i −= În problema propusă,

necunoscuta este d . Problema preliminară rezolvată de noi a fost o problemă uşoară dearitmetică în care necunoscuta era i ; v şi V intră de asemenea câte o singură dată, deciluând aceste mărimi ca necunoscute, obţinem de asemenea probleme de aritmetică. Estegreu de spus de ce am preferat problema în care necunoscuta este i .2) În magazia unui restaurant se găsesc 1-20 kg de orez, 150 kg de griş. S-a consumat de 3 ori mai mult griş decât orez şi în magazie a rămas de două ori mai mult griş decât orez.Cât orez s-a consumat?

Presupunând că s-au consumat 20 kg de orez, lucrările se prezintă astfel:

9



.3,231 5 0

1 2 02

31 5 0

1 2 0

31 5 03

1 2 0

29 0

1 0 0

9 06 01 5 06 032 0

1 0 02 01 2 0

2 0

==

−

−=

−

−

−

−

≠

=−

=⋅

=−

x x

x

x

x

x

x

x

x

În cazul când se foloseşte o formulă numerică, se obţine: .2203150

20120 ≠⋅−

−

3) Să luăm şi o problemă destul de grea, cu două necunoscute: A spune lui B: „Eu am acum

de 2 ori mai mulţi ani decât ai avut tu când eu am avut vârsta ta de acum, iar când tu vei avea vârsta pe care o am eu acum, vom avea împreună 36 de ani”. Ce vârstă are fiecare din ei?

Presupunând că A are, de exemplu, 14 ani, iar B are 10 ani se poate judeca astfel: Aa avut vârsta lui B în urmă cu 14 – 10 = 4 ani; atunci B a avut 10 – 4 = 6 ani. Raportul dintrevârsta lui A de acum şi vârsta lui B de atunci este de 26:14 ≠ ş.a.m.d. Se obţine schema:

( )

( )( ) 3 62

2

22

2

;

3 63 21 41 81 841 4

41 01 4

26

1 4

641 0

41 01 4

1 0;1 4

=+−

−=−+

−

=

−

−=−−

−

≠=+

=+

=−

≠

=−

=−

x y x y x y x x

y x

x y

x

x y y x y

y x

y xa n ia n i

10



Se obţine sistemul:

=

=⇒

=−

=

1

1

3 63

43

y

x

y x

y x.

Dat fiind caracterul neobişnuit al acestei probleme, în clasă se simte nevoia de aface lucrările din stânga liniei verticale de 2 ori, luând pentru x şi y alte valori. Acestprocedeu izvorăşte din însăşi metoda algebrică de a aborda problemele şi din faptul căorice problemă de algebră poate fi privită ca problema inversă a unei probleme dearitmetică.Dăm şi soluţia aritmetică a problemei, care este interesantă prin faptul că prima ecuaţiese obţine pe cale intuitivă, fără calcul algebric, iar ecuaţia a doua nu apare de loc. Fie OA

vârsta lui A, iar OB vârsta lui B . În fiecare an, fiecare dintre punctele A şi B sedeplasează spre dreapta cu o unitate. Când punctul A se găsea în B , B se găsea într-unpunct B’ , astfel încât B’B = BA.

Din prima parte a enunţului rezultă că OA = 2OB’ , adică OB’ = B’A. Dar B’A esteformat din două segmente, BB’ = BA. Atunci OB este format din 3 segmente egale cu BA,iar OA din 4 segmente egale cu BA (adică OB :OA = 3:4 sau 3OA = 4OB ⇔ 3x = 4y - primaecuaţie a sistemului). Când B va fi în A, adică atunci când va fi înaintat cu BA, A va fi înaintat şi el cu un segment egal cu BA şi se va găsi într-un punct A’ . Atunci vârstele lorvor fi: OB’ = 4 segmente, OA’ = 5 segmente, suma vârstelor lor va fi reprezentată de 4 + 5= 9 segmente. Această sumă este 36, deci un segment reprezintă 36: 9 = 4. B are 4 – 3 =12 ani, iar A are 4 – 4 = 16 ani.

Totuşi, nu trebuie abuzat de acest procedeu, căci duce la diluări inutile. Procedeultrebuie folosit cu tact, şi anume: la început, când se începe un gen nou de probleme(probleme de mişcare, de amestec etc.) şi ori de câte ori punerea unei probleme în ecuaţiemerge greu.

3. Exerciţii parţiale. De multe ori elevii nu reuşesc să pună o problemă în ecuaţie nu dincauza unei ignoranţe totale, ci pentru că nu ştiu să folosească una sau alta din dateleproblemei. De aceea, sunt utile exerciţii de exprimare sub formă algebrică a unor relaţiisau de formare a unor expresii algebrice ca următoarele:

11

O B A

B’

A’

A

O B B’

A’



a) Să începem cu transcrierea cu semne matematice a afirmaţiilor: a este mai mare(mai mic) decât b cu... şi a este mai mare (mai mic) decât b de... ori. Elevii fac deseorigreşeala de tipul următor: pentru a exprima că a este mai mare decât b cu 2, ei scriu a + 2= b. Aceasta se datoreşte unei confuzii între a este mai mare decît b cu 2 şi a mărit cu 2este b, şi faptului că se poate folosi semnul „+” sau „ –”.

7 este mai mare decât 5 cu 2; acest lucru se poate exprima în trei moduri: 7 – 5 =2, 5 + 2 = 7, 7 – 2 = 5. După acest model se fac exerciţii ca următoarele:

x este cu 5 mai mare decât 17... x = 17 + 5 sau x – 5 = 17 sau x – 17 = 5;x este cu 8 mai mic decât a ... x = a – 8 sau a = x + 8 sau a – x = 8;5(x + 1) este cu 18 mai mare decât 3(x – 2) ... 5(x + 1) = 3(x – 2) + 18 sau 5(x + 1) –

3(x – 2) = 18 sau 5(x+ 1) – 18 = 3(x – 2).Trebuie continuate exerciţiile de tipul ultimului până când elevii dau rapid şi sigur

răspunsurile sub cele trei forme. Un sfat practic şi simplu este următorul: pentru a scrie,de exemplu, că a este cu 5 mai mare decât b, se scrie provizoriu a = b ; apoi se adaugă 5 la

numărul mai mic, adică la b , şi apare a = b + 5; sau se scade 5 din numărul mai mare şiapare a – 5 = 6. Se recomandă să se procedeze la fel pentru expresiile: mai mare (mai mic)de ... ori. Aici, mai mult decât în cazul precedent, este util ca elevii să ştie să exprimerelaţia în două moduri, astfel încât ea să apară şi sub forma de raport. De exemplu: 2x + 5este de 3 ori mai mare decât x – 2 se scrie: 2x + 5 = 3(x – 2) sau x – 2 = 3.

Aceste exerciţii, ca şi cele precedente, pot fi puse în legătură şi cu modul în care oecuaţie se transformă într-o altă ecuaţie echivalentă cu ea. De exemplu, în cazul x = a + 8,celelalte relaţii se deduc din prima, trecând termenul a sau 8 în partea stângă.

