ANALIZA I SINTEZA SISTEMA U PROSTORU STANJA

12. Osnovne forme modela u prostoru stanja Tehnika modela u prostoru stanja predstavlja moderan pristup u teoriji linearnih sistema. Modeli u prostoru stanja su naročito pogodni za predstavljanje multivarijabilnih sistema sa velikim brojem ulaza i izlaza i vrlo su efikasni za numeričke algoritme izračunavanja. Takođe, modeli u prostoru stanja su omogućili definisanje novih koncepata u teoriji sistema kao što su kontrolabilnost i opservabilnost. Mi ćemo se u okviru ovog kursa baviti linearnim, kauzalnim, vremenski nepromenljivim sistemima i model u prostoru stanja za takav kontinualan LTI sistem ima sledeću formu:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )0; 0

dx tAx t Bu t x x

dty t Cx t Du t

= + =

= + (6.1)

pri čemu se prva od jednačina u (6.1) naziva jednačinom stanja dok se druga od njih naziva jednačinom merenja ili opservacije. Primetimo da je jednačina stanja vektorska diferencijalna jednačina dok je jednačina merenja algebarska. Ako usvojimo dimenzije pojedinih vektorskih promenljivih: ( ){ }dim 1x t n= × , ( ){ }dim 1u t m= × i ( ){ }dim 1y t r= × , gde je ( )x t vektor stanja,

vektor ulaza ili upravljanja i vektor merenja ili opservacija, tada dimenzije pojedinih

matrica postaju jednoznačne: ( )u t ( )y t

{ }dim A n n= × , { }dim B n m= × , { }dim C r n= × i { }dim D r m= × .

Ukoliko pođemo od pretpostavke da je sistem opisan skupom diferencijalnih jednačina, najjednostavniji i direktni način da se formira odgovarajući model u prostoru stanja jeste da se za elemente vektora stanja izaberu sve zavisne promenljive i svi njihovi izvodi osim najviših. Ovakvim izborom se za elemente vektora stanja biraju fizičke promenljive. Ovaj ćemo postupak ilustrovati sledećim primerom.

Primer 6.1: Posmatrajmo jednosmerni motor upravljan strujom u rotoru. Njegovo ponašanje se može opisati dvema diferencijalnim jednačinama, od kojih jedna predstavlja Omov zakon za električno kolo rotora, dok druga predstavlja jednakost pokretačkih i otpornih momenata:

( ) ( ) ( ) ( )rr r r me m

di tL R i t K t u

dtω+ + = r t (6.2)

( ) ( ) ( ) 0mem r e e m

d tK i t J F t

dtω

ω− + + = (6.3)

Dakle, za ovako opisan sistem, direktni metod za formiranje modela u prostoru stanja jeste da se za elemente vektora stanja usvoje sve zavisne promenljive ( ( )ri t i ( )m tω ) i svi njihovi izvodi osim najviših. Pošto su naše diferencijalne jednačine (6.2) i (6.3) jednačine prvog reda, to znači da će naš model u prostoru stanja imati samo dve koordinate: struju rotora i brzinu okretanja osovine motora:

( ) ( )( ) ( )

1

2

r

m

x t i t

x t tω

=

= (6.4)

Formirati model u prostoru stanja postaje jednostavno:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1

1 2

1

1

r merr m

r r r

mer

r r r

di t KRrx t i t t

dt L L LKR x t x t u t

L L L

ω= = − − +

= − − +

u t (6.5)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2m em e em e

r me e e e

d t K F K F1 2x t i t t x t

dt J J J Jω

ω= = − = − x t (6.6)

U matričnoj formi je ove dve relacije moguće zabeležiti na sledeći način:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

0

mer

r rr

em e

e e

KRL L

Lx t Ax t Bu t x t u tK FJ J

⎡ ⎤− − ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= + = + ⎢ ⎥⎢ ⎥

− ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

(6.7)

Time smo formirali jednačinu stanja. Ukoliko je u posmatranom sistemu moguće meriti brzinu okretanja osovinu, dakle na raspolaganju nam je tahogenerator:

( ) ( ) ( )2TG m TGy t K t K x tω= = (6.8)

odgovarajuća jednačina merenja postaje:

( ) ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ( )0 TGy t Cx t Du t K x t u t= + = + 0 (6.9)

Jednačine (6.7) i (6.9) definišu model u prostoru stanja za jednosmerni motor upravljan strujom u rotoru, pri čemu su koordinate stanja izabrane direktno na osnovu diferencijalnih jednačine, te ove koordinate imaju svoj fizički smisao. U narednom tekstu ćemo opisati postupak formiranja nekih drugih vrsta modela u prostoru stanja, čije koordinate stanja nisu fizičke promenljive, već često neka njihova linearna kombinacija, ali su zato forme modela karakteristične i po nekim svojstvima značajne.

Kontrolabilna kanonična forma Pretpostavimo da je kontinualni LTI sistem opisan funkcijom prenosa:

( )2

3 2

2 4 35 7

s sG ss s s

+ +=

1+ + + (6.10)

Prvi korak u formiranju modela u prostoru stanja koji ćemo zvati kontrolabilna kanonična forma jeste da proverimo da li je polinom u imeniocu funkcije prenosa monik. Polinom je monik ukoliko je njegov najstariji koeficijent jednak 1. Ukoliko to nije slučaj, i brojilac i imenilac funkcije prenosa treba podeliti najstarijim koeficijentom polinom u imeniocu. U našem slučaju to jeste slučaj, pa možemo preći na sledeći korak. Funkcija prenosa sistema predstavlja količnik Laplasovih transformacija signala na izlazu i ulazu u sistem i pri tome se ništa neće promeniti ukoliko ovaj količnik i podelimo i pomnožimo Laplasovom transformacijom nekog signala koga ćemo zvati pomoćnim signalom:

( )c t

( ) ( )( )

( )( )

2

3 2

2 4 35 7 1

Y s C ss sG sU s s s s C s

+ += =

+ + + (6.11)

Zbog ovog pomoćnog signala se često ovaj postupak naziva metodom pomoćne promenljive. Kako signal može biti bilo koji signal (osim onog koji je identički jednak nuli), možemo ga izabrati tako da imenilac na desnoj strani jednakosti (6.11) bude jednak imeniocu na levoj strani jednakosti, i da brojilac na levoj strani bude jednak brojiocu na desnoj strani, odnosno:

( )c t

( ) ( ) ( )22 4 3Y s s s C s= + + (6.12)

( ) ( ) ( )3 25 7 1U s s s s C s= + + + (6.13)

Ako na relaciju (6.13) primenimo inverznu Laplasovu transformaciju dobija se diferencijalna jednačina trećeg reda:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 7u t c t c t c t c t= + + + (6.14)

