ribos
TRANSCRIPT
MATEMATIKA 1 PASKAITOS
Natalja KosarevaVilniaus Gedimino technikos universitetas
elektroninis paštas: [email protected]
Ribos.Funkcijos ribos sąvoka.
Tarkime, kad duota funkcija y =3x2 − 3x− 1
. Ši funkcija apibrėžta visur, išsky-rus tašką x = 1, t. y. D = (−∞; 1) ∪ (1; +∞). Jei imtume funkcijos reikšmestaškuose, artimuose x = 1, gautume funkcijos y reikšmes, artimas 6. Tokiu at-
veju sakome, kad skaičius 6 yra funkcijos y =3x2 − 3x− 1
riba, kai x→ 1 (x artėja
prie 1). Žymėsime:
limx→1
3x2 − 3x− 1
= 6.
Apibrėžimas. Skaičių b vadiname funkcijos f(x) riba taške a (kai x→ a), jeikiekvieną kiek norima mažą teigiamą skaičių ε atitinka toks teigiamas skaičiusδ, kad visiems x, tenkinantiems sąlygą
|x− a| < δ, x 6= a
teisinga nelygybė|f(x)− b| < ε.
Žymėsime limx→a
f(x) = b arba f(x)→ b, kai x→ a.
|x− a| < δ ⇔ −δ 6 x− a 6 δ ⇔ a− δ 6 x 6 a+ δ, x 6= a,
t. y. x priklauso taško a δ-aplinkai Vδ(a)\a.
|f(x)− b| < ε⇔ −ε 6 f(x)− b 6 ε⇔ b− ε 6 f(x) 6 b+ ε,
t. y. f(x) priklauso taško b ε-aplinkai Vε(b).Vadinasi, kiekvienam kiek norima mažam ε > 0 galima rasti tokį δ > 0, kad
visiems x ∈ Vδ(a)\a teisinga f(x) ∈ Vε(b). Kuo mažesnis bus pasirinktas ε > 0,tuo mažesnis bus ir atitinkamas δ > 0, t. y. δ = δ(ε).
Pavyzdys. y =3x2 − 3x− 1
. Įrodysime, kad limx→1
3x2 − 3x− 1
= 6.
|f(x) − b| =∣∣∣∣3x2 − 3x− 1
− 6∣∣∣∣ =
∣∣∣∣3(x2 − 1)x− 1
− 6∣∣∣∣ = |3(x + 1) − 6| = |3x − 3| =
3|x − 1| < ε, kai |x − 1| < ε
3. Todėl, pasirinkę δ =
ε
3, gausime, kad ∀ε > 0
galima rasti δ =ε
3tokį, kad ∀x : |x− 1| < δ =
ε
3teisinga lygybė |f(x)− 6| < ε.
1
T. y. 6 yra funkcijos f(x) riba, kai x→ 1.
Pavyzdys. f(x) = 3 +1x
. limx→∞
f(x) = limx→∞
(3 +1x
) = 3, nes didėjant x, 1x
mažėja ir vis labiau artėja prie 0. Analogiškai limx→−∞
f(x) = 3.
Teorema. Monotoniškai didėjančioji (mažėjančioji) ir aprėžta iš viršaus (apa-čios) taško a aplinkoje funkcija turi baigtinę ribą, kai x→ a.
Teorema. (tarpinės funkcijos ribos teorema). Jei funkcijų u, z, v reikšmėstenkina sąlygą u 6 z 6 v ir b = lim
x→au(x) = lim
x→av(x), tai ir lim
x→az(x) = b.
Vienpusės funkcijos ribos.
Jei, ieškant funkcijos ribos, kai x → a, imsime ne visą taško x = a aplinką(a− δ; a+ δ), o apsiribosime tik x reikšmėmis iš dešinės taško a pusės, tai tokiariba vadinama funkcijos riba iš dešinės ir žymima lim
x→a+0f(x) = f(a+ 0) = b2.
Jei, nagrinėdami x → a, imsime ne visą taško x = a aplinką, o tik x reikš-mes, esančias iš kairės nuo taško a, tai tokia riba vadinama funkcijos riba iškairės ir žymima lim
x→a−0f(x) = f(a− 0) = b1.
Ribos iš kairės ir dešinės vadinamos vienpusėmis ribomis. Kai b1 = b2, sako-ma, kad funkcija taške x = a turi ribą. Kai b1 6= b2, sakoma, kad funkcija taškex = a ribos neturi.