Exerciţii de acest fel, ca şi de felul celor care urmează se pot face sistematic sau

atunci când se simte nevoia, adică înainte de a aborda problemele în care intervinasemenea expresii sau atunci când apar greşeli. În ultimul caz se întrerupe problema, sedau explicaţiile necesare şi se face un număr suficient de exerciţii.

b) La problemele în care intervin procente apar greutăţi din cauză că elevii ştiu săcalculeze cu procente numai în cazuri numerice. Sunt recomandabile exerciţii caurmătoarele:

( ) ( )

( )( )

100

7203203din%7

1002150150din%2;

100483483din%

100

5din%5;

100

5483483din%5

++

++

⋅

x

x

x

x

x

x

x

x

c) Situaţia este asemănătoare la problemele în care intervine concentraţia uneisoluţii sau titlul unui aliaj, dar puţin mai grea, fiindcă nu toţi elevii au idei clare despreaceste noţiuni. Înainte de a trece la probleme de acest fel trebuie să revenim asupra no-

12



ţiunilor respective şi să-i învăţăm pe elevi să folosească formule - nu regula de trei. Deexemplu, concentraţia unui amestec dintr-o substanţă oarecare (alcool sau un acid) şi apăeste dată în procente (grade) de formula:

.1000

:aliajunuititluliar ,100

⋅=

⋅=

bruta greutatea

fina greutateatitlul

totala greutatea

alcoolului greutateaiaconcentrat

După ce elevii au înţeles bine aceste formule sunt necesare exerciţii caurmătoarele:Concentraţia unei soluţii care conţine:

15 g de sare şi 250 g de apă.................................................... 10015250

15⋅

+

a grame de sare şi 100 g de apă..............................................100

100100

100 +=⋅

+ a

a

a

a

(x + 20) kg de alcool şi y kg de apă.........................................( )

20

10020

++⋅+

y x

x

(x + 3y ) kg de alcool şi câtăreşte în total (15x + y ) kg............. ( ) y x y x +⋅+15 1003

De asemenea:titlul unui aliaj care conţine 12 g de aur

şi a g de cupru.............................................................................. 100012

12⋅

+atitlul unui aliaj care conţine 3 kg de nichel

şi cântăreşte x kg............................................................................ 10003⋅

x

titlul unui aliaj care cântăreşte (a + 12) kg,

în care greutatea metalului fin este cu b kgmai mică decât greutatea totală...................................................... 1000

12

12⋅

+−+

a

baş.a.m.d.

Poate nu este necesar să se facă şi exerciţii inverse, de exemplu, să se exprimegreutatea fină ca funcţie de titlu şi greutatea totală.

d) Situaţia este asemănătoare cu formula S = vt . Elevii trebuie să înveţe să ofolosească şi atunci când S , v şi t sunt expresii algebrice. De data aceasta sunt necesaretoate formele (şi t = s : v şi v = s: t ).

Exemple de exerciţii :1) Un mobil merge timp de t + 2 secunde cu viteza v – 3; se cere drumul parcurs.2) Un automobil parcurge distanţa de 380 km în t – 2 ore în loc de t ore; cu cât şi-a

mărit el viteza?

13



3) Un motociclist trebuia să facă un drum mergând timp de t ore cu o viteză de v km/oră. El a mers o oră mai puţin, dar viteza sa a fost cu 12 km/oră mai mare. Să se aflediferenţa dintre drumul pe care trebuia să-l parcurgă şi cel parcurs.

Răspunsuri: ( )( ) ( )( ) .1212112)3;380

2

380)2;32)1 −−=−+−−

−−+ vt t vvt

t t vt

e) Menţionăm, în sfârşit, problemele cu privire la cifrele unui număr scris însistemul zecimal, în care intervine, de exemplu, suma cifrelor unui număr, răsturnatul unuinumăr ş.a. înainte de a aborda aceste probleme sunt utile exerciţii ca următoarele - dacănu au fost făcute în cadrul capitolelor anterioare:

Să se scrie numărul în care cifra zecilor este x , iar cifra unităţilor este y ; să sescrie răsturnatul numărului care se scrie cu cifrele x , y , z (luate de la stânga spredreapta); un număr este format din cifrele x , y , z ; să se calculeze numărul care se obţinescăzând din el suma cifrelor sale (apare regula de divizibilitate cu 9) ş.a.

În legătură cu aceste probleme, dar în altă ordine de idei, menţionăm că ele au un

oarecare dezavantaj. Dat fiind că necunoscutele pot lua numai valori cuprinse între 0 şi 9,sistemele corespunzătoare se pot rezolva şi dacă numărul ecuaţiilor este cu 1 mai micdecât numărul necunoscutelor. Obligându-i pe elevi să le rezolve numai prin metodaobişnuită, încurajăm tendinţa lor de a aplica mereu metodele învăţate, fără a ţine seamade specificul problemei pe care o au în faţă. Probleme cu această temă pot fi date cu folos în legătură cu soluţiile unei singure ecuaţii cu două necunoscute.

4. Analiza ecuaţiei unei probleme.a) În primul rând trebuie respectată regula, general valabilă, de a nu trece la

rezolvarea unei probleme înainte de a ne asigura că elevii cunosc bine enunţul ei - ceea cenu se face totdeauna. Pentru aceasta se scriu datele schematic pe tablă şi se cere unuielev să repete enunţul ei cu cuvinte proprii, eventual se mai repetă o dată, apoi sestabileşte bine ce se dă şi ce se cere. Abia pe urmă se trece la rezolvare.

b) La fixarea necunoscutei se foloseşte de obicei o exprimare prescurtată, ca:notăm cu x timpul sau: notăm cu x grâul şi cu y porumbul. Acest lucru nu este rău. Este însă mai bine să obligăm elevii, cel puţin la început, să se exprime complet, să spună: notămcu x numărul care arată câte ore merge..., respectiv: notăm cu x numărul care arată câtekilograme de grâu... şi cu y câte kilograme de porumb... Aceasta nu înseamnă să fim

pedanţi. Aceste formulări, deşi sunt lungi, îi fac pe elevi să vadă mai clar lucrurile.c) Trebuie să avem grijă ca elevii să-şi dea perfect seama de semnificaţia fiecăruifactor şi a fiecărui termen din ecuaţie. Să luăm, de exemplu, problema următoare (alegem înadins o problemă uşoară, căci ne referim aici în special la primele probleme): Pentru a transporta nişte cereale de la magazia unei cooperative agricole de producţie la gară se foloseşte o camionetă şi un camion ... În camion încap cu 700 kg mai mult decât în camionetă. Camioneta a făcut de 5 ori drumul, camionul l-a făcut de 3 ori şi au fost trans- portate în total 16500 kg de cereale. Ce capacitate are fiecare din aceste vehicule?

14



După ce s-a scris ecuaţia: ( ) ,1650070035 =++ x x ea trebuie analizată prin întrebărica: „Ce reprezintă factorul 5 ?”, „Factorul x ?” , „Ce arată termenul 5x ?”, „Ce exprimăecuaţia?” (cantitatea de cereale pe care le transportă camioneta şi cea transportată decamion fac împreună 16500 kg).

Am considerat cazul când această analiză se face după ce ecuaţia a fost scrisă. Eaeste utilă în primul rând celorlalţi elevi, care au avut un rol receptiv – dacă nu chiar pasiv –la formarea ecuaţiei, dar ea este utilă şi elevului de la tablă căci astfel el îşi dă şi mai bineseama de ceea ce a făcut. Ar fi enervant să-l obligăm să dea toate explicaţiile acestea întimp ce scrie ecuaţia, dar ele pot deveni utile când elevul se poticneşte. De exemplu, încazul ecuaţiei de mai sus, elevul a scris 5X şi nu vede clar cum trebuie să continue. Atuncieste utilă întrebarea: „Ce reprezintă 5x ?” – pentru a fi urmată de recomandarea:„Exprimă în acelaşi fel cantitatea de cereale pe care o transportă camionul”.

Dacă această analiză face apel la posibilităţile elevilor de a se exprima, întrebări caurmătoarele merg mai direct la ţintă: „Cum se schimbă ecuaţia problemei dacă camionetaface de 7 ori drumul?”, „Dacă camionul face de 4 ori drumul?”, „Dacă capacitatea

camionului este cu 1200 kg mai mare decât a camionetei?”, „Dacă s-au transportat în total25000 kg de cereale?”. Pentru a rezolva o problemă ca aceasta, s-a format ecuaţia:

( ) ;300001200811 =++ x x care a fost problema?La aceste întrebări în afară de ultima, s-ar putea întâmpla ca un elev să răspundă

înlocuind mecanic numărul corespunzător din ecuaţie. Profesorul va şti să deosebeascărăspunsurile gândite de celelalte.

