Sadrzaj

1 Uvod i motivacija 1

2 Uvod u kategorije 3

3 Funktori i prirodne transformacije 4

4 Adjungirani funktori 6

5 Monoidalne kategorije 6

6 Unutarnji end-objekt 8

7 LP kategorija 9

8 Posebni objekti u LP kategoriji 12

9 Leibnizove algebre 14

10 Ideal u LP 14

11 Derivacija algebre u LP 16

12 Simetricna algebra u LP i njene derivacije 17

13 Jezgra preslikavanja 1⊗s f 18

14 Elementarne derivacije 19

15 Objekt derivacija u LP 21

16 Komutacijske relacije u D0 24

17 Weylova algebra objekta u LP 25

18 Gornje komutacijske relacije 27

19 Interna Weylova algebra u LP 27

20 Kontekst Lodayevih algebri 28

21 Zahvale 30

i

1 Uvod i motivacija

Motiviran algebarskom topologijom, napose K-teorijom i njenim vezama s kohomologijama Lieje-vih algebri, J. P. Loday je u [14] uveo kohomologije sire klase algebri od Liejevih algebri, tzv.Leibnizovih algebri. Leibnizove algebre koje dolaze u dvije varijante, lijeve i desne Leibnizove al-gebre, takoder su vektorski prostori s jednom operacijom koja se naziva zagradom i oznacava s[ , ]. Trazi se samo da je operator ad a = adla = [a, ] : L → L (za lijevu Leibnizovu algebruL) ili adr = [ , a] : L → L (za desnu Leibnizovu algebru L) derivacija para (L, [ , ]) promatranogkao neasocijativna algebra, tj. da vrijedi Leibnizovo pravilo u odnosu na [, ]. Ne trazi se anti-simetricnost. Leibnizovo pravilo je u prisustvu antisimetrije ekvivalentno Jacobijevom identitetu,dok je opcenito slicno, ali ne bas isto. Ako podijelimo Leibnizovu algebru nad poljem karakteristike0 s idealom razapetim svim kvadratima dobijemo kvocijent, L/〈l2, l ∈ L〉 koji je Liejeva algebra,zajedno s kanonskom projekcijom p : L → L/〈 l2, l ∈ L〉 koja je morfizam L/〈l2, l ∈ L〉-modula.Projekcija p : L → L/〈 l2, l ∈ L〉 primjer je interne Liejeve algebre u jednoj tenzorskoj kate-goriji koju su Loday i Pirashvili konstruirali kao kontekst u kojem mnoge konstrukcije vezane uzLeibnizove algebre imaju prirodnu interpretaciju.

Grubo govoreci, monoidalne kategorije su kategorije s monoidalnim (ili “tenzorskim”) pro-duktom koji je bifunktor prirodan u obje varijable i asocijativan do na prirodnu transformaciju.Koncept tenzorske kategorije zavisi od autora do autora, no u principu tenzorska kategorija jemonoidalna kategorija s nekim dodatnim svojstvima, npr. da je simetricna, aditivna ili linearna islicno.

Kategorija vektorskih prostora je simetricna zatvorena monoidalna kategorija: simetricna znacida ima neku simetriju, koja je kategorijski analogon komutativnosti produkta, a zatvorena daumjesto skupa morfizama hom(A,B) za svaka dva objekta A i B, mozemo uvesti objekt morfizamahom(A,B) ili unutarnji hom, koji je kao funktor u drugoj varijabli desni adjungirani funktorfunktoru tenzoriranja s prvom varijablom.

Krenuvsi od bilo koje kategorije V0 mozemo konstruirati kategoriju morfizama Arr(V0): objektite kategorije su morfizmi u V, a morfizmi i f : V −→ W u f ′ : V ′ −→ W ′ su komutativni kvadratioblika

V

f

��

u // V ′

f ′

��W

v // W ′.

Ukoliko umjesto kategorije V0 gledamo neku monoidalnu kategoriju V = (V0,⊗, I, a, l, r) tada i kat-egorija Arr(V0) dobiva prirodnu strukturu monoidalne kategorije: za objekte u Arr(V0) tenzoriramodomene posebno, kodomene posebno i morfizme posebno, i lako to prosirimo na morfizme (mor-fizama). To je standardna monoidalna struktura Arr(V). U slucaju kad je V simetricna zatvorenamonoidalna kategorija, Loday i Pirashvili uveli su na Arr(V0) nestandardnu simetricnu zatvorenumonoidalnu strukturu koju su oni nazvali “infinitezimalnom” i koja je objasnjena u glavnom tekstu.Ta tenzorska kategorija oznacava se sa LPV , a ako je pocetna simetricna zatvorena monoidalna kat-egorija V kategorija vektorskih prostora nad fiksnim poljem karakteristike nula tada je oznacavamoprosto sa LP. Definicije asocijativne algebre, Liejeve algebre, (bi)modula nad asocijativnim alge-brama itd. lako se napisu u terminima tenzorskog produkta i morfizama, bez spominjanja eleme-nata, tako da imaju smisla u opcenitijim monoidalnim kategorijama. U LP teorija Liejevih algebriima jako lijepa svojstva slicna klasicnom slucaju: imamo recimo omotacke algebre i PBW teorem,

1

analogon Adovog teorema i slicno (dokaz se nalazi u [10]). Veliki i znacajni problem, je naci analo-gon globalnih Liejevih objekata, tj. analogona Liejevih grupa te funktorijalne korespodencije medu(povezanim jednostavno povezanim) realnim Liejevim grupama i realnim Liejevim algebrama (Lie-Cartanov teorem). Adov teorem je u vecini klasicnih dokaza Lie-Cartanovog teorema netrivijalni ikljucni korak, sto, uz dobra svojstva tenzorske kategorije Lodaya i Pirashvilija daje nadu da bi semoglo prosiriti i na taj kontekst. Pronalazak “Leibnizovih grupa” bio bi korolar.

Kod korespodencije Liejevih grupa i algebri bitno je razumijeti invarijantna vektorska poljana Liejevim grupama, te za omotacke algebre, invarijantnih diferencijalnih operatora. Ako razma-tramo Liejevu grupu kao algebarsku grupu, tada funkcije na algebarskoj grupi cine Hopfovu algebruna kojoj ti diferecijalni operatori djeluju te se invarijantnost isto moze reci u algebarskim terminima(koristeci koprodukt Hopfove algebre funkcija na grupi). Lokalno, algebra regularnih diferencijal-nih operatora izomorfna je Weylovoj algebri, tako da je Weylova algebra od temeljnog znacenjau teoriji regularnih diferencijalnih operatora i snopova modula nad snopom regularnih diferenci-jalnih operatora, tzv. D-modula, koji su od centralnog znacenja u modernoj teoriji reprezentacijaLiejevih algebri i Liejevih grupa, posebno nakon fundamentalnog rada Beilinsona i Bernsteinao lokalizaciji. Ocito da je dakle razumijevanje derivacija, regularnih diferencijalnih operatora iWeylove algebre dakle od fundamentalnog znacenja za program globalizacije Leibnizovih algebri iopcenitije, Liejevih algebri u LP kategoriji.

U ovom radu uspjeli smo naciniti nekoliko prvih koraka u tom pogledu. Prije svega, mozemorazmatrati unutarnje algebre (interni monoidi) u monoidalnim kategorijama, a ako je monoidalnakategorija i aditivna (na kompatibilan nacin), npr. LP, tada se mogu gledati derivacije (unutarn-jih) algebri. Algebra A u LP je ekvivalentna preslikavanju g : M → A A-bimodula gdje je Aobicna algebra nad poljem, a M je A-bimodul. Simetricna algebra objekta V := (f : V → W )je unutarnja algebra S(V ) = (S(W ) ⊗ V → S(W )) u LP gdje je ⊗ simetricni tenzorski produkt,a S(W ) simetricna algebra vektorskog prostora W ; inducirano prelikavanje S(W ) ⊗ V → S(W )dobiveno je prosirenjem od identite na W i f : V → W . Derivacije obicne simetricne algebren-dimenzionalnog vektorskog prostora su oblika

∑Pi∂i gdje je Pi polinom u n varijabli, a ∂i je

i-ta parcijalna derivacija. Derivacija algebre M → A u LP par je preslikavanja (dM , dA) kojizadovoljavaju neku kompatibilnost i neki isprepleteni analogon Leibnizovih pravila (dA : A → Azadovoljava obicno Leibnizovo pravilo, no dM : M →M zadovoljava pravilo koje ovisi i o dA). Zbogtoga se situacija s nalazenjem generatora komplicira, no nadene su “elementarne derivacije” kojepoopcuju parcijalne derivacije, i kojih ima nekoliko tipova. Kao druga komplikacija, jezgra induci-ranog preslikavanja S(W )⊗V → S(W ) veca je od najmanjeg S(W )-podmodula od S(W )⊗V kojesadrzi ker f , naime ono sadrzi i kombinacije tipa f(v1)v2 − f(v2)v1 gdje su v1, v2 ∈ V . To dodatnojezgro stvara velika usloznjenja i nove fenomene u dokazima, kojih nema u klasicnom slucaju.

Nasli smo komutacijske relacije medu “elementarnim derivacijama” i razmatrali najmanju po-dalgebru algebre endomorfizama simetricne algebre koja sadrzi sve elementarne derivacije i samusimetricnu algebru (ciji su elementi ulozeni u algebru endomorfizama kao operatori (pred)mnozenja).Ta algebra je jednostavniji analogon Weylove algebre u LP (pri cemu su V i W su konacno di-menzionalni) koji nazivamo Weyl0(V ) i koja je zapravo “donji dio” unutarnje algebre Weyl u LPkoja je zapravo projekcija tipa Weyl1(V ) → Weyl0(V ) i koja je unutarnja podalgebra unutarnjeg

End-a unutarnje simetricne algebre S(V ) objekta V = (Vf−→W ) u LP s konacno-dimenzionalnim

V i W . Ta unutarnja podalgebra najmanja je unutarnja podalgebra u LP koja sadrzi unutarnjimodul derivacija od S(V ) koji je takodjer veci od modula derivacija i unutarnji je modul nad ci-jelom unutarnjom algebrom S(V ) radije nego samo obicni modul nad donjom komponentom S(W ).

2

Primijetimo da klasicna Weylova algebra zavisi samo od dimenzije n, dok struktura Weylove al-gebre u LP zavisi od dimenzije od V , dimenzije od W i od dimenzije jezgre linearnog operatoraf : V →W (ili, ekvivalentno, od indeksa od f).

2 Uvod u kategorije

Definicije i klasicne rezultate koje cemo ovdje napisati moze se pronaci u mnogim knjigama. U [1]se kategorija definira na sljedeci nacin.

2.1. Definicija. Kategorija C sastoji se od:1) klase Ob(C) objekata u C;2) svakom uredenom paru (A,B) objekata u C pridruzenog skupa C(A,B) (ili u drugoj oznacihom(A,B)) cije elemente zovemo morfizme s domenom A i kodomenom B;3) svakoj uredenoj trojci (A,B,C) objekata iz C pridruzenog preslikavanja

◦ : C(A,B)× C(B,C) → C(A,C)

kojeg zovemo komponiranje i koje svakom paru (f, g) morfizama iz domene pridruzuje morfizamg ◦ f (ili samo gf) iz kodomene;4) svakom objektu A iz C pridruzenog morfizma 1A ∈ C(A,A) kojeg nazivamo identiteta na A;

takvih da vrijede sljedeci aksiomi

(C1) skupovi C(A,B) i C(A′, B′) su disjunktni osim ako je A = A′ i B = B′;(C2) kompozicija je asocijativna, tj. za svake f ∈ C(A,B), g ∈ C(B,C), h ∈ C(C,D) je

h ◦ (g ◦ f) = (h ◦ g) ◦ f ;

(C3) za svake f ∈ C(A,B), g ∈ C(B,C) vrijedi

1B ◦ f = f, g ◦ 1B = g.

Obicno za f ∈ C(A,B) pisemo f : A→ B.Nadalje u [8] je pokazana sljedeca jednostavna propozicija, te su dani mnogi primjeri kategorija

koje i ovdje navodim.