Vrlo je jednostavno formirati električno kolo koje će za zadati ulazni signal generisati

pomoćni signal , korišćenjem integratora, sabirača i množača. Takvo kolo je prikazano na slici 6.1. i naziva se simulacioni blok dijagram. Takođe, primenom inverzne Laplasove transformacije na relaciju (6.12) dobijamo:

( )u t

( )c t

( ) ( ) ( ) ( )2 4 3y t c t c t c t= + + (6.15)

te se i signal merenja lako može generisati na osnovu signala u simulacionom blok dijagramu. ( )y t

c cc c

5−7−

1−

+++ +

u

24

3y

++

+

Slika 6.1: Simulacioni blok dijagram sistema

Poslednji korak koji nas dovodi do modela u prostoru stanja jeste izbor elemenata vektora stanja. Uvek se, ukoliko je na raspolaganju simulacioni blok dijagram, za elemente vektora stanja biraju izlazi iz integratora. S obzirom da u našem simulacionom blok dijagramu figurišu tri integratora (jer je stepen polinoma u imeniocu funkcije prenosa jednak tri), naš vektor stanja će imati tri koordinate. Ukoliko za elemente vektora stanja izaberemo redom signale ( )c t , ( )c t i , model postaje: ( )c t

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2

2 3

3 17 5 7 5

x t c t x t

x t c t x t

2 3x t c t c t c t c t u t x t x t x t u t

= =

= =

= = − − − + = − − − +

(6.16)

dok jednačina merenja glasi:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 33 4 2 3 4 2y t c t c t c t x t x t x t= + + = + + (6.17)

Relacije (6.16) i (6.17) se mogu napisati u kompaktnoj matričnoj formi:

( ) ( )

( ) [ ] ( )

0 1 0 00 0 1 01 7 5 1

3 4 2

x t u

y t x t

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

=

t (6.18)

i ovakva forma se naziva kontrolabilnom kanoničnom formom. Kanoničnost forme se ogleda u pravilima na osnovu kojih se vrlo jednostavno mogu formirati matrice A,B i C ukoliko je poznata funkcija prenosa sistema. Matrica A koja je generalno dimenzija n n× se sastoji od tri bloka. U

gornjem levom uglu se nalazi jedinična matrica dimenzija ( ) ( )1n n 1− × − , u prvoj koloni matrice A su svi članovi osim poslednjeg jednaki nuli, dok se u poslednjoj vrsti matrice A nalaze koeficijenti karakterističnog polinoma (polinoma iz imenioca funkcije prenosa) čitani sleva nadesno sa promenjenim znakom. Dalje, u matrici B su svi elementi jednaki nuli osim poslednjeg koji je jednak 1, dok su u matrici C smešteni koeficijenti polinoma iz brojioca funkcije prenosa čitani sleva nadesno.

Prilikom formiranja kontrolabilne kanonične forme sistema potrebno je dati dve napomene. Prvo, primetimo u primeru 6.1 je matrica D u jednačini merenja jednaka nuli. Ona će uvek biti jednaka nuli ukoliko je polinom u brojiocu nižeg stepena od polinoma u imeniocu funkcije prenosa. U slučaju da su ova dva polinoma istog stepena, njih treba podeliti tako da se dobije konstanta i pravi razlomak, pri čemu će dobijena konstanta biti smeštena u matricu D. Ovaj će postupak biti ilustrovan u primeru 6.2. Druga važna napomena jeste da kontrolabilna kanonična forma može da se formira samo za sisteme koji imaju jedan ulaz, dakle za SISO i SIMO sistema. Postupak formiranja kontrolabilne kanonične forme za sistem sa više izlaza biće ilustrovan u primeru 6.3.

Primer 6.2: Posmatrajmo sistem čija je funkcija prenosa

( )3

3 2

4 22 6 2

s sG ss s s

+=

1+ − + (6.19)

Prvo primetimo da polinom u imeniocu nije monik, zato ćemo i brojilac i imenilac funkcije prenosa podeliti sa 2:

( )3

3 2

23 0

s sG ss s s

+=

+ − + .5 (6.20)

Dalje, primetimo da su polinomi u brojiocu i imeniocu istog stepena. Potrebno je izvršiti deljenje ovih polinoma tako da dobijemo konstantu i pravi razlomak u kome je stepen polinom u brojiocu niži od stepena polinoma u imeniocu:

( )2

3 2

6 3 123 0s sG s

s s s− + −

= ++ − + .5

(6.21)

Sada je postupak identičan onome koji je opisan u primeru 6.1., s tim što sada postoji i matrica D koja je jednaka skalaru 2:

( ) ( ) ( )

( ) [ ] ( ) [ ] ( )

0 1 0 00 0 1 00.5 1 3 1

1 3 6 2

x t x t

y t x t u t

⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢= +⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢− −⎣ ⎦ ⎣

= − − +

u t⎤⎥⎥⎥⎦

(6.22)

Primer 6.3: Formiraju kontrolabilnu kanoničnu formu sistema sa jednim ulazom i tri izlaza koji je opisan matricom kolonom funkcija prenosa:

( )

( )

( )

2

11

12 1

1

s ssG s

ss

s s

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥−⎢ ⎥+⎢ ⎥

⎢ ⎥+⎢ ⎥⎣ ⎦

(6.23)

U slučaju sistema sa više ulaza ili izlaza potrebno je za početak odrediti karakteristični polinom sistema ( )f s . Karakteristični polinom multivarijabilnog sistema se određuje kao najmanji

zajednički sadržalac svih polinoma u imeniocima elemenata matrice funkcija prenosa. Dakle, u našem slučaju je:

( ) ( ) ( ){ } ( )2 21 , 1, 1 1 3f s NZS s s s s s s s s= − − + = − = s− (6.24)

Tada se matrica funkcija prenosa napiše u sledećoj formi:

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

1

22 3

23

11 1

2 1

G s f s sG s G s f s s

f s s ss sG s f s

⎡ ⎤ +⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦⎣ ⎦

(6.25)

Sada se na osnovu karakterističnog polinoma, čiji stepen određuje i red modela formira matrica A, matrica B zadržava formu kakvu je imala i za SISO sisteme, dok će matrica C imati onoliko vrsta koliko je izlaza, pri čemu je svaka vrsta određena odgovarajućim polinomom u matrici (6.25):

( ) ( ) ( )

( ) ( )

0 1 0 00 0 1 00 1 0 1

1 1 00 0 11 1 2

x t x t

y t x t

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

u t

(6.26)

