SENOIDES Y FASORES I. IntroduccinHasta ahora el anlisis se ha limitado en su mayor parte a circuitos de cd: los circuitos excitados por fuentes constantes o invariables en el tiempo. Se ha restringido la funcin de fuerza a fuentes de cd por simplicidad, razones pedaggicas y, tambin, razones histricas. Las fuentes de cd, histricamente, fueron el principal medio de suministro de energa elctrica hasta fines del siglo XIX; a finales de ese siglo comenz la batalla de esa corriente contra la corriente alterna. Ambas tenan defensores entre los ingenieros elctricos de la poca. A causa de que la ca es ms eficiente y econmica para la transmisin a grandes distancias, los sistemas de ca terminaron imponindose. Por ello, en correspondencia con la secuencia histrica de los acontecimientos se ha considerado primero las fuentes de cd. Ahora se inicia el anlisis de circuitos en los que la tensin o la corriente de fuente vara con el tiempo. En este captulo nos interesar en particular la excitacin senoidal variable con respecto al tiempo, o simplemente excitacin por una senoide.Una corriente senoidal se conoce usualmente como corriente alterna (ca). Esta corriente se invierte a intervalos regulares y tiene valores alternadamente positivo y negativo. Los circuitos excitados por fuentes de corriente o tensin senoidal se llaman circuitos de ca.Las senoides interesan por varias razones. Primero, la propia naturaleza es caractersticamente senoidal. Hay variacin senoidal en el movimiento de un pndulo, la vibracin de una cuerda, las olas en la superficie del ocano y la respuesta natural de sistemas subamortiguados de segundo orden, por mencionar slo unos cuantos ejemplos. Segundo, una seal senoidal es fcil de generar y transmitir. Es la forma de la tensin generada en todo el mundo y suministrada a hogares, fbricas, laboratorios, etc. Es la forma dominante de seal en las industrias de comunicaciones y energa elctrica. Tercero, por medio del anlisis de Fourier, cualquier seal peridica prctica puede representarse como una suma de senoides. Las senoides, por lo tanto, desempean un importante papel en el anlisis de seales peridicas. Por ltimo, una senoide es fcil de manejar de manera matemtica. La derivada y la integral de una senoide son ellas mismas senoides. Por stas y otras razones, la senoide es una funcin extremadamente importante en anlisis de circuitos. Una funcin forzada senoidal produce tanto una respuesta natural como una respuesta en estado estable, a semejanza de la funcin de escaln. La respuesta natural se extingue con el tiempo, de modo que slo la respuesta en estado estable permanece. Se dice que el circuito opera en estado estable senoidal cuando la respuesta natural se ha vuelto despreciable en comparacin con la respuesta en estado estable. La respuesta senoidal en estado estable es la que ms nos interesar en este captulo. Se inicia con una exposicin bsica de senoides y fasores. Despus se presentan los conceptos de impedancia y admitancia. Las leyes de circuitos bsicas, de Kirchhoff y Ohm, ya presentadas en relacin con los circuitos de cd, se aplicarn a circuitos de ca. Por ltimo, se consideran aplicaciones de circuitos de ca en desfasadores y puentes.

I. SENOIDES Considere la tensin senoidal:.. (1.1)Dnde:Vm=la amplitud de la senoide= la frecuencia angular en radianes/st= el argumento de la senoide La senoide se muestra en la figura a) como funcin de su argumento, y en la figura b) como funcin de tiempo. Es evidente que la senoide se repite cada T segundos; as, T se llama periodo de la senoide.

Grfica de Vm sent: a) como funcin de t, b) como funcin de t.

El hecho de que v(t) se repita cada T segundos se demuestra remplazando t por t + T en la ecuacin (1.1). As se obtiene.

En consecuencia

Lo cual quiere decir que v tiene el mismo valor en t +T que en t, y se dice que v(t) es peridica. En general,

Como ya se mencion, el periodo T de la funcin peridica es el tiempo de un ciclo completo, o el nmero de segundos por ciclo. El recproco de esta cantidad es el nmero de ciclos por segundo, conocido como frecuencia cclica f de la senoide.

De las ecuaciones se desprende claramente que

Mientras que est en radianes por segundo (rad/s), f est en hertz (Hz). Considrese ahora una expresin ms general de la senoide,

Donde (t+) es el argumento y es la fase. Tanto el argumento como la fase pueden estar en radianes o grados.Examnense las dos senoides.

