Universidad Técnica Particular de Loja

Escuela de Electrónica y Telecomunicaciones

Procesamiento de Señales Analógicas y Digitales

Tutorial Series y Transformada de Fourier en Tiempo Continuo TC

Primera Parte: Series de Fourier en TC.

1. Introducción.

Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función

periódica y continua a trozos(o por partes). Las series de Fourier constituyen la

herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar

funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma

infinitesimal de funciones senoidales mucho más simples (como combinación de

senos y cosenos con frecuencias enteras). El nombre se debe al matemático francés

Jean-Baptiste Joseph Fourier que desarrolló la teoría cuando estudiaba la ecuación

del calor. Fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, y publicando sus

resultados iniciales en 1807 y 1811. Esta área de investigación se llama algunas

veces Análisis Armónico [1].

Es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una

herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Áreas de aplicación

incluyen análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y señales,

y compresión de datos. En ingeniería, para el caso de los sistemas de

telecomunicaciones, y a través del uso de los componentes espectrales de frecuencia

de una señal dada, se puede optimizar el diseño de un sistema para la señal

portadora del mismo [1].

Partiendo de una idea inicial, por ejemplo nosotros sabemos que un vector se puede

descomponer en la sumatoria de sus componentes ortogonales, tal como se puede

apreciar a continuación en la siguiente figura:

x

y

V

a

b

ix

jy

Figura 1. Trazo de un vector descompuesto en sus componentes ortogonales

Matemáticamente el vector se lo puede descomponer en sus componentes

ortogonales:

(1)

Este concepto se lo puede extender al orden de las funciones, que es como se

representa a las señales; es decir, la factibilidad de poder expresar a una señal en

términos de la sumatoria de senos y cosenos (los mismo que son ortogonales entre

sí), o entre la sumatoria de funciones de exponenciales complejas, las cuales son

igualmente ortogonales y parten de la ecuación de Euler.

Las series de Trigonométricas de Fourier tienen la siguiente forma:

( ) ∑ [

]

( )

Donde y se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la

función ( ).

2. Series Trigonométricas de Fourier.

2.1. Análisis de la forma de onda.

El matemático Francés Fourier encontró que cualquier forma de onda periódica,

esto es, una forma de onda que se repite después de algún tiempo, puede ser

expresada como una serie de sinusoides relacionadas armónicamente; es decir,

sinusoides cuya frecuencia son múltiplos de una frecuencia fundamental (o primer

armónico). Por ejemplo, un serie de sinusoides con frecuencias de 1 MHz, 2 MHz, 3

MHz, y así por el estilo, contiene la frecuencia fundamental de 1 MHz, un segundo

armónico de 2 MHz, u tercer armónico de 3 MHz, y así por el estilo. En general,

una forma de onda periódica ( ) puede ser expresada como:

( )

(3)

Ó

( ) ∑[ ( ) ( )]

( )

Donde el primer término

es una constante, y representa la componente de DC

(promedio) de la ( ). Así, si ( ) representa algún voltaje v(t), o corriente i(t), el

término

es el valor promedio de v(t), ó i(t).

Los términos con los coeficientes y juntos, representan los componentes de

frecuencia fundamental . Así como, los términos con los coeficientes y

juntos, representan el segundo componente armónico , y así sucesivamente.1

En términos generales, la suma de dos o más sinusoides de diferente frecuencia

produce una forma de onda que no es sinusoidal, como se muestra en la Figura 2.

1 Recordamos que ( ), siendo una constante

Figura 2. Sumatoria del componente fundamental con el segundo y tercer armónico

2.2. Evaluación de los coeficientes.

La evaluación de los coeficientes y de la ecuación 3 no es una tarea difícil

debido a que el seno y coseno son funciones ortogonales, es así, que evaluar el área

bajo la curva producto de las funciones seno y coseno en los intervalos de a

es cero. Lo mostraremos a continuación.

Consideremos las funciones ( ) y ( ) donde m y n son cualquier enetero.

Entonces,

∫ ( )

(5)

∫ ( )

(6)

∫ [ ( )][ ( )]

(7)

Las integrales de (5) y (7) son cero, ya que el área bajo de a es cero. La

integral de (6) es también cero desde que

[ ( ) ( )]

Esto se hace más obvio, con el trazo de la figura 3, donde que el área neta bajo la

curva es cero.