Primer 6.4: Na analogan način se može formirati i model u prostoru stanja za diskretni LTI sistem. Ukoliko je diskretni sistem predstavljen funkcijom diskretnog prenosa:

( )2

3 2

0.8 0.60.5 0.4

z zG zz z z

− +=

+ − + (6.27)

odgovarajući model u prostoru stanja se takođe sastoji od dve relacije, od kojih je prva diferencna i naziva se jednačinom stanja ili jednačinom tranzicije:

[ ] [ ] [ ] [ ] 01 , 0x k Ax k Bu k x+ = + = x (6.28)

dok je druga, ponovo algebarska jednačina opservacije ili merenja:

[ ] [ ] [ ]y k Cx k Du k= + (6.29)

Ukoliko nam je cilj da formiramo kontrolabilnu kanoničnu formu diskretnog LTI sistema, potrebno je analogno simulacionom blok dijagramu na slici 6.1., da formiramo simulacioni blok dijagram diskretnog sistema koji se sastoji od elemenata za kašnjenje, sabirača i množača. Ponovo uvodeći pomoćnu promenljivu dobijamo relacije:

( ) ( )( )

( )( )

2 1 2

3 2 1 2 3

0.8 0.6 0.8 0.60.5 0.4 1 0.5 0.4

Y z C zz z z z zG zU z z z z z z z C z

− − −

− − −

− + − += = =

+ − + + − +

3

(6.30)

odnosno, u vremenskom domenu:

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

1 0.8 2 0.6 3

1 0.5 2 0.4 3

y k c k c k c k

u k c k c k c k c k

= − − − + −

= + − − − + − (6.31)

Odgovarajući simulacioni blok dijagram dat je na slici 6.2.

[ ]c k [ ]1c k −

1−0.5

0.4−

+++ +

u

10.8−

0.6y

++

+1z− 1z− 1z−[ ]2c k − [ ]3c k −

Slika 6.2: Simulacioni blok dijagram diskretnog LTI sistema

Prilikom formiranja modela u prostoru stanja na osnovu oformljenog simulacionog blok dijagrama diskretnog LTI sistema, za elemente vektora stanja se usvajaju izlazi iz blokova za kašnjenje. Dakle, u cilju formiranja kontrolabilne kanonične forme usvojićemo za elemente vektora stanja redom sledeće signale: [ ] [ ]1 3x k c k= − , [ ] [ ]2 2x k c k= − i [ ] [ ]3 1x k c k= − , pa će otuda jednačine stanja biti:

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [

[ ] [ ] [ ] [ ]

1 2

2 3

3

1 2 3

1 2

1 1

1 1 0.5 2 0.4 3

0.4 0.5

x k c k x k

x k c k x k

x k c k u k c k c k c k

x k x k x k u k

+ = − =

+ = − =

]+ = = − − + − − −

= − + − +

(6.32)

dok jednačina opservacije glasi:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1 20.6 3 0.8 2 1 0.6 0.8y k c k c k c k x k x k x k= − − − + − = − + 3

]

(6.33)

U matričnoj formi, relacije (6.32) i (6.33) postaju:

[ ] [

[ ] [ ] [ ]

0 1 0 01 0 0 1 0

0.4 0.5 1 1

0.6 0.8 1

x k u

y k x k

⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢+ = +⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢− −⎣ ⎦ ⎣

= −

k⎤⎥⎥⎥⎦

(6.34)

Primetimo da matrice A, B i C zadovoljavaju ista ona kanonična pravila koja su izvedena za slučaj kontinualnog LTI sistema.

Opservabilna kanonična forma

Sledeća značajna i često korišćena kanonična forma modela u prostoru stanja jeste opservabilna kanonična forma. Način na koji se ona generiše će opet biti ilustrovan na na primeru sistema čija je funkcija prenosa data relacijom (6.10):

( )2

3 2

2 4 35 7

s sG ss s s

+ +=

1+ + + (6.35)

Prvi korak jeste da se, ukoliko je polinom u imeniocu funkcije prenosa monik, polinom u brojiocu i imeniocu podele najvišim stepenom polinoma u imeniocu:

( ) ( )( )

2 3

2 3

2 4 3

5 7 11

Y s s s sG sU s

s s s

+ += =

+ + + (6.36)

Unakrsnim množenjem, dobija se relacija:

( ) ( )2 3 2 3

5 7 1 2 4 31Y s U ss s s s s s

⎡ ⎤ ⎡+ + + = + +⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣⎤⎥⎦

(6.37)

ili

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )(1 1 15 2 7 4 3Y s Y s U s Y s U s Y s U ss s s⎧ ⎫)⎡ ⎤= − + + − + + − +⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎩ ⎭

(6.38)

Poslednja relacija nam govori da se signal ( )y t može dobiti kao integral zbira tri signal koji se

nalaze u vitičastoj zagradi, signala ( )5y t− , ( )2u t i signala koji se može dobiti kao integral zbira

sledeća tri signala, , i signala koji je integral zbir signala i ( )7 y t− ( )4u t ( )y t− ( )3u t . Odgovarajući simulacioni blok dijagram je prikazan na slici 6.3.

( )1x t( )y t

( )u t

( )2x t( )3x t5−

2

7−

4

1−

3++

+ +

++ +

+

Slika 6.3: Simulacioni blok dijagram kontinualnog LTI sistema

Usvajajući izlaze iz integratora za elemente vektora stanja, kako je to označeno na slici 6.3, dobija se model u prostoru stanja u sledećoj formi:

( ) ( ) ( )5 1 0 27 0 1 41 0 0 3

x t x t−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

u t (6.39)

( ) [ ] ( )1 0 0y t x t= (6.40)

Ovaj model u prostoru stanja se naziva opservabilna kanonična forma i njoj su svojstvene sledeće pravilnosti. Matrica A koja je u opštem slučaju kvadratna matrica dimenzija n se sastoji iz tri bloka: u njenoj prvoj koloni se nalaze koeficijenti karakterističnog polinoma čitani sleva nadesno sa promenjenim znakom (preskačući prvi koeficijent koji mora biti jednak 1), u gornjem desnom uglu nalazi se jedinična matrica dimenzija ( )

n×

( )1n n 1− × − , dok se u poslednjoj vrsti osim prvog elementa nalaze sve same nule. U matrici B se nalaze koeficijenti polinoma u brojiocu funkcije prenosa čitani sleva nadesno, dok matrica C uvek ima istu formu, prvi element je 1 dok su svi ostali nule.

