sessão(ppt) 3

Curso de Formação

Capacidades Transversais no Ensino da Matemática

Formador: Vasco Coelho (EB 2,3 Dr. José de Jesus Neves Júnior)

1

Sessão III

Mestrado em Didáctica e Inovação no Ensino das CiênciasÁrea de Especialização de Matemática

A Matemática constitui um património cultural

da humanidade e um modo de pensar

A sua apropriação é um direito de todos.

(Abrantes, Serrazina e Oliveira, 1999)

Comunicação Matemática

Fundamentação Teórica

CAPACIDADES TRANSVERSAIS AO ENSINO DA MATEMÁTICA

Comunicação (sentido lato)

Comunicar é um processo interactivo, que se desenvolve em contexto

social, requerendo um emissor (finte de informação que codifica e emite

uma mensagem e um receptor que a descodifica . (Nunes, 2001)

Forma de um emissor fazer chegar aos receptores um conjunto de

conhecimentos, que simples, quer complexo, usando um determinado

código linguístico. (Antão, 1997)



Comunicação Matemática num contexto de resolução de problemas: Uma experiência com alunos do 9.º anoComunicação (sentido lato)

Comunicação: comum + comunidade

(Menezes, Santos, Silva e Trindade, 2003)

Comunicação: communicatio : co + munis + tio

(Freixo, 2006)

co: reuniãomunis: estar encarregado detio: actividade

Comunicação, refere-se a uma acção emcomum, desde que a acção em comum serefira a um mesmo objecto




A comunicação é um processo social onde os intervenientes interagem e se

influenciam reciprocamente na construção de significados. (Belchior, 2003)

PARTILHA NEGOCIAÇÃO

SIGNIFICADOS



Comunicação Matemática num contexto de resolução de problemas: Uma experiência com alunos do 9.º ano


PARTILHA

NEGOCIAÇÃO

SIGNIFICADOS

COMUNICAÇÃO

INTERPESSOAL

(Vieira, 2000)

Não é só através de palavras que comunicamos. As posições corporais, os

gestos, a expressão facial, o olhar, o riso, a respiração, os silêncios são alguns

dos sinais emitidos que enriquecem a comunicação interpessoal. Tanto o

feedback verbal como o não verbal são elementos fundamentais em

comunicação, que reforçam a ligação entre os diferentes interlocutores. (Vieira,

2000)



Comunicação Matemática num contexto de resolução de problemas: Uma experiência com alunos do 9.º anoComunicação (sentido lato)

COMUNICAÇÃO INTERPESSOAL (Freixo, 2006)

Princípios fundamentais Axiomas

•Existência de duas ou mais pessoas

•O comportamento comunicativo deum individuo é consequência directada postura e personalidade da outraou outras pessoas

•Envolvimento e troca de mensagens

•Mensagens codificadas de formaverbal e não verbal

•Ausência de estrutura (informalidadee flexibilidade)

•Não se pode não comunicar

•A natureza de uma relação está nacontingência das sequenciascomunicativas entre os intervenientes

•Os seres humanos comunicam digitale analogicamente

•Todas as permutas comunicacionaissão simetrias ou complementares




Comunicação Matemática - Diferentes perspectivas

PARTILHA

NEGOCIAÇÃO

JUSTIFICAÇÃO DE SIGNIFICADOS

EXTERIORIZAÇÃO DO PENSAMENTO

APROPRIAÇÃO DE OUTRAS DIMENSÕES

DA MATEMÁTICA

CO

MU

NIC

AÇ

ÂO

M

ATE

MÁ

TIC

A

A comunicação matemática constitui um

processo social onde os participantes

interagem trocando informações e

influenciando-se mutuamente. (Martinho e

Ponte, 2005)

A comunicação matemática funciona

como um catalisador de reflexão. (Santos,

2005)A comunicação matemática permite aos

alunos explicar o porquê de determinadas

opções em detrimento de outras.

(Llinares, 2008)





COMUNICAÇÃO MATEMÁTICA

Segundo Llinares (2008) a comunicação matemática é necessária para que os

alunos desenvolvam competência matemática.