Figura 3. Prueba gráfica de que ∫ [ ( )][ ( )]

Además, si m y n son enteros diferentes, entonces,

∫ [ ( )][ ( )]

(8)

A partir de

[ ( ) ( )]

La integral de (8) también se puede obtener combinada gráficamente como se

muestra en la figura 4, donde m = 2 y n = 3. Observamos que el área bajo la línea

punteada y bajo los ejes del tiempo es igual a cero.

Figura 4. Prueba gráfica de ∫ [ ( )][ ( )]

para m = 2 y n = 3

También si m y n son enteros diferentes, entonces.

∫ [ ( )][ ( )]

(9)

A partir del hecho de,

[ ( ) ( )]

La integral de (9) también puede ser confirmada gráficamente como se muestra en

la figura (5), donde m = 2 y n = 3. Observamos que el área bajo la curva de la línea

puntead y sobre el eje del tiempo es igual a cero.

Figura 5. Prueba gráfica de ∫ [ ( )][ ( )]

para m = 2 y n = 3

Sin embargo, si en (8) o en (9), m = n, entonces,

∫ [ ( )]

(10)

Y

∫ [ ( )]

(11)

Las integrales de (10) y (11) también pueden ser vistas gráficamente con el trazo de

las figuras 6 y 7.

Al inicio de esta sección se discutió y estableció que las funciones seno y coseno

son ortogonales entre sí. La simplificación que se obtiene aplicando las propiedades

de la ortogonalidad del seno y del coseno, se aplicarán a continuación.

En la ecuación (3), de la página 3, por simplicidad, nos permitimos hacer que la

frecuencia angular . Entonces tenemos,

( )

(12)

Figura 6. Prueba gráfica de ∫ [ ( )]

Figura 7. Prueba gráfica de ∫ [ ( )]

Para evaluar cualquier coeficiente en (12), por decir , multiplicamos ambos lados

de (12) por ( ). Entonces,

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

Luego, multiplicamos ambos lados de la expresión anterior por dt, e integramos

sobre el periodo de a . Entonces,

∫ ( ) ( )

∫ ( )

∫ ( ) ( )

∫ ( ) ( )

∫ ( ) ( )

∫ ( ) ( )

∫ ( ) ( )

∫ ( )

∫ ( ) ( )

∫ ( ) ( )

( )

Observamos que cada término del lado derecho de (13) excepto el término

∫ ( )

Es cero tan como lo determinamos en (4) y (5). Por lo tanto (13) se reduce a

∫ ( )

( ) ∫ ( )

Ó

∫ ( )

( )

Y así podemos evaluar la integral de cualquier de las siguientes funciones ( ). El

resto de coeficientes se pueden evaluar similarmente.

Los coeficientes , , , se determinan a través de las siguientes relaciones.

∫ ( )

(14)

∫ ( ) ( )

(15)

∫ ( ) ( )

(16)

La integral (14), nos otorga el valor promedio (DC) de ( ).

3. Simetría en las Series Trigonométricas de Fourier

Con algunas pocas excepciones, tal como las formas de onda rectificada a media

onda (página x), la mayoría de las formas de onda usadas en la ciencia e ingeniería,

no tienen promedio, o alguno de los términos seno o coseno. Algunas formas de

onda poseen términos únicamente en función de cosenos, mientras que otras tienen

términos solamente en función de senos. Sin embargo otras formas de onda pueden

tener o no componentes en DC. Afortunadamente, es posible predecir los términos

que estarán presentes en la forma trigonométrica de Fourier, mediante la

observación de si la forma de onda posee o no algún tipo de simetría.

Discutiremos tres tipos de simetría que pueden ser usados para facilitar el cálculo de

las series trigonométricas de Fourier. Estas son:

1) Simetría impar – Si una forma de onda tiene una simetría impar; esto es, si

tiene una función impar, las series de Fourier consisten en términos seno

únicamente. En otras palabras, si ( ) es una función impar, todos los

términos de los coeficientes incluyendo , serán cero.