2.2. Propozicija. Za bilo koji objekt A u C morfizam 1A : A→ A je jedinstven.

2.3. Primjeri.1. Sa Set oznacavamo kategoriju ciji su objekti skupovi, a skup morfizam za dva objekta je skupsvih preslikavanja izmedu ta dva skupa.2. Sa Grp oznacavamo kategoriju ciji objekti su grupe, a morfizmi homomorfizmi grupa.3. Sa Top oznacavamo kategoriju ciji objekti su topoloski prostori, a morfizmi neprekidna pres-likavanja.

Morfizmi ne moraju nuzno biti preslikavanja:

3

4. Sa Mk oznacimo kategoriju ciji su objekti elementi skupa N (prirodni brojevi), a za danem,n skup Mk(m,n) cine matrice tipa (m,n) s elementima iz polja k.5. Kategoriju cine i topoloski prostori pri cemu za morfizme uzimamo homotopske klase preslika-vanja medu njima.

2.4. Definicija. Za kategoriju B kazemo da je podkategorija kategorije C ako je zadovoljeno1) Ob(B) ⊂ Ob(C),2) Mor(B) ⊂Mor(C),3) domena, kodomena i komponiranje u B su restrikcije pripadnih preslikavanja u C,4) svaka B-identiteta je C-identiteta.

2.5. Definicija. Za podkategoriju kazemo da je puna podkategorija ako za svake A,B ∈ Ob(B)vrijedi B(A,B) = C(A,B).

2.6. Definicija. Produkt kategorija C1, C2, ..., Cn je kategorija cija je klasa objekata C1 × C2 ×· · ·×Cn, a klasa morfizama Mor(C1)×Mor(C2)×· · ·×Mor(Cn) pri cemu je kompozicija definiranapo komponentama. (Treba provjeriti da je ovo zaista kategorija.)

2.7. Definicija. Suprotna kategorija kategorije C je kategorija Cop ciji objekti i morfizmi suisti kao objekti i morfizmi kategorije C, ali su domena i kodomena zamijenjeni, te je kompozicijadefinirana ’u suprotnom smjeru’, tj. ako je ◦ kompozicija u C, a * u Cop onda vrijedi f ∗ g = g ◦ f .

2.8. Definicija. Kazemo da je morfizam f : A→ Ba) sekcija ako postoji morfizam g : B → A takav da je g ◦ f = 1A;b) retrakcija ako postoji morfizam g : B → A takav da je f ◦ g = 1B;c) izomorfizam ako je sekcija i retrakcija.

2.9. Definicija. Kazemo da je morfizam f : A→ Ba) monomorfizam ako za svaka dva morfizma g, h : C → A vrijedi fg = fh⇒ g = h;b) epimorfizam ako za svaka dva morfizma g, h : B → C vrijedi gf = hf ⇒ g = h;c) bimorfizam ako je monomorfizam i epimorfizam.

2.10. Definicija. Kazemo da su objekti A i B izomorfni ako postoji barem jedan izomorfizamizmedu njih.

3 Funktori i prirodne transformacije

Mnogi primjeri su dani u [7]. Iz tog izvora preuzeo sam sljedece definicije.

3.1. Definicija. Neka su C i D kategorije. Funktor iz C u D se sastoji od preslikavanja kojesvakom objektu A iz C pridruzuje objekt FA iz D, te svakom morfizmu f : A→ B u C pridruzujemorfizam F (f) : FA→ FB tako da vrijedi:

F (f ◦ g) = F (f) ◦ F (g), F (1A) = 1FA.

Za ovako definiran funktor kazemo da je kovarijantan. Ukoliko imamo funktor F : Cop → Donda kazemo da je F kontravarijantan funktor iz C u D.

Ukoliko je domena funktora produkt dviju kategorija onda takav funktor nazivamo i bifunk-torom (analogno imamo n-funktor).

4

3.2. Definicija. Kazemo da je funktor F : C → Da) vjeran ako je restrikcija F |D(FA,FA′)

C(A,A′) injektivna;

b) pun ako je restrikcija F |D(FA,FA′)C(A,A′) surjektivna;

c) gust ako za svaki objekt B ∈ Ob(D) postoji objekt A ∈ Ob(C) takav da je FA izomorfno B.Ovi pojmovi su vazni jer pun, vjeran i gust funktor cuva monomorfizme, epimorfizme, izomor-

fizme, retrakcije, sekcije, komutativne trokute...

3.3. Definicija. Neka su F : A → B i G : B → A funktori. Prirodna transformacija η se sastojiod klase {ηA, A ∈ Ob(A)} morfizama u B

ηA : FA→ GA,

takvih da za svaki A-morfizam f : A→ A′ komutira dijagram

FAηA //

F (f)��

GA

G(f)��

FA′ηA′ // GA′.

Kazemo da je prirodna transformacija η prirodni izomorfizam ako je ηA izomorfizam za svakiobjekt A u A. Kazemo da su funktori F,G prirodno izomorfni (F ∼= G) ako postoji prirodniizomorfizam izmedu njih.

3.4. Kompozicije prirodnih transformacija. Prirodne transformacije mozemo komponiratina dva nacina koja nazivamo vertikalna i horizontalna kompozicija i one su vezane zakonom prepli-tanja. Obicno se horizontalna kompozicija naziva Godementov produkt i oznacava sa ?, dok jevertikalna kompozicija analogon kompozicije preslikavanja i oznacava se s ◦. One su vezane za-konom preplitanja:

(α ◦ β) ? (γ ◦ δ) = (α ? γ) ◦ (β ? δ).

U daljnjem tekstu nece nam biti potrebna ta terminologija, pa zainteresirani citatelj za detaljemoze pogledati [1] ili [7].

3.5. Izomorfizmi kategorija. Da bismo opisali kada su kategorije ’esencijalno’ jednake prvouvodimo pojam izomorfizma medu kategorijama. Kazemo da je funktor F : A → B izomorfizamiz A u B ako postoji funktor G : B → A takav da je

G ◦ F = 1A, F ◦G = 1B.

Kazemo da su kategorije A i B izomorfne ako postoji barem jedan izomorfizam izmedu njih.Buduci da nema mnogo primjera izomorfnih kategorija uvodimo pojam ekvivalentnih kate-

gorija.

3.6. Definicija. Kazemo da je kategorija C skeletalna ako medu objektima u C nema razlicitihizomorfnih objekata. Skelet kategorije C je maksimalna puna skeletalna podkategorija od C.

3.7. Definicija. Kazemo da su kategorije A i B ekvivalentne ako imaju izomorfne skelete.U [5] je dokazan sljedeci vrlo vazan teorem.

5

3.8. Teorem. Neka je F : A → B funktor, tada su ekvivalentna slijedece cinjenice:1) F je pun, vjeran i gust,2) postoji funktor G : B → A takav da je F ◦G ∼= 1A i G ◦ F ∼= 1B,3) kategorije A i B su ekvivalentne.U tom slucaju funktor F nazivamo ekvivalencija.

4 Adjungirani funktori

Mnogo cesce od ekvivalencije kategorija pojavljuje se pojam adjunkcije. Cinjenica da funktor imalijevi ili desni adjungurani funktor je slabija od cinjenice da funktor ima inverz, ali je dovoljno jakada sacuva i opise mnoga bitna svojstva kategorija.

4.1. Definicija. Neka su A i B kategorije. Ako su F : B → A i G : A → B funktori, te η : 1B →G ◦ F i ε : F ◦G→ 1A prirodne transformacije takve da je

Gη∗G→ G ◦ F ◦G G∗ε→ G = G

1G→ G,

FF∗η→ F ◦G ◦ F ε∗F→ F = F

1F→ F,

kazemo da se radi o adjunkciji. Takoder, kazemo da je F lijevi adjungirani funktor od G,a G desni adjungirani funktor od F , te oznacavamo

(η, ε) : F a G.

Kazemo da je η jedinica, a da je ε kojedinica adjunkcije.Naravno, ekvivalencija je samo poseban slucaj adjunkcije. Kasnije cemo adjunkciju dokazivati

koristeci sljedeci teorem koji je dokazan u [7]. Teorem iskazujemo u oznakama prethodne definicije.

4.2. Teorem. F je lijevi adjungirani funktor od G ako i samo ako su bifunktori hom(F−,−) : Bop×A → Set i hom(−, G−) : Bop ×A → Set prirodno izomorfni.

5 Monoidalne kategorije

Na pocetku [13] dane su definicije osnovnih pojmova teorije kategorije, te je uveden pojam striktnei slabe monoidalne kategorije uz nekoliko primjera.

5.1. Definicija. Monoidalna kategorija je uredena sestorka V = (V0,⊗, I, a, l, r) pri cemu jeV0 kategorija, ⊗ : V0 × V0 → V0 funktor, I objekt u V0, te aXY Z : (X ⊗ Y ) ⊗ Z → X ⊗ (Y ⊗ Z),lX : I ⊗X → X, rX : X ⊗ I → X prirodni izomorfizmi takvi da su zadovoljeni aksiomi koherencijeizrazeni sljedecim komutativnim dijagramima:

((W ⊗X)⊗ Y )⊗ Za //

a⊗1��

(W ⊗X)⊗ (Y ⊗ Z) a // W ⊗ (X ⊗ (Y ⊗ Z))

(W ⊗ (X ⊗ Y ))⊗ Za // W ⊗ ((X ⊗ Y )⊗ Z),

1⊗a

OO

(X ⊗ I)⊗ Ya //

r⊗1

''NNNNNNNNNNNX ⊗ (I ⊗ Y )

1⊗lwwppppppppppp

X ⊗ Y.

6

Poseban tip monoidalnih kategorija su kartezijeve monoidalne kategorije kod kojih je V0

kategorija koja ima konacne produkte, ⊗ je produkt × u toj kategoriji, I je terminalni objekt,a a, l, r su kanonski izomorfizmi. Opcenito, ⊗ nazivamo tenzorski produkt, a I jedinicni objekt umonoidalnoj kategoriji.

5.2. Primjeri. Kartezijeve monoidalne kategorije su Set, Cat, Gpd, Top- kategorije skupova,kategorija, grupoida, topoloskih prostora. Sve ove kategorije su simetricne, te su sve osim Topzatvorene. Primjeri ne-kartezijevih (simetricnih, zatvorenih) kategorija su Ab, R-Mod- abelovihgrupa, R-modula za komutativan prsten R s uobicajenim tenzorskim produktom ⊗. Primjer nes-imetricne monoidalne kategorije je kategorija bimodula nad nekomutativnim prstenom R s ten-zorskim produktom ⊗R. Jos jedan primjer nesimetricne monoidalne kategorije je kategorija endo-funktora male kategorije s kompozicijom kao tenzorskim produktom. Pritom su a, l, r identitete, atakvu kategoriju nazivamo striktno monoidalna kategorija.

5.3. Nadalje cu promatrati monoidalne kategorije V za koje je V0 lokalno mala (sto znaci da suskupovi morfizama mali u odnosu na dani univerzum u kojem sve promatramo). Tada imamoreprezentabilan funktor

V0(I,−) : V0 → Set

kojeg cemo oznacavati s V . U slucaju Set, Top, Ab, R-Mod funktor V je zapravo zaboravnifunktor. U tim slucajevima je V vjeran, no to ne mora biti opcenito. U slucaju Cat, Gpd V X jeskup objekata odX. Ipak, unatoc tome sto V nije uvijek vjeran, element f od V X (tj. preslikavanjef : I → X u V0) cemo zvati element f od X.

U [9], 1.2. je opisano na koji nacin se za svaku monoidalnu kategoriju moze konstruirati 2-kategorija V−CAT. U toj kategoriji za svaka dva objekta postoji objekt u V0 kojeg nazivamo hom-objekt (unutarnji hom), te postoje preslikavanja koja predstavljaju kompoziciju i jedinicni element.Ovdje necemo ulaziti u strukturu 2-kategorija, ali cemo se kasnije pozabaviti hom-objektom, pazainteresirani citatelj detalje moze pronaci u navedenoj literaturi. Nadalje u [9] su dani i pojmovisimetricne monoidalne kategorije i zatvorene monoidalne kategorije.

5.4. Definicija. Simetrija u monoidalnoj kategoriji V je prirodni izomorfizam cXY : X ⊗ Y →Y ⊗X koji zadovoljava sljedece aksiome koherencije:

X ⊗ Yc //

1 %%KKKKKKKKKK Y ⊗X

c��

X ⊗ Y,

(X ⊗ Y )⊗ Za //

c⊗1��

X ⊗ (Y ⊗ Z) c // (Y ⊗ Z)⊗X

a

��(Y ⊗X)⊗ Z a

// Y ⊗ (X ⊗ Z)1⊗c

// Y ⊗ (Z ⊗X),

I ⊗Xc //

l

%%KKKKKKKKKK X ⊗ I

ryyssssssssss

X ⊗ Y.