Exploração e resolução de problemas

Repetição de procedimentos

Perspectivas e opções metodológicas do professor

Partilha, discussão, apresentação, reformulação, experimentação





Ao olhar para a forma como os professores e alunos interagem, permite

desenvolver perspectivas teóricas úteis para interpretar e analisar a

complexidade das aulas de Matemática .

Metáfora da aquisição Metáfora da participaçãoLampert e Cobb (2003)

A Metáfora da Aquisição, remetepara um conjunto de abordagens quecaracterizam a aprendizagem doconhecimento, como a aquisição doconhecimento, que estaaprendizagem activa ou passiva.

A Metáfora da Participação, remetepara o processo de participaçãoprogressiva, onde o foco é o estudodo discurso e a emergência designificados partilhados

Lampert e Cobb (2003) consideram ambas as metáforas como diferentes masnão mutuamente exclusivas




Sierpinska (1998), apresenta três perspectivas teóricas sobre a aprendizagem

e suas influencias de conceptualizar a comunicação na sala de aula, onde

apresenta uma metáfora para cada uma delas.

PERSPECTIVA

Construtivista Sociocultural interaccionista

Os alunos falam, os

professores ouvem

Os professores

falam, os alunos ouvem

Professores e alunos em

diálogo





Unidireccional

Olhar para o ambiente comunicativo da aula de matemática leva Brendefur e

Frykholm (2000) a organizarem as diversas perspectivas sobre comunicação

matemática em quatro categorias.

Contributiva

Reflexiva

InstrutivaCO

MU

NIC

AÇ

ÃO

Unidireccional

pode ser encarada como um monólogo, onde oprofessor tem a autoridade do conhecimentomatemático

Contributiva

prevê a participação dos alunos nos diálogos quese estabelecem na sala de aula, embora aconversação seja limitada e na maioria das vezesausente se pensamentos mais profundos.

Reflexiva

prevê a discussão entre professores e alunos emtorno do que é realizado na aula. É frequente aanálise dos porquês

Instrutiva

é aquela que acontece quando se altera afinalidade da aula em consequência dos discursosmantidos. O professor encoraja a reflexão




Comunicação Matemática na sala de aula

A discussão em pequeno grupo ou de toda a classe e as demonstrações

servem para habituar os alunos a construir argumentos conviventes e válidos

para aguçar o seu espírito critico em relação às argumentações alheias, e

nunca para lhes criar uma ideia da matemática como a ciência do certo e do

errado absolutos, perspectiva contraditória com o próprio desenvolvimento da

matemática contemporânea. (APM, 1988)

Discurso matemático Padrões de Interacção




Comunicação Matemática na sala de aula - Discurso Matemático

De um modo geral, o

termo discurso refere-

se ao modo como os

significados são

atribuídos e trocados

pelos vários

interlocutores em

contextos reais.

(Menezes, 1997)

O conhecimento

partilhado está

intimamente associado à

comunicação e quando

se fala em comunicação

matemática, surge de

forma indissociável, o

conceito de discurso.

(Moreira, 2001)

Linguístico Não Linguístico

Refere-se às formas de

representar, pensar, falar,

concordar ou discordar que

professores e alunos usam

para se envolverem em

actividades. (NCTM, 1994)




Sentido Linguístico do discurso Sentido Não Linguístico do discurso

Surge associado a um conjuntocoerente de frases e englobaacções como: escrever, ler,explicar, resumir, discutir, contar,interrogar, responder, ouvir….(Stubbs, 1987)

Surge associado às emoções eexpressões adjacentes ao discursolinguístico.(Stubbs, 1987)

Tal significa que em qualquer sala de aula há diversos movimentos discursivos

sendo os papeis dos professores e dos alunos continuamente construídos no

decurso da interacção social (Yackel et al., 1991)

FENÓMENO SOCIAL





Características do discurso

Produção do discurso na sala de aula

O papel do professor

O papel das perguntas do professor

Apropriação de linguagem especifica





Produção do discurso na sala de aula O papel do professor

A produção de discurso na sala de aula

depende do que os interlocutores

levam para a aula (conhecimentos,

competências, valores, normas, hábitos

e expectativas. (Martinho, 2007)

O professor deve colocar questões e

propor tarefas que facilitem promovam

desafiem o pensamento dos alunos.

