s6 edo lineales_coef_const_homogeneas_no_homogeneas

ÁLGEBRA LINEAL Y

ECUACIONES DIFERENCIALES

FORMACIÓN POR COMPETENCIAS

E.D.L. homogéneas y no

homogéneas con

coeficientes constantes.

OBJETIVOS

Reconocer el sistema fundamental de soluciones de

una ecuación diferencial homogénea de orden 𝑛

Resolver ecuaciones diferenciales lineales

homogéneas y no homogéneas con coeficientes

constantes y coeficientes variables.

Aplicar los métodos estudiados a diferentes

problemas aplicativos del contexto real

Ecuación Diferencial Lineal (E.D.L) de

orden 𝑛

Recordemos que una E.D. es lineal si tiene la siguiente forma:

𝒂𝒏 𝒙𝒅𝒏𝒚

𝒅𝒙𝒏+ 𝒂𝒏−𝟏 𝒙

𝒅𝒏−𝟏𝒚

𝒅𝒙𝒏−𝟏+⋯+ 𝒂𝟏 𝒙

𝒅𝒚

𝒅𝒙+ 𝒂𝟎 𝒙 𝒚 = 𝒉(𝒙)

donde

• 𝒂𝒊 ∶ 𝑰 → ℝ ; 𝒊 = 𝟏; 𝟐;⋯ ; 𝒏 y 𝒉; 𝑰 → ℝ son funciones continuas

definidas en un intervalo 𝑰 ⊂ ℝ

• 𝒂𝒏 no es idénticamente nula en 𝐼

Si 𝒉 𝑥 = 0, ∀𝒙 ∈ 𝑰 la E.D anterior es llamada homogénea de

orden 𝑛, caso contrario se llama no homogénea.

Si todas las funciones 𝒂𝒊 son constantes, la E.D anterior es

llamada lineal con coeficientes constantes de orden 𝑛.

Si 𝒂𝒏 𝑥 ≠ 0, ∀𝒙 ∈ 𝑰 la E.D anterior es llamada normal.

Teorema de existencia y unicidad

El problema de valor inicial



𝒅𝒏−𝟏𝒚

𝒅𝒙𝒏−𝟏+⋯+ 𝒂𝟏 𝒙

𝒅𝒚


𝒚 𝒙𝟎 = 𝒚𝟎𝒚′ 𝒙𝟎 = 𝒚𝟏

⋮𝒚 𝒏−𝟏 𝒙𝟎 = 𝒚𝒏−𝟏

Donde



• 𝒂𝒏 𝒙 ≠ 𝟎; ∀ 𝒙 ∈ 𝑰 (es decir que la E.D.L. es normal en 𝐼)

• 𝒙𝟎 ∈ 𝑰 ; 𝒚𝒊 ∈ ℝ, 𝒊 = 𝟎; 𝟏;⋯ ; 𝒏 − 𝟏 son arbitrarios

Tiene una solución única en el intervalo 𝐼

Ejemplo Ejemplo 1

Sea la E.D.L (que no es normal en ℝ)

𝒙𝒚′ + 𝒚 = 𝟎

Analice la existencia y unicidad de la solución cuya gráfica

pasa por el punto (𝟏; 𝟏) Solución De inmediato se observa que una solución es la función nula.

Al resolver la ecuación lineal de primer grado obtenemos como

soluciones: 𝒚 =𝑪

𝒙; 𝒙 ≠ 𝟎

Podemos formular las dos soluciones siguientes:

Primera solución 𝝍𝟏: ℝ → ℝ

𝝍𝟏 𝒙 = 𝟎 , 𝒙 ≤ 𝟎𝟏

𝒙, 𝒙 > 𝟎

Ejemplo Ejemplo 1

Segunda solución 𝝍𝟐: ℝ → ℝ

𝝍𝟐 𝒙 = 𝟏

𝒙, 𝒙 ≠ 𝟎

𝟎 , 𝒙 = 𝟎

Así observamos que no tenemos unicidad en el problema de valor

inicial dado.