Pavyzdys. f(x) = sgnx =
1, x > 00, x = 0−1, x < 0
.
f(0− 0) = limx→0−0
f(x) = −1,f(0 + 0) = lim
x→0+0f(x) = 1,
b1 = −1, b2 = 1, b1 6= b2. Funkcija taške x = 0 ribos neturi.
Pavyzdys. f(x) =3x2 − 3x− 1
.f(1− 0) = lim
x→1−0f(x) = 6,
f(1 + 0) = limx→1+0
f(x) = 6.b1 = b2 = 6. Funkcija taške x = 1 turi ribą 6.
Funkcija gali turėti ne tik baigtinę, bet ir begalinę ribą.
Pavyzdys. f(x) =1x2
. Ši funkcija apibrėžta, kai x 6= 0.D = (−∞; 0) ∪ (0; +∞). Kai x → 0, f(x) reikšmės bus kiek norima didelėslimx→0
1x2
= +∞. Sakome, kad funkcijos f(x) riba, kai x→ 0 yra begalinė.
2
Apibrėžimas. Funkcijos f(x) riba, kai x → a yra begalybė, jei egzistuo-ja tokia taško x = a aplinka Vδ(a)\a, kurios visuose taškuose teisinga ne-lygybė |f(x)| > M , koks didelis teigiamasis skaičius M bebūtų. Žymėsimelimx→a
f(x) =∞ arba f(x)→∞, kai x→ a.Taip pat galime nagrinėti begalinę ribą ir tuo atveju, kai x→∞ : lim
x→∞f(x) =
∞. Pavyzdžiui, limx→∞
x2 =∞.
Apibrėžimas. Funkcijos, kurių ribos (tam tikrame taške, arba begalybėje)lygios begalybei, vadinamos neaprėžtai didėjančiomis.
Apibrėžimas. Funkcija vadinama aprėžta tam tikrame intervale, jei egzistuo-ja toks skaičius M , kad visoms x reikšmėms iš duoto intervalo teisinga nelygybė|f(x)| 6 M .
Pavyzdys. f(x) = sinx. Ši funkcija aprėžta ∀x ∈ (−∞; +∞), nes |f(x)| =| sinx| 6 1, t. y. M = 1.
Apibrėžimas. Funkcija f vadinama aprėžta, kai x → a, jei egzistuoja taškox aplinka, kurioje ta funkcija yra aprėžta.
Pavyzdys. f(x) =1
1 + x2. Ši funkcija aprėžta ∀x ∈ (−∞; +∞), nes
0 <1
1 + x26 1.
1 pav: f(x) =1
1 + x2.
3
Pavyzdys. f(x) = 21/x yra aprėžta iš viršaus skaičiumi 1, kai x → −∞ iraprėžta iš apačios skaičiumi 0 visoje apibrėžimo srityje D = (−∞; 0)∪ (0; +∞).Kai x→ 0 iš dešinės, funkcija f(x) = 21/x yra neaprėžtai didėjančioji
limx→0+0
f(x) = +∞.Kai x→ 0 iš kairės, lim
x→0−0f(x) = 0.
2 pav: f(x) = 21/x.
Apibrėžimas. Funkcija α(x) vadinama nykstamąją, kai x→ a (x→∞), jeijos riba lygi nuliui taške x = a (x =∞). Funkcija α(x) nyksta, kai x→ a, jei∀ε > 0 egzistuoja δ > 0 toks, kad visuose taško x = a aplinkos taškuose Vδ(a)\ateisinga nelygybė |α(x)| < ε.
Pavyzdys. f(x) =1x
nyksta, kai x→ ±∞.
Pavyzdys. f(x) = x2 nyksta, kai x→ 0.
Teorema. Funkcija f(x) taške x = a turi baigtinę ribą b tada ir tik tada, kaiji išreiškiama suma b + α(x), kurioje α(x) yra nykstamoji funkcija, kai x → a.T. y. funkcija nuo savo ribos skiriasi nykstamąja funkcija.
Nykstamųjų funkcijų savybės.