(NCTM, 1994)





O papel das perguntas do professor

As perguntas, formuladas pelos

professores, estimulam a participação,

permitindo ter os alunos mais

concentrados e orientar o decurso da

aula. (Pimm, 1987)

Categorização dos modos de questionar

Perguntas

de focalizaçãode confirmaçãode inquirição

(Matos e Serrazina, 1996)

Perguntas

concretasreguladoraspseudo perguntas

(Stubbs, 1987)

Perguntas

de partidapara incentivarpara avaliaçãopara a discussão final

(Boavida et al., 2008)




Apropriação de linguagem especifica

Discurso individual Discurso reflexivo

Tem a ver com a

interpretação pessoal

que cada aluno faz

daquilo que ouve. (Martinho, 2007)

Corresponde a uma atitude

critica do aluno face á sua

aprendizagem, que passa

pela capacidade de reflexão

face às actividades

desenvolvidas (Martinho, 2007)




Comunicação Matemática na sala de aula - Padrões de interacção

Os padrões de interacção são consideradas regularidades de acção entre

professores e alunos.

Vários são os autores (Voigt, 1985; Bauersfeld, 1988; Wood, 1994; Godinno e

Llinares, 2000; Menezes, 2005; Martinho, 2007) que referem os padrões de

interacção.

IRA ou IRFPadrão Extractivo

Padrão da Discussão

Padrão de Funil

Padrão de Focalização

AULAS TRADICIONAIS E AULAS NÃO TRADICIONAIS




Comunicação Matemática na sala de aula - Padrões de interacção

IRA ou IRF

Frequentemente presente nas aulas ditas de tradicionais, poroposição às aulas não tradicionais. É possível identificar asequência: I (Iniciação pelo professor), R (Reposta do aluno) A/F(avaliação ou feedback pelo professor)

Padrões

Extractivo: Os alunos são estimulados a fazer análises edescobertas de acordo com a sua competência.Discussão: O professor parte da resposta da soluçãoapresentada por um aluno e coloca questões de modo a clarificardeterminados aspectos.Funil: O professor ajuda o aluno a chegar à resposta colocada,através de questões mais simples.Focalização: O professor toma como ponto de partida umdeterminado conceito e orienta a discussão num caminho queconsidera adequado para poder atingir o objectivo desejado.




Representações do conhecimento matemático SIGNIFICADO

Todas as ferramentas – signos e gráficos – que tornam presentes os conceitos e

procedimentos matemáticos, e com os quais os sujeitos particulares abordam e

interactuam com o conhecimento matemático, ou seja, registam e comunicam o

seu conhecimento matemático. (Rico, 2009)

Notações simbólicas ou gráficas, especificas para cada conceito ou procedimento

matemático. (Castro e Castro, 1997)

Constructo físico ou mental que descreve aspectos da estrutura inerente a um

conceito e as inter-relações entre o conceito e outras ideias. (Tripathi, 2008)

Ferramenta para aprender e comunicar matemática (Zaskis e Liljedahl, 2004)




Representações do conhecimento matemático IMPORTÂNCIA

São elementos essenciais no apoio aos estudantes na medida em que ajudam à

compreensão de conceitos matemáticos e ao estabelecimento de conexões.