7

Iz posljednjeg dijagrama vidimo da se l moze definirati preko r, pa nam tada taj dijagramnije potreban kao jedan od koherencijskih aksioma. U monoidalnoj kategoriji moze postojati viseod jedne simetrije. Za kartezijevu monoidalnu kategoriju uvijek postoji ocita kanonska simetrijac : X⊗Y → Y ⊗X. Monoidalnu kategoriju V sa simetrijom nazivamo simetricnom monoidalnomkategorijom.

5.5. Definicija. Kazemo da je monoidalna kategorija V zatvorena ako svaki funktor −⊗Y : V0 →V0 ima desni adjungirani funktor [Y,−] tako da imamo adjunkciju

V0(X ⊗ Y, Z) ∼= V0(X, [Y, Z])

s jedinicom i kojedinicom (koja se ponekad naziva evaluacija)

d : X → [y,X ⊗ Y ] e : [Y, Z]⊗ Y → Z.

Stavimo li u spomenutu adjunkciju X = I, te primjenimo li l : I ⊗ Y ∼= Y dobivamo prirodniizomorfizam

V0(Y, Z) ∼= V [Y, Z],

gdje je V reprezentabilan funktor iz 5.3. Buduci da je [Y, Z] podizanje skupa morfizama V0(Y, Z)po V , taj objekt nazivamo unutarnji hom od Y i Z.

Navedimo jos da je Top primjer simetricne (kartezijeve) monoidalne kategorije koja nije zatvorena.Naime, −× Y ne moze imati desni adjungirani funktor jer ne cuva regularne epimorfizme.

Mnogo vise o simetricnim zatvorenim monoidalnim kategorijama, te o obogacenim kategorijamamoze se naci u [2].

6 Unutarnji end-objekt

Zbog jednostavnosti u ovom dijelu cu raditi sa striktno monoidalnom kategorijom V.

6.1. Definicija. Neka je A objekt u V0. Tada je unutarnji end-objekt objekt E u V0 smorfizmom ρ : E ⊗A→ A takav da za svaki objekt Z u V0 i svaki morfizam f : Z ⊗A→ A postojijedinstveni morfizam

g : Z → E

takav da sljedeci dijagram komutira:

Z ⊗Af //

g⊗1A

��

A

E ⊗A

ρ

;;xxxxxxxxx

6.2. Propozicija. E ima jedinstvenu strukturu monoida u V takvu da je ρ djelovanje.

Dokaz. Neka je Z = E⊗E,f = ρ◦(E⊗ρ) i µ = g : E⊗E → E za par (Z, f). Tada je µ asocijativno

8

prema vanjskom dijelu sljedeceg komutativnog dijagrama i prema univerzalnosti od E:

E2 ⊗ E ⊗A' //

µ⊗E⊗A��

µ⊗ρ

&&NNNNNNNNNNN E ⊗ E2 ⊗A

E⊗E⊗ρ��

E⊗µ⊗A

''NNNNNNNNNNN

E2 ⊗AE⊗ρ //

µ⊗A

��

E ⊗A

ρ

��

E2 ⊗A

E⊗ρ��

µ⊗Aoo E2 ⊗A

E⊗ρwwppppppppppp

µ⊗A

��

E ⊗Aρ

wwpppppppppppp

E ⊗Aρ // A E ⊗Aρ

oo

Slicno, definiramo jedinicno preslikavane η : I → E koristeci ”kompatibilnost jedinice i (pretpostavl-jenog) djelovanja” i univerzalnost od E: zahtjevamo ρ ◦ (η ⊗ A) = l ◦ A gdje je l lijevi jedinicniizomorfizam u monoidalnoj kategoriji V. Dijagram

E ⊗ I ⊗A

E⊗η⊗A��

E⊗lA

&&NNNNNNNNNNN

E ⊗ E ⊗AE⊗ρ //

µ⊗A��

E ⊗A

ρ

��E ⊗A

ρ // A

komutira, pa prema univerzalnosti od E, µ ◦ (E ⊗ η) = lA ' E.Jedinstvenost slijedi jer je µ jednoznacno odreden aksiomima djelovanja i univerzalnoscu od

E. �

7 LP kategorija

Kao sto sam spomenuo u uvodu sredisnja tema ovog rada je prouciti kako izgledaju odredeniposebni objekti u LP kategoriji. Ovu kategoriju kao monoidalnu kategoriju s odredenim tenzorskimproduktom poceli su proucavati Loday i Pirashvili zbog veze koju su otkrili izmedu Leibnizovihalgebri klasicno i objekata Liejevih algebri u toj kategoriji. Kategoriju linearnih preslikavanja onisu standardno oznacavali s LM , a u ovom radu prema njihovih inicijalima nazivam tu kategorijukako bih naglasio da pricam o kategoriji s odredenim tenzorskim produktom kojeg su oni uveli u[16] i [17]. Definicije citarimo iz tih radova.

U citavom tekstu radit cu s vektorskim prostorima nad fiksnim poljem k. Vektorski prostorii linearna preslikavanja medu njima cine simetricnu striktno monoidalnu kategoriju s uobicajenimtenzorskim produktom i poljem k kao jedinicom. Tu kategoriju oznacavam s V ect.

7.1. Definicija. LP kategorija je kategorija ciji objekti su k-linearna preslikavanja f : V → Wgdje su V,W k-vektorski prostori, ciji morfizmi su parovi linearnih preslikavanja (α1 : V → V ′, α0 :W →W ′) takvi da sljedeci dijagram komutira:

9

Vα1 //

f

��

V ′

f ′

��W

α0 // W ′.

Kompozicija morfizama je definirana po komponentama, tj. slaganjem komutatvnih kvadratajednog do drugog. Definirajmo tenzorski produkt dvaju objekta u LP s

V

f⊗��W

V ′

f ′:=��

W ′

V ⊗W ′ +W ⊗ V ′

f⊗1W ′+1W⊗f ′

��W ⊗W ′

U citavom tekstu kad cu govoriti o objektima poput V (domene objekta) koristit cu termin”gore”, a kad cu govoriti o W (kodomeni objekta) koristit cu izraz ”dolje”.

7.2. Propozicija. Uz ovako definiran tenzorski produkt LP je simetricna zatvorena striktnomonoidalna kategorija.

Dokaz. Simetrija je dana s τ : X ⊗ Y → Y ⊗ Y na ocit nacin. Aksiomi koherencije se lako provjer-avaju, a cinjenici da je ta kategorija zatvorena posvetit cu cijelu jednu tocku. �

Prema [17] u vecini tenzorskih kategorija tenzorski produkt je lijevo-adjungirani funktor inter-nom hom-funktoru, tj.

hom(A,hom(B,C)) ∼= hom(A⊗B,C).

Ova cinjenica nije dokazana u [17], pa cu njen dokaz napraviti u nastavku.U LP kategoriji postoji interni hom-funktor. Neka su (V = f : V →W ) i (V ′ = f ′ : V ′ →W ′)

objekti u LP. Tada jehom(V , V ′) = (φ : X → Y ),

gdje jeY = HomLP (V , V ′) = {α : V → V ′, β : W →W ′ | f ′ ◦ α = β ◦ f},X = {(α, β, ϕ | ϕ : W → V ′, β = f ′ ◦ ϕ},

a φ preslikavanje koje zaboravlja dijagonalu ϕ.

7.3. Adjunkcija tenzorskog produkta −⊗B i hom-objekta hom(B,−) u LP.

Dokaz. Neka su A,C neka dva objekta u LP. Zelimo pokazati da postoji prirodni izomorfizam ψizmedu hom(A⊗B,C) i hom(A,hom(B,C)). Elementi u hom(A⊗B,C) su trojke

q = (q0 : A0 ⊗B0 → C0, q1 : A1 ⊗B0 → C1, q2 : A0 ⊗B1 → C1)

takve da komutira dijagram

A1 ⊗B0 +A0 ⊗B1q1+q2 //

fA⊗B0+A0⊗fB

��

C1

fC

��A0 ⊗B0

q0 // C0.

10

S druge strane, oznacimo li hom(B,C) = (φ : X → Y ), elementi u hom(A,hom(B,C)) suparovi

p = (p1 : A1 → X, p0 : A0 → Y )

takvi da komutira dijagram

A1p1 //

fA

��

X

φ

��A0

p0 // Y.

Definirajmo(ψ(q))0(a0) = (q2(a0, .), q0(a0, .));(ψ(q))1(a1) = (q2(fA(a1), .), q0(fA(a1), .), q1(a1, .)).

Tada je ocito ψ(q) ∈ hom(A,hom(B,C)), tj. dobiveni par zadovoljava komutativni dijagram.Dakle, definirali smo preslikavanje ψ : hom(A⊗B,C) → hom(A,hom(B,C)) koje je ocito linearno.

Nadalje, definirajmo(ψ′(p))0(a0 ⊗ b0) = (p0(a0))0(b0);(ψ′(p))1(a1 ⊗ b0) = (p1(a1))ϕ(b0);(ψ′(p))2(a0 ⊗ b1) = (p0(a0))1(b1).

Tada je isto ψ′(p) ∈ hom(A⊗B,C) jer za dane a0, a1 imamo komutativne dijagrame (elementiu X i Y ):

B1(p0(a0))1 //

fB

��

C1

fC

��B0

(p0(a0))0 // C0

B1(p1(a1))1 //

fB

��

C1

fC

��B0

(p1(a1))0 //

(p1(a1))ϕ

77pppppppppppppC0,

pa po elementima zaista imamo komutativni dijagram

a1 ⊗ b0 + a0 ⊗ b1 //

��

(p1(a1))ϕ(b0) + (p0(a0))1(b1)

��fA(a1)⊗ b0 + a0 ⊗ fB(b1) // (p0(fA(a1))0(b0) + (p0(a0))0(fB(b1))

Dakle, definirali smo preslikavanje ψ′ : hom(A,hom(B,C)) → hom(A⊗B,C) koje je takoder ocitolinearno, te vrijedi da su ψψ′ i ψ′ψ identitete. Dakle, ψ je izomorfizam. Ovo smo radili za fiksneA,C, pa oznacimo sa ψAC ovako dobiveno preslikavanje ψ za A i C.

Ostaje pokazati prirodnost preslikavanja ψ u A i C. No na slican nacin pokazuje se da akoimamo morfizme C

g→ C ′ i A′ h→ A u LP sljedeci dijagram komutira

hom(A⊗B,C)ψAC //

hom(h⊗B,g)��

hom(A,hom(B,C))

hom(h,hom(B,g))��

hom(A′ ⊗B′, C ′)ψA′C′ // hom(A′,hom(B′, C ′)).

�

11

Nadalje definiramo End(V ) := Hom(V , V ). Iz adjunkcije u prethodnoj tocki slijedi da jeEnd(V ) zaista unutarnji end-objekt u LP kako je definirano u 6, tj. da ima univerzalno svojstvo.U [10] je pokazano da je End(V ) asocijativna algebra u LP pri cemu su mnozenje na Y , te djelovanjena X dani sa

(α, β)(α′, β′) = (αα′, ββ′),(α′, β′)(α, β, ϕ) = (α′α, β′β, α′ϕ),(α, β, ϕ)(α′, β′) = (αα′, ββ′, ϕβ′).

Posebno, prema 4.1. u [17] End(V ) je Liejeva algebra u LP.

7.4. Definicija. Evaluacijsko preslikavanje na algebri End(V ) je morfizam u LP

ev : End(V )⊗ V → V

koji se sastoji zapravo od tri preslikvanja (evX : X ⊗W → V, evV : Y ⊗V → V, evW : Y ⊗W →W )zadana s

evX((α, β, ϕ), w) = ϕ(w),evV ((α, β), v) = α(v),evW ((α, β), w) = β(w).

ev je zaista morfizam u LP zbog definicije prostora X.