2) Simetría par – Si una forma de onda tiene una simetría par; esto es, si tiene

una función par, las series de Fourier consisten en términos coseno

únicamente, y puede ser o no cero. En otras palabras, si ( ) es una

función par, todos los términos de los coeficientes serán cero.

3) Simetría de mitad de onda – Si una forma de onda tiene simetría de media

onda (que se definirá en breve), sólo armónicos impares estarán presentes

(coseno impar y seno impar). En otras palabras, todos los armónicos pares

(coseno par y seno par) serán cero.

Definimos las funciones par e impar en clases anteriores. Recordamos que una

función impar es aquella para el cual

( ) ( ) (17)

Y las funciones pares son aquellas para las cuales

( ) ( ) (18)

Algunos ejemplos clásicos de señales pares son las señales coseno, y de señales

impares son las señales seno. Generalmente, una función impar tienen una potencia

impar de variable independiente t, y funciones pares tienen potencias pares de la

variable independiente t. Así, el producto de dos funciones impares o el producto de

dos funciones pares, resultarán en una función impar, mientras que el producto de

una función impar con una función par, resultará en una función par. Sin embargo,

la suma (o diferencia) de una función impar y una par, dará una función que no es

impar ni par.

Para entender la simetría de media – onda, recordamos que cualquier función

periódica con periodo T, es expresada como

( ) ( ) (19)

Esto es, la función con el valor ( ) en cualquier tiempo t, tendrá el mismo valor de

nuevo en un instante posterior t + T.

Una forma de onda periódica con periodo T, tiene simetría de media – onda sí.

(

) ( ) (20)

Esto es, la forma del la mitad de ciclo negativo de la forma de onda es la misma que

la mitas del ciclo positivo, pero invertido.

3.1. Simetría en una forma de onda cuadrada

Para la forma de onda de la figura 8, el promedio sobre el periodo T es cero, y por

lo tanto, . Esta es también una función impar, y tiene simetría de media -

onda, a partir de – ( ) ( ) y – (

) ( ).

Figura 8. Prueba para simetría de una forma de onda cuadrada.

Una forma sencilla de determinar la simetría de media – onda consiste en elegir

cualquier longitud de mitad de periodo T/2 sobre el eje del tiempo como se muestra

en la figura 8, y observar los valores de ( ) en los puntos del lado izquierdo y

derecho sobre el eje del tiempo, tal como ( ) y ( ). Si existe simetría de media –

onda, estas siempre van a ser igual pero opuestas en signo conforme deslizamos la

longitud T/2 de izquierda a derecha sobre el eje del tiempo en los valores no – cero

de ( ).

3.2. Simetría en formas de onda cuadradas con ejes con el eje de las ordenadas

desplazado

Si en la onda cuadrada de la figura 8 desplazamos el eje de las ordenadas

radianes

a la derecha, como se muestra en la figura 8, observaremos que la forma de onda

cuadrada ahora se convierte en una función par, y tiene simetría de media - onda a

partir de que ( ) ( ) y – (

) ( ). También tendremos que .

Obviamente, si el eje de las ordenadas es desplazado por cualquier otro valor que no

sea un múltiplo par de

, la forma de onda no tendrá ni simetría impar ni par.

Figura 9. Forma de onda cuadrada con el eje de las ordenadas desplazado

3.3. Simetría en una forma de onda diente de sierra

Para la forma de onda en diente de sierra que se muestra en la figura 10, el valor

promedio sobre el periodo T es cero y por lo tanto, . Esta es también una

función impar porque – ( ) ( ), pero no tiene simetría de media – onda

porque – (

) ( ).

Figura 10. Prueba de simetría para una forma de onda en diente de sierra

3.4. Simetría en una forma de onda triangular

Para una forma de onda triangular de la figura 11, el valor promedio sobre el

periodo T es cero y por lo tanto, . Este es también una función impar desde

que – ( ) ( ). Por otro lado, este tiene simetría de media – onda porque

– (

) ( ).

Figura 11. Prueba de simetría para una forma de onda triangular

3.5. Simetría en las señales fundamentales en el segundo y tercer armónico

La figura 12 muestra la señal fundamental, la segunda, y tercera armónica de una

típica señal senoidal.