(Clement, 2004)

Núcleo central da aprendizagem matemática (Font, Godino e D`Amore, 2007)

Permitem apoiar a compreensão, pelos alunos, de conceitos e relações

matemáticas. (NCTM, 2007)

Permitem apoiar a compreensão, pelos alunos, de conceitos e relações

matemáticas. (NCTM, 2007)


Representações do conhecimento matemático Tipos de representaçõesRepresentações

(Externas)

ACTIVAS

ICÓNICAS(Analógicas)

SIMBÓLICAS(Digitais)

Manipuláveis

Pictóricas Semi-concretasContextualizadas

/ Situações Relevantes

Gráficas EsquemáticasNuméricas/

Tabelares

LologramasSímbolos de

Pontuação

Símbolos

AlfabéticosAlgébricas

Símbolos

Escritos



Representações do conhecimento matemático Conexões entrerepresentações

Uma representação matemática frequentemente ilumina apenas um aspecto de

um conceito matemático (…) Um quadro holístico do conceito começa a

emergir apenas quando (…) observamos a ideia a partir de diferentes

perspectivas. (Tripathi, 2008)

Dar possibilidade aos alunos de contactarem e usarem diversas formas de

representar, incentiva-os a ciciarem as suas próprias representações para

resolver problemas. (Loureiro, 2009)

É importante proporcionar aos alunos experiencias que permitam a utilização

de uma vasta gama de representações. (NCTM, 2007)

Fundamentação TeóricaComunicação Matemática num contexto de resolução de problemas: Uma experiência com alunos do 9.º ano

Representações do conhecimento matemático Conexões entrerepresentações

Os autores Lesh, Post e Behr. (1987), Arcavi (2003) e Clement (2004)

sublinham a importância de se estabelecerem conexões entre os vários tipos

de representações, pelo que apresentam o modelo:

Conexões entre representações (Clement, 2004)

As conexões entre as várias

formas de representar são úteis

para incentivar a comunicação na

sala de aula e o aprofundamento

da compreensão de ideias

matemáticas e das suas relações

pelos alunos.

A distância da Terra à Lua é de aproximadamente 380 000 km.Quanta vez será necessário dobrar ao meio uma folha de papel(Tamanho A4, e 0,05mm de espessura) para obtermos a distancia daTerra à Lua?

Da Terra à Lua

Distancia da terra à Lua = 380000Km=380000000000mm

Folha de papel = 0,05mm=0,00000005Km

Dobra espessura Dobra espessura

1 0,0000001 23 0,41943

2 0,0000002 24 0,838861

3 0,0000004 25 1,677722

4 0,0000008 26 3,355443

5 0,0000016 27 6,710886

6 0,0000032 28 13,42177

7 0,0000064 29 26,84355

8 0,0000128 30 53,68709

9 0,0000256 31 107,3742

10 0,0000512 32 214,7484

11 0,0001024 33 429,4967

12 0,0002048 34 858,9935

13 0,0004096 35 1717,987

14 0,0008192 36 3435,974

15 0,0016384 37 6871,948

16 0,0032768 38 13743,9

17 0,0065536 39 27487,79

18 0,0131072 40 54975,58

19 0,0262144 41 109951,2

20 0,0524288 42 219902,3

21 0,1048576 43 439804,7

22 0,2097152 44 879609,3

Estudo Implícito da Função Exponencial

Dia

Carlos Jeremias

Poup. Diária Poup. Acumul. Poup. DiáriaPoup.

Acumul.

1 1 1 0,1 0,1

2 1 2 0,2 0,3

3 1 3 0,4 0,7

4 1 4 0,8 1,5

5 1 5 1,6 3,16 1 6 3,2 6,37 1 7 6,4 12,7

8 1 8 12,8 25,5

9 1 9 25,6 51,1

10 1 10 51,2 102,3

11 1 11 102,4 204,7

12 1 12 204,8 409,5

13 1 13 409,6 819,1

14 1 14 819,2 1638,3

15 1 15 1638,4 3276,7

Poupança acumulada do Carlos

Número Quadrado Cubo 4ª Potência 5ª Potência 6ª Potência 7ª Potência

1 1 1 1 1 1 1

2 4 8 6 2 4 8

3 9 7 1 3 9 7

4 6 4 6 4 6 4

5 5 5 5 5 5 5

6 6 6 6 6 6 6

7 9 3 1 7 9 3

8 4 2 6 8 4 2

9 1 9 1 9 1 9

Aprender a comunicar, resolvendo problemasComunicação Matemática num contexto de resolução de problemas: Uma experiência com alunos do 9.º ano

Pintando Sólidos

O Marco foi encarregado de pintar sólidos para uma exposição.