1. Baigtinio skaičiaus nykstamųjų funkcijų suma yra nykstamoji funkcija.
2. Aprėžtos ir nykstamosios funkcijų sandauga yra nykstamoji funkcija.
3. Dviejų nykstamųjų funkcijų sandauga yra nykstamoji funkcija.
4. Konstantos ir nykstamosios funkcijos sandauga yra nykstamoji funkcija.
4
5. Jei α(x) yra nykstamoji, kai x→ a ir limx→a
f(x) = b 6= 0, tai funkcija α(x)f(x)
nyksta, kai x→ a.
6. Jei f(x) neaprėžtai didėja, kai x → a, tai funkcija α(x) =1
f(x)nyksta,
kai x→ a, t. y. jei limx→a
f(x) =∞, tai limx→a
1f(x)
= 0.
Ribų dėsniai.
Teorema. Jei dvi funkcijos f(x) ir g(x) turi baigtines ribaslimx→a
f(x) = A, limx→a
g(x) = B, tai
1. limx→a
(f(x) + g(x)) = A+B,
2. limx→a
cf(x) = cA, čia c = const,
3. limx→a
(f(x) · g(x)) = A ·B,
4. limx→a
f(x)g(x)
=A
B, B 6= 0.
Skaičiuojant ribas gali atsirasti neapibrėžtumai. Nagrinėsime 4 tipų neapi-brėžtumus: 0
0,∞∞, 0 · ∞,∞−∞.
Pavyzdys. f(x) =1x2, g(x) =
1x
.
limx→∞
f(x) = 0, limx→∞
g(x) = 0, limx→∞
f(x)g(x)
=00. Turime neapibrėžtumą 0
0.
limx→∞
1x2· x
1= limx→∞
1x
= 0.
Pavyzdys. f(x) =1x2, g(x) =
1x
, limx→∞
g(x)f(x)
=00.
limx→∞
g(x)f(x)
= limx→∞
1x· x
2
1= limx→∞
x =∞.
Pavyzdys. f(x) =3x, g(x) =
2x
, limx→∞
g(x)f(x)
=00.
limx→∞
f(x)g(x)
=3x· x
2=
32.
Pavyzdys. f(x) = sinx, g(x) = x,
limx→0
f(x) = 0, limx→0
g(x) = 0, limx→0
f(x)g(x)
=00. Turime neapibrėžtumą 0
0.
limx→0
sinxx
= 1.
Ši riba vadinama 1-ąja specialiąja riba.
5
Matome, kad kai turime neapibrėžtumą, iš anksto negalime pasakyti, kamlygi santykio riba.Žemiau pateikiami pavyzdžiai, kuriuose neapibrėžtumų pavyksta išvengti, pa-dalinus skaitiklį ir vardiklį iš x, pakelto aukštesnio daugianario laipsniu iš dvejųdaugianarių, esančių skaitiklyje ir vardiklyje.
Pavyzdys. limx→∞
3x2 + 5x− 22x2 − 7x+ 3
=∞∞
= limx→∞
3 +5x− 2x2
2− 7x
+3x2
=32.
Pavyzdys. limx→∞
x3 − x2 − x+ 1x5 + x2 − x− 1
=∞∞
= limx→∞
1x2− 1x3− 1x4
+1x5
1 +1x3− 1x4− 1x5
=01
= 0.
Pavyzdys. limx→∞
x3 + 2x+ 1x2 + 3
=∞∞
= limx→∞
1 +2x2
+1x3
1x
+3x2
=10
=∞.
Žemiau pateikiami pavyzdžiai, kuriuose neapibrėžtumų pavyksta išvengti,padauginus skaitiklį ir vardiklį iš tokio dėmens, kad susidarytų pilnasis kvadra-tas.Pavyzdys. lim
x→6
√x+ 3− 3x− 6
=00
= limx→6
(√x+ 3− 3)(
√x− 3 + 3)
(x− 6)(√x+ 3 + 3)
= limx→6
x+ 3− 9(x− 6)(
√x+ 3 + 3)
=
limx→6
1√x+ 3 + 3
=16.
Pavyzdys. limx→0
x√1 + 5x− 1
=00
= limx→0
x(√
1 + 5x+ 1)(√
1 + 5x− 1)(√
1 + 5x+ 1)= limx→0
x(√
1 + 5x+ 1)1 + 5x− 1
=
limx→0
√1 + 5x+ 1
5=
25.
Kituose uždaviniuose pasinaudosime 1-ąja specialiąja riba ir ekvivalenčiomisnykstamomis funkcijomis.
Apibrėžimas. Dvi nykstamosios, kai x→ a funkcijos α(x) ir β(x) vadinamosekvivalenčiomis, jei
limx→a
α(x)β(x)
= 1.
Rašysime α(x) ∼ β(x).
Pavyzdys. Žinoma, kad limx→0
sinxx
= 1 (1-oji specialioji riba), todėl sinx ∼ x,kai x→ 0.
Pavyzdys. limx→0
1− cosx12x2
= limx→0
2 sin2 x
212x2
= limx→0
(sin
x
2
)2
(x2
)2 = limx→0
sinx
2x
2
· limx→0
sinx
2x
2
=
6
1 · 1 = 1, todėl 1− cosx ∼ 12x2, kai x→ 0.
Apibrėžimas. Dviejų funkcijų santykio ir sandaugos riba nepasikeis, pakeitusjas ekvivalenčiomis funkcijomis.
Ekvivalenčios funkcijos.
1. sinx ∼ x, x→ 0,
2. tanx ∼ x, x→ 0,
3. arctanx ∼ x, x→ 0,
4. arcsinx ∼ x, x→ 0,
5. 1− cosx ∼ 12x2, x→ 0,
6. ln(1 + x) ∼ x, x→ 0,
7. ex − 1 ∼ x, x→ 0.
Pavyzdys. limx→0
sin 5xsin 7x
= limx→0
5x7x
=57.
Pavyzdys. limx→0
sinxarcsinx
= limx→0
x
x= 1.
Pavyzdys. limx→0
1− cosxx
= limx→0
12x2
x= 0.
Pavyzdys. limx→−
π
3
sin(x+π
3)
3x+ π= limx→−
π
3
x+π
33(x+
π
3)
=13.
Pavyzdys. limx→0
3x − 1ln(1 + 5x)
= limx→0
ex ln 3 − 15x
= limx→0
x ln 35x
=ln 35
.
Pavyzdys. limx→∞
(5 − x) (ln (3x+ 4)− ln(3x+ 2)) = limx→∞
(5 − x) ln3x+ 43x+ 2
=
limx→∞
(5−x) ln3x+ 2 + 2
3x+ 2= limx→∞
(5−x) ln(
1 +2
3x+ 2
)= limx→∞
(5−x)· 23x+ 2
=
limx→∞
2(
5x− 1)
(3 +
2x
) = −23.
7
Skaičiuojant ribas limx→a
f(x)g(x) susiduriame su neapibrėžtumais 1∞. Tuomettaikoma 2-oji specialioji riba:
limx→±∞
(1 +
1x
)x= e.
Iš čia išplaukia, kadlimx→0
(1 + x)1/x = e.
Vadinasi, jei α(x) yra nykstamoji funkcija, kai x→ a, tailimx→a
(1 + α(x))1/α(x) = e.
Pavyzdys. limx→∞
(x2 + 1x2 − 1
)x= lim
x→∞
(x2 − 1 + 2x2 − 1
)x= lim
x→∞
(1 +
2x2 − 1
)x=
limx→∞
(1 +2
x2 − 1
)x2 − 12
2
x2 − 1·x
= limx→∞
e2x/(x2−1) = 1.
Pavyzdys. limx→0
(cosx)1/ sin2 x = limx→0
(1− x2
2
)1/ sin2 x
=
limx→0
[(1− x2
2
)−2/x2]−x2
2·
1sin2 x
= limx→0
e−x2/2 sin2 x =
limx→0
e−x2/2x2
= e−1/2 =1√e.
Čia pasinaudojome ekvivalenčiomis nykstamomis funkcijomis cosx−1 ∼ −12x2,
x→ 0.
Skaičiuoti ribas limx→a
f(x)g(x) patogu jas iš pradžių logaritmuojant.
Pavyzdys. limx→∞
(x− 1x
)5x
.
Pažymėkime A :=(x− 1x
)5x
, lnA = 5x ln(x− 1x
)limx→∞
lnA = limx→∞
(5x ln
(1− 1
x
))= limx→∞
(5x ·
(− 1x
))= −5.
limx→∞
lnA = −5⇒ limx→∞
A = e−5.
Pavyzdys. limx→0
x√
1 + 3x.
Pažymėkime A := x√
1 + 3x, lnA =1x
ln(1 + 3x)
limx→0
lnA = limx→0
1x
ln(1 + 3x) = limx→0
3xx
= 3.
8
limx→∞
lnA = 3⇒ limx→∞
A = e3.