Vezano za formiranje opservabilne kanonične forme potrebno je dati sledeće napomene. Samo sistemi sa jednim izlazom, dakle SISO i MISO sistemi, mogu imati opservabilnu kanoničnu formu u prostoru stanja. Postupak za formiranje opservabilne kanonične forme diskretnih sistema je potpuno analogan postupku koji je već objašnjen. Jedina je razlika u tome što se u simulacionom blok dijagramu umesto integratorskih blokova koriste elementi za jedinično kašnjenje. Na sledećem primeru je ilustrovan ovaj postupak.

Primer 6.5: Za diskretni sistem sa dva ulaza i jednim izlazom čija je matrica vrsta funkcija diskretnih prenosa data

( ) ( )3

2

211

zG zzz z

z⎡ ⎤+⎢ ⎥=

−−⎢ ⎥⎣ ⎦ (6.50)

formirajmo opservabilnu kanoničnu formu modela u prostoru stanja. U pitanju je sistem sa dva ulaza i jednim izlazom, te je potrebno prvo odrediti karakteristični polinom sistema:

( ) ( ) ( )( ) ( )( )2 1 , 1 1 1 3f z NZS z z z z z z z= − − = − + = z− (6.51)

Tada se matrica funkcija diskretnog prenosa može napisati u sledećoj formi:

( ) 3 33

1 2G z z z zz z

2⎡ ⎤= + +⎣ ⎦− (6.52)

Dalje, primetimo da su polinomi u brojiocu istog stepena kao i karakteristični polinom, pa je potrebno izvršiti odgovarajuće deljenje polinoma:

( ) [ ] 23

11 1 2G z z z zz z

⎡ ⎤= + + +⎣ ⎦− (6.53)

Sada na osnovu ovako dobijene forme matrice funkcija diskretnog prenosa direktno možemo pisati opservabilnu kanoničnu formu u prostoru stanja:

[ ] [ ][ ][ ]

[ ] [ ] [ ] [ ][ ][ ]

1

2

1

2

0 1 0 0 11 1 0 1 1 1

0 0 0 2 0

1 0 0 1 1

u kx k x k

u k

u ky k x k

u k

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ = + ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤

= + ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(6.54)

ili, ako nam je želje da formiramo i simulacioni blok dijagram, relaciju (6.53) treba napisati u sledećoj formi:

( ) [ ] 2 3 12

11 1 21

G z z z z zz

− − − −−

2⎡ ⎤= + + +⎣ ⎦− (6.55)

što dovodi do sledeće veze između ulaznih signala i izlaza:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )({ ) }1 1 11 2 2 1 2 12Y z U z U z z U z z Y z U z U z z U z− − −⎡ ⎤= + + + + + +⎣ ⎦ (6.56)

Na osnovu ovako napisane veze između ulaznih signala i izlaza, jednostavno se formira simulacioni blok dijagram prikazan na slici 6.4.

1z− 1z− 1z−

2

[ ]1u k

[ ]2u k

[ ]y k++

+++

+ +

+

+

Slika 6.4: Simulacioni blok dijagram diskretnog sistema sa dva ulaza i jednim izlazom

Usvajanjem izlaza iz kola za kašnjenje za elemente vektora stanja dobio bi se model u prostoru stanja prikazan relacijama (6.54).

Dijagonalna kanonična forma

Postupak formiranja dijagonalne kanonične forme modela u prostoru stanja ilustrovaćemo na primeru sledećeg sistema sa jednim ulazom i jednim izlazom. Neka je njegova funkcija prenosa:

( ) 3 2

46 11

sG ss s s 6

+=

+ + + (6.57)

Prvi korak u formiranju dijagonalne kanonične forme jeste da se funkcija prenosa napiše u formi zbira parcijalnih razlomaka:

( ) ( )( )( )4 1.5 2 0.5

1 2 3 1 2sG s

s s s s s s 3+

= = −+ + + + + +

+ (6.58)

Tada se izlaz sistema može napisati kao zbir tri pomoćna signala:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1.5 2 0.51 2 3

Y s G s U s U s U s U ss s s

= = − ++ + +

(6.59)

koji se vrlo jednostavno mogu realizovati u simulacionom blok dijagramu (slika 6.5).

1

+−

2

+−

3

+−

1.5

2−

0.5

( )u t ( )y t++

+

Slika 6.5: Simulacioni blok dijagram sistema

Usvajanjem izlaza iz integratora za elemente vektora stanja dobija se model u prostoru stanja koji se naziva kontrolabilna kanonična forma:

( ) ( ) ( )

( ) [ ] ( )

1 0 0 10 2 0 10 0 3 1

1.5 2 0.5

x t x t

y t x t

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= −

u t (6.60)

Dijagonalna kanonična forma je specifična po tome što je matrica stanja A dijagonalna matrica, i na njenoj dijagonali se nalaze polovi sistema (nule karakterističnog polinoma). U matrici B se nalaze jedinice, dok se u matrici C nalaze reziduali uz odgovarajuće polove. Primetimo da ukoliko sistema ima konjugovano kompleksne polove, tada dijagonalnu kanoničnu formu nije moguće formirati jer bi se na dijagonali matrice stanja pojavili kompleksni brojevi, što nije uobičajeno za predstave realnih sistema u prostoru stanja.

Posebnu pažnju privlače sistemi koji imaju višestruke realne polove. Za njih, takođe, nije moguće formirati dijagonalnu kanoničnu formu, ali je zato moguće formirati model u prostoru stanja koji je vrlo blizak dijagonalnoj formi, i naziva se Jordan-ovom kanoničnom formom. Postupak za formiranje Jordan-ove kanonične forme biće ilustrovan na sledećem primeru.

Primer 6.6: Posmatrajmo sistem funkcije prenosa

( )( ) ( )( )3

12 5 6

sG ss s s 2

+=

+ + + (6.61)

koji ima tri realna pola u tačkama -2, -5 i -6, pri čemu je prvi od njih višestrukosti 3, drugi je jednostruk, i treći pol je višestrukosti 2. Takođe, kao kod dijagonalne kanonične forme, potrebno je da se funkcija prenosa napiše u formi zbira parcijalnih razlomaka.

( )( ) ( ) ( )2 32 52 2

a b c d e fG ss s ss s s

= + + + + ++ + ++ + + 26 6

(6.62)

pri čemu je:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

23 3

22 2

3

2 5

2 2

6 6

1 1lim 2 0.027; lim 2 0.03822! 1!1 lim 2 0.0208; lim 5 0.1481;0!1 1lim 6 0.1211 ; lim 6 0.07811! 0!

s s

s s

s s

d da s G s b s G sds ds

c s G s d s G s

de s G s f s G sds

→− →−

→− →−

→− →−

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + = − = + =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤= + = − = + =⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + = − = + = −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(6.63)

Na osnovu relacije (6.62) lako se uspostavlja veza između ulaza i izlaza sistema u sledećoj formi:

( ) ( )( )

( )( )

( ) ( ) ( )( )

( )2 3 22 5 62 2 6a b c d e fY s U s U s U s U s U s U s

s s ss s s= + + + + +

+ + ++ + +(6.64)

što rezultuje simulacionim blok dijagramom kakav je prikazan na slici 6.6.

2

+−

2

+−

2

+−

5

+−

6

+−

6

+−

c

a

b

d

e

f

+++++

+

( )u t ( )y t

1x2x3x

4x

5x6x

Slika 6.6: Simulacioni blok dijagram sa višestrukim polovima

Usvajanjem elemenata vektora stanja kako je to naznačeno na slici 6.6, model u prostoru stanja u formi Jordan-ove kanonične forme postaje:

( ) ( ) ( )

( ) [ ] ( )

2 1 0 0 0 0 00 2 1 0 0 0 00 0 2 0 0 0 10 0 0 5 0 0 10 0 0 0 6 1 00 0 0 0 0 6 1

x t x

y t c b a d f e x t

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−

= +⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎣ ⎦=

t u t

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(6.65)

Dobijena matrica A se može predstaviti kao blok matrica, dimenzija 3 3× , jer su u sistemu prisutna tri različita pola. Blok koji odgovara trostrukom polu je dimenzija 3 3× , blok koji odgovara jednostrukom polu u tački -5 je dimenzija 1 1× , dok blok koji odgovara dvostrukom polu u tački -6 je dimenzija 2 . Blokovski gledano matrica A je dijagonalna, na dijagonali svakog dijagonalnog bloka se nalaze polovi sistema onoliko puta kolika je višestrukost pola koji odgovara posmatranom bloku. Osnovna razlika Jordan-ove kanonične forme u odnosu na dijagonalnu je ta, da se na subdijagonali dijagonalnog bloka iznad glavne dijagonale, ukoliko je pol višestrukosti veće od jedan, nalazi niz jedinica. Matrica B se takođe može posmatrati kao blok matrica, pri čemu su u svakom bloku svi elementi nule, osim poslednjeg elementa koji odgovara bloku i koji je jednak jedan. Konačno, u matrici C se nalaze odgovarajući reziduali. U cilju vežbanja formiranja Jordan-ove kanonične forme, pogledajmo sledeći primer.

2×

Primer 6.7: Funkcija prenosa sistema je

( )( ) ( ) ( )( )4 2

11 3 4 5

G ss s s s

=+ + + + 3 (6.66)

Sistem je desetog reda, ali ima samo četiri različita pola. Jordan-ova kanonična forma ovakvog sistema glasi:

( ) ( ) ( )

( )

1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 3 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 3 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 4 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 5 1 0 00 0 0 0 0 0 0 0 5 1 00 0 0 0 0 0 0 0 0 5 1

x t x

y t d c b a

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−

= +⎢ ⎥−⎢ ⎥

⎢ ⎥−⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

=

t u t

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

[ ] ( )f e g j i h x t

(6.67)

gde su a,b,c,d.... odgovarajući reziduali.

13. Veze između različitih modela u prostoru stanja i funkcije prenosa sistema Kao što smo već videli, za jedan isti sistem, zadat funkcijom prenosa, moguće je formirati različite modele u prostoru stanja. Međutim, s obzirom da ti modeli predstavljaju jedan isti sistem, njihove matrice stanja, ulaza i merenja ne mogu biti proizvoljne, već između njih mora postojati neka veza. Pretpostavimo da je jedan isti sistem predstavljen pomoću dva različita modela u

prostoru stanja. Prvi model u kome je vektor stanja ( )x t okarakterisan je kvartetom matrica

: ( ), , ,A B C D

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

x t Ax t Bu t

y t Cx t Du t

= +

= + (6.68)

dok je drugi model sa vektorom stanja ( )z t , predstavljen kvartetom matrica ( ) : , , ,E F H G

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

z t Ez t Fu t

y t Hz t Gu t

= +

= + (6.69)

Pretpostavimo još da postoji regularna matrica T takva da je:

( ) ( )x t Tz t= (6.70)

Poslednja relacija ne umanjuje opštost razmatranja, jer mi se bavimo linearnim, vremenski invarijantnim sistemima, pa je logično da se između različitih vektora stanja može uspostaviti linearno preslikavanje. Tada, na osnovu relacija (6.68), (6.69) i (6.70) možemo napisati sledeći niz jednakosti:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) (1 )x t Ax t Bu t Tz t T Ez t Fu t TET x t TFu t−= + = = + = + (6.71)

odnosno:

( ) ( ) ( ) ( )1Ax t Bu t TET x t TFu t−+ = + (6.72)

Poslednja jednakost mora biti zadovoljena za svako ( )x t i za svako ( )u t , u pitanju je identitet, na osnovu čega zaključujemo da je:

1A TET −= (6.73)

B TF= (6.74)

Takođe, posmatrajući jednačine merenja možemo napisati sledeći niz jednakosti:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t Cx t Du t CTz t Du t Hz t Gu t= + = + = + (6.75)

odnosno

( ) ( ) ( ) ( )CTz t Du t Hz t Gu t+ = + (6.76)

Poslednja jednakost takođe mora biti zadovoljena za svako ( )z t i svako , pa zaključujemo da je:

( )u t

CT H= (6.77)

D G= (6.78)

Relacije (6.73), (6.74), (6.77) i (6.78) predstavljaju veze koje moraju postojati između matrica različitih modela u prostoru stanja a za isti sistem.

Ako potražimo funkciju prenosa sistema čiji su ovo modeli u prostoru stanja, lako je dokazati da se dobija isti rezultat nezavisno od toga od kakvog modela u prostoru stanja krećemo. Naime, sada ćemo ilustrovati postupak na osnovu koga se, polazeći od modela u prostoru stanja, može odrediti funkcija prenosa sistema. Krenimo od jednačine stanja (6.68):

( ) ( ) ( ) ( ) 0; 0x t Ax t Bu t x x= + = (6.79)

i na nju primenimo Laplasovu transformaciju:

( ) ( ) ( )0sX s x AX s BU s− = + (6.80)

Ukoliko nam je cilj da odredimo funkciju prenosa sistema, pretpostavimo da je početni uslov sistema jednak nuli: , odnosno da je sistem relaksiran: 0 0x =

( ) ( ) ( )sX s AX s BU s− = (6.81)

odnosno

( ) ( ) ( )1X s sI A BU s−= − (6.82)

Primenjujući Laplasovu transformaciju i na jednačinu merenja:

( ) ( ) ( )Y s CX s DU s= + (6.83)

pa smenjujući (6.82) u (6.83) konačno dobijamo:

