Ring faktor dan homomorfisma

Kelompok 9Nama: 1.Etika lestari 2.pitri mei suciati

RING FAKTORdefinisi

Misalkan R adalah suatu Ring dan S adalah suatu Ideal dari R. R/S ={S + a | a R} adalah Ring ∈dengan (S + a) + (S + b) = S + (a +b) dan (S + a) . (S + b) = S + (a . b). Ring semacam ini disebut Ring Faktor atau Ring Koisen.

Adapun syarat-syarat suatu struktur aljabar yang mempunyai dua operasi biner membentuk suatu Ring adalah sebagai berikut :

1. Tertutup terhadap penjumlahan (+) di R/S Misalkan a, b R dan a + b R ∈ ∈

2. Assosiatif terhadap penjumlahan (+) di R/S Misalkan a, b, c R ∈maka (a + b) + c = a + (b + c

3. Adanya unsur satuan atau identitas terhadap penjumlahan (+) di R/S .Misalkan a R maka a + ∈e = e + a = a

4. Adanya unsur balikan atau invers terhadap penjumlahan (+) di R/S Misalkan a R .maka a + (-a) = (-a) + a = e = 0 ∈

5. Komutatif terhadap penjumlahan (+) di R/S .Misalkan a,b R ∈maka a + b = b + a

6. Tertutup terhadap perkalian (.) di R/S ,Misalkan a, b R dan a . ∈b R ∈

7. Assosiatif terhadap perkalian (.) di R/S .Misalkan a, b, c R ∈maka (a . b) . c = a . (b . c)

8. Adanya unsur satuan atau identitas terhadap perkalian (.) di R/S .Misalkan a R ∈ .maka a . e = e . a = a

9. Distributif perkalian (.) terhadap penjumlahan (+) di R/S Misalkan a, b, c R .maka a . (b + c) = (a . b) + (a . c) dan (a + ∈b) . c = (a . c) + (b . c)

HOMOMORFISMA

Homomorfisma merupakan pemetaan dari Ring R ke Ring R’ yang mengawetkan kedua operasi yang ada dalam Ring .

Definisi:Suatu pemetaan f dari Ring R ke Ring R’disebut suatu Homomorfisma Ring bila a, b R berlaku : ∀ ∈

1. f(a + b) = f(a) + f(b) 2. f(a . b) = f(a) . f(b)

ADA BEBERAPA DEFINISI KHUSUS MENGENAI HOMOMORFISMA RING ADALAH SEBAGAI BERIKUT :

a. Suatu Homomorfisma Ring yang bersifat injektif (1 –1) disebut dengan Monomorfisma Ring.

b. Suatu Homomorfisma Ring yang bersifat surjektif (pada) disebut dengan Epimorfisma Ring.

c. Suatu Homomorfisma Ring yang bersifat bijektif, yaitu bersifat injektif (1 – 1) dan surjektif (pada), disebut dengan Isomorfisma Ring.

CONTOHTunjukan apakah f : Z R dengan f(a) = a adalah suatu Homomorfisma Ring.

Akan kita buktikan bahwa a, b R berlaku : ∀ ∈1. f(a + b) = f(a) + f(b) 2. f(a . b) = f(a) . f(b)Sehingga : 1. f(a + b) = f(a) + f(b), a, b R ∀ ∈(a + b) = (a) + (b) a + a = a + b 2. f(a . b) = f(a) . f(b), a, b R ∀ ∈(a . b) = (a) . (b) a . b = a . b Dikarenakan untuk f(a + b) = f(a) + f(b) dan f(a . b) = f(a) . f(b) maka f : Z => R untuk f(a) = a adalah merupakan suatu Homomorfisma

Ring.