Funkcijos tolydumas.
1 apibrėžimas. Funkcija y = f(x) vadinama tolydžiąja taške x0, jei ji yraapibrėžta šiame taške ir jo aplinkoje ir lim
x→x0f(x) = f(x0).
Funkcija yra tolydžioji, jei jos riba taške x0 lygi funkcijos reikšmei tame taške.Kitaip tariant, funkcija yra tolydžioji, jei ∀ε > 0 ∃δ > 0: visiems x: |x−x0| < δteisinga lygybė |f(x)− f(x0)| < ε.
Pažymėkime ∆x = x− x0,∆y = f(x)− f(x0).
2 apibrėžimas. Funkcija y = f(x) vadinama tolydžiąja taške x0, jeilim
∆x→0∆y = 0, t. y., jei nykstamus argumento pokyčius atitinka nykstami funk-
cijos pokyčiai.
Tolydžiosios intervale [a; b] funkcijos grafikas yra nenutrūkstanti kreivė.
Pavyzdys. Funkcija f(x) = x2 yra tolydžioji intervale [0; 10].
Pavyzdys. Funkcija f(x) ={−x2 − 2, x > 01− x, x < 0 .
nėra tolydžioji taške x0 = 0.
Apibrėžimas. Funkcija y = f(x) vadinama tolydžiąja taške x0 iš kairės,jei f(x0) = f(x0 − 0) = lim
x→x0−0f(x) ir tolydžiąja taške x0 iš dešinės, jei
f(x0) = f(x0 + 0) = limx→x0+0
f(x)
Funkcija y = f(x) yra tolydžioji taške x0, jei ji tame taške yra tolydžioji iškairės ir iš dešinės, t. y. f(x0) = f(x0− 0) = f(x0 + 0). Sakysime, kad f(x) yratolydžioji intervale [a; b], jei ji yra tolydžioji kiekviename to intervalo taške.
Tolydžiųjų funkcijų savybės.
1. Jei f(x) ir g(x) yra tolydžiosios taške x0, tai funkcijos f + g, f · g, fg
(g(x0) 6= 0) yra tolydžiosios taške x0.
2. Jei f(x) yra tolydžioji taške x0, o g(x) – atitinkame taške y0 = f(x0), taisudėtinė funkcija g(f(x)) yra tolydžioji taške x0.
Visos elementariosios funkcijos yra tolydžiosios savo apibrėžimo srityje (c, xα, ax, sinx, cosx, arcsinx, . . .).
Funkcijos trūkio taškai.
9
Apibrėžimas. Taškas x0 yra funkcijos f(x) trūkio taškas, jei tame taške f(x)yra neapibrėžta arba nėra tolydžioji. Yra 1-osios ir 2-osios rūšies trūkio taškai.
Apibrėžimas. Taškas x0 vadinamas funkcijos f(x) 1-osios rūšies trūkio tašku,jei egzistuoja baigtinės ribos iš kairės f(x0 − 0) ir iš dešinės f(x0 + 0), bet josnėra lygios:
f(x0 − 0) 6= f(x0 + 0)
Funkcijos grafikas tuomet tame taške turi baigtinį šuolį.
Pavyzdys. Funkcija f(x) ={−x2 − 2, x > 01− x, x < 0
taške x0 = 0 turi 1-osios rūšies trūkį, nesf(x0 − 0) = 1, f(x0 + 0) = −2.
Apibrėžimas. Kai bent viena vienpusė funkcijos riba taške x0 neegzistuojaarba yra begalinė, tai taškas x0 vadinamas funkcijos f(x) 2-osios rūšies trūkiotašku.Pavyzdys. Funkcija f(x) =
1x
taške x0 = 0 turi 2-osios rūšies trūkį, nesf(x0 − 0) = −∞, f(x0 + 0) =∞.
Apibrėžimas. Taškas x0 vadinamas funkcijos f(x) pašalinamuoju trūkio taš-ku, jei f(x0 − 0) = f(x0 + 0) 6= f(x0).
Pavyzdys. Funkcija f(x) =
{ sinxx
, x 6= 0
2, x = 0taške x0 = 0 turi pašalinamąjį trūkį, nes f(x0 − 0) = f(x0 + 0) = 1, f(x0) = 2.