8 Posebni objekti u LP kategoriji

8.1. Definicija. Asocijativna algebra u LP je par V = (V f→W ), µ : V → V ) takav da slijedecidijagram komutira

V ⊗ V ⊗ V1V ⊗µ //

µ⊗1V

��

V ⊗ V

µ

��V ⊗ V

µ // V

U [17] je dokazano

8.2. Propozicija. Ako je V = (V f→ W ), µ : V → V ) asocijativna algebra u LP, onda je Wasocijativna algebra, V je W -bimodul, a f preslikavanje W -modula.

8.3. Propozicija. Struktura lijevog modula u LP nad algebrom A = (M f→ A) na objektu

V = (Vφ→W ) se sastoji od strukture lijevog A-modul na W , lijevog A-modul na V , preslikavanja

lijevih A-modula φ i ν : M ⊗W → V takvih da vrijedi

f(m)w = φ(ν(m⊗ w))

za sve m ∈M,w ∈W .Analogno se definira desni modul U LP nad nekom algebrom u LP.

12

8.4. Propozicija. Struktura Liejeve algebre u LP objekta V = (Vφ→ W ) sastoji se od

strukture Liejeve algebre na prostoru W , strukture Liejevog modula nad W na V , tako da za svev ∈ V i w ∈W vrijedi

f([v, w]) = [f(v), w].

8.5. Primjer Liejeve algebre u LP. Neka je A algebra. Oznacimo s Der(A,B) prostor svihderivacija algebre A u algebru B, tj. svih linearnih preslikavanja f : A→ B takvih da je

f(ab) = f(a)b+ af(b).

Prostor Der(A,A) oznacimo samo s Der(A). Neka su f, g ∈ Der(A) derivacije algebre A. Tada je

(f ◦g−g ◦f)(ab) = f(g(a)b+ag(b))−g(f(a)b+af(b)) = f(g(a))b−g(f(a))b+af(g(b))−ag(f(b)).

Dakle,[f, g] := f ◦ g − g ◦ f

je opet derivacija. Zbog asocijativnosti kompozicije zadovoljen je Jacobijev identitet, pa je Der(A)Liejeva algebra.

Prostor A⊗A je bimodul nad A uz mnozenje definirano s

α(a1 ⊗ a2)α′ = (αa1)⊗ (a2α′).

Neka je f ∈ Der(A). Tada f inducira preslikavanje f∗ : A⊗A→ A⊗A s

f∗(a⊗ b) = f(a)⊗ b+ a⊗ f(b).

Neka je g ∈ Der(A,A⊗A). Oznacimo u buduce g(a) = a1 ⊗ a2. Tada je

[g, f ]M = g ◦ f − f∗ ◦ g

takoder element Der(A,A⊗A). Zaista,

[g, f ]M (ab) = (g ◦ f − f∗ ◦ g)(ab) = g(f(a)b+ af(b))− f∗(a1 ⊗ a2b+ ab1 ⊗ b2) == g(f(a))b+ f(a)g(b) + g(a)f(b) + ag(f(b))−

−f(a1)⊗ a2b− a1 ⊗ f(a2)b− g(a)f(b)− f(a)g(b)− af(b1)⊗ b2 − ab1 ⊗ f(b2) == [g, f ]M (a)b+ a[g, f ]M (b).

Na slican nacin pokazuje se da je

[g, [f1, f2]]M = [[g, f1]M , f2]M − [[g, f2]M , f1]M

za g ∈ Der(A,A⊗A), te f1, f2 ∈ Der(A), pa je Der(A,A⊗A) Liejev modul nad Der(A).Definirajmo φ : Der(A,A⊗A) → Der(A) s

φ(g)(a) = a1a2

za g(a) = a1 ⊗ a2. Tada je φ linearno preslikavanje, te vrijedi

φ([g, f ]M )(a) = φ(g ◦ f)(a)− φ(f ∗ ◦g)(a) = φ(g)(f(a))− f(a1)a2 − a1f(a2) == φ(g)(f(a))− f(φ(g)(a)) = [φ(g), f ](a).

Dakle, φ je ekvivarijantno, pa je

φ : Der(A,A⊗A) → Der(A)

zaista Liejeva algebra u LP.

13

9 Leibnizove algebre

Za definiciju Leibnizovih algebri mozemo se posluziti s [11].

9.1. Definicija. Desna Leibnizova algebra je ureden par vektorskog prostora h i bilinearnogpreslikavanja [·, ·] : h× h → h takvog da za sve f, g, h ∈ h vrijedi Leibnizov identitet:

[f, [g, h]] = [[f, g], h]− [[f, h], g].

Ocito je svaka Lijeva algebra ujedno i Leibnizova jer se uz uvjet [x, y] = −[y, x] Jacobijevidentitet lako prevodi u Leibnizov identitet.Homomorfizam Leibnizovih algebri je linearno preslikavanje α : h → h′ takvo da je za sve f, g ∈ h

α[f, g] = [α(f), α(g)]′.

Leibnizove algebre i homomorfizmi Leibnizovih algebri cine kategoriju koju oznacavamo s Leib.

9.2. Lema. Neka je (f : M → g) Liejeva algebra u LP. Tada je vektorski produkt M uz bilinearnopreslikavanje [·, ·] definirano sa

[m,m′] = [m, f(m′)]M

Leibnizova algebra. Stovise, f je homomorfizam Leibnizovih algebri.

Dokaz. Obje cinjenice slijede direktno iz definicije Liejeve algebre u LP jer strukutura Liejevogmodula nad g na M inducira Leibnizov identitet, a g-ekvivarijantnost preslikavanja f inducira daje f homomorfizam Leibnizovih algebri. �

9.3. Lema. Neka je h Leibnizova algebra, te neka je I ideal u h generiran elementima [x, x], x ∈ h.Tada je h/I Liejeva algebra (oznacimo ju s hLie. Stovise, surjektivno preslikavanje h → hLie jeLiejeva algebra u LP.

Dokaz. Leibnizov identitet se uz antikomutativnost trivijalno prevodi u Jacobijev identitet, pa jezato hLie zaista Liejeva algebra. Analogno razmatranju u dokazu prethodne leme zakljucujemoda Leibnizovo pravilo na h inducira strukturu Liejevog modula nad hLie, a buduci da je kanonskosurjekcija iz iskaza homomorfizam Leibnizovih algebri ono inducira hLie-ekvivarijantno preslika-vanje. �

Dakle, u prethodne dvije leme konstruirali smo funktore izmedu kategorije Leib i kategorijeLie u LP. Ti funktori su adjungirani. Cak stovise, kompozicija koja pocinje u Leib je identiteta.

10 Ideal u LP

10.1. Propozicija. Neka su V = (φ : V → W ), V ′ = (φ′ : V ′ → W ′) objekti u LP. Neka jei : V → V ′ morfizam u LP pri cemu je i = (i1 : V → V ′, i0 : W →W ′). Morfizam i je monomorfizamu LP ako i samo ako su i1, i0 monomorfizmi u kategoriji vektorskih prostora i linearnih preslikavanja.

Dokaz. Neka za sve morfizme f, g : V ′′ → V if = ig povlaci f = g.Neka su f1, g1 : X → V linearna preslikavanja takva da je

i1f1 = i1g1.

14

Definirajmo f0 := f1 ◦ φ, g0 := g1 ◦ φ : X → W . Tada su f = (f1, f0) i g = (g1, g0) morfizmi u LPsa X → X u V . Nadalje buduci da vrijedi

i0φf1 = φ′i1f1 = φ′ı1g1 = i0φg1

imamo da je if = ig, pa prema pretpostavci slijedi f = g, sto povlaci f1 = g1. Dakle, i1 jemonomorfizam vektorskih prostora.

Neka su sad f0, g0 : Y →W linearna preslikavanja takva da je

i0f0 = i0g0.

Stavimo li f1 = g1 = 0: 0 → V imamo da su f, g morfizmi u LP s 0 → Y u V takvi da je if = ig.Prema pretpostavci f = g, pa je i f0 = g0. Dakle, i0 je monomorfizam vektorskih prostora

Obratno, neka su i0, i1 monomorfizmi vektorskih prostora takvi da je i = (i1, i0) morfizam uLP s V u V ′. Neka su f, g morfizmi u LP s X → Y u V takvi da je

if = ig.

Tada je i1f1 = i1g1, te i0f0 = i0g0, pa prema pretpostavci imamo da je f1 = g1 i f0 = g0. Dakle,f = g, te je i monomorfizam u LP. �

10.2. Definicija. Kazemo da je objekt V = (V → W ) podobjekt objekta A = (M → A) ako jeV ⊂M,W ⊂ A, te preslikavanje M → A restrikcija preslikavanja V →W na M .

10.3. Propozicija. Neka je Y = (φ : X → Y ) algebra u LP koja sadrzi neki objekt V . Neka jeA = {(ψi = φ |Mi : Mi → Ai) : i ∈ I} skup svih podalgebri algebre Y u LP koje sadrze V . Tada suM = ∩iMi i A = ∩iAi vektorski prostori, te je A = (ψ = φ |M : M → A) podalgebra algebre Y uLP. Tu podalgebru nazivamo algebra generirana s V .

Dokaz. Presjek algebri je ponovno algebra, pa je A algebra. M ima strukturu bimodula nad A jerza proizvoljne m ∈M,a ∈ A imamo ma ∈Mi, am ∈Mi za svaki i ∈ I, pa je ma, am ∈M . Nadaljeψ je preslikavanje A-bimodula. Sljedeci dijagram komutira za svaki i ∈ I

Minkluzija //

ψ

��

Miinkluzija //

ψi

��

X

φ

��A

inkluzija // Aiinkluzija // Y

�

10.4. Propozicija. Neka je A = (M → A) algebra u LP, te neka su µA mnozenje u algebre A, aµL i µD lijevo i desno djelovanje algebre A na M . Podalgebra I = (N → I) algebre A je obostraniideal u LP ako su dobro definirane restrikcije (tj. slike su sadrzane u kodomeni)

µ |A⊗I : A⊗ I → I, µ |I⊗A : I ⊗A→ I,µL |I⊗M : I ⊗M → N,µD |M⊗I : M ⊗ I → N,µL |A⊗N : A⊗N → N,µD |N⊗A : N ⊗A→ N.

15

10.5. Propozicija. Neka je A = (ψ : M → A) algebra u LP, te neka je I = (N → I) obostraniideal algebre A u LP. Tada je A/I algebra, M/N ima strukturu bimodula nad A/I, a preslikavanjeψ : M/N → A/I inducirano preslikavanjem ψ je preslikavanje A/I-bimodula, tj. (ψ : M/N → A/I)je algebra u LP.

Dokaz. Djelovanje algebre A/I na M/N dano je sa

(a+ I)(m+N) = am+ Im+ aN + IN = am+N +N +N = am+N,(m+N)(a+ I) = ma+Na+mI +NI = ma+N +N +N = ma+N.

Pokazimo da je ψ dobro definirano. Neka su m,m′ ∈M takvi da je m−m′ ∈ N . Tada je

ψ(m)− ψ(m′) = ψ(m−m′) = ψ |N (m−m′) ∈ I.

Dakle definicija ψ(m+N) = ψ(m) + I ne ovisi o izboru predstavnika klase m+N . Cinjenica da jeψ preslikavanje bimodula sad slijedi trivijalno iz cinjenice da je ψ preslikavanje A-bimodula. �

11 Derivacija algebre u LP

11.1. Definicija. Derivacija algebre A = (M → A) u LP je endomorfizam d = (dM , dA) tealgebre u LP koji zadovoljava generalizirano Leibnizovo pravilo, tj. ovi dijagrami komutiraju

A⊗Aµ //

µ(d⊗1)+µ(1⊗d)

!!CCCC

CCCC

CCCC

CCCC

C A

d

��A

MdM //

f

��

M

f

��A

dA // A

generalizirano Leibnizovo pravilo slaganje s f

11.2. Mnozenje s elementom algebre. Neka je M bimodul nad algebrom A, te a ∈ A. Tada sa mozemo oznacavati i preslikavnje a : M →M zadano sa

m 7→ am,∀m ∈M.

U daljnjem tekstu proucavat cu samo module za koje je ovo preslikavanje injektivno, pa cu elementeod A poistovjecivati s pripadnim endomorfizmom na M .

Neka je D0(A) skup svih derivacija algebre A = (M → A) u LP.

11.3. Propozicija. D0(A) je lijevi A-modul uz operacije definirane po komponentama

d+ d′ := (dA + d′A, dM + d′M ),ad := (a ◦ dM , a ◦ dA).

Posebno, to je vektorski prostor nad poljem k.

16

12 Simetricna algebra u LP i njene derivacije

12.1. Definicija/Propozicija. Simetricna algebra S = S(V f→ W ) objekta V f→ W u LP jeobjekt

S = {(S(W )⊗ V + V ⊗ S(W ))/ ∼1⊗ f+f⊗ 1−→ S(W )},gdje je S(W ) je simetricna algebra nad W u klasicnom smislu, a ∼ relacija ekvivalencije pri cemuje q(w)⊗ v ∼ v ⊗ q(w). Upravo zato cu smatrat

S = {S(W )⊗s V1⊗ f→ S(W )},

pri cemu je ⊗s simetricno mnozenje s elementima iz S(W ). Ocito je S(W )⊗s V S(W )-modul, paje S zaista algebra u LP.

Elemente simetricne algebre S(W ) oznacavat cu s p(w), q(w), .... Ponekad cu racunati s njimakao linearnim kombinacijama monoma nad k pri cemu cu za monome koristiti oznaku wα =wα1

1 · · ·wαr+p

r+p . Ovdje je standardno α = (α1, ..., αr+p) ∈ Nr+p0 multindeks, a stupanj monoma

xα definiramo s α1 + · · ·αr+p. Buduci da je k⊗V izomorfno sa V elemente 1S(W )⊗v cu oznacavatijednostavno s v za v ∈ V . Simbol za mnozenje u algebri S(W ) cu oznacavati sa ⊗s ili izostavljanjemsimbola.

12.2. Definicija. Derivacija simetricne algebre S(V f→W ) u LP je par linearnih preslikavanjad = (dV , dW ), pri cemu preslikavanja dV : S(W ) ⊗s V → S(W ) ⊗s V i dW : S(W ) → S(W )zadovoljavaju generalizirano Leibnizovo pravilo, te se slazu s preslikavanjem f , tj. za sve v ∈ V , teq(w), p(w) ∈ S(W ) vrijedi

1) dV (q(w)v) = dW (q(w))v + q(w)dV (v),2) dW (q(w)p(w)) = dW (q(w))p(w) + q(w)dW (p(w)),3) (1⊗ f) ◦ dV = dW ◦ (1⊗ f).

S ⊗s Sµ //

µ(d⊗s1)+µ(1⊗sd)

!!DDDDDDDDDDDDDDDDD S

d

��S

S(W )⊗s VdV //

1⊗sf

��

S(W )⊗s V

1⊗sf

��S(W )

dW // S(W )generalizirano Leibnizovo pravilo slaganje s f

Napomena. Ovo je u skladu s prethodno definiranom derivacijom proizvoljne algebre uLP. Pri raspisivanju generaliziranog Leibnizovog pravila zapravo umjesto uvjeta 1) iz definicijeza proizvoljne p(w), q(w), v dobivamo

dV (p(w)q(w)v) = dW (p(w))q(w)v + p(w)dV (q(w)v).

No ovaj uvjet je uz uvjet 2) ekvivalentan uvjetu 1). Ocito za p(w) mozemo uzeti 1S(W ). Obratnoako vrijedi 1) onda imamo

dV (p(w)q(w)v) = dW (p(w)q(w))v + p(w)q(w)dV (v) == dW (p(w))q(w)v + p(w)dW (q(w))v + p(w)q(w)dV (v) == dW (p(w))q(w)v + p(w)dV (q(w)v).

17

12.3. Propozicija. Neka su d, d′ derivacije u LP simetricne algebre S takve da je

dV |V = d′V |V , dW |W= d′W |W .

Tada je d = d′.

Dokaz. Buduci da su dV , dW , d′V , d′W linearna preslikavanja dovoljno je pokazati da za sve monome

u S(W ) i sve v ∈ V vrijedidW (wα) = d′W (wα),dV (wαv) = d′V (wαv).

Prva tvrdnja se dokazuje indukcijom po stupnju monoma koristeci Leibnizovo pravilo za dW , dokse druga dobiva direktno primjenom Leibnizovog pravila za dV i prve tvrdnje. �

12.4. Notacija. Citavo vrijeme proucavat cu derivacije simetricne algebre za jedan fiksni objektV

f→W u LP, pri cemu ce V iW biti konacnodimenzionalni prostori. Prema [12] vrijedi teoremo rangu i defektu koji daje izomorfizam izmedu slike i direktnog komplementa jezgre preslikavanjaf , pa u V mozemo odabrati bazu {v1, ..., vr, vr+1, ..., vr+d} takvu da je {vr+1, ..., vr+d} baza za Kerf ,a u W mozemo odabrati bazu {w1, ..., wr, wr+1, ..., wr+p} tako da je wi = f(vi) za i = 1, ..., r.

Prema prethodnoj propoziciji da bi se odredilo djelovanje derivacije dovoljno je odrediti kakodV djeluje na vi za i = 1, ..., r + d, te kako dW djeluje na wi za i = 1, ..., r + p. Nadalje, ako je

dV (vi) =r+d∑j=1

qij(w)vj ,

onda jer∑j=1

qij(w)wj = dW (f(vi)) ={dW (wi), i = 1, ...r;0, i = r + 1, ..., r + d.

Ovo svojstvo cu zvati slaganje (s preslikavanjem f) u bazi. Za danu derivaciju pripadne polinomedW (wi) cu oznacavati s ti(w).

13 Jezgra preslikavanja 1⊗s f

U daljnjem razmatranju dosta vaznu ulogu ima jezgra preslikavanja 1S(W )⊗sf , pa cemo ju posebnoprouciti u ovom dijelu. Ono sto je od interesa je promatrati taj prostor kao S(W )-podmodul modulaS(W )⊗s V , te odrediti skup generatora tog podmodula.

13.1. Lema. Jezgra Ker(1 ⊗s f) je S(W ) ⊗s (C + Kerf), pri cemu je C S(W )-modul razapetelementima

ckj(w, v) = wkvj − wjvk, 1 ≤ j < k ≤ r

Dokaz. Ocito je S(W )⊗s (C + Kerf) ⊆ Ker(1⊗s f). S druge strane imamo

Ker(1⊗s f) = {r+d∑j=1

qj(w)vj |r∑j=1

qj(w)wj = 0}.

18

Suma∑r+d

j=r+1 qj(w)vj je element S(W )⊗sKerf , pa nam ostaje prikazati∑r

j=1 qj(w)vj uz uvjet

r∑j=1

qj(w)wj = 0

kao element S(W ) ⊗s C. Pogledajmo proizvoljan monom wα koji se pojavljuje u∑r

j=1 qj(w)wj .

Neka se monom wα11 · · ·wαj−1

j · · ·wαr+d

r+d vj u∑r

j=1 qj(w)vj javlja s koeficijentom aj za j = 1, ..., r(pritom definiramo aj = 0 ako je αj = 0). Tada je

∑rj=1 aj = 0. Neka je k najveci indeks takav da

je ak 6= 0. Tada mozemo zapisati

r∑j=1

ajwα11 · · ·wαj−1

j · · ·wαr+d

r+d vj =∑

1≤j≤k−1,aj 6=0

ajwα11 · · ·wαj−1

j · · ·wαr+d

r+d (wkvj − wjvk).

Clanove u sumi∑r

j=1 qj(w)vj mozemo grupirati u manje sume tako da grupiramo monome izpraslike pojedinog monoma sume

∑rj=1 qj(w)wj . Tada se svaka manja suma moze prikazati kao

linearna kombinacija cjk nad S(W ). Ovo pokazuje da je citava suma∑r

j=1 qj(w)vj ∈ S(W )⊗sC. �

13.2. Propozicija. Bazu vektorskog prostora C nad poljem k cine elementi oblika

wαcij

pri cemu je αk = 0 za svaki k takav da je i < k < j.

Dokaz. Buduci da vrijediwkcij = wickj + wjcik

za sve i < k < j slijedi da navedeni elementi zaista razapinju C. Pokazimo linearnu nezavisnost.Neka je ∑

i,j,α

xijαwαcij = 0

konacna linearna kombinacija elemenata iz iskaza izjednacena s nulom pri cemu su xijα ∈ k.Pretpostavimo da postoje i, j, α takvi da je xijα 6= 0. Neka je m najveci od svih j koji se pojavljujuu sumi, te neka je n najveci od svih i takvih da se cim pojavljuje u sumi. Tada uz vm stoji suma∑

i,α

ximαwαwi

koja mora biti jednaka 0. Buduci da se u toj sumi wn pojavljuje samo u jednom pribrojniku (jersu svi ostali i manji od n, a wα sadrzi samo one varijable ciji indeks nije izmedu i i j) zakljucujemoda je xnmα = 0, sto je kontradikcija. Dakle, skup elemenata iz iskaza je linearno nezavisan. �

14 Elementarne derivacije

Prema 11.3 skup svih derivacija D0(S) simetricne algebre S cini S(W )-modul.

19

14.1. Propozicija. D0(S) generiran je kao S(W )-modul linearnim preslikavanjima koje mozemopodijeliti u cetiri tipa i definirati sa:

I) σji = (dV : vk 7→ δikvj , dW : wk 7→ δikwj),∀k i, j ∈ {1, ..., r};II) σji = (dV : vk 7→ δikvj , dW = 0),∀k i ∈ {1, ..., r + d}, j ∈ {r + 1, ..., r + d};III) djki = (dV : vl 7→ δilckj(w, v), dW = 0),∀l, i ∈ {r + 1, ..., r + d}, 1 ≤ j < k ≤ r;IV ) ∂i = (dV = 0, dW = ∂i), i ∈ {r + 1, ..., r + p}.

Ove derivacije cu zvati elementarnim derivacijama.

Dokaz. Lako se provjeri da morfizmi definirani sa I)-IV) zadovoljavaju slaganje u bazi, pa su zaistaderivacije. Buduci da ne moze doci do zabune koristit cu istu oznaku za svaku komponentu ele-mentarne derivacije koja je i za citavu derivaciju (npr. σji ). U notaciji koju sam uveo prije iskazapropozicije za proizvoljnu derivaciju mozemo racunati

dW (∑r+p

i=1 βiwi) =∑r

i=1 βidW (wi) +∑r+p

i=r+1 dW (wi)∂i(∑r+p

j=1 βjwj) ==

∑ri=1

∑rj=1 βiqij(w)wj +

∑r+pi=r+1 dW (wi)∂i(

∑r+pj=1 βjwj) =

=∑r

i=1

∑rj=1 qij(w)σji (

∑k=r+pk=1 βkwk) +

∑r+pi=r+1 dW (wi)∂i(

∑r+pj=1 βjwj)

,

pa imamo

dW |W=r∑i=1

r∑j=1

qij(w)σji +r+p∑i=r+1

ti(w)∂i.

Nadalje za dV imamo

dV (∑r+d

i=1 αivi) =∑r

i=1

∑rj=1 qij(w)σji (

∑k=r+dk=1 αkvk) +

∑r+di=1

∑r+dj=r+1 qij(w)σji (

∑k=r+dk=1 αkvk)+

+∑r+d

i=r+1 αi∑r

j=1 qij(w)vj .

Zbog slaganja u bazi imamor∑j=1

qij(w)wj = 0

za i = r + 1, ..., r + d, pa prema 13.1 treca suma u gornjem izrazu lezi u S(W ) ⊗s C, te mozemopisati

r+d∑i=r+1

αi

r∑j=1

qij(w)vj =r+d∑i=r+1

αi

r∑k,j=1

pijk(w)cjk(w, v) =r+d∑i=r+1

r∑k,j=1

pijk(w)djki (r+d∑l=1

αlvl).

Zato je i dV |V linearna kombinacija elementarnih derivacija (nad S(W )), tocnije:

dV |V =r∑i=1

r∑j=1

qij(w)σji +r+d∑i=1

r+d∑j=r+1

qij(w)σji +r+d∑i=r+1

r∑k,j=1

pijk(w)djki ,

pri cemu polinomi pijk(w) ovise o dV i mogu se dobiti iz qij(w).Sve zajedno smo pokazali da se d podudara na V i na W s derivacijom

r∑i=1

r∑j=1

qij(w)σji +r+d∑i=1

r+d∑j=r+1

qij(w)σji +r+d∑i=r+1

r∑k,j=1

pijk(w)djki +r+p∑i=r+1

ti(w)∂i,

pa prema 12.3 slijedi da su te dvije derivacije jednake. �

20

Neka je (dV , dW ) neka derivacija, te pretpostavimo da je (p(w)dV , r(w)dW ) takoder derivacijaza neke p(w), r(w) ∈ S(W ). Tada imamo

p(w)dW (q(w))v + p(w)q(w)dV (v) = p(w)dV (q(w)v) = r(w)dW (q(w)v) + q(w)p(w)dV (v),

odakle slijedi da jep(w) = r(w).

