rozdzia 7 caki na krzywych i powierzchniachrybka/chemia/roz-ch7.pdf · rozdzia 7 caki na krzywych i...

Rozdział 7

Całki na Krzywych i Powierzchniach

Nasz cel to nauczyc sie obliczac długosc krzywych, pól powierzchni w przestrzeni. Wymagato odpowiedniego ich okreslenia. Obliczanie rozmaitych wielkosci fizycznych prowadzi nasdo całek krzywoliniowych i powierzchniowych. Osobna role gra tu praca, która motywujewprowadzenie pojecia orientacji krzywych i powierzchni.

Nasza zasadnicza metoda postepowania polega na powielaniu wyprowadzenia ostatniegotwierdzenia poprzedniego rozdziału.

Przedstawimy zastosowania geometryczne i fizyczne, np. do praw zachowania i objasnimynapisy �� div �� oznaczajace prawo ciagłosci przepływu cieczy tj. prawo zachowania masy. Symbol div � oz-nacza dywergencje (zródłowosc) pola wektorowego �� ,

div � � �� !Skomentujemy takie obiekty, jak ów magiczny operator div � .

Zaczniemy od rzeczy prostszych.

7.1 Długosc krzywej, całka krzywoliniowaTrzeba zaczac od okreslenia krzywej. To czego od niej oczekujemy, to: (i) by dawała sienarysowac jednym pociagnieciem ołówka i (ii) by w kazdym punkcie miała styczna, definiowanajako granice siecznych. Nie mozemy pominac drugiego warunku, bo jesli to zrobimy, to musimyliczyc sie z patologiami, takimi jak krzywa Peano wypełniajaca cały kwadrat.

Nasze wymagania ujmiemy nastepujaco.

Definicja 1. Podzbiór "$#�%&� � � nazywamy krzywa, jesli istnieje funkcja "'�)(+*�,.-0/1� � � � nazy-wana parametryzacja krzywej " # spełniajaca warunki:

(1) ")�2(+*3,0-./ 4� "�#651

2 ROZDZIAŁ 7. CAŁKI NA KRZYWYCH I POWIERZCHNIACH

(2) funkcja (+*�,.-0/87 � 9�:")� �;=< �" � , !6!6! ,2" � � �; jest róznowartosciowa i klasy > � .(3) dla wszystkich

�@? (+*�,.-0/ mamy, ACBACD � �;FE�G� .Jesli pominiemy warunek (3) to spotkamy sie z osobliwosciami: np. wykres funkcji H �JI =Iokazałby sie byc krzywa, ale nie ma ona stycznej w p.

K�L�! np.

� � � �2M , I �NI M0 jest funkcjaklasy > � , ale jej pochodna w punkcie

� ��jest równa zero.

Powyzsza definicja nie obejmuje, niestety tak oczekiwanego przykładu jakim jest okrag.Trzeba to nadrobic.

Definicja 2. Podzbiór "O#F%P� �Q� nazywamy krzywa zamknieta, jesli istnieje funkcja "'�8(+*�,.-0/R�� S� nazywana parametryzacja krzywej " # spełniajaca warunki:(1) ")�2(+*3,0-./ 4� "�#65(2) funkcja �T*�,.- 7 � 9�U"V� �; jest róznowartosciowa, ")�W* � ")�W- i funkcja " jest klasy > � .(3) dla wszystkich

�@? (+*�,.-0/ mamy, AYXAYD � �;ZE�[� oraz ACXACD �T* 4� AYXAYD �T- .Przykład 1.(a) ( � ,]\_^$/87 � 9� �W`badcfe � ,0`ge;hji �; jest parametryzacja okregu o promieniu ` .(b) � �P7 � 9� � � M , �Yk] nie jest parametryzacja paraboli H �l �m , ale � �P7 n9� � , 3mo juz nia jest.

Niech teraz�KE�Lpq? � � � i kładziemy ")� �;��rps� , dla

�t? (+*�,.-0/ . Wtedy " # � ")�;(u*�,.-0/ jestodcinkiem prostej. Łatwo policzyc jego długosc vw�x" # :v��x" # =�zy ")�W* ){ ")�W- |yS� �W- { * |y]p}y !

Przyjmijmy teraz, ze " jest parametryzacja dowolnej krzywej "}# . Jak zwykle tworzymypodział zbioru argumentów * �l 3~�� !6!d! �� K � � - !Długosc łuku krzywej ")�2( � , �� / , to w przyblizeniu odległosc punktów ")� � i ")� �� tj.y ")� �� ){ ")� � |y ! �� Dlatego przyblizona długosc łuku krzywej to�_� �� ~ y "V� �� ){ ")� � |y ! ��\ Spodziewamy sie, ze wraz z rozdrabnianiem podziału odcinka (+*3,0-./ (w odpowiadajacemu roz-drabnianiu podziału krzywej) uzyskamy co raz lepsze przyblizenie. Dlatego liczbevw�" # =� e;�� e;��6�C�� ]�o�f� �_� �� ~ y ")� �� ){�y ")� � Ny ,gdzie * �� !6!6! �[ �� - jest podziałem odcinka (+*�,.-0/ nazywamy długoscia krzywej "}# .Wyprowadzimy teraz wygodny obliczeniowo wzór, zakładajac, ze "8# ma parametryzacje " , która

7.1. DŁUGOSC KRZYWEJ, CAŁKA KRZYWOLINIOWA 3

jest klasy > m . W tym celu oszacujemy (1). Z twierdzenia Taylora 3.39 dostaniemy dla kazdej zeskładowych " � �" � , !d!6! ,;" � ,"�� ){ "�� "3�� {' � �� {' � ,gdzie

I � �� {� � |I�� > I �� {' � I m i > zalezy od " � � . Zatemy ")� �� ){ ")� � |yS��y "3�� |y � � {' �� q� � � �� {' � , �W� gdzie

I � � � �� {' � |I�� > I �� {' � I m . Wtedy (2) przyjmie postac�_� �� ~ y " � � � Ny � �� {' � �� T , �T¡ gdzie �[¢¤£_¥ � � ~2¦ �� ¦ �_� � I �� {' � I jest srednica podziału (+*�,.-0/ orazI � �W |Is� �_� �� ~ I � � � �� {' � |I�� > �_� �� ~ I �� {§ � I m � >� m0¨ !Jesli � > �;© ¨ , dla pewnej stałej > � , to dostaniemyI � �T NI�� >�> � � > m� > © ¨ ! ��ª Niech teraz « � bedzie takim ciagiem podziałów, ze¬ h ¢�N�® � � � �� ~ y ")� �� ){�y ")� � NyS� v��x" # i � jest odpowiadajacym ciagiem srednic. Mozemy załozyc, ze � � ª ©f¯ � . Zatem z (4) i (5)wynika, ze vw�x" # =� ¬ h ¢�N�® � � � �� ~ y " � � � NysI � {' �� I !Dzieki ciagłosci funkcji

� � y " � � �;Ny prawa strona jest całkowalna, tj. wykazalismy:

Twierdzenie 1. Jesli " jest parametryzacja klasy > m krzywej " # , tov��x" # =�P°²±³ y " � � �;|y v �=<&°t±³ ´µµ¶ �� 4· v�" �v � � �;Y¸ m v � ! �W¹ Uwaga. Powyzszy wzór (6) nie zalezy od wyboru parametryzacji " . Co wiecej, w istocie wystar-czy zakładac, ze " jest klasy > � .Przykład 2. Obliczmy długosc okregu º�� ,.` o promieniu ` i srodku 0. Wykorzystamy jegoparametryzacje z poprzedniego przykładu:v��Wº�� ,.` ;V� ° m¼»~ ´µµ¶ · v v � ¸ m v �=� ° m¼»~ ½ ` m e2h¾i m � � ` m a�c�e m � v � � \|^8` !


Rozpatrzmy inna sytuacje.

Przykład 3. Obliczyc energie kinetyczna półokregu wirujacego ze stała predkoscia katowa ¿wokół osi przebiegajacej przez konce półokregu.

Spróbujmy znalezc wynik przyblizony. W tym celu mozemy podzielic krzywa (tj. okrag)na drobne kawałki ÀtÁ � i przyjac, ze odległosc kazdego punktu Â ? ÀtÁ � od osi obrotu jest stała.Wtedy energia kinetyczna fragmentu À²Á � , to bedzie w przyblizeniuÀtÃ � � �\ � ¿ m vw��Â � m I ÀtÁ � I � bład ,gdzie vw��Â jest odległoscia punktu Â od osi obrotu. Ze wzoru (3) dostaniemyÀtÃ � � �\ � ¿ m v��x")� � � ; m I "w�x� � � |I À � � � bład ,gdzie " jest parametryzacja okregu i Â � � ")� � � Sumujac te przyczynki dostaniemyÄ �ÆÅ �� ~ �\ � ¿ m v��x")� � � ; m I " � � � � |I À � � !Ten wynik przypomina sume Riemannowska. Mozemy wiec wprowadzic nowe pojecie. Jesliprzejdziemy do zera z rozdrobnieniem przedziału zbioru parametrów " , to dostaniemy całkeRiemanna z

�m � ¿ m v��x")� �;2 m I " � � �;|I po (+*3,0-./ i dostaniemy nowe pojecie.

Definicja 3. Załózmy, ze " # jest krzywa, "Ç�w(u*�,.-0/�� jest jej parametryzacja. Nadto, funkcjaÈ ��" # � � � jest ciagła. Wtedy całka krzywolinia funkcjiÈ

na krzywej " # nazywamy liczbe° BdÉ È � � v�Á1� �P°²±³ È �x")� �;2Ny " � � �;Ny v � !Nietrudno wykazac, ze ta całka nie zalezy od wyboru parametryzcji.

Mozemy teraz dokonczyc rozwiazywanie zadania. Zauwazmy, ze vw� � �;;Z� `badc�e � , gdzie n� `ga�c�e � , H � `Êe;hji � , �@? ( { ^ © \Ë,;^ © \_/ , jest parametryzacja. Zatemy " � y�� ` iÄ � �P° B É �\ � ¿ m vw� � m v�Á ��° »6Ì¼m� »NÌ¼m � ¿ m ` M adc�e m � v �=�[� ¿ m ` M ^ !