Operador diferencial lineal de orden 𝑛

Para poder usar argumentos del Álgebra Lineal definimos el

operador diferencial lineal de orden 𝒏 en el intervalo 𝐼, como la

transformación lineal 𝑳: 𝓒𝒏 𝑰 → 𝓒(𝑰) que tiene la forma

𝑳 = 𝒂𝒏(𝒙)𝑫𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏(𝒙)𝑫

𝒏−𝟏 +⋯+ 𝒂𝟏(𝒙)𝑫 + 𝒂𝟎(𝒙)

Donde

• 𝒂𝒊 ∶ 𝑰 → ℝ ; 𝒊 = 𝟏; 𝟐;⋯ ; 𝒏 son funciones continuas definidas

en un intervalo 𝑰 ⊂ ℝ


Por ejemplo un operador de este tipo es

𝑳 = 𝟐𝑫𝟐 + 𝒙𝟐 + 𝟏 𝑫 − 𝟐

que al aplicarlo a una función 𝒇:ℝ → ℝ se obtiene:

𝑳𝒇 𝒙 = 𝟐𝒅𝟐𝒇

𝒅𝒙𝟐+ 𝒙𝟐 + 𝟏

𝒅𝒇

𝒅𝒙− 𝟐𝒇(𝒙)

Ejemplo Ejemplo 1

Determine el orden del operador

𝑳 = 𝒙 + 𝒙 𝑫𝟐 − 𝒙 + 𝟏𝑫 + 𝒍𝒏 (𝒙 + 𝟏)

Solución

Observemos que el orden de este operador depende del intervalo

donde estén definidas las funciones involucradas

𝑳 es de orden 2 en el intervalo 𝑰 =] − 𝟏; 𝟏[

𝑳 es de orden 1 en el intervalo 𝑰 =] − 𝟏; 𝟎[

Ejemplo Ejemplo 2

Dados los operadores 𝑳𝟏 = 𝒙𝑫 + 𝟐 y 𝑳𝟐 = 𝟐𝒙𝑫 + 𝟏, determine

el operador producto (composición de 𝑳𝟏 y 𝑳𝟐)

Solución

El operador producto lo hallamos componiendo ambos operadores

𝑳𝟏𝑳𝟐(𝒚) = 𝒙𝑫 + 𝟐 𝟐𝒙𝑫 + 𝟏 (𝒚)

Sea 𝒚:ℝ → ℝ una función con derivada continua cualquiera,

entonces tenemos:

= 𝒙𝑫 + 𝟐 𝟐𝒙𝒚′ + 𝒚

= 𝒙𝑫 𝟐𝒙𝒚′ + 𝒚 + 𝟐(𝟐𝒙𝒚′ + 𝒚)

= 𝒙 𝟐𝒚′ + 𝟐𝒙𝒚′′ + 𝒚′ + 𝟒𝒙𝒚′ + 𝟐𝒚

= 𝟐𝒙𝒚′ + 𝟐𝒙𝟐𝒚′′ + 𝒙𝒚′ + 𝟒𝒙𝒚′ + 𝟐𝒚

= 𝟐𝒙𝟐𝒚′′ + 𝟕𝒙𝒚′ + 𝟐𝒚

= (𝟐𝒙𝑫𝟐 + 𝟕𝒙𝑫 + 𝟐)(𝒚)

Luego 𝒙𝑫 + 𝟐 𝟐𝒙𝑫 + 𝟏 = 𝟐𝒙𝑫𝟐 + 𝟕𝒙𝑫 + 𝟐

Operador diferencial lineal de orden 𝑛

De este modo una E.D.L. de orden 𝒏 se puede escribir como

𝑳𝒚 = 𝒂𝒏(𝒙)𝑫𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏(𝒙)𝑫

𝒏−𝟏 +⋯+ 𝒂𝟏(𝒙)𝑫 + 𝒂𝟎(𝒙) = 𝒉(𝒙)

donde

• 𝑳: Es un operador diferencial lineal del orden 𝒏 en un

intervalo 𝑰

• 𝒉: 𝑰 → ℝ: función continua en 𝐼

Conjunto de soluciones de una E.D.L.

homogénea de orden 𝒏

Caso homogéneo

Desde que una E.D.L homogénea de orden 𝑛 se puede escribir

como

𝑳𝒚 = 𝟎

entonces su conjunto de soluciones es el núcleo de 𝑳 y por lo

tanto es un subespacio vectorial de 𝓒 ℝ , es decir

𝝍:ℝ → ℝ 𝝍 𝐞𝐬 𝐬𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧 𝐝𝐞 ∗ = 𝑲𝒆𝒓(𝑳)

()

Más aun el siguiente teorema garantiza que este subespacio

vectorial (conjunto de todas las soluciones) tiene dimensión 𝑛

cuando la E.D.L. es normal y homogénea.