Figura 12. Prueba de simetría para la señal fundamental, segunda y tercera

armónica

En la figura 12, la mitad del periodo T/2, se elije como la mitad del periodo de la

frecuencia fundamental. Esto es necesario para hacer una prueba de la fundamental,

segunda y tercera armónicas para la simetría de media onda. La fundamental tiene

simetría de media – onda desde que el valor y – , cuando están separados T/2,

son iguales y opuestos. La segunda armónica no tiene simetría de media – onda

porque las ordenada sobre la parte izquierda y sobre la parte derecha, aunque

son iguales, no son opuestos en signo. La tercera armónica tiene simetría de media –

onda desde que los valores y – , cuando están separados por T/2 son iguales y

opuestos en signo. Estas formas de onda pueden ser o no impares o pares

dependiendo de la posición del eje de las ordenadas. También, todas las tres formas

de onda tienen valores promedio cero a menos que el eje de las abscisas de mueva

hacia arriba o hacia abajo.

En las expresiones de las integrales (10) hasta (12), los límites de integración para

los coeficientes y están dados de a , esto es, un periodo T. Por supuesto,

podemos elegir los límites de integración de a . También, si dada forma de

onda es una función impar, o una función par, o simetría de media – onda; podemos

calcular los coeficientes y por la integración de a solamente, y multiplicar

la integral por 2. Por otra parte, si la forma de onda tiene simetría de media – onda y

también es una función ya se impar o par. Podemos elegir los límites de integración

de a

y multiplicar la integral por 4. La prueba de estas modificaciones, está

basada en el hecho que, el producto de dos funciones pares es otra función par. Sin

embargo, es importante recordar que cuando se usa estos atajos, debemos evaluar

los coeficientes y para los valores enteros de n que resultarán en coeficientes

no – cero.

4. Series trigonométricas de Fourier de formas de onda comunes

4.1. Series trigonométricas de Fourier para una forma de Onda Cuadrada

Para la forma de onda cuadrada de la figura 13, la serie trigonométrica consiste en

términos sinoidales únicamente porque, como ya vimos en las secciones anteriores,

esta forma de onda es una función impar. Por otra parte, únicamente los armónicos

impares se presentan a partir de que la forma de una tiene simetría de media – onda.

Sin embargo, computaremos todos los coeficientes, con el objetivo de verificar esta

situación. También, por cuestión de tiempo, asumiremos que .

Figura 13. Forma de onda cuadrada como unción impar

Los coeficientes se encuentran por

∫ ( ) ( )

*∫ ( ) ∫ ( ) ( )

+ (21)

( ( )

( )

)

( ( ) ( ) ( ))

( ( ) ( ))

A partir de que n es un entero (positivo o negativo) o cero, el término dentro de los

paréntesis sobre la ecuación (21) son cero y por lo tanto, todos los coeficientes

son cero, tal como se esperaba a partir de que la forma de onda cuadrada tiene

simetría impar. También, por inspección, el valor promedio (DC) es cero, pero si

intentamos verificar esto utilizando la ecuación (21), obtendremos la forma

indeterminada 0/0. Para trabajar alrededor de este problema, evaluaremos

directamente de la ecuación (14), de esta manera tenemos.

*∫

∫ ( )

+

( ) (22)

Los coeficientes se encuentran a partir de (16), esto es,

∫ ( ) ( )

∫ ( ) ( )

0∫ ( ) ( )

∫ ( ) ( )

1

( ( )

( )

)

( ( ) ( ) ( ))

( ( ) ( )) (23)

Para n = par, no da

( )

Como esperábamos, ya que la onda cuadrada tiene simetría de media – onda.

Para n = impar, se reduce a

( )

Y así tenemos,

Y así por el estilo.

Por lo tanto, las series trigonométricas de Fourier para la onda cuadrada de simetría

impar son.

( )

( ( )

( )

( ) ) (24)

( )

∑

( )

Se estableció en la ecuación anterior que, si la forma de onda dada tiene simetría de

media – onda, y esta es también una función del tipo impar o par, podríamos

integrar desde a

, y multiplicamos la integral por . Esta propiedad se verifica

con el siguiente procedimiento.