15 Objekt derivacija u LP

15.1. Motivacija Neka je (A,µ) algebra u LP. Tada zelimo da Leibnizovo pravilo glasi

ev ◦ (1Der ⊗ µ) = µ ◦ (ev ⊗ 1A + (1A ⊗ ev) ◦ (τ ⊗ 1A)),

tj. zeljeli bismo da je interna derivacija Der(A) A-podmodul od End(A) takav da sljedeci dijagramkomutira

Der(A)⊗A⊗A1Der⊗µ //

ev⊗1A+(1A⊗ev)◦(τ⊗1A)**UUUUUUUUUUUUUUUUUU

Der(A)⊗Aev // A

A⊗A

µ

66mmmmmmmmmmmmmmm

Dakle, zelimo da Der(A) bude objekt u LP oblika D1

φ|D1→ D0. Rastavimo li gornji komutativnidijagram dobivamo da je D0 upravo D0(A), te da je D1 podskup od φ−1(D0) takav da komutiradijagram

D1 ⊗A⊗A1D1

⊗µA //

evD1⊗1A+(1A⊗evD1

)◦(τA⊗1A)**UUUUUUUUUUUUUUUUU D1 ⊗AevD1 // M

M ⊗A+A⊗M

µL+µD

55kkkkkkkkkkkkkkkkk

15.2. Definicija. Neka je A simetricna algebra u LP. Definirajmo D1(A) kao skup svih(dM , dA, dϕ) pri cemu je

(dM , dA) ∈ D0(A),dϕ : A→M,(1⊗s f) ◦ dϕ = A,dϕ(aa′) = dϕ(a)a′ + adϕ(a′),∀a, a′ ∈ A.

Potpuno analogno 11.3 dobivamo da je D1(A) S(W )-modul pri cemu su zbrajanje i djelovanjeA definirani po komponentama.

15.3. Propozicija. Der(A) = (D1(A)φ→ D0(A)) je modul nad A u LP.

Dokaz. Trebam dokazati svojstva iz iskaza 8.3. Vec sam pokazao da su D0(A) i D1(A) A-moduli,te je ocito φ preslikavanje A-modula. Preslikavanje ν : M ⊗D0 → D1 definiramo s

ν(m⊗ d) = (f(m)dM , f(m)dA,mdA),

p Sada je ocito zadovoljeno f(m)w = φ(ν(m⊗w)) jer sam preslikavanje ν upravo tako definirao, alako je vidjeti da je ν zaista preslikavanje A-modula. �

Analogno dokazu 12.3 dokazuje se u slucaju simetricne algebre:

21

15.4. Propozicija. Ako su (dV , dW , dϕ), (d′V , d′W , d

′ϕ) ∈ D1(S) takve da je

dV |V = d′V |V , dW |W= d′W |W , dϕ |W= d′ϕ |W ,

onda je (dV , dW , dϕ) = (d′V , d′W , d

′ϕ).

15.5. Propozicija. D1(S) generiran je kao S(W )-modul preslikavanjima koje mozemo podijelitiu 6 tipova i definirati sa:

I) σji = (dV : vk 7→ δikvj , dW : wk 7→ δikwj , dϕ : wk 7→ δikvj),∀k i, j ∈ {1, ..., r};II) σji = (dV : vk 7→ δikvj , dW = 0, dϕ = 0),∀k i ∈ {1, ..., r + d}, j ∈ {r + 1, ..., r + d};III) djki = (dV : vl 7→ δilckj(w, v), dW = 0, dϕ = 0),∀l, i ∈ {r + 1, ..., r + d}, 1 ≤ j < k ≤ r;IV ) wj∂

i = (dV = 0, dW = wj∂i, dϕ : wk 7→ δikvj),∀k, i ∈ {r + 1, ..., r + p}, j ∈ {1, ..., r};V ) ηij = (dV = 0, dW = 0, dϕ : wk 7→ δikvj),∀k i ∈ {1, ..., r + p}, j ∈ {r + 1, ..., r + d};V I) ρijk = (dV = 0, dW = 0, dϕ : wl 7→ δilckj(w, v)),∀l, i ∈ {1, ..., r}, 1 ≤ j < k ≤ r;

Ova preslikavanja cu zvati gornjim elementarnim derivacijama, dok cu elementarne derivacijenazivati donjim elementarnim derivacijama ako ce biti potrebno naglasiti o kojima tocno govorim.

Dokaz. Kao sto sam napravio u dokazu 14.1 pokazuje se isti rezultat za dV . Razlika nastupa koddW jer ne postoji dϕ takav da je (1⊗s f) ◦ dϕ = ∂i.

Koristimo oznake kao u dokazu 14.1, te jos stavimo

dϕ(wi) =r+d∑j=1

rij(w)vj .

Prema definiciji prostora D1(S) imamo∑rj=1 rij(w)wj = dw(wi) =

∑rj=1 qij(w)wj , i = 1, ..., r∑r

j=1 rij(w)wj = dw(wi) = ti(w), i = r + 1, ..., r + p

Ovo svojstvo zovem slaganje s dijagonalom.Sada mozemo rastaviti

dϕ(∑r+p

i=1 βiwi) =∑r

i=1 βi∑r

j=1 qij(w)vj−−

∑ri=1 βi

∑rj=1 qij(w)vj +

∑ri=1 βi

∑rj=1 rij(w)vj+

+∑r+p

i=1 βi∑r+d

j=r+1 rij(w)vj++

∑r+pi=r+1 βi

∑rj=1 rij(w)vj .

Primjetimo da prvi redak mozemo zapisati preko elem. derivacija I) tipa. Zbog slaganja sdijagonalom suma u drugom retku je element jezgre preslikavanja 1⊗s f , a ocito je suma u trecemretku takoder element te jezgre. Prema 13.1 te sume mozemo zapisati preko elem. derivacija tipaVI), odnosno V). Sumu u cetvrtom retku mozemo zapisati preko elementarnih derivacija tipa IV)na sljedeci nacin

r+p∑i=r+1

r∑j=1

rij(w)(wj∂i)(r+p∑k=1

βkwk).

22

Dakle, dϕ se na W podudara s

r∑i=1

r∑j=1

qij(w)σij +r∑i=1

r∑j,k=1

rijk(w)ρijk +r+p∑i=1

r+d∑j=r+1

rij(w)ηij +r+p∑i=r+1

r∑j=1

rij(w)(wj∂i).

Iz 14.1 znamo da je

dW |W=r∑i=1

r∑j=1

qij(w)σji +r+p∑i=r+1

ti(w)∂i,

a zbog slaganja s dijagonalom mozemo to zapisati kao

dW |W=r∑i=1

r∑j=1

qij(w)σji +r+p∑i=r+1

r∑j=1

rij(w)(wj∂i).

Analogno mozemo zapisati dV pomocu elementarnih derivacija IV) tipa iz iskaza ove propozicije,pa dobivamo da se d = (dV , dW , dϕ) na V i W podudara sa∑r

i=1

∑rj=1 qij(w)σij +

∑r+di=1

∑r+dj=r+1 qij(w)σij +

∑r+di=r+1

∑1≤j<k≤r pijk(w)dijk+

+∑r

i=1

∑1≤j<k≤r rijk(w)ρijk +

∑r+pi=1

∑r+dj=r+1 rij(w)ηij +

∑r+pi=r+1

∑rj=1 rij(w)(wj∂i).

Tvrdnja sada slijedi iz 15.4. �

15.6. Definicija. Neka je F vektorski prostor nad poljem k razapet elementarnim derivacijama,te neka je E vektorski prostor nad poljem k razapet gornjim elementarnim derivacijama. Objektelementarnih derivacija nad simetricnom algebrom u LP je E = (ϕ |E : E → F ).

15.7. Teorem. Postoji kanonski epimorfizam algebri u LP S(V )⊗ E → Der(S)

Dokaz. Produkt S ⊗ E je zapravo objekt

S(W )V ⊗ F + S(W )⊗ E

(1⊗sf)⊗1F +1⊗ϕ��

S(W )⊗ F

.

Algebra D0(S) je izomorfna prostoru S(W )⊗F prema 14.1. Kao sto smo elemente prostora S(W )poistovjetili s morfizmom u LP kao mnozenje tim elementom, tako mozemo i elemente prostoraS(W )V poistovjetiti s elementima prostora X (gornjeg prostora u End(S)) oblika

p(w)v := (µV , µW , µϕ)

pri cemu su µV i µW mnozenje s elementom p(w)f(v) ∈ S(W ), dok je µϕ : S(W ) → S(W )Vmnozenje s p(w)v. Zapravo preslikavanje S(W )V ⊗E → D1(S) je dano preslikavanjem ν definiranimu 15.3.

Prema 15.5 S(W )⊗ E je izomorfno kao S(W )-modul modulu D1(S). �

15.8. Napomena. Ukoliko bih definirao prostor E kao prostor razapet samo gornjim elemen-tarnim derivacijama tipa V) i VI) tada bi se modul S(W )V ⊗ F + S(W )⊗E razlikovao od D1(S)samo za konacnodimenzionalan potprostor (nad k) razapet donjim elementarnim derivacijama tipaI). Naime, pokazuje se da je jedino taj potprostor izvan slike preslikavanja ν i S(W )-modula raza-petog gornjim elem. derivacija tipa V) i VI).

23

16 Komutacijske relacije u D0

U opisivanju strukture Weylove algebre vazno je napraviti kanonsku formu elemenata. Buduci dasu elementi Weylove algebre kompozicije elementarnih derivacija prvo cu prouciti sto se dogada pritim kompozicijama.

16.1. Propozicija. Uz oznake koje smo uveli u daljnjem razmatranju ce nam biti od vaznosti daza elementarne derivacije vrijedi:

σijσkl = δilσ

kj , za derivacije tipa II

di1j1k1di2j2k2

= (δi1k2wj2 − δi1j2wk2)di2j1k1

= 0, za derivacije tipa III,σijd

kmn = (δinwm − δimwn)σkj , za derivacije II i III tipa,

d∂k = 0, za derivaciju d II ili III tipa i IV tipa,∂kd = 0, za derivaciju d II ili III tipa i IV tipa.

Dokaz. Sve tvrdnje vrlo se jednostavno provjeravaju po definiciji elementarnih derivacija. Bitno jeprimjetiti da su kompozicije derivacija tipa II i III ili 0 ili su tipa II, te da derivacije tipa II i IIIimaju trivijalne kompozicije s tipom IV. �

16.2. Propozicija. (Komutacijske relacije) Iz identiteta prethodne propozicije i njima slicnihdirektno slijede relacije:

[σij , σkl ] = δilσ

kj − δjkσ

li, za derivacije I i II tipa,[

di1j1k1 , di2j2k2

]= 0, za derivacije tipa III,[

σij , dkmn

]= δind

kmj − δimd

knj − δjk(wmσin − wnσ

im), za derivacije I i III tipa,[

σij , dkmn

]= (δinwm − δimwn)σkj − δkj(wmσin − wnσ

im), za derivacije III i II tipa, i = 1, ..., r,[

σij , dkmn

]= (δinwm − δimwn)σkj − δjkd

imn, za derivacije III i II tipa, i = r + 1, ..., r + d,[

d, ∂k]

= 0, za derivaciju d bilo kojeg tipa i IV tipa,

Dokaz. Sve se tvrdnje dokazuju raspisivanje u bazi. Dokazimo prvu tvrdnju. Dolje imamo

σijσkl (wnwm) = δilσ

kj (wnwm) + (δknδim + δkmδin)wlwj .

Dok gore imamo

σijσkl (p(w)vn) = σijσ

kl (p(w))vn + σij(p(w))σkl (vn) + σkl (p(w))σij(vn) + p(w)σijσ

kl (vn)

Zbog simetrije dolazi do oduzimanja i dobivamo [σij , σkl ] = δilσ

kj − δjkσ

li. Bitno je primijetiti da je

komutator derivacija opet derivacija.Druga tvrdnja slijedi direktno iz definicije III tipa. Treca tvrdnja je najzahtjevnija. Primjetimo

prvo da jeσijd

kmn(p(w)vl) = δlk(σij(p(w)))cmn + δinp(w)cmj + δimp(w)cjn

dkmnσij(p(w)vl) = δilp(w)δjkcmn + σij(p(w))δlkcmn

.