TEOREMA: dimensión del espacio de

soluciones para el caso homogéneo

Sea la E.D.L. normal y homogénea definida en un intervalo 𝐼



𝒅𝒏−𝟏𝒚

𝒅𝒙𝒏−𝟏+⋯+ 𝒂𝟏 𝒙

𝒅𝒚

𝒅𝒙+ 𝒂𝟎 𝒙 𝒚 = 𝟎

Entonces el conjunto de todas sus soluciones, es decir el

núcleo de L, es un subespacio vectorial de dimensión 𝑛

Esto implica que si hallamos 𝑛 soluciones

𝒚𝟏 ; 𝒚𝟐 ;⋯ ; 𝒚𝒏

que son Linealmente Independientes, entonces toda

solución de (*) se expresa como una combinación lineal de

éstas, es decir

𝒚𝒉 = 𝜶𝟏 𝒚𝟏 + 𝜶𝟐 𝒚𝟐 +⋯+ 𝜶𝒏𝒚_𝒏

donde 𝜶𝒊 ∈ ℝ son constantes reales.

()

TEOREMA: Conjunto de soluciones para

el caso no homogéneo

Sea la E.D.L. definida en un intervalo 𝐼



𝒅𝒏−𝟏𝒚

𝒅𝒙𝒏−𝟏+⋯+ 𝒂𝟏 𝒙

𝒅𝒚


donde




Si 𝝍𝒑: 𝑰 → ℝ es una solución cualquiera de (**), entonces el

conjunto solución de (**) es:

𝝍+𝝍𝒑 𝝍: 𝑰 → ℝ 𝐞𝐬 𝐬𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢𝐨𝐧 𝐝𝐞 𝐥𝐚 𝐡𝐨𝐦𝐨𝐠é𝐧𝐞𝐚 𝐚𝐬𝐨𝐜𝐢𝐚𝐝𝐚

( )

TEOREMA: Conjunto de soluciones para

el caso no homogéneo

Esto implica que si la E.D.L. (**) es normal en 𝐼 (es decir

𝒂𝒏 𝒙 ≠ 𝟎; ∀𝒙 ∈ 𝑰) entonces la solución general de (**) es

𝒚 = 𝒚𝒉 + 𝒚𝒑 = 𝜶𝟏 𝒚𝟏 + 𝜶𝟐 𝒚𝟐 +⋯+𝜶𝒏𝒚𝒏 + 𝒚𝒑

donde

𝒚𝒑: 𝑰 → ℝ: es una solución particular de (**)

𝒚𝟏; 𝒚𝟐;⋯ ; 𝒚𝒏: son 𝑛 soluciones Linealmente Independientes

de la homogénea asociada.

E.D.L. homogénea con coeficientes

constantes

Sea la E.D.L. homogénea con coeficientes constantes

𝒂𝒏𝒅𝒏𝒚

𝒅𝒙𝒏+ 𝒂𝒏−𝟏

𝒅𝒏−𝟏𝒚

𝒅𝒙𝒏−𝟏+⋯+ 𝒂𝟏

𝒅𝒚

𝒅𝒙+ 𝒂𝟎𝒚 = 𝟎

donde 𝒂𝒊 ∈ ℝ; 𝒊 = 𝟎; 𝟏;⋯ ; 𝒏 y 𝒂𝒏 ≠ 𝟎

Sabemos que el espacio de soluciones de esta E.D.L. es de

dimensión 𝒏. Así que debemos hallar un conjunto de 𝒏

soluciones Linealmente Independiente, llamado sistema

fundamental de soluciones.