Pakeitę funkcijos reikšmę taške x0 = 0 iš 2 į 1, gausime tolydžiąją funkciją:
f(x) =
{ sinxx
, x 6= 0
1, x = 0
Pavyzdys. Funkcija f(x) =
2x2 − 8x− 2
, x 6= 2
0, x = 2taške x0 = 2 turi pašalinamąjį trūkį, nes f(x0 − 0) = f(x0 + 0) = 8, f(x0) = 0.
Pavyzdys. Nubrėžkite funkcijos f(x) =
0, 5x2, |x| < 22, 5, |x| = 23, |x| > 2
grafiką ir ištirkite jos trūkio taškus.
limx→−2−0
f(x) = 3, limx→−2+0
f(x) = 2, f(−2−0) 6= f(−2+0). Funkcijos ribos iškairės ir iš dešinės taške x = −2 yra baigtinės ir nesutampa, todėl taške x = −2turime 1-osios rūšies trūkio tašką.
limx→2−0
f(x) = 2, limx→2+0
f(x) = 3, f(2− 0) 6= f(2 + 0). Taškas x = 2 taip pat
10
1-osios rūšies trūkio taškas.Funkcija yra tolydžioji intervaluose (−∞;−2) ∪ (−2; 2) ∪ (2; +∞).
Pavyzdys. Funkcija f(x) =1
(x− 1)(x− 6)yra apibrėžta ir tolydžioji savo
apibrėžimo srityje D = (−∞; 1) ∪ (1; 6) ∪ (6; +∞).Ištirkime trūkius taškuose x = 1 ir x = 6.
limx→1−0
f(x) = +∞, limx→1+0
= −∞, todėl taške x = 1 turime 2-osios rūšiestrūkio tašką.
limx→6−0
f(x) = −∞, limx→6+0
= +∞, todėl taške x = 6 taip pat turime 2-osiosrūšies trūkio tašką.
Pavyzdys. Raskite funkcijos y =1π
arctg 1x
tolydumo intervalus ir ištirkitetrūkio taškų pobūdį.
Funkcija yra tolydi savo apibrėžimo srityje D = (−∞; 0) ∪ (0;∞).Rasime vienpuses funkcijos ribas taške x = 0. Riba iš kairės taške x = 0:f(0− 0) = lim
x→0−0
1π
arctg 1x
=1π
arctg(−∞) = − 1π· π
2= −1
2.
Riba iš dešinės taške x = 0:f(0 + 0) = lim
x→0+0
1π
arctg 1x
=1π
arctg(∞) =1π· π
2=
12.
Taškas x = 0 yra funkcijos 1-osios rūšies trūkio taškas.Norėdami nubrėžti funkcijos grafiką, paskaičiuokime dar dvi ribas:
limx→−∞
1π
arctg 1x
= 0.
limx→∞
1π
arctg 1x
= 0.
Tolydžiųjų funkcijų savybės.
1 teorema. Apie funkcijos virtimą nuliu. (Bolcano - Koši teorema). Jei to-lydžioji intervale [a; b] funkcija f(x) to intervalo galuose įgyja priešingų ženklųreikšmes, tai tarp a ir b būtinai yra toks taškas c, kuriame f(c) = 0. t. y. funk-cijos grafikas būtinai kerta Ox ašį.
2 teorema. Apie tarpinę funkcijos reikšmę. Jei tolydžioji intervale [a; b] funk-cija f(x) to intervalo galuose įgyja nelygias reikšmes f(a) = A ir f(b) = B,A < B, tai kiekvieną C : A < C < B atitinka intervalo [a; b] vidinis taškas c,kuriame f(c) = C. T. y. funkcija f(x), tolydžioji intervale [a; b] įgyja visastarpines reikšmes nuo A iki B.
3 teorema. Apie funkcijos aprėžtumą. (1-oji Vejerštraso teorema). Toly-džioji intervale [a; b] funkcija f(x) yra aprėžta tame intervale, t. y. egzistuoja
11
3 pav: y = arctgx.
4 pav: y =1π
arctg 1x
.
12
skaičiai m ir M : m 6 f(x) 6 M .
4 teorema. Apie didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę. (2-oji Vejerštra-so teorema). Jei funkcija f(x) yra tolydžioji intervale [a; b], tai egzistuoja duintervalo [a; b] taškai x1 ir x2, kuriuose funkcija f(x) įgyja savo didžiausią irmažiausią reikšmes: f(x1) 6 f(x) 6 f(x2).
13