7.2 PowierzchniePrzez powierzchnie bedziemy rozumieli zdeformowany kawałek koła. Oczywiscie, bedziemymusieli nadac temu pojeciu scisła postac, która bedzie podobna do definicji krzywej i w miareogólna, choc najwazniejszy przypadek to powierzchnia w � � M .Definicja 4. Niech ºK%Í� �QÎ i istnieje takie ÏÇ�ÑÐÒ%Í� �Q�� SÎ , ÓÕÔ ¨ , ze

(1) Ð jest otwartym podzbiorem � � � i º � Ï)�¼Ð ;

7.2. POWIERZCHNIE 5

(2) Ï jest klasy > � , róznowartosciowa i ker Ö×Ï1� �=�ÙØ_��Údla wszystkich

Û? Ð .Wtedy powiemy wtedy, ze Ï jest parametryzacja zbioru º klasy > � .Uwaga. Warunek (2) definicji oznacza, ze wektory

� Ï�� , !6!6! , � Ï�� sa lnz.

Zauwazmy tez, ze jesli Â � Ï1� 3~o@? º i�ÜE�[p¤? � �Q� , to�=9� Ï1� 3~ � ps�; � "�Ýf� �; ��Þ

jest parametryzacja pewnej krzywej, bo dzieki warunkowi (2) definicji mamy AACD Ï)� 3~ � ps�;ß�à E��, tj. à jest wektorem stycznym do krzywej "ÑÝf� {�á , áf dla pewnego

áßâ��. Mozemy jednak

wyobrazic sobie inne krzywe przechodzace przez Â . Dlatego powiemy, ze wektor à jest stycznydo powierzchni º w punkcie Â , jesli istnieje krzywa "$# przechodzaca przez Â i taka, ze à jeststyczny do " # w Â . Wprowadzimy oznaczenie,ãÑä º�� ÒØ|p¤? � ��Îl� p jest wektorem stycznym do º w punkcie Â Ú !

Zauwazmy, ze dzieki istnieniu parametryzacji Ï wzór (7) zapewnia, izã3ä º jest przestrzenia

wektorowa, bedaca podprzestrzenia � � Î . Dla porzadku wprowadzmy dodatkowe oznaczenie.Mianowicie,å ä ºq� �ÙØ|p¤? � �QÎÍ� p jest prostopadły do wszystkich wektorów z

ã�ä º Ú !Przykład 4. Spróbujmy teraz opisac parametrycznie sfere º m � � ,0` w � � M o promieniu ` i osrodku w 0. Niech Ï bedzie szerokoscia geograficzna, tj. kat Ï liczymy od równika i Ï ?� { ^ © \�,2^ © \ , wtedy æ � `be2hji�Ï . Niech ç bedzie długoscia geograficzna mierzona od arbitral-nie wybranego południka 0, np. przyjmijmy, ze �W`ß, � , �s ma długosc geograficzna 0. Wtedyrównolezniki sa okregami o srednicy `gadc�ewÏ i mamy ich parametryzacje Ü� `gadc�ewÏÆa�c�ewç}, H � `Êa�c�ewÏÆe2h¾iQç8, ç ? ( � ,]\_^ !Zatem è ��Ï8,]ç =��éêë `Êa�c�ewÏÆadcfewç`ga�c�ewÏÆe2h¾iQç`Êe;hjiQÏ

ì�íî , �WÏR,]ç ï? ÐÒ� � �x^ © \Ë,2^ © \ ñð � � ,]\_^ jest parametryzacja sfery bez półokregu º m � � ,.` ïòÍØ H �U� , ó�ô�ËÚ

. Odwzorowanie

èjest

róznowartosciowe i ker Ö è �ÙØ_��Údla ��Ï8,]ç ze zbioru Ð , ale zadnego z przedziałów w definicjiÐ nie mozna domknac bez naruszania róznowartosciowosci.

Na marginesie tej parametryzacji zauwazmy, ze skoro kazdy punkt � ,2H�,.æ õ? � � M lezy napewnej sferze o promieniu `öÔ � , to podanie ` i w/w katów jednoznacznie opisuje jego połoze-nie z wyłaczeniem półpłaszczyzny

Ø H �Ù� , §��ËÚ . Trójke �W`ß,]Ï8,]ç nazywamy współrzednymisferycznymi.

Przykład próby parametryzacji sfery, która chcielibysmy nazywac powierzchnia, pokazujedwie trudnosci:


(a) opis parametryczny jest kłopotliwy i moze byc mało przejrzysty;(b) nawet prostych zbiorów nie daje sie w całosci opisac parametrycznie.

Kłopot (a) nie ma nic wspólnego z przyjeta definicja, jak juz raz uzgodnimy co to jest powierzch-nia, to poszukamy alternatywnych sposobów opisu. Kłopot (b) oznacza tyle, ze musimy ograniczycnasze wymagania do tego, by opis parametyczny był mozliwy tylko lokalnie. Przyjmiemy wiecnowe okreslenie.

Definicja 5. Podzbiór ºq%Í� ��Î nazywamy powierzchnia¨

-wymiarowa, jesli dla kazdego punktu Í? º istnieje jego otoczenie ÷ , ze zbiór ÷ ò º ma parametryzacje, której zbiór argumentówjest otwartym podzbiorem � �Q� .

W mysl tej definicji sfera w � � M juz bedzie powierzchnia, aczkolwiek szczegóły poprawieniapodanej wyzej parametryzacji zostawiamy czytelnikowi.

Trzymajac sie naszego pierwszego przykładu przypominamy, ze sfera o srodku w punkcie 0i promieniu ` to º m � � ,0` =�ÒØ � ,2H�,.æ � m � H m � æ m � ` m Ú !Jest wiec ona przeciwobrazem punktu ` m funkcji

È �� M � � � danej wzoremÈ � ,0Hw,.æ Ü� m � H m � æ m . Mozna sie wiec spodziewac, ze jest to równoprawny sposób zadawania powierzchni.

Istotnie tak jest, ale pod pewnymi warunkami.

Definicja 6. Niech bedzie dana funkcjaÈ �s� � Î � � � klasy > � i niech � ? � � . Powiemy, ze � jest

wartoscia regularna funkcjiÈ

, jesli gradÈ � �õE��

dla wszystkich q? È � � � � . Dla dowolnegoø ? � � poziomica nazwiemy zbiór ù � È � � � ø .

Okazuje sie, ze jest prawdziwy nastepujacy fakt, który pozostawimy bez dowodu.

Twierdzenie 2. Niech funkcjaÈ � � ��Î � � � � � bedzie klasy > � . Jesli � ? � � jest wartoscia

regularna funkcjiÈ

, to poziomica ù � È � � � � jest powierzchnia wymiaru Ó .

Przykład 5. Niech úû�s� � M �:� � bedzie dana wzorem:ú$� ,2H�,.æ =�l m { H m { æ m ,wtedy wszystkie jest wartosci w wyjatkiem 0, sa regularne i zbiory ú � � � � to hiperboloidy, zasú � � � �� jest stozkiem, który nie jest powierzchnia, bo nie jest spełniona definicja powierzchniw okolicy punktu 0. Nie sa tam tez spełnione załozenia twierdzenia 2. Lecz zbiór ú � � � �� zusunietym punktem 0 juz jest powierzchnia.

Podamy jeszcze korzysc z zadawania powierzchni jako poziomic. Niech ù %Í� �ÆÎ � � bedziepoziomica funkcji

Èi niech " bedzie parametryzacja dowolnej krzywej "8# zawartej w ù . Wtedy,v Èv � �")� �;;4� v øv � �G� ,

a z drugiej strony v Èv � �")� �;2 � gradÈ �x")� �;2 v�")� �;v � !

7.2. POWIERZCHNIE 7

Zatem wektor gradÈ �x")� �;2 jest prostopadły do wektora ACBNüýDÿþACD . Skoro wszystkie wektory styczne

do ù sa postaci A¼BNüýDÿþAYD , to wykazalismy:

Stwierdzenie 3.

å ä ù �lin grad

È ��Â iãÑä ù �ÙØ|põ? � ��Î � � �²� p , grad

È ��Â ;=��ËÚ . ��Przykład 6. Niech

È � ,2H�,.æ õ� wm � H m � æ m i ù � È � � �� . Zauwazmy, ze dla wszystkich� ,2H�,.æ �E�� mamy gradÈ � ,2H�,.æ ZE�[� . Rozpatrzmy punkt Â � � � � © �Ñ, � � © �Ñ, � � © � . Skoro

gradÈ ��Â � \� � � �Ñ, � �Ñ, � � ,

to wektoryp � � p � , p m , p M styczne do ù w punkcie Â spełniajap � � p m � p M �G� ,

zas punkty n� � � , m , M z płaszczyzny stycznej do ù w Â spełniaja� � { � � © �Ñ, m { � � © �Ë, M { � � © � =�� !

Ustalilismy, kiedy poziomice sa powierzchniami. Teraz mozemy sie zastanowic, czy sapowierzchnie, które nimi nie sa. Okazuje sie, ze mamy:

Twierdzenie 4. Jesli º jest powierzchnia¨

–wymiarowa w � �Q� � � , to dla kazdego punktu b? ù

istnieja: takie otoczenie ÐÙ%l� �Q� � � punktu

i funkcjaÈ �ÑÐ�� , ze º ò Ð � È � � � �s , gdzie

�jest wartoscia regularna

È.

Uwaga. Nie mozna zadac, abyÈ �� i º � È � � � �s , gdzie

�jest wartoscia regularnaÈ

, tj. aby cała powierzchnia º była poziomica. Przykładem jest wstega Möbiusa powstała poskreceniu o 180 stopni i nastepnym sklejeniu paska papieru. Jej parametryzacja ÏÇ�w( { � © ¡�,6� © ¡f/ ð( � ,]\_^ �:� � M jest dana wzorem:Ï1� � ,�� =� �2�Y� � � a�c�e � \ a�c�e��Ë,N�� adc�e � \ e2h¾i��Ë, � e2h¾i �\ !Próba pomalowania jej dwoma kolorami prowadzi do wniosku, ze wstega Möbiusa ma tylkojedna strone! Natomiast poziomice maja wyróznione strony: tam gdzie

È â �i te gdzie

È � �.