()


constantes

Procedimiento de solución

1.- Se hallan las raíces de la ecuación característica de (*)

𝒂𝒏𝝀𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏𝝀

𝒏−𝟏 +⋯+ a𝟏𝝀 + 𝒂𝟎 = 𝟎

(estas raíces pueden ser reales o complejas)

2.- Para cada raíz, se hallan soluciones de acuerdo a los

siguientes casos:

CASO 1 (Raíz real de multiplicidad 1)

Si 𝝀 ∈ ℝ es una raíz de multiplicidad 1, entonces una solución

es:

𝒚 = 𝒆𝝀𝒙


constantes

CASO 2 (Raíz real de multiplicidad 𝑟 > 1)

Si 𝝀 ∈ ℝ es una raíz de multiplicidad 𝒓 > 𝟏, entonces se tienen

𝒓 soluciones de la forma:

𝒚𝟏 = 𝒆𝝀𝒙 ; 𝒚𝟐 = 𝒙𝒆

𝝀𝒙 ; 𝒚𝟑 = 𝒙𝟐𝒆𝝀𝒙 ; ⋯ ; 𝒚𝒓 = 𝒙

𝒓−𝟏𝒆𝝀𝒙

CASO 3 (Raíz compleja de multiplicidad 𝟏)

Si 𝝀 = 𝜶 + 𝒊 𝜷 es una raíz de multiplicidad 𝟏, entonces su

conjugada también lo es y por lo tanto tenemos dos

soluciones de la forma:

𝒚𝟏 = 𝒆𝜶𝒙𝒄𝒐𝒔 (𝜷𝒙) ; 𝒚𝟐 = 𝒆

𝜶𝒙 𝒔𝒆𝒏(𝜷𝒙)


constantes

CASO 4 (Raíz compleja de multiplicidad 𝑟 > 1)

Si 𝝀 = 𝜶 + 𝒊 𝜷 es una raíz de multiplicidad 𝒓 > 𝟏, entonces su

conjugada también lo es y por lo tanto tenemos 𝟐𝒓 soluciones

de la forma:

𝒚𝟏 = 𝒆𝜶𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝜷𝒙 ; 𝒚𝟑 = 𝒙𝒆

𝜶𝒙 𝒄𝒐𝒔(𝜷𝒙) ⋯ 𝒚𝟐𝒓−𝟏 = 𝒙𝒓−𝟏𝒆𝜶𝒙 𝒄𝒐𝒔(𝜷𝒙)

𝒚𝟐 = 𝒆𝜶𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝜷𝒙 ; 𝒚𝟒 = 𝒙𝒆

𝜶𝒙 𝒔𝒆𝒏(𝜷𝒙) ⋯ 𝒚𝟐𝒓 = 𝒙𝒓−𝟏𝒆𝜶𝒙 𝒔𝒆𝒏(𝜷𝒙)

3.- El sistema fundamental de soluciones (base del espacio de

soluciones de *) está formado por las 𝒏 funciones

𝝍𝟏; 𝝍𝟐;⋯ ;𝝍𝒏

halladas en el paso anterior. Y la solución general de (*) es:

𝒚𝒉 = 𝜶𝟏 𝝍𝟏 + 𝜶𝟐𝝍𝟐 +⋯+𝜶𝒏𝝍𝒏

donde 𝜶𝒊 ∈ ℝ son constantes reales.

Ejemplo Ejemplo 1

Determine la solución general de las siguientes E.D.

a.- 𝟐𝒚′′′ + 𝟓𝒚′′ + 𝒚′ + 𝟑𝒚 = 𝟎

b.- 𝒚(𝒊𝒗) − 𝒚′′′ − 𝟔𝒚′′ = 𝟎

c.- 𝒚′′′ + 𝒚′′ + 𝒚′ = 𝟎

d.- 𝒅𝟑𝒖

𝒅𝒕𝟑+𝒅𝟐𝒖

𝒅𝒕𝟐− 𝟐𝒖 = 𝟎

e.- 𝒚(𝟒) − 𝟐𝒚′′ + 𝒚 = 𝟎

Solución

Ejercicio 1

Resuelva las siguientes E.D.L

a.- 𝑫𝟐 +𝑫𝟐𝒚 = 𝟎

b.- 𝑫𝟐 + 𝒂𝟐𝟐𝒚 = 𝑫 + 𝒂 𝒚 donde 𝒂 es una constante real

positiva.

c.- 𝟐𝑫 − 𝟏 𝟐𝑫𝟐 − 𝟐 𝟐𝑫 + 𝟏 𝒚 = 𝟎

Solución

Ejercicio 2

Resuelva los siguientes P.V.I.