Nadalje primjetimo li da je

wmσin(p(w)vl) = wm(σin(p(w))vl + p(w)δilvn)

wnσim(p(w)vl) = wn(σim(p(w))vl + p(w)δilvm)

24

slijedi da je[σij , d

kmn

](p(w)vl) = δlkδinp(w)cmj + δlkδimp(w)cjn − δjkδilp(w)cmn =

= (δindkmj + δimdknj)(p(w)vl)− δjk(wmσin − wnσ

im)(p(w)vl)+

+δjk(wmσin(p(w))− wnσim(p(w)))vl =

= (δindkmj + δimdknj)(p(w)vl)− δjk(wmσin − wnσ

im)(p(w)vl),

pri cemu je jewmσ

in(p(w))− wnσ

im(p(w) = 0

jer u prvom izrazu u polinomu p(w) na svakom mjestu gdje se pojavljuje wi jednom zamjenimo swn, dok u drugom izrazu tom istom polinomu wi na svakom mjestu jednom zamjenimo s wm, pakad pomnozimo s varijablom koja stoji ispred dobivamo iste clanove.

Cetvrta i peta tvrdnja se dokazuju slicno trecoj, ali mnogo jednostavnije jer derivacije tipa IIimaju trivijalnu donju komponentu.

Posljednja tvrdnja za derivacije II i III tipa slijedi direktno iz definicije, a za I tip se dobivaiz cinjenice da I tip netrivijalno djeluje samo na varijable w1, ..., wr, dok IV tip netrivijalno djelujesamo na varijable wr+1, ..., wr+p. �

Osim samih elementarnih derivacija zelimo znati kako se ponasaju varijable, tj. mnozenja svarijablom kada ih komponiramo s derivacijama.

16.3. Propozicija. Mnozenja s varijablama komutiraju:

[wi, wj ] = 0.

Vrijedi: [σij , wk

]= δikwj , za I tip,[

σij , wk

]= 0, za II tip,[

dijk, wl

]= 0, za III tip,[

∂i, wj]

= δij , za IV tip.

17 Weylova algebra objekta u LP

Dosad smo uveo pojam derivacije i interne derivacije simetricne algebre u LP. Pokazao sam da jeinterna derivacija dolje upravo prostor derivacija. Buduci da nam je cilj opisati internu Weylovualgebru prvo trebamo vidjeti sto se dogada dolje. Naravno, dolje cemo dobiti algebru generiranuvarijablama w1, ..., wr+p i svim uvedenim elementarnim derivacijama (4 tipa uvedena u 14.1). Tualgebru zovem Weylova algebra objekta V u LP i oznacavam s Weyl0(S).

U [3] dokazan je slijedeci klasican rezultat

17.1. Propozicija. Skup {xα∂β : α, β ∈ Nn} je baza nad poljem k klasicne Weylove algebre Anna n varijabli.

Kao sto cu objasniti nize u kompozicijama elementarnih derivacija mozemo razdvojiti razlicitetipove. Tipovi II i III se ponasaju mnogo jednostavnije od I tipa, dok se tip IV ponasa kao u

25

klasicnom slucaju. Unutar I tipa pojavljuje se samo jedna komutacijska relacija, te je nasa hipotezada drugih nema. Hipoteza se pokazuje tocna na kompozicijama niskog reda. Uvedemo li neki fiksniporedak za elementarne derivacije I tipa dobit cemo kanonsku formu, tj. kanonsku bazu za Weylovualgebru simetricne algebre u LP. Racun upucuje da ce kompozicije oblika σi1j1 · · ·σ

ikjk

, pri cemu jeispostovan fiksni poredak, ciniti elemente kanonske baze. Oznacimo takve elemente sa σIJ pri cemusu I i J samo oznake koje upucuju da se radi o kompoziciji elementarnih derivacija prvog tipa udogovorenom poretku.

17.2. Slutnja. Skup

B0 = {wασIJ | α ∈ Nr+p0 }∪

∪{wασIJσij | α ∈ Nr+p0 , i ∈ {1, 2, ..., r + d}, j ∈ {r + 1, ..., r + d}}∪

∪{wασIJdijk |, α ∈ Nr+p0 , i ∈ {r + 1, ..., r + d}, 1 ≤ j < k ≤ r}∪

∪{wασIJ∂β | β ∈ Np0, α ∈ Nr+p

0 }∪∪{wα∂β | β ∈ Np

0, α ∈ Nr+p0 }

je baza vektorskog prostora Weyl0 nad poljem k. Ako je element Weylove algebre prikazan uovoj bazi reci cu da je prikazan u kanonskoj formi.

Napomena. Svaki element Weylove algebre Weyl0 je linearna kombinacija monoma koji sukompozicije raznih elementarnih derivacija i mnozenja s varijablama. Prema propozicijama 16.1-16.3 vidimo da svaki takav monom mozemo zapisati kao linearnu kombinaciju elemenata iz B0.Naime, ukoliko su u monomu derivacija i varijabla jedna do druge tada mozemo postici da var-ijable budu slijeva prema 16.3. Ukoliko su dvije derivacije razlicitog tipa susjedne onda prema16.2 mozemo postici da su derivacije manjeg tipa lijevo od derivacija veceg tipa (na elementarnimderivacijama uvodimo parcijalni uredaj prema tipu). Prema 16.1 kompoziciju derivacija II i III tipamozemo zapisati kao jednu derivaciju II ili III tipa. Jos samo treba primijetiti da je kompozicija bilokoje derivacije II ili III tipa s derivacijom IV tipa trivijalna. Simbolicki mozemo zapisati proizvoljnielement Weylove algebre tako da istaknemo koji se tipovi pojavljuju u kompoziciji

gore I+I*II+I*IIIdolje I+I*IV+IV.

Klasicno se Weylova algebra moze prikazati kao kvocijent slobodne algebre generirane s onolikoelemenata koliko je zajedno varijabli i elementarnih derivacija i njenog ideala generiranog komuta-torskim relacijama.

Neka je R skup relacija oblika f(w, σij , ..., ∂k) = 0. Reci cu da je ideal I generiran relacijama

R ako je generiran skupom {f(w, σij , ..., ∂k)}. Neka je (E → F ) objekt elementarnih derivacija, te

neka je T := T (W ⊗ F ) tenzorska algebra produkta prostora W i F . Neka je I ideal u T (W ⊗ F )generiran relacijama danim u propozicijama 16.2 i 16.3.

17.3. Po uzoru na klasicni slucaj postavljamo slutnju da je Weylova algebra Weyl0 izomorfna T/I.Buduci da je Weyl0 generirana s elementima baza prostora W i F postoji prirodni surjektivnihomomorfizam algebri φ : T → Weyl0. Buduci da je I generiran relacijama ocito je I ⊆ Kerφ.Dakle, φ inducira surjektivni homomorfizam

φ : T/I → Weyl0.

Na nacin analogan 17.2 pokazalo bi se da elementi f + I, gdje je f ∈ B (element kanonske baze zaWeylovu algebru), razapinju T/I. Njihova slika je upravo B, pa ako je B linearno nezavisan skupu Weyl0 slijedi da je {f + I : f ∈ B} linearno nezavisan skup u T/I. Dakle, φ bi bio izomorfizam.

26

17.4. Algebra diferencijalnih operatora. U [3] se induktivno definira pojam diferencijalnihoperatora komutativne algebre, te se pokazuje da je algebra diferencijalnih operatora simetricnealgebre izomorfna Weylovoj algebri. Buduci da je End(S) Liejeva algebra u LP mozemo definiratina potpuno analogan nacin diferencijalni operatore na S u LP. Dolje dobivamo klasicne diferenci-jalne operatore na S(W ) dok se gore stvari kompliciraju. Napomenimo ovdje samo da je smislenopitati se je li algebra diferencijalnih operatora u LP na S izomorfna Weyl0(S), ali da taj rezultatnije dan u ovom radu.

18 Gornje komutacijske relacije

Weylovu algebru interno u LP kategoriji definirat cemo kao algebru u LP koja ce biti razapeta svimelementarnim derivacijama. Dolje cemo dobiti Weylovu algebru opisanu u prethodnom odjeljku,a gore cemo dobiti modul u kojem opet vrijede odredene komutatorske relacije. Uz vec navedenerelacije potrebno je navesti na koji nacin komutiraju gornje elementarne derivacije i mnozenja selementima S(W )V s elementima od Weyl0. Sljedecom propozicijom dane su komutacijske relacijekoje zasigurno vrijede, no da bismo internu Weylovu algebru opisali kao kvocijent tenzorske algebres idealom u LP bit ce potrebno prouciti pojavljuju li se jos neke relacije.

18.1. Propozicija. Vrijedi

[vi, wj ] = 0,[σij , vk

]= δikvj , za elem. derivacije I tipa,

[d, vk] = 0, za elem. derivacije II i III tipa,[∂i, vj

]= −wj∂i, za elem. derivacije IV tipa,[

σij , wk

]= δikvj , za gornje elem. derivacije I tipa,

[d,wk] = 0, za gornje elem. derivacije II i III tipa,[wj∂

i, wk]

= δikvj , za gornje elem. derivacije IV tipa,[σij , σ

kl

]= δilσ

kj − δjkσ

li, za derivacije I ili II tipa i gornje der. I ili II tipa,[

di1j1k1 , di2j2k2

]= 0, za derivaciju III tipa i gornju der. III tipa[

σij , dkmn

]= δind

kmj − δimd

knj − δjk(wmσin − wnσ

im), za derivaciju I tipa i gornju der. III tipa,[

σij , dkmn

]= (δinwm − δimwn)σkj − δkj(wmσin − wnσ

im), za gornju der. III i der. II tipa, i = 1, ..., r,[

σij , dkmn

]= (δinwm − δimwn)σkj − δjkd

imn, za gornju der. III i der. II tipa, i = r + 1, ..., r + d,[

σij , ∂k]

= δjkwl∂i, za der. I tipa i gornju der. IV tipa,[

d, ∂k]

= 0, za der. II, III ili IV tipa i gornju der. IV tipa,

Napomena. Iste relacije vrijede kad racunamo komutatore za parove u kojem obrnuto uzimamogornju i donju derivaciju prema tipu.

19 Interna Weylova algebra u LP

19.1. Definicija. Interna Weylova algebra Weyl(V ) objekta V u LP je podalgebra algebreEnd(S(V )) generirana slikom prirodnog ulaganja algebre S(V ) i objekta interne derivacije Der(S) =(D1(S) → D0) u End(S(V )).

27

Kao sto sam vec spomenuo prije 17.2, u Weyl(V ) se dolje pojavljuje upravo Weyl0, dok goreimamo bimodul nad Weyl0 koji cemo oznacavati sa Weyl1.

19.2. Kanonska forma na Weyl1. Prema 18.1 kompoziciju elemenata u Weyl1 mozemoprikazati kao linearnu kombinaciju kompozicija od manje elemenata, te tako dobiti kanonskuformu. Buduci da znamo kako se ponasaju donje elementarne derivacije i mnozenja s varijablamaw1, ..., wr+p prema gornjim elementarnim derivacijama i mnozenjima s elementima iz S(W )V do-bivamo da se svaka kompozicija moze zapisati u obliku gdje prvo dolaze mnozenja s elementima izS(W ), pa donje derivacije, pa gornja derivacija ili mnozenje s elementom iz V . Dakle, elementi uWeyl1 su po definiciji oblika

”nesto iz Weyl0”⊗sv⊗s”nesto iz Weyl0” ili ”nesto iz Weyl0”⊗s(dV , dW , dϕ)⊗s”nesto iz Weyl0”,

a prema komutacijskim relacijama svime iz Weyl0 mozemo mnoziti samo s jedne strane.

19.3. Kao sto smo u 17.2 opisali bazu za Weyl0 tako pretpostavljamo da se baza vektorskogprostora Weyl1 nad poljem k moze opisati kao skup ciji elementi su produkti elemenata baze zaWeyl0 s gornjim elementarnim derivacijama ili s mnozenjima s elementima od S(W )V .