Pozostał nam jeszcze jeden wazny przykład do omówienia, który łaczy w sobie oba podejsciado definiowania powierzchni. Niech ÐÙ%l� �Æ� bedzie otwarty i funkcja

È �ÑÐ�� bedzie klasy> � . Zbiór �4� È %Í� � � ð � � , �4� È �ÒØ � ,0H ��H � È � �]Únazywamy wykresem funkcji

È.

Zauwazamy, ze �4� È jest powierzchnia a Ï[�ñÐ � � � � � � dane wzorem Ï)� � � � , È � �2jest parametryzacja. Łatwo bowiem sprawdzic, ze Ï jest funkcja róznowartosciowa. LiczymyÖ×Ï1� � : Ö×Ï)� �=� (�3, grad

È � � /�R,


tj. Ö×Ï1� � na¨

kolumn o długosci¨ � � , ¯ { ta kolumna ma 1 na miejscu ¯ , na miejscu

¨ � � ma�� ü � þ� �� , zas na pozostałych 0. Znowu łatwo sprawdzic, ze ker ÖûÏ)� �Z� Ø_��Ú. Co wiecej okazuje

sie, ze �4� È jest poziomica. Mianowicie kładziemy �r� Ð ð � �r� � � , �� ,0H ß� H { È � � ioczywiscie grad �� ,0H �E�� dla wszystkich � ,2H i �4� È =� � � � � �s !

Na koniec podrozdziału podamy bez dowodu ogólniejszy fakt dotyczacy poziomic.

Twierdzenie 5. NiechÈ � �s� �S�� , � � ��, !6!d! , ¯ i ù � È � �� W* � �ò !d!6! ò È � �� T*s� , gdzie * � ? � � ,� � ��, !6!6! , ¯ . Jesli dla wszystkich

Ç? ù wektory

gradÈ � � � , !6!6! , grad

È �s� �sa lnz, to zbiór ù jest

¨ { ¯ -wymiarowa powierzchnia.Jest to bardzo naturalny fakt, np. przeciecie sfery º m � � ,.` z dowolna płaszczyzna * � � �* m m � * M M �[� jest okregiem, czyli krzywa zamknieta albo 1-wymiarowa powierzchnia.

7.3 Pole powierzchniTytuł podrozdziału jednoznacznie okresla nasze cele. Bedziemy zakładali, ze powierzchnia ºjest sparametryzowana za pomoca Ï��Ð:� � � Î , gdzie Ð % � � � . Rozpatrzmy najprostszyprzypadek, Ð � � � ,6� �m , Ó � � i Ï jest funkcja liniowa, tj. Ï)�¼Ð jest równoległobokiem ` �`t� p , à (patrz §x.x). Niech Ï)�� =�Gpß� � p � , p m , p M , Ï1�� m =� à � � à � , à m , à M , wtedy na mocywzoru (24) z §2.5.4 i wzoru z §2.5.3 na współrzedne iloczynu wektorowego wektorów

pi à :

pole `t� p , à )�zI p¤ð à I�� ´µµ¶ �� p � à �p m à m�� m � �� p � à �p M à M � � m � �!�"�� p m à mp M à M � � m !Wykazemy, ze

pole `t� p , à V�$# �� p , pË � p , à � p , à � à , à � < � ��% % , �'& gdzie kolumnami macierzy % sa wektory

pi à . Mianowice, Jesli ( jest katem pomiedzy wek-

toramip

i à , to mamy�� p , pË � p , à � p , à � à , à � � � p , pË � à , à R{ � p , à m � � p , pË � à , à �� { adc�e m ( �óy]p}y m*) y à y m e2h¾i m ( � � pole ` m !Co i nalezało wykazac.

Okazuje sie, ze powyzsza uwage mozna uogólnic. Jesli ÏÇ�s� � � �:� � Î jest odwzorowaniem-liniowym i Ó Ô ¨ , to

vol ��Ï1�2( � ,6�d/ � ; < vol `t��Ï1�� , !d!6! ,]Ï1�� 2=� � ��,+ , �'- gdzie + � �WÏ)�� , !6!d! ,]Ï1�� 2 ) ��Ï1�� , !6!6! ,]Ï)�� ;

7.3. POLE POWIERZCHNI 9

nazywa sie macierza Grama układu wektorów Ï)�TÃ � , !6!6! ,]Ï)�TÃ � . Mozna wykazac, ze�"��,+ � �. ��/ � ��% . m , �� sgdzie % . jest macierza kwadratowa

¨na¨

powstała z macierzy��Ï)�� , !6!d! ,]Ï1�� 2poprzez wykreslenie Ó { ¨

wierzy, zas 0 jest zbiorem wszystkich podzbiorów¨

elementowychzbioru

Ø ��, !6!6! ,0Ó Ú .W praktyce najczesciej bedziemy korzystali z (8), który jest odmiana �'- i �Y� �s .Niech teraz Ï bedzie dowolna parameteryzacja powierzchni º . Wtedy, dla H bliskiego

mamy Ï)�TH V� Ï1� � � Ö×Ï)� � �TH {' � � bład, zatem dla kostki 1 � � 1¤� � ,. mamy

vol ��Ï)��1 � 2 � vol �TÖ×Ï)� � 1 � �q� ,gdzie bład � szacuje sie przez stała razy � � � . Uzywamy do tego argumetacji podobnej do tejstosowanej w podrozdziale 6.6 o zamianie zmiennych. Niech teraz

ØsØ 132� �W 2 .Ú �54� �� Ú ®2 �� bedzierodzina rodzin kostek, której suma jest + # �T 2 . Wtedy� 4� � �� vol �WÖ×Ï1� � 1 2� =� �76� � �� °�8 49 ½ �� WÖ×Ï1� � � � , !6!d! ,.Ö×Ï1� � � � ) �TÖ×Ï)� � � � , !6!6! ,.Ö×Ï)� � � � v jest suma Riemannowska, przyblizajaca wielkosc, która mozna nazwac

¨-wymiarowa miara.

Zauwazmy, ze w/w sumy Riemannowskie sa zbiezne, jesli 2 � �, wtedy mozemy przyjac:

Definicja 7. Niech ÏÇ�ÑÐ��:� � Î bedzie dowolna parametryzacja powierzchni¨

-wymiarowej º .KładziemyI Ö×Ï)� �|I � � ½ �"�� TÖ×Ï)� � � � , !6!6! ,.Ö×Ï)� � � � ) �WÖûÏ)� � � � , !d!6! ,.ÖûÏ)� � � � ,i nazywamy modułem Ï , tj.

I Ö×Ï)� �|I m jest wyznacznikiem macierzy Grama wektorówÖ×Ï1� � � � , !6!6! ,.Ö×Ï1� � � � . Wreszcie przyjmujemy,: � �Wº � �P°�;¤I Ö×Ï1� �NI v i nazywamy miara º . Jesli

¨ � \ , to : m ��º nazywamy polem powierzchni º .

Uwaga. Chcemy, aby : � �Wº nie zalezało od parametryzacji Ï , w tym celu trzeba poprawicdefinicje 4 powierzchni

¨-wymiarowych dodajac warunek:

(3) jesli ÏÛ�ÑÐG� º , �Í��÷ö� º i Ï)�¼Ð wò �Æ��÷ FE�=<sa parametryzacjami, to złozenia Ï�� i�ïÏ � � sa klasy > � (tam gdzie sa okreslone). Mozna wtedy zastosowac twierdzenie 6.18. o zami-

anie zmiennych w całce do tego, aby wywnioskowac, ze wyzej wprowadzona miara powierzchni: �Wº nie zalezy od parametryzcji Ï .


Przykład 7. Policzmy pole powierzchni º � , tj. półsfery o promieniu 1 i srodku w punkcie 0.Jest ona wykresem funkcji ú$� ,0H Æ� � � {§ m { H m ! Dostaniemy zatem, ze ÏK�?>×� � ,6� � � � Mdana wzorem Ï)� ,2H V� � ,0Hw,2ú$� ,0H 2jest parametryzacja º . Liczymy,

Ö×Ï1� ,0H =�A@BC � �� D �FE D �FE� � � ��D �FE DGIHJ ,

i mamy I Ö×Ï1� ,0H |IN� �� {� m { H m !Wreszcie : m �Wº 4�G° K ü ~2¦ � þ I ÖûÏ)� ,2H NI v vsH ��°�K ü ~2¦ � þ v vsH� � {� m { H m !Zauwazamy, ze w naturalny sposób pojawiła sie całka niewłasciwa Riemanna, (patrz 6.5). Zgod-nie z twierdzeniem 6.16 wystarczy obliczyc granicee¬ h ¢L � � ° K ü ~2¦ � þNM K ü ~2¦ L þ I Ö×Ï)� ,0H NI v v�H !Nastepnie przechodzimy do zmiennych biegunowych w powyzszej całce i dostaniemy zwykłacałke Riemanna na >×� � , ��: m ��º =� ¬ h ¢L � � ° L~ ° m¼»~ �� { � m v � vF� � \_^ ¬ h ¢L � � ° L~ � v �� { � m �ö{ \_^ ¬ h ¢L � � ½ � { � m I �~ � \_^ !

Rozpatrzmy nowe zadanie.

Przykład 8. Obliczyc mase półsfery º � , jesli jej gestosc jest równa stałej��~

razy odległoscpunktu

od osi północ – południe.

Spróbujmy znalezc wynik przyblizony, zakładajac, ze kawałek powierzchni À²º � jest w odległoscivw��O � od osi. Wtedy wynik przyblizony toÓ � � 6�� s~ vw��O � : m �WÀ²º � ! �� Widzimy, ze prawa strona wyglada jak suma Riemannowska, spodziewamy sie, ze wynik bedziecałka. Przyjrzyjmy sie przyczynkom vw�PO � : m �WÀ²º � . Jesli ÏJ�FÐ � � � M jest parametryzacjapowierzchni º � , to : m �WÀ²º � 4�RQ 8 9 I Ö×Ï)�H NI vsH i wzór (11) przyjmuje postac.

Ó � �S6�� s~ vw��O � ° 8 �9 I Ö×Ï)�H NI v�H !

7.4. PRACA JAKO CAŁKA 1-FORMY 11

Jest teraz jasnym, ze mozemy wykonac przejscie graniczne Z� �, gdzie � � vol 1 �� Ì¼m .

Mozemy przyjac, nastepujaca definicje

Definicja 8. Niech º %z� � Î bedzie powierzchnia¨

-wymiarowa, która ma parametryzacje ÏÍ�ÐG� º , Ð jest otwartym podzbiorem � � � , dalejÈ ��º�� jest funkcja ciagła, wtedy kładziemy° T È �H v�º � �G° ; È ��Ï)� �2NI Ö×Ï1� �|I v !

i nazywamy całka powierzchniowa.

Uwagi. (1) Całka powierzchniowa nie zalezy od wyboru parametryzacji. Wynika to z warunku(3) definicji powierzchni (patrz strona x.x) i twierdzenia 6.18.

(2) W przypadku, gdy nie mozna sparametryzowac danej powierzchni º za pomoca jednejfunkcji Ï trzeba całke powierzchniowa

Q T È �TH v�º przedstawic w postaci sumy° T È �TH v�º � �� ° T � È �TH v�º),gdzie kazda powierzchnia º � juz ma parametryzcje Ï � �ñÐ � � º � . Musimy nadto załozyc, zeº � ò º . �R<

, gdy � E�VU.

Przykład 8, cd. W warunkach naszego zadania mamyÈ � �b� �Ë~ ½ m � � mm i przyjmujemy

parametryzacje � � `Êa�c�ewÏÆadc�ewç}, m � `gadc�ewÏÆe;hjiQç}, M � `ge2hjiQÏ8, �WÏR,]ç ï? ( � ,]\_^ ñð � � ,2^ © \ !Zatem bedziemy pisac

è ��Ï8,]ç � � � , m , M i mamy

Ö è ��ÏR,.ç =� éêë { `ge2h¾iQÏÆadc�ewç { `Êa�c�e�ÏÆe2hjiSç{ `ge2h¾iÆÏÆe;hji�ç `badcfewÏÆadc�ewç`gadc�ewÏ � ì íî !Łatwo juz dostaniemy, ze

I Ö è ��Ï8,]ç NI�� ` m I a�c�e3Ï I i È � � �G�s~ � ` m a�c�e m Ï . Mozemy dokonczycrachunki masy: Ó �G° m¼»~ ° »NÌ¼m~ �s~ ` M a�c�e m Ï�v�Ï�v�ç � �\ �s~ ` M ^ m !7.4 Praca jako całka 1-formyWiemy, ze praca jest równa sile razy przesuniecie. Z drugiej strony nie kazda siła pracuje, np.siła odsrodkowa czy Lorentza nie wykonuja pracy, ich wspólna cecha jest to, ze sa prostopadłedo kierunku ruchu ciała (czastki itp.). Zatem nasza wstepna definicje nalezy poprawic:W �RX ÀZYõa�c�e�(ñ,gdzie ( jest katem pomiedzy wektorem siły a wektorem w kierunku ruchu, a własciwie, sty-cznym do krzywej, której ruch sie odbywa. Co wiecej ruch, np. kulki po rynience, jak na


rysunku, w ziemskim polu grawitacyjnym moze sie odbywac pod wpływem siły ciazenia alboprzeciw niej.

Rys. 1. Praca pola sił wzdłuz krzywej.

Jesli wiec [Xó� Ó [ú , gdzie [ú � � � , � , { ú , to praca sił pola ciezkosci na odcinku o długosci ÀZYjest równa ÓnÀZYQ� [� , [ú , gdzie [� jest jednostkowym wektorem stycznym pokazujacym kierunekruchu. Naturalnie, praca przeciwko siłom pola ciezkosci na tym samym odcinku, to

{ ÓnÀZYQ� [� , [ú .Zatem praca pola po krzywej jak na rysunku 1. od punktu % do punktu > , to znowu suma drob-nych przyczynków. Jest ona suma Riemannowska całki krzywoliniowejW �P°]\^ K �_[X , [�; v�Á !Niech teraz "g��(u*�,.-0/$� � � m bedzie dowolna parametryzacja krzywej na rysunku. Wtedy wektor[�ß� " � �a` © y ")�a` |y jest jednostkowym wektorem stycznym, pokazujacym przebieg od % do > .Zatem W ��°²±³ �_[X ,2" � �a` © y ")�'` Ny�|y ")�a` Ny vb` �P°²±³ �c[X ,2" � �a` ; vd`�,co juz nie jest zwykła całka krzywoliniowa.

W ogólnosci, jesli chcemy znalezc prace pola wektorowego [X w � �Q� wzdłuz krzywej "$# , todostaniemy: W �P°t±³ �c[X ,2" � �'` ; vb` <&°²±³ �� X � v�" �v � �a` vb`�, ��|\ gdzie " jest parametryzacja "O# . Jesli praca byłaby wykonywana przeciwko siłom pola, to{ W �Ù{g°²±³ �_[X ,;" � �a` 2 vb` ��° ³± �_[X ,2" � �a` 2 vb` !Podkreslamy, ze wazny jest tu kierunek.

Zauwazmy jeszcze jedna osobliwosc wyniku: liczba (praca) jest wynikiem działania polawektorowego wzdłuz krzywej, dokładniej funkcja podcałkowa jest iloczyn skalarny, który mozemyzapisac: [� 9� �c[X , [�; < [X ) [� ,

7.4. PRACA JAKO CAŁKA 1-FORMY 13

gdzie po prostu przypomnielismy definicje iloczynu skalarnego, jako iloczynu macierzy o jed-nym wierszu [X i macierzy [� o jednej kolumnie. Aby podkreslic znaczenie naszych rozwazanwprowadzimy stosowne okreslenie.

Definicja 9. Przekształcenie liniowe Yr�=� � � � � � , tj. macierz o jednym wierszu nazywamyforma liniowa (1-forma liniowa).

Oczywiscie, łatwo utozsamic 1-formy z wektorami:� �Q�t7 éêë X �...X �ì íî �eXÒ9� X �eX # � � X � , !d!6! , X � ï? Hom �T� ��Ñ,2� � !

W przypadku odwzorowan � � � 7 � X #N� � ? Hom �T� � � ,2� � bedziemy tez pisac:X #N� ��X � � � v � � !6!6! � X � � � v � i mówic, ze

X #6� � jest forma rózniczkowa.Dlatego prawa strone (12) mozna przepisac jako°t±³ X # �x" � �a` 2 vb` !

Podsumowaniem bedza nowe okreslenia. Powiemy, ze krzywa " # jest zorientowana, jesli jestwyrózniony sposób jej obchodzenia, np. poczatek i koniec. Okreslenie sposobu obchodzeniakrzywych nazywamy orientacja krzywej. W przypadku płaszczyzny krzywe mozna obchodziczgodnie albo niezgodnie z ruchem wskazówek zegara, ten ostatni sposób obejscia nazywamyorientacja naturalna.

Po tych uwagach o orientacji mozemy przejsc do zasadniczego pojecia.

Definicja 10. Niech bedzie dana krzywa zorientowana ["}# i ciagła 1-formaX # . Całka z 1-formy

rózniczkowej po krzywej zorientowanej [" # nazwiemy liczbe° \BdÉ X # < ° \BdÉ X � v � � !6!6! � X � v � � � ° ±³ X # " � �a` vb`�,gdzie " jest taka parametryzacja krzywej [" # , ze parametr ` rosnie, gdy przebiegamy krzywazgodnie z jej orientacja.

Podkreslamy, ze zmiana orientacji krzywej prowadzi do zmiany znaku całki.

Przykład 9. Obliczyc ° \~ ^ \ HËv � m vsH � �gdzie punkty 0 i % sa połaczone parabola H �� m ! Parametryzacja tej krzywej to ")� �ñ� � , m i dalej " � � � � �Y��,]\ � . Zatem z definicji� � ° �~ \�H$� � " �� v � m " �m v ×� ° �~ �W\ M � \ M v û� � !Przykład 10. Praca w polu sił potencjalnych. Niech pole [X bedzie dane wzorem[XP�

grad ÷ ,


gdzie ÷ jest klasy > � . WtedyX # � � ÷�� v � � !d!6! � � ÷�� v � � ��v�÷gdzie prawa strone nazywamy rózniczka funkcji ÷ . Niech "}# bedzie dowolna krzywa i "J�(+*3,0-./�� S� niech bedzie jej parametryzacja. Wtedy° \B É X # <&° \B É v�÷ � �� ° ±³ � ÷�� ")� �;2 v�" �v � � �; v �=�G° ±³ v�÷v � �")� �;; v �=� ÷û�")�W- ;){ ÷¤�")�T* ; !tj. wynik zalezy tylko od poczatku i konca krzywej, ale nie od jej połozenia. W szczególnosciwynik jest zerem, jesli krzywa jest zamknieta.

Przykład 11. Inny wazny przykład to całka z 1-formy po zorientowanym wykresie funkcji jednejzmiennej o wartosciach rzeczywistych. Niech "O# � �4� È , wtedy jej parametryzacja jest "V� �;S�� , È � �;; . Jesli ¿ jest dowolna 1-forma rózniczkowa ¿ � «�v � 1�vsH , to wtedy° \f ü þ ¿ � ° ±³ �T«¤� , È � �2 v � 1õ� , È � �2 È � � � v �bo " � � �;4� ��, È � � �;2 . W szczególnosci, jesli ¿ � «¤� ,0H v , to° \f ü þ «¤� ,0H v û��°²±³ «¤� , È � �2 v ��N� 7.5 Wzór GreenaChcemy powiazac całke z 1-formy z całka podwójna. Uzyskamy uogólnienie podstawowegotwierdzenia rachunku rózniczkowego i całkowego. Zaczniemy od okreslenia.

Definicja 11. Zbiór Y�%Ò� �� nazywamy konturem jesli istnieje funkcja ciagła gl�1(+*3,0-./)� � �Q� ,która jest róznowartosciowa na �W*�,.- i g@�W* � g@�T- oraz istnieja takie punkty* �[ 3~Q�� !ÿ!¾! �q � � � �K � � -N,ze funkcje g Iih � 9 ¦ � 9kj �ml sa parametryzacjami krzywych g@�2( � , �� / .

W mysl tej definicji obwód prostokata jest konturem, mimo ze nie jest krzywa w naszymrozumieniu. Konturami sa równiez zbiory bedace suma skonczona krzywych, jak na rysunkach2 i 3.

Niech krzywa łaczaca % i > na rys.2. bedzie wykresem funkcji H � H ~ � � , krzywa łaczacaÖ i > to wykres funkcji H � H � � � . Dzieki wzorowi (13) mozemy napisac° { �% > «�v ×� ° ±³ «õ� ,0H ~ � �; v n� �n� � ,

7.5. WZÓR GREENA 15° {{ �Öû> «�v û� ° ±³ «õ� ,2H � � �2 v ×� �N� m !Dzieki znanej interpretacji całki Riemanna mamy

� � � m { � � ��°²±³ «¤� ,0H � � �; v û{�°t±³ «¤� ,0H ~ � �2 v jest polem powierzchni pomiedzy wykresami funkcji

� «õ� ,0H � � �; i � «¤� ,0H ~ � �2 .

T

A

B

CD

y=y (x)

y=y (x)

1

0

x

y

BA

x

y

Rys. 2 i 3. Przykłady konturów.Podstawowe twierdzenie rachunku rózniczkowego i całkowego pozwala nam napisac, ze

� �G°²±³ ° E � ü � þESo ü � þ � «� H � ,0H vsHËv õ<&° � «� H � ,0H vsHÑv ,gdzie po prawej stronie mamy całke podwójna po obszarze ograniczonym „trapezem krzywoli-niowym”

ã. Uwzgledniajac to, ze

Qqp K «�v n�[� � Q ^�r «�v i stosujac orientacje konturu jak narysunku 2. mozemy napisac { °ts «õ� ,2H v ¤� ° � «� H v vsH ��6¡ gdzie kontur Y złozony z krzywych [% > , [>ß> , [>�Ö i [Ö % jest zorientowany w sposób naturalny.

Niech teraz kontur Y wyglada nastepujaco, gdzie krzywa łaczaca % i Ö , to wykres funkcjiH§� 3~ �TH , zas krzywa >ß> , to wykres funkcji H'� � �TH , wreszcie % > i Ö C sa odcinkami,(patrz rys. 4).

A B

CD

x

y


Rys. 4. Kontur Y .Rozumowanie takie, jak wyzej po zamianie rolami

i H da nam° s 1¤� ,0H vsH � ° � 1�� ,2H v vsH�, ��|ª

gdzie tym razem dostajemy znak � po lewej stronie.Przedstawione wyzej rachunki sa przeprowadzone dla dosc szczególnych konturów. Jednak

wynik jest prawdziwy dla dowolnego konturu Y . Po zsumowaniu (14) i (15) dostaniemy° s «õ� ,0H v � 1õ� ,2H v�H � ° · � 1�� { � «� H ¸ v v�H ! ��N¹ tym samym wykazalismy:

Twierdzenie 6. Niech Y �P� ãbedzie konturem zas « , 1 beda funkcjami klasy > � . Wtedy jest

prawdziwy wzór (16). Nazywamy go wzorem Greena.

Wniosek 7. Jesli� 8� � { �vu� E � � , to prawa strona wzoru (16) jest równa polu powierzchni

ã, np.

mozna przyjac « �Ò{ �m Hw,w1 � �m .Uwaga mnemotechniczna. 1-forma po lewej stronie (16) przechodzi na „pochodna” po prawej,gdzie rózniczkujemy po „brakujacej” zmiennej, tj. «�v � �vu� E vsHËv ,x1�v�H'� � 8� � v vsH . Po-zostaje nam (jeszcze magiczny) wymóg ustalenia kolejnosci v i vsH prowadzacej do zmianyznaku przed

�vu� E . W stosowanym przez nas zapisie v vsH � { vsHËv , bedzimy to wyjasniali w§7.7.

Mogłoby sie wydawac , ze gdy� 8� � � �vu� E , to

Q s «�v � 1�vsH � �. Wymagana jednak jest

ostroznosc. Rozpatrzmy proste przykłady:(a) « � �FE��D � E D , 1 � ��D � E D Y �� >×� � ,6� ;(b) « � ��D � E D , 1 � E��D � E D Y �� >×� � ,6� .

W obu przypadkach� 8� � � ��u� E , ale dla jesli przyjmiemy parametryzacje okregu Y , zorien-

towanego z sposób naturalny, n� a�c�e � ,0H � e2h¾i � , to dostaniemy:

(a)Q s «�v � 1�vsH � Q m¼»r �Te;hji m � � adcfe m�È v �V� \_^ ;

(b)Q s «�v � 1�vsH � Q m¼»r � { e;hji � adc�e � � e;hji � adc�e �; v �=�� .

Wyjasnienie tego pozornego paradoksu polega na tym, ze w przypadku (a) nie mozna stosowacwzoru Greena, bo « , 1 nie sa rózniczkowalne w punkcie � � , ��ñ? >×� � ,6� !7.5.1 Inna postac wzoru GreenaW mysl wzoru (16) mamy °ts «�vsH { 1�v n� ° r · � «�� 1� H ¸ v vsH ��|Þ dla

� Ö � Y ! W mysl definicji lewa strona to°t±³ �2� { 1t,.« , " �I " � I |I " � I vd` � � !

7.6. WZÓR GAUSSA-OSTROGRADSKIEGO 17

Zauwazmy, ze wektor � { 1t,.« to skutek obrotu wektora �W«S,�1 ) o» m , zatem jesli

{� � jest wektoremstycznym zgodnym z orientacja konturu Y , to �;� { 1²,0« , {� ��Ê� �2�T«�,q1 ,vy , gdzie wektor yobrócony o

» m przechodzi na{� � .

Lt

νD

Rys. 5. Wektory{� � i y .

Otrzymana równosc wynika z własciwosci iloczynu skalarnego. Bedziemy o tym jeszcze mówic.Zauwazmy, ze y jest wektorem prostopadłym do Y , pokazujacym na zewnatrz obszaru Ö .

Zatem � �G°²±³ �2�T«S,�1 ,vy NI " � I vb`s,bo{� �K� " � © I " � I . Ostatecznie (17) przyjmuje postac° s �;�W«S,�1 ,vy v�Á �P° r � � «�� 1� H v vsH ! �� &

7.6 Wzór Gaussa-OstrogradskiegoOkazuje sie, ze wzór (18) ma postac dogodna do uogólnienia na przypadek trójwymiarowy.

B

b(z)

V

S

x

y

z

z=constD(z)

Rys. 6. Obszar ÷ .Niech brzeg

� ÷ zbioru otwartego ÷ bedzie suma� ÷ � º{zÛÖ � zÛÖ E zÛÖ3| , gdzie Ö � % ØN Ç��ËÚ ,.Ö E % Ø H � �ËÚ

i Ö3|b% Ø æ � �ËÚ, (patrz rys. 6). Zakładamy tez, ze º jest wykresem tj.º � �ñ� È . Niech bedzie dane w ÷ pole wektorowe �W«S,�1t,.` . Rozpatrzmy w płaszczyznie

18 ROZDZIAŁ 7. CAŁKI NA KRZYWYCH I POWIERZCHNIACH} �Tæ 4�ÙØ � ,0Hw,.æ � ,0H ? � � Ú zbiór Öb�Wæ � � ÷ ò } �Wæ , a w nim pole wektorowe �W«S,�1 . BrzegÖb�Tæ jest konturem, mozna wiec zastosowac wzór (18). Dostaniemy wtedy° ��r ü | þ �;�W«S,�1 ,vy v�Á � ° r ü | þ � � «�� G� � 1� H v vsHw, �� - gdzie y jest wektorem prostopadłym do

� Öb�Wæ wskazujacym na zewnatrz Öb�Tæ . Mozemyscałkowac (19) wzgledem æ :° K~ ° ��r ü | þ �;�W«S,�1 ,vy v�ÁTv�æ �P° r � � «�� 1� H v vsHËv�æ ! ��\ �sPrawa strona jest juz w postaci ostatecznej, zajmiemy sie tylko lewa strona. Zauwazmy, zedzieki naszym załozeniom funkcja

� � ,q�Æ� ,0æ ,.æ � �S")� � jest parametryzacja krzywejº ò � Öb�Wæ . Liczymy, " � � �û� ��, ��~� � , �s . Gdy obrócimy wektor " � � � o{ » m , to dostaniemy� { ��~� � ,6��, �s , dlatego y � · { � �� ,6��, �_¸�� # � � � � �� m

i jesli� Öb�Tæ 8òÊØN Ô � ,2H �G��ÚZ� ( � ,.-_�Tæ / , to mamy° K~ ° T!� ��r ü | þ �2�T«�,q1 ,vy v�Áv�æ � ° K~ °t± ü | þ~ �2�W«S,�1 ,N� { � �� ,6� ; v v�æ� ° K~ ° ± ü | þ~ �;�W«S,�1 ,|� { ��~� � ,d� 2 ½ � � � ��~� � m � � ��~� | m½ � � � �v~� � m � � �v~� | m v v�æ� ��0

Pamietamy, ze skoro� Öb�Wæ |ò º jest wykresem, to jest poziomica tj.

� Öb�Wæ |ò º � g � � Ø_�ËÚ3ò } �Wæ gdzie g@� ,2H�,.æ � � H { Â,`t�.� ,0æ . W mysl tej definicji, jesli punkt Â � � ,2H�,.æ Æ? } �Tæ spełniag@��Â ïâÍ� , to lezy poza Öb�Tæ , zas gï��Â ï�Í� oznacza, ze Â ? Öb�Wæ , zatem wektor ��g@��Â pokazujena zewnatrz Öb�Wæ , gdy Â ?b� Öb�Tæ . Liczymy,

��g@��Â =� · { � �� ,6��, { � �� æ ¸Co wiecej, � � ��g © I¾I ��g IjI jest wektorem prostopadłym do º wskazujacym zewnetrzne ÷ .Łatwo jest sprawdzic, ze

I Ö�g Is� I¾I ��g IjI . Konkretny przypadek był szczegółowo rozpatrzony wprzykładzie 7 z §7.3. W mysl definicji całki powierzchniowej mozemy zatem napisac,

0 �P° K~ ° ± ü | þ~ �;�W«S,�1t, �s ,q� NI Ö�g I v v�æ ��°�T �;�W«S,�1t, �s ,q� vËº !Na koniec zauwazmy, ze dla Â ? Ö � zKÖ E wektor y prostopadły do

� Öb�Wæ pokrywa sie zprostopadłym do

� ÷ . Zas dla Â ? Ö3| wektor � prostopadły do ÖZ| jest postaci � � , � , { � ), tj.iloczyn skalarny �W«S,�1t, � ) i � jest równy zero. Mozemy zatem napisac, ze lewa strona wzoru

7.6. WZÓR GAUSSA-OSTROGRADSKIEGO 19

(20) to całka powierzchniowa z funkcji �2�W«S,�1t, �s ,�� ), gdzie � jest wektorem prostopadłym do� ÷ pokazujacym na zewnatrz ÷ .Mamy wiec ° T �2�T«�,q1², �� ,�� v�º � ° � � � «�� 1� H v v�HËv�æ ! ��\Ë�

Wprawdzie wykazalismy słusznosc (21) dla szczególnej postaci zbioru ÷ , ale mozna uzasadnicjego prawdziwosc dla dowolnego zbioru ÷ metoda rozcinania ÷ płaszczyznami prostopadłymido osi układu współrzednych i sumujac wynik.