Desde que las formas de onda son una función del tipo impar y se tiene la simetría

de media – onda, estaremos únicamente interesados con los coeficientes impares .

Entonces,

∫ ( ) ( )

( ( )

)

( (

) ) (25)

Para n = impar, (25) se convierte en

( )

(26)

Así como lo hicimos anteriormente, se comprueba la respuesta que encontramos en

la sección previa.

Luego, consideremos la figura 14 donde el eje de las ordenadas ha sido desplazado

a la derecha por

radianes, y se ha convertido en una función par. Sin embargo,

este permanece teniendo simetría de media – onda. Por lo tanto, las series

trigonométricas de Fourier consistirán en términos únicamente de cosenos impares.

Figura 14. Forma de onda cuadrada como función par

Desde que la forma de onda tiene simetría de media – onda, será suficiente para

integrar desde a

, y multiplicamos la integral por . Los coeficientes se

encentran a partir de

∫ ( ) ( )

[∫ ( )

]

( ( )

)

(

) (27)

Observamos que para cuando n = par, todos los coeficientes son cero, y así todos

los armónicos pares son cero como se esperaba. También, por inspección, el valor

promedio (DC) es cero.

Para n = impar, observamos a partir de (27) que (

), podemos alternar entre

y dependiendo sobre el entero asignado a n. Así tenemos.

(28)

( )

Y para n = 3,7,11,15, y así sucesivamente, este se convierte en

Entonces, las series trigonométricas de Fourier para la forma de onda cuadrada con

simetría par son.

( )

( ( )

( )

( ) )

( )

∑ ( )

( )

( ) (29)

Las series trigonométricas de (29) puede también derivarse como sigue:

A partir de la forma de onda de la figura 13 que es la misma que la figura 14, pero

desplazada a la derecha por

radianes, podemos utilizar la relación (24), es decir.,

( )

( ( )

( )

( ) ) (30)

Y substituyendo con

, esto es, nosotros tenemos

. Con

esta substitución, la relación (30) se convierte en

( )

* (

)

(

)

(

) +

( )

* (

)

(

)

(

) + (31)

Y usando las identidades (

) , (

) , y así

sucesivamente, reescribimos (31) como

( )

* ( )

( )

( ) + (32)

Esta es igual como en la ecuación (29).

Por lo tanto, si calculamos las series trigonométricas de Fourier con referencia a una

coordenada, y después nosotros recalcularemos las series con referencia a una diferente

ordenada, podemos usar el procedimiento anterior para guardar el cálculo del tiempo.

4.2. Series trigonométricas de Fourier de una onda diente de sierra

La forma de onda de diente de sierra de la figura 15 es una señal impar con simetría

de media – onda; por lo tanto, esta contiene únicamente términos en senos para

ambos armónicos pares e impares. De acuerdo a esto, únicamente necesitaremos

encontrar todos los coeficientes .

Figura 15. Señal de diente de sierra

Por inspección, la componente en DC es igual a cero. Así como se lo hizo

anteriormente, asumimos que . Si elegimos los límites de integración de a

, necesitaríamos ejecutar dos integraciones desde que tenemos

( ) {

Sin embargo, podemos elegir los límites desde – , y así necesitaremos

únicamente una integración a partir de esta función.

( )

Mejor aún, a partir de esta última ecuación es una función impar, podemos integrar

desde , y multiplicar la integral por 2; esto es lo que vamos a hacer.

A partir de las tablas de integrales,

∫ ( )

( )

( )

Entonces,

∫

( )

∫ ( )

(

( )

( ))

( ( ) ( ) ( ))

( ( ) ( )) (33)

Observamos que:

1. Si n = par, ( ) y ( ) . Entonces, (33) se reduce a:

( )

Esto es, los armónicos pares tienen coeficientes negativos.

2. Si n = impar, ( ) , ( ) . Entonces,

( )

Esto es, los armónicos impares tienen coeficientes positivos.

