Introdução

• Corrente contínua x corrente alternada.– Ver War of Currentes

• Análise de circuitos onde a fonte de tensão ou correntevaria no tempo.

• Em particular, nosso interesse é em fontes variantes notempo de forma senoidal.

• Uma senoide é um sinal que tem a forma de uma funçãoseno ou coseno.

Introdução

• Uma corrente senoidal é normalmente chamda decorrente alternada (ca) (alternating current – ac).

• A corrente é revertida em intervalos de tempo regularese tem, alternadamente, valores positivos e negativos.

Senóides

• Considere a tensão senoidal=onde

– Vm = amplitude da senóide– ω = frequência angular em radianos/s– ωt = argumento da senóide

– A senóide se repete a cada T segundos, logo T é chamado deperíodo da senóide.

– Temos a relação: = 2

Senóides

• Como v(t) se repete a cada T segundos:

• Uma função periódica é aquele que satisfazpara todo t e para todos inteiros n.

• Vamos considerar agora uma expressão mais geral paraa senoide:

onde é o argumento e é a fase.

Senóides

• Considerando duas senóides:1 2

2 ocorre primeiro tempo. Portanto 2 está na frente de1 por ϕ ou 1 está atrasada de 2 por ϕ.

Senóides

• Se ≠ 0, 1e 2estão fora de fase.• Se = 0, 1e 2estão em fase.

• Uma senoide pode ser expressa tanto na forma de seno ecosseno. Podemos usar as seguintes identidadestrigonométricas: ± = cos ± cos ± = cos cos ∓ sen

• Com estas identidades… ± 180 = − ± 180 = − ± 90 = ± ± 90 = ∓

Senóides

• Para adicionar duas senoides de mesma frequência:

onde 2 2

Fasores

• Senoides podem ser expressar em termos de fasores,que são convenientes para trabalhar com funções senoe cosseno.

• Fasor é um número complexo que representa aamplitude e fase de uma senoide.

• Um número complexo z pode ser escrito na formaretangular como:

onde ; x é a parte real de z; y é a parte imaginária de z.

Fasores

• O número complexo z pode ser escrito na forma polar como:= =⁄onde r é a magnitude de z e ϕ é a fase de z. z pode serrepresentado em três formas:

retangular: = +polar: = ⁄exponencial: =

• Se conhecemos x e y, a relação entre a forma polar eretangular é: = 2 + 2=

Fasores

• Se conhecemos r e ϕ, podemos obter x e y:

• Então, z pode ser escrito como:

Fasores

• Operações:

• OBS: notar que = −

Fasores

• A idéia da representação por fasores é baseada naidentidade de Euler:±

• O que mostra que podemos tratar e como as partes real e imaginária de . Podemos escrever:

• Dada uma senoide , podemosexpressá-la por:

Fasores

ou = Re( )então = Re( )onde = = ⁄• V é portanto a representação fasorial da senoide v(t).

Fasores

• Suprimindo o fator tempo, transformamos a senoide dodominio do tempo para o dominio do fasor:

• Note que fator foi suprimidoe a frequencia não aparece nofasor, pois é constante, porém aresposta depende dela, por isso,o domínio fasor é tambémconhecido como domínio dafrequencia.

Fasores

Fasores

• Das equações anteriores temos:= Re = +então: = − + = + + 90= Re ω = Re• Isso mostra que: ⟺ • Do mesmo modo: ⟺

Fasores

• As equações anteriores são úteis para encontrar asolução em regime permanente, sem precisar conheceras condições iniciais das variáveis envolvidas.

• As diferenças entre v(t) e V são:1. v(t) é a representação instantânea ou no domínio do tempo,

enquanto V é a representação fasor ou no domínio da frequencia.

2. v(t) é dependente do tempo, enquanto V não é.3. v(t) é sempre real sem termo complexo, enquanto V é

geralmente complexo.

• Atenção! A análise de fasores somente se aplicaquando a frequência é constante e é a mesma para doisou mais sinais senoidais.

Fasores e Elementos de Circuitos

• Transformar a relação tensão-corrente do domínio dotempo para o domínio da frequência.