Se poate trece apoi la întrebări ca următoarele, care privesc operaţiile: „Cum seschimbă ecuaţia dacă în camion se încarcă cu 300 kg mai puţin decât în camionetă?”, „Dacăcapacitatea camionului este de două ori mai mare decât a camionetei?”, „Dacă se foloseşte

şi o căruţă cu cai care are o capacitate cu 800 kg mai mică decât camioneta şi căruţa facede 4 ori drumul?”.

Astfel de exerciţii sunt foarte bine primite de clasă. Elevii au satisfacţia pe careţi-o dă înţelegerea deplină a unui lucru. Răspunsurile fiind scurte, se pot antrena mulţielevi.

d) Trebuie să explicăm elevilor că se pot aduna (sau scădea) numai expresii carereprezintă mărimi de acelaşi fel şi că se obţine o mărime tot de acelaşi fel. Astfel, înexemplul de mai sus, 5x reprezintă o masă exprimată în kilograme, expresia 3(x + 700) -

de asemenea, tot aşa şi 16500. Acest lucru este util când se formează ecuaţia. Se evită ogreşeală frecventă: având de rezolvat problema: Apa unui râu curge cu o viteză de 2,5 km/oră. Un vapor parcurge o anumită distanţă la deal în 6 ore, iar la vale în 8 ore. Care este viteza proprie a vaporului?

Un elev scrie ecuaţia: 5,285,26 −⋅=+⋅ x x , în loc de ( ) ( )5,285,26 −=+ x x . El a adunatx – 6 , care reprezintă o lungime, cu 2,5, care reprezintă o viteză - aceeaşi greşeală înpartea dreaptă a ecuaţiei.

15



e) De mare importanţă este ca elevii să exprime în cuvinte relaţia care duce laformarea ecuaţiei. Exemple: în cazul problemei de mai sus cu privire la transportareacerealelor la c) , s-a arătat cum se exprimă ecuaţia în cuvinte.

În cazul ultimei probleme, trebuie spus: exprimăm în două moduri distanţa pe care oparcurge vaporul şi egalăm expresiile. Asemenea formulări nu se pot obţine la început.Elevul, chiar când scrie ecuaţia, nu este în stare să arate în cuvinte ce exprimă ecuaţia. Ellucrează corect, dar îi vine greu să spună ce face. De aceea, este util ca, la început, săcerem elevilor să dea formularea după ce au scris ecuaţia. Ar fi bine ca şi la problemele pecare le rezolvă acasă să dea asemenea formulări în scris, de exemplu, după ce au rezolvatecuaţia. Treptat, însă, trebuie să ajungem ca elevii să formuleze relaţia în cuvinte, înaintede a scrie ecuaţia: „Voi scrie că... este egal cu...”.

5. Una sau mai multe necunoscute. Dacă parcurgem problemele dintr-o culegereoarecare, găsim probleme care sunt, categoric, probleme cu o singură necunoscută şi

probleme care sunt, tot atât de categoric, cu două sau mai multe necunoscute. Există însăprobleme care se află la hotarul dintre aceste două feluri de probleme, ca de exemplu: O pârghie AB de genul I are o lungime de 40 cm. La capătul A acţionează o forţă de 50 N,iar la capătul B de 30 N. La ce distanţă de punctul A trebuie să fie punctul de sprijin ca pârghia să fie în echilibru?

În cazul acestei probleme se poate proceda în două feluri:1) M fiind punctul de sprijin al pârghiei, se pune AM = x, MB = y şi se obţine

sistemul x + y = 40, 5X =3y .2) Dacă braţul AM are lungimea x , celălalt braţ va avea lungimea 4 – x. Legea bine

cunoscută din fizică ne dă ecuaţia 5x = 3(40 – x ). Considerăm că o asemenea problemătrebuie rezolvată cu ajutorul unui sistem din următorul motiv: avantajul metodei algebricede rezolvare a problemelor constă în faptul că ea ne scuteşte de raţionamente carevariază de la o problemă la alta, de artificii. Enunţul problemei se traduce în limbajulecuaţiilor şi cu aceasta problema este în principiu rezolvată, căci tot restul se face pebaza unor reguli bine stabilite. Metoda algebrică se foloseşte din plin atunci când aceastătraducere este cât mai fidelă, orice transformare prealabilă a enunţului constituie oabatere de la metoda algebrică. În învăţământ este util să păstrăm puritatea metodei. Şiaceasta nu de dragul ei, ci din motive didactice: în felul acesta, elevii îşi însuşesc mai bine

metoda algebrică.Or, pentru a rezolva această problemă printr-o singură ecuaţie, enunţul ei trebuie

transformat în prealabil. Când avem în faţa ochilor un segment AB şi un punct interior O ,relaţia dintre părţile OA, OB şi segmentul întreg AB pe care o sugerează este OA + OB = AB , (x + y = 40). Când notăm lungimea unuia dintre segmente cu x şi scriem că lungimeaceluilalt este 40 – x, folosim o relaţie dedusă, care nu este dată direct în enunţulproblemei.

16



Considerăm că o problemă trebuie rezolvată cu ajutorul unei singure ecuaţii cu osingură necunoscută numai atunci când enunţul ei permite să se exprime direct toatemărimile din problemă prin expresii liniare în funcţie de una din ele. Spunem că mărimea y se exprimă direct în funcţie de x ; atunci simpla transcriere cu semne matematice a părţiicorespunzătoare din enunţ dă o relaţie de forma y = f(x) , fără o explicitare prealabilă.

Vom lămuri aceasta prin trei exemple:1) O maşină a făcut în 3 ore 187 km. În ora a doua ea a făcut cu 7 km mai mult decât în prima oră, iar în ora a treia - dublul drumului făcut în prima oră. Să se afle drumul pe care l-a făcut maşina în prima oră.

- notăm cu x drumul parcurs în prima oră; celelalte mărimi sunt: drumul parcurs înora a doua 7+= x , drumul parcurs în ora a treia x2= ; condiţia este îndeplinită, deciproblema se rezolvă printr-o singură ecuaţie: ( ) .18727 =+++ x x x

2) O maşină a parcurs un drum de 210,5 km în patru ore. În ora a doua a făcut cu 21 km mai mult decât în prima oră, în ora a treia - două treimi din drumul făcut în ora a doua, iar în ora a patra - cât media dintre drumurile parcurse în primele două ore. Să se afle

drumul parcurs de maşină în prima oră.- dacă notăm cu x drumul parcurs în prima oră, celelalte mărimi sunt:

( ) ( ).

2

212

2

21,

3

212,21

+=

+++⋅+

x x x x

x

Şi această problemă, deşi este mai grea, se rezolvă printr-o singură ecuaţie:

( )( ) ( )

.5,2102

212

2

21

3

21221 =

++

+++

+⋅+++

x x x x x x

Dacă introducem mai multe necunoscute, obţinem sistemul:

( )

=+++

+=

+=

+=

5,2 1 0

2

2 12

3

2 12

2 1

u z y x

xu

x z

x y

care se reduce prin simple substituţii la ecuaţia de mai sus. Observaţie analogă cu privirela prima problemă.3) Problema următoare este extrasă dintr-o culegere de probleme, unde figurează înainte

de sistemele de ecuaţii: „În trei clase sunt în total 119 elevi. În clasa întâi sunt cu 4 elevi mai mult decât în clasa a doua şi cu 3 elevi mai puţin decât în a treia. Câţi elevi sînt în fiecare clasă?”