As instruções que lhe deram foram de que ele deveria utilizar o menor número

de cores possível, mas de modo a que duas faces adjacentes não tivessem a

mesma cor. Entregaram ao Marco os seguintes sólidos: Cubo; Prisma

Triangular; Prisma Hexagonal; Prisma Pentagonal; Pirâmide Quadrangular e

Pirâmide Pentagonal.

Será verdade que, quanto maior for o número de faces do sólido, mais cores

serão necessárias?

Aprender a comunicar, resolvendo problemasPintando Sólidos

Episódio: Isto não faz sentido nenhum…

Mónica: Oh! Professor, isto não faz sentido nenhum, então vê-se logo, quequanto maior for o número de faces mais cores serão necessárias, acho eu.

Pedro: Oh! Professor, aqui diz, as faces adjacentes têm que ter cor diferente, porisso se tiver poucas faces vamos ter que utilizar poucas cores, mas se tivermosmais faces vamos usar mais cores…

Episódio: Faces seguidas, estás a ver?

Ruben: Oh professor, o que são faces adjacentes?Mónica: Faces adjacentes, são faces seguidas, estás a ver? Coladas…Ruben: Coladas?Mónica: Sim, assim e assim. [explicando com as mãos, posicionando-os como sefossem faces de sólidos]Ruben: Ah! É isso?Mónica: É, não é, professor?Professor: Sim. É isso. São faces que têm uma aresta em comum.


Pintando Sólidos

Existência de não reflexão após a leitura

Pouca convicção nas afirmações

Silêncio dos restantes colegas

Auto e heteroesclarecimento

Discurso oral e comunicação gestual

(representação activa)

Conexão de formas de representar (oral e

gestual)

ALU

NO

SP

RO

FESS

OR

Legitimar intervenções dos alunos

Levar ao auto-questionamento

Levar ao confronto de posições


Registo de Catarina

O discurso oral que

se ia mantendo entre

os alunos mostrou-

se importante no

prosseguimento da

tarefa e as

representações que

iam elaborando eram

decisivas para as

hipóteses que iam

surgindo.

Aprender a comunicar, resolvendo problemas

• Sequência de letras para referir cores

ABC ABCD

• Contraste de texturas

Diferentes tipos de registo

• Registo do número de cores

• Número de faces do sólido

Simbólicos (números ou letras) e pictóricos


Os registos foram adequados na medida em que permitiram o surgimento de

regularidades. Contudo os alunos tiveram dificuldade em as relacionar com as

características dos sólidos, o que não lhes permitia encontrar um argumento

válido para responder à questão que lhes era colocada.

Embora não consigam no imediato estabelecer relações, iniciam um processo

válido e poderoso para o encontrar dessas mesmas relações.

Oh professor: aqui diz, as faces adjacentes têm que ter cor diferente. Por isso se tiverpoucas faces vamos ter que utilizar mais cores. Por exemplo se tivermos uma pirâmide debase triangular, teremos que utilizar uma cor aqui, outra cor aqui, outra cor aqui, outracor ali, [apontando para uma pirâmide triangular que desenhou na sua ficha], porque sãotudo faces adjacentes, se tivermos mais faces vamos usar menos cores, porque podemosrepetir as cores. Porque se for uma coisa assim, [apontando para a pirâmide de basequadrangular], posso repetir as cores nas faces que não estão juntas.


Em função dos registos dos alunos e das suas alegações aconselhei-os a

organizar a informação que tinha obtido, por exemplo um tabela (representação

esquemática) e em seguida que a observarem.

Registo da Olga

Registo de Catarina


Os diferentes registos dos alunos (representações)

Simbólicos Pictóricos Esquemáticos Discurso

Permitiram encontrar a resposta a tarefa que refutava a ideia inicial

sessão(ppt) 3

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