Así, las series trigonométricas de Fourier para una diente de sierra con simetría

impar es

( )

( ( )

( )

( )

( ) )

( )

∑( )

( ) (34)

4.3. Series trigonométricas de Fourier de una forma de onda triangular

La forma de onda triangular de la figura 16 es una función impar con simetría de

media onda; entonces, las series trigonométricas de Fourier contendrán únicamente

términos en senos con armónicos impares. De acuerdo a esto, necesitaremos

únicamente evaluar los coeficientes . Elegimos los límites de integración desde

a

, y multiplicaremos la integral por 4. Al igual que lo hicimos antes, asumimos

que .

Figura 16. Forma de onda triangular

Por inspección, la componente de DC es cero. A partir de las tablas de integrales,

∫ ( )

( )

( ) (35)

Entonces,

∫

( )

∫ ( )

(

( )

( ))

( ( ) ( ))

( (

)

(

)) (36)

Estamos únicamente interesados en los enteros n impares, y observamos que:

(

)

Para los enteros impares de n, los términos en seno son:

(

) {

Así, las series trigonométricas de Fourier para la onda triangular con simetría impar

es.

( )

( ( )

( )

( )

( ) )

( )

∑( )

( )

( ) (37)

4.4. Series trigonométricas de Fourier para una forma de onda de un

rectificador de media onda.

El circuito de la figura 17, es un rectificador de media onda cuya entrada es una

señal sinusoidal ( ) , y su salida ( ) es definida como

( ) , ( )

(38)

Figura 17. Circuito rectificador de media onda

Expresaremos ( ) como series trigonométricas de Fourier, y asumiremos que

. Las formas de onda de entrada y salida se muestran en la figura 18 y 19

respectivamente.

Figura 18. Entrada ( ) para el circuito de la Figura 17

Figura 19. Salida ( ) para el circuito de la Figura 17

Elegiremos el eje de las ordenadas en el punto 0, como se muestra en la figura 20.

Figura 20. Forma de onda de un rectificador de media onda del circuito de la Fig.17

Por inspección, el promedio es un valor que no es cero, y la forma de onda no es ni

impar ni par en simetría. Por lo tanto, esperaremos que todos los términos estén

presentes.

Los coeficientes se encuentran a partir de.

∫ ( )

( )

Ó

∫ ( ) ( )

∫ ( )

Y a partir de las tablas de integrales tenemos.

∫ ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Entonces,

2

0 ( )

( )

1

3

,* ( )

( )

+ *

+- (39)

Usando las identidades trigonométricas

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Y

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Obtenemos

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Y

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Entonces, por substitución en (39),

20 ( )

( )

1

3

20 ( )

( )

1

3

Ó

. ( ) ( ) ( ) ( )

/

( ( )

( )) (40)

Ahora, evaluaremos todos los coeficientes , excepto , de la ecuación (40), ya

que como es evidente, ahí existiría una indeterminación.

Primero, evaluaremos para obtener el valor en DC. Por sustitución de n = 0,

obtenemos

Por lo tanto, el valor de DC es

(41)

No podemos usar (40), para obtener porque esta relación no es válida para n = 1;

por lo tanto, evaluaremos la integral

∫ ( ) ( )

A partir de las tablas de integrales,

∫( ( ))( ( ))

( ( ))

Y así,

( ( ))

(42)

A partir de (40) con n = 2,3,4,5, . . ., obtenemos

( ( )

( ))

(43)

( ( ) )

( ) (44)

Podemos observar que para valores impares enteros de n, . Sin embargo,

para n = par, obtenemos

( ( ) )

( )

(45)

( ( ) )

( )

(46)

( ( ) )

( )

(47)

Y así sucesivamente.

Luego, necesitaremos evaluar los coeficientes . Para esta forma de onda,

∫ ( )

( )

∫ ( ) ( )

∫ ( )

Y a partir de las tablas de las integrales,

∫( ( ))( ( )) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Por lo tanto,

20 ( )

( )

1

3

0 ( )

( )

1 ( )

Esto es, todos los coeficientes , excepto , son cero.

Podemos hallar por la substitución directa en (15), para n = 1. Así,

∫ ( ( ))

*

( )

+

*

( )

+

(48)

Combinando (41), con (43) a través de (48), encontramos la serie trigonométrica de

Fourier para el rectificador de media onda sin simetría.

( )

( )

* ( )

( )

( )

( )

+ (49)