Zauwazmy jeszcze, ze zamieniajac zmienne

na H , H na æ i æ na

oraz « na 1 , 1 na ` i `na « mozemy przepisac (21) w nastepujacych postaciach° � � �;�W«S, � ,.` ,q� v�º � ° � � � «�� G� � `� æ v vsHÑv�æÑ, ��\�\ ° � � �;� � ,q1²,.` ,q� v�º � ° T � � 1� H � � `� æ v vsHÑv�æ ! ��\f� Sumujac wzory (21), (22), (23) i skracajac wynik przez 2 dostaniemy° � � �;�W«S,�1t,.` , ¨ v�º �P° � � � «�� 1� H � � `� æ v vsHËv�æ ! ��\�¡ Tym samym wykazalismy nastepujacy fakt.

Twierdzenie 8. (wzór Gaussa-Ostrogradskiego). Niech ÷ %U� � M bedzie takim zbiorem ot-wartym, ze

� ÷ jest powierzchnia; � niech bedzie polem wektorowym klasy > � , � jest wektoremprostopadłym do

� ÷ o długosci 1, pokazujacym na zewnatrz ÷ . Wtedy° � � �x�Û,�� v�º �P° �div �gvsH � vsH m vsH M ,

gdzie div � � �v� �� E � � �� D� E D � �v�� E � nazywa sie dywergencja (rozbieznoscia) pola wektorowego � .Komentujac wzór Gaussa warto wspomniec, ze dla danego pola wektorowego � , wielkosc��4,�� ), gdzie � jest wektorem prostopadłym do powierzchni

� ÷ skierowanym na zewnatrz nazywasie strumieniem pola wektorowego przez powierzchnie. W szczególnym przypadku, gdy polewektorowe � spełnia div

pt�G�, nazwiemy je bezzródłowym.

Zwrócmy uwage ze wzór Gaussa zalezał od wyboru wektora � prostopadłego do powierzchni� ÷ . Od razu umówmy sie nazywac wektor prostopadły do powierzchni i o długosci 1 wektoremnormalnym. Owe wymagania prowadza do okreslenia.

Definicja 12. Powierzchnie ù wymiaru¨

w � �Æ� � � nazywamy orientowalna, jesli istnieje ciagłepole wektorów normalnych, tj. jesli istnieje ciagłe odwzorowanie �l�Où � � �� , spełniajaceIjI �ï� �|I¾I�� dla

Û? ù i �ñ� �S? å � ù .Zauwazmy, ze jesli ù jest orientowalne, to istnieja dokładnie 2 pola, o których mowa w

definicji. Wybór jednego z tych pól nazywamy orientacja powierzchni ù .


Uwaga. Cylinder tj. ù � Ø � � , m , M ? � � M � M ? � � ,6� , m � � mm � ` m Ú , sfera i ogólniejpowierzchnie bedace poziomicami sa orientowalne, bo intuicyjnie rzecz ujmujac sa dwustronne:mozna pomalowac jedna ich strone np. na zółto a druga na czerwono. Natomiast wstega Möbiusanie ma tej własciwosci. Przypominam, ze wstega Möbiusa powstaje przez sklejenie paska pa-pieru, którego konce sa skrecone o � & �n� . Otóz próba pomalowania jednej strony wstegi Möbiusana zielono konczy sie tym, ze cała wstega jest zielona! Watpiacych zachecam do samodzielnejpróby. Dlatego wstega Möbiusa nie jest powierzchnia orientowalna.

Jesli orientowalna powierzchnia jest brzegiem zbioru ÷ , to mozna wskazac orientacje nazy-wana naturalna. Mianowicie jest to wektor normalny wskazujacy na zewnatrz ÷ . Intuicyjniewskazuje ja ludzik biegajacy po powierzchni

� ÷ , (patrz rys. 7).

V

Rys. 7. Orientacja naturalna brzegu� ÷ .

Trzeba jeszcze sprawdzic, czy nowa orientacja naturalna krzywej zamknietej (bedacej powierz-chnia wymiaru 1) pokrywa sie ze stara definicja orientacji naturalnej krzywej zamknietej. Otóz,załózmy, ze wektor styczny

{� � majacy długosc � jest wybrany zgodnie ze stara definicja ori-entacji naturalnej. Zauwazmy, ze wektor normalny � wyznaczajacy nowa orientacje naturalnai wektor

{� � , tworza baze ��4, {� �S w � � m , która jest zgodna z baza standardowa �� ,q� m tj. baza�'� , {� �� powstaje z obrotu �� ,q� m o pewien kat.

t

L

e

2

1

e

n

Rys. 8. Orientacja naturalna krzywej Y .

7.6.1 Przykład zastosowania wzoru Gaussa w fizyceNiech �� , �; , b? � � M bedzie gestoscia cieczy w naczyniu, zas niech �ï� , �; bedzie jej predkosciaw punkcie

�? � � M . Chcemy ustalic, jaki jest zwiazek pomiedzy � a � , jesli przyjmiemy prawozachowania masy. Niech ÷ %ó� � M bedzie dowolnym zbiorem takim, ze

� ÷ jest powierzchnia,zas � jest wektorem normalnym zewnetrznym do

� ÷ . Zauwazmy, ze masa cieczy w ÷ , toÓÊ� �; � ° � �� , �; v � !

7.7. WZÓR STOKESA 21

Jej szybkosc zmiany w jednostce czasu to AACD ÓÊ� �; . Mozna wykazac, ze dla � bedacego klasy > �mamy vv � ÓÊ� �; ��° � �� , �; v �Z drugiej strony zmiana ÓÊ� �; w jednostce czasu, to ilosc cieczy przepływajacej przez powierzch-nie w jednostce czasu, albo minus strumien cieczy przez powierzchnie

� ÷ :v�Óv � � �; �ö{g° � � �x�*�s,�� v�º �Ù{b°��div ��*� v ,

gdzie równosc wynika ze wzoru Gaussa. Łaczac obie równosci dostaniemy° � ( � �� , �; � div �S�6�ï� , �;; /jv ×�G�Dzieki temu, ze zbiór ÷ był dowolny dostaniemy, ze�� div �7�6� �G�w rozwazanym naczyniu.

Powyzsza równosc nosi nazwe prawa ciagłosci.

7.7 Wzór StokesaTytułowy wzór jest jeszcze jednym uogólnieniem podstawowego wzoru rachunku rózniczkowegoi całkowego. Zajmiemy sie nowa interpretacja całki powierzchniowej jako strumienia pola przezpowierzchnie º .

Do przedstawienia zasadniczego tematu potrzebna nam bedzie nastepujaca:Dygresja na temat orientowania i orientacji p.w. Niech ÷ bedzie p.w. dajmy na to, ÷ � � � � .Jezeli mamy pewna jej baze Ã � , !ÿ!¾! ,.Ã6� , to mozemy ustalic jej porzadek �WÃ � ,0Ã m , !ÿ!¾! ,.Ã6� . Powiemy,ze baza �WÃ � ,.Ã m , !ÿ!ÿ! ,.Ã6� jest dodatnio zorientowana jesli �� TÃ � ,.Ã m , !ÿ!¾! ,.Ã6� nâ �

. Powiemy, baza� È � , !ÿ!¾! , È m jest zgodnie zorientowana z �WÃ � , !ÿ!¾! ,.Ã6� jesli macierz % przekształcenia liniowego% Ã � � È �, � � ��, !6!d! , ¯ ma dodatni wyznacznik. Zauwazmy, ze układ w � � M powstały przez

cykliczna zamiane zmiennych, tj.� � � � m , � m �A� M , � M � � �jest dodatnio zorientowany, bo�� m ,q� M ,�� =�Ù{ �� m ,q� � ,q� M � �� ,q� m ,q� M � � !

Bedziemy zakładali, ze º ma parametryzacje g , tj. gl�w÷z� � � M , g@�W÷ �� º , ÷L%Ù� � m . Narysunku 9. � jest wektorem normalnym, wyznaczajacym dodatnia orientacje º , wektory

�� 6� ,�� D sa styczne do º .


(x ,x )1 2

y1

y3

D

D

φ

φ

n

e

e2

1φ

y2V

Rys. 9. Powierzchnia º i jej parametryzacja Ï .Wektor

�� ð �� D jest normalny do º , a wiec jest on proporcjonalny do � . Natomiast układwektorów

�� 6� , �� D , �� 6� ð �� D jest zawsze dodatnio zorientowany. Wynika to ze wzoru (2.30),dla dowolnych

p, à mamy�� p , à , põð à =� �"�� pûð à , p , à )�zy]põð à y�â � !

Załózmy, ze � � �� ð �� D © y �� ð �� D y ! Za chwile wykorzystamy te wiedze. Na mocy definicjicałki powierzchniowej mamy,° T �x�ñ,q� v�º � ° � �x�4,�� NI Ö�g I v � v m ! ��\�ª n

Chcemy uwaznie przyjrzec sie prawej stronie tego wzoru. Wyznaczymy najpierw � . Zdefinicji iloczynu wektorowego (patrz §2.5.3)

�� 6� ð �� D � � % , { >õ,.> , gdzie

% � �"�� D� � � �� D� � D �� D �� ,�> � ��

�� D �� D �� , > � �� D� � �� D �� D� � D �� ! ��\f¹

Z załozenia o wybranej orientacji mamy, � � � % , { >¤,.> © � % m � > m � > m . Pamietamy tez, zeIjI � % , { >õ,.> NIjI_��I Ö�g I . Dostaniemy wiec,��4,�� |I Ö�g I_� · �4, � g�� ð � g�� m ¸ !Tym samym prawa strona (25) przyjmie postac° � � p � % { p m > � p M > v � v m �P° � �� · �4, � g�� , � g�� m ¸ v � v m , ��\�Þ gdzie na koncu wykorzystalismy ponownie wzór (2.30).

Zauwazmy tez, ze zgodnie z (26)I % I jest polem rzutu równoległoboku `t� �� 6� , �� D na płaszczyzneH m ,0H M ; I > I jest polem rzutu tego równoległoboku na płaszczyzne H � ,0H M , I > I to pole rzutu na


płaszczyzne H � ,0H m . Musimy jeszcze rozeznac sie w znakach. W tym celu pozwolimy sobie terazna dygresje na temat znaków przed % ,!> , > .

Zauwazmy tez, ze zgodnie z wyborem � tak jak na rysunku 9. mamy � � � ¨ � , ¨ m , ¨ M oraz¨ � âr�, � � ��,]\Ë,.� . Rozpatrzmy czworoscian > ograniczony płaszczyznami H � � �

, H m � �,H M � �

oraz płaszczyzna}

prostopadła do � przechodzaca przez punkt Â powierzchni, wtedy� � �ñ��Â . Mozna parametryzowac `ó% }za pomoca zmiennych H m i H M z płaszczyzny H � �&�

.Wtedy wektory � , � m , � M wyznaczaja dodatnia orientaje > , dlatego przed % stoi znak � .

W przypadku rzutu ` na płaszczyzne H m �G� parametryzujemy ` za pomoca H � i H M . Wektory� , � � , � M sa ujemnie zorientowane, dlatego przed > stoi znak{

.Podobny argument prowadzi do znaku � przed > .Majac w pamieci subtelnosci zwiazane ze znakami mozemy powiedziec, ze° ��p � % v � v m

jest całka po rzucie º na płaszczyzne� H m H m , tj. H � �G� , co uzasadnia nowa definicje° T p � vsH m vsH M � � ° T p � ¨ � v�º < ° �Zp � % v � v m � � ° T p � v�H m vsH M

gdzie � � � ¨ � , ¨ m , ¨ M jest wektorem normalnym zewnetrznym do º .Podobnie mozemy połozyc° Tñp m vsH M v�H � <ó{ ° T p m v�H � vsH M � � ° T4p m ¨ m v�º < °�; {Qp m > v � v m ,

gdzie zmiana znaku wiaze sie ze zmiana kolejnosci wektorów � M i � � . Wreszcie,° T p M v�H � vsH m � � ° T4p M ¨ M v�º < ° �Zp M ø v � v m !Po zsumowaniu dostaniemy definicje nowego obiektu.

Definicja 13. Załózmy, ze º jest powierzchnia orientowalna, � ciagłym polem wektorowym naº , zas � jest ciagłym polem wektorów normalnych do º . Wtedy całke° T p � vsH m vsH M � p m vsH M vsH � � p M vsH � vsH m � �P° T ��4,�� v�º ��\N& nazywamy całka pola � po powierzchni zorientowanej (albo całka drugiego rodzaju). Innanazwa to całka 2-formy po powierzchni, gdzie 2-forma nazwiemy wyrazenie

p � vsH m vsH M � p m vsH M vsH � �p M v�H � vsH m .Zauwazmy, ze wskazniki po lewej stronie sa cyklicznie zamieniane: �Æ� \�� .

Uwagi.(1)Wzór (28) wymaga jedynie by º była powierzchnia orientowalna, º nie musi byc brzegiem.(2) Wzór (27) daje praktyczna metode obliczania całek z 2-form.


(3) Wzór Gaussa mozna przepisac w nastepujacy sposób:° �div � �P° � ��p � vsH m vsH M � p m vsH M vsH � p M vsH � v�H m !

Jednak nie jest naszym celem przepisywanie starych wzorów, lecz rozpatrywanie nowych sytu-acji i idei. Nim to zrobimy policzymy 2 przykłady.

Przykład 12. NiechÄ

bedzie elipsoida� D³5D � E D± D � | D��D � � zorientowana w sposób naturalnym. ÷

jest obszarem ograniczonymÄ

, tj. ÷ �&Ø � ,0Hw,.æ � � D³ D � E D± D � | D� D � � Ú . Obliczyc�T* �°t� æ�v vsH�, �W- �° � æ m v v�H !W obu przypadkach mozna zastosowac wzór Gaussa. Zrobimy to tylko w (a)° � æ�v vsH � ° � � æ� æ v vsHÑv�æ � : M ��÷ !Dla porzadku obliczymy : M �W÷ . Zauwazmy, ze ÷ � g@��>×� � ,6� 2 , gdzie gï�� ,��H3,n�æ =� �T*c� ,.-b�H�, ø �æ .Zatem : M ��÷ =� ° K ü ~2¦ � þ I Ö�g I v_� v��H�vc�æ � *�- ø�: M ��>×� � ,6� 2=� ¡f^� *�- ø !Zajmijmy sie punktem (b). Niech g �ÑÐG� Ä

bedzie parametryzacja zbioruÄ � � Ä òûØ æ â �ËÚ .

Mamy wtedy, zeÄ � � Ä òûØ æ �Í�ËÚ jest sparametryzowane za pomoca �g �ËÐ�� Ä

, gdzie �g jestodbiciem symetrycznym g wzgledem płaszczyzny

Ø æ �[�ËÚ , tj. �gï� ,0H =�ö{ g@� ,0H . Dostaniemywtedy °t� æ m v vsH � °�� j æ m v vsH � ° � � æ m v vsH� °!; æ m �ag >¤�'g@��8, pË2 v��v pF{ °�; æ m �b�g >õ�b�g@��R, pÑ; v��wv p� °!; æ m �ag �W>õ�ag@��R, pÑ;1{ >õ�ag@��8, pË22 v��v p�� ,gdzie > � >¤�'g@��8, pË2 jest dane wzorem (26).

Wrócmy do nowych pomysłów zwiazanych z całkami po powierzchniach zorientowanych.Chodzi nam o to, ze taka np. półsfera º � � Ø � � , m , M � m � � mm � mM � ` m , M Ô ��Ú

niejest powierzchnia w rozumieniu definicji 5 z §7.2, bo w zadnym otoczeniu punktu �T`ß, � , �s nieistnieje parametryzacja º � . Przypominam, ze oczywiscie º � òKØN M â �ËÚ

jest powierzchnia.Kłopoty łacza sie z punktami, które chcielibysmy nazwac brzegiem º � . Dlatego wprowadzimynowe pojecie.

Definicja 14. Powiemy, ze zbiór ºK%Í� �Q� � � jest powierzchnia wymiaru¨

z brzegiem, jesliº � È � � � ø }ò ú � �� ;�a��, ø � / }ò !¾!ÿ! ò ú � �� 2� { ��, ø ��/ gdzie

È ,2ú � �s� � � � � � � � sa funkcjami klasy > � , � � ��, !6!6! , ¯ , spełniajacymi:


(i) ø jest wartoscia regularna funkcjiÈ

;(ii) ú�� ø � }ò ú�� . � ø . }ò º �� ;(iii) dla Â ? ú � �� ø � }ò º wektory � È ��Â ,v� ú � ��Â , !6!6! ,v�tú��f��Â sa lnz.

Brzegiem� º powierzchni º nazwiemy� º � º ò �� ú � �� ø �

Wnetrzem�º nazwiemy zbiór º�� º .

Uwagi.(a) Warunek (iii) automatycznie zapewnia (patrz twierdzenie 5), ze brzeg

� º jest powierzch-nia wymiaru

¨ { � .(b) Powyzsza definicja jest zawezajaca w tym sensie, ze wstega Möbiusa nie jest powierzch-

nia z brzegiem.

Przykład 13. Cylinder > � º � ð ( � ,d�d/ jest powierzchnia z brzegiem. Mamy > �ÒØ � � , m , M � m � � mm � ��, � � M � � Ú . Wtedy� > � º � ð�Ø_�ËÚ zÛº � ð�Ø � Ú .

Zajmiemy sie teraz przestrzeniami stycznymi do º , powierzchni z brzegiem. Mamy kłopottylko wtedy, gdy Â ?b� º , tj. ú � ��Â � ø � dla pewnego � . Wtedy kładziemyãËä º �&Ø|pû? � � � � � �w�'� È ��Â 5 pËV�G�ËÚ !Niech

p¤? ãËä º),�Â ?Û� º , powiemy, ze: p jest skierowany na zewnatrz, jesli �a� ú � ��Â , pËïâ � ; p jest skierowany do wewnatrz, jesli �'�tú � ��Â , pËï�� ; p jest styczny do brzegu, jesli �'�tú � ��Â , pË=�[� , ich zbiór toãÑä � � º ; p jest normalny do brzegu, jesli � p , à )�� , dla kazdego wektora à stycznego do brzegu.

Zgodnie z nasza definicja powierzchni z brzegiem jest ona orientowalna tak jak i jej brzeg.Powstaje kwestia wyboru orientacji brzegu, przy zadanej orientacji powierzchni, tak aby byłyone „zgodne” . Zajmiemy sie tylko przypadkiem ºô% � � M lub ºô%U� � m i º ma wymiar 2.Tym samym

� º ma wymiar 1 i trzeba wskazac kierunek obiegu� º , tj. wektor [� � ��? ã � � � º

o długosci 1, gdy mamy zadany wektor � normalny do º . Mianowicie w punktach Â ?ó� ºwybieramy wektor y styczny do º i normalny do

� º , tak aby wektory ��4,�yË, {� �S były zgodniezorientowane z �� ,q� m ,q� M , tj. �� 4,�yË, {� �@@â � .


Przykłady 14. (a)

S+

t

n

ne

e

1

2

E

N

ν

Rys. 10. Zgodnie zorientowane układy wektorów.

Układ ��¢¡�,q� � ,q� m jest zorientowany zgodnie z �� ,q� m ,q� M , bo �¢¡ � � M i �� M ,q� � ,q� m ï� � â�. Układ ten po obróceniu daje �'� � ,vyË, {� �S4� �� , { � M ,q� m i �� WÃ � , { Ã M ,0Ã � =� �� ,q� m ,q� M ïâ�.

Widzimy, wiec ze naturalne zorientowanie półsfery (odziedziczone po naturalnym zorien-towaniu sfery) prowadzi do naturalnego zorientowania okregu bedacego brzegiem º D .

(b)

ν

nt

Rys. 11. Zgodne orientacje okregu i koła.

Koło na płaszczyznie orientujemy wybierajac wektor � normalny (w � � M ) jak na rysunku 11.

Wybór{� � jak na rysunku prowadzi do zgodnej orientacji, bo � � � M ,vy � � � , {� � � � m i�� '� ,vyË, {� �S=� �� M ,q� � ,q� m @âÍ� .

(c)


S+

nN

n

Rys. 12. Zgodna orientacja sumy powierzchni.Niech ÷ ��Ø � � , m , M Ü? � � M , M Ô � , m � � mm � mM � � � m Ú , tj. ÷ jest półkula i

� ÷ �º D z£>û� � ,.` ! Jesli przyjmiemy naturalna orientacje� ÷ , to okaze sie, ze orientacja spodniej

czesci� ÷ tj. koła >×� � ,.` ) jest niezgodna z naturalna! Dlatego, majac na wzgledzie orientacje

mozemy napisac� ÷ � º D { >×� � ,.` i° � � ¿ �P° T j ¿ {q° K ü ~2¦ � þ ¿ !

(d)

¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤

¦¥¦¥¦¥¦¥¦¥¦¥¦¥¦¦¥¦¥¦¥¦¥¦¥¦¥¦¥¦¦¥¦¥¦¥¦¥¦¥¦¥¦¥¦¦¥¦¥¦¥¦¥¦¥¦¥¦¥¦¦¥¦¥¦¥¦¥¦¥¦¥¦¥¦¦¥¦¥¦¥¦¥¦¥¦¥¦¥¦¦¥¦¥¦¥¦¥¦¥¦¥¦¥¦¦¥¦¥¦¥¦¥¦¥¦¥¦¥¦¦¥¦¥¦¥¦¥¦¥¦¥¦¥¦¦¥¦¥¦¥¦¥¦¥¦¥¦¥¦¦¥¦¥¦¥¦¥¦¥¦¥¦¥¦¦¥¦¥¦¥¦¥¦¥¦¥¦¥¦¦¥¦¥¦¥¦¥¦¥¦¥¦¥¦¦¥¦¥¦¥¦¥¦¥¦¥¦¥¦¦¥¦¥¦¥¦¥¦¥¦¥¦¥¦¦¥¦¥¦¥¦¥¦¥¦¥¦¥¦

Rys. 13. Pierscienien ÷ .Niech ÷ � >×� � ,.` �§>×� � ,t� bedzie pierscieniem, ( ` â � ). Wtedy wektor normalny zewnetrznydo ÷ w punkcie

?Í� >×� � ,t� jest normalnym wewnetrznym do >×� � ,t� , tj.� ÷ � º�� ,.` 4{º�� ,¨� i we wzorze Greena mamy° � vf¿ �P° T ü ~2¦ © þ ¿ {�°�T ü ~2¦ ª þ ¿Q,

gdzie ¿ 1-forma, zas vf¿ jest oznaczeniem operacji na 1-formie ¿ postulowanej przez wzórGreena.

Niech teraz ºK%Í� � M bedzie powierzchnia z brzegiem� º . Dodatkowo przyjmiemy, ze istniejeg � �Ð�� M ,oÐÒ%Í� � m i Ð jest zbiorem otwartym. O g zakładamy, ze jest parametryzacja º«� � º

i g@� � Ð F�z� º , nadto� Ð jest konturem. Powyzsze załozenia sa z jednej strony ograniczajace,

bo zadamy by istniała parametryzacja całej powierzchni º . Z drugiej strony godzimy sie, aby� º było obrazem kontura. Niech teraz (u*�,.-0/R7 � � "V� �;@?g� Ð bedzie parametryzacja� Ð , która

byc moze nie jest rózniczkowalna w skonczenie wielu punktach. Definicja konturu zezwala nato. Wtedy

� � g@�")� �;2 jest parametryzacja� º . Niech bedzie dana 1-forma «�v � 1�v�H � `Fv�æ .


Zajmijmy sieQ � T «�v . Z definicji dostaniemy° � T «�v û��° ±³ « vv � �")� �;; v � � �

gdzie przyjmiemy, ze argumentami parametryzacji g sa � ip

oraz g@��8, pËV� � ��8, pË ,0H$��8, pË ,0æ��8, pË2 .Wtedy dostaniemy° � T «�v û� ° ±³ « · �� v��v � � �� v p ��pv � ¸ v �=� ° � ; « · �� v�� p v ps¸ !A ze wzoru Greena zastosowanego do prawej strony mamy° � T «�v � °�;¬�{ ��p �W« �� W« �� p ¯® v��wv p� ° ; · { � «��p �� «� � �� p ¸ v��v p !Zastosowanie wzoru na pochodna złozenia da nam° � T «�v û� °�;¬ { �� · � «�� pÇ� � «� H � H��pn� � «� æ � æ��p ¸ � �� p · � «�� «� H � H� � � � «� æ � æ� � ¸°® vF�wv p !Po redukcjach dostaniemy,° � T «�v � °�; � «� H · � H� � �� p { �� H��p ¸ v��wv p � °�; � «� æ · � æ� � �� p { �� æ�3p ¸ vF�wv p� ° ; ¬ � «� H ��

� E��± � E� Ý� ��± � �� Ý �� «� æ �"�� |��± � |� Ý� ��± � �� Ý �� ® v��wv p !

Prawa strone mozna zinterpretowac jako całke zorientowana, zatem° � T «�v ×� ° T { � «� H v v�H � � «� æ v�æ�v !Nastepnie cykliczna zamiana zmiennych

� H � æ prowadzi do 2 dalszych wzorów,° � T 1�vsH � ° T { � 1� æ vsHÑv�æ � � 1�� v vsHw, ° � T `Fv�æ � ° T { � `�� v�æ�v � ° T � `� H vsHÑv�æ !Po zsumowaniu tych trzech wzorów dostaniemy:

Twierdzenie 9. (wzór Stokesa) Załózmy, ze «S,N1 , ` sa klasy > � a º jest powierzchnia, wtedy° � T «�v � 1�vsH � `Fv�æ ��° T � � 1�� { � «� H v vsH � � � `� H { � 1� æ vsHÑv�æ � ° T � � «� æ { � `�� v�æ�v ! ��\N-


Został on wyprowadzony dla pewnej szczególnej powierzchni º . Mozna uwolnic sie od tegozałozenia odpowiednio rozcinajac dowolna zadana powierzchnie º płaszczynami prostopadłymido osi układu, aby dostac kawałki do których mozna zastosowac powyzsza analize. Otrzymaneprzyczynki sumujemy. Szczegóły w trzecim tomie ksiazke Fichtenholza.Uwaga mnemotechniczna. Uzyskany wzór jest uogólnieniem wzoru Greena. W przypadkuwatpliwosci zwiazanych ze znakiem nalezy pamietac, ze uzyskany wynik obliczen ma sie z nimzgadzac, tj. pomijajac jedna z liter « , 1 , ` i posługujac sie cykliczna zamiana zmiennych �:Ht� æ nalezy dostac własnie wzór Greena.Uwaga podstawowa. Jesli lewa strona (29) to całka z 1-formy ( , to zapiszmy (29) nastepujaco° � T ( ��° T vb(gdzie za definicje vb( nalezy przyjac prawa strone wzoru Stokesa.

Sytuacja jest nastepujaca: jesli mamy dane pole wektorowe{� X , to mozemy je utozsamiac

z pewna 1-formaX # . Dzieki wzorowi Stokesa mozemy jej przypisac 2-forme v X # . Z definicji

całka z 2-formy jest całka powierzchniowa strumienia przez powierzchnie pewnego pola wek-torowego, które oznaczymy ²2c � X i nazwiemy rotacja pola

X. Mamy wtedy° � T X # vËº � ° T ��²2c � X ,�� v�º ! �W� �s

Porównanie prawych stron (29) i (30) prowadzi do nastepujacych wzorów na współrzedne rotacj:

²2c � �T«S,�1²,0` =� · � `� H { � 1� æ , � «� æ { � `�� , � 1�� { � «� H ¸ !Zauwazmy, ze po lewej stronie (30)

� º oznacza kontur. Całke po lewej stronie (30) nazywasie czasami cyrkulacja pola. Wzór Stokesa (30) mówi, ze cyrkulacja pola jest równa całcestrumienia pola rotacji przez powierzchnie.

Aby przekonac sie, ze rotacja pola ma zwiazek z obrotem rozpatrzmy przykład polaéêë � m M ì íî � XÒ� éêë � a�c�e,g {' m e;hji³g � e2h¾i´g � m adc�e,g M ì íîWidac, ze punkt � � , m , M jest obrócony o kat g wokół osi

�� M . Nadto mamy

²2c � XÒ� éêë ��\Ve2h¾i´gì íî

tj. ²2c � X pokazuje os obrotu i sinus kata obrotu.


Operatory analizy wektorowej

Na koniec zbierzemy poznane operacje. JesliÈ

oznacza funkcje aX

pole wektorowe, to mamyoperacje:È � � È (gradient funkcji);X � ²;c � X (rotacja pola); piszemy czasami ²2c � XÒ< � ðµX

;X � divX

(dywergencja pola).Nowa operacja jest laplasjan funkcji:À È � � div �a� È =<·¶ M� �� D � � D � ;np. jesli � jest gestoscia ładunków elektrycznych, to potencjał g pola elektrycznego pochodzacegood ładunków � spełnia równanie À¸g � � !

rozdzia 7 caki na krzywych i powierzchniachrybka/chemia/roz-ch7.pdf · rozdzia 7 caki na krzywych i...

Documents