(6.84) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1Y s C sI A BU s DU s C sI A B D U s− ⎡= − + = − +⎣1− ⎤

⎦

Drugim rečima, funkcija prenosa ili matrica funkcija prenosa, zavisno od broja ulaza i izlaza sistema postaje:

( ) ( ) 1G s C sI A B D−= − + (6.85)

Potpuno identični rezultat bi se dobio da smo krenuli od modela u prostoru stanja po vektoru stanja . Ako krenemo od rezultata (6.85) uzimajući u obzir veze između matrica A, E, B, F, C, H, D i

G, dobija se sledeća jednakost: ( )z t

(6.86)

( )

( )

( ) ( )

11 1 1 1

11 1

1 11 1

C sI A B D HT sTT TET TF G

HT T sI E T TF G

HT T sI E T TF G H sI E F G

−− − − −

−− −

− −− −

⎡ ⎤− + = − + =⎣ ⎦

⎡ ⎤= − + =⎣ ⎦

= − + = − +

Izvedene veze između različitih modela u prostoru stanja i funkcije prenosa sistema su u važnosti i za slučaj diskretnih sistema. Sada ćemo samo pokazati postupak kojim se na osnovu modela u prostoru stanja diskretnog sistema može odrediti funkcija diskretnog prenosa. Pođemo li od jednačine stanja:

[ ] [ ] [ ] [ ] 01 ; 0x k Ax k Bu k x x+ = + = (6.87)

i primenimo li na nju zed transformaciju, dobija se:

( ) ( ) ( )0zX z zx AX z BU z− = + (6.88)

Kako nam je cilj određivanje funkcije diskretnog prenosa, pretpostavimo opet da je početni uslov jednak nuli , odnosno da je sistem relaksiran: 0 0x =

( ) ( ) ( )zX z AX z BU z− = (6.89)

čime dobijamo zed transformaciju vektora stanja:

( ) ( ) ( )1X z zI A BU z−= − (6.90)

Smenom dobijenog izraza u jednačinu merenja na koju je takođe primenjena zed transformacija:

( ) ( ) ( )Y z CX z DU z= + (6.91)

dobija se:

(6.92) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1Y z C zI A BU z DU z C zI A B D U z− ⎡= − + = − +⎣1− ⎤

⎦

na osnovu čega zaključujemo da je funkcija diskretnog prenosa, ili matrica funkcija diskretnog prenosa, zavisno od broja ulaza i izlaza sistema, jednaka:

( ) ( ) 1G z C zI A B D−= − + (6.93)

14. Fundamentalna matrica sistema i jednačina kretanja sistema u prostoru stanja Posmatrajmo linearan stacionaran kontinualan sistema koji je opisan sledećom jednačinom stanja modela u prostoru stanja:

( ) ( ) ( ) ( ) 0; 0x t Ax t Bu t x x= + = (6.94)

U pitanju je vektorska diferencijalna jednačina prvog reda sa konstantnim koeficijentima, i naš je cilj da je rešimo, kako bismo u svakom trenutku znali kakva je vrednost pojedinih koordinata stanja. Naravno, ova se diferencijalna jednačina može rešiti na nekoliko različitih načina, međutim, mi ćemo se poslužiti Laplasovom transformacijom. Primenom ove transformacije na relaciju (6.94), kako je to već pokazano u prethodnom pitanju, dobija se algebarska relacija:

( ) ( ) ( ) (1 10 )X s sI A x sI A BU s− −= − + − (6.95)

Očigledno je da matrica ima ključnu ulogu u odzivu sistema i kretanju sistema u prostoru

stanja. Ova matrica se uobičajeno obeležava sa ( 1sI A −− )

( )sΦ , njena inverzna Laplasova transformacija sa

( )tΦ i naziva se fundamentalnom matricom. Dakle, relacija (6.95) se može prepisati u formi:

( ) ( ) ( ) ( )0X s s x s BU s= Φ +Φ (6.96)

Kada bismo znali šta je matrica ( ) ( ){ }1t L s−Φ = Φ , na relaciju (6.96) bismo mogli da primenimo inverznu Laplasovu transformaciju i da dobijemo jednačinu kretanja sistema u prostoru stanja:

( ) ( ) ( ) ( )0 0

tx t t x t Bu dτ τ τ= Φ + Φ −∫ (6.97)

Fundamentalna matrica ( )tΦ ima svoju Laplasovu transformaciju ( , i to je zapravo samo

matrična forma skalarne funkcije

) 1sI A −−

( ) ( )atf t e h t= čija je Laplasova transformacija ( ) ( ) 1F s s a −= − .

Dakle, fundamentalna matrica ( )tΦ je matrični eksponent proizvoda At :

( ) Att eΦ = (6.98)

Tako, smenom (6.98) u (6.97), konačno dolazimo do jednačine kretanja sistema u prostoru stanja:

( ) ( ) ( )0 0

t A tAtx t e x e Bu dτ τ τ−= + ∫ (6.99)

Obratimo pažnju na to da se eksponent matrice ne može dobiti tako što se svaki element matrice digne na eksponent, već je postupak izračunavanja sadržan u sledećoj relaciji:

( ) ( ){ }11Att e L sI A −−Φ = = − (6.100)

što će biti ilustrovano sledećim primerom.

Primer 6.8: Kontinualni LTI sistem je opisan modelom u prostoru stanja:

( ) ( ) ( ) ( ) 0

2 1 0; 0

5 4 1x t x t u t x

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

x= (6.101)

Ako želimo da odredimo jednačinu kretanja sistem u prostoru stanja prvo je neophodno da nađemo fundamentalnu matricu:

( ) ( ) ( )( )

11 2 1 4 11

5 4 52 4 5s s

s sI As ss s

−− + − +⎡ ⎤ ⎡

Φ = − = =⎢ ⎥ ⎢ 2⎤⎥+ − ++ + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(6.102)

Primeniti inverznu Laplasovu transformaciju na matricu znači primeniti inverznu Laplasovu transformaciju na svaki njen element:

( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 12 22 2

1 12 22 2

3 3

3 3

4 13 2 3 2

5 23 2 3 2

cos 2 0.5sin 2 0.5 sin 2

2.5 sin 2 cos 2 0.5sin 2

t t

t t

sL Ls s

tsL L

s s

e t t e t

e t e t t

− −

− −

− −

− −

⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎧ ⎫+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬+ + + +⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭Φ = ⎢ ⎥

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥− +⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬

+ + + +⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦⎡ ⎤+⎡ ⎤⎣ ⎦== ⎢ ⎥

− −⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

(6.103)

Sada zamenom fundamentalne matrice u (6.38) dobijamo:

( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

3 310 201

3 32 10 20

3

0

3

0

cos 2 0.5sin 2 0.5 sin 2

2.5 sin 2 cos 2 0.5sin 2

0.5 sin 2

cos 2 0.5sin 2

t t

t t

t t

t t

e t t x e t xx t

x t e t x e t t x

e t u d

e t t u

τ

τ

τ τ τ

dτ τ τ

− −

− −

− −

− −

⎡ ⎤+ +⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎣ ⎦⎢ ⎥

τ

= +⎢ ⎥− + −⎢ ⎡⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎡ ⎤−⎢ ⎥+ ⎢ ⎥

⎡ ⎤− − −⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

∫∫

⎤ ⎥ (6.104)

Primenom programskog paketa MATLAB se vrlo jednostavno može simulirati odziv elemenata vektora stanja za proizvoljne početne uslove i za proizvoljni ulazni signal. Na slici 6.7 su prikazani ovi odzivi uz pretpostavku da su početni uslovi [ ]0 1 1 Tx = − i uz ulazni signal kakav je prikazan na slici.

a) b)

c) d)

Slika 6.7: a) Upravljački signal; b) Odziv prve koordinate ( )1x t ; c) Odziv druge koordinate ( )2x t ;

d) Fazni portret ( )2 1x x

MATLAB kod koji realizuje ovu simulaciju je sledeći:

Fsignala,

i potpudiferenc

U literasvojstva

>> sys=ss([-2 1; -5 -4],[0;1],[1 0; 0 1],0); >> x0=[1;-1]; >> T=0:0.01:10; >> U=[sin(2.5*T(1:250)) ones(1,250) -ones(1,250) zeros(1,251)];>> x=lsim(sys,U,T,x0); >> figure(1);plot(T,x(:,1)); >> figure(2); plot(T,x(:,2)); >> figure(3); plot(T,U); >> figure(4); plot(x(:,1),x(:,2));

undamentalna matrica je suštinski važna za ponašanje sistema. U slučaju odsustva ulaznog jednačina kretanja sistema glasi:

( ) ( ) 0 0Atx t t x e= Φ = x (6.105)

no je određena fundamentalnom matricom. Fundamentalna matrica zadovoljava sledeću ijalnu jednačinu:

( ) ( ) ( ), 0d t

A tdtΦ

I= Φ Φ = (6.106)

turi se ova matrica često označava kao 'state transition matrix' i zadovoljava sledeća

(6.107)

( )( ) ( )

( ) ( ) (( ) ( )

1

2 1 2 1 1 0

) 0

)

)

) ,i

a I

b t t

c t t t t t t

d t it i N

−

Φ =

Φ = Φ −

Φ − = Φ − Φ −

Φ = Φ ∈

)

Iz svojstva pod b) se može zaključiti da je fundamentalna matrica regularna za svako t. Konačno, korišćenjem Tejlorovog razvoja ova se matrica numerički često računa na sledeći način:

( ) ( ) ( )2 3

2! 3!At AT AT

t e I AtΦ = = + + + + (6.108)

U primeru 6.1 je prikazan opšti postupak za sračunavanje fundamentalne matrice sistema, međutim, u nekim specifičnim slučajevima, kao što je dijagonalna kanonična forma ili Jordan-ova kanonična forma, fundamentalna matrica se može direktno pisati:

1

2

3

1

2

3

0 0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 n

t

t

At t

tn

ee

A e e

e

λ

λ

λ

λ

λλ

λ

λ

0⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⇒ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(6.109)

1 1 1

1 1

1

2

3 3

3

2

1

1

1

2

3

3

1 0 0 0 0 0 0 020 1 0 0 0

0 0 00 0 0 0 0

0 0 0 0 00 0 0 0 0

0 0 0 0 00 0 0 0 1

0 0 0 00 0 0 0 0

0 0 0 0 0

t t t

t t

tAt

t

t t

t

te te e

e teeA e

ee te

e

λ λ λ

λ λ

λ

λ

λ λ

λ

λλ

λλ

λλ

0

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⇒ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

(6.110)

Fundamentalna matrica i jednačina kretanja sistema u prostoru stanja diskretnih LTI sistema

Na sličan način, na koji je izvedena jednačina kretanja sistema za kontinualni LTI sistem, može se definisati fundamentalna matrica i jednačina kretanja za diskretni LTI sistem. Krenimo od modela diskretnog sistema u prostoru stanja:

[ ] [ ] [ ] [ ] 01 ; 0x k Ax k Fu k x+ = + = x (6.111)

Primenom zed transformacije na poslednju relaciju i rešavanjem po ( )X z , dobija se:

( ) ( ) [ ] ( ) (1 10 )X z zI A zx zI A BU z− −= − + − (6.112)

Sada se, za diskretne sisteme, matrica

(6.113) ( ) ( ) 1z zI A −Φ = − z

kao i njen vremenski lik [ ]kΦ naziva fundamentalnom matricom sistema. Ponovo se, po analogiji

sa skalarnim slučajem, gde se signalu [ ] [ ]kf k a h k= pridružuje zed lik , uočava da u vremenskom domenu fundamentalna matrica ima formu:

( ) ( ) 1F z z z a −= −

[ ] ( ){ }1 kk Z z A−Φ = Φ = (6.114)

Primenom inverzne zed transformacije na relaciju (6.51) dobijamo rešenje diferencne jednačine:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ]

1

0 00

11

00

1 * 1k

ik

k k i

i

x k k x k Bu k k x k i Bu

A x A Bu i

−

=

−− −

=

= Φ +Φ − = Φ + Φ − −

= +

∑

∑

i (6.115)

što predstavlja jednačinu kretanja diskretnog sistema u prostoru stanja.

Fundamentalna matrica za diskretne sisteme ima sledeća svojstva:

[ ][ ] [ ] [[ ] [ ][ ] [ ]

2 0 2 1 1 0

) 0

)

)

) 1

i

a I

b k k k k k k

c k ik

d k A k

Φ =

Φ − = Φ − Φ −

Φ = Φ

Φ + = Φ

] (6.116)

koja nije teško dokazati.

Primer 6.9: Za diskretni sistem čija je diferencna jednačina stanja:

[ ] [ ] [ ]0 1 0

1 1 5 16 6

x k x k⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥+ = + ⎢ ⎥⎢ ⎥− − ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

u k (6.117)

odrediti odziv koordinata stanja ako je ulazni signal [ ] ( ) [ ]1 ku k h k= − uz početni uslov

[ ] [ ]0 1 0 Tx = .