El punto de partida de v2 en la ocurre primero en el tiempo. Por lo tanto, se dice que v2 se adelanta a v1 en o que v1 se atrasa de v2 en . Si (=0) tambin se dice que v1 y v2 estn desfasadas. Si =0 se dice que v1 y v2 estn en fase; alcanzan sus valores mnimos y mximos exactamente al mismo tiempo. Se puede comparar v1 y v2 de esta manera porque operan a la misma frecuencia; no es necesario que tengan la misma amplitud.

Dos senoides con diferentes fases. Una senoide puede expresarse en forma de seno o de coseno. Cuando se comparan dos senoides, es til expresar ambas como seno o coseno con amplitudes positivas. Esto se realiza usando las siguientes identidades trigonomtricas:

Con estas identidades, es fcil demostrar que

Usando estas relaciones se puede transformar una senoide de la forma seno a la forma coseno o viceversa.Puede emplearse un mtodo grfico para relacionar o comparar senoides como opcin al uso de las identidades trigonomtricas.

Dnde:

Por ejemplo, se puede sumar 3cos(t) y -4 como se muestra en la figura 9.4b) y obtener

No se debe confundir los ejes de seno y coseno con los ejes para nmeros complejos que se explicarn en la siguiente seccin.

II. FASORES Las senoides se expresan fcilmente en trminos de fasores, con los que es ms cmodo trabajar que con las funciones seno y coseno.Un fasor es un nmero complejo que representa la amplitud y el ngulo de fase de una funcin sinusoidal.Los fasores brindan un medio sencillo para analizar circuitos lineales excitados por fuentes senoidales; las soluciones de tales circuitos seran impracticables de otra manera. La nocin de resolver circuitos de ca usando fasores la propuso originalmente Charles Steinmetz en 1893. Pero antes de definir cabalmente los fasores y aplicarlos al anlisis de circuitos, hay que familiarizarse por completo con los nmeros complejos.Un nmero complejo z puede escribirse en forma rectangular como

Donde j= es la parte imaginaria de z; y x es la parte real de z. En este contexto, las variables x y y no representan una posicin, como en el anlisis de vectores bidimensionales, sino las partes real e imaginaria de z en el plano complejo. No obstante, cabe sealar que existen algunas semejanzas entre la manipulacin de nmeros complejos y la de vectores bidimensionales. El nmero complejo z tambin puede escribirse en forma polar o exponencial, Como

Donde r es la magnitud de z y la fase de z. Se advierte entonces que z puede representarse de tres maneras:

La relacin entre la forma rectangular y la polar se muestra en la figura, donde el eje x representa la parte real y el eje y la parte imaginaria de un nmero complejo. Dadas x y y, se puede obtener r y como.. (9.16a )Por otra parte, si se conoce r y se puede obtener x y y como

As, z puede escribirse como

La suma y resta de nmeros complejos es ms sencilla en la forma rectangular; la multiplicacin y divisin lo son en forma polar. Dados los nmeros complejos

son importantes las siguientes operaciones.Suma:

Resta:

Multiplicacin:

Divisin:

Inverso:

Raz cuadrada:

Conjugado complejo:

stas son las propiedades bsicas de los nmeros complejos que se necesitan. En el apndice B se pueden hallar otras propiedades de los nmeros complejos.La idea de la representacin fasorial se basa en la identidad de Euler. En general.

Lo que indica que se puede considerar a cos y sen como las partes real e imaginaria de ; se puede escribir

Donde Re e Im significan la parte real de y la parte imaginaria de. Dada una senoide se usa la ecuacin para expresar v(t) como

O sea

Por lo tanto

Donde

V es entonces la representacin fasorial de la senoide v(t) como ya se dijo. En otras palabras, un fasor es una representacin compleja de la magnitud y fase de una senoide. La ecuaciones obtenidas puede utilizarse para desarrollar el fasor, aunque la convencin estndar es utilizar la ecuacin .Una manera de examinar las ecuaciones obtenidas es considerar la grfica del sinor en el plano complejo. Al aumentar el tiempo, el sinor rota en un crculo Vm de radio a una velocidad angular en sentido contrario a las manecillas del reloj, como se advierte en la figura a).Se puede considerar v(t) como la proyeccin del sinor Ven el eje real, como se advierte en la figura b). El valor del sinor en el tiempo t = 0 es el fasor V de la senoide v(t) El sinor puede juzgarse como un fasor giratorio.As, cada vez que una senoide se expresa como fasor, el trmino est implcitamente presente. En consecuencia, al tratar con fasores es importante tener en cuenta la frecuencia del fasor; de lo contrario, se puede cometer graves errores.

La ecuacin obtenida establece que para obtener la senoide correspondiente a un fasor V dado, se multiplica el fasor por el factor de tiempo y se toma la parte real. Como cantidad compleja, un fasor puede expresarse en forma rectangular, forma polar o forma exponencial. Dado que un fasor posee magnitud y fase (direccin), se comporta como un vector y se representa en negritas. Por ejemplo, 1.1 Diagrama fasorial.Los fasores se representan grficamente en la figura Esta representacin grfica de fasores se conoce como diagrama fasorial. Para obtener el fasor correspondiente a una senoide, primero se expresa la senoide en la forma de coseno para que sea posible escribirla como la parte real de un nmero complejo. Despus se elimina el factor de tiempo , y lo que resta es el fasor correspondiente a la senoide. Al suprimir el factor de tiempo, se transforma la senoide del dominio temporal al dominio fasorial. Esta transformacin se resume del siguiente modo:..(a)

Dada una senoide se obtiene el fasor correspondiente como La ecuacin (a) se demuestra asimismo en la tabla 9.1, donde se considera la funcin seno adems de la funcin coseno. En la ecuacin (a) se advierte que para obtener la representacin fasorial de una senoide, sta se expresa en la forma de coseno y se toman la magnitud y la fase. Dado un fasor, la representacin en el dominio temporal se obtiene como la funcin coseno con la misma magnitud que el fasor y el argumento como t ms la fase del fasor. La idea de expresar informacin en dominios alternos es fundamental en todas las reas de la ingeniera.

IMPEDANCIA Y ADMITANCIA En la seccin estudiada se obtuvieron las relaciones de tensin-corriente de los tres elementos pasivos como

Estas ecuaciones pueden escribirse en trminos de la razn entre la tensin fasorial y la corriente fasorial como

De estas tres expresiones se obtiene la ley de Ohm en forma fasorial para cualquier tipo de elemento como

Donde Z es una cantidad dependiente de la frecuencia conocida como impedancia, medida en ohms. La impedancia Z de un circuito es la razn entre la tensin fasorial V y la corriente fasorial I, medida en ohms ().

La impedancia representa la oposicin que exhibe el circuito al flujo de la corriente senoidal. Aunque es la relacin entre dos fasores, la impedancia no es un fasor, porque no corresponde a una cantidad que vare senoidalmente. En la tabla se resumen esas impedancias.De ella se desprende que ZL =jL y ZC = -j/C Considrense dos casos extremos de frecuencia angular. Cuando =0 (es decir, para el caso de fuentes de cd), ZL =0 y ZC tiende al infinito lo que confirma lo que ya se sabe: que el inductor acta como cortocircuito, en tanto que el capacitor lo hace como circuito abierto. Cuando tiende al infinito (es decir, para el caso de altas frecuencias), ZL tiende al infinito y ZC =0 lo que indica que el inductor es un circuito abierto en altas frecuencias, en tanto que el capacitor es un cortocircuito.Como cantidad compleja, la impedancia puede expresarse en forma rectangular Como

Circuitos equivalentes en cd y altas frecuencias: a) inductor, b) capacitor.

Donde R =Re Z es la resistencia y X = Im Z es la reactancia. La reactancia X puede ser positiva o negativa. Se dice que la impedancia es inductiva cuando X es positiva y capacitiva cuando X es negativa. As, se dice que la impedancia Z = R+jX es inductiva o de retardo, puesto que la corriente se atrasa de la tensin, mientras que la impedancia Z = R - jX es capacitiva o de adelanto, puesto que la corriente se adelanta a la tensin. La impedancia, la resistencia y la reactancia se miden en ohms. La impedancia tambin puede expresarse en forma polar como

Se infiere que

Donde

A veces resulta conveniente trabajar con el inverso de la impedancia, conocido como admitancia.ADMITANCIALa admitancia Y es el inverso de la impedancia, medido en siemens (S).

La admitancia Y de un elemento (o circuito) es la razn entre la corriente fasorial y la tensin fasorial a travs de l, o sea

Se puede escribir Y como

Donde G =Re Y se llama conductancia y B = Im Y se llama susceptancia. La admitancia, la conductancia y la susceptancia se expresan en siemens (omhos).

Por racionalizacin,

La igualacin de las partes real e imaginaria da como resultado

lo que indica que G1/R como en los circuitos resistivos. Por supuesto que si X = 0, entonces G = 1/R.

FASORES, IMPEDANCIA Y ADMITANCIA | CIRCUITOS ELECTRICOS 1