a.- 𝒚′′′ + 𝟏𝟐𝒚′′ + 𝟑𝟔𝒚′ = 𝟎; 𝒚 𝟎 = 𝟎, 𝒚′ 𝟎 = 𝟏, 𝒚′′ 𝟎 = −𝟕

b.- 𝒚′′ + 𝟐𝒚′ + 𝟐𝒚 = 𝟎; 𝒚 𝟎 = 𝟏, 𝒚′ 𝝅 = 𝟏

Solución

Ejercicio 3

Dos raíces de la ecuación característica de una E.D.L

homogénea con coeficientes constantes son:

𝒎𝟏 = −𝟏

𝟐 ; 𝒎𝟐 = 𝟑 + 𝒊

Halle dicha ecuación diferencial

Solución

Ejercicio 4

En cada caso halle la ecuación diferencial lineal homogénea,

dadas algunas funciones que forman su sistema fundamental

de soluciones

a.- 𝒚𝟏 = 𝒆−𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝒙 ; 𝒚𝟐 = 𝒙𝒆

−𝒙; 𝒚𝟑 = 𝟏

b.- 𝒚𝟏 = 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 ; 𝒚𝟐 = 𝒆𝒙𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 ; 𝒚𝟑 = 𝒆

𝒙 ; 𝒚𝟒 = 𝒙𝒆−𝒙𝒔𝒆𝒏( 𝟐𝒙)

Solución

E.D.L. no homogénea con coeficientes

constantes

Sea la E.D.L. no homogénea con coeficientes constantes

𝒂𝒏𝒅𝒏𝒚

𝒅𝒙𝒏+ 𝒂𝒏−𝟏

𝒅𝒏−𝟏𝒚

𝒅𝒙𝒏−𝟏+⋯+ 𝒂𝟏

𝒅𝒚

𝒅𝒙+ 𝒂𝟎𝒚 = 𝒉(𝒙)

donde

• 𝒂𝒊 ∈ ℝ; 𝒊 = 𝟎; 𝟏;⋯ ; 𝒏 con 𝒂𝒏 ≠ 𝟎

• 𝒉: 𝑰 → ℝ es una función continua en el intervalo 𝐼

Sabemos que la solución general de (*) se puede expresar

como

𝒚 = 𝒚𝒉 + 𝒚𝒑

donde 𝒚𝒉 es la solución general de la E.D.L. homogénea

asociada y 𝒚𝒑 es una solución particular de (*)

()

E.D.L. no homogénea con coeficientes

constantes

Procedimiento de solución

1.- Se hallan la solución general de la E.D.L. homogénea

asociada a (*)

𝒚𝒉 = 𝒄𝟏𝒚𝟏 + 𝒄𝟐𝒚𝟐 +⋯+ 𝒄𝒏𝒚𝒏

2.- Se halla una solución particular 𝒚𝒑 de (*) usando el método

de coeficientes indeterminados

3.- La solución general de (*) será:

𝒚 = 𝒚𝒉 + 𝒚𝒑

Método de coeficientes indeterminados

para hallar 𝑦𝑝

Éste método permite calcular una solución particular 𝒚𝒑 de la

E.D.L. (*) para el caso particular en el que 𝒉: 𝑰 → ℝ tiene

cualquiera de las siguientes formas

• 𝒉 𝒙 = 𝑷𝒏(𝒙): función polinomial

• 𝒉 𝒙 = 𝒆𝒂𝒙: función exponencial

• 𝒉 𝒙 = 𝒔𝒆𝒏(𝒃𝒙): función seno

• 𝒉 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔(𝒃𝒙): función coseno

• 𝒉 𝒙 : suma y productos finitos de las funciones

anteriores.

El método consiste en

1.- Proponer una solución particular 𝒚𝒑 según la forma de la

función 𝒉

2.- Reemplazar 𝒚𝒑 en la E.D.L. y hallar los coeficientes.



CASO 1: ℎ(𝑥) = polinomio de grado 𝑛 ∈ ℕ ∪ 𝟎

Si 𝒓 = 𝟎 no es raíz del polinomio característico de (*) entonces

la solución particular 𝒚𝒑 es de la forma:

𝒚𝒑 = Polinomio de grado 𝑛

Si 𝒓 = 𝟎 es una raíz de multiplicidad 𝑘 del polinomio

característico de (*) entonces la solución particular 𝒚𝒑 es de la

forma:

𝒚𝒑 = 𝒙𝒌( Polinomio de grado 𝑛)

Ejemplo Ejemplo 1

Determine la solución general de las siguientes ecuaciones

a.- 𝒚′′ − 𝒚′ − 𝟔𝒚 = 𝒙 + 𝟏

b.- 𝒚′′ − 𝟕𝒚′ = (𝒙 − 𝟏)𝟐

Solución



CASO 2: ℎ 𝑥 = 𝒆𝒂𝒙 (Polinomio de grado 𝑛 ∈ ℕ ∪ 𝟎 )

Si 𝒓 = 𝒂 no es raíz del polinomio característico de (*) entonces

la solución particular 𝒚𝒑 es de la forma:

𝒚𝒑 = 𝒆𝒂𝒙( Polinomio de grado 𝑛 )

Si 𝒓 = 𝒂 es una raíz de multiplicidad 𝑘 del polinomio


forma:

𝒚𝒑 = 𝒙𝒌 𝒆𝒂𝒙( Polinomio de grado 𝑛)

Ejemplo Ejemplo 1


a.- 𝒚′′ − 𝒚′ − 𝟔𝒚 = 𝒆𝟓𝒙

b.- 𝒚′′ − 𝟔𝒚′ + 𝟖𝒚 = 𝒙𝒆𝟐𝒙

Solución



CASO 3: ℎ 𝑥 = 𝒆𝒂𝒙 𝑷𝒏 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒃𝒙 + 𝑸𝒎 𝒙 𝒔𝒆𝒏(𝒃𝒙) donde

𝑃𝑛(𝑥) y 𝑄𝑚(𝑥) son polinomios de grados 𝑛 ∈ ℕ ∪ 0 y 𝑚 ∈ ℕ ∪ 0

respectivamente

Si 𝒓 = 𝒂 + 𝒊𝒃 no es raíz del polinomio característico de (*)

entonces la solución particular 𝒚𝒑 es de la forma:

𝒚𝒑 = 𝒆𝒂𝒙 𝑷𝒔 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒃𝒙 + 𝑸𝒔 𝒙 𝒔𝒆𝒏(𝒃𝒙)

donde 𝑷𝒔 (𝒙) y 𝑸𝒔 (𝒙) son polinomios de grado 𝒔 = 𝒎𝒂𝒙 𝒏;𝒎

Si 𝒓 = 𝒂 + 𝒊𝒃 es raíz de multiplicidad 𝒌 del polinomio


forma:

𝒚𝒑 = 𝒙𝒌𝒆𝒂𝒙 𝑷𝒔 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒃𝒙 + 𝑸𝒔 𝒙 𝒔𝒆𝒏(𝒃𝒙)

donde 𝑷𝒔 (𝒙) y 𝑸𝒔 (𝒙) son polinomios de grado 𝒔 = 𝒎𝒂𝒙 𝒏;𝒎

Ejemplo Ejemplo 1


a.- 𝒚′′ − 𝒚′ + 𝟗𝒚 = 𝟐𝟓𝒆𝒙𝒔𝒆𝒏𝒙

b.- 𝒚′′ + 𝒚′ − 𝟔𝒚 = −𝟓𝟎𝒔𝒆𝒏𝒙

Solución



CASO 4: ℎ 𝑥 = suma algebraica de los casos anteriores.

En este caso la solución particular 𝒚𝒑 también será una suma

algebraica de las soluciones particulares correspondientes a

los casos 1,2 y 3.

Ejemplo Ejemplo 1


a.- 𝒚′′ + 𝟔𝒚′ + 𝟖𝒚 = 𝟑𝒆𝟓𝒙 + 𝒙𝟐 + 𝟏

b.- 𝒚′′ − 𝟐𝒚′ − 𝟑𝒚 = 𝒙𝒆𝟑𝒙 + 𝒔𝒆𝒏(𝒙)

Solución

Bibliografía

2. Ecuaciones diferenciales técnicas de solución y aplicaciones-

José V. Becerril Espinoza y David Elizarraraz Matrtínez

3. Calculus - James Stewart

1.Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado-

Dennis G. Zill

4. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones – Jaime Escobar A.

s6 edo lineales_coef_const_homogeneas_no_homogeneas

Engineering