• Novamente, assumimos a convenção de sinais para oselementos passivos.

• Para o resistor, assumindo que a corrente através dele é, a tensão sobre ele será:= = + = ⁄

• Mas a representação fasor da corrente é = ⁄ , então:=

Fasores e Elementos de Circuitos

• Relação tensão-corrente para o RESISTOR no domínio do tempo eda frequência.

• Diagrama de fasores para o RESISTOR:

Fasores e Elementos de Circuitos

• Para o indutor, assumindo que a corrente através dele é, a tensão sobre ele será:= = − + = + + 90o

• Sendo a representação fasor:= ( ) = = + 90o⁄• Mas a representação fasor da corrente é = ⁄ e = ,

então: =

Fasores e Elementos de Circuitos

• Relação tensão-corrente para o INDUTOR no domínio do tempo eda frequência.

• Diagrama de fasores para o INDUTOR:

Fasores e Elementos de Circuitos

• Para o capacitor, assumindo que a tensão sobre ele é, a corrente sobre ele será:=

• Seguindo os mesmos passos anteriores, temos a representaçãofasor: = ⟹ =

Fasores e Elementos de Circuitos

• Relação tensão-corrente para o CAPACITOR no domínio do tempoe da frequência.

• Diagrama de fasores para o CAPACITOR:

Fasores e Elementos de Circuitos

• Resumo das relações tensão-corrente:

Impedância e Admitância

• A partir da relação tensão-corrente para os três elementos passivos:

= = =temos: = = =• Podemos então obter a lei de Ohm na forma fasor para qualquer tipo de

elemento, como:

= ou =onde Z é uma quantidade dependente da frequencia conhecida comoimpedância, medida em ohms (Ω).

Impedância e Admitância

• A impedância Z de um circuito é a relação entre a tensão fasor V ea corrente fasor I, medida em ohms (Ω).

• Da tabela, temos que para = 0 ( = 0, → ∞) e para →∞( → ∞, = 0), assim:

Impedância e Admitância

• Sendo uma quantidade complexa, a impedância pode ser expressa naforma retangular: = +

onde = Re( ) é a resistência e = Im( )é a reatância.

• Observe que a reatância pode ser positiva (reatância indutiva) ounegativa (reatância capacitiva), pois:

= −então: = + (reatância indutiva – corrente atrasada em relação a tensão)= − (reatância capacitiva – corrente adiantada em relação a tensão)

• A impedância Z pode também ser escrita na forma polar:= ⁄

Impedância e Admitância

onde: = + = ⁄e: = + =

= =• As vezes é conveniente utilizar o reciproco da impedância, chamada

de admitância.

Impedância e Admitância

• A admitância Y é reciproca à impedância, medida em siemens (S).= 1 =• e pode ser escrita: = +onde = Re( ) é a condutância e = Im( )é a susceptância.

• Relacionando Y e Z: + = 1+temos os termos real e imaginário:= + = − +

Leis de Kirchhoff no Domínio da Frequência

• Para analisar circuitos no domínio da frequência devemos expressar asLeis de Kirchhoff no domínio da frequência:+ +⋯+ = 0

• No regime permanente senoidal:cos( + ) + cos( + ) + ⋯+ cos( + ) = 0Re( ) + Re( )+…+Re( ) = 0Re[( + + …+ ) ] = 0• Se = , então:Re[( + + …+ ) ] = 0• Como ≠ 0, então: + +…+ = 0uu seja, a LTK se mantém para fasores.

Leis de Kirchhoff no Domínio da Frequência

• Podemos adotar um procedimento similar para mostrar que a LCKse mantém para fasores:+ +⋯+ = 0

• Se I1, I2, …, In são a forma fasor das senoides i1, i2, …, in, então:+ + …+ = 0que é a LCK no domínio da frequência.

Combinação de Impedâncias

• Em série: = + + …+ = 0• Em paralelo: = 1 + 1 +⋯+ 1

= + + …+ = 0

Combinação de Impedâncias

• Transformações Delta-Y e Y-Delta: