series solutions of second order linear equations) · 212 บทที่ 5...

บทที่ 5ผลเฉลยอนุกรมของสมการเชิงอนุพันธเชิงเสนอันดับสอง

(Series Solutions of Second Order Linear Equations)

ในบทที่ผานมาไดกลาวถึงการหาผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงเสนอันดับ n โดยอาศัย การพิจารณาจากเซตหลักมูลของผลเฉลยของสมการเอกพันธุ ซึ่งถือวาเปนวิธีการเชิงระบบสําหรับใชสรางผลเฉลยหลักมูลของสมการเชิงอนุพันธ ในกรณีที่สมการเชิงอนุพันธนั้น ๆ เปนสมการที่มีสัมประสิทธิ์เปนคาคงตัว ในบทนี้จะเปนการเสนอแนวคิดเพื่อชวยในการหาผลเฉลยของคลาสสมการที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร โดยอาศัยความรูเกี่ยวกับฟงกชันมูลฐานของแคลคูลัส และใชอนุกรมกําลังเปนเครื่องมือหลักในการแสดงฟงกชันที่กําหนดให ซึ่งมีแนวคิดพื้นฐานคลายกับวิธีเทียบสัมประสิทธิ์ และเราสันนิษฐานวาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ ที่กําหนดใหมีการกระจายอนุกรมกําลัง แลวใชพิจารณาคาสัมประสิทธิ์ที่มีความสอดคลองกับสมการเชิงอนุพันธนั้น ๆ

5.1 อนุกรมกําลัง (Power Series) หัวขอนี้เราจะทบทวนความรูและการใชอนุกรมกําลัง ในการสรางเซตหลักมูลของผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธอันดับสองซึ่งมีสัมประสิทธิ์เปนฟงกชันของตัวแปรอิสระ โดยจะเริ่มดวยการสรุปผลลัพธตาง ๆ ที่เกี่ยวกับอนุกรมกําลังซึ่งเปนอนุกรมที่มีรูปแบบงายและสะดวกตอการคํานวณ สําหรับผูอานที่มีความรูความเขาใจในเรื่องอนุกรมกําลังอยูแลว สามารถขามหัวขอนี้ไปศึกษาหัวขอ 5.2 ไดเลย และสําหรับผูอานที่ตองการศึกษารายละเอียดมากกวานี้ สามารถหา อานเพิ่มเติมไดในหนังสือแคลคูลัส

1) อนุกรมกําลังคือ อนุกรมของฟงกชันในรูป 00

( )nn

n

a x x

สําหรับทุกคาจริง x

เราจะเรียกคาคงตัว 0x วา จุดศูนยกลางของการกระจาย (center of expansion) และเรียก

00

( )nn

n

a x x

วาอนุกรมกําลังรอบจุด 0x และเรียกคาคงตัว na วาสัมประสิทธิ์ของอนุกรม

กําลัง

อนุกรมกําลัง 00

( )nn

n

a x x

จะลูเขาสู x ถา 00

lim ( )m

nn

mn

a x x

มีจริงสําหรับ x นั้น ๆ

แตการลูเขาของอนุกรม ขณะ 0 x x นั้น อาจลูเขาสําหรับทุกคา x หรืออาจลูเขาสําหรับบางคาของ x หรือ ไมมีการลูเขาก็ได

210 บทที่ 5 ผลเฉลยอนุกรมของสมการเชิงอนุพันธเชิงเสนอันดับสอง

2) เราจะกลาววาอนุกรม 00

( )nn

n

a x x

ลูเขาแบบสัมบูรณที่ x ถาอนุกรม

0 00 0

n nn n

a x x a x x

ลูเขา

ซึ่งสามารถแสดงไดวา ถาอนุกรมใดลูเขาแบบสัมบูรณแลวอนุกรมนั้นจะลูเขา อยางไรก็ตาม อนุกรมไมจําเปนตองลูเขาเสมอไป

3) การทดสอบการลูเขาแบบสัมบูรณของอนุกรมกําลัง มักใชการทดสอบอัตราสวน ซึ่งกลาวไววา ถา 0na และสําหรับคา x ที่กําหนดให โดยมี

1

1 0 10 0

0

( )lim lim

( )

nn n

nn nn n

a x x ax x L x x

a x x a

แลวอนุกรมกําลังลูเขาแบบสัมบูรณที่ x ถา 0

1| |x x

L และเปนอนุกรมลูออก ถา

0

1x x

L แตจะสรุปไมไดถา 0

1x x

L

ตัวอยาง 5.1.1 สําหรับคาของ x ในอนุกรมกําลัง 1

1

( 1) ( 3)n n

n

n x

จงพิจารณาการลู

เขาของอนุกรมนี้ทดสอบการลูเขาโดยใชการทดสอบอัตราสวน จะไดวา

2 1

1

( 1) ( 1)( 3) 1lim 3 lim 3 (1) 3

( 1) ( 3)

n n

n nn n

n x nx x x

n x n

จะเห็นวาการลูเขาของอนุกรมเปนดังนี้ อนุกรมนี้ลูเขาแบบสัมบูรณ เมื่อ | - 3 | 1x หรือ 2 < x < 4

อนุกรมนี้ลูออก เมื่อ 3 1x หรือเมื่อคาของ x < 2 หรือ x > 4 และ สรุปไมไดวาอนุกรมนี้ลูเขาหรือลูออก เมื่อ 3 1x เมื่อคาของ x = 2 หรือ x = 4 #

4) ถาอนุกรมกําลัง 00

( )nn

n

a x x

ลูเขาที่ 1x x จะเปนการลูเขาแบบสัมบูรณ เมื่อ

0 1 0 x x x x แตถา 00

( )nn

n

a x x

ลูออกที่ 1x x จะไดวา 0 1 0x x x x

5) เราจะกลาววา 00

( )nn

n

a x x

มีรัศมีแหงการลูเขา(radius of convergence) เปนจํานวน

ไมเปนลบ r โดยที่ 00

( )nn

n

a x x

ลูเขาแบบสัมบูรณสําหรับ 0x x r และลูออกสําหรับ

5.1 อนุกรมกําลัง 211

0x x r สําหรับอนุกรมลูเขาที่ 0 x x เทานั้น เราจะกลาววา 00

( )nn

n

a x x

มีรัศมีแหง

การลูเขา r เปน 0 สําหรับอนุกรมที่ลูเขาทุกคา x เราจะกลาววา 00

( )nn

n

a x x

มีรัศมีแหง

การลูเขา r เปน + และถามีจํานวนจริงบวก r ที่ทําให 00

( )nn

n

a x x

ลูเขาทุกคา x ที่

0x x r เราจะเรียกเซต x R | 0

0

( )nn

n

a x x

เปนอนุกรมลูเขา วาชวงแหงการลูเขา

(interval of convergence) ของอนุกรม 00

( )nn

n

a x x

หรือชวงแหงการลูเขาของอนุกรมคือ

เซตของจํานวนทั้งหมดซึ่งทําใหอนุกรมกําลังเปนอนุกรมลูเขา รูป 5.1.1 แสดงการลูเขาหรือลูออกเมื่อ 0x x r

ตัวอยาง 5.1.2 จงพิจารณารัศมีแหงการลูเขาของอนุกรมกําลัง 1

( 2)

3

n

nn

x

n

เมื่อเราใชการทดสอบอัตราสวนจะพบวา

1

1

2 2( 2) 3lim lim

( 1) 3 ( 2) 3 1 3

n n

n nn n

x xx n n

n x n

ดังนั้นอนุกรมลูเขาแบบสัมบูรณ สําหรับ | 2 | 3x หรือ 5 1x และลูออก สําหรับ | 2 | 3x นั่นคือรัศมีแหงการลูเขาของอนุกรมกําลังนี้คือ r = 3 เมื่อตรวจสอบจุดปลายของ

ชวงแหงการลูเขา เราจะพบวา ณ 1 x ทําใหอนุกรมกลายเปนอนุกรมฮารมอนิก 1

1

n n

ซึ่ง

เปนอนุกรมลูออก สําหรับที่ 5x พบวา 1 1

( 5 2) ( 1)

3

n n

nn nn n

ซึ่งเปนอนุกรมลูเขา

แบบมีเงื่อนไข ที่ 5 x อาจกลาวโดยสรุปไดวา อนุกรมกําลังลูเขาเมื่อ 5 1x และเปนการลูเขาแบบสัมบูรณ และมีรัศมีแหงการลูเขาคือ 3

รูป 5.1.1 ชวงแหงการลูเขาของอนุกรมกําลัง

x

อนุกรม

ลูออก

อนุกรมลูเขา

แบบสัมบูรณ

อนุกรมอาจจะลูเขา

หรือลูออก

อนุกรม

ลูออก

x0 - r x0+ r


ถา 00

( )nn

n

a x x

และ 01

( )nn

b x x

ลูเขาสู f x และ g x ตามลําดับ เมื่อ 0x x r ,

r > 0 สําหรับ 0x x r หรือ 0 0( , )x x r x r แลวขอความตอไปนี้เปนจริง

6) สามารถนําเอาอนุกรมบวกกันหรือลบกันได โดยที่ 00

( ) ( ) ( )( )nn n

n

f x g x a b x x

7) สามารถนําอนุกรมคูณกันได โดยที่

0 0 00 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n nn n n

n n n

f x g x a x x b x x c x x

เมื่อ 0 1 1 0n n n nc a b a b a b และยิ่งกวานั้นถา 0( ) 0g x จะไดวา

00

( )( )

( )n

nn

f xd x x

g x

ทั้งนี้สามารถใหเหตุผลไดวา ถา 00

( )( )

( )n

nn

f xd x x

g x

เมื่อ 0 0( , )x x r x r ดังนั้นได 00

( ) ( ) ( )nn

f x g x d x x

หรือ

00

( )nn

n

a x x

0 00 0

( ) ( )n nn n

n n

d x x b x x

หรือ

00 0

( )n

nk n k

n k

d b x x

ซึ่งจะเห็นวาในกรณีที่อนุกรมกําลังที่เกิดจากการหารของอนุกรมลูเขาอาจมีรัศมีแหงการลูเขานอยกวา r ได

8) สําหรับชวงแหงการลูเขา 0 0( , )x r x r และ 00

( ) ( )nn

n

f x a x x

เปนฟงกชัน

ตอเนื่องและมีอนุพันธของทุกอันดับ ซึ่งหา , ,f f ไดโดยอาศัยการหาอนุพันธอนุกรมทีละพจน นั่นคือ 2

0 1 0 2 0 0( ) ( ) ( ) ( )nnf x a a x x a x x a x x

11 2 0 0( ) 2 ( ) ( )n

nf x a a x x na x x

10

1

( )nn

n

na x x

2

2 3 0 0( ) 2 6 ( ) ( 1) ( )nnf x a a x x n n a x x

20

2( 1) ( )n

nn

n n a x x

(3) 33 4 0 0 0

0

( ) 6 24 ( ) ( 1)( 2) ( ) ( )n nn n

n

f x a a x x n n n a x x a x x

30

3

( 1)( 2) ( )nn

n

n n n a x x

…


( )1 0( ) ( 1)( 2) ( 1) ( 1) ( ) ( )k n k

k kf x n n n n k a n n n k a x x

0( 1)( 2) ( 1) ( )n kn

n k

n n n n k a x x

ซึ่งแตละอนุกรมลูเขา แบบสัมบูรณสําหรับชวงแหงการลูเขา 0 0( , )x r x r

9) เมื่อ แทน x = x0 จะได (3)0 0 0 1 0 2 0 3( ) , ( ) , ( ) 2! , ( ) 3! , ,f x a f x a f x a f x a

( )0( ) !n

nf x n a ดังนั้น ( )

0( )

!

n

nf x

an

และเราจะเรียกอนุกรมกําลังที่อยูในรูป

2 ( )

0 0 0 00 0 0

( )( ) ( )( )( ) ( )( )

2! !

n nf x x x f x x xf x f x x x

n

วาอนุกรมเทยเลอร 1 ของฟงกชัน f รอบจุด 0 x และเมื่อ 0 0x เราจะเรียกอนุกรมนี้วาอนุกรมแมคลอริน2 (Maclaurin’s series) ของฟงกชัน f

หมายเหตุ เมื่อให (0) ( ) ( )f x f x เราจะเขียนอนุกรมเทยเลอรสั้น ๆ ไดเปน

( )

0 0

0

( )( )

!

n n

n

f x x x

n

และจะเรียก ( )

0 0

0

( )( )

!

k kn

k

f x x x

k

เมื่อ ( )0( ) 0nf x วาพหุนามเทยเลอรระดับขั้น n ของ

ฟงกชัน f รอบจุด 0x และเขียนแทนดวยสัญลักษณ ( ( ))nT f x

10) ถา 0 00 1

( ) ( )n nn n

n n

a x x b x x

สําหรับแตละ x แลว n na b เมื่อ

0,1,2,n โดยเฉพาะถา 00

( )nn

n

a x x

= 0 แลว 0 1 0na a a

และมีชวงแหงการลูเขา 0 0( , )x r x r , 0r สําหรับทุก x ในชวงนี้

1 บรุก เทยเลอร (Brook Taylor 1695-1731) เปนนักคณิตศาสตรชั้นนําชาวอังกฤษในชวงเวลาเดียวกับนิวตัน ผลงานของเขาคือทฤษฎีการกระจาย ไดรับการตีพิมพลงใน Methodus in crementorium directa et inversa ซึ่งเปนทฤษฎีหลักมูลของการวิเคราะหทุกสาขา เทยเลอรเปนบุคคลหนึ่งที่ไดชื่อวาเปนผูสรางแคลคูลัสของผลตางอันตะ (finite difference) และเปนบุคคลแรกที่ยอมรับการมีจริงของผลเฉลยเอกฐานของสมการเชิงอนุพันธ2 คอลิน แมคลอริน (Colin Maclaurin 1698-1746) เปนนักคณิตศาสตรชาวสก็อต ผลงานที่มีชื่อเสียงของเขาคือ Geometria organica (1719) , Treatise of fluxions (1742) และ Maclaurin’s series(1742) คลอรินเขาศึกษาที่มหาวิทยาลัย เมื่ออายุเพียง 11 ป ไดรับปริญญาโท เมื่ออายุ 15 ป และไดรับตําแหนงสาขาคณิตศาสตรของ Marischal College แหงเมือง Aberdeen เมื่ออายุได 19 ป พิมพผลงานสําคัญชิ้นแรก เขาไดรับตําแหนงผูชวยศาสตราจารยที่มหาวิทยาลัย Edingrug เมื่ออายุเพียง 27 ป และตอมาเขาไดรับแตงตั้งใหเปนศาสตราจารย ณ มหาวิทยาลัยแหงนี้


สําหรับฟงกชัน f ที่มีการกระจายแบบอนุกรมเทยเลอรรอบจุด 0 x x ที่ ( )

00

0

( )( )

!

nn

n

f xx x

n

ลูเขาสู ( )f x หรือ ( )

00

0

( )( ) ( )

!

nn

n

f xf x x x

n

เราจะกลาววาฟงกชัน ( )f x เปน

ฟงกชันวิเคราะห (analytic function) ณ จุด x0 และสอดคลองกับขอความ 6) และ 7) ถา f และ g เปนฟงกชันวิเคราะห ณ จุด 0x x แลว , f g f g และ /f g

(เมื่อ 0( ) 0g x ) เปนฟงกชันวิเคราะห ณ 0x x ดวย

การเลื่อนดัชนีของผลรวมยอด (Shift of Index of Summation)ดัชนีของผลรวมยอดในอนุกรมอนันตคือพารามิเตอรซึ่งคลายกับตัวแปรหุนในการหา

ปริพันธในปริพันธจํากัดเขต ดังนั้นเราจึงสามารถใชตัวหนังสือแทนดัชนีของผลรวมยอดได

เชน 0 0

3 3

! !

nn j j

n j

x x

n j

ซึ่งเหมือนกับการเปลี่ยนตัวแปรหุนในการหาปริพันธจํากัดเขต จะเห็นวามีความสะดวกในการเปลี่ยนดัชนีของผลรวมในการคํานวณผลเฉลยเชิงอนุกรมของสมการเชิงอนุพันธ ลองพิจารณาการเลื่อนดัชนีของผลรวมยอดในรูปแบบตาง ๆ ดังตัวอยาง 5.1.3 – 5.1.6

ตัวอยาง 5.1.3 จงเขียนอนุกรม 2

nn

n

a x

ใหเปนอนุกรมที่มีพจนแรกสอดคลองกับ n = 0 แทน

n = 2

ให m = n -2 ดังนั้นจะได n = m+2 และ 2n สอดคลองกับ 0 m นั่นคือ

22

2 0

n mn m

n m

a x a x

...…………. (1)

เมื่อลองเขียน 2 ถึง 3 พจนแรกของแตละอนุกรมเปรียบเทียบกัน จะเห็นไดวาอนุกรมทั้งสองนี้ประกอบดวยพจนเดียวกัน ดังนั้นเพื่อใหมีความกระชับในการใชพารามิเตอรในอนุกรม เราจึงใช n แทนดัชนีหุน m ของอนุกรมขางขวามือของสมการ(1) จะไดวา

22

2 0

n nn n

n n

a x a x

.…..………… (2)

จะเห็นวาเปนการเลื่อนดัชนีขึ้น 2 มีผลเหมือนกันกับการเริ่มตนนับต่ํากวาเดิมอยู 2 นั่นเอง

ตัวอยาง 5.1.4 จงเขียนอนุกรม 20

2

( 2)( 1) ( )nn

n

n n a x x

...………….... (3)

ใหเปนอนุกรมที่มีพจนทั่วไปอยูในรูป 0( )nx x แทน 20( )nx x


เมื่อเราเลื่อนดัชนีไป 2 นั่นคือเราตองแทน n ดวย n+2 และเริ่มนับต่ํากวาเดิมอยู 2 จะ

ไดวา 2 00

( 4)( 3) ( )nn

n

n n a x x

………………. (4)

ซึ่งเราสามารถที่จะแสดงไดวาอนุกรมในสมการ(3) และ (4) ประกอบดวยพจนตาง ๆ เหมือนกัน

ตัวอยาง 5.1.5 จงเขียนนิพจน 2 1

0

( ) r nn

n

x r n a x

……………….. (5)

ใหอยูในรูปอนุกรมที่มีพจน r nx อยูดวย

จากสมการ (5) เมื่อนําเอา x2 เขาไปในผลรวมยอด จะไดวา 1

0

( ) r nn

n

r n a x

……….. (6)

และเมื่อเลื่อนดัชนีลงไป 1 และเริ่มนับสูงกวาเดิม 1 ดังนั้น 1

10 1

( ) ( 1)r n r nn n

n n

r n a x r n a x

……………….. (7)

ซึ่งจะเห็นวาทั้งสองอนุกรมในสมการ (7) เหมือนกับนิพจนในสมการ (5)

ตัวอยาง 5.1.6 สมมติวาสําหรับทุกคา x ทําให 1

1 0

n nn n

n n

na x a x

………………(8)

จงพิจารณาสัมประสิทธิ์ na ในที่นี้จะใชขอความ 10) ที่กลาวถึงการเทากันของสัมประสิทธิ์ที่สอดคลองกันในอนุกรมที่เทากัน ขั้นแรกสามารถเขียนสมการ (8) ใหม ใหเปนอนุกรมที่มีกําลังของ x เทากัน โดยการ แทน n ดวย n+1 ในอนุกรมที่อยูขางซายของสมการ (8) และเริ่มนับต่ํากวาเดิมอยู 1 ดังนั้นสมการ (8) จึงกลายเปน

10 0

( 1) n nn n

n n

n a x a x

……………..... (9)

อาศัยขอความ 10) จึงไดวา

1( 1) , 0,1, 2,3,n nn a a n ……………..... (10)ดังนั้นจากการเลือกคา n ที่ตอเนื่องกันในสมการ (10) จะได

0 01 21 0 2 3, ,

2 2! 3 3!

a aa aa a a a จึงสรุปเปนรูปทั่วไปไดเปน

0 , 1,2,3,!n

aa n

n ……………..... (11)

จากความสัมพันธในสมการ(8) นํามาพิจารณา สัมประสิทธิ์ใหอยูในเทอมของ a0 โดยอาศัย

สัมประสิทธิ์ที่ไดจากสมการ (11) และเมื่อให 0! = 1 จะไดวา 0 00 0 !

nn x

nn n

xa x a a e

n


ตัวอยาง 5.1.7 จงเขียนสี่พจนแรกของอนุกรมกําลังของฟงกชัน cos x และเขียนสัมประสิทธิ์ของพจน 2nx ในรูปพจนทั่วไปวิธีทํา ให cos y x ดังนั้น siny x ,

cosy x , sin ,y x

(2 ) ( 1) cosk ky x , (2 1) 1( 1) sink ky x

ณ 0x จะได cos0 1 และ sin 0 0 ดังนั้น (2 ) (0) ( 1)k ky และ (2 ) (0) 0ky

ดังนั้นอนุกรมของ ( )

2 3(0) (0) (0)cos (0) (0)

2! 3! !

nnf f f

x f f x x x xn

2 4 6 2

1 ( 1)2! 4! 6! (2 )!

kkx x x x

k เมื่อ k = 0,1,2,…

ดังนั้นจะได สัมประสิทธิ์ของ 2nx คือ ( 1)

(2 )!

n

n

Ans.

แบบฝกหัด 5.1

จงหารัศมีแหงการลูเขาของแตละอนุกรมกําลังในโจทยขอ 1 – 8

1. 0

( 2)n

n

x

2. 0 3

nn

n

nx

3. 2

0 !

n

n

x

n

4.

0

3n n

n

x

5. 3

1

( 1)n

n

x

n

6. 1

! n

nn

n x

n

7. 0

1

( )n

n

x x

n

8. 1

( 1) ( 3)

5

n n

nn

n x

สําหรับแตละฟงกชันที่กําหนดใหในโจทยขอ9-16 จงหาอนุกรมเทยเลอรรอบจุด 0x ที่สอดคลองกับฟงกชันนั้น ๆ แลวหารัศมีแหงการลูเขาของอนุกรมดวย 9. 0sin , 0x x 10. 0, 0xe x

11. 20, 1x x 12. 0, 1x x

13. 0ln , 1x x 14. 0

1, 0

1x

x

15. 0

1, 0

1x

x

16. 0

1, 3

1x

x

5.2 ผลเฉลยอนุกรมรอบจุดสามญั , สวน I 217

17. กําหนด 0

n

n

y nx

จงหา yและ y และเขียนสี่พจนแรกของแตละอนุกรม พรอมกับ

เขียนสัมประสิทธิ์ของ nx ในรูปของพจนทั่วไปดวย

18. กําหนด 0

nn

n

y a x

จงหา yและ y และเขียนสี่พจนแรกของแตละอนุกรม พรอมกับ

เขียนสัมประสิทธิ์ของ nx ในรูปของพจนทั่วไปดวย และจงแสดงวาถา y y แลวสัมประสิทธิ์ของ 0a และ 1a เปนตัวคงคา และหาคาของ 2a และ 3a ในเทอมของ 0a และ

1a และจงแสดงวา 2 , 0,1,2,3,( 2)( 1)

nn

aa n

n n

จงแสดงใหเห็นวาสมการในขอ 19 และ 20 เปนจริง

19. 11

0 1

( 1) ( 1)n nn n

n n

a x a x

20. 11 1 1 1

0 0 1

( )k k kk k k k

k k k

a x a x a a a x

จากนิพจนที่กําหนดให ในขอ 21 ถึง 27 จงเขียนใหอยูในรูปอนุกรมที่มี nx อยูดวย

21. 2

( 1) nn

n

n n a x

22. 2

0

nn

n

a x

23. 1

1 0

n kn k

n k

na x a x

24. 2 2

2

(1 ) ( 1) nn

n

x n n a x

25. 2 1

2 1

( 1) m km k

m k

m m a x x ka x

26. 1

1 0

n nn n

n n

na x x a x

27. 2

2 0

( 1) n nn n

n n

x n n a x a x

28. จงพิจารณาวา na ที่อยูในสมการ 1

1 0

2 0n nn n

n n

na x a x

สอดคลองกับฟงกชันที่

แทนไดดวยอนุกรม 0

nn

n

a x

5.2 ผลเฉลยอนุกรมรอบจุดสามัญ,สวน (Series Solutions about an Ordinary Point, Part )

ในบทที่ 4 เราไดกลาวถึงการหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธุเชิงเสนอันดับ n ที่มีสัมประสิทธิ์เปนคาคงตัว และ 2,3,4, n สําหรับหัวขอนี้เราจะศึกษาวิธีหาผลเฉลยของ

218 บทที่ 5 ผลเฉลยของสมการเชิงอนพุันธเชิงเสนอันดับสอง

สมการเชิงอนุพันธเชิงเสนอันดับสองที่มีสัมประสิทธิ์เปนฟงกชันของตัวแปร ซึ่งในที่นี้จะถือเอาวา x แทนตัวแปรอิสระ และจะพิจารณาเฉพาะสมการเอกพันธุ

2

2( ) ( ) ( ) 0

d y dyP x Q x R x y

dx dx …………………. (5.2.1)

และมีลักษณะการดําเนินการเหมือนกันกับสมการไมเอกพันธุ

ปญหาในวิชาฟสิกสเชิงคณิตศาสตรสวนใหญจะอยูในรูปของสมการ (5.2.1) ที่มีสัมประสิทธิ์เปนพหุนาม เชน สมการเบสเซิล(Bessel equation)

2 2 2( ) 0x y xy x y เมื่อ เปนคาคงตัว และสมการเลอช็องดร(Legendre equation)

2(1 ) 2 ( 1) 0x y xy y

เมื่อ เปนคาคงตัว และเนื่องจากเราสามารถแสดงไดวา ฟงกชันพหุนามเปนฟงกชันวิเคราะหที่ทุกจุดบนจํานวนจริง และ ฟงกชันตรรกยะ ที่อยูในรูปผลหารของพหุนามเปนฟงกชันวิเคราะหที่ทุกจุดยกเวนจุดที่ทําใหตัวสวนเปนศูนย ซึ่งวิธีการหาผลเฉลยจะใชไดเมื่อ P, Q และ R ในสมการ (5.2.1) เปนฟงกชันวิเคราะห

ในที่นี้เราจะพิจารณาเฉพาะในกรณีที่ P , Q และ R เปนฟงกชันวิเคราะหและทั้งสามฟงกชันไมมีตัวประกอบรวม สมมติวาเราตองการหาผลเฉลยของสมการ(5.2.1) ในยานใกลเคียงของจุด 0x ผลเฉลยของสมการ (5.2.1) จะเปนชวงที่มี 0x เปนสมาชิกและสอดคลองสัมพันธกับ P ในชวงนั้น ๆ ดวย

เราจะเรียกจุด 0x ที่ทําให 0( ) 0P x วา จุดสามัญ(ordinary point) เนื่องจาก P ตอเนื่อง และในชวงรอบ 0x ที่ทําให ( ) 0P x เราสามารถนําเอา ( )P x หารตลอดสมการ (5.2.1) จะได

( ) ( ) 0y p x y q x y …………………… (5.2.2)

โดยที่ ( )( )

( )

Q xp x

P x และ ( )

( )( )

R xq x

P x เปนฟงกชันตอเนื่อง และสอดคลองกับทฤษฎีบท 4.1.1

(การมีผลเฉลยเดียวจริง) การมีผลเฉลยเดียวจริงในชวง I ของผลเฉลยของสมการ (5.2.1) ซึ่งสอดคลองกับเงื่อนไขคาเริ่มตน 0 0 0 0( ) , ( )y x y y x y ที่กําหนดให สําหรับหัวขอนี้เราจะกลาวถึงผลเฉลยของสมการ(5.2.1) ในยานใกลเคียงของจุดสามัญ หรืออาจกลาวอีกนัยหนึ่งวา ถา 0( ) 0P x แลว เราจะเรียกจุด 0x วา จุดเอกฐาน(singular point) ของสมการ(5.2.1) ซึ่งในกรณีนี้จะตองมีอยางนอยหนึ่งคาของ 0( )Q x และ 0( )R x ไมเปนศูนย ซึ่งจะสงผลทําใหสัมประสิทธิ์ p และ q ในสมการ(5.2.2) ไมมีขอบเขต เมื่อ 0x x นั่นคือเราไมสามารถใชทฤษฎีบท 4.2.1 ในกรณีนี้ได


การหาผลเฉลยของสมการ(5.2.1) ในยานใกลเคียงของจุดสามัญ x0 ซึ่งจะเปนการหาผลเฉลยในรูปของอนุกรมกําลัง โดยจะเริ่มตนดวยการสมมติวา สมการมีผลเฉลยเปนอนุกรมกําลังรอบจุดสามัญ 0x คือ

0 1 0 0 00

( ) ( ) ( )n nn n

n

y a a x x a x x a x x

…………. (5.2.3)

โดยที่เราคาดวาผลเฉลยของสมการเปนอนุกรมลูเขาในชวง 0| |x x สําหรับบางคาที่ 0 แลวแทนคา y และอนุพันธของ y ลงในสมการจะไดความสัมพันธระหวางสัมประสิทธิ์ ia ทําใหหาคา ia ได และเมื่อนําคา ia ที่ไดแทนคาในผลเฉลยจะไดผลเฉลยตามตองการ การหาผลเฉลยในรูปอนุกรมกําลังนี้ เหมาะสมมากกับสมการเชิงอนุพันธที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร และสัมประสิทธิ์ที่เปนตัวแปรนี้เปนฟงกชันที่เขียนในรูปของอนุกรมเทยเลอรได

ในขณะที่ชวงแรก ๆ การหาผลเฉลยในรูปอนุกรมกําลังไมเปนที่นาสนใจเทาที่ควร แตตามความเปนจริงผลเฉลยในรูปนี้ เปนรูปแบบที่มีประโยชนสําหรับผลเฉลยในชวงแหงการลูเขาของอนุกรมกําลัง และมีลักษณะการแสดงคาเหมือนกับพหุนามมาก ประกอบกับความกาวหนาทางเทคโนโลยีคอมพิวเตอร จึงสะดวกในการจัดการทั้งเชิงวิเคราะหและเชิงตัวเลข แมวาเราจะสามารถหาผลเฉลยไดในแงของฟงกชันมูลฐานได เชน ฟงกชันเลขชี้กําลังหรือฟงกชันตรีโกณมิติ แตเรายังถือไดวาอนุกรมกําลัง หรือ ขอความที่สมมูลกันบางขอความยังเหมาะสมที่จะใชในการหาคาประมาณเชิงตัวเลข หรือการเขียนกราฟของฟงกชันนั้น ๆ

ตัวอยาง 5.2.1 จงหาผลเฉลยของสมการ 0, y y x ………….. (5.2.4)เนื่องจากโจทยเปนสมการเชิงเสนเอกพันธุที่มีสัมประสิทธิ์เปนคาคงตัว เราจึงทราบได

วาผลเฉลยที่เปนอิสระเชิงเสนของสมการนี้คือ sinx และ cosx ดังนั้นวิธีการหาผลเฉลยที่เปนอนุกรมของสมการนี้จึงไมเปนที่ตองการนัก อยางไรก็ตามตัวอยางนี้จะแสดงถึงประโยชนของอนุกรมกําลังใหเห็นไดงาย

จากสมการ(5.2.4) เทียบกับสมการ (5.2.1) จะได ( ) 1, ( ) 0 ( ) 1P x Q x R x และดวยเหตุนี้จึงเห็นไดวา ทุกจุดในชวง ( , ) เปนจุดสามัญ สําหรับโจทยตัวอยางนี้เราจะหาผลเฉลยในรูปอนุกรมกําลังรอบ 0 0x จึงกําหนดใหอนุกรมกําลัง ของพจน x คือ

20 1 2

0

n nn n

n

y a a x a x a x a x

.…………. (5.2.5)

และสมมติวาอนุกรมลูเขาในบางชวง | |x เปนผลเฉลยของสมการ(5.2.4)


โดยการหาอนุพันธสมการ(5.2.5) จนถึงอันดับสอง จะได2 1 1

1 2 31

2 3 n nn n

n

y a a x a x na x na x

..…………. (5.2.6)

2 22 3

2

2 6 ( 1) ( 1)n nn n

n

y a a x n n a x n n a x

………... (5.2.7)

นําเอาอนุกรมในสมการ (5.2.5) และ (5.2.7) แทนลงในสมการ (5.2.4) จะได

2

2 0

( 1) 0n nn n

n n

n n a x a x

อาศัยหลักการเลื่อนดัชนีของผลรวมยอดโดยการแทน n ในอนุกรมแรก ดวย 2 n

และเริ่มตนที่ 0 จะได

20 0

( 2)( 1) 0n nn n

n n

n n a x a x

หรือ

20

[( 2)( 1) ] 0nn n

n

n n a a x

เนื่องจากสมการนี้สอดคลองกับทุกคาของ x ดังนั้น จะเห็นวาสัมประสิทธิ์ของ x แตละพจนที่มีกําลังตางกันจะมีคาเปนศูนย จึงสรุปไดวา

2 0,1, 2,3,( 2)( 1) 0, n nn n a a n ………….. (5.2.8)

สมการ(5.2.8)มีลักษณะเปนความสัมพันธเวียนเกิด(recurrence relation) การหาสัมประสิทธิ์สืบเนื่องจึงหาไดทีละคาจากการเขียนความสัมพันธเวียนเกิดตามลําดับ โดยเริ่มจาก 0n และ

1n ตอไปตามลําดับ สําหรับสมการ(5.2.8) สัมประสิทธิ์แตละคาจะสัมพันธกับสัมประสิทธิ์ที่มีกอนหนามันสองอันดับเสมอ ดังนั้นจึงแยกพิจารณาคาสัมประสิทธิ์ของพจนเลขคู

0 2 4( , , , )a a a และสัมประสิทธิ์ของพจนเลขคี่ 1 3 5( , , , )a a a สําหรับสัมประสิทธิ์ของพจนเลขคู เราจะไดวา

0 0 0 02 42 4 6, , ,

2 1 2! 4 3 4! 6 5 6!

a a a aa aa a a

ดังนั้นเมื่อเขียนในรูปทั่วไป กรณีที่ n เปนเลขคู คือถา n = 2k จะไดวา

2 0

( 1), 1,2,3,

(2 )!

k

n ka a a kk

………….. (5.2.9)

เราสามารถพิสูจนสมการ (5.2.9) โดยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร (ไมขอพิสูจนในที่นี้)ในทํานองเดียวกันสําหรับสัมประสิทธิ์ของพจนเลขคี่ จะได

3 51 1 1 13 5 7, , ,

2 3 3! 5 4 5! 7 6 7!

a aa a a aa a a

ดังนั้นเมื่อเขียนในรูปทั่วไป กรณีที่ n เปนเลขคี่ คือถา n = 2k+1 จะไดวา


2 1 1

( 1), 1,2,3,

(2 1)!

k

n ka a a kk

...………. (5.2.10)

เมื่อแทนสัมประสิทธิ์ลงในสมการ (5.2.5) เราจะไดวา2 3 4 50 01 1

0 1 2! 3! 4! 5!

a aa ay a a x x x x x

2 2 10 1( 1) ( 1)

(2 )! (2 1)!

n nn na a

x xn n

2 4 2

0

( 1)1

2! 4! (2 )!

n nx x xa

n

3 5 2 1

1

( 1)

3! 5! (2 1)!

n nx x xa x

n

2 2 10 1

0 0

( 1) ( 1)

(2 )! (2 1)!

n nn n

n n

a x a xn n

...………. (5.2.11)

มาถึงตรงนี้เราจะเห็นไดวาสมการ (5.2.4) มีผลเฉลยเปนอนุกรมสองแบบดังในสมการ (5.2.11) ซึ่งเราสามารถแสดงไดวาอนุกรมทั้งสองเปนอนุกรมลูเขาสําหรับทุกคา x โดยใชการทดสอบอัตราสวน ที่จริงแลวเราเคยทราบแลววาอนุกรมแรกของสมการ (5.2.11) เปนอนุกรมเทยเลอรของ cos x รอบจุด 0x และอนุกรมที่สองของสมการ(5.2.11) เปนอนุกรมเทยเลอรของ sin x รอบจุด 0x ดังนั้น จึงเหมือนกับที่เราไดผลเฉลยเปน 0 1cos siny a x a x

นั่นเอง

เปนที่นาสังเกตวาไมมีเงื่อนไขในการกําหนดคาใหกับ 0a และ 1a ดังนั้นจึงอาจกลาวไดวา 0a และ 1a เปนตัวคงคาใด ๆ จากสมการ (5.2.5) และ (5.2.6) จะเห็นไดวา y และ yที่

0 x ทําใหไดคา a0 และ a1 ตามลําดับ เนื่องจากเงื่อนไขคาเริ่มตน (0)y และ (0)y มีผลตอตัวคงคาที่เลือกได ซึ่งจะพบวา 0a และ 1a ควรจะเปนตัวคงคาในการระบุเงื่อนไขเริ่มตนได

รูป 5.2.1 และ 5.2.2 แสดงการประมาณคาของ cos sinx xและ ดวยผลรวมยอยของอนุกรมในสมการ (5.2.11) เมื่อมีจํานวนพจนเพิ่มขึ้น จะเห็นวาชวงการประมาณคาสําหรับ x แตละคามีความแมนยําเพิ่มขึ้นเมื่อจํานวนพจนเพิ่มขึ้น อยางไรก็ตามควรมีการตัดปลายอนุกรมกําลังเพื่อใหการประมาณคาของผลเฉลยอยูยานใกลเคียงของจุดเริ่มตน 0x ซึ่งอาจจะไมเพียงพอในการแสดงคาผลเฉลยสําหรับ x ที่มีขนาดใหญ


ตัวอยาง 5.2.2 จงหาผลเฉลยอนุกรมในรูป x ยกกําลัง ของ สมการแอริ5(Airy’s equation)0, y xy x ……………...… (5.2.12)

สําหรับสมการนี้เราจะเห็นวา 1, 0P x Q x และ R x x ดังนั้นทุกจุดในชวงจํานวนจริงเปนจุดสามัญ เราจึงอาจกําหนดไดวา

0

nn

n

y a x

……………...… (5.2.13)

5 เซอร จอรจ แอริ (Sir George Airy 1801-1892) นักคณิตศาสตรและนักดาราศาสตรชาวอังกฤษ เปนผูอํานวยการของหอดู

ดาวที่กรีนิชในชวงเวลาจาก ป 1835 ถึง 1881 เหตุผลที่สมการแอริไดรับความสนใจคือผลเฉลยของสมการสําหรับ x < 0 มีลักษณะเชิงแกวงกวัดคลายกับฟงกชันตรีโกณมิติ และสําหรับ x>0 จะเปนฟงกชันทางเดียวซึ่งคลายกับฟงกชันไฮเพอรโบลิก

รูป 5.2.2 พหุนามประมาณคาsin x เมื่อ n เปนระดับขั้นของพหุนามทีใ่ชในการประมาณคา

y

รูป 5.2.1 พหุนามประมาณคา cos x เมื่อ n เปนระดับขั้นของพหุนามทีใชในการประมาณคา

x

4n 8n 12n 16n 20n

2n 6n 10n 14n 18n

2

2

1

2

1

4 6 8 10

cosy x

x

y 5n 9n 13n 17n 21n

3n 7n 11n 15n 19n

2

2

1

2

1

4 6 8 10

siny x


และเปนอนุกรมลูเขาในบางชวงที่ | |x อนุกรม y กําหนดโดยสมการ (5.2.7) ซึ่งไดแสดงไวในตัวอยางที่แลว เราเขียนใหมไดเปน

20

( 2)( 1) nn

n

y n n a x

……………...… (5.2.14)

เมื่อแทนอนุกรมในสมการ (5.2.13) และ (5.2.14) ลงในสมการ(5.2.12) จะได

20 0

( 2)( 1) 0n nn n

n n

n n a x x a x

หรือ

12

0 0

( 2)( 1) 0n nn n

n n

n n a x a x

จะเห็นวาผลรวมยอดมี กําลังของ x ตางกันคือผลรวมแรกอยูในรูป nx และผลรวมหลังอยูในรูป

1nx ซึ่งเราจะตองทําใหกําลังของ x ในผลรวมทั้งสองเทากัน เพื่อทําใหอยูในรูปที่สามารถกําจัดตัวแปร x ออกจากสมการได โดยอาศัยหลักการเลื่อนดัชนีผลรวมยอด เมื่อเลื่อนดัชนีของอนุกรมหลังขึ้นไป 1 จะไดเปน

2 10 1

( 2)( 1) 0n nn n

n n

n n a x a x

…………………. (5.2.15)

เมื่อพิจารณาผลรวมแรกเพื่อใหเริ่มจาก 1n เหมือนกับผลรวมหลัง จึงแยกเฉพาะพจน 0n

ออกจะไดวา 2 2 20 1

( 2)( 1) 2 1 ( 2)( 1)n nn n

n n

n n a x a n n a x

ดังนั้นเราจึงไดวา

2 2 11 1

2 ( 2)( 1) 0n nn n

n n

a n n a x a x

หรือ

2 2 11 1

2 [ ( 2)( 1) ] 0nn n

n n

a n n a a x

หรือ

2 2 11

2 [( 2)( 1) ] 0nn n

n

a n n a a x

…………... (1)

จะเห็นวาสมการ (1) จะเปนจริงไดเมื่ออนุกรมกําลังขางซายมือของสมการจะตองมีคาเปนศูนย นั่นคือ

2

2 1

2 0

( 2)( 1) 0, 1, 2,3,n n

a

n n a a n

หรืออาจเขียนใหมได2

12

0

, 1,2,3,( 2)( 1)

nn

a

aa n

n n

…………... (5.2.16)


จะเห็นวาสมการ (5.2.16) เปนความสัมพันธเวียนเกิดและสามารถหาสัมประสิทธิ์ของแตละพจนไดในเทอมของ 0a และ 1a เนื่องจากเราทราบแลววา 2 0a และหาสัมประสิทธิ์ 3a ไดจาก

ความสัมพันธเวียนเกิด เมื่อ 1n นั่นคือ 03 3 2

aa

เมื่อ n 2 ได 1

4 4 3

aa

และหาสัมประสิทธิ์ของพจนตอ ๆ ไปไดดังนี้

2 0,a 03

3 2,

aa

1

44 3

aa

25

5 40

aa

, 3 0

66 5

a

(6 5)(3 2)

aa

, 4 1

77 6

a

(7 6)(4 3)

aa

58

8 70,

aa

6 0

99 8 8

a,

(9 )(6 5)(3 2)

aa

7 1

1010 9 6 3( ) (10.9)(7 )(4 )

a aa

จากการสังเกต สัมประสิทธิ์ขางตน พบวาสามารถหารูปทั่วไปได 3 กรณีดังนี้ คือ1. พบวา 2 5 8, , ,...a a a มีคาเปนศูนยเมื่อเขียนเปนพจนทั่วไปสําหรับกรณีนี้จะได 3 2 0na สําหรับทุกคา 0,1,2,3,n

2. พบวา 3 6 9, , ,...a a a มีคาเปนผลคูณของ 0a เขียนเปนพจนทั่วไปสําหรับกรณีนี้จะได0

3 (3 )(3 1)(3 3)(3 4) (6 5)(3 2)n

aa

n n n n

สําหรับทุกคา 1, 2,3,n

3. พบวา 4 7 10, , ,...a a a มีคาเปนผลคูณของ 1a เขียนเปนพจนทั่วไปสําหรับกรณีนี้จะได1

3 1 (3 1)(3 )(3 2)(3 3) (7 6)(4 3)n

aa

n n n n

สําหรับทุกคา 1, 2,3,n

นั่นแสดงวาผลเฉลยทั่วไปของสมการแอริ

คือ3 6 3

0 12 3 (2 3)(5 6) (2 3)(5 6) (3 1)(3 )

nx x xy a

n n

4 7 3 1

1 13 4 3 4 6 7 3 4 6 7 (3 )(3 1)

nx x xa

n n

3 3 1

0 11 1

5.2.171 ( )(2 3)(5 6) (3 1)(3 ) (3 4)(6 7) (3 )(3 1)

n n

n n

x xy a a x

n n n n

เราจะสังเกตเห็นวาผลเฉลยอนุกรมทั้งสองเปนอนุกรมลูเขา เนื่องจากการเพิ่มขึ้นอยางรวดเร็วของตัวสวนของพจนในอนุกรมของสมการ (5.2.17) และคาดไดวาอนุกรมเหลานี้มีรัศมีแหงการลูเขาขนาดใหญ ซึ่งสามารถแสดงใหเห็นไดวาอนุกรมทั้งสองลูเขาสําหรับทุกคา x โดยใชการทดสอบอัตราสวน สมมติวาขณะที่อนุกรมลูเขาสําหรับทุกคา x ให

3

11

1(2 3)(5 6) (3 1)(3 )

n

n

xy

n n

และ

3 1

21 (3 4)(6 7) (3 )(3 1)

n

n

xy x

n n


แลว ขั้นแรกเลือก 0 11, 0a a แลวเลือก 0 10, 1a a จะพบวา 1 2 y yและ เปนผลเฉลยที่อิสระเชิงเสนของสมการ (5.2.12) และพบวา 1y สอดคลองกับเงื่อนไขเริ่มตน 1 1(0) 1, (0) 0y y และพบวา 2y สอดคลองกับเงื่อนไขเริ่มตน 2 2(0) 0, (0) 1y y

ดังนั้น 1 2( , ) 1 0W y y ดวยเหตุนี้ 1 2 y yและ จึงเปนอิสระเชิงเสนตอกัน นั่นคือผลเฉลยทั่วไปของสมการแอริ คือ 0 1 1 2( ) ( ), y a y x a y x x

รูป5.2.3 แสดงผลเฉลยของสมการแอริสองชุด เพื่อใหสังเกตวาในขณะที่ 0x เสนโคงผลเฉลยจะมีลักษณะคลายกับผลเฉลยแกวงกวัด ของสมการเชิงอนุพันธ 0y y และในขณะที่ 0x เสนโคงผลเฉลยจะมีลักษณะคลายกับผลเฉลยเลขชี้กําลังของสมการเชิงอนุพันธ

0y y

รูป 5.2.4 และรูป 5.2.5 ตามลําดับแสดงกราฟของผลเฉลย 1 2 y yและ ของสมการแอริ ซึ่งมีลักษณะเชนเดียวกับกราฟของผลรวมยอยของอนุกรมสองชุดในสมการ (5.2.17) และเปนผลรวมยอยที่ใชประมาณคาผลเฉลยในยานใกลเคียงของจุดกําเนิด จะสังเกตเห็นวาคุณภาพของประมาณคาจะดีขึ้นเรื่อย ๆ เมื่อคา n เพิ่มขึ้น และจะเห็นวาไมมีฟงกชันพหุนามใดเลยที่จะใชแสดงแทน 1 2 y yและ เมื่อ |x| มีขนาดใหญ ในทางปฏิบัติเราจะทราบวาคาประมาณในชวงที่กําหนดผลรวมยอยนั้นมีความแมนยําที่เหมาะสมเมื่อเปรียบเทียบกับกราฟของผลรวมยอยเองและคาผลรวมยอยถัดไปดวยการรวมเขามากกวาหนึ่งพจน เมื่อสังเกตจากกราฟจะพบวากราฟเริ่มมีการแยกกัน ซึ่งจะเห็นวาคาที่ทําใหเชื่อถือไดก็คือคาที่ผลรวมยอยนั้นไมหางจากผลรวมยอยเริ่มตนมากนัก เชนรูป5.2.4 กราฟของ 24n และ 27n เริ่มแยกจากกันที่ x มีคาประมาณ 9

2 ดังนั้นตั้งแตจุดนี้เปนตนไปผลรวมยอยของระดับขั้น 24n ไมเหมาะที่จะ

นํามาใชประมาณคาผลเฉลย

รูป 5.2.3 เสนโคงผลเฉลยของสมการแอริ


จะสังเกตเห็นวาทั้ง 1 2 y yและ ตางก็มีกราฟคลายกับกราฟของฟงกชันทางเดียว(monotone function) เมื่อ 0x และเมื่อ 0x ตางมีกราฟคลายกับกราฟของฟงกชันแกวงกวัด แสดงใหเห็นวากราฟของผลเฉลยไมเปนแบบเดียว แตจะพบวาแอมพลิจูด (amplitude) ลดลงและมีความถี่เพิ่มขึ้นเมื่อระยะหางจากจุดเริ่มตนเพิ่มขึ้น ซึ่งขัดแยงกับตัวอยาง 5.2.1 ดังนั้นผลเฉลย 1 2 y yและ ของสมการแอริ จึงไมเปนฟงกชันมูลฐานในวิชาแคลคูลัส แตอยางไรก็ตามฟงกชันผลเฉลยนี้ยังมีความสําคัญในการประยุกตใชกับวิชาฟสิกสบางสาขาและยังมีการศึกษาฟงกชันเหลานี้อยางกวางขวาง และมีสมบัติเปนที่รูจักกันเปนอยางดีในกลุมนักคณิตศาสตรประยุกต และนักวิทยาศาสตร

รูป 5.2.4 พหุนามประมาณคาผลเฉลย 1( )y x ของสมการแอริ เมื่อ n เปนระดับขั้นของพหุนามที่ใชในการประมาณคา

รูป 5.2.5 พหุนามประมาณคาผลเฉลย 2 ( )y x ของสมการแอริ เมื่อ n เปนระดับขั้นของพหุนามที่ใชในการประมาณคา

y3n

x

48n

42

36

30

24

45n 21

39 27

33

2

2

6810

1( )y y x

2

18

12

6

15

9

3

6n

2 4n

x

46n

4034

2822

49n 25

43 31

37

2

46810

2( )y y x

2

16

10

4

19

13

7

2

y


ตัวอยาง 5.2.3 จงหาผลเฉลยของสมการแอริในรูปกําลังของ 1x

จุด 1x เปนจุดสามัญจุดหนึ่งของสมการ(5.2.12) ดังนั้นจึงสามารถหาผลเฉลยไดในรูป

0

( 1)nn

n

y a x

โดยสมมติวาอนุกรมลูเขาในบางชวง | 1|x แลว จะไดวา

11

1 0

( 1) ( 1) ( 1)n nn n

n n

y na x n a x

และ

22

1 0

( 1) ( 1) ( 2)( 1) ( 1)n nn n

n n

y n n a x n n a x

นําเอา y และ y แทนลงในสมการ(5.2.12) จะได

2 10 0

( 2)( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 0n nn n

n n

n n a x x n a x

……..… (5.2.18)

ในการหาสัมประสิทธิ์ของแตละพจน 1n

x นั้นจะตองจัด x ที่เปนสัมประสิทธิ์ของ y ในสมการ (5.2.12) ใหอยูในรูปของ 1 x ซึ่งเขียนใหมเปน 1 ( 1)x x จะสังเกตไดวาสามารถจัดไดในรูปของอนุกรมเทยเลอรสําหรับ x รอบจุด 1 x ดังนั้นจึงจัดสมการ(5.2.18) ใหมจะได

2 10 0

( 2)( 1) ( 1) {1 ( 1)} ( 1) ( 1) 0n nn n

n n

n n a x x n a x

หรือ

12

0 0 0

( 2)( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 0n n nn n n

n n n

n n a x a x a x

……… (1)

เมื่อเลื่อนดัชนีของผลรวมของอนุกรมที่สามทางซายมือในสมการ (1) จะไดวา

2 10 0 1

( 2)( 1) ( 1) [ ( 1) ( 1) ] 0n n nn n n

n n n

n n a x a x a x

……… (2)

หรือ 2 10 0 1

( 2)( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 0n n nn n n

n n n

n n a x a x a x

………. (3)

เนื่องจาก 2 2 20 1

( 2)( 1) ( 1) 2 ( 2)( 1) ( 1)n nn n

n n

n n a x a n n a x

และ

00 1

( 1) ( 1)n nn n

n n

a x a a x

ดังนั้น เมื่อนําไปแทนลงในสมการ (3) จะได

2 2 0 11 1 1

2 ( 2)( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 0n n nn n n

n n n

a n n a x a a x a x

…….. (4)

จะเห็นวาสมการ (4) จะเปนจริงไดเมื่ออนุกรมกําลังขางซายมือของสมการจะตองมีคาเปนศูนย ซึ่งอาจกลาวไดวาสัมประสิทธิ์ทุกตัวในอนุกรมตองเปนศูนย นั่นคือ


2 0

2 1

2 0

( 2)( 1) 0, 1,2,3,n n n

a a

n n a a a n

หรืออาจเขียนใหมได0

2

12

2

, 1,2,3,( 2)( 1)

n nn

aa

a aa n

n n

..……. (5.2.19)

จะเห็นวาสมการ(5.2.19) เปนความสัมพันธเวียนเกิดและสามารถหาสัมประสิทธิ์ของแตละพจน

ไดในพจนของ 0a และ 1a เนื่องจากเราทราบแลววา 02 2

aa และหาสัมประสิทธิ์ a3 ไดจาก

ความสัมพันธเวียนเกิด เมื่อ 1n นั่นคือ 1 0 1 0 013 3 2 6 6 6

a a a a aaa

เมื่อ 2n ได

02 1 2 1 14 4 3 12 12 24 12

aa a a a aa

, 3 2 3 02 1

5 5 4 20 20 120 30

a a a aa aa

และหาสัมประสิทธิ์ของพจนตอ ๆ ไปได ดังนั้น

2 3 4 5

0

( 1) ( 1) ( 1) ( 1)1

2 6 12 30

x x x xy a

3 4 5

1

( 1) ( 1) ( 1)( 1)

6 12 120

x x xa x

……… (5.2.20)

โดยทั่วไปเมื่อความสัมพันธเวียนเกิดมีมากกวาสองพจนดังในสมการ (5.2.19) การหาสูตรพจน

na ในเทอมของ 0 1 a aและ จะทําใหลดความยุงยากลงได แตในบางกรณีอาจทําไดยาก เชนในตัวอยาง 5.2.3 ไมไดแสดงเปนสูตรที่ชัดเจน จึงไมสามารถทดสอบการลูเขาของอนุกรมทั้งสองในสมการ (5.2.20) ดวยการทดสอบอัตราสวนโดยตรงได อยางไรก็ตามแมจะไมรูสูตรของ

na เรายังสามารถตรวจสอบการลูเขาของอนุกรมในสมการ (5.2.20) สําหรับทุกคา x ได และจะไดศึกษา ในหัวขอ 5.3 ยิ่งกวานั้นยังไดนิยามฟงกชัน 3 4 y yและ วาเปนผลเฉลยที่อิสระเชิงเสนของสมการแอริในสมการ (5.2.12) ดังนั้น

0 3 1 4( ) ( )y a y x a y x

เปนผลเฉลยทั่วไปของสมการแอริ เมื่อ x เปนจํานวนจริง หรือ x

ตัวอยาง 5.2.3 เปนการเนนใหเห็นวา ถาเราหาผลเฉลยของสมการ (5.2.1) ในแบบของ

00

( )nn

n

y a x x

ไดแลว สัมประสิทธิ์ ( ), ( )P x Q x และ ( )R x ในสมการ (5.2.1)จะตอง

แสดงเปนรูปยกกําลังของ 0x x หรือไมเราสามารถเปลี่ยนตัวแปร 0x x t จะไดสมการเชิงอนุพันธของ y ที่เปนฟงกชันของ t และหาผลเฉลยของสมการที่ไดใหมในแบบของ


0

nn

n

y a t

เมื่อไดทําการคํานวณเรียบรอยแลวจึงคอยเปลี่ยนตัวแปร t กลับคืนเปน 0x x

( ดูโจทยขอ 19 ในแบบฝกหัด 5.2 )จากตัวอยาง 5.2.2 และ 5.2.3 เราพบวาเซตของผลเฉลยของสมการแอริ 2 เซต คือ

ฟงกชัน 1 2 y yและ ซึ่งนิยามโดยอนุกรมในสมการ (5.2.17) เปนผลเฉลยอิสระเชิงเสนของสมการ(5.2.12) สําหรับทุกคา x และเปนจริงสําหรับ 3 4y yและ ที่นิยามโดยอนุกรมในสมการ(5.2.20) ซึ่งเปนไปตามทฤษฎีบททั่วไปของสมการเชิงเสนอันดับสอง จะเห็นวา 1 2 y yและ สามารถเขียนแสดงไดในรูปการรวมเชิงเสนของฟงกชัน 3 4y yและ ได และในทํานองเดียวกัน เราก็ไมสามารถแสดงผลลัพธไดชัดเจนจากการตรวจพิจารณาอนุกรมเพียงอยางเดียว

สุดทายเราเนนวากรณีเฉพาะกับตัวอยาง 5.2.3 จะไมเปนสิ่งสําคัญ ถาหากเราสามารถพิจารณาสัมประสิทธิ์ทั่วไป na ในเทอมของ 0 1 a aและ หรือมีอะไรบางที่เปนปจจัยสําคัญที่ทําใหสามารถพิจารณาสัมประสิทธิ์ใหมากตามที่ตองการได ที่จะทําใหสามารถหาพจนตาง ๆ ในอนุกรมผลเฉลยทั้งสองไดตามตองการ แมวาเราไมสามารถพิจารณาพจนทั่วไปก็ตาม ในขณะที่การคํานวณสัมประสิทธิ์จํานวนมากมายในผลเฉลยอนุกรมกําลัง ก็ไมใชเรื่องยาก แตอาจเปนเรื่องที่นาเบื่อ ปจจุบันนี้มีโปรแกรมสําเร็จรูปทางคณิตศาสตรที่ชวยในการคํานวณไดเปนอยางดี ทั้งในดานกราฟกและดานคํานวณหาผลเฉลยโดยใชคําสั่งเชิงเดี่ยวก็จะแสดงผลไดอยางรวดเร็ว


สําหรับโจทยขอ 1 ถึง 14 จงหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ ในรูปของอนุกรมกําลังรอบจุด 0x ที่กําหนดให และจงหาความสัมพันธเวียนเกิด โดยหาผลเฉลยที่เปนผลรวมเชิงเสนของสี่พจนแรก และถาเปนไปไดจงหาผลเฉลยในรูปทั่วไปดวย1. 00, 0y y x 2. 00, 0y xy y x

3. 00, 1y xy y x 4. 2 200, 0y k x y x , k เปนคาคงตัว

5. 0(1 ) 0, 0x y y x 6. 20(2 ) 4 0, 0x y xy y x

7. 02 0, 0y xy y x 8. 00, 1xy y xy x

9. 20(1 ) 4 6 0, 0x y xy y x 10. 2

0(4 ) 2 0, 0x y y x

11. 20(3 ) 3 0, 0x y xy y x 12. 0(1 ) 0, 0x y xy y x

13. 02 3 0, 0y xy y x 14. 02 ( 1) 3 0, 2y x y y x


คําสั่งสําหรับโจทยขอ 15-18 : ก) จงหาหาพจนแรกที่ไมเปนศูนยในผลเฉลยของปญหาคาเริ่มตนที่กําหนดใหข) จงเขียนกราฟแสดงการประมาณคาของผลเฉลยสี่พจนแรก และหาพจนแรกบนแกน

เดียวกันค) จากกราฟในขอ ข) จงหาชวงคาประมาณที่สี่พจนแรกประมาณคาไดแนนอน

15. 0, (0) 2, (0) 1;y xy y y y ดูโจทยขอ 216. 2(2 ) 4 0, (0) 1, (0) 3;x y xy y y y ดูโจทยขอ 617. 2 0, (0) 4, (0) 1;y xy y y y ดูโจทยขอ 718. (1 ) 0, (0) 3, (0) 2;x y xy y y y ดูโจทยขอ 12

19. จงใชแนวทางการเปลี่ยนตัวแปร 1x t และสมมติวา y เปนอนุกรมกําลังในแบบฟงกชัน t ชวยหาผลเฉลยอนุกรมสองชุดที่เปนอิสระเชิงเสนตอกันของสมการ

2 2( 1) ( 1) 0y x y x y

ในรูปยกกําลังของ 1x และจงแสดงวา ไดผลลัพธเหมือนกันกับผลลัพธที่ไดโดยตรงจากการสมมติให y เปนอนุกรมกําลังเทยเลอรในรูปยกกําลังของ 1x และแสดงสัมประสิทธิ์ 2 1x

ในรูปยกกําลังของ 1x ดวย

20. จงแสดงการใชการทดสอบอัตราสวน เพื่อพิจารณาการลูเขาของผลเฉลยอนุกรมของสมการแอริรอบจุด 0 x สําหรับทุกคา x ; ดูสมการ (5.2.17)

21. สมการแอรมีต (The Hermite Equation) สมการ 2 0, y xy y x

เมื่อ เปนคาคงตัวที่รูคาตามสมการแอรมีต6 ซึ่งเปนสมการที่สําคัญในวิชาฟสิกสเชิงคณิตศาสตรก) จงหาสี่พจนแรกในแตละอนุกรมผลเฉลยที่เปนอิสระเชิงเสนตอกันรอบจุด 0x ข) จงสังเกตวาถา เปนจํานวนเต็มคูที่ไมเปนลบ ซึ่งอาจมีคาเดียวหรือมีคาอื่นอีกของผล

เฉลยอนุกรมรูจบและกลายเปนพหุนาม จงหาผลเฉลยพหุนามสําหรับ 0 , 2, 4, 6, 8 และ 10 และสังเกตวาแตละพหุนามที่พิจารณามีแนวโนมเพิ่มขึ้นสูคาคงตัวการคูณคาหนึ่ง

6 ชารล แอรมีต (Charles Hermite 1822-1901 ) เปนนักวิเคราะหที่มีความชํานาญและเปนนักพีชคณิตชาวฝรั่งเศส เขา

เปนผูเสนอ แอรมีตฟงกชันในป 1864 และในป 1873 เขาไดแสดงวา e เปนจํานวนอดิศัย (ซึ่ง e ไมใชรากของสมการพหุนาม

ที่มีสัมประสิทธิ์ตรรกยะ) ชื่อของเขามีความสัมพันธกับเมทริกซผูกพันซึ่งเรียกวาเมทริกซแฮรมีเตียน

5.3 ผลเฉลยอนุกรมรอบจุดสามัญ, สวน 231

ค) พหุนามแอรมีต ( )nH x นิยามโดยผลเฉลยพหุนามของสมการแอรมีต เมื่อ 2n สําหรับสัมประสิทธิ์ของ nx เปน 2n จงหา 0 5( ), , ( )H x H x

22. กําหนดปญหาคาเริ่มตน 21 , (0) 0y y y

ก) จงแสดงวา siny x เปนผลเฉลยของปญหาคาเริ่มตนนี้ ข) จงหาผลเฉลยของปญหาคาเริ่มตนในแบบของอนุกรมกําลังรอบจุด 0x และจงหา สัมประสิทธิ์ที่ขึ้นอยูกับพจนใน 3x ของอนุกรมนี้ดวย

จงเขียนกราฟของผลรวมยอยในอนุกรมผลเฉลยของปญหาคาเริ่มตนรอบจุด 0x สําหรับโจทยขอ 23-28 และจงเปรียบเทียบกับกราฟที่ไดแสดงดังรูป 5.2.4 และ 5.2.5

23. 0, (0) 1, (0) 0;y xy y y y ดูโจทยขอ 224. 2(2 ) 4 0, (0) 1, (0) 0;x y xy y y y ดูโจทยขอ 625. 2 0, (0) 0, (0) 1;y xy y y y ดูโจทยขอ 726. 2(4 ) 2 0, (0) 0, (0) 1;x y y y y ดูโจทยขอ 1027. 2 0, (0) 1, (0) 0;y x y y y ดูโจทยขอ 428. (1 ) 2 0, (0) 0, (0) 1x y xy y y y

5.3 ผลเฉลยอนุกรมรอบจุดสามัญ,สวน (Series Solutions about an Ordinary Point, Part )

หัวขอที่ผานมาเราไดพิจารณาปญหาของการหาผลเฉลยของสมการ( ) ( ) ( ) 0P x y Q x y R x y …………………. (5.3.1)

เมื่อ , P Q Rและ เปนพหุนาม ในยานใกลเคียงของจุดสามัญ 0x สมมติวาสมการ(5.3.1) มีผลเฉลย ( )y x และ เปนอนุกรมเทยเลอร ที่เปนอนุกรมลูเขาสําหรับ 0| |x x เมื่อ

0

00

( ) ( )nn

n

y x a x x

………………….. (5.3.2)

ซึ่งพบวาสามารถหา na ไดจากการแทน y ดวยอนุกรมจาก(5.3.2) ลงในสมการ (5.3.1) โดยตรงลองพิจารณาวาเราจะใหเหตุผลอยางไร ถาหาก 0x เปนจุดสามัญของสมการ (5.3.1) แลวมี

ผลเฉลยอยูในรูปของสมการ (5.3.2) และควรจะพิจารณาคําถามเกี่ยวกับ ขนาดของชวงหรือรัศมี


แหงการลูเขาของอนุกรมนั้นดวย เพื่อใหเปนการกระทําที่นําไปสูนัยทั่วไปของบทนิยาม ของจุดสามัญที่ชัดเจน ลองพิจารณาสมการ(5.3.1)

สมมติวาสมการ(5.3.1) มีผลเฉลยเปนอนุกรมดังใน (5.3.2) โดยหาอนุพันธสมการ(5.3.2) m ครั้ง และกําหนด x เทากับ 0x จะไดวา

( )0( !) ( )m

mm a x ………………………..(*)

ดวยเหตุนี้การหา na ในอนุกรม (5.3.2) ซึ่งเราจะตองแสดงวา เราสามารถพิจารณา ( )0( )n x

สําหรับ 0,1,2,n จากสมการเชิงอนุพันธ (5.3.1) ได สมมติวา ( )y x เปนผลเฉลยของสมการ (5.3.1) ซึ่งสอดคลองกับเงื่อนไขเริ่มตน

0 0 0 0( ) , ( )y x y y x y ดังนั้นจะได 0 0 1 0 a y a y และ ถาเราสนใจการหาผลเฉลยของสมการ (5.3.1) เพียงอยางเดียวโดยปราศจากการระบุเงื่อนไขเริ่มตน และ 0a กับ 1a ก็ยังคงเปนตัวคงคา เพื่อพิจารณา ( )

0( )n x ที่มีสมนัยกับ na เมื่อ 2,3,n ใหชัดเจนยิ่งขึ้น ลองยอนกลับไปพิจารณาสมการ(5.3.1) ที่มี เปนผลเฉลย จึงไดวา

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0P x x Q x x R x x

สําหรับชวงรอบ 0x โดยที่ P เปนพหุนามที่ไมเปนศูนย ดังนั้นเขียนสมการใหมไดเปน

( ) ( ) ( ) ( ) ( )x p x x q x x .…………………… (5.3.3)

โดยที่ ( )( )

( )

Q xp x

P x และ ( )

( )( )

R xq x

P x และกําหนดสมการ(5.3.3) ให x เทากับ 0x จะได

0 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )x p x x q x x และจากสมการ(*) จะได 0 2( ) 2!x a ,

0 1( )x a และ 0 0( )x a ดังนั้นสมการ (5.3.3) จึงกลายเปน

2 0 1 02! ( ) ( )a p x a q x a .…………………… (5.3.4)

ในการหา 3a สามารถหาไดจากอนุพันธของสมการ (5.3.3) และกําหนดให x เทากับ 0x จะได

03 03! ( ) [ ( ) ] |x xa x p p q q โดยการแทนคา 2a จาก (5.3.4) จะได 3a

ในพจนของ 1a และ 0a คือ

3 0 2 0 0 1 0 03! 2! ( ) [ ( ) ( )] ( )a p x a p x q x a q x a .…………………… (5.3.5)


เนื่องจาก ,P Q และ R เปนพหุนามและ 0( ) 0P x และ ทุกอนุพันธของ p และ q ที่

0x x มีจริง เนื่องจากเราสามารถหาอนุพันธของสมการ (5.3.3) ตอไดเรื่อย ๆ และหาสัมประสิทธิ์ 4 5, ,a a สืบเนื่องจากอนุพันธในอันดับนั้น ๆ ได โดยการกําหนด x ใหเทากับ 0x

ขอสังเกตเกี่ยวกับสมบัติที่สําคัญในการพิจารณา na ก็คือการที่เราสามารถหาอนุพันธของฟงกชัน p และ q ไดตอไปเรื่อย ๆ ซึ่งพอจะเปนเหตุผลใหกับขอสมมติที่วา p และ q เปนฟงกชันที่ไดจากอัตราสวนของพหุนาม และเปนฟงกชันที่หาอนุพันธไดในยานใกลเคียงของ 0x แมวาเงื่อนไขนี้ จะคอนขางออนตอการพิสูจนการลูเขาของผลการกระจายอนุกรม y x ก็ตาม แตในที่นี้เราตองการฟงกชัน p และ q เปนฟงกชันวิเคราะหที่ 0x นั่นคือฟงกชันทั้งสองมีการกระจายอนุกรมเทยเลอร ที่ลูเขาในบางชวงรอบจุด x0 นั่นเอง

0 1 0 0 00

( ) ( ) ( ) ( )n nn n

n

p x p p x x p x x p x x

……….. (5.3.6)

0 1 0 0 00

( ) ( ) ( ) ( )n nn n

n

q x q q x x q x x q x x

………... (5.3.7)

ดวยแนวคิดนี้ เราสามารถนิยามนัยทั่วไปของจุดสามัญและจุดเอกฐานของสมการ

(5.3.1) ไดวา ถา ฟงกชัน Qp

P และ R

qP

เปนฟงกชันวิเคราะหที่จุด 0x แลวเราจะกลาว

วา จุด 0x เปนจุดสามัญ (ordinary point) ของสมการเชิงอนุพันธ (5.3.1) แตถา p หรือ q ไมเปนฟงกชันวิเคราะหที่จุด 0x แลว เราจะกลาววา 0x เปนจุดเอกฐาน(singular point) ของสมการเชิงอนุพันธ (5.3.1)

ลองยอนกลับไปพิจารณาคําถาม เกี่ยวกับชวงแหงการลูเขาของผลเฉลยอนุกรม วิธีการที่เปนไปไดอยางหนึ่งในการคํานวณหาผลเฉลยอนุกรมของแตละปญหา ก็คือการทดสอบการลูเขาของอนุกรมอนันต ในการพิจารณารัศมีแหงการลูเขาของอนุกรม อยางไรก็ตามคําถามนี้สามารถตอบปญหาไดโดยอาศัยทฤษฎีบท ตอไปนี้

ทฤษฎีบท 5.3.1 ถาจุด x0 เปนจุดสามัญ ของสมการเชิงอนุพันธ(5.3.1) ( ) ( ) ( ) 0P x y Q x y R x y

ถา Qp

P และ R

qP

เปนพหุนามวิเคราะห (analytic polynomial) ที่ 0x แลวผลเฉลยทั่วไป

ของสมการ (5.3.1) คือ

0 0 1 1 20

( ) ( ) ( )nn

n

y a x x a y x a y x

……………………. (5.3.8)


เมื่อ 0 1 a aและ เปนตัวคงคา 1 2 y yและ เปนผลเฉลยอนุกรมที่อิสระเชิงเสนและเปนฟงกชันวิเคราะหที่ 0x รัศมีแหงการลูเขาสําหรับแตละอนุกรมผลเฉลย 1 2 y yและ อยางนอยที่สุดจะมีขนาดเทากับคาที่นอยสุดของรัศมีแหงการลูเขาของอนุกรมสําหรับพหุนาม p qและ

จากขอความในทฤษฎีบทยืนยันไดวาสมการ(5.3.1) มีผลเฉลยอนุกรม 1 2 y yและ รอบจุดสามัญ 0x ซึ่งมีรูปแบบเปน

21 2 0( ) 1 ( )y x b x x และ 2

2 0 2 0( ) ( ) ( )y x x x c x x

ทั้งนี้เนื่องจาก 1y เปนผลเฉลยที่สอดคลองกับเงื่อนไขเริ่มตน 1 0 1 0( ) 1, ( ) 0y x y x และ 2y เปนผลเฉลยที่สอดคลองกับเงื่อนไขเริ่มตน 2 0 2 0( ) 0, ( ) 1y x y x ดังนั้นในเมื่อมีการคํานวณหาสัมประสิทธิ์โดยอาศัยผลสืบเนื่องจากการหาอนุพันธของสมการ ซึ่งเปนวิธีที่ดีมากในเชิงทฤษฎี แตในทางปฏิบัติมักจะแทน y ดวยอนุกรมในสมการ (5.3.2) ลงในสมการเชิงอนุพันธ(5.3.1) และพิจารณาสัมประสิทธิ์ที่สอดคลองกับสมการ ดังตัวอยางในหัวขอ 5.2

สิ่งที่เราควรตระหนักก็คือทฤษฎีบทนี้ บอกแตเพียงวาอนุกรมที่หาไดนั้นจะลูเขาสําหรับคา x ในชวง 0 0x x x แตไมไดบอกวาอนุกรมจะไมลูเขาถา x อยูนอกชวงนี้ ดังนั้นในบางครั้ง อาจจะมีคามากกวาระยะทางจาก 0x ไปยังจุดเอกฐานที่ใกลที่สุดก็ได นั่นคือระยะ ในทฤษฎีบท 5.3.1 เปนระยะทางนอยที่สุด

การพิจารณารัศมีแหงการลูเขาของอนุกรม มักจะใชการทดสอบการลูเขาสําหรับอนุกรมอนันต ซึ่งเปนวิธีที่งายตอการคํานวณอนุกรมกําลังสําหรับพหุนาม p และ q แตอยางไรก็ตามยังมีอีกวิธีหนึ่งในการพิจารณาก็คือ เมื่อพหุนาม , P Q Rและ ซึ่งไดเคยแสดงในทฤษฎี

บทของฟงกชันของตัวแปรเชิงซอน ซึ่งหมายถึงอัตราสวนของสองพหุนาม กลาวไววา เมื่อ Q

P

มีการกระจายอนุกรมกําลังลูเขารอบจุด 0 x x ถา 0( ) 0P x โดยที่ P และ Q ไมมีตัว

ประกอบรวม แลว รัศมีแหงการลูเขาของอนุกรมสําหรับ Q

P รอบจุด 0x ระยะทางจาก 0x ไปยัง

จุดที่มีคา 0 P ที่ใกลที่สุด ในการพิจารณาระยะทางเราจะตองคํานึงเสมอวา ( ) 0P x อาจมีรากเชิงซอนได

ตัวอยาง 5.3.1 จงหารัศมีแหงการลูเขาของอนุกรมเทยเลอรสําหรับ 2 1(1 )x รอบจุด 0x

เนื่องจาก 2 12

1(1 )

1x

x

เราสามารถเปลี่ยนเปนอนุกรมกําลัง ไดเปน


2 4 6 22

11 ( 1)

1n nx x X x

x

ดังนั้นอาจแสดงโดยการทดสอบอัตราสวน ไดวา 1 หรืออีกแนวทางหนึ่งเราอาจหาไดโดยให 21 0x ดังนั้นจึงได x i เนื่องจากระยะทางจาก 0 ถึง i หรือ –i อยูในระนาบเชิงซอนซึ่งมีคาเปน | |i หรือ | |i ซึ่งมีคาเทากับ 1 ดังนั้นรัศมีแหงการลูเขาของอนุกรมกําลังรอบจุด 0x คือ 1 Ans.

ตัวอยาง 5.3.2 จงหารัศมีแหงการลูเขาของอนุกรมเทยเลอรสําหรับ ( )x x 2 12 2 รอบจุด 0x และ 1x

1) หารัศมีแหงการลูเขารอบจุด 0x โดยพิจารณาจาก 2 2 2 0x x ดังนั้นจะได 1x i จะเห็นวาระยะทางจาก 0x ถึง 1 i หรือ 1 i อยูในระนาบเชิงซอนซึ่งมีคาเปน |1 |i หรือ |1 |i ซึ่งมีคาเทากับ 2 2 2 21 1 1 ( 1) 2 ดังนั้นรัศมีแหงการลูเขา

ของการกระจายอนุกรมกําลัง 0

nn

n

a x

รอบจุด 0x คือ 2 Ans.

2) หารัศมีแหงการลูเขารอบจุด 1 x โดยพิจารณาจาก 2 2 2 0x x ดังนั้น จะเห็นวาระยะทางจาก 1 x ถึง 1x i หรือ 1 x ถึง 1x i ก็คือ | | 1i ดังนั้น

รัศมีแหงการลูเขาของการกระจายอนุกรมกําลัง 0

( 1)nn

n

b x

รอบจุด 1 x คือ 1 Ans.

ลองยอนกลับไปพิจารณาผลเฉลยอนุกรมของสมการแอริ ในตัวอยาง 5.2.2 และ 5.2.3 ในหัวขอ 5.2 จะเห็นวา เปนผลเฉลยอนุกรมที่ลูเขาสําหรับทุกคา x และ 1x ตามลําดับ เนื่องจากแตละปญหามี 1 P x ซึ่งจะเห็นวาสําหรับทุกคา x ใด ๆ โดยที่ P มีคาที่ไมเปนศูนย ซึ่งเปนไปตามทฤษฎีบท 5.3.1

จากตัวอยางและขอสังเกตขางตนจะเห็นวาผลเฉลยอนุกรมอาจลูเขาสําหรับชวงของ x มากกวาที่แสดงไวในทฤษฎีบท 5.3.1 ดังนั้น ทฤษฎีบท 5.3.1 จึงแสดงใหเห็นเพียงแคขอบเขตลางบนรัศมีแหงการลูเขาของผลเฉลยอนุกรม ซึ่งเปนการแสดงใหเห็นไดดวยผลเฉลยพหุนามเลอช็องดรของสมการเลอช็องดรในตัวอยางตอไป

ตัวอยาง 5.3.3 จงพิจารณาขอบเขตลางสําหรับรัศมีแหงการลูเขาของผลเฉลยอนุกรมรอบจุด 0 x ของสมการเลอช็องดร 2(1 ) 2 ( 1) 0x y xy y เมื่อ เปนคาคงตัว

จากการพิจารณาสมการในโจทยจะเห็นวา


2( ) 1 , ( ) 2 ( ) ( 1)P x x Q x x R x และ ซึ่งตางก็เปนพหุนาม โดยที่ P อาจมีคาเปนศูนยได เมื่อ 1x และ 1 ก็เปนระยะทางจาก

0x ถึง 1x ดังนั้นจึงไดผลเฉลยอนุกรมในรูป 0

nn

n

a x

ลูเขา อยางนอยที่สุด สําหรับ

ทุก x ที่ | | 1x และเปนไปได สําหรับ x ที่มีคาที่โตกวา ซึ่งสามารถแสดงใหเห็นจริงได ถา เปนจํานวนเต็มบวก จะมีผลเฉลยอนุกรมหนึ่งสิ้นสุดภายหลังจํานวนจํากัดของพจน และเนื่องจากเปนผลเฉลยอนุกรมที่ลูเขา ซึ่งไมเฉพาะกับ | | 1x แตสําหรับทุก x ตัวอยางเชน ถา

1 ผลเฉลยพหุนามก็คือ y x ซึ่งพิจารณาขอสรุปเกี่ยวกับสมการเลอช็องดรไดจากโจทยขอ 22 ถึง 29 ของแบบฝกหัด 5.3

ตัวอยาง 5.3.4 จงพิจารณาขอบเขตลางสําหรับรัศมีแหงการลูขาวของผลเฉลยอนุกรม ของสมการเชิงอนุพันธ

2 2(1 ) 2 4 0x y xy x y ……………………. (5.3.9)รอบจุด 0x และรอบจุด 1

2x

จากสมการ (5.3.9) จะเห็นวา ทั้ง ,P Q และ R ตางก็เปนพหุนาม และ P ที่ x i ระยะทางในระนาบเชิงซอนจาก 0x ถึง x i คือ 1 และจาก 1

2x ถึง x i คือ

51 112 4 2

i เนื่องจากกรณีแรกผลเฉลยอนุกรม 0

nn

n

a x

รอบจุด x = 0 เปน

อนุกรมลูเขาที่ | | 1x เปนอยางนอย กรณีหลังผลเฉลยอนุกรม 0

1( )2

nn

nb x

รอบจุด

12

x เปนอนุกรมลูเขาที่ 51| |2 2

x เปนอยางนอย

จากการสังเกต ที่นาสนใจก็คือ เราสามารถสรางสมการ(5.3.9) โดยอาศัยทฤษฎีบท 4.1.1 และทฤษฎีบท 5.3.1 สมมติวา เงื่อนไขเริ่มตน 0(0)y y และ 0(0)y y เนื่องจาก

21 0x สําหรับทุกคา x จากทฤษฎีบท 4.1.1 เราทราบไดวาผลเฉลยของปญหาคาเริ่มตนจะมีเพียงผลเฉลยเดียวบนชวง x หรือกลาวอีกนัยหนึ่งทฤษฎีบท 5.3.1 รับรองไดเพียง

วาผลเฉลยอนุกรมในรูป 0

nn

n

a x

(ที่มี 0 0 1 0,a y a y ) สําหรับ x บนชวง 1 1x การ

มีผลเฉลยเดียวบนชวง x อาจไมมีอนุกรมกําลังรอบจุด 0x ที่ลูเขาสําหรับทุกคา x ก็ได


ตัวอยาง 5.3.5 จงพิจารณาวามีผลเฉลยอนุกรมรอบจุด 0x ของสมการเชิงอนุพันธ

2(sin ) (1 ) 0y x y x y หรือไม ถามีจงหารัศมีแหงการลูเขา

จากโจทยเราจะไดวา ( ) sinp x x และ 2( ) 1q x x เมื่อยอนกลับไปอาศัยวิธีการทางแคลคูลัสจะไดวา sin x มีการกระจายอนุกรมเทยเลอรรอบจุด 0x ซึ่งลูเขาสําหรับทุกคา x และ 2( ) 1q x x ก็ไดชื่อวามีการลูเขาทุกคา x ดวย ดังนั้นจึงมีผลเฉลยอนุกรมที่อยูใน

รูป 0

nn

n

y a x

ที่มี 0a และ 2a เปนตัวคงคา และเปนอนุกรมลูเขาทุกคา x


จากปญหาคาเริ่มตนในโจทยขอ 1 – 4 จงพิจารณา (4)0 0 0( ), ( ) ( )x x x และ ที่จุด 0x ที่

กําหนดให ถา ( )y x เปนผลเฉลยของปญหาในแตละขอ

1. 0; (0) 1, (0) 0y xy y y y

2. (sin ) (cos ) 0; (0), (0) 1y x y x y y y

3. 2 (1 ) 3(ln ) 0; (1) 2, (1) 0x y x y x y y y

4. 20 1(sin ) 0; (0) , (0)y x y x y y a y a

จากสมการเชิงอนุพันธ ในโจทยขอ 5 – 8 จงพิจารณาขอบเขตลางสําหรับรัศมีแหงการลูเขาของผลเฉลยอนุกรมรอบจุด 0x แตละจุดที่กําหนดให

5. 0 04 6 0; x 0, 4y y xy x

6. 20 0 0( 2 3) 4 0; 4, 4, 0x x y xy y x x x

7. 30 0(1 ) 4 0; 0, 2x y xy y x x

8. 00; 1xy y x

9. จงพิจารณาขอบเขตลางสําหรับรัศมีแหงการลูเขาของผลเฉลยอนุกรมรอบจุด 0x ที่กําหนดใหของสมการเชิงอนุพันธแตละสมการในโจทยขอ 1 -14 ของแบบฝกหัด 5.2


10. สมการเชบีเชฟ (The Chebyshev Equation) สมการเชิงอนุพันธเชบีเชฟ8 2 2(1 ) 0x y xy y เมื่อ เปนคาคงตัว 10.1 จงพิจารณาวาผลเฉลยทั้งสองของสมการเปนอิสระเชิงเสนที่อยูในรูปของ x ยกกําลังเมื่อ | | 1x 10.2 จงแสดงวา ถา n โดยที่ n เปนจํานวนเต็มที่ไมเปนลบ แลวจะมีผลเฉลยเปน พหุนามระดับขั้น n ซึ่งเมื่อพหุนามเหลานี้มีสมบัติเปนบรรทัดฐานแท จะเรียกวา พหุนาม เชบีเชฟ ซึ่งเปนพหุนามที่ใชกันมากกับปญหาที่ตองการใชพหุนามในการประมาณคาของฟงกชันที่นิยามบนชวง 1 1x

10.3 จงหาผลเฉลยพหุนามในแตละกรณี 0,1, 2 3n และ

สําหรับสมการในโจทยขอ 11- 14 จงหา 4 พจนแรกที่ไมเปนศูนยของผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธที่เปนอนุกรมกําลังรอบจุดกําเนิด และจงหารัศมีแหงการลูเขาของแตละสมการ11. (sin ) 0y x y 12. 0xe y xy

13. (cos ) 2 0x y xy y 14. ln(1 ) 0xe y x y xy

15. สมมติวา 2 x xและ เปนผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ ( ) ( ) ( ) 0P x y Q x R x y จะบอกไดหรือไมวาจุด 0 x เปนจุดสามัญหรือจุดเอกฐาน

(แนะนํา : ใชทฤษฎีบท 4.1.1 และ บันทึกคาของ x และ 2x ที่ 0 x x = 0 )

สมการอันดับหนึ่ง (First Order Equations) วิธีเชิงอนุกรมที่พอสรุปไดในหัวขอนี้เปนวิธีที่ประยุกตใชโดยตรงกับสมการเชิงอนุพันธเชิงเสนอันดับหนึ่ง ( ) ( ) 0P x y Q x y ที่จุด 0x ถาฟงกชัน /p Q P มีการกระจายอนุกรมเทยเลอรรอบจุด 0x ซึ่งเรียกวาจุดสามัญ รัศมีแหง

การลูเขาของอนุกรม 00

( )nn

n

y a x x

อยางนอยสุดมีคาเทากับรัศมีแหงการลูเขาของอนุกรม

สําหรับ /Q P จากโจทยขอ 16 – 21 จงหาผลเฉลยของสมการที่กําหนดใหในแตละขอ ใหอยูในรูปอนุกรมกําลังของ x และแสดงวา 0a ที่กําหนดเปนตัวคงคาในแตละกรณี แตสําหรับ

8 ปฟนูตี ลโววิช เชบีเชฟ (Pafnuty Lvovich Chebyshev 1821- 1894) เปน ศาสตราจารยแหงมหาวิทยาลัยปเตอรเบอรก เมื่ออายุเพียง 35 ป เปนนักคณิตศาสตรชาวรัสเซียที่มีชื่อเสียงมากในคริสตศตวรรษที่ 19 ซึ่งมหาวิทยาลัยปเตอรเบอรกเปนแหลงผลิตนักคณิตศาสตรโดยตรง จนไดรับการขนานนามวา “ Petersburg school “ เขาไดเริ่มศึกษาพหุนามเชบีเชฟ ประมาณป ค.ศ. 1854 ในสวนที่เปนการตรวจพินิจการประมาณคาของฟงกชันดวยพหุนาม ผลงานของเชบีเชฟที่เปนที่รูจักกันดีคือ ทฤษฎีจํานวนและความนาจะเปน


โจทยขอ 20 และ 21 จะเปนสมการไมเอกพันธุ จงใชวิธีการเชิงอนุกรมทําใหอยูรูปอยางงาย ในกรณีที่เปนไปได จงเปรียบเทียบผลเฉลยอนุกรมกับผลเฉลยที่หาไดโดยวิธีการในบทที่ 2

16. 0y y 17. 0y xy

18. 2

,xy e y ตองการเพียงสามพจนเทานั้น 19. (1 )x y y

20. 2y xy x 21. 1y xy x

สมการเลอช็องดร (The Legendre Equation) โจทยขอ 22 ถึง 29 ทํากับสมการเลอช็องดร9

2(1 ) 2 ( 1) 0x y xy

จากตัวอยาง 5.3.3 ชี้ใหเห็นวาจุด 0x เปนจุดสามัญของสมการนี้ และมีระยะทางจากจุดกําเนิดไปยังจุดที่ใกล 0 ที่สุดของพหุนาม 2( ) 1P x x ซึ่งมีคาเทากับ 1 เนื่องจากรัศมีแหงการลูเขาของอนุกรมผลเฉลยรอบจุด 0x อยางนอยคือ 1 ดังนั้น จะเห็นวาเปนสิ่งจําเปนตอการพิจารณาเพียง 1 เนื่องจากถา 1 แลว แทน (1 ), 0 จะทําใหสมการเลอช็องดร 2(1 ) 2 ( 1) 0x y xy

22. จงแสดงวาผลเฉลยอิสระเชิงเสนของสมการเลอช็องดร สําหรับ | | 1x คือ

11

( ) 1 ( 1)m

m

y x

2( 2)( 4) ( 2 2)( 1)( 3) ( 2 1)

(2 )!mm m

m

x ,

21

( ) ( 1)m

m

y x x

2 1( 1)( 3) ( 2 1)( 2)( 4) ( 2 )

(2 1)!mm m

m

x

23. จงแสดงวา ถา เปนศูนยหรือเปนจํานวนเต็มคูบวก 2n ผลเฉลยอนุกรม 1y ลดลงเปนพหุนามระดับขั้น 2n ที่มีเพียงกําลังของ x เปนจํานวนคู จงหาพหุนามที่สอดคลองกับ

0,2 4 และ

9 อาเดรียง-มารี เลอช็องดร ( Adrien-Marie Legendre 1752-1833 ) ครองตําแหนงตาง ๆ ใน the French

Acade’mie des Sciences จาก 1783 ตอมาเรื่อยๆ งานชิ้นแรกของเขาคือฟลดของฟงกชันเชิงวงรี และ ทฤษฎีจํานวน

สําหรับฟงกชันเลอช็องดร ผลเฉลยของสมการเลอช็องดร ปรากฎครั้งแรกในงานที่เขาศึกษาเรื่องทรงคลายทรงกลม


จงแสดงวา ถา เปนจํานวนเต็มคี่บวก 2 1n ผลเฉลยอนุกรม 2y ลดลงเปนพหุนามระดับขั้น 2 1n ที่มีเพียงกําลังของ x เปนจํานวนคี่ จงหาพหุนามที่สอดคลองกับ

1,3 5 และ

24. พหุนามเลอช็องดร ( )nP x เปนผลเฉลยพหุนามของสมการเลอช็องดร ที่ n ซึ่งสอดคลองกับเงื่อนไข (1) 1nP

(a) จงใชผลลัพธของขอ 23 หาพหุนามเลอช็องดร 0 5( ), , ( )P x P x

(b) จงเขียนกราฟของ 0 5( ), , ( )P x P x เมื่อ 1 1x

(c) จงหาคา x เมื่อ 0 5( ), , ( )P x P x มีคาเปนศูนย

25. ให ( )nP x มีสูตรทั่วไปคือ [ /2]

2

0

1 ( 1) (2 2 )!( )

2 !( )!( 2 )!

knn k

n nk

n kP x x

k n k n k

เมื่อ [n/2] แทน

จํานวนเต็มที่โตที่สุดซึ่งนอยกวาหรือเทากับ n/2 โดยการสังเกตรูปแบบของ ( )nP x เมื่อ n เปนจํานวนคู และ n เปนจํานวนคี่ จงแสดงวา ( 1) ( 1)n

nP

26. พหุนามเลอช็องดร มีบทบาทสําคัญในสาขาวิชาฟสิกสเชิงคณิตศาสตร ตัวอยางเชน การหาผลเฉลยสมการลาปลาซ (พหุนามศักย) ในพิกัดทรงกลม สมการที่พบคือ

2

2

( ) ( )cot ( 1) ( ) 0; 0

d F dFn n F

d d

เมื่อ n เปนจํานวนเต็มบวก จงแสดงวาการเปลี่ยนแปลงของตัวแปร cosx นําไปสูสมการเลอช็องดรที่ n สําหรับ ( ) (arccos )y f x F x

27. จงแสดงวาสมการเลอช็องดร ที่เขียนไดในรูป 2[(1 ) ] ( 1)x y y จะเห็นวามี 2[(1 ) ( )] ( 1) ( )n nx P x n n P x และ 2[(1 ) ( )] ( 1) ( )m mx P x m m P x โดยการคูณสมการแรกดวย ( )mP x และคูณสมการที่สองดวย ( )nP x แลวหาปริพันธทีละสวน จง

แสดงวา 1

1

( ) ( ) 0n mP x P x dx

ถา n m

(สมบัตินี้ของพหุนามเลอช็องดรเปนที่รูจัก วาเปนสมบัติเชิงตั้งฉาก และถา n m สามารถ

แสดงไดวาคาของปริพันธในขอนี้จะเทากับ 2

2 1n )

28. กําหนดพหุนาม f ระดับขั้น n สามารถเขียนในรูปผลรวมเชิงเสนของ 0 1 2, , , , nP P P P :

0

( ) ( )n

k kk

f x a P x

จงใชผลลัพธนี้ แสดงวา 1

1

2 1( ) ( )

2k k

ka f x P x dx

5.4 จุดเอกฐานปรกติ 241

5.4 จุดเอกฐานปรกติ (Regular Singular Points)หัวขอนี้เราจะพิจารณาสมการ

( ) ( ) ( ) 0P x y Q x y R x y ………………… (5.4.1)

ในยานใกลเคียงของจุดเอกฐาน 0x ถาฟงกชัน , P Q Rและ เปนพหุนามที่ไมมีตัวประกอบรวม จุดเอกฐานของสมการ (5.4.1) จุดที่มีคา ( ) 0P x

ตัวอยาง 5.4.1 พิจารณาจุดเอกฐานและจุดสามัญของสมการเบสเซิล ระดับ 2 2 2( ) 0x y xy x y .……………….. (5.4.2)

จะเห็นวาจุด 0x เปนจุดเอกฐาน เนื่องจาก 2( )P x x มีคาเปนศูนย จุดอื่น ๆ ( 0x ) ทั้งหมด เปนจุดสามัญ ของสมการ(5.4.2) Ans.

ตัวอยาง 5.4.2 พิจารณาจุดเอกฐานและจุดสามัญของสมการเลอช็องดร2(1 ) 2 ( 1) 0x y xy y .………………... (5.4.3)

เมื่อ เปนคาคงตัวจะเห็นวาจุดเอกฐานคือจุดที่คาของ 2( ) 1 0P x x ซึ่งก็คือจุด 1x จุดที่มีคานอกเหนือจากนี้ทั้งหมดเปนจุดสามัญของสมการ (5.4.3) Ans.

การใชวิธีการในหัวขอ 5.2 และ 5.3 หาผลเฉลยของสมการ (5.4.1) ในยานใกลเคียงของจุดเอกฐาน x0 นั้นอาจไมเหมาะสมนัก เนื่องจากเราพบวาวิธีการเหลานี้ลมเหลว ในกรณีผลเฉลยของสมการ(5.4.1) ไมไดเปนฟงกชันวิเคราะหที่ x0 ซึ่งสงผลใหเราไมสามารถเขียนแทนดวยอนุกรมเทยเลอรในรูปยกกําลังของ ( 0x x ) ได ดังนั้นการใชการกระจายอนุกรมจึงมีนัยทั่วไปไดมากกวา

เนื่องจากจุดเอกฐานของสมการเชิงอนุพันธใด ๆ มักจะมีจํานวนไมมากนัก จึงทําใหเปนที่สงสัยวาเราไมสนใจมันไดหรือไม เพราะเรารูจักวิธีสรางผลเฉลยรอบจุดสามัญอยูแลวคําตอบก็คือไมเหมาะสม เพราะวาจุดเอกฐานเปนจุดที่ใชพิจารณาลักษณะสําคัญของผลเฉลย จึงอาจจะทําใหเกิดขอสงสัยตามมาอีกมากมายที่มากกวาขอสงสัยในตอนแรก ตามความเปนจริง ผลเฉลยในยานใกลเคียงของจุดเอกฐาน อาจมีขนาดใหญหรือมีลักษณะการเปลี่ยนแปลงขนาดที่รวดเร็ว ดวยเหตุนี้เองยานใกลเคียงของจุดเอกฐานของสมการเชิงอนุพันธ ที่ใชเปนตัวแบบแสดงระบบทางกายภาพ จึงเปนที่นาสนใจที่สุด และมีบอยครั้งที่ภาวะเอกฐานเชิงเรขาคณิตในปญหาทางกายภาพ เชนมุม เสนหักงอ ตางก็มีลักษณะสอดคลองกับจุดเอกฐานในสมการเชิง


อนุพันธ ดังนั้นจึงจําเปนที่จะศึกษาจุดเอกฐานของสมการเชิงอนุพันธ เพื่อเปน l จุดที่ชวย พิจารณาผลเฉลยของสมการไดอยางกระชับและระมัดระวัง

เราสามารถใชวิธีเชิงตัวเลขเปนทางเลือกหนึ่งของวิธีเชิงวิเคราะห และกลาวโดยละเอียด อยางไรก็ตามวิธีเหลานี้อาจไมเหมาะสําหรับที่จะศึกษาผลเฉลยที่ใกลจุดเอกฐาน ดังนั้น ถึงแมวาเราจะยอมรับวิธีการเชิงตัวเลขเปนวิธีที่เปนประโยชนที่จะรวมกับวิธีเชิงวิเคราะหของบทนี้ เพื่อใชพิจารณาลักษณะพฤติกรรมของผลเฉลยที่ใกลจุดเอกฐานก็ตาม

ถาไมมีขอมูลสารสนเทศเกี่ยวกับพฤติกรรมของ /Q P และ /R P ในยานใกลเคียงของจุดเอกฐาน แลวจะเปนการยากที่จะอธิบายลักษณะพฤติกรรมของผลเฉลยของสมการ (5.4.1) ที่ใกลจุด 0x x มันอาจจะเปนไปไดวาผลเฉลยอิสระเชิงเสนสองชุดของสมการ(5.4.1) มีขอบเขตเหลืออยูเพราะ 0x x หรืออาจจะมีเพียงชุดเดียวที่ไมมีขอบเขตในกระบวนการของเปลี่ยนแปลงเพราะ 0x x เพื่อแสดงใหเห็นวาขอความขางตนมีความเปนไปได ลองพิจารณา ตัวอยางตอไปนี้

ตัวอยาง 5.4.3 สมการเชิงอนุพันธ2 2 0x y y ………………….. (5.4.4)

มีจุดเอกฐานที่ 0x อาจพิสูจนไดโดยตรงดวยการแทน 21( )y x x และ 2 ( ) 1/y x x ซึ่ง

ตางก็เปนผลเฉลยที่เปนอิสระเชิงเสนของสมการ (5.4.4) เมื่อ 0 x หรือ 0x นั่นคือ จะเห็นวาจุดกําเนิดไมอยูในชวงของผลเฉลยทั่วไปของสมการ(5.4.4) ซึ่งก็คือ 2 1

1 2y c x c x ผลเฉลย 2

1y c x ของสมการ(5.4.4) จะมีไดที่ 0x โดยความเปนจริงแลวผลเฉลย 21y c x

เปนฟงกชันวิเคราะหที่จุดกําเนิด แมวา ถาสมการ(5.4.4) อยูในรูปมาตรฐาน 2(2 / ) 0y x y ฟงกชัน 2( ) 2 /q x x ซึ่งไมเปนฟงกชันวิเคราะหที่ 0x ก็ตาม ซึ่งเราจําทฤษฎีบท 5.3.1 มาใชไมได หรือกลาวอีกนัยหนึ่งวา ผลเฉลย สิ่งนั่น ผลเฉลย 2 ( ) 1/y x x ไมตองมีการกระจายอนุกรมเทยเลอรรอบจุดกําเนิด (ไมเปนฟงกชันวิเคราะหที่ 0x ) ดังนั้นวิธีการของหัวขอ 5.2 จึงอาจลมเหลวในกรณีนี้

ตัวอยาง 5.4.4 สมการเชิงอนุพันธ2 2 2 0x y xy y ………………….. (5.4.5)

มีจุดเอกฐานที่ x = 0 และสามารถแสดงไดวา 1( )y x x และ 22 ( )y x x ซึ่งตางก็เปนผล

เฉลยที่เปนอิสระเชิงเสนของสมการ (5.4.5) และทั้งคูเปนฟงกชันวิเคราะหที่ 0x แตกระนั้นก็ยังไมถูกตองพอที่จะกําหนดปญหาคาเริ่มตนดวยเงื่อนไขเริ่มตนที่ 0x ได ซึ่งเปนไปไมไดที่


จะทําใหสอดคลองกับเงื่อนไขเริ่มตนโดยไมมีกฎเกณฑที่ 0x เนื่องจากผลรวมเชิงเสนของ x และ 2x เปนศูนยที่ 0x Ans.

มีความเปนไปไดที่จะสรางสมการเชิงอนุพันธดวยจุดเอกฐาน 0x โดยที่ทุกผลเฉลย (ที-่ไมเปนศูนย) ของสมการเชิงอนุพันธ ไมมีขอบเขตที่ 0x x ซึ่งเปนสิ่งสําคัญในการพิจารณา ผลเฉลยของสมการ(5.4.1) วามีลักษณะอยางไร ขณะที่ 0x x ตัวอยางเชน ทําให y มีรูปแบบในลักษณะเดียวกันกับ 1

0( )x x หรือ 1/20| |x x หรือรูปแบบในลักษณะอื่น

หรือไมอยางไรจุดหมายที่ตองการในที่นี้ก็คือ เพื่อขยายวิธีพัฒนาที่มีอยูแลว ในการหาผลเฉลยของ

สมการ(5.4.1) ใกลจุดสามัญเพื่อใหนําไปใชกับยานใกลเคียงของจุดเอกฐาน x0 เพื่อทําใหสิ่งนี้มีการแสดงลักษณะอยางงาย และมีเหตุผลเพียงพอ จึงจําเปนตองเขมงวดเฉพาะในกรณีที่มีภาวะเอกฐานในฟงกชัน /Q P และ /R P ที่ 0x x ไมรุนแรง ซึ่งเรามักจะเรียกกันวา “ภาวะเอกฐานออน” (weak singularities) ณ จุดนี้ จะไมมีความชัดเจนเทาที่ควร วาภาวะเอกฐานที่จะยอมรับไดคืออะไร อยางไรก็ตามไดมีการพัฒนาวิธีการหาผลเฉลย ซึ่งผูอานจะพบเงื่อนไขที่เหมาะสม (ดูโจทย ขอ 21 ในหัวขอ 5.7 ) ซึ่งแสดงลักษณะ "ภาวะเอกฐานออน” คือ

00

( )lim( )

( )x x

Q xx x

P x เปนอันตะ(finite) …………………. (5.4.6)

และ 0

20

( )lim( )

( )x x

R xx x

P x เปนอันตะ …………………. (5.4.7)

หมายความวาภาวะเอกฐาน Q/P อาจไมรุนแรงขึ้นกวา 10( )x x และภาวะเอกฐาน ใน R/P

อาจไมรุนแรงขึ้นกวา 20( )x x นั่นคือถาหากทั้ง

0

( )( )

( )

Q xx x

P x และ 2

0

( )( )

( )

R xx x

P x .....………………. (5.4.8)

ตางก็มีอนุกรมเทยเลอรรอบจุด 0x ลูเขา นั่นคือถาฟงกชันใน(5.4.8)ทั้งคูเปนฟงกชันวิเคราะหที่จุด 0x แลวเราจะเรียกวาจุด 0x วาเปน จุดเอกฐานปรกติ(regular singular point) ของสมการ

(5.4.1) และถาฟงกชัน ( )

( )

Q x

P x และ ( )

( )

R x

P x หรือเพียงฟงกชันใดฟงกชันหนึ่งไมเปนฟงกชัน

วิเคราะหที่จุด 0x แลวเราจะเรียกวาจุด 0x วาเปนจุดเอกฐาน(singular point) ของสมการ (5.4.1) แตถาฟงกชันใน (5.4.8) ทั้งคูหรือเพียงฟงกชันใดฟงกชันหนึ่งไมเปนฟงกชันวิเคราะหที่จุด x0 แลวเราจะเรียกวาจุด 0x วาเปนจุดเอกฐานไมปรกติ(irregular singular point) ของสมการ(5.4.1)


ตอไปจะกลาวถึงวิธีหาผลเฉลยของสมการ(5.4.1) ในยานใกลเคียงของจุดเอกฐานปรกติ การอภิปรายผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธในยานใกลเคียงของจุดเอกฐานไมปรกติ จะมีความซับซอนมากกวา ซึ่งอาจจะพบมากในตําราชั้นสูง

ตัวอยาง 5.4.5 จากตัวอยาง 5.4.2 เราพบวาจุดเอกฐานของสมการเลอช็องดร 2(1 ) 2 ( 1) 0x y xy y

คือจุดที่ 1x ตอไปจะพิจารณาวาจุดเอกฐานเหลานี้เปนจุดเอกฐานปรกติ หรือเปนจุดเอกฐานไมปรกติ

ขั้นแรก ลองพิจารณาที่จุด 1x จะพบวาเมื่อนําเอา 21 x หารตลอดสมการในโจทย

จะไดสัมประสิทธิ์ของ y และ y เปน 2

2

1

x

x

และ 2

( 1)

1 x

ตามลําดับ

ดังนั้นจะได 21 1 1

2 ( 1)( 2 ) 2lim( 1) lim lim 1

1 (1 )(1 ) 1x x x

x x x xx

x x x x

และ

22

21 1 1

( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)lim( 1) lim lim 0

1 (1 )(1 ) 1x x x

x xx

x x x x

เนื่องจากทั้งสองฟงกชันมีลิมิตเปนอันตะ ดังนั้นจุด 1x จึงเปนจุดเอกฐานปรกติ และสามารถแสดงการพิจารณาในทํานองเดียวกันที่จุด 1x และไดวาจุด 1x เปนจุดเอกฐานปรกติดวย

ตัวอยาง 5.4.6 จงพิจารณาจุดเอกฐานแตละจุดของสมการเชิงอนุพันธ 22 ( 2) 3 ( 2) 0x x y xy x y

วาเปนจุดเอกฐานปรกติหรือจุดเอกฐานไมปรกติวิธีทํา จัดสมการใหม โดยนําเอา 22 ( 2)x x หารตลอดสมการในโจทย จะได

2

3 10

2( 2) 2 ( 2)y y y

x x x

นั่นคือ 2

( ) 3( )

( ) 2( 2)

Q xp x

P x x

และ ( ) 1

( )( ) 2 ( 2)

R xq x

P x x x

จะไดจุดเอกฐานคือ

จุดที่ 0x และ 2x พิจารณาจุด 0x จะได

20 0

3lim ( ) lim 0

2( 2)x xxp x x

x

และ 2

0 0

1lim ( ) lim 0

2 ( 2)x xxq x x

x x

เนื่องจากทั้งสองฟงกชันมีลิมิตเปนอันตะ ดังนั้นจุด 0x จึงเปนจุดเอกฐานปรกติ

พิจารณาจุด 2x จะไดวา

22 0 0

3 3lim( 2) ( ) lim( 2) lim

2( 2) 2( 2)x x xx p x x

x x


นั่นคือฟงกชัน ณ จุดนี้ไมมีลิมิต(ไมเปนฟงกชันวิเคราะห)ดังนั้นจึงถือวาจุด 2x เปนจุดเอกฐานไมปรกติ Ans.

ตัวอยาง 5.4.7 จงพิจารณาจุดเอกฐานแตละจุดของสมการเชิงอนุพันธ 2( ) (cos ) (sin ) 0

2x y x y x y

วาเปนจุดเอกฐานปรกติหรือจุดเอกฐานไมปรกติ

วิธีทํา จัดสมการใหม โดยนําเอา 2( )2

x

หารตลอดสมการในโจทย จะได

2 2

cos sin0

( ) ( )2 2

x xy y y

x x

ดังนั้นจะเห็นวามีเพียงจุด 2

x

เทานั้นที่เปนจุดเอกฐาน เพื่อศึกษาจุดนี้เราจึงพิจารณาฟงกชัน

( ) cos( )

2 2 ( )2

Q x xx p x x

P x x

และ2 2

( )( ) sin

2 2 ( )

R xx q x x x

P x

โดยเริ่มจากอนุกรมเทยเลอรสําหรับ cos x รอบจุด 2

x

ซึ่งพบวา2 4cos ( / 2) ( / 2)

11 / 2 3! 5!

x x x

ลูเขาสําหรับทุกคา x นั่นคือ cos x เปน

ฟงกชันวิเคราะหที่ 2

x

ในทํานองเดียวกัน sin x เปนฟงกชันวิเคราะหที่ 2

x ดวย

จึงสรุปไดวา จุด 2

x

เปนจุดเอกฐานปรกติสําหรับสมการในโจทย Ans.


โจทยขอ 1-18 จงหาจุดเอกฐานของสมการที่กําหนดให และพิจารณาวาแตละจุดนั้นเปนจุดเอกฐานปรกติหรือจุดเอกฐานไมปรกติ

1. (1 ) 0xy x y xy

2. 2 2(1 ) 2 4 0x x y xy y

3. 2 (1 ) ( 2) 3 0x x y x y xy

4. 2 2 2(1 ) 4 0xx x y y y

5. 2 2(1 ) (1 ) (1 ) 0x y x x y x y

6. 2 2 2( ) 0,x y xy x y สมการเบสเซิล


7. 2( 3) 2 (1 ) 0x y xy x y

8. 2 3 2 2(1 ) (1 ) 2(1 ) 0x x y x y x y

9. 2( 2) ( 1) 3( 1) 2( 2) 0x x y x y x y

10. (3 ) ( 1) 2 0x x y x y y 11. 2( 2) ( 1) 2 0x x y x y y

12. ) (3cos ) 0xx y e y x y 13. (ln | |) 3 0y x y xy

14. 2 2( 1) ( cos ) 0x xx y e y e x y 15. 2 23(sin ) (1 ) 0x y x y x y

16. (cot ) 0xy y x y 17. (sin ) 4 0x y xy y

18. ( sin ) 3 0x x y y xy

โจทยขอ 19 -20 จงแสดงวาจุด 0x เปนจุดเอกฐานปรกติของแตละสมการในโจทย และจงหา

ผลเฉลยของสมการในรูป 0

nn

na x

จงแสดงวาโจทยขอ 19 มีเพียงผลเฉลยอนุกรมเดียวเทานั้น

ที่ไมเปนศูนย และแสดงวาโจทยขอ 20 ไมมีผลเฉลยอนุกรมที่ไมเปนศูนยเลย และจงพิจารณาวาไมมีกรณีใดเลยที่เปนผลเฉลยทั่วไปในกรณีนี้ดวย ซึ่งเปนตัวอยางหนึ่งของสมการกับจุดเอกฐาน

19. 2 3 0xy y xy 20. 22 3 (1 ) 0x y xy x y

21. ภาวะเอกฐานที่อนันต(Singularities at Infinity) นิยามของจุดสามัญและจุดเอกฐานปรกติที่ใหในหัวขอที่ผานมานํามาใชได ถาจุด 0x เปนอันตะ ในการทํางานขั้นสูงขึ้นไปใน สมการเชิงอนุพันธ บอยครั้งที่มีความจําเปนตองกลาวถึงจุดที่อนันต ซึ่งทําไดโดยเปลี่ยนตัวแปร 1/ x และศึกษาสมการที่สงผลให 0 จงแสดงวาสําหรับสมการเชิงอนุพันธ ( ) ( ) ( ) 0P x y Q x y R x y มีจุดที่อนันตเปนจุดสามัญ ถา

2

1 2 (1/ ) (1/ )

(1/ )

P Q

P

และ

2

(1/ )

(1/ )

R

P

มีการกระจาย

โจทยขอ 22 - 27 จงใชผลลัพธของโจทยขอ 21 ในการพิจารณาวาจุดที่อนันตเปนจุดสามัญ จุดเอกฐานปรกติ หรือจุดเอกฐานไมปรกติ ของสมการที่กําหนดใหในแตละขอ

22. 0y y 23. 2 4 0x y xy y

24. 2(1 ) 2 ( 1) 0x y xy y สมการเลอช็องดร25. 2 2 2( ) 0x y xy x y สมการเบสเซิล 26. 2 0y xy y สมการแอรมีต27. 0y xy สมการแอรริ

5.5 สมการออยเลอร 247

5.5 สมการออยเลอร (Euler Equations)

ตัวอยางงาย ๆ ของสมการเชิงอนุพันธที่มีจุดเอกฐานปรกติ คือสมการออยเลอร หรือ สมการเชิงมิติเทากัน (equidimensional equation)

2[ ] 0L y x y xy y …………………. (5.5.1)เมื่อ และ เปนคาคงตัวจริง จึงแสดงไดโดยงายวา 0x เปนจุดเอกฐานของสมการ(5.5.1) เนื่องจากผลเฉลยของสมการออยเลอร เปนผลเฉลยที่เปนตัวอยางของสมการเชิงอนุพันธทั้งหมดที่มีจุดเอกฐานปรกติ ซึ่งคุมคากับการพิจารณาในรายละเอียดของสมการนี้ กอนที่จะอภิปรายปญหาที่มีนัยทั่วไปมากขึ้น

มีผลเฉลยทั่วไปของสมการ(5.5.1) 1 1 2 2( ) ( )y c y x c y x ในบางชวงที่ไมรวมถึงจุดกําเนิด เมื่อ 1y และ 2y เปนอิสระเชิงเสน เพื่อความสะดวกในขั้นแรกเราจะพิจารณาชวง

0x แลวจึงจะขยายผลลัพธออกไปยังชวง 0x ในตอนหลัง

ขั้นแรก สมมติวาสมการ(5.5.1) มีผลเฉลยอยูในรูป ry x .…………………. (5.5.2)

จะได 1( ) rx rx และ 2( ) ( 1) rx r r x ดังนั้นเมื่อนําไปแทนลงในสมการ(5.5.1) จะได

2[ ] ( ) ( )L x x x x x x

[ ( 1) ]rx r r r …………………. (5.5.3)

ถา r เปนรากของสมการกําลังสอง ( ) ( 1) 0F r r r r ………………….. (5.5.4)

แลว [ ]L x เปนศูนย และ ry x เปนผลเฉลยของสมการ(5.5.1) รากของสมการ (5.5.4) คือ2

1 2

( 1) ( 1) 4,

2r r

…………………... (5.5.5)

และ 1 2( ) ( )( )F r r r r r สําหรับสมการเชิงเสนอันดับสองที่มีสัมประสิทธิ์เปนคาคงตัว เนื่องจาก รากของสมการกําลังสอง (r) มีคาที่เปนไปไดตางกันสามกรณี คือเปนจํานวนจริงที่มีคาตางกัน เปนจํานวนจริงที่มีคาเทากัน และเปนจํานวนเชิงซอนสังยุค ดังนั้นจึงแยกพิจารณาผลเฉลยของสมการ (5.5.1) เปน 3 กรณี ดังนี้


กรณีที่ 1 รากเปนจํานวนจริงที่มีคาตางกัน (Real, Distinct Roots)ถา ( ) 0F r มีรากเปนจํานวนจริง 1 2r rและ โดยที่ 1 2r r แลวจะมี 1

1( )r

y x x และ 2

2 ( )r

y x x เปนผลเฉลยของสมการ(5.5.1) เนื่องจาก 1 2 1 21

2 1( , ) ( )r r r r

W x x r r x

เปน คาที่มีอยูจริง สําหรับ 1 2r r และ 0x จะพบวาผลเฉลยทั่วไปของสมการ (5.5.1) คือ1 2

1 2 ,r r

y c x c x 0x …………………………. (5.5.6)หมายเหตุ ถา r ไมเปนจํานวนตรรกยะ แลว lnr r xx e

ตัวอยาง 5.5.1 จงหาผลเฉลยของสมการ 22 3 0, 0x y xy y x …………………………. (5.5.7)แทนคา ry x ลงในสมการ (5.5.7) จะได

2[2 ( 1) 3 1] (2 1) (2 1)( 1) 0r r rx r r r x r r x r r

แกสมการจะได 11 22 1r r และ ดังนั้นผลเฉลยทั่วไปของสมการ(5.5.7) คือ

1/2 11 2 , 0y c x c x x …………………………... (5.5.8)

กรณีที่ 2 รากเปนจํานวนจริงที่มีคาเทากัน(Real, Equal Roots)ถา ( ) 0F r มีรากเปนจํานวนจริง 1 2r rและ โดยที่ 1 2r r แลวจะไดผลเฉลยแรก

เปน 11( )

ry x x และสามารถหาผลเฉลยที่สองไดจากวิธีลดทอนอันดับ แตจุดประสงคที่

อภิปรายตอไปก็คือการพิจารณาวิธีทางเลือก เนื่องจาก 1 2r r จะได 21( ) ( )F r r r ดังนั้น

ในกรณีนี้จึงไมเพียงแต 1( ) 0F r แตจะมี 1( ) 0F r ดวยเชนกัน ซึ่งทําใหหาอนุพันธในสมการ(5.5.3) สอดคลองกับ r และกําหนดให 1r r แลวหาอนุพันธของสมการ (5.5.3) ที่สอดคลองกับ r จะได

[ ] [ ( )]rL x x F rr r

สับเปลี่ยนการหาอนุพันธของ ( )F r ที่ใหสอดคลองกับ x กับการหาอนุพันธที่สอดคลองกับ r

และเนื่องจาก lnr

rxx x

r

จะไดวา2

1 1[ ln ] ( ) ln 2( )r rL x x r r x x r r x ………………... (5.5.9)ทางขวามือของสมการ (5.5.9) เปนศูนยเมื่อ 1r r จึงได

12 ( ) ln ,

ry x x x 0x .…………………............ (5.5.10)

เปนผลเฉลยที่สองของสมการ (5.5.1) ซึ่งสามารถแสดงไดโดยงายวา 1 1 1

2 1

2 1( , ln ) ( )r r r

W x x x r r x ดังนั้นจึงได 1 1 ln

r rx x xและ เปนอิสระเชิงเสนสําหรับ

0x และไดผลเฉลยทั่วไปของสมการ(5.5.1) เปน


11 2( ln ) ,

ry c c x x 0x …………………............. (5.5.11)

ตัวอยาง 5.5.2 จงหาผลเฉลยของสมการ 2 5 4 0, 0x y xy y x ………………………….. (5.5.12)

แทนคา ry x ลงในสมการ (5.5.12) จะได2[2 ( 1) 3 1] [ ( 1) 5 4] ( 4 4) ( 2)( 2) 0r r r rx r r r x r r r x r r x r r

แกสมการจะได 1 2 2r r ดังนั้นผลเฉลยทั่วไปของสมการ(5.5.12) คือ2

1 2( ln ) ,y c c x x 0x …………………………. (5.5.13)

กรณีที่ 3 รากเปนจํานวนเชิงซอนสังยุค(Complex Roots ; Conjugates)กรณีนี้ ( ) 0F r เปนสมการที่มีรากเปนจํานวนเชิงซอนสังยุค 1 2r rและ โดยที่

1 2r i r i และ เมื่อ 0 ซึ่งอาจอธิบายความหมายของ rx เมื่อเปนจํานวนเชิงซอน จากที่ไดทราบแลววา

lnr r xx e …………………………. (5.5.14)เมื่อ 0 x และ r เปนจํานวนจริง เราจึงใชสมการนี้นิยาม rx เมื่อ r เปนจํานวนเชิงซอน ซึ่งจะได

( )ln ln ln lni i x x i x r i xx e e e x e [cos( ln ) sin( ln )],x x i x 0 x ……….. (5.5.15)

โดยนิยาม rx เมื่อ r เปนจํานวนเชิงซอน ซึ่งแสดงไดโดยอาศัยใชกฎทางพีชคณิตและแคลคูลัสเชิงอนุพันธ และดวยเหตุนี้จึงเห็นไดวา 1 2

r rx xและ เปนผลเฉลยของสมการ(5.3.1)

ดังนั้นผลเฉลยทั่วไปของสมการ(5.3.1)จึงเปน 1 2

r i r iy c x c x …………………………. (5.5.16)

ซึ่งอาจไมดีนักในการแสดงวาฟงกชัน ix และ ix มีคาเชิงซอน และเนื่องจากเราไดทราบมาแลววา สมการเชิงอนุพันธอันดับสองที่มีสัมประสิทธิ์เปนคาคงตัว เมื่อมีรากของสมการลักษณะเฉพาะเปนจํานวนเชิงซอนนั้น โดยอาศัยเอกลักษณของออยเลอร(Euler identity) ที่วา

cos sinie i สงผลใหมีคําตอบเปนคาจริง ซึ่งอาศัยแนวทางเดียวกันนี้ทําใหไดวา สวนจริงและสวนจินตภาพของ r ix เขียนใหมไดเปน

cos( ln ) sin( ln )x x x x และ ………………... (5.5.17)เปนผลเฉลยของสมการ(5.5.1) อาศัยการคํานวณโดยตรงจะได

2 1[ cos( ln ), sin( ln )]W x x x x x


y

ดังนั้นผลเฉลยทั้งสองจึงเปนอิสระเชิงเสน สําหรับ x > 0 และไดผลเฉลยทั่วไปของสมการ(5.5.1) คือ

1 2cos( ln ) sin( ln ), 0y c x x c x x x ..……………...... (5.5.18)

ตัวอยาง 5.5.3 จงหาผลเฉลยของสมการ 2 0x y xy y …………………. (5.5.19)

แทนคา ry x ลงในสมการ (5.5.19) จะได2[ ( 1) 1] [ 1) 0r rx r r r x r

แกสมการจะได r i ดังนั้นผลเฉลยทั่วไปของสมการ(5.5.19) คือ

1 2cos(ln ) sin(ln ), 0y c x c x x …………………. (5.5.20)

ลองมาพิจารณาลักษณะเชิงปริมาณของผลเฉลยของสมการ(5.5.1) ที่ใกลจุดเอกฐาน 0x ซึ่งขึ้นอยูกับธรรมชาติของเลขชี้กําลัง 1r และ 2r ถา r เปนจํานวนจริงที่เปนบวก

และเมื่อ x มีคาเขาใกลศูนยผานทางคาบวก แลวจะเห็นวา 0rx อีกกรณีหนึ่งคือ ถา r เปนจํานวนจริงที่เปนลบ แลว rx กลายเปนจํานวนที่ไมมีขอบเขต แตในขณะที่ 0r จะได

1rx ซึ่งไดแสดงลักษณะของผลเฉลยที่ r มีคาตางกันหลาย ๆ คาในรูป 5.5.1

ถา r เปนจํานวนเชิงซอน แลว cos( ln )rx x เปนตัวอยางของผลเฉลย ซึ่งเห็นวาฟงกชันผลเฉลยกลายเปนฟงกชันที่ไมมีขอบเขต หรือเขาใกลศูนย ถาสวนจริง เปนจํานวนลบหรือจํานวนบวก ตามลําดับ ซึ่งมีลักษณะแกวงกวัด ที่รวดเร็วในขณะที่ 0x ลักษณะดังกลาวนี้แสดงใหเห็นไดในรูป 5.5.2 และ รูป 5.5.3 สําหรับ และ ที่เลือกบางคา ถา

0 จะเห็นวาชวงกวางของการแกวงกวัดคงตัว

รูป 5.5.1 ผลเฉลยของสมการออยเลอร; กรณีรากเปนจํานวนจริง

x

1

1

2

20. 5 1. 5

0y x

1 / 2y x

3 / 2y x

3 / 2y x

1 / 2y x


สุดทาย ถามีรากซ้ํากัน แลวจะมีผลเฉลยหนึ่งอยูในรูป lnrx x ซึ่งมีแนวโนมเขาใกลศูนย ถา 0r และกลายเปนคาที่มีขอบเขตเมื่อถา 0r ซึ่งไดแสดงตัวอยางในรูป5.5.4

ภาคขยายของผลเฉลยของสมการ (5.5.1) ไปยังชวง 0x สามารถดําเนินการไดโดยวิธีตรงเชิงสัมพัทธ ที่ไดพิจารณากับผลเฉลยในชวง 0x เปนการยากที่จะทําความเขาใจในความหมายของ rx เมื่อ x เปนจํานวนลบ และ r ไมใชจํานวนเต็ม ซึ่งคลายกับที่ไมนิยาม เมื่อ 0x ผลเฉลยของสมการออยเลอรเมื่อ 0x สามารถแสดงไดอยางมีเหตุผลเมื่อ 0x

แตโดยทั่วไปจะเปนคาเชิงซอน ดังเชนในตัวอยาง 5.5.1 ผลเฉลย /x1 2 เปนคาที่จินตนาการขึ้น สําหรับ 0x

มีความเปนไปไดที่จะใหผลเฉลยของสมการออยเลอร(5.5.1) เปนผลเฉลยคาจริงในชวง x < 0 ซึ่งทําไดโดยเปลี่ยนตัวแปร x เมื่อ 0 และให ( )y u แลวจะได

,dy du d du

dx d dx d

2 2

2 2.

d y d du d d u

dx d d dx d

....………… (5.5.21)

ดังนั้นสมการ(5.5.1) เมื่อ 0 x จึงเขียนไดรูป

รูป 5.5.4 ผลเฉลยของสมการออยเลอร; กรณีรากเปนจํานวนจริงที่ซ้ํากนั

รูป 5.5.3 ผลเฉลยของสมการออยเลอร; กรณีรากเปนจํานวนเชิงซอนที่มสีวนจริงเปนจํานวนบวก

รูป 5.5.2 ผลเฉลยของสมการออยเลอร; กรณีรากเปนจํานวนเชิงซอนที่มสีวนจริงเปนจํานวนลบ


22

20, 0

d u duu

d d

......……….. (5.5.22)

แตที่เปนปญหาแทจริงก็คือ เราเพิ่งจะไดหาคําตอบจากสมการ(5.5.6), (5.5.11) และ (5.5.18) ซึ่งได

1 2

1

1 2

1 2

1 2

( ) ( ln )

cos( ln ) sin( ln )

r r

r

c c

u c c

c c

…………… (5.5.23)

ซึ่งเปนไปตามคาของ ( ) 0F r โดยที่ ( ) ( 1)F r r r r และอาจมีรากเปนจํานวนจริงที่ตางกัน, เปนจํานวนจริงที่เทากัน หรือเปนจํานวนเชิงซอนสังยุค เมื่อแทน ดวย x ในสมการ (5.5.23 )จะได u อยูในเทอมของ x เราสามารถรวมผลลัพธสําหรับ 0 x และ 0x ซึ่งทราบอยูแลววา x x เมื่อ 0 x และ x x เมื่อ 0x ดังนั้นจึงเห็นไดวาเราเพียงแทน x ดวย x ในสมการ (5.5.6), (5.5.11) และ (5.5.18) จะไดผลเฉลยที่คาจริงที่สมบูรณ ในชวง ใด ๆ ที่ไมมีจุดกําเนิดรวมอยูดวย (ดูไดจากโจทยขอ 30 และ 31 ของแบบฝกหัด5.5) ซึ่งไดสรุปผลลัพธเหลานี้ไวในทฤษฎีบท 5.5.1

ทฤษฎีบท 5.5.1 ผลเฉลยทั่วไปของสมการออยเลอร (5.5.1) 2 0x y xy y

คือ คาที่ไดจากการพิจารณาราก 1r และ 2r ของสมการ ( ) ( 1) 0F r r r r

ในชวงใด ๆ ที่ไมมีจุดกําเนิดรวมอยูดวย ดังนี้ ถารากสมการเปนจํานวนจริงที่ตางกัน แลว

1 21 2| | | |

r ry c x c x .…………….. (5.5.24)

ถารากสมการเปนจํานวนจริงที่เทากัน แลว1

1 2( ln | |) | |r

y c c x x ……………….. (5.5.25)ถารากสมการเปนจํานวนเชิงซอน ( 1 2, r r มีคาเทากับ i ) แลว

1 2[ cos( ln ) sin( ln )]y x c x c x ……………….. (5.5.26)

ผลเฉลยของสมการออยเลอรที่อยูในรูป 2

0 0( ) ( ) 0x x y x x y y ……………….. (5.5.27)จะมีลักษณะคลายกับที่กลาวถึงในทฤษฎีบท 5.5.1 ถาผลเฉลยหนึ่งที่เราพบวาอยูในรูป

0( )ry x x แลว ผลเฉลยทั่วไปจะอยูในรูปแบบดังในสมการ (5.5.24) หรือ (5.5.25) หรือ (5.5.26) อยางใดอยางหนึ่ง ซึ่งหาไดโดยอาศัยการเปลี่ยนตัวแปรอิสระ 0 t x x


ลักษณะที่นาสนใจมากอยางหนึ่งสําหรับสมการเชิงอนุพันธอันดับสองทั่วไปที่มีจุดเอกฐานปรกติมีขอคลายคลึงกับสมการออยเลอรมาก ซึ่งจะไดพิจารณากรณีนี้ในหัวขอถัดไป


จงพิจารณาผลเฉลยทั่วไปของแตละสมการเชิงอนุพันธที่กําหนดใหในโจทยขอ 1 -12 วามีคาถูกตองสมบูรณในชวงใด ๆ ที่ไมมีจุดเอกฐานรวมอยูดวย1. 2 4 2 0x y xy y 2. 2( 1) 3( 1) 0.75 0x y x y y

3. 2 3 4 0x y xy y 4. 2 3 5 0x y xy y

5. 2 0x y xy y 6. 2( 1) 8( 1) 12 0x y x y y

7. 2 4 0x y xy y 8. 22 4 6 0x y xy y

9. 2 5 9 0x y xy y 10. 2( 2) 5( 2) 8 0x y x y y

11. 2 2 4 0x y xy y 12. 2 4 4 0x y xy y

จงหาผลเฉลยของปญหาคาเริ่มตนที่กําหนดใหในโจทยขอ 13 -16 เขียนกราฟพรอมกับอธิบายลักษณะของผลเฉลย เมื่อ 0x

13. 22 3 0; (1) 1, (1) 4x y xy y y y

14. 24 8 17 0; (1) 2, (1) 3x y xy y y y

15. 2 3 4 0; ( 1) 2, ( 1) 3x y xy y y y

16. 2 3 5 0; (1) 1, (1) 1x y xy y y y

17. จงหาคา ทุกคาที่ทําใหทุกผลเฉลยของ 2 52 0x y xy y มีคาเขาใกลศูนย เมื่อ

0x


0x

19. จงหาคา ที่ทําใหผลเฉลยของปญหาคาเริ่มตน 2 2 0; (1) 1, (1)x y y y y มี ขอบเขต เมื่อ 0x


x


21. จากสมการออยเลอร 2 0x y xy y จงหาเงื่อนไขของ และ ที่ทําใหผลเฉลยของสมการเปนไปตามขอกําหนดในแตละขอตอไปนี้

(a) ทุกผลเฉลยเขาใกลศูนย เมื่อ 0x

(b) ทุกผลเฉลยมีขอบเขต เมื่อ 0x

(c) ทุกผลเฉลยเขาใกลศูนย เมื่อ x

(d) ทุกผลเฉลยมีขอบเขต เมื่อ x

(e) ทุกผลเฉลยมีขอบเขต เมื่อ 0x และ x

22. จงใชวิธีลดอันดับแสดงวา ถา 1r เปนรากที่ซ้ํากันของ ( 1) 0r r r แลว 1r

x และ 1 ln

rx x เปนผลเฉลยของสมการ 2 0x y xy y สําหรับ 0x

23. การแปลงเปนสมการที่มีสัมประสิทธิ์เปนคาคงตัว สามารถแปลงสมการออยเลอร 2 0x y xy y ลดรูปเปนสมการที่มีสัมประสิทธิ์เปนคาคงตัว ดวยการเปลี่ยน ตัวแปรอิสระจาก x เปน z โดยให zx e หรือ lnz x และพิจารณาเฉพาะชวง 0x

(a) จงแสดงวา 1dy dy

dx x dz และ

2 2

2 2 2 2

1 1d y d y dy

dx x dx x dz

(b) จงแสดงวา สมการออยเลอรคือ 2

2( 1) 0

d y dyy

dz dz

กําหนด 1r และ 2r เปนรากของ 2 ( 1) 0r r จงแสดงวา (c) ถา 1r และ 2r เปนจํานวนจริงที่ตางกัน แลว

1 2 1 21 2 1 2

r z r z r ry c e c e c x c x

(d) ถา 1r และ 2r เปนจํานวนจริงที่เทากัน แลว1 1

1 2 1 2( ) ( ln )r z r

y c c z e c c x x

(e) ถา 1r และ 2r เปนจํานวนเชิงซอนสังยุค 1r i แลว 1 2 1 2[ cos( ) sin( )] [( cos( ln ) sin( ln )]zy e c z c z x c x c x

จงใชวิธีการในขอ 23 หาผลเฉลยของสมการ ที่กําหนดใหในโจทยขอ 24-29 เมื่อ x > 024. 2 2 0x y y 25. 2 3 4 lnx y xy y x

26. 2 7 5x y xy y x 27. 2 22 2 3 2lnx y xy y x x

28. 2 4 sin(ln )x y xy y x 29. 23 12 9 0x y xy y

5.6 ผลเฉลยอนุกรมใกลจุดเอกฐานปรกต,ิ สวน I 255

30. จงแสดงวา ถา 2( ) 0L y x y xy y แลว [( ) ] ( ) ( )r rL x x F r สําหรับทุกคา 0x เมื่อ ( ) ( 1)F r r r r และแสดงวา ถา 1 2r r เปนรากของ

( ) 0F r แลวผลเฉลยอิสระเชิงเสนของ ( ) 0L y สําหรับ 0x คือ 1 2( ) ( )r r

x x และ

31. สมมติวา 1 2( ) ( )r r

x x และ เปนผลเฉลยของสมการออยเลอรสําหรับ 0 x เมื่อ 1 2r r

และ 1r เปนจํานวนเต็ม มีผลเฉลยทั่วไปของสมการ(5.5.24) ในชวงใด ๆ ที่ไมมีจุดกําเนิดรวมอยูดวยคือ 1 2

1 2

r ry c x c x จงแสดงวา ผลเฉลยทั่วไปนี้สามารถเขียนไดในรูป

1 21 2 | |

r ry k x k x

(แนะนํา: เลือกคาคงตัวที่เหมาะสมหนึ่งคาแสดงวาเปนขอความเดียวกันสําหรับ 0 x และเลือกคาคงตัวที่ตางจากเดิมที่แสดงวาเปนขอความเดียวกันสําหรับ 0x )

5.6 ผลเฉลยอนุกรมใกลจุดเอกฐานปรกติ, สวน (Series Solutions near a Regular Singular Point, Part ) หัวขอนี้จะพิจารณาคําถามในการหาผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงเสนอันดับสอง

( ) ( ) ( ) 0P x y Q x y R x y ..………………. (5.6.1)ในยานใกลเคียงของจุดเอกฐาน 0 x x

เพื่อความสะดวกในการพิจารณา เราจะสมมติให 0 0x และถา 0 0x เราจะแปลงรูปสมการไปเปนรูปที่มีจุดเอกฐานปรกติที่จุดกําเนิด โดยให 0x x t จากขอเท็จจริงที่วา 0x

เปนจุดเอกฐานปรกติของสมการ (5.6.1) ซึ่งหมายความวา

( )( )

( )

xQ xxp x

P x และ

2 ( )( )

( )

x R xxq x

P x มีลิมิตเปนอันตะเมื่อ 0x

และเปนฟงกชันวิเคราะหที่ 0x นั่นคือพหุนามดังกลาวขางตนมีการกระจายอนุกรมกําลังลูเขาอยูในรูป

2

0 0

( ) , ( )n nn n

n n

xp x P x x q x q x

..………………. (5.6.2)

x บนชวงบางชวงรอบจุดกําเนิด เมื่อ 0 เพื่อใหขนาด ( )xp x และ 2 ( )x q x ปรากฏในสมการ (5.6.1) เพื่อความสะดวกจึงนําเอา ( )P x หารตลอดสมการ (5.6.1) แลวคูณดวย

2x อีกครั้งหนึ่งจะได 2 2[ ( )] [ ( )] 0x y x xp x y x q x y ……………….. (5.6.3)

หรือ2

0 1 0 1( ) ( ) 0n nn nx y x p p x p x y q q x q x y …… (5.6.4)

256 บทที่ 5 ผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธเชิงเสนอันดับสอง

ถาทุกสัมประสิทธิ์ n np qและ เปนศูนย ยกเวนคาที่อาจเปนไปได

0 0

( )lim

( )x

xQ xp

P x และ

2

0 0

( )lim

( )x

x R xp

P x ……………….. (5.6.5)

แลวสมการ (5.6.4) ลดรูปเปนสมการออยเลอรในรูป 2

0 0 0x y p xy q y .………………...(5.6.6)สมการออยเลอรนี้เราไดกลาวถึงแลวในหัวขอที่ผานมา ซึ่งโดยทั่วไปอาจมีบาง n np qและ ,

1n ที่มีคาไมเปนศูนย อยางไรก็ตามลักษณะเฉพาะที่สําคัญของผลเฉลยของสมการ(5.6.4) คือการมีผลเฉลยเหมือนกับผลเฉลยของสมการออยเลอร (5.6.6) ซึ่งเขียนแสดงในรูป 1

nnp x p x และ 1

nnq x q x และคอนขางซับซอนในการคํานวณ

เพื่อใหงายตอการทําความเขาใจเนื้อหาในหัวขอนี้ จึงจะจํากัดขอบเขตของการพิจารณาในชวง 0x เพื่อใหสามารถควบคุมคาบนชวง 0x สําหรับสมการออยเลอร และเปลี่ยนตัวแปร x แลวหาผลเฉลยของสมการสําหรับ 0

เนื่องจากสัมประสิทธิ์ในสมการ (5.6.4) คือ“สัมประสิทธิ์ออยเลอร” (Euler coefficients) คูณกับอนุกรมกําลัง ซึ่งโดยปกติควรตองหาผลเฉลยในรูป “ผลเฉลยออยเลอร” (Euler solutions) คูณกับอนุกรมกําลัง ดังนั้นเราจึงสมมติวา

0 10 0

( )r n r n r nn n n

n n

y x a a x a x x a x a x

………… (5.6.7)

เมื่อ 0 0a หรือกลาวอีกนัยหนึ่งวา r เปนเลขชี้กําลังของพจนแรกในอนุกรม และมี 0a เปนสัมประสิทธิ์ ในที่นี้เราจะพิจารณาเฉพาะสวนที่เปนผลเฉลย ดังนี้

1) คาของ r สําหรับสมการ (5.6.1) ที่มีผลเฉลยอยูในรูป (5.6.7)2) ความสัมพันธเวียนเกิดสําหรับสัมประสิทธิ์ an

3) รัศมีแหงการลูเขาของอนุกรม 0

nn

n

a x

ทฤษฎีทั่วไปมักจะเกิดขึ้นเนื่องจาก โฟรเบนิอุส10 โดยตรง และดูเหมือนวาทําใหมีความซับซอน ในที่นี้จะยังไมเสนอเปนทฤษฎีโดยตรง แตจะใชขอสมมติงาย ๆ ในหัวขอนี้และสองหัวขอถัดจากนี้ไป วามีผลเฉลยอยูในรูปของอนุกรมกําลังที่มีรัศมีแหงการลูเขาไมเปนศูนย และ

10 เฟอรดินันด เกออรก โฟรเบนิอุส (Ferdinand Georg Frobenius 1849-1917) นักคณิตศาสตรชาวเยอรมัน และเปน

ศาสตราจารยที่มหาวิทยาลัยแหงเบอรลิน โฟรเบนิอุส เปนผูเสนอวิธีการสรางผลเฉลยรอบจุดเอกฐานปรกติ ในป 1874

ผลงานของเขาเปนที่รูจักกันมากในทางพีชคณิต ซึ่งถือไดวาเขาเปนผูหนึ่งที่กลาวไดวา มีสวนสรางความสําคัญของทฤษฎี

เมทริกซและเปนผูพัฒนาทฤษฎีกรุปในชวงแรก ๆ


เนนแสดงใหเห็นวา จะพิจารณาสัมประสิทธิ์ในอนุกรมกันอยางไร เพื่อเปนตัวอยางแสดงวิธีของ โฟรเบนิอุส กอนอื่นลองพิจารณาตัวอยางตอไปนี้

ตัวอยาง 5.6.1 จงหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ 22 (1 ) 0x y xy x y …………………. (5.6.8)

จากโจทยจะเห็นวา 0x เปนจุดเอกฐานปรกติของสมการ(5.6.8)และพบวา 12( )xp x และ

2 12( ) xx q x ดังนั้น 1 1 1

0 0 12 2 2, ,p q q และทุกคาอื่น ๆ ของ p และ q เปนศูนย ดังนั้นจากสมการ(5.6.6) สมการออยเลอร ที่สอดคลองกับสมการ(5.6.8) คือ

22 0x y xy y …………………. (5.6.9)หาผลเฉลยของสมการ(5.6.8) โดยสมมติวามีผลเฉลยอยูในรูปของ (5.6.7) แลวหา y และ y ไดในรูป

1

0

( ) r nn

n

y a r n x

........…………… (5.6.10)

และ 2

0

( )( ) 1) r nn

n

y a r n r n x

.....……………... (5.6.11)

แทน ,y y และ y ลงในสมการ(5.6.8) จะได

2

0

2 (1 ) 2 ( )( 1) r nn

n

x y xy x y a r n r n x

0

( ) r nn

n

a r n x

0 0

r n r nn n

n n

a x a x

...……………….. (5.6.12)

พจนสุดทายในสมการ(5.6.12) เขียนใหมได 11

r nn

n

a x

และโดยการรวมพจนในสมการ

(5.5.12) จะได 202 (1 ) [2 ( 1) 1] rx y xy x y a r r r x

11

{[2( )( 1) ( ) 1] } 0r nn n

n

r n r n r n a a x

..…………….. (5.6.13)

ถา สมการ (5.6.13) สอดคลองกับทุก x สัมประสิทธิ์ของแตละพจนยกกําลังของ x ในสมการ (5.6.13) จะตองเปนศูนย จากสัมประสิทธิ์ของ rx เมื่อ 0 0a จะได

22( 1) 1 2 3 1 ( 1)(2 1) 0r r r r r r …………..….. (5.6.14)จะเรียกสมการ(5.6.14) วาเปนสมการดัชนี (indicial equation) ของสมการ(5.6.8) และสังเกตเห็นวา สมการพหุนามที่กําหนดใหเปนสมการออยเลอร (5.6.9) ที่สัมพันธกับสมการ(5.6.8) และรากของสมการดัชนีคือ

11 2 21, r r ……………….. (5.6.15)


คาของสมการ r เหลานี้เราจะเรียกวา เลขชี้กําลังแหงภาวะเอกฐาน(exponents at singularity) สําหรับจุดเอกฐานปรกติ 0x ซึ่งจะใช เลขชี้กําลังแหงภาวะเอกฐานนี้ เปนตัวแสดงลักษณะเชิงปริมาณของผลเฉลยของสมการ(5.6.7) ในยานใกลเคียงจุดเอกฐาน

เมื่อยอนกลับไปพิจารณาสมการ(5.6.13) และกําหนดใหสัมประสิทธิ์ของ r nx มีคา เปนศูนย จะไดความสัมพันธ

1[2( )( 1) ( ) 1] 0n nr n r n r n a a ……………….. (5.6.16)หรือ

122( ) 3( ) 1

nn

aa

r n r n

1 , 1

[( ) 1][2( ) 1]na

nr n r n

………. (5.6.17)

เราจะใชความสัมพันธเวียนเกิด(5.6.17) สําหรับคารากสมการดัชนี 1r และ 2r แตละคา หาเซตของสัมประสิทธิ์ 1 2, ,a a

เมื่อ 1 1r r สมการ(5.6.17) จะเปน 1 , 1(2 1)

nn

aa n

n n

ดังนั้น 01 ,

3 1

aa

01

2 5 2 (3 5)(1 2)

aaa

และ 023 7 3 (3 5 7)(1 2 3)

aaa

ดังนั้นจึงไดรูปทั่วไปเปน 0

( 1), 1

[3 5 7 (2 1)] !

n

na a nn n

.………. (5.6.18)

จากรูปทั่วไป (5.6.18) ถาเราเวนการพิจารณาตัวคูณคงตัว 0a จะไดผลเฉลยหนึ่งของสมการ(5.6.8) คือ

11

( 1)( ) 1 , 0

[3 5 7 (2 1)] !

n n

n

xy x x x

n n

……….. (5.6.19)

ใชการทดสอบอัตราสวน พิจารณารัศมีแหงการลูเขาของอนุกรมในสมการ(5.6.19) จะได1

1 | |lim lim 0

(2 3)( 1)

nn

nn nn

a x x

a x n n

สําหรับทุกคา x

ดังนั้นอนุกรมลูเขาสําหรับทุกคา x

สําหรับกรณีที่ 12 2r r เมื่อดําเนินการในทํานองเดียวกับ 1r โดยเริ่ม จากสมการ

(5.6.17) จะได 1 1

12

, 12 ( ) (2 1)

n nn

a aa n

n n n n

ดังนั้น 01 1 1

aa

01

2 2 3 (1 2)(1 3)

aaa

023 3 5 (1 2 3)(1 3 5)

aaa

3 0

4 4 7 (1 2 3 4)(1 3 5 7)

a aa


และในรูปทั่วไป 0

( 1), 1

![1 3 5 (2 1)]

n

na a nn n

……………….. (5.6.20)

ถาเราเวนการพิจารณาตัวคูณคงตัว 0a จะไดผลเฉลยที่สองของสมการ(5.6.8) คือ1/2

21

( 1)( ) 1 , 0

[1 3 5 (2 1)] !

n n

n

xy x x x

n n

……………….. (5.6.21)

กอนที่จะแสดงวาอนุกรมใน(5.6.21) ลูเขาสําหรับทุกคา x เนื่องจากเทอมที่สําคัญในผลเฉลยอนุกรม 1 2 y yและ คือ x และ 1/2x ตามลําดับ ซึ่งพบวา ผลเฉลยทั้งสองเปนอิสระเชิงเสน ดังนั้น ผลเฉลยทั่วไปของสมการ(5.6.8) คือ 1 1 2 2( ) ( ), 0y c y x c y x x #

ตัวอยางที่ผานมาแสดงใหเห็นวา ถา 0x เปนจุดเอกฐานปรกติ แลว อาจมีบางครั้งที่ผลเฉลยอยูในรูปของ (5.6.7) ในยานใกลเคียงของจุดนี้ ในทํานองเดียวกันถามีจุดเอกฐานปรกติที่ 0x x แลวอาจมีสองผลเฉลยอยูในรูป

0 00

( ) ( )r nn

n

y x x a x x

……………….. (5.6.22)

ซึ่งถูกตองใกล 0 x x อยางไรก็ตาม เริ่มมองเห็นไดวาสมการออยเลอร อาจไมมีผลเฉลยอยูในรูป ry x ดังนั้นสมการทั่วไปที่มีจุดเอกฐานปรกติ อาจจะไมมีผลเฉลยในรูปของสมการ(5.6.7) หรือ (5.6.22) ก็ได โดยเฉพาะในหัวขอถัดไปจะแสดงวา ถา ราก 1 2r rและ ของสมการดัชนีเทากันหรือตางกันและเปนจํานวนเต็ม แลวการเปนบรรทัดฐานของผลเฉลยที่สองจะมีโครงสรางที่ยุงยากมากขึ้นในทุกกรณี แมวามีความเปนไปได ที่จะไดอยางนอยหนึ่งผลเฉลยอยูในรูปของ(5.6.7) หรือ (5.6.22) ก็ตาม ถาราก 1 2r r และเปนจํานวนเต็ม ผลเฉลยนี้จะสอดคลองกับคาที่มากของ r แตถา 1 2r r แลวผลเฉลยที่สองจะมีพจนในรูปลอการิทึมรวมอยูดวย ซึ่งจะเหมือนกับสมการออยเลอร เมื่อมีรากของสมการลักษณะเฉพาะเทากัน วิธีการลดอันดับ หรือขั้นตอนวิธีการอื่น ๆ ที่นํามาใชพิจารณาหาผลเฉลยที่สองในกรณีเชนนี้ จะถึงในหัวขอ 5.7 และ 5.8

ถารากของสมการดัชนีเปนจํานวนเชิงซอน แลวรากทั้งสองนั้นจะไมเทากันหรือตางกันดวยจํานวนเต็ม ดังนั้นจะมีผลเฉลยอยูในรูปของ(5.6.7) หรือ (5.6.22) เสมอ ซึ่งผลเฉลยเหลานี้จะเปนฟงกชันคาเชิงซอนของ x อยางไรก็ตาม สําหรับสมการออยเลอรนั้นมีความเปนไปไดที่จะทําใหผลเฉลยเปนฟงกชันคาจริง โดยการใชสวนจริงและสวนจินตภาพของผลเฉลยเชิงซอน

สุดทาย เรากลาวถึงในทางปฏิบัติวา ถา , P Q Rและ เปนพหุนาม จะเห็นมีบอยครั้งที่หาผลเฉลยกับสมการ (5.6.1)โดยตรง ไดดีกวาที่หากับสมการ(5.6.3) นั่นก็คือความจําเปนที่

ตองแสดงวา 2( ) ( )

( ) ( )

Q x R xx x

P x P xและ เปนอนุกรมกําลัง ตัวอยางเชน


การพิจารณาสมการ (1 ) 2 0x x y y xy โดยตรง จะสะดวกมากกวา ที่เราทําสมการให

อยูในรูป 2

2 20

1 1

x xx y y y

x x

ซึ่งจะตองหาการกระจายของ

22

1 1

x x

x x และ ในรูป

อนุกรมกําลัง


จงแสดงวาสมการเชิงอนุพันธที่กําหนดใหในโจทยขอ 1-10 มีจุดเอกฐานปรกติที่ 0x แลวพิจารณาสมการดัชนี ความสัมพันธเวียนเกิด และรากของสมการดัชนี จงหาผลเฉลยอนุกรม( 0x ) ที่สอดคลองกับรากตัวที่มีคามาก ถารากไมเทากันและมีจํานวนเต็มไมตางกัน จงหาผลเฉลยอนุกรมที่สอดคลองกับรากตัวที่มีคานอย1. 2 0xy y xy 2. 2 2 1

9( ) 0x y xy x y

3. 0xy xy 4. 0xy y y

5. 2 23 2 0x y xy x y 6. 2 ( 2) 0x y xy x y

7. (1 ) 0xy x y y 8. 2 22 3 (2 1) 0x y xy x y

9. 2 ( 3) ( 3) 0x y x x y x y 10. 2 2 14( ) 0x y x y

11. สมการเลอช็องดรของอันดับ คือ2(1 ) 2 ( 1) 0x y xy y

เราไดกลาวถึงผลเฉลยใกลจุดสามัญ 0x ของสมการเลอช็องดรนี้มาแลวในโจทยขอ 22 และขอ 23 ในแบบฝกหัด 5.3 ซึ่งไดแสดงวา 1x เปนจุดเอกฐานปรกติ และไดพิจารณาสมการดัชนีและรากของสมการดัชนี สําหรับ 1x มาแลว จงหาผลเฉลยอนุกรมในรูปกําลังที่มี 1x

เปนฐาน สําหรับ 1 0 x

(แนะนํา :ลองเขียน 1 2 ( 1) 1 ( 1)x x x x และ แลวลองเปลี่ยนตัวแปร 1x t และพิจารณาผลเฉลยอนุกรมในรูปยกกําลังของ t )

12. สมการเชบีเชฟ คือ 2 2(1 ) 0x y xy y

เมื่อ เปนคาคงตัว ดูโจทยขอ 10 ของแบบฝกหัด 5.3(a) จงแสดงวา 1 1x x และ เปนจุดเอกฐานปรกติ และจงหาเลขชี้กําลัง ณ แตละจุด

ที่มีภาวะเอกฐาน(b) จงหาผลเฉลยสองชุดที่อิสระเชิงเสนรอบจุด 1x


13. สมการเชิงอนุพันธลาแก11 (The Laguerre differential equation) คือ(1 ) 0xy x y y

จงแสดงวา 0 x เปนจุดเอกฐานปรกติ แลวพิจารณาสมการดัชนีและรากของสมการ ความสัมพันธเวียนเกิด และผลเฉลยหนึ่ง ( 0x ) จงแสดงวา ถา m ซึ่งเปนจํานวนเต็มบวก แลวผลเฉลยจะลดรูปเปนพหุนาม โดยเปนพหุนามที่มีสมบัติเปนบรรทัดฐาน เปนที่รูจักกันในชื่อพหุนามลาแก ( )mL x

14. สมการเบสเซิลอันดับศูนย คือ 2 2 0x y xy x y

จงแสดงวา 0x เปนจุดเอกฐานปรกติ ซึ่งมีรากของสมการดัชนีเปน 1 2 0r r และ

ผลเฉลยหนึ่งสําหรับ 0x คือ 2

0 2 21

( 1)( ) 1

2 ( !)

n n

nn

xJ x

n

และแสดงวาเปนอนุกรม ลูเขา

สําหรับทุกคา x ซึ่งเรารูจักฟงกชัน 0J ในชื่อฟงกชันเบสเซิลชนิดแรกของอันดับศูนย

15. จากโจทยขอ 14 จงใชวิธีลดอันดับแสดงวาผลเฉลยที่สองของสมการเบสเซิลอันดับศูนย มีเทอมของลอการิทึมรวมอยูดวย

(แนะนํา: ถา 2 0( )( ) ( )xy x J v x แลวจะได 2 0 20

( ) ( )[ ( )]

dxy x J x

x J x

หาพจนแรกในรูปกระจายอนุกรมของ 2

0

1

[ ( )]x J x )

16. สมการเบสเซิลอันดับหนึ่ง คือ2 2( 1) 0x y xy x y

(a) จงแสดงวา 0x เปนจุดเอกฐานปรกติ ที่มีรากสมการดัชนีคือ 1 21 1r r และ และ

มีผลเฉลยหนึ่ง คือ 2

1 21

( 1)( )

2 ( 1)! !2

n n

nn

x xJ x

n n

สําหรับ 0x

และจงแสดงวาอนุกรมลูเขาสําหรับทุกคา x ซึ่งเรารูจักฟงกชัน 1J ในชื่อฟงกชันเบสเซิล ชนิดแรกของอันดับหนึ่ง

(b) จงแสดงวา เปนไปไมไดที่ผลเฉลยที่สองจะอยูในรูป 1

0

, 0nn

n

x b x x

11 เอดมอน นิโกลา ลาแก (Edmond Nicolas Laguerre 1834-1886) นักเรขาคณิตและนักวิเคราะหชาวฝรั่งเศส ได

ศึกษาพหุนามที่ชื่อวา “พหุนามลาแก” ประมาณป 1879 )


5.7 ผลเฉลยอนุกรมใกลจุดเอกฐานปรกติ, สวน ( Series Solutions near a Regular Singular Point, Part )

ในที่นี้เราจะพิจารณาปญหาทั่วไปในการหาผลเฉลยของสมการ2 2( ) [ ( )] [ ( )] 0L y x y x xp x y x q x y ..………(5.7.1)

เมื่อ 0

( ) nn

n

xp x p x

, 2

0

( ) ( ) n

n

x q x q x x

.………. (5.7.2)

และอนุกรมทั้งสองเปนอนุกรมลูเขาในชวง x สําหรับ 0 จุด 0x เปนจุดเอกฐานปรกติ และสอดคลองกับสมการออยเลอร

20 0 0x y p xy q y ..………. (5.7.3)

หาผลเฉลยของสมการ(5.7.1) สําหรับ x > 0 และสมมติวาอยูในรูป

0 0

( , ) r n r nn n

n n

y r x x a x a x

..………. (5.7.4)

เมื่อ 0 0a และเขียน ( , )y r x เพื่อเนนวา ขึ้นอยูกับ r พอ ๆ กับขึ้นอยูกับ x จะเห็นวา1

0

( ) ,r nn

n

y r n a x

2

0

( )( 1) r nn

n

y r n r n a x

……..….. (5.7.5)

แลวนําคาพจนตาง ๆ จากสมการ (5.7.2), (5.7.4) และ (5.7.5) ไปแทนลงในสมการ (5.7.1) จะได

10 1( 1) ( 1) ( )( 1)r r r n

na r r x a r rx a r n r n x

0 1( )nnp p x p x 1

0 1[ ( 1) ( ) ]r r r nna rx a r x a r n x

0 1( )nnq q x q x 1

0 1[ ] 0r r r nna x a x a x

ซึ่งเปนการคูณดวยอนุกรมอนันตดวยกัน แลวจัดพจนเหมือนใหอยูในรูปแบบงายจะได1

0 1 0 1 1( ) ( 1) ( )r ra F r x a F r a p r q x 2

2 0 2 2 1 1 1{ ( 2) ( ) [ ( 1) ]} ra F r a p r q a p r q x

0 1 1 1 { ( ) ( ) [ ( 1) ]n n n n na F r n a p r q a p r q

1 1 1 [ ( 1) ]} 0r nna p r n q x

หรืออยูในรูปที่กระชับยิ่งขึ้น [ ( , )] ( )

0rL r x a F r x

1

1 0

( ) [( ) ] 0k

r nn k n k n k

n k

F r n a a r k p q x

…………(5.7.6)

เมื่อ 0 0( ) ( 1)F r r r p r q ………………. (5.7.7)สําหรับสมการ( 5.7.6 ) ที่มีสัมประสิทธิ์ของแตละพจนยกกําลังของ x จะตองเปนศูนย

5.7 ผลเฉลยอนุกรมใกลจุดเอกฐานปรกติ, สวน 263

เนื่องจาก 0 0a พจนที่มี rx รวมอยูดวย จะสงผลใหสมการ ( ) 0F r ซึ่งเราเรียกสมการนี้วาสมการดัชนี จะเห็นวาสมการนี้เปนสมการสําหรับหาผลเฉลยที่แมนยํา ry x ของสมการออยเลอร (5.7.3) ถาใหราก 1 2 r rและ โดยที่ 1 2r r เปนรากของสมการดัชนี และเปนจํานวนจริง และขอกําหนดคารากไมมีความหมาย ถาสมการดัชนีมีรากเปนจํานวนเชิงซอน คาราก r ของสมการดัชนีเหลานี้ทําใหเราทราบไดวาผลเฉลยของสมการ(5.7.1) มีอยู 4 รูปแบบ ซึ่งเราเรียก

1 2 r rและ วา เลขชี้กําลังแหงภาวะเอกฐาน (exponents at the singularity) ในที่นี้เราจะใชลักษณะเชิงปริมาณของรากสมการดัชนีในการหาผลเฉลยของสมการในยานใกลเคียงของจุดเอกฐานปรกติ

กําหนดใหสัมประสิทธิ์ของ r nx ในสมการ(5.7.6) เทากับศูนย จะไดความสัมพันธเวียนเกิด (recurrence relation)

1

0

( ) [( ) ) 0, 1n

n k n k n kk

F r n a a r k p q n

….. ………(5.7.8)

สมการ (5.7.8) แสดงใหเห็นวา รูปทั่วไปของ na ขึ้นอยูกับคาของ r และคาสัมประสิทธิ์ของพจนที่มากอนทั้งหมด 0 1 -1, , , na a a และทําใหเราสามารถคํานวณคาสัมประสิทธิ์ตอเนื่องตามลําดับ 1 2, , , ,na a a ในพจนของ 0a และสัมประสิทธิ์ในอนุกรมสําหรับ ( )xp x

และ 2 ( )x q x ที่ทําให ( 1), ( 2), , ( ),F r F r F r n ไมเปนศูนย ซึ่งคาของ r ที่ทําให ( ) 0F r มีเพียง 1r r และ 2r r เมื่อ 1 2r r สงผลให 1r n ไมเทากับ 1r หรือ

2r สําหรับ 1n ดังนั้น 1( ) 0F r n สําหรับ 1n เนื่องจากเราสามารถพิจารณาผลเฉลยหนึ่งของสมการ(5.7.1) ในรูปของ (5.7.4) ไดเปน

11 1

1

( ) 1 ( ) , 0r n

nn

y x x a r x x

……………….. (5.7.9)

ในที่นี้ จะใชสัญกรณ 1( )na r เพื่อชี้ใหเห็นวาเราสามารถหาสัมประสิทธิ์ na ไดจากสมการ(5.7.8) ที่มี 1 r r เพื่อระบุตัวคงคาในผลเฉลยจึงให 0a มีคาเปน 1

ถา 2r ไมเทากับ 1r และ 1 2r r ไมเปนจํานวนเต็มลบแลว 2r n ไมเทากับ 1r สําหรับคา 1n ดังนั้น 2( ) 0F r n และทําใหเราไดผลเฉลยที่สองอยูในรูป

22 2

1

( ) 1 ( ) , 0r n

nn

y x x a r x x

.……………. (5.7.10)

ซึ่งเหมือนกับอนุกรมรอบจุดสามัญที่ไดกลาวไวในหัวขอ 5.3 อนุกรมในสมการ(5.7.9) และ (5.7.10) ลูเขาในชวง x เปนอยางนอย เมื่ออนุกรมสําหรับทั้ง ( )xp x และ 2 ( )x q x ลูเขา

ภายในรัศมีแหงการลูเขาอนุกรมกําลัง 11

1 ( ) nn

n

a r x

และ 21

1 ( ) nn

n

a r x

โดยนิยามวา

เปนฟงกชันวิเคราะหที่ 0x ดังเชน ถาผลเฉลย 1 2 y yและ มีลักษณะเอกฐานที่ไดจากตัว


ประกอบ 1r

x และ 2r

x คูณดวยฟงกชันวิเคราะหทั้งสอง ตอไป เราใหผลเฉลยคาจริงสําหรับ 0x และ แทน x เมื่อ 0 ซึ่งเปนคาที่เรากลาววาเปน คาที่ไดจากสมการออยเลอร

ในที่นี้เราตองการแทน 1r

x ดวย 1r

x ลงในสมการ (5.7.9) และแทน 2r

x ดวย 2r

x ลงในสมการ (5.7.10) เทานั้น สุดทายจะพบวา ถา 1 2 r rและ เปนจํานวนเชิงซอน แลวรากทั้งสองคาจะเปนจํานวนเชิงซอนสังยุค และ 2 1r r N เมื่อ N เปนจํานวนเต็มบวก ดังเชนเราหาผลเฉลยอนุกรมสองชุด ไดในรูป (5.7.4) อยางไรก็ตาม ผลเฉลย ทั้งสองยังเปนฟงกชันคาเชิงซอนของ x โดยที่ผลเฉลยคาจริง ไดมาจากสวนจริงและสวนจินตภาพ ของผลเฉลยคาเชิงซอน ยกเวนในกรณีที่ 1 2r r หรือ 1 2r r N ซึ่งจะมีการอภิปรายอยางละเอียดขึ้นในชวงทายของหัวขอนี้

สิ่งสําคัญที่จะทําใหเขาใจวา 1 2 r rและ เลขชี้กําลังที่จุดเอกฐาน เปนคาที่หาไดงาย และเปนคาที่ชวยใหเราพิจารณาลักษณะเชิงคุณภาพของผลเฉลย เพื่อคํานวณหาคา 1 2 r rและ จึงจําเปนตองแกสมการดัชนีกําลังสอง

0 0( 1) 0r r p r q ……………….. (5.7.11)เมื่อสัมประสิทธิ์ กําหนดโดย

20 00 0

lim ( ), lim ( )x x

p xp x q x q x

………………. (5.7.12)

จะเห็นวาสัมประสิทธิ์ทั้งสองมีคาลิมิตอยางแนนอน และคาลิมิตนี้เอง เปนสิ่งจําเปนที่เราตองประเมินคาตามลําดับเพื่อจําแนกประเภทภาวะเอกฐานเปนจุดเอกฐานปรกติ ถา 0x เปนจุดเอกฐานปรกติของสมการ

( ) ( ) ( ) 0P x y Q x y R x y ……………….. (5.7.13)โดยที่ P,Q และ R เปนฟงกชันพหุนาม แลว ( ) ( ) / ( )xp x xQ x P x และ

2 2( ) ( ) / ( )x q x x R x P x ดังนั้น 2

0 00 0

( ) ( )lim , lim

( ) ( )x x

Q x R xp x q x

P x P x ……………….. (5.7.14)

สุดทาย รัศมีแหงการลูเขาของอนุกรมผลเฉลยในสมการ(5.7.9) และ (5.7.10) จะยาวอยางนอยที่สุดเทากับระยะจากจุดกําเนิดไปยังจุดที่ใกลศูนยที่สุดของ P มากกวาที่จะเปนระยะจากจุดกําเนิดไปยังจุด 0x

ตัวอยาง 5.7.1 เมื่อพิจารณาลักษณะของผลเฉลยของสมการ2 (1 ) (3 ) 0x x y x y xy ใกลจุดเอกฐานจะเห็นวาสมการนี้ เปนสมการที่อยูในรูป (5.7.13) ที่มี ( ) 2 (1 )P x x x ,

( ) 3Q x x และ ( )R x x จุด 0 x และ 1x ตางก็เปนเพียงจุดเอกฐาน แตจุดเปนจุดเอกฐานปรกติ


เนื่องจาก

0 0

( ) 3 3lim lim

( ) 2 (1 ) 2x x

Q x xx x

P x x x

2 2

0 0

( )lim lim 0

( ) 2 (1 )x x

R x xx x

P x x x

จากสมการ(5.7.14) จะได 30 02 0p q และ ดังนั้นสมการดัชนีจึงเปน 3

2( 1) 0r r r และได ราก 1

1 2 20,r r จะเห็นไดวา คารากสมการ 1 2 r rและ มีคาไมเทากันและมีผลตางไมเปนจํานวนเต็ม จากคารากดังกลาวเราพบวามีผลเฉลยเปนอิสระเชิงเสนอยูในรูป

11

( ) 1 (0) nn

n

y x a x

และ 1/2 12 2

1

( ) | | 1 ( ) nn

n

y x x a x

สําหรับชวงแหงการลูเขา 0 x ขอบเขตลางของรัศมีแหงการลูเขา ของแตละอนุกรม คือ 1 นั่นคือระยะหางจากจุด 0 x กับ 1x และคาศูนยอื่น ๆ ของ ( ) P x จะสังเกตเห็นวาผลเฉลย 1y มีขอบเขต เมื่อ 0x และ 1y เปนฟงกชันวิเคราะหจริง ในชวงแหงการลูเขา และผลเฉลย 2y ไมมีขอบเขตเมื่อ 0x

จุด 1x เปนจุดเอกฐานปรกติ เนื่องจาก

0 0

( ) ( 1)(3 )lim( 1) lim 1

( ) 2 (1 )x x

Q x x xx

P x x x

2

2

0 0

( ) ( 1) ( )lim( 1) lim 0

( ) 2 (1 )x x

R x x xx

P x x x

ในกรณี 0 1p , 0 0q ดังนั้นสมการดัชนีคือ ( 1) 0r r r รากของสมการดัชนีคือ

1 2r และ 2 0r ผลเฉลยของสมการที่สอดคลองกับรากคาที่มากอยูในรูป 2

11

( ) ( 1) 1 (2)( 1)nn

n

y x x a x

จะเห็นวา 1y เปนฟงกชันวิเคราะหที่ลูเขาอยางนอยที่สุดในชวง 1 1x เมื่อรากสมการดัชนี 1 2 r rและ ตางกันเปนจํานวนเต็มบวก ( 1 2r r N , N เปนจํานวนเต็มบวก) อาจมีหรือไมมีผลเฉลยที่สองอยูในรูป

21

( ) 1 (0)( 1)nn

n

y x a x

ซึ่งเรายังไมอาจกลาวโดยปราศจากการวิเคราะหไดจากการสังเกตจะเห็นวาการคํานวณไมซับซอน ซึ่งตองการเพียงขอมูลที่เสนอเกี่ยวกับ

ผลเฉลยที่แสดงในตัวอยาง เปนการหาคาลิมิต และการแกสมการกําลังสองเทานั้น #


มาถึงตรงนี้เราจะพิจารณารากของสมการดัชนีที่มีคาเทากัน หรือตางกันเปนจํานวนเต็มบวก 1 2r r N ซึ่งไดแสดงในตอนตนวา สมการ (5.7.1) จะมีผลเฉลยอยูในรูปดัง (5.7.9) และสอดคลองกับรากคามาก 1r ของสมการดัชนี โดยอุปมากับสมการออยเลอร เราอาจคาดไดวา ถา 1 2r r แลวผลเฉลยที่สองของสมการจะมีพจนลอการิทึมรวมอยูดวย ซึ่งอาจจะเปนจริง ถาหากมีรากตางกันเปนจํานวนเต็มบวก รากเทากัน(Equal Roots) วิธีของการหาผลเฉลยที่สองเปนสิ่งจําเปนเหมือนกับที่เราใชหาผลเฉลยที่สองของสมการออยเลอร (ดูหัวขอ 5.5) เมื่อรากของสมการดัชนีมีคาเทากัน เราพิจารณา r วาเปนตัวแปรที่มีความตอเนื่อง และพิจารณา na วาเปนฟงกชันของ r โดยการหา ความสัมพันธเวียนเกิด(5.7.8) สําหรับตัวเลือก ( )na r นี้ เมื่อ 1n สมการ(5.7.6) ลดลงไปเปน

20 0 1 [ ( , )] ( ) ( )r rL r x a F r x a r r x …………… (5.7.15)

เนื่องจาก 1r เปนรากซ้ําของ ( )F r ดังนั้นสามารถกําหนด 1r r ในสมการ (5.7.15) จะพบวา 1 [ ( , )] 0L r x และเราทราบมาแลววา 1( )y x ที่อยูในรูป (5.7.9) เปนผลเฉลยหนึ่งของสมการ(5.7.1) แตใหความสําคัญมากกวา ซึ่งจะเห็นวาเหมือนกับสมการออยเลอร ที่พบจากสมการ (5.7.15) อีกดวย

1

20 1

( , ) [ ] [( ) ]r

r r

r xL a r r x

r r

1

20 1 1[( ) ln 2( ) ] 0r r

r ra r r x x r r x

…………… (5.7.16)

เนื่องจาก ผลเฉลยที่สองของสมการ(5.7.1) คือ

1

1

2 01

( , )( ) ( )r n

nnr r r r

r xy x x a a r x

r r

1 10 1 1

1 1

( ln ) ( ) ( )r rn nn n

n n

x x a a r x x a r x

11 1

1

( ) ln ( ) , 0r nn

n

y x x x a r x x

…………… (5.7.17)

เมื่อใชสัญลักษณ 1( )na r แทน n

da

dr ที่ 1r r

อาจจะเปนการยากที่จะพิจารณา ( )na r วา เปนฟงกชันของ r ที่เกิดจากความสัมพันธเวียนเกิด (5.7.8) แลวหาอนุพันธของผลลัพธเทียบกับ r ดังนั้นทางเลือกที่งายกวาจึง สมมติวา y อยูในรูปของสมการ (5.7.17) นั่นคือ


11

1

( ) ( ) ln , 0r n

n

y x y x x x b x xn

……………….. (5.7.18)

เมื่อ 1( )y x หาไดแลว สัมประสิทธิ์ nb หาไดจากการแทนคาลงในสมการอนุพันธ จัดพจนเหมือน และใหสัมประสิทธิ์ของ ยกกําลังแตละพจนเปนศูนย และใชวิธีลดอันดับเพื่อหา

2 ( )y x เมื่อ ทราบ 1( )y x ไดแลว

รากตางกันเปนจํานวนเต็ม (Roots Differing by an Integer) สําหรับกรณีนี้ การหาอนุพันธของผลเฉลยที่สองเปนการพิจารณาที่มีความซับซอนมาก จึงไมขอกลาวรายละเอียดในที่นี้ แตกอนที่จะพิจารณารูปแบบผลเฉลยที่กําหนดในสมการ(5.7.24) ซึ่งจะพบในทฤษฎีบทตอไป เพื่อเปนแนวทางในการสรางความเขาใจ จะขอนิยามสัมประสิทธิ์ 2( )nc r ในสมการ(5.7.24)

2

2 2( ) [( ) ( )] , 1, 2,3,n nr r

dc r r r a r n

dr

..…..…………. (5.7.19)

เมื่อหา ( )na r ไดจากความสัมพันธเวียนเกิด (5.7.8) ที่ 0 1a จึงไดสัมประสิทธิ์ a ในสมการ (5.7.24) คือ

22lim( ) ( )Nr r

a r r a r

……………….. (5.7.20)

ถา 2( )Na r เปนอันตะ แลว 0 และไมมีพจน ลอการิทึมใน 2yในทางปฏิบัติที่ดีที่สุดคือพิจารณาให a เปนศูนย ในผลเฉลยที่สอง ซึ่งจะเปนการงายตอ

การคํานวณ na ที่สอดคลองกับราก 2r และมีความเปนไปไดที่จะหา 2( )Na r อยางไมมีปญหา แตถาไมเปนไปตามที่กลาวเราจะตองใชรูปในสมการ (5.7.24) สําหรับกรณี a ≠ 0

เมื่อ 1 2r r N จะเปนกรณีที่สามในการหาผลเฉลยที่สอง ขั้นแรกเราหา a และ

2( )nc r ดวยการ ใชขอความ 2 ( )y x ในสมการ (5.7.24) แทน y ลงในสมการ(5.7.1) โดยตรง ขั้นที่สอง คํานวณหา n 2c (r ) และ ของ (5.7.24) โดยใชสูตร (5.7.19) และ (5.7.20) ถาเปนไปตามขั้นตอนที่กลาวมานี้ จะมั่นใจไดวาการคํานวณ หาผลเฉลยที่ 1r r เปนสูตรผลเฉลยทั่วไปสําหรับ ( )na r ไดดีกวาที่จะเปน 1( )na r ขั้นที่สามใชวิธีลดอันดับ

ทฤษฎีบท 5.7.1 ถาสมการเชิงอนุพันธ (5.7.1) อยูในรูป 2 2[ ( )] [ ( )] 0x y x xp x y x q x y


เมื่อ x = 0 เปนจุดเอกฐานปรกติ ( )xp x และ 2 ( )x q x ตางก็เปนฟงกชันวิเคราะหที่ x = 0 ที่มีการกระจายอนุกรมกําลังอยูในรูป

0

( ) nn

n

xp x p x

, 2

0

( ) nn

n

x q x q x

สําหรับ x เมื่อ > 0 เปนคาต่ําสุดของรัศมีแหงการลูเขาของอนุกรมกําลัง ( )xp x และ

2 ( )x q x ให 1r และ 2r เปนรากของสมการดัชนี

0 0( ) ( -1) 0F r r r p r q

โดยที่ 1 2r r ถา 1r และ 2r เปนจํานวนจริง แลว จะมีผลเฉลย ในชวง - 0x หรือ 0 x อันใดอันหนึ่ง ในรูป

1

1 11

( ) 1 ( )r n

nn

y x x a r x

……………….. (5.7.21)

เมื่อหา 1( )na r ไดจากความสัมพันธเวียนเกิด(5.7.8) ที่ 0 1a และ r = r1 ถา 1 2 0r r หรือไมเปนจํานวนเต็มบวก แลวจะมีผลเฉลยอิสระเชิงเสนที่สอง

ในชวง -ρ < x < 0 หรือ 0 < x < ρ

222

1

( ) | | 1 ( )r nn

n

y x x a r x

……………….. (5.7.22)

เมื่อหา 2( )na r จากความสัมพันธเวียนเกิด(5.7.8) ที่ 0 1a และ r = r2 โดยอยางนอยที่สุดเปนอนุกรมกําลังใน (5.7.21) และ (5.7.22) ลูเขาสําหรับชวง x

ถา 1 2r r แลวผลเฉลยที่สองคือ1

2 1 11

( ) ( ) ln ( )r n

nn

y x y x x x b r x

……………….. (5.7.23)

ถา 1 2r r N ซึ่งเปนจํานวนเต็มบวก แลว2

2 1 21

( ) ( ) ln 1 ( )r n

nn

y x ay x x x c r x

……………….. (5.7.24)

สัมประสิทธิ์ 1 1 2( ), ( ), ( )n n na r b r c r และคาคงตัว a อาจหาไดจากการแทน y ในรูปอนุกรมลงในสมการ (5.7.1) สําหรับคาคงตัว a อาจมีคาเปนศูนย ในกรณีที่ไมมีพจนลอการิทึมใน (5.7.24) โดยอยางนอยที่สุด แตละอนุกรมใน (5.7.23) และ(5.7.24) จะลูเขาในชวง x และเปนฟงกชันวิเคราะหในยานใกลเคียงของ x = 0



จงหาจุดเอกฐานปรกติของสมการเชิงอนุพันธ ในโจทยขอ 1-12 แลวพิจารณา หาสมการดัชนีและเลขชี้กําลังแหงภาวะเอกฐานสําหรับจุดเอกฐานแตละจุดดวย1. 2 6 0xxy xy e y 2. 2 2(2 ) (2 ) 0x y x x y x y

3. 2( 1) 6 3 0x x y x y y 4. 24 6 0y xy y

5. 2 3(sin ) 2 0x y x y y 6. 2 ( 2) 0x x y y xy

7. 2 12 ( sin ) 2 0x y x x y y

8. 2 2( 1) 3( 1) 3 0x y x y y

9. 2 (1 ) (1 ) 2 0x x y x y xy

10. 2( 2) ( 2) 2 3( 2) 0x x y xy x y

11. 2(4 ) 2 3 0x y xy y

12. 2( 3) 2( 3) 0x x y x y xy

สําหรับโจทยขอ 13 -17 (a) จงแสดงวา x = 0 เปนจุดเอกฐานปรกติของสมการเชิงอนุพันธที่กําหนดให(b) จงหาเลขชี้กําลัง ที่จุดเอกฐาน x = 0

(c) จงหาสามพจนแรกที่ไมเปนศูนย ในผลเฉลยสองชุดที่อิสระเชิงเสนรอบจุด x=013. 0xy y y 14. 2 6 0xxy xy e y ; ดูโจทยขอ 115. 2( 1) 6 3 0x x y x y y ; ดูโจทยขอ 316. 0xy y 17. 2 (sin ) (cos ) 0x y x y x y

18. จงแสดงวา (ln ) 01

2x y y y มีจุดเอกฐานที่ x = 1, พิจารณารากของสมการดัชนีที่

x = 1พิจารณาหาสามพจนแรกที่ไมเปนศูนยในอนุกรม 0

( 1)r nn

na x

ที่สอดคลองกับรากที่มี

คามากกวา ลองให 1 0x แลว พิจารณาวารัศมีแหงการลูเขาของอนุกรมควรเปนคาใด

19. มีปญหาในทางฟสิกสเชิงคณิตศาสตรไมนอย [เชน สมการเชรอเดอร (schödinger equation) สําหรับอะตอมไฮโดรเจน] ที่จําเปนตองศึกษาสมการเชิงอนุพันธ ( 1) [ (1 ) ] 0x x y x y y ……………………(i)

เมื่อ , และ เปนคาคงตัว สมการนี้เปนที่รูจักกันในชื่อ สมการไฮเพอรจีออเมตริก (Hypergeometric equation)


(a) จงแสดงวา x = 0 เปนจุดเอกฐานปรกติ และมีรากของสมการดัชนีคือ 0 กับ

(b) จงแสดงวา x = 1 เปนจุดเอกฐานปรกติ และมีรากของสมการดัชนีคือ 0 กับ

(c) สมมติวา ไมเปนจํานวนเต็มบวก จงแสดงวา ในยานใกลเคียงของ x = 0 มีผลเฉลยหนึ่งของสมการ (i) คือ

21

( 1) ( 1)( ) 1

1! ( 1)2!y x x x

จงหารัศมีแหงการลูเขาของอนุกรมนี้

(d) สมมติวา ไมเปนจํานวนเต็มหรือศูนย จงแสดงวา ผลเฉลยที่สอง สําหรับ 0 1x คือ

12

( 1)( 1)( ) 1

(2 )1!y x x x

2( 1)( 2)( 1)( 2)

(2 )(3 )2!x

(e) จงแสดงวา จุดที่อนันตเปนจุดเอกฐานปรกติ และรากของสมการดัชนีคือ และ

(ดูโจทย ขอ 21 แบบฝกหัด 5.4)

20. กําหนดสมการเชิงอนุพันธ 3 0x y xy y เมื่อ และ เปนคาคงตัวและเปนจํานวนจริง โดยที่ 0

(a) จงแสดงวา x = 0 เปนจุดเอกฐานปรกติ

(b) จงพิจารณาหาผลเฉลยในรูป 0

r nn

n

a x

จงพิจารณาวาสมการดัชนีของตัวแปร r เปน

เชิงเสน และผลที่เกิดตามมามีเพียงหนึ่งผลเฉลยแบบเปนทางการของรูปผลเฉลยที่สมมติขึ้น

(c) จงแสดงวา ถา 1,0,1,2, แลว ผลเฉลยอนุกรมแบบเปนทางการ และเปนผล

เฉลยที่แทจริง สําหรับคาอื่น ๆ ของ

จงแสดงวาผลเฉลยอนุกรมแบบเปนทางการมีรัศมี

แหงการลูเขาเปนศูนย จะไมทําใหมีผลเฉลยที่แทจริงในชวงใด ๆ

21. กําหนดสมการเชิงอนุพันธ 0s t

y yx x y

เมื่อ 0 และ 0 เปนจํานวน

จริง s และ t เปนจํานวนเต็มบวก ที่มีโมเมนตเปนตัวคงคา

5.8 สมการเบสเซิล และฟงกชันเบสเซิล 271

(a) จงแสดงวา ถา s > 0 หรือ t > 0 แลว จุด x = 0 เปนจุดเอกฐานปรกติ (b) จงหาผลเฉลยของสมการ (i) ในรูป

0

, 0r nn

n

y a x x

……………………(ii)

แสดงวา ถา s = 2 และ t = 2 แลวจะมีคา r เปนไปไดเพียงคาเดียวที่มีผลเฉลยแบบเปนทางการของสมการ(i) อยูในรูปของสมการ (ii) (c) จงแสดงวา ถา s = 1 และ t = 3 แลวจะไมมีผลเฉลยของสมการ (i) ในรูปสมการ (ii) (d) จงแสดงวา คาสูงสุดของ s และ t สําหรับสมการดัชนีกําลังสองในตัวแปร r [ ดังนั้นเราสามารถหาผลเฉลยสองชุดในรูป (ii) ] คือ s = 1 และ t = 2 มีเงื่อนไขพอเหมาะซึ่งแยก “ภาวะเอกฐานออน”(weak singularity) หรือจุดเอกฐานปรกติ จากจุดเอกฐานไมปรกติ ดังที่นิยามไวในหัวขอ 5.4

หมายเหตุ เราควรที่จะอธิบายไดวา ขณะที่ผลเฉลยอนุกรมแบบเปนทางการ ในรูปของสมการ(ii) ซึ่งบางครั้งเปนไปไดที่จุดเอกฐานไมปรกติ อาจจะไมมีรัศมีแหงการลูเขาของอนุกรมเปน คาบวกก็ได ดูโจทยขอ 20 ในแบบฝกหัดนี้เปนตัวอยาง

5.8 สมการเบสเซิล และฟงกชันเบสเซิล (Bessel’s Equation and Bessel’s Function)

หัวขอนี้จะพิจารณาลักษณะพิเศษของสมการเบสเซิล12 2 2 2 ( ) 0x y xy x y ................. (5.8.1)

โดยที่ เปนคาคงตัว ซึ่งเปนตัวอยางในการอธิบายทฤษฎีบทที่กลาวถึงในหัวขอ 5.7 โดยเปนการแสดงใหเห็นอยางงาย ๆ วา 0x เปนจุดเอกฐานปรกติ เพื่อใหงายตอการทําความเขาใจเราจึงพิจารณาเพียงกรณี 0 x เทานั้น สมการ(5.8.1)นี้มีชื่อเฉพาะวา “สมการเบสเซิลอันดับ ”

12 ฟรีดริช วิลเฮลม เบสเซิล (Friedrich Withelm, Bessel 1784-1846) มีอาชีพในทางธุรกิจเมื่อยังหนุม แตกลับมาสนใจในทางดาราศาสตร และคณิตศาสตรในตอนหลัง เบสเซิลไดรับตําแหนงเปนผูอํานวยการที่หอดูดาวแหงKönigsberg เมื่อป ค.ศ.1810 และอยูในตําแหนงนี้จนกกระทั่งเสียชีวิต เขาไดศึกษาเกี่ยวกับเพอรเทอรเบชัน (perturbation) ของดาวเคราะห ในป ค.ศ.1824 นําเขาไปสูการวิเคราะหเชิงระบบของการแกปญหา ซึ่งเปนที่รูจักในชื่อ ฟงกชันเบสเซิลของสมการ(5.8.1) เบสเซิลมีชื่อเสียงมากในการหาระยะทางระหวางโลกกับดวงดาวไดแมนยําเปนครั้งแรก (ค.ศ. 1838)


สมการเบสเซิล และฟงกชันเบสเซิลนี้จะพบมากใน ปญหาตาง ๆ ทางฟสิกสและทางวิศวกรรมศาสตร

5.8.1 สมการเบสเซิลอันดับศูนย (Bessel Equation of Order Zero)ตัวอยางนี้แสดงสถานะของรากของสมการดัชนี ในกรณีที่รากทั้งสองมีคาเทากัน เมื่อ

กําหนดให ในสมการ(5.8.1) เปน ศูนย คือ2 2[ ] 0L y x y x y x y ................. (5.8.2)

เมื่อสังเกตสมการ (5.8.2) จะพบวา 0x เปนจุดเอกฐานปกติ ดังนั้นเราจะสมมติผลเฉลยของ (5.8.2) ภายในชวง 0 x เปนฟงกชันรูปแบบ

01

( , ) r r nn

n

y r x a x a x

................. (5.8.3)

จะได 1 1

0 1

( ) r r nn

ny a rx r n a x

2 20

1( )( 1) ( ) ( 1)r r n

nn

y a r r x r n r n a x

โดยการแทนตัวแปร y และอนุพันธของ y ลงใน(5.8.2)จะได

2 20

1

2[ ( , )] ( )( 1) ( )( 1)r

n

r nL r x x a r r x r n r n a xn

1 10

1( )r r n

nn

x a rx r n a x

2

01

0r r nn

n

x a x a x

จัดพจนใหมได

0 1

[ ( , )] ( )( 1) ( )( 1)r r nn

nL r x a r r x r n r n a x

01( )r r n

nn

a rx r n a x

2 2

01

r r nn

n

a x a x

= 0[ ( 1) ] ra r r r x 1

[( )( 1) ] r nn

n

a r n r n r n x

2

0

r nn

na x

10 1[ ( 1) ] [( 1) ( 1)]r ra r r r x a r r r x

2{ [( )( 1) ] }

2nn

r na r n r n r n a xn

= 0 ................. (5.8.4)

รากของสมการดัชนี ( ) ( 1) 0F r r r r คือ 1 2 0r r เนื่องจากเรามีกรณีรากของสมการเทากัน ดังนั้นความสัมพันธเวียนเกิด คือ

2 22

( ) ( )( ) , 2

( )( 1) ( ) ( )n n

n

a r a ra r n

r n r n r n r n

................ (5.8.5)


เพื่อพิจารณา 1 ( )y x เรากําหนดให r = 0 ดังนั้นจะพบวามีสัมประสิทธิ์ของในสมการ (5.8.4) r nx เปนศูนย เราจึงตองเลือก 1 0a นั่นคือจากสมการ (5.8.5) จะได 3 5 7 0a a a

ทําให 22

(0)(0) , 2,3, 4,n

n

aa n

n

หรือเมื่อให n = 2m จะได 2 22 2

(0)(0) , 1,2,3,

(2 )m

m

aa m

m

ดังนั้น 0 0 02 4 62 4 2 6 2(0) , (0) , (0)

2 2 2 2 (3 2)

a a aa a a

และ ไดรูปทั่วไปเปน

2 2 2

( 1) (0)(0) , 1,2,3,

2 ( !)

m

m ma m

m

................. (5.8.6)

ดังนั้น 2

1 0 2 21

( 1)( ) 1 , 0

2 ( !)

m m

mm

xy x a x

m

................. (5.8.7)

ฟงกชันที่อยูในวงเล็บ [ ] ของสมการ (5.8.7) เปนที่รูจักกันในชื่อ ฟงกชันเบสเซิลอันดับศูนยแบบที่หนึ่ง (Bessel function of the first kind of order zero) และเขียนแทนดวย

0 ( )J x จากทฤษฎีบท 5.7.1 ที่วาอนุกรมลูเขาสําหรับทุกคา x และโดยที่ 0J เปนฟงกชันวิเคราะหที่ 0x ซึ่งเปนสมบัติที่สําคัญบางประการของ 0J ที่นํามาพิจารณาในปญหา รูป 5.8.1 แสดงกราฟของ

0 ( )y J x และผลรวมยอยบางอยางของอนุกรมใน (5.8.7)

การพิจารณาหา 2 ( )y x เราจะหา 0 (0)a โดยการแทน

2 1 11

1( ) ( ) ln | | | | ( )r n

nn

y x y x x x b r x

ลงในสมการ (5.8.2) แลวหาคา nb ขั้นแรก

อาศัยสัมประสิทธิ์ของพจน 1rx ในสมการ (5.8.4) ที่ 21( 2 1) ( ) 0r r a r หรือ

รปู 5.8.1 การประมาณคาพหุนาม 0 ( )J x คา n เปนระดับขั้นของพหุนามประมาณคา

2 4 6 8 10 x

y2

1

-1n = 2 n = 6 n = 10 n = 14 n = 18

n = 4 n = 8 n = 12 n = 16 n = 20

0 xy J


21( 1) ( ) 0r a r ซึ่งจะพบวาไมเพียงแต 1(0) 0a แตมี 1(0) 0a ดวย และโดยการ

อนุมานจากความสัมพันธเวียนเกิดใน (5.8.5) จึงไดวา

3 5 2 1(0) (0) (0) 0na a a ดังนั้นอาจกลาวไดวาเราตองการเพียงคาของ 2 (0), 1,2,3,ma m ดังนั้นจากสมการ (5.8.5) จะได

2 22 2

( )( ) , 1,2,3,

( 2 )m

m

a ra r m

r m

อาศัยความสัมพันธเวียนเกิด จะได0

2 2 2 2 2

( 1)( ) , 1, 2,3,

( 2) ( 4) ( 2 2) ( 2 )

m

m

aa r m

r r r m r m

…… (5.8.8)

การคํานวณ 2 ( )ma r สามารถดําเนินการไดสะดวกมากที่สุด ถาหาก31 2

1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) nnf x x x x x

และถา x ไมเทากับ 1 2, , n แลวจะได

1 2

1 2

( )

( )n

n

f x

f x x x x

นําคาที่ไดนี้ไปใชกับ 2 ( )ma r จากสมการ(5.8.8) จะได2

2

( ) 1 1 12

( ) 2 4 2m

m

a r

a r r r r m

และเมื่อกําหนดให 0r จะไดวา

2 2

1 1 1(0) 2 (0)

2 4 2m ma am

และแทน 2 (0)ma จากสมการ(5.8.6) และให

1 1 11

2 3mHm

….…............... (5.8.9)

จะได 02 2 2

( 1)(0) , 1, 2,3

2 ( !)

m

m m m

aa H m

m

ผลเฉลยที่สองของสมการเบสเซิลอันดับศูนย หาไดโดยกําหนดให 0 =1a และแทนคา 1 ( )y x และ 2 2(0) (0)m ma b ในสมการ (5.7.23) หัวขอ 5.7 จะได

12

2 0 2 21

( 1)( ) ( ) ln , 0

2 ( !)

mmm

mm

Hy x J x x x x

m

…………...….. (5.8.10)

ผลเฉลย 2 ( )y x ดังปรากฏใน (5.8.10) เปนผลเฉลยที่เปนอิสระเชิงเสน 0 ( )J x โดยปกติเราจะใชผลเฉลยที่สอง โดยการทําใหอยูในรูปของผลรวมเชิงเสนของ 0 ( )J x กับ 2 ( )y x เปนผลเฉลยทั่วไปของสมการ (5.8.2) ซึ่งเปนที่รูจักกันในชื่อฟงกชันเบสเซิลแบบที่สอง และเขียนแทนดวย 0Y โดยนิยามวา


0 2 0

2( ) [ ( ) ( ln 2) ( )]Y x y x J x

.……………… (5.8.11)

โดยในที่นี้ให เปนคาคงตัว ที่เรียกกันวา คาคงตัวออยเลอร-มาเชโรน ี (Euler-Máscheroni 1750-1800) ซึ่งนิยามโดยสมการ

lim( ln ) 0.5772nn

H n

……………..… (5.8.12)

แทนคา 2 ( )y x จาก (5.8.10) ลงในสมการ (5.8.11) จะได1

20 0 02 2

1

( 1)2( ) [ ( ) ln ( ln 2) ( )]

2 ( !)

mmm

mm

HY x J x x x J x

m

12

0 02 2 21

( 1)2( ) [( ln ) ( ) ], 0

2 ( !)

mmmx

mm

HY x J x x x

m

……… (5.8.13)

ฟงกชัน 0 ( )Y x ที่เขียนในรูป (5.8.13) เปนรูปแบบของเวเบอร13 (Webor’s form)ดังนั้นผลเฉลยทั่วไปของสมการเบสเซิลอันดับศูนย สําหรับ x > 0 คือ

1 0 2 0 ( ) ( )y c J x c Y x ……….............. (5.8.14)จะสังเกตเห็นวา 0 ( ) 1J x ขณะที่ 0x นั่นคือ 0 ( )Y x มีภาวะเอกฐานเชิงลอการิทึมที่

0x

แสดงวา 0 ( )Y x จะมีคาเปน 2ln x

ในขณะที่ 0x ทางดานบวก ดังนั้นหากเราสนใจผล

เฉลยของสมการเบสเซิลอันดับศูนย เปนอันตะ (finite) ที่จุดกําเนิด ดังในกรณีนี้เราจะตองละทิ้งหรือไมสนใจคา 0Y เมื่อนําฟงกชัน 0 0( ), ( )J x Y x มาศึกษาอยางละเอียด และเขียนกราฟจะไดดังรูป 5.8.2

ขอสังเกตสิ่งที่นาสนใจจากรูป 5.8.2 ก็คือขณะที่ x มีคาใหญมากขึ้น คาของ

0 0( ) ( ) J x Y xและ ตางก็มีลักษณะแกวงกวัด และมีลักษณะที่เหมือนกันกับสมการตนแบบ

13 นักเขียนคนอื่น ๆ นิยมใชนิยามของ 0Y เพื่อใชแสดงคา 0Y ที่เปนที่รูจักกันในชื่อ ฟงกชันเวเบอร (1872-1913)

รูป 5.8.2 ฟงกชันเบสเซิลอันดับศูนย

y

x

0.5

0.5

1

2 4 6 8 10 12 14

0 xy J

0 xy Y


มาก โดยความเปนจริงแลวอาจกลาวไดวา เปนผลเฉลยที่ถูกตองของสมการเบสเซิลอันดับ ได

5.8.2 สมการเบสเซิลอันดับ (Bessel Equation of Order ) เมื่อเราหารสมการ(5.8.1) ดวย 2x จะไดสมการใหมเปน

2

2

11 0y y y

x x

สําหรับ x ที่มีคาใหญมาก ๆ จะทําใหเปนเหตุผลไดวาพจน 2

2

1 y

x x

และ มีขนาดเล็กมาก

จนสามารถที่จะละทิ้งหรือไมนํามาพิจารณาได ถาขอความที่วา นี้ถูกตอง แลวสมการเบสเซิลอันดับ ก็จะประมาณคาไดโดยสมการ 0y y ซึ่งผลเฉลยของสมการนี้อยูในรูปของฟงกชัน sin cosx xและ ดังนั้นเราอาจใชผลเฉลยของสมการ 0y y เปนผลเฉลยของสมการเบสเซิลในกรณีที่ x มีคาใหญมากๆ ซึ่งก็คือการรวมเชิงเสนของ sin cosx xและนั่นเอง ทั้งนี้เนื่องจากฟงกชันเบสเซิลเปนฟงกชันแกวงกวัด อยางไรก็ตามจะเห็นวามีสวนถูกตองเพียงบางสวนเทานั้น สําหรับ x ที่มีคาใหญมาก ฟงกชัน 0 0J Yและ มีคาลดลง ขณะที่ x มีคาเพิ่มขึ้น ดังนั้นสมการ 0y y จึงดูไมเหมาะสมที่จะใชในการประมาณคาสมการเบสเซิล เมื่อ x มีขนาดใหญมาก และตองการการวิเคราะหละเอียดออนมากยิ่งขึ้น ซึ่งตามความเปนจริงที่จะแสดงไดวา

1/2

0 4

2( ) cos( )J x x

x

เมื่อ x ………………… (5.8.15)

และแสดงไดวา1/2

0 4

2( ) sin( )Y x x

x

เมื่อ x ………………… (5.8.16)

การประมาณคาเชิงเสนกํากับ (asymptotic approximation) ขณะที่ x เหลานี้ เปนสิ่งดีตามความเปนจริงมาก เชนรูป 5.8.3 แสดงใหเห็นวาการประมาณคาเชิงเสนกํากับ (5.8.15) เพื่อหาคา 0 ( )J x ไดแมนยําสมเหตุสมผล สําหรับทุกคา x เมื่อ 1x ดังนั้นการประมาณคา

0 ( )J x เหนือชวงจากศูนยถึงความไมมีที่สิ้นสุดทั้งหมด จึงอาจใชสองถึงสามพจนของอนุกรมใน (5.8.7) สําหรับ 1x และการประมาณคาเชิงเสนกํากับ (5.8.15) สําหรับ 1x


5.8.3 สมการเบสเซิลอันดับหนึ่งสวนสอง (Bessel Equation of Order One-Half)หัวขอนี้เปนตัวอยางในการแสดงสถานะที่รากของสมการดัชนีมีคาตางกันเปนจํานวน

เต็มบวก แตจะไมมีพจนลอการิทึมอยูในผลเฉลยที่สอง เมื่อกําหนด 1

2 จะทําให สมการ

(5.8.1) อยูในรูป2 2 1

[ ] ( ) 04

L y x y xy x y ............. (5.8.17)

ถาเราแทนคา ( , )y r x ในรูปอนุกรมจากสมการ(5.8.3) จะได21

40 0

[ ( , )] [( )( 1) ( ) ] r n r nn n

n n

L r x r n r n r n a x a x

2 2 11 10 14 4

1

( 0) [( 1) ]r r

n

r a x r a x

2 124

2

( ) 0r nn n

n

r n a a x

............. (5.8.18)

รากของสมการดัชนีคือ 1 11 22 2,r r ซึ่งจะเห็นวาคารากทั้งสองของสมการตางกันเปน

จํานวนเต็ม ความสัมพันธเวียนเกิดสําหรับกรณีนี้คือ 2 1

24( ) ( ) ( )n nr n a r a r เมื่อ 2n .............. (5.8.19)ซึ่งสอดคลองกับรากคาที่มาก 1

1 2r โดยหาไดจากสัมประสิทธิ์ของ 1rx ในสมการ(5.8.18) เมื่อ 1 0a ดังนั้นจากสมการ (5.8.19) จะได 3 5 2 1 0na a a นั่นคือ สําหรับ

12r จะได

2 , 2,4,6,( 1)

nn

aa n

n n

หรือ เมื่อให n = 2m จะได

รูป 5.8.3 การประมาณคาเชิงเสนกํากับ 0 ( )J x

1

-1

2

y

x2 4 6 8 10

0y J x

การประมาณคาเชิงเสนกํากับ: 1 / 2

2 / cos / 4y x x


2 22 , 1,2,3,

2 (2 1)m

m

aa m

m m

โดยอาศัยความสัมพันธเวียนเกิด จะไดวา0 0

2 4, 3! 5!

a aa a ดังนั้นจึงไดรูปทั่วไปของสัมประสิทธิ์ คือ

02

( 1), 1,2,3,

(2 1)!

m

m

aa m

m

และเมื่อกําหนด 0 1a จึงได

2 2 1

1/2 1/21

1 0

( 1) ( 1)( ) 1 , 0

(2 1)! (2 1)!

m m m m

m m

x xy x x x x

m m

........... (5.8.20)

จะเห็นวาอนุกรมกําลังในสมการ (5.8.20) เปนอนุกรมเทยเลอรสําหรับ sin x ด ังนั้นผลเฉลยของสมการเบสเซิลอันดับหนึ่งสวนสอง คือ 1/2 sinx x นั่นคือเปนฟงกชันเบสเซิลอันดับหนึ่งสวนสองแบบที่หนึ่ง 1/2J ที่นิยามโดย 1/2

12( ) y

ดังนั้น1/ 22

( ) sin , 01/ 2

J x x xx

..…….. (5.8.21)

ซึ่งสอดคลองกับราก 212

r และอาจเปนไดที่จะประสบความยุงยากในการคํานวณคา 1a

เนื่องจาก 1 2 1N r r อยางไรก็ตามจากสมการ(5.8.18) สําหรับ 12

r สัมประสิทธิ์

ของ rx และ 1rx ตางก็มีคาเปนศูนยโดยไมตองคํานึงถึงคาตัวเลือกของ 0a และ 1a เนื่องจาก

0a และ 1a เปนตัวคงคาที่สามารถเลือกได จากความสัมพันธเวียนเกิด (5.8.19) จะไดเซตของสัมประสิทธิ์พจนเลขคูสอดคลองกับ 0a และเซตของสัมประสิทธิ์พจนเลขคี่สอดคลองกับ 1a ดังนั้นจึงไมมีพจนลอการิทึมปรากฏอยูในผลเฉลยที่สองสําหรับกรณีนี้ ตัวอยางสําหรับกรณี 1

2r

0 12 2 1

( 1) ( 1), , 1,2,

(2 )! (2 1)!

n n

n n

a aa a n

n n

เนื่องจาก2 2 1

1/22 0 1

0 0

( 1) ( 1)( )

(2 )! (2 1)!

n n n n

n n

x xy x x a a

n n

หรือ

2 0 11/2 1/2

cos sin( ) , 0

x xy x a a x

x x ………..……... (5.8.22)

คาคงตัว 1a ตัวเดียวอาจใหคา 1y ไดหลายคา โดยปรกติจะให 1/220 1( ) 0a a และ ใน

การหาผลเฉลยที่สองที่เปนผลเฉลยอิสระเชิงเสนของสมการเบสเซิลอันดับหนึ่งสวนสอง ซึ่งเขียนแทนดวย


1/221/2 ( ) ( ) cos , 0J x x x ………..……... (5.8.23)

ดังนั้นผลเฉลยทั่วไปของสมการ(5.8.17) คือ

1 1/2 2 1/2( ) ( )y c J x c J x

โดยการเปรียบเทียบสมการ(5.8.21) และ(5.8.23) โดยอาศัยสมการ(5.8.15)และ(5.8.16) จะเห็นวา ยกเวนเลื่อนเฟส(phase)ของ 4

สําหรับคา x ที่มีขนาดใหญฟงกชัน 1/2 1/2 J J และ คลายกับ 0J และ 0Y ตามลําดับ ดังแสดง กราฟของ 1/2 1/2 J J และ ในรูป 5.8.4

5.8.4 สมการเบสเซิลอันดับหนึ่ง (Bessel Equation of Order One)หัวขอนี้เปนตัวอยางในการแสดงสถานะที่รากของสมการดัชนีมีคาตางกันเปนจํานวน

เต็มบวก และผลเฉลยที่สองจะมีพจนลอการิทึมรวมอยูดวย เมื่อกําหนด 1 จะทําให สมการ(5.8.1) อยูในรูป

2 2[ ] ( 1) 0 L y x y xy x y ................ (5.8.24) ถาเราแทนคา ( , )y r x ในรูปอนุกรมจากสมการ(5.8.3) จะได

2 2 10 1[ ( , )] ( 1) [( 1) 1]r rL r x a r x a r x

22

2

{[( ) 1] } 0r nn n

n

r n a a x

................ (5.8.25)

รากของสมการดัชนี คือ 1 21, 1r r ซึ่งจะเห็นวาคารากทั้งสองของสมการตางกันเปนจํานวนเต็ม ความสัมพันธเวียนเกิดสําหรับกรณีนี้คือ

22( ) 1 ( ) ( )n nr n a r a r เมื่อ 2n ................ (5.8.26)

ซึ่งสอดคลองกับรากคาที่มาก 1 1r ความสัมพันธเวียนเกิดจึงเปน2 , 2,3,4,

( 2)n

n

aa n

n n

รูป 5.8.4 ฟงกชันเบสเซิล 1/ 2 1/ 2 และ J J

y1

1/ 2 xy J

x

0.5

0.5

2 4 6 8 10 12 14

1/ 2 xy J


ซึ่งหาไดจากสัมประสิทธิ์ของ 1rx ในสมการ(5.8.25) เมื่อ 1 0a ดังนั้นจากความสัมพันธเวียนเกิด จะได 3 5 0a a สําหรับคา n ที่เปนเลขคู เมื่อให n = 2m จะได

2 2 2 22 2

, 1, 2,3,2 (2 2) 2 ( 1)

m mm

a aa m

m m m m

โดยอาศัยความสัมพันธเวียนเกิด จะไดวา0

2 2

( 1), 1,2,3,

2 ( 1) !

m

m m

aa m

m m

................ (5.8.27)

ฟงกชันเบสเซิลอันดับหนึ่งแบบที่หนึ่ง เขียนแทนดวย 1J ซึ่งไดจากการเลือก 10 2a ดังนั้น

2

1 20

( 1)( )

2 2 ( 1)! !

m m

mm

x xJ x

m m

................ (5.8.28)

ซึ่งอนุกรมนี้ลูเขาแบบสัมบูรณสําหรับทุกคา x ดังนั้น 1J จึงเปนฟงกชันวิเคราะหตลอด ในการพิจารณาผลเฉลยที่สองของสมการเบสเซิลอันดับหนึ่ง หาไดโดยการแทนคา

โดยตรง การคํานวณของพจนทั่วไปในสมการ(5.8.29) ขางลางนี้ดูจะคอนขางซับซอน แตสัมประสิทธิ์ ของสองถึงสามพจนแรกจะหาไดงาย โดยทฤษฎีบท 5.7.1 เราสมมติวา

12 1

1

( ) ( ) ln 1 , 0nn

n

y x aJ x x x c x x

................ (5.8.29)

การคํานวณ 2 2( ), ( )y x y x แทนในสมการ(5.8.24) และ ทําใหไดขอเท็จจริงวา 1J เปนผลเฉลยของสมการ(5.8.24) จะได

1 11

0 0

2 ( ) [( 1)( 2) ( 1) ] 0n nn n n n

n n

axJ x n n c n c c x c x

……… (5.8.30)

เมื่อ 1nc แทนคาของ 1( ) J x จากสมการ(5.8.28) และเลื่อนดัชนีของผลรวมยอด ในทั้งสองอนุกรม และดําเนินตามขั้นตอนทางพีชคณิตจะไดวา

21 2 0 1 1

2

[0 ] [( 1) ] nn n

n

c c c x n c c x

2 1

21

( 1) (2 1)

2 ( 1)! !

m m

mm

m xa x

m m

..(5.8.31)

จากสมการ(5.8.31) สังเกตเห็นวา 1 0c และ 0 1a c และพบวาทางขวามือ ของสมการ พจน x มีเลขชี้กําลังเปนเลขคี่เทานั้น สัมประสิทธิ์ของพจน x ที่มีเลขชี้กําลังเปนเลขคูทางซายมือของสมการจะตองเปนศูนย ดังนั้น เนื่องจาก 1 0c ดังนั้น 3 5 0c c ซึ่งสอดคลองกับพจน x ที่มีเลขชี้กําลัง เปนเลขคี่ จึงไดความสัมพันธเวียนเกิด [ ให 2 1n m

ในอนุกรมที่อยูทางซายมือของสมการ (5.8.31) ]

22 2 2 2

( 1) (2 1)[(2 1) 1] , 1, 2,3,

2 ( 1)! !

m

m m m

mm c c m

m m

.……… (5.8.32)

เมื่อให 1 m ในสมการ(5.8.32) จะได2

4 2 2

( 1)3(3 1)

2 2!c c


จะเห็นวาสามารถเลือก 2c เปนตัวคงคาได แลวจะหาคาของ 4c จากสมการนี้ได ดังนั้นสัมประสิทธิ์ของ x ในสมการ จะปรากฏเห็น 2c คูณดวยศูนย และใชสมการหาคา a ที่ 2c

เปนตัวคงคา เนื่องจาก 2c เปนสัมประสิทธิ์ของ x ในนิพจน 1

1[1 ]n

nn

x c x

ผลก็คือ

กอใหเกิดผลคูณงาย ๆ ของ 1J และ 2y คือคาที่ขึ้นอยูกับการบวกผลคูณของ 1J ซึ่งในทางปฏิบัติตามปรกติ เราเลือก 2

12 2

c จึงได

4 2 14 4 4

1 3 1 1 11 1 1 ( )

2 2 2 2 2! 2 2 2!c H H

มีความเปนไปไดที่จะแสดงวาผลเฉลยของความสัมพันธเวียนเกิด (5.8.32) คือ

11

2 2

( 1) ( ), 1,2,

2 !( 1)!

mm m

m m

H Hc m

m m

และดวยความเขาใจวา 0 0H ดังนั้น1

212 1 2

1

( 1) ( )1( ) ( ) ln 1 , 0

2 !( 1)!

mmm m

mm

H Hy x J x x x x

x m m

……… (5.8.33)

การคํานวณหาคาของ 2 ( )y x นี้เลือกใชวิธีการในการพิจารณาหา 2( )nc r [ ดูสมการ (5.7.19) และ (5.8.20) ของหัวขอ 5.7 ] ซึ่งเปนวิธีงายกวา โดยเฉพาะวิธีการหลังใหสูตรทั่วไปของ 2mc ที่ปราศจากความจําเปนของการหาความสัมพันธเวียนเกิด ในรูปของสมการ (5.8.32 ) (ดูโจทยขอ 11) ซึ่งผูอานอาจพิจารณาเปรียบเทียบการคํานวณกับผลเฉลยที่สองของสมการเบสเซิลอันดับศูนยในหนังสือและในโจทยขอ 10 จากแบบฝกหัดของหัวขอนี้ไดอีกดวย

ผลเฉลยที่สองของสมการ(5.8.24) , ฟงกชันเบสเซิลอันดับหนึ่งแบบที่สอง 1Y โดยปรกติจะนํามาใชในรูปผลรวมเชิงเสนของ 1J และ 2y เมื่อ 1Y นิยามโดย

1 2 1

2( ) [ ( ) ( ln 2) ( )]Y x y x J x

……….… (5.8.34)

เมื่อ เปนตัวคงคาที่นิยามไวใน(5.8.12) ดังนั้น ผลเฉลยทั่วไปของสมการ (5.8.24) สําหรับ x 0 คือ 1 1 2 1( ) ( )y c J x c Y x

จะสังเกตเห็นวา ขณะ 1J เปนฟงกชันวิเคราะห ที่ 0 x ผลเฉลยที่สอง 1Y ไมมีขอบเขต ซึ่งมี

ลักษณะเหมือนกับ 1

x เมื่อ 0x ดังกราฟของ 1J และ 1Y ที่แสดงในรูป 5.8.5



จงแสดงวาสมการเชิงอนุพันธที่กําหนดใหในโจทยขอ 1-4 มีจุดเอกฐานปรกติที่ x = 0 และจงพิจารณาวาผลเฉลยทั้งสองเปนอิสระเชิงเสน สําหรับ x > 01. 2 2 0x y xy xy 2. 2 3 (1 ) 0x y xy x y

3. 2 2 0x y xy xy 4. 2 4 (2 ) 0x y xy x y

5. จงหาผลเฉลยทั้งสองแบบของสมการเบสเซิลอันดับ 32

2 2 92 ( ) 0, 04

x y xy x y x

6. จงแสดงวา สามารถลดรูปแบบของสมการเบสเซิลอันดับหนึ่งสวนสอง 2 2 1

4( ) 0, 0x y xy x y x เปนรูปแบบ 0v v โดยการเปลี่ยนตัวแปร ตาม 1/2 ( )y x v x แลวหาตอจนไดวา 1/2 1/2

1 2( ) cos ( ) siny x x x y x x x และ เปนผลเฉลยของสมการเบสเซิลอันดับหนึ่งสวนสอง

7. จงแสดงวาอนุกรม 0 ( )J x ในสมการ(5.8.7) เปนอนุกรมลูเขาแบบสัมบูรณ สําหรับทุกคา x

8. จงแสดงวาอนุกรม 1( )J x ในสมการ(5.8.28) เปนอนุกรมลูเขาแบบสัมบูรณ สําหรับทุกคา x และ 0 1( ) ( )J x J x

9. จงพิจารณาสมการเบสเซิลอันดับ ; 2 2 2( ) 0, 0x y xy x y x

เมื่อ เปนจํานวนจริงที่มากกวาศูนย (a) จงแสดงวา 0 x เปนจุดเอกฐานปรกติ และรากของสมการดัชนีคือ และ

รูป 5.8.5 ฟงกชันเบสเซิล 1 1 และ YJ

2 4 6 8 10 12 14

1 xy J

1 xy Y

x

0.5

0.5

1

y


(b) จงแสดงวา ผลเฉลยหนึ่งของสมการที่สอดคลองกับรากคาที่มาก คือ

2

11

( 1)( ) 1

!(1 )(2 ) ( 1 )( ) 2

mm

m

xy x x

m m m

(c) ถา 2 ไมเปนจํานวนเต็ม จงแสดงวาผลเฉลยที่สองคือ

2

21

( 1)( ) 1

!(1 )(2 ) ( 1 )( ) 2

mm

m

xy x x

m m m

อยาลืมวา 1( ) 0y x ขณะ 0x และ 2 ( )y x ไมมีขอบเขต ขณะ 0x (d) จงพิสูจนวา อนุกรมกําลังใน 1( )y x และ 2 ( )y x ลูเขาแบบสัมบูรณ สําหรับทุกคา x

และพิสูจนวา 2y เปนผลเฉลยที่ไดจาก ที่ไมเปนจํานวนเต็มเทานั้น

10. ในหัวขอนี้ไดแสดงแลววาผลเฉลยของสมการเบสเซิลอันดับศูนย 2 2[ ] 0L y x y xy x y

คือ 0J เมื่อ 0 ( )J x กําหนดโดยสมการ(5.8.7) ที่ 0 1 a และโดยทฤษฎีบท 5.7.1 ผลเฉลย

ที่สองของสมการอยูในรูป (x > 0) 2 01

( ) ( ) ln nn

n

y x J x x b x

(a) จงแสดงวา 22 0

2 1 1

[ ( )] ( 1) 2 ( )n n nn n n

n n n

L y x n n b x nb x b x xJ x

… (i)

(b) แทน 0 ( )J x ดวยอนุกรมลงในสมการ (i) จงแสดงวา

2

2 2 21 2 2 2 2

3 1

( 1) 22 ( ) 2

2 ( !)

n nn

n n nn n

nxb x b x n b b x

n

…………….(ii)

(c) เนื่องจาก กําลังของพจน x ที่อยูดานขวามือของสมการ (ii) เปนเลขคูเทานั้น จงแสดง

วา 1 3 5 2 2 2

10,

2 (1!)b b b b และ 2

2 2 2 2 2

2( 1) (2 )(2 ) ,

(2 )( !)

n

n n n

nn b b

n

เมื่อ

2,3,4,n จงใชแนวทางการอนุมานพิจารณาวา

4 62 2 2 2 2

1 1 1 1 11 1

2 4 2 2 4 6 2 3b b

และ ผลเฉลยทั่วไปของความ

สัมพันธเวียนเกิด คือ 1

2 2 2( 1)

2 ( !)

nn

n nH

bn

แทน nb ลงใน 2 ( )y x จะไดผลเฉลยดังใน

สมการ(5.8.10)

11. จงหาผลเฉลยที่สองของสมการเบสเซิลอันดับหนึ่ง โดยคํานวณ 2( )nc r และ a ของ สมการ(5.7.24) ที่สอดคลองกับสูตรในสมการ (5.7.19) และ (5.7.20)


[ขอแนะนํา: ขั้นแรกควรใชสมการ(5.8.25) แสดงวา 1 1( 1) ( 1)a a และ เปนศูนย แลวแสดงวา 1( 1) 0 c และจากความสัมพันธเวียนเกิด ที่ ( 1) 0nc สําหรับ 3,5,n และสุดทาย ใชสมการ(5.8.26) แสดงวา

02 2 2

( 1)( )

( 1)( 3) ( 2 1) ( 2 1)

m

m

aa r

r r r m r m

เมื่อ 1, 2,3,m

และคํานวณหา 1

12 2

( 1) ( )( 1)

2 !( 1)!

mm m

m m

H Hc

m m

]

12. จงใชแนวทางการเปลี่ยนตัวแปรใหมเพื่อแปลงสมการเชิงอนุพันธ ไปเปนสมการเบสเซิล แลวจงแสดงวาผลเฉลยของ 2 2 2 2 2 21

4( ) 0, 0x y x y x คือ 1/2 ( )y x f x เมื่อ ( )f คือผลเฉลยของสมการเบสเซิลอันดับ

13. จงใชผลลัพธของโจทยขอ 12 แสดงวาผลเฉลยทั่วไปของสมการแอริ 0, 0y xy x คือ 1/2 3/2 3/22 2

1 1 2 23 3[ ( ) ( )]y x c f ix c f ix เมื่อ 1 2( ) ( )f f และ เปนผลเฉลยอิสระเชิงเสนของสมการเบสเซิลอันดับหนึ่งสวนสาม

14. สามารถแสดงไดวา 0J มีคาเปนศูนยไดหลายครั้งจนนับไมถวนสําหรับ 0 x โดยเฉพาะ สามคาแรกที่เปนศูนย เปนคาใกลเคียง 2.405, 5.520 และ 8.653 (ดูรูป 5.8.1) ให

, 1, 2,3,j j แทนคาศูนยของ 0J ซึ่งพบวา

0

1, 0( )

0, 1j

xJ x

x

พิสูจนไดวา 0 ( )jy J x สอดคลองกับสมการเชิงอนุพันธ 21 0, 0jxy y y x

ดังนั้น จงแสดงวา 1

0 0

0

( ) ( ) 0i ixJ x J x dx ถา i j

หมายเหตุ : ปริพันธขางบนนี้เปนสมบัติที่สําคัญของ 0 ( )iy J x ที่รูจักในชื่อ สมบัติเชิงตั้งฉาก (orthogonality property) ซึ่งมีประโยชนในการหาผลเฉลยของปญหาคาขอบ

[ แนะนํา: เขียนสมการเชิงอนุพันธสําหรับ 0 ( )iJ x คูณสมการที่ไดดวย 0 ( )jxJ x และลบออกจาก 0 ( )ixJ x สมการเชิงอนุพันธเปน 0 ( )jJ x แลวหาปริพันธจาก 0 ถึง 1 ]

series solutions of second order linear equations) · 212 บทที่ 5...

Documents