Neka je T tenzorska algebra u LP objekta V ⊗ E. Otprije imamo oznaku T = T (W ⊗ F ).Dakle, T = (T ⊗ (V ⊗F +W ⊗E)⊗T → T ). Pokazali smo da je Weyl0 = T/I, gdje je I ideal u Tgeneriran komutatorskim relacijama za elementarne derivacije. Oznacimo sa P := V ⊗F +W ⊗E.Neka je R skup svih komutacijskih relacija za gornje elementarne derivacije (onih iz 18.1, ali onihkoje jos nismo dobili!). Oznacimo sa N := TRT + IPT + TPI.

19.4. Propozicija. I = (N → I) je ideal tenzorske algebre T .

Dokaz. Vec znamo da je I ideal u A, te je TN ⊂ N,NT ⊂ N,TPTI ⊂ N, ITPT ⊂ N , pa je prema10.4 I zaista ideal u T . �

19.5. Slutnja. Weyl(V ) je izomorfno s T/I kao algebra u LP .

Buduci da je Weyl generirana sumom S(V ) i Der(S) postoji kanonski epimorfizam φ : T →Weyl (naravno sastoji se od dva preslikavanja- gore i dolje). Pri tom morfizmu produkte saljemou kompozicije derivacija i mnozenja s varijablama. Buduci da je I generiran relacijama vrijediI ⊂ Kerφ. Dakle φ inducira surjektivni homomorfizam φ : T/I → Weyl.

Dakle, imamo surjektivna preslikavanja

φg : T ⊗ P ⊗ T/N → Weyl1φd : T/I → Weyl0

.

Prema 17.3 znamo da je φd izomorfizam algebri. Ostaje vidjeti da je φg monomorfizam modulanad T/I ∼= Weyl0. Ukoliko bismo imali bazu za Weyl1 pokazali bismo da elementi f +N , gdje suf elementi baze za Weyl1, cine bazu za T ⊗ P ⊗ T/N .

20 Kontekst Lodayevih algebri

Na kraju bih spomenuo jedan siri kontekst u kojem je korisna LP kategorija. Spomenuo samna pocetku da se svakoj Leibnizovoj algebri moze pridruziti (unutarnja) Liejeva algebra u Loday-Pirashvilijevoj kategoriji. Pokazat cemo nize u glavnom tekstu da se ta korespodencija moze prosiriti

28

do funktora Leib → LP koji je vjeran i potpun (tj. ulaganje kategorija). Loday je promatrao josnekoliko tipova algebri koje su u nekakvoj vezi s Leibnizovim algebrama ali i kategorijom LP. Ovdjenavodimo neke njegove rezultate iz [15]. Prvi tip su tzv. asocijativne dialgebre (razlikovati odbialgebri!) koje su vektorski prostori s dva asocijativna mnozenja a i ` (opcenito bez jedinice alidistributivna u odnosu na zbrajanje), koje se zovu lijevi i desni produkt, a s tri uvjeta medusobnekompatibilnosti:

x a (y a z) = x a (y ` z)x ` (y a z) = (x ` y) a z(x a y) ` z = (x ` y) ` z

Asocijativne dialgebre cine kategoriju Dias. Kao sto se od svake asocijativne algebre moze nacinitiLiejeva algebra, na istom vektorskom prostoru, tako da se definira [a, b] := ab− ba tako se od svakedialgebre moze naciniti Leibnizova algebra po formuli [a, b] := a a b− b ` a; taj funktor ima lijeviadjunkt “univerzalna omotacka algebra Leibnizove algebre”. S druge strane, postoji potpun i vjeranfunktor Dias → AlgLP iz kategorije asocijativnih dialgebri u kategoriju unutarnjih algebri u LP,koji je vrlo slican ulaganju Leib → LieLP. Stovise, za svaku Leibnizovu algebru (L, [, ]) svejednoje da li smo najprije primijenili funktor univerzalne omotacke (asocijativne) dialgebre pa ondaulaganje Dias → AlgLP ili najprije ulaganje Leib → LieLP pa nakon toga funktor univerzalneomotacke unutarnje algebre u LP od unutarnje Liejeve algebre u LP.

U matematickoj disciplini univerzalna algebra proucavaju se algebarske strukture (“algebre usmislu univerzalne algebre”) s raznim brojem operacija i raznim definirajucim identitetima. Postojinekoliko pristupa univerzalnoj algebri (koji nisu skroz ekvivalentni, no osnovni tipovi algebarskihstruktura kao sto su grupe, prstenovi, polugrupe itd. su tipovi “algebri” u svakom pristupu uni-verzalne algebre). Jedan od njih je preko algebarskih operada (drugi tipovi operada kao sto sutopoloski operadi su zapravo popularniji u modernoj matematici, posebno u algebarskoj topologiji).Dakle za svaki tip algebri postoji jedna struktura koja zapravo ima u svojoj strukturi informaciju otome kakve algebre ona odreduje. Dakle operad je sam po sebi analogon algebre, a algebre nad timoperadom su analogne modulu nad obicnom algebrom. Dakle postoji npr. operad Ass a asocijativnealgebre su upravo “algebre nad operadom Ass”. Kao sto se algebra moze razapeti generatorimai relacijama, tako postoje generatori i relacije za operade (obicno se crtaju izvjesni dijagrami ko-jima se takvi podaci intuitivnije predstavljaju). Medu obicnim asocijativnim algebrama postojiklasa onih koje se generiraju nekim konacno-dimenzionalnim vektorskim prostorom V a relacije sunajmanji ideal koji sadrzi neki podskup R tenzorskog kvadrata V ⊗ V . To su tzv. kvadraticnealgebre, npr. simetricna algebra S(V ) i vanjska algebra Λ(V ): ako je τ : V ⊗V → V ⊗V operatorzamjene redoslijeda tenzorskih faktora a⊗ b 7→ b⊗ a, tada su ideali za S(V ) i za Λ(V ) generirani s(Id− τ)(V ⊗ V ) ⊂ V ⊗ V i s (Id + τ)(V ⊗ V ). Za svaku kvadraticnu algebru A mozemo definiratiKoszulov dual (ili Koszul-dualna algebra) A! ( [18]): za generatore uzeti dualni vektorski prostorV ∗ i za relacije podskup od V ∗ ⊗ V ∗ koji je maksimalan medu podskupovima koji anuliraju R priizvrednjavanju. Dual simetricne algebre je vanjska algebra (na dualnom prostoru). Pomocu van-jskih i simetricnih algebri u homoloskoj algebri generiraju se u praksi tzv. Koszulove rezolvente,posebno vazne u geometriji. M. Kontsevich, V. Ginzburg i M. Kapranov ([6]) primijetili suda postoji analogon Koszulove dualnosti u kontekstu kvadraticnih operada. Pri tome je operadasocijativnih algebri Koszul dual samom sebi, operad Lijevih algebri Koszul dual operadu komuta-tivnih asocijativnih algebri, operad Leibnizovih algebri dualan je operadu tzv. Zinbiel (ili prosto“dualnih Leibnizovih”) algebri, diasocijativne algebre dualne su tzv. drvolikim (dendriformnim)algebrama, te glavni funktori medu tim algebrama takoder imaju svoje duale. Npr. postoji dual

29

situacije u kojoj od svake asocijativne dialgebre mozemo naciniti Leibnizovu s lijevim adjungiranimunoverzalnim omotackim funktorom.

Koszul dualni odnos tom odnosu zapravo je kanonski par adjungiranih funktora izmedu Zin-bielnih i dendriformnih algebri.

Prema Lodayu, svi ovi tipovi algebri nad kvadraticnim operadima (asocijativne, komutativne,Liejeve, Leibnizove, dendriformne (drvolike), Zinbielne i asocijativne dialgebre) korisne su u alge-barskoj K-teoriji.

U novije vrijeme pojavile su se i brojne primjene u kombinatorici (nekomutativne simetricnefunkcije) i matematickoj fizici (kombinatorika Feynmanovih dijagrama, usp.[4]).

21 Zahvale

Zahvaljujem se svom mentoru, doc. dr. sc. Zoranu Skodi, na nesebicnoj pomoci u svakom trenutku,na mnogim savjetima i podrsci kroz citav rad. Bez Vas ovaj rad ni izbliza nikad ne bi bio napravljen.

Sazetak. Matija Basic, Derivacije unutarnje simetricne algebre i Weylova algebra u Loday-Pirashvilijevoj tenzorskoj kategoriji. Loday i Pirashvili uveli su egzoticni “infinitezimalni” tenzorskiprodukt u kategoriji linearnih preslikavanja, s motivacijom u teoriji Leibnizovih algebri. U ovomradu izracunata je, po prvi puta, struktura modula derivacija unutarnje simetricne algebre objektau Loday-Pirashvilijevoj tenzorskoj kategoriji u konacno-dimenzionalnom slucaju, te nesto veci un-utarnji modul derivacija iste simetricne algebre. Uvedeni su i novi pojmovi Weylove i unutarnjeWeylove algebre u tom kontekstu, te ucinjeni prvi koraci prema odredenju njihove strukture.

Kljucne rijeci: tenzorska kategorija Lodaya i Pirashvilija, derivacije simetricne algebre.

Abstract. Matija Basic, Derivations of inner symmetric algebra and Weyl algebra in Loday-Pirashvili tensor category. Loday and Pirashvili introduced an exotic “infinitesimal” tensor productin the category of linear maps, with a motivation in the theory of Leibniz algebras. In this study,for the first time, we have calculated the structure of the module of derivations of the internal sym-metric algebra of an object in Loday-Pirashvili tensor category in finite-dimensional case, and thesomewhat bigger internal module of derivations of the same symmetric algebra. We have introducedthe new notions of the Weyl algebra and the internal Weyl algebra in this context, and made thefirst step toward the determination of their structure.

Key words: Loday-Pirashvili tensor category, derivations of symmetric algebra.

Literatura

[1] F. Borceux, Handbook of Categorical Algebra 1, Basic Category Theory, Cambridge Uni.Press

[2] F. Borceux, Handbook of Categorical Algebra 2, Categories and Structures, Cambridge Uni.Press

30

[3] S. C. Coutinho, A Primer of Algebraic D-modules, Cambridge University Press 1995.

[4] K. Ebrahimi-Fard, Loday-type algebras and the Rota-Baxter relation, Lett. Math. Phys. 61(2002), no. 2, 139–147.

[5] S. I. Gelfand, Y. I. Manin, Methods of Homological Algebra, Springer 1988.

[6] V. Ginzburg, M. Kapranov, Koszul duality for operads , Duke Math. J. 76 (1994), no. 1,203–272.

[7] H. Herrlich, G. E. Strecker, Category Theory, Allyn and Bacon Inc. 1973.

[8] K. Horvatic, Linearna algebra, III. dio, MO, PMF, Sveuciliste u Zagrebu, 2001.

[9] G. M. Kelly, Basic Concepts of Enriched Category Theory, Reprints in Theory & Appl. Cat.No. 10 (2005.)

[10] R. Kurdiani, Cohomology of Lie Algebras in the Tensor Category of Linear Maps, Comm.Algebra 27 (1999), no. 10, 5033–5048.

[11] R. Kurdiani, T. Pirashvili, A Leibniz algebra structure on the second tensor power, J. LieTheory 12 (2002), no. 2, 583–596.

[12] S. Kurepa, Konacno dimenzionalni vektorski prostori i primjene, Tehnicka knjiga 1967.

[13] T. Leinster, Higher Operads, Higher Categories, London Mathematical Society Lecture NoteSeries 298, Cambridge University Press 2003.

[14] J. L. Loday, Cyclic homology, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 301.Springer-Verlag, Berlin, 1998.

[15] J. L. Loday, Dialgebras and related operads, 7–66, Lecture Notes in Math., 1763, Springer,Berlin, 2001.

[16] J. L. Loday, T. Pirashvili, Universal enveloping algebras of Leibniz algebras and(co)homology, Math. Ann. 296 (1993.) 139–158.

[17] J. L. Loday, T. Pirashvili, The tensor category of linear maps and Leibniz algebras, Geor-gian Math. Journal 5 (1998.) No. 3, 263–276.

[18] Yu. I. Manin, Quantum groups and noncommutative geometry, Universite de Montreal, Cen-tre de Recherches Mathematiques, Montreal, QC, 1988.

31