- această problemă duce la sistemul:

17



−=

+=

=++

3

4

1 1

z x

y x

z y x

Problema nu îndeplineşte condiţia. Ea trebuie considerată ca o problemă cu treinecunoscute. În legătură cu chestiunea discutată aici, mai observăm următoarele: dacăpornim pe drumul de a transforma în prealabil enunţul, deosebirea dintre problemele dealgebră şi cele de aritmetică se şterge uneori complet. De exemplu, în cazul ultimeiprobleme, dacă suntem obligaţi să folosim o singură necunoscută, trebuie să judecămastfel: notăm cu y numărul elevilor din clasa a doua; atunci în clasa întâi vor fi y + 4 elevi;apoi, dacă în clasa întâi sunt cu 3 elevi mai puţin decât în clasa a treia, atunci în clasa atreia sunt cu 3 elevi mai mult decât în clasa întâi, deci (y + 4) + 3 = y + 7 elevi; acumecuaţia problemei este (y + 4) + y + (y + 7) = 119; transformarea informaţiei cu privire laclasa a treia revine, de fapt, la următoarele: din ecuaţia x = z – 3 se scoate z = x + 3, iar x

se înlocuieşte cu y + 4; se fac în mod camuflat transformări ale sistemului; de aici până larezolvarea sistemului pe cale aritmetică nu este decât un pas, căci acum enunţul problemeisună astfel: „În clasa întâi sunt cu 4 elevi mai mult decât în clasa a doua, în clasa a treia cu7 elevi mai mult decât în clasa a doua, iar în total sunt 119 elevi; nu avem decât să scădemdin totalul de 119 elevi 4 + 7 = 11 elevi, diferenţa 119 – 11 = 108 să o împărţim prin 3ş.a.m.d.

Pe de altă parte, s-a spus mai sus că există probleme care sunt categoric problemecu o singură necunoscută. Acest lucru este adevărat numai în cazul problemelor foartesimple. Când rezolvăm o problemă „compusă” de aritmetică (care se rezolvă prin mai multe

operaţii), introducem, de fapt, nişte necunoscute ajutătoare. Situaţia este aceeaşi laproblemele de geometrie când trebuie aplicată o formulă şi nu se dau direct toateelementele necesare. De exemplu, într-un trapez dreptunghic se dau bazele B = 11 cm, b =7 cm şi latura oblică c = 5 cm. Se cere aria trapezului. Pentru a afla aria, se află înprealabil diferenţa bazelor şi (prin teorema lui Pitagora) înălţimea. Deci şi aceastăproblemă ar putea fi privită ca problemă cu mai multe necunoscute, dar sistemelecorespunzătoare sunt foarte simple.

Toate acestea arată că clasificarea problemelor după numărul necunoscutelor esterelativă, ca şi împărţirea problemelor în probleme de aritmetică şi probleme de algebră. În

şcoală există tendinţa de a rezolva printr-o singură ecuaţie cu o singură necunoscută şiunele probleme în care enunţul trebuie transformat în prealabil, de exemplu, primaproblemă de la acest punct cu privire la pârghie. Pregătirea elevilor are numai de câştigatdacă rezolvarea acestor probleme se amână cu câteva săptămâni, până ce elevii vor fi învăţat şi sisteme de ecuaţii. Dacă mai târziu, când elevii şi-au format o oarecaredexteritate în punerea problemelor în ecuaţie, un elev sau altul preferă să lucreze cu osingură ecuaţie, nu există nici un motiv să-l împiedicăm.

18



6. Întocmirea unor tabele. Uneori este recomandabil să se întocmească tabele, fiepentru a pune în evidenţă ce se dă şi ce se cere în problemă, fie pentru a urmări mai uşortransformările la care sunt supuse mărimile din problemă. Dăm două exemple:

a) Distanţa dintre două localităţi A şi B este de 48 km. Din A pleacă spre B un biciclist şi un motociclist. Viteza motociclistului este de 4 ori mai mare decât viteza biciclistului.

Motocictistul pleacă cu 211 ore mai târziu decât biciclistul şi ajunge în B cu 2

11 oră

înaintea lui. Să se afle viteza fiecăruia dintre ei. Se formează următorul tabel:

v t S Biciclistul x y 48Motociclistul 4x y -

348

Urmărind enunţul, se completează întâi coloana a treia, apoi prima şi la sfârşit a

doua (expresia y – 3 se obţine adunând în prealabil 211 cu 2

11 ). Cele două ecuaţii ale

problemei se obţin apoi scriind că în fiecare rând S = vt . Ele sunt: xy = 48, 4x (y — 3) = 48şi dau x = 12, y = 48. Asemenea tabele sunt utile în cele mai multe probleme de mişcare.

Soluţia aritmetică. Viteza motociclistului este de 4 ori mai mare decât abiciclistului. În acelaşi timp, motociclistul ar parcurge un drum de 4 ori mai mare decâtbiciclistul, adică km192448 =⋅ . El ar ajunge astfel într-un punct C situat dincolo de B ,

unde AC = 192 km, deci BC = 192 – 48 = 144 km. Pentru a parcurge drumul AB îi trebuie cu3 ore mai puţin decât biciclistului. În aceste 3 ore, el poate să parcurgă drumul BC , careeste de 144 km, deci viteza sa este de 144 : 3 = 48 km/oră. Viteza biciclistului este de 4ori mai mică, deci de 48 : 4= 12 km/oră.

b) Avem două vase A şi B, care conţin fiecare o anumită cantitate de lichid. Turnăm din Aîn B jumătate din cît conţine B, apoi turnăm din B în A jumătate din cît conţine A şi în sfîrşit turnăm din A în B jumătate din cît conţine B. După aceste trei operaţii, în fiecare vas se găsesc 27 l. Cît se găsea la început în fiecare dintre aceste vase?

Vasul A Vasul BLa început

După primaoperaţie

După operaţia a

x

2

2

2

y x y x

−=−

4

36

2

2

2

1

2

2 y x y x y x −=

−⋅+

−

8

1314

4

27

2

1

4

36 y x x y y x −=

−⋅−

−

y

2

3

2

y y y =+

4

27

2

2

2

1

2

3 x y y x y −=

−⋅−

8

621

4

27

2

1

4

27 x y x y x y −=

−⋅+

−

19



II-a

După operaţia aIII-a

Nu rămâne decât să se scrie că fiecare dintre expresiile obţinut după operaţia atreia este egală cu 27. Se obţine sistemul:

=

=⇔

=−

=−

2

3

2 7

8

62 1

2 78

1 31 4

y

x

x y

y x

În cursul lucrărilor care merg destul de greu în clasă, este util să se facă probadupă fiecare operaţie; suma celor două expresii din aceeaşi linie trebuie să fie egală cu x + y . Se pot compune diferite variante. De exemplu, se dă că după operaţia a treia celedouă vase conţin cantităţi egale de lichid (ceea, ce dă ecuaţia 10x =17y ), sau se dă raportuldintre aceste cantităţi şi încă o relaţie dintre x şi y , de exemplu cele două vase conţineaula început 54 l. De asemenea, numărul operaţiilor se poate mări oricât de mult.Problemele de acest tip se rezolvă uşor prin „metoda retrogradă”. Se ştie că după a treiaoperaţie, fiecare din cele două vase conţineau câte 27 l. La această situaţie s-a ajunsadăugând la vasul B jumătate din conţinutul lui. Deci, cei 27 din B reprezintă o dată şi jumătate, adică 3 jumătăţi din cât se găsea în el înainte de ultima operaţie; 27 : 3 = 9; 9 –2 = 18. Prin operaţia a treia s-au adăugat la vasul B = 27 – 18 = 91, care s-au luat din vasulA, deci în vasul A se găseau înainte de operaţia a treia 27 + 9 = 36 l. Aşadar, după operaţiaa doua, în vasul A se găseau 36 l, iar în B 18 l. Acum raţionamentul se repetă: 36 : 3 = 12;12 - 2 = 24; 36 – 24 = 12; 18 + 12 = 30; după prima operaţie în A se găseau 24 l, iar în B 30l. Apoi 30 : 3 = 10; 20210 =⋅ ; 30 – 20 = 10; 24 + 10 = 34.