Prvi korak u rešenju ovog problema jeste određivanje fundamentalne matrice sistema:

( ) ( ) 1

2

56

1 1 1 12 3 2 3

16

1 1 1 12 3 2 3

z zz

z z z zz zI A z

z z

z z z z

−

⎡ ⎤⎛ ⎞+⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎢ ⎥+ + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠Φ = − = ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞+ + + +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

(6.118)

Primenom inverzne zed transformacije, dobija se fundamentalna matrica u vremenskom domenu:

[ ] [ ]

1 1 1 12 3 6 62 3 2 3

1 1 1 13 22 3 2 3

k k k k

k k k kk h

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − + − − − + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥Φ = ⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥− − − − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

k (6.119)

Konačno rešenje za [ ]x k može se dobiti ili smenom dobijenog izraza za [ ]kΦ u relaciju (6.115) ili

primenom sračunavanjem izraza za ( )X z i naknadne primene inverzne zed transformacije. U ovom slučaju, drugi postupak se čini jednostavnijim:

( ) ( ) [ ] ( ) ( )1

14 12 31 1 12 30

7 2 31 1 12 3

z z zzz z

X z z x z z BU zz z z

zz z

−

−⎡ ⎤+ +⎢ ⎥++ +⎢ ⎥⎢ ⎥= Φ +Φ =⎢ ⎥

+ −⎢ ⎥++ +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(6.120)

odnosno

[ ] ( ){ }( )

( )

1

1 114 12 3 12 3

1 17 2 3 12 3

k kk

k kk

x k Z X z−

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − + − + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥− + − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

(6.121)

15. Diskretizacija modela u prostoru stanja kontinualnih sistema

Pretpostavimo da nam je kontinualni LTI sistem predstavljen modelom u prostoru stanja:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

x t Ax t Bu t

y t Cx t Du t

= +

= + (6.122)

postavlja se pitanje da li je moguće ovom kontinualnom modelu naći odgovarajući diskretni ekvivalent u prostoru stanja:

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

1x k Ex k Fu

y k Cx k Du k

+ = +

= +

k (6.123)

ali tako da kretanje sistema u prostoru stanja kontinualnog i diskretnog modela bude identično u trenucima koji su jednaki celobrojnom multiplu periode odabiranja. Drugim rečima, kako treba da izgledaju nepoznate matrice E i F, ako su matrice A i B poznate, a da pri tome želimo da zadovoljimo sledeći uslov:

( ) [ ], 0,1, 2,...x kT x k k= = (6.124)

gde je vektor na levoj strani poslednje jednakosti sračunat rešavanjem diferencijalne jednačine (6.122) a vektor na desnoj strani rešavanjem diferencne jednačine (6.123).

Ovde ćemo izvesti postupak za određivanje matrica E i F, pod uslovom da upravljački signal zadovoljava sledeću relaciju: ( )u t

(6.125) ( ) ( ) , [ , ), 0,1, 2,...u t u kT za t kT kT T k= ∈ + =

što drugim rečima znači, da perioda odabiranja treba da bude dovoljno mala tako da se vrednost upravljačkog signala u okviru jedne periode odabiranja može smatrati konstantnom. U tom slučaju, pozivajući se na relaciju (6.99) možemo pisati:

( ) ( ) ( ) ( )0

0t A tAtx t e x e Bu dτ τ τ−= + ∫ (6.126)

Ovo je jednačina kretanja sistema u prostoru stanja kontinualnog sistema i ona važi za svako , pa onda važi i za t i za t k :

0t ≥kT= T T= +

( ) ( ) ( ) ( )0

0kT A kTAkTx kT e x e Bu dτ τ τ−= + ∫ (6.127)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

0kT TA kT T A kT Tx kT T e x e Bu dτ τ τ

++ + −+ = + ∫ (6.128)

Tada na osnovu ove dve relacije možemo pisati:

( ) ( ) ( ) ( )kT T A kT TAT

kTx kT T e x kT e Bu dτ τ τ

+ + −+ − = ∫ (6.129)

Poslednji integral se vrši u okviru jedne periode odabiranje, te na osnovu naše pretpostavke signal ( )u τ možemo smatrati konstantnim ( )u kT . Takođe ukoliko u ovom integralu izvršimo smenu

promenljivih kTλ τ= − , dobija se:

( ) ( ) (0

TAT A )x kT T e x kT e Bd u kTλ λ+ − = ∫ (6.130)

odnosno:

( ) ( ) (0

TAT A )x kT T e x kT e Bd u kTτ τ+ = + ∫ (6.131)

Upoređujući dobijeni izraz sa željenom diferencnom jednačinom:

[ ] [ ] [ ]1x k Ex k Fu+ = + k (6.132)

postaje jasno čemu su jednake tražene matrice E i F:

0

;TAT AE e F e τ Bdτ= = ∫ (6.133)

Na sledećem primeru ćemo ilustrovati postupak diskretizacije sistema na osnovu modela u prostoru stanja.

Primer 6.10: Kontinualni sistem čiji je model u prostoru stanja:

( ) ( ) ( )2 1 0

0 1 1x t x t

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

u t (6.134)

diskretizovati sa periodom odabiranja ln 2secT = .

Na osnovu relacija (6.133) možemo direktno računati:

( ) ( ) ( ) ( )( )11

1 12 1 2 1 2

0 1 101

AT s s s sE e T s sI A

ss

−−

⎡ ⎤⎢ ⎥+ − + + +⎡ ⎤ ⎢ ⎥= = Φ ⇒Φ = − = =⎢ ⎥+ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥+⎣ ⎦

(6.135)

Primenom inverzne Laplasove transformacije dobija se fundamentalna matrica u vremenskom domenu:

(6.136) ( ) ( )2 2

0

t t t

t

e e et

e

− − −

−

⎡ ⎤−Φ = ⎢

⎣ ⎦h t⎥

pri čemu se matrica E dobija smenom t=T:

( )0.25 0.25

0 0.5E T

⎡ ⎤= Φ = ⎢ ⎥

⎣ ⎦ (6.137)

Na sličan način se dobija i željena matrica F:

( )22

00

0 0

0

10.1252

0.5

TT

T T

T

e ee eF Bd d

ee

τ ττ τ

ττ

τ τ τ− −− −

−−

⎡ ⎤− +⎢ ⎥⎡ ⎤− ⎡

= Φ = = =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦ −⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫⎤⎥ (6.138)

Treba primetiti da su matrice E i F zapravo funkcije od periode odabiranja ( ) ( ),E E T F F T= = . Takođe treba primetiti da je ovakav postupak diskretizacije kontinualnih sistema odgovarajući postupku step invarijantnosti, jer uslov koji smo postavili nad upravljačkim signalom zapravo odgovara samo step pobudi ili pobudi koja se sastoji od linearnih kombinacija jediničnog step signala.