7. Probleme care duc la ecuaţii de aceeaşi formă. Pentru a învăţa pe elevi să punăproblema în ecuaţie este util să se rezolve în aceeaşi oră mai multe probleme care duc laecuaţii sau la sisteme de aceeaşi formă, sau unele dintre ele să se lucreze în clasă, iaraltele să se dea ca temă pentru acasă. În felul acesta ei învaţă mai uşor să desprindădintr-o situaţie concretă relaţiile matematice - când aceeaşi relaţie apare în diferitesituaţii, ei o recunosc mai uşor. În unele manuale şi culegeri, problemele sunt chiargrupate în acest fel, dar este bine ca profesorul să le poată compune singur - aşa cum vomarăta în exemplele următoare.

20



1) Să luăm, de exemplu, problema a) de la pagina anterioară care duce la sistemul: xy = 48,4x (y — 3) = 48, adică la un sistem de forma xy = a, bx (y – c) = a. Aici produsele apardatorită relaţiei S = vt . Unde mai există relaţii asemănătoare? Producţia totală =(producţia în unitatea de timp) x timpul; costul = (preţul unitar) x cantitatea; suma totală= (contribuţia fiecăruia) x (numărul celor care contribuie) - când se face o colectă;cantitatea de material transportat = (capacitatea unui camion) x (numărul camioanelor),aria dreptunghiului sau a paralelogramului = baza x înălţimea ş.a.m.d. Se obţin probleme noi înlocuind mărimile din problema dată cu altele. Analogia este deosebit de vizibilă dacă seiau producţia totală, producţia în unitatea de timp şi timpul; muncitorul face piese, iarbiciclistul sau motociclistul „face” kilometri, producţia totală corespunde drumului totalparcurs. Obţinem astfel enunţul:a) Doi muncitori trebuie să confecţioneze câte 48 de piese. Primul muncitor face de 4 ori

mai multe piese pe oră decât al doilea (piesele lui se fac mai uşor); el începe lucrul cu 211

ore mai târziu decât al doilea şi-l termină cu 2

11 ore înaintea lui. Câte piese face

fiecare din ei pe oră?’ Dacă se ia dreptunghiul, se obţine enunţul:

b) Aria unui dreptunghi este de 48 m2. Dacă mărim baza de 4 ori şi suprimăm 2 fâşiiparalele cu baza, late de câte 1,5 m, obţinem un dreptunghi care are aceeaşi arie. Să seafle dimensiunile dreptunghiului.c) Este util şi enunţul sub forma abstractă: Produsul a două numere este 100. Dacă mărimunul din ele de 5 ori şi-l micşorăm pe celălalt cu 4, produsul rămâne neschimbat. Să se aflecele două numere.

Dacă se păstrează în diferite variante aceleaşi date - aşa cum am procedat lavariantele a) şi b) - elevii văd mai uşor asemănarea dintre probleme, dar ei se orienteazăşi după criterii neesenţiale - ceea ce este, poate, admisibil la început; la varianteleurmătoare, datele numerice trebuie neapărat schimbate. Pentru a obţine rezultaterotunde, se poate proceda astfel: se rezolvă ecuaţia literală, apoi se înlocuiesc în expresiasoluţiei literele prin valori convenabile. De cele mai multe ori, condiţiile concrete ne obligăsă dăm literelor valori cuprinse între anumite limite. De exemplu, în problema aceasta se

obţine( )

.1

bc

ba x

−= Parametrul b nu poate varia prea mult (viteza cu care merge un

motociclist este de 3 - 6 ori mai mare decât viteza cu care merge un biciclist); am luat b =

4. Atunci formula devine .43ca x = Pentru a nu se putea lua o valoare prea mare, un drum

de 48 km este destul de mult pentru un biciclist, rămâne să se aleagă şi c , astfel încât săse obţină pentru x un număr întreg, am ales c = 3.

2) Considerăm problema: A are 29 de lei, B are 11 lei. Fiecare din ei capătă câte 1 leu pe zi. După câte zile va avea A de două ori mai mult decât B? Aritmetic, problemele de acestfel se rezolvă observând că diferenţa dintre banii lui A şi banii lui B rămâne constantă.

21



Problema revine la aflarea a două numere când se cunoaşte diferenţa lor (= 29 – 11 = 18) şiraportul (=2).

Se obţine ecuaţia:

;211

29=

++ x

xadică de forma: .k

xb

xa=

++

Variante :

a) Într-un vas se găsesc 29 l de apă, iar în alt vas 11 l. În fiecare vas intră câte 1 l de apăpe minut. Peste cât timp va conţine primul vas de două ori mai multă apă decât al doilea?b) A are 29 de ani, B are 11 ani. Peste câţi ani va fi vârsta lui A de două ori mai mare decâtvârsta lui B ?

Această variantă este ceva mai grea, căci în enunţ nu se spune că în fiecare an seadaugă un an la vârsta fiecăruia. Cu această ocazie, menţionăm că aceste probleme, atâtde răspândite în manuale, sunt cât se poate de nefireşti. Când se compară vârstele a doioameni se întreabă cu cât, nu de câte ori este mai mare unul decât celălalt.c) Într-o clasă au fost 17 băieţi şi 7 fete. Au venit acelaşi număr de băieţi şi de fete şi

acum sunt în clasă de două ori mai mulţi băieţi decât fete. Câţi băieţi au venit?Varianta următoare are o formă mai abstractă.

d) Ce număr trebuie să adunăm la ambii termeni ai fracţiei39

19ca să obţinem o fracţie

egală cu ?5

3

Pentru a potrivi datele numerice, se poate folosi, aşa cum am arătat în exemplele

precedente, soluţia literală .1−

−=

k

kba x Când ni-l dăm pe k dinainte, se poate proceda mai

simplu. În cazul de faţă am luat la întâmplare o fracţie egală cu 2, şi anume18

36, apoi am

scăzut din ambii termeni numărul 7 (luat la întâmplare, dar având grijă să obţinem ofracţie ireductibilă).

Foarte util este să cerem elevilor să compună ei variante. Prin aceasta stimulămimaginaţia lor şi, totodată, ei ajung să pătrundă mai bine legătura dintre enunţul uneiprobleme şi ecuaţia corespunzătoare. Dacă punerea problemelor în ecuaţie poate ficomparată cu o traducere dintr-o limbă în alta, compunerea unei probleme care săcorespundă unei ecuaţii date corespunde cu o retroversiune şi este ştiut cât de utile suntretroversiunile în învăţarea unei limbi străine.

Procedeul recomandat aici are două avantaje. Primul: elevii învaţă mai uşor sădesprindă dintr-o situaţie concretă relaţiile matematice – când aceeaşi relaţie apare îndiferite situaţii concrete, ei o recunosc mai uşor. Al doilea: procedeul pune în evidenţăcaracterul general al relaţiilor matematice. Prin aceeaşi ecuaţie sau prin acelaşi sistem deecuaţii se rezolvă probleme care, la prima vedere, nu au nimic comun.

Se poate da variantelor o altă direcţie, compunând probleme care duc la ecuaţiiasemănătoare, nu chiar de aceeaşi formă. De exemplu, în cazul problemei 1) de mai sus,datele se pot schimba astfel: a) în loc de: viteza motociclistului este de 4 ori mai mare

22



decât viteza biciclistului, se poate da că viteza motociclistului este cu 36 km/oră maimare decât a biciclistului (ecuaţia a doua devine (x + 36)(y — 3) = 48; b) în locul datelor cuprivire la momentul plecării şi momentul sosirii motociclistului, din care rezultă că timpul în care motociclistul parcurge drumul este y – 3, se poate da că timpul în caremotociclistul parcurge drumul este 1/4 din timpul necesar biciclistului - diferenţavitezelor fiind de 36 km.

Mai multe posibilităţi oferă problema a doua, de exemplu:a) A are 60 de lei, iar B are 154 de lei. Fiecare din ei cheltuieşte câte 1 leu pe zi.

După câte zile va avea B de 3 ori mai mult decâ A? [15 zile]b) A are 27 de lei, iar B are 78 de lei. A capătă în fiecare zi câte 1 leu, iar B

cheltuieşte în fiecare zi câte 1 leu. După câte zile va avea B de două ori mai mult decât A?[8 zile]

Problema devine ceva mai grea dacă întrebarea se formulează astfel: cât trebuie sădea B lui A ca B să aibă de 2 ori mai mult decât A?

Elevii au tendinţa să scrie: micşorează numărătorul, dar omit să mărească numitorul

sau fac greşeala inversă.c) A are 33 de lei şi B are 49 de lei. Ei primesc în fiecare zi câte 3 lei. Peste câte

zile va fi raportul dintre banii lor egal cu 3/4? [5 zile]d) A are 50 de lei, iar B 221 de lei. A capătă în fiecare zi câte 4 lei, iar B

cheltuieşte în fiecare zi câte 6 lei. Peste câte zile va fi raportul dintre banii lor egal cu2/5? [6 zile]

e) Doi drumeţi A şi B merg pe aceeaşi şosea care trece printr-o localitate O . La unmoment dat, distanţele de la localitatea O sunt: OA = 50 km, OB = 221 km. Drumeţul A sedepărtează de localitatea O cu 4 km/oră, iar B se apropie de O cu 6 km/oră. După câte

ore va fi raportul dintre aceste distanţe egal cu ?5

2

8. Lecţii speciale de punere a problemelor în ecuaţie. Se ştie că la problemele ce serezolvă cu ajutorul ecuaţiilor, partea cea mai importantă este formarea ecuaţiei sau asistemului. De aceea este util ca unele lecţii să fie consacrate numai acestor lucrări.Problema se consideră rezolvată în momentul în care a fost pusă în ecuaţie, în felul acestase concentrează efortul asupra greutăţii principale şi densitatea lecţiilor creşte pentru căse elimină munca, mai puţin interesantă în acest moment, de rezolvare a ecuaţiei sau a

sistemului. Totodată se ridică nivelul lecţiilor. Se pot face diferite comentarii, aceeaşiproblemă se poate pune în ecuaţie în mai multe feluri, se pot rezolva mai multe problemeasemănătoare ş.a.m.d. În special, exerciţii ca cele indicate la punctul precedent nici nu sepot face cu spor dacă se duc calculele până la capăt. Bineînţeles, acest procedeu nu poatefi folosit permanent, ci numai când elevii sunt mai avansaţi şi în mod sporadic.

23



ALTE RECOMANDĂRI

1. Comparaţia dintre soluţia aritmetică şi cea algebrică 2. Probleme încare trebuie făcute unele operaţii suplimentare 3. Probleme cu date în

litere 4. Probleme în aparenţă nedeterminate 5. Observaţii finale

În paragraful precedent am indicat o serie de mijloace prin care îi putem învăţa pe

elevi să pună probleme în ecuaţie. În cele ce urmează dăm unele recomandări speciale, princare se urmăreşte o adâncire a cunoştinţelor elevilor, dincolo de limitele obişnuite.

1. Comparaţia dintre soluţia aritmetică şi cea algebrică. Nu este cazul să se rezolve înmod sistematic problemele de algebră şi pe cale aritmetică. Aceasta ar constitui o imensărisipă de timp şi de energie. Mai mult, într-un anumit sens acest lucru este chiar con-traindicat. Scopul acestor probleme este să-i învăţăm pe elevi să mânuiască instrumentulalgebric. Rezolvând în paralel problemele sau un mare număr dintre ele pe cale aritmeticăriscăm să avem soarta vânătorului care aleargă după doi iepuri. Considerăm că uneori este,

totuşi, util să se compare metoda algebrică cu cea aritmetică, atunci când elevii cunosc şipe aceasta din urmă, şi să se dea interpretări concrete ale metodelor de rezolvare asistemelor liniare.

1) În primul rând vin în consideraţie problemele care se rezolvă printr-o ecuaţie de forma

N ncbaundenc

x

b

x

a

x∈=++ ,,,,, . Asemenea probleme se rezolvă în număr mare la

aritmetică şi calculele care se fac sunt foarte asemănătoare cu cele care se fac pentru arezolva ecuaţia. Să luăm, de exemplu, problema: Cineva a avut o sumă de bani. El a cheltuit pe rând 1/3, 1/6 şi 2/9 din ea şi i-au rămas 85 de lei. Câţi bani a avut?

La aritmetică, această problemă se rezolvă prin operaţiile următoare:

,30618

5:85;

18

5

18

131;

18

13

9

2

6

1

3

1==−=++ iar ecuaţia problemei este: 85

9

2

63=

++−x x x

x

sau .859

2

63 x

x x x=+++

24



Pentru a pune în evidenţă analogia cu soluţia aritmetică, este mai bine să seefectueze unele calcule înainte de a scrie ecuaţia, astfel:

.306;8518

5;

18

5

18

13;

18

13

9

2

63===−=++ x

x x x x

x x x x

Calculele sunt aceleaşi ca la soluţia aritmetică (în clasă, lucrările se pot aşeza

frumos pe două coloane). Faptul că ecuaţia 85

18

5=

xse rezolvă de obicei prin doi paşi

( )306,18855 =⋅= x x , iar la aritmetică se face o singură operaţie

18

5:85 nu are

importanţă; se poate scrie18

5:85;85

18

5== x x sau în prima soluţie, ultima lucrare se poate

descompune în două: se află întâi18

1din sumă, apoi toată suma, ceea ce revine la

simplificarea ecuaţiei cu 5. Rămâne numai operaţia a doua. Descăzutul este x în loc de 1. Înprivinţa aceasta, se poate observa că la soluţia aritmetică acest punct este cel mai greu.Elevii scriu cu uşurinţă diferitele fracţii, înţelegând că fiecare fracţie este o fracţie din

ceva, care nu se menţionează niciodată la calculele cu fracţii, dar se împacă greu cu ideeade a scrie 1 pentru suma întreagă, căci această sumă nu este de 1 leu. În soluţia algebrică,această dificultate nu apare, se scade din toată suma partea cheltuită.

2) Se poate da metodei comparaţiei o interpretare concretă. Considerăm, de exemplu,problema: 16 caiete şi 15 creioane costă împreună 58 de lei, 12 caiete şi 7 creioane costă împreună 38,40 de lei. Cât costă un caiet? Cât costă un creion?

Problema se rezolvă cu ajutorul sistemului:

=+

=+

4,3 871 2

5 81 51 6

y x

y x

Pentru a rezolva sistemul, se înmulţeşte prima ecuaţie cu 3 şi a doua cu 4, apoi sescade ecuaţia a doua din prima. În loc să spunem că înmulţim prima ecuaţie cu 3, putemspune că aflăm cât am plăti dacă am cumpăra de 3 ori mai multe caiete şi de 3 ori maimulte creioane; în mod analog se interpretează înmulţirea ecuaţiei a doua cu 4.

Punem faţă în faţă lucrările prin care se rezolvă sistemul şi soluţia aritmetică:

lei1,20costacreion.....1........................................1,20......

lei20,40costacreioane..17........................................20,40.....17

lei153,60costacreioane28sicaiete....48....................153,60....2848

lei174costacreioane45sicaiete......48....................174.......4548lei38,40costacreioane7sicaiete......12....................38,40.....7 12

lei58costacreioane15sicaiete16...................................581516

==

=+

=+=+

=+

y

y

y x

y x y x

y x

În partea dreaptă, rândul al 5-lea se obţine comparând cele două rânduriprecedente. De fiecare dată s-a cumpărat acelaşi număr de creioane, 48; diferenţa de

25



preţ se datorează faptului că s-a cumpărat a doua oară cu 45 – 28 = 17 creioane mai puţinşi de aceea s-a plătit cu 174 – 153,60 = 20,40 lei mai puţin. Deci, 17 creioane costă 20,40lei. De aici se obţine costul unui creion.

În aritmetică, procedeul folosit în coloana din dreapta se numeşte uneori „metodaegalării termenilor”. Fie că elevii îl cunosc de la aritmetică, fie că nu-l cunosc, el poate fifolosit pentru a da o frumoasă interpretare intuitivă metodei eliminării prin reducere.

3) În mod asemănător se poate interpreta metoda eliminării prin substituţie. Fie, deexemplu, problema: La o cantină iau masa 80 de copii şi 24 de adulţi. Raţia de lapte a unui copil este cu 100 ml mai mare decât dublul raţiei unui adult. Într-o zi se consumă 54 l de lapte. Care este raţia de lapte a unui copil? A unui adult?

Sistemul corespunzător este:

+=

=+

1,02

52 48 0

y x

y x, el se rezolvă prin metoda substituţiei:

( ) .25,0;46184;548184;54248160;54241,0280 ===+=++=++ y y y y y y y

Aritmetic, problema se rezolvă astfel: se presupune că tot laptele este împărţit înporţii, 80 de porţii de copii şi 24 porţii de adulţi, şi se cere să se transforme totul înporţii de adult. Din datele problemei rezultă că din fiecare porţie mare se fac două porţiimici şi rămân 100 ml, care se strâng într-un vas. Se obţine astfel 80 – 2 = 160 de porţiimici şi în vas se strâng 0,1 – 80 = 8 l de lapte. Mai sunt 24 de porţii mici şi în total sunt 54l de lapte, deci 160 + 24 = 184 de porţii mici şi 8 l reprezintă în total 54 l; prin urmare,cele 184 de porţii reprezintă 54 – 8 = 46 l; o singură porţie mică are 0,250 l. Substituiriilui x din prima ecuaţie prin 2y + 0,1 îi corespunde operaţia concretă de a înlocui porţiile de

copil prin porţii de adult. Calculele care se fac când se dă soluţia aritmetică corespund întocmai celor care se fac pentru a rezolva sistemul, aşa cum ele au fost prezentatedesfăşurat.

2. Probleme în care trebuie făcute unele operaţii suplimentare. Elevii, când se găsesc în faţa unei probleme la algebră, trec imediat la punerea ei în ecuaţie. Aşa îi obişnuim noi.Pentru dezvoltarea intelectuală a elevilor este util să dăm şi unele probleme care să nu fiegata aranjate pentru a fi puse în ecuaţie. Bineînţeles, aceasta se poate face abia cândelevii sunt mai avansaţi în rezolvarea problemelor.

În manuale şi în culegeri, asemenea probleme sunt foarte rare – dacă nuinexistente, profesorul trebuie să şi le compună singur, complicând probleme cunoscute.Dăm câteva exemple:

1) Pornim de la o problemă care duce la o ecuaţie de forma date,numere,, bak xb

xa=

−−

de

exemplu:

26



A are un salariu de 1380 de lei, B are un salariu de 1650 de lei. Fiecare din ei cheltuieşte aceeaşi sumă de bani şi la sfârşitul lunii îi rămâne lui B de 2 ori mai mult decât lui A. Cât cheltuieşte fiecare din ei într-o lună?

Complicăm enunţul, înlocuind prima frază prin următoarea: A a avut un salariu de1200 de lei şi B de 1500 de lei; salariul lui A s-a mărit cu 15%, iar salariul lui B cu 10%.

Înainte de toate trebuie să aflăm ce salariu are fiecare din ei acum; abia pe urmă

se poate trece la punerea problemei în ecuaţie. Se obţine ecuaţia ,2

1

1650

1380=

−− x

xcare dă x

= 1110.2) O secţie a unei uzine trebuie să livreze la un termen anumit o anumită cantitate de piese. Dacă se fac câte 80 de piese pe zi, se produc până la termenul stabilit cu 36 de piese mai puţin decât trebuie. Dacă, însă, producţia zilnică se măreşte cu 12 piese,lucrarea se termină cu 3 zile înainte de termen şi se fac chiar cu 12 piese mai mult. De câte piese a fost comanda şi în cât timp trebuiau fabricate piesele comandate?

Problema se poate rezolva cu ajutorul sistemului:

( )

==⇔

+=−−=

.2

2

1 239 2

3 68 0

y

x

y x

y x

Se poate introduce, de exemplu, următoarea complicaţie. În loc să se dea căproducţia zilnică se măreşte cu 12 piese, se dă că ea se măreşte cu 15%; iar în loc de: sefac chiar cu 12 piese mai mult, se dă că se fac cu 48 de piese mai mult decât s-ar fi făcutdacă se produceau numai câte 80 de piese pe zi; sau: se fac mai multe piese decât se cere în comandă, şi anume 1/3 din numărul pieselor care ar lipsi dacă s-ar produce numai câte80 de piese pe zi.3) La o cooperativă agricolă de producţie se cultivă grâu pe 2 loturi de pământ. Recolta de pe primul lot a fost evaluată la 1600 kg/ha, cea de pe lotul al doilea la 2000 kg/ha şi s- a calculat că în felul acesta recolta totală va fi de 32 de vagoane. În realitate, recolta de pe primul lot a fost cu 10% mai mare, iar recolta de pe lotul al doilea a fost cu 5% mai mică şi a conţinut 6% corpuri străine. Producţia totală a fost cu 112 kg mai mică decât s-a prevăzut. Câte hectare are fiecare din aceste loturi?

Problema se rezolvă cu ajutorul sistemului:

=

=⇔

=+

=+

.7

1

3 1 8 81 7 8 61 7 6 0

3 2 0 02 0 0 01 6 0 0

y

x

y x

y x

27



se reduce. Aceste probleme sunt interesante, pentru că ies din cadrul problemelorobişnuite şi îi obligă pe elevi să reflecteze. Dăm câteva exemple:1) Un dreptunghi are însuşirea următoare: dacă mărim una dintre laturile sale cu 25 cm,iar cealaltă cu 15 cm, perimetrul lui devine de 180 cm. Se cere perimetrul dreptunghiului.

( ) ( )[ ]cmdeeste perimetrul y x y x 100;10022;180152252 =+=+++

Variante: ambele laturi se micşorează; o latură se măreşte şi cealaltă se micşorează.2) Dacă mărim o latură a unui dreptunghi de 3 ori, iar cealaltă de 4 ori, aria sa devine de 132 cm 2 . Se cere aria dreptunghiului.

( )211;11;13243 cmdeestearia xy y x ==⋅

Variante analoge cu cele de la problema precedentă.3) Aria unui trapez este de 70 cm 2 , iar înălţimea sa este de 7 cm. Se cere linia mijlocie a trapezului.4) O barcă merge pe un râu. Dacă viteza cu care curge apa ar fi cu 0,5 km/oră mai mare,iar viteza proprie a bărcii ar fi cu 6 km/oră mai mare, barca ar merge la vale cu o viteză de 18,5 km/oră. Cu ce viteză merge barca la vale?

( ) ( )[ ]orakmcuvalelemergebarca y x y x /12;12;5,1865,0 =+=+++Problema analogă când barca merge la deal ( ) ( )[ ] ./13;12;5,185,06 orakm x y x y =−=+−+ 5) Doi biciclişti A şi B trec peste un pod MN mergând cu viteze egale . Biciclistul A merge de la M spre N, iar B de la N spre M şi ei se întâlnesc într-un punct P, unde MP este 85 - din lungimea podului. O maşină trece peste acelaşi pod de la M spre N. Ea intră pe pod în acelaşi timp cu biciclistul A şi se întâlneşte cu biciclistul B în momentul când acesta intră pe pod. Viteza maşinii este de 60 km/oră. Se cere viteza bicicliştilor .

Fie a lungimea podului socotită în kilometri, t momentul întâlnirii (timpul fiindsocotit în ore, de la momentul în care biciclistul A intră pe pod), iar x viteza bicicliştilor în

km/oră. Timpul necesar maşinii pentru a parcurge podul este 60a

, deci biciclistul B intrăpe pod cu 60a ore mai târziu decât A. Până în momentul întâlnirii, biciclistul A mergetimp de t ore, iar B timp de ( )60at − ore şi ei parcurg, respectiv MP = tx km şi NP = ( )60at − x km. Se obţine o primă ecuaţie, scriind că suma acestor drumuri este de a km:

.60

a xa

t tx =

−+ A doua ecuaţie se obţine scriind că MP este 85 din lungimea

podului: .8

5atx = Avem astfel un sistem de două ecuaţii cu trei necunoscute: t, x şi a .

Totuşi, problema se poate rezolva.Se înlocuieşte în prima ecuaţie tx prin 85 a , se împarte ecuaţia prin a ( )0≠a şi se

obţine x = 15. Bicicliştii merg cu o viteză de 15 km/oră. Este remarcabil că a şi t rămânnedeterminaţi (legaţi prin relaţia a = 24 t), ceea ce înseamnă că viteza bicicliştilor esteaceeaşi oricare ar fi lungimea podului.

Soluţia aritmetică: studiem mişcarea bicicliştilor din momentul în care biciclistul Aintră pe pod. În acest moment, biciclistul B se află într-un punct N’ . Deoarece ei merg cuaceeaşi viteză, ei trebuie să se întâlnească la mijlocul drumului, deci MP=PN’ . Cum MP esteegal cu 5 diviziuni (o diviziune este a 8-a parte din pod), PN este de asemenea de 5

29



diviziuni, deci NN’ este de două diviziuni. Pe de altă parte, se dă că maşina şi bibiclistul B se întâlnesc în N, iar când maşina se află în M , B se află în N’ (A se află în M ). Rezultă că în timpul în care maşina parcurge tot podul, care este de 8 diviziuni, B parcurge drumulN’N, care este de numai două diviziuni, deci de 4 ori mai mic. Rezultă că viteza biciclistuluieste a patra parte din viteza maşinii.6) Un înotător înoată pe Neva împotriva curentului. În dreptul podului Republica pierde o ploscă goală. După ce mai înoată 20 min îşi dă seama de pierdere; se întoarce şi ajunge plosca în dreptul podului Schmidt. Să se afle cu ce viteză curge apa, dacă distanţa dintre cele două poduri este de 2 km.

Fie S podul Schmidt, R podul Republica, T punctul în care se găseşte înotătorul înmomentul când îşi dă seama că a pierdut plosca, t timpul (în ore) cât merge înotătorul însensul apei după ce a pierdut plosca (în care face drumul RT ), SR - d km, v şi x , respectivviteza înotătorului şi a apei (în km/oră). Înotătorul merge în sensul apei cu viteza v – x, iar în jos cu viteza v + x ; plosca merge cu viteza x .

Avem: RT = (v — x)t , ST = (v — x)t + d . Scriem că timpul în care înotătorul face

drumul de la R la T şi de aici înapoi la S (cu viteza v + x ) este egal cu timpul în care ploscaface drumul RS (cu viteza x ) şi obţinem ecuaţia:

( ).

x

d

xv

d t xvt =

+

+−+

În problemă se dau numai d = 2 km şi t = 31 ore, deci ecuaţia conţine douănecunoscute: v şi x . Totuşi, problema se poate rezolva, căci, făcând calculele, v se reduce

şi se obţinet

d x

2= . Cu datele din problemă: x = 3 km/oră.

Soluţie aritmetică: Presupunem că totul s-ar petrece într-o apă stătătoare. Atuncilucrurile ar fi foarte simple. Înotătorul ar merge un timp t până într-un punct T şi de aici

s-ar întoarce până în punctul R , unde ar găsi plosca, care stă pe loc. Deci, el ar găsi ploscadupă 2t ore (t ore pentru a merge din R până în T şi tot atât pentru a merge înapoi). Acestrezultat rămâne valabil şi într-o apă curgătoare, căci distanţa dintre înotător şi ploscărămâne neinfluenţată de faptul că apa curge la vale. Într-adevăr, fie v viteza înotătorului,iar x viteza apei (a ploştii). Într-o apă stătătoare, înotătorul, când merge în sus, s-ardepărta de ploscă într-o unitate de timp cu o distanţă v ; datorită faptului că apa curge lavale, înotătorul parcurge numai drumul v – x, în schimb plosca parcurge la vale un drum delungime x , deci distanţa dintre ei creşte tot cu v. Când merge la vale, înotătorul parcurge într-o unitate de timp un drum v + x , dar plosca parcurge un drum de lungime x , decidistanţa dintre înotător şi ploscă scade cu v – ca într-o apă stătătoare (acest lucru devinemai clar dacă ne închipuim o plută foarte lungă, de la R la T , şi că înotătorul, în loc să înoate, ar merge pe plută de la R la T şi înapoi, unde ar găsi plosca; faptul că pluta esteantrenată de apă la vale nu are nici o influenţă).

Rezultă că şi într-o apă curgătoare înotătorul prinde plosca după 2t ore, timp încare plosca parcurge drumul d . Dacă viteza ploştii este d :2t . Aceasta este şi viteza apei.

Acum devine clar de ce rezultatul este independent de viteza înotătorului, căci s-adat timpul cât merge înotătorul în susul apei, din R până în T, nu distanţa RT . Dacă viteza

30



proprie a înotătorului devine mai mare sau mai mică, distanţa RT creşte sau scade, dartimpul necesar înotătorului pentru a face drumul de la R la T şi înapoi rămâne acelaşi, 2t .Viteza v intervine numai când, pentru a pune problema în ecuaţie, calculăm lungimeasegmentului RT .

5. Observaţii finale.a) La acest capitol, mai mult de cât la altele, se aplică proverbul: „Nu multe, ci mult”. Lapartea care se referă la calculul algebric sunt în adevăr necesare multe exerciţii, ca eleviisă ajungă să calculeze rapid şi sigur. Aici, însă, situaţia este alta. Contează mai puţincantitatea problemelor rezolvate, important este ca elevii să înţeleagă bine problemelecare se rezolvă.b) Pe cât posibil, să nu se considere o problemă terminată în momentul în care s-a aflatvaloarea necunoscutei, chiar dacă se face proba - în enunţ, nu în ecuaţie. Este util să sefacă, de la caz la caz, observaţii, să se discute alte posibilităţi de a pune problema înecuaţie ş.a.m.d. Acest lucru devine mai clar dacă ne închipuim o plută foarte lungă, de la R

la T, şi că înotătorul, în loc să înoate, ar merge pe plută de la R la T şi înapoi, unde ar găsiplosca. Faptul că pluta este antrenată de apă la vale nu are nici o influenţă.c) Faptul că nu există o metodă de a pune problema în ecuaţie nu înseamnă că, în clasă,putem rezolva probleme luate la întîm-plare. Tocmai aici, unde ordinea de predare nu estebine determinată de conţinut, ca la alte capitole, organizarea predării joacă un rol maimare. Problemele trebuie grupate pe criterii; greutatea de a le pune în ecuaţie, formaecuaţiei, conţinutul ş.a.d) Să nu pierdem din vedere ce este esenţial la acest capitol: punerea în ecuaţie. Asupraacestei laturi să ne îndreptăm atenţia, atât la problemele pe care le rezolvăm în clasă, cât

şi la cele pe care le dăm ca teme pentru acasă. În special la acestea din urmă, laverificare, să discutăm cu toată clasa cum au fost puse problemele în ecuaţie.e ) Problemele ce se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor nu sînt un scop în sine, ele sunt exerciţiide a aplica algebra la descrierea unor situaţii şi relaţii din realitate. Aceluiaşi scop îiservesc şi alte exerciţii şi probleme, care nu duc la ecuaţii ci la ua simplu calcul algebric.Asemenea exerciţii trebuie făcute tot anul, în cadrul calculului algebric.

rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuaţiilor

Documents