SI-4252 Sistem Rekayasa Sipil

SI-2201 Metode Numerik Solusi Numerik Persamaan Diferensial Simultan

Kamis, 20 April 2015(minggu 15)

(Dr. Dhemi Harlan, ST, MT, MSc)1. UmumJika persamaan gerak digunakan untuk bangunan tiga lantai seperti Gambar 1 dibawah:

m3kF1(t)Gambar 1 Sistem massa-pegas-redaman gerakan struktur tiga lantai (Amrinsyah dkk, 2011)F2(t)F3(t)m2m1m1m2m3x1x2x3k1k2k3m1m2m3cx3cx2cx1x3F3(t)k3(x3,x2)k3(x3,x2)x2F2(t)k2(x2,x1)k2(x2,x1)k1 x1x1F1(t)a. Struktur 3 lantai dengan massa mb. Idealisasi sistem mekanikal strukturc. Diagram badan bebas tiap lantai/massa maka persamaan gerak untuk struktur tiga lantai diberikan sbb:

(1)

dimana mi = massa lantai ci = koefisien redaman lantai ki = kekakuan total pegas kolom-kolom pendukung lantai Fi(t) = fungsi beban terhadap waktu yang bekerja pd lantai.

Persamaan (1) merupakan persamaan diferensial simultan. Jika ditulis dalam bentuk matriks diberikan

(2)

Untuk menyelesaikan persamaan diferensial simultan diatas, beberapa metode pendekatan dapat digunakan seperti: Metode Beda Hingga, Metode Houmbolt, dan Metode Wilson, yang dijelaskan dalam subbab berikut.

2. Metode Beda Hingga Metode beda hingga yang digunakan merupakan metode beda hingga tengah. Hal ini dapat digambarkan dengan skema pada Gambar 2 dibawah:

tn-1tntn+1xn-1xnxn+1xtGambar 2 Kurva perpindahan, x terhadap waktu, t ttxxBerdasarkan gambar dapat diuraikan turunan pertama dari perpindahan sebagai berikut: (3)

Dengan cara yang sama, turunan kedua dapat ditentukan dengan: , (4)

(4)

Berkaitan dengan xi dan xi pada persamaan (2), persamaan (3) dan (4) menjadi:

, (5)

Substitusi persamaan (5) ke persamaan (2) sehingga didapat persamaan matriks dibawah:

(6)

Penulisan matriks diatas dapat disederhanakan menjadi

(7)

Atur persamaan diatas dengan memindahkan suku kedua dan ketiga ke sebelah kanan sehingga

(8)

Jika data lantai mi , kekakuan kolom ki , perpindahan awal xi0 , dan kecepatan awal vi0 , maka persamaan (8) dapat diselesaikan dengan menggunakan metode solusi eliminasi Gauss atau cara matriks invers.

Contoh 1 Struktur tiga lantai yang mengalami getaran bebas tanpa redaman dengan data sebagai berikut: m1 = 350,24 x 103 kg , k1 = 315,212 x 105 kg/m m2 = 262,67 x 103 kg , k2 = 210,142 x 105 kg/m m3 = 175,12 x 103 kg , k3 = 105,070 x 105 kg/m Kondisi awal struktur: x1 (t0) = 0,762 cm , x1 (t0) = 0 cm/detik x2 (t0) = 1,016 cm , x2 (t0) = 22,86 cm/detik x3 (t0) = 1,270 cm , x3 (t0) = 0 cm/detik

Gunakan interval waktu t = 0,01 detik

SolusiTentukan besaran-besaran pada saat t-1 berdasarkan besaran pada kondisi awal t0 dengan menggunakan deret Taylor.

Percepatan pada waktu t didekati dengan persamaan

Substitusi persamaan ini kedalam persamaan deret Taylor diatas dan didapat besaran x1-1 , x2-1 , dan x3-1 sebagai berikut:

Bentuk persamaan keseimbangan gaya dalam matriks seperti dibawah:

Substitusi persamaan beda hingga dibawah ke persamaan diatas

sehingga menjadi

Bentuk persamaan keseimbangan gaya dalam matriks seperti dibawah:

bersambung

Selanjutnya

Sehingga

Masukkan parameter2 yang sudah diketahui kedalam persamaan diatas menjadi

Pada n = 0 dimana t = 0,01 , maka

Untuk masing-masing lantai besar perpindahan pada t1 = 0,01

3. Metode HoumboltMetode Houmbolt dikembangkan berdasarkan metode beda hingga belakang (backkward difference). Houmbolt menurunkan persamaan differensial sampai orde kesalahan O(t)3 . Dengan menggunakan metode beda hingga belakang didapat:

(9)

Tinjau Deret Taylor

Jika Dn = dn /dtn , maka persamaan deret Taylor untuk t = 0 menjadi

(10)

Substitusi persamaan deret Taylor (10) diatas ke persamaan (9)

(11)

Persamaan (11) dapat ditulis menjadi

Persamaan (11) diatas diatur kembali menjadi

(12a)

(12b)

(12c)

Substitusi persamaan (12b) dan (12c) ke persamaan (12a)

(13a)

Substitusi persamaan (12c) ke persamaan (12b)

(13b)

Dari persamaan (13a), (13b), dan (9) dapat ditetapkan Dx(0) dan D2x(0) dengan

(14a)

(14b)

Dari persamaan (14a) dan (14b) dapat ditentukan bentuk persamaan umum menjadi

(15a)

(15b)

Persamaan (15) dikenal dengan persamaan Houmbolt.

Contoh 2 Struktur tiga lantai yang mengalami getaran bebas tanpa redaman dengan data sebagai berikut: m1 = 350,24 x 103 kg , k1 = 315,212 x 105 kg/m m2 = 262,67 x 103 kg , k2 = 210,142 x 105 kg/m m3 = 175,12 x 103 kg , k3 = 105,070 x 105 kg/m Kondisi awal struktur: x1 (t0) = 0,762 cm , x1 (t0) = 0 cm/detik x2 (t0) = 1,016 cm , x2 (t0) = 22,86 cm/detik x3 (t0) = 1,270 cm , x3 (t0) = 0 cm/detik

Gunakan interval waktu t = 0,01 detik

SolusiTentukan besaran-besaran pada saat t-1 , dan t-2 berdasarkan besaran pada kondisi awal t0 dengan menggunakan deret Taylor.

Percepatan pada waktu t didekati dengan persamaan

Substitusi persamaan x(n) kedalam persamaan deret Taylor xn-1 , dan xn-2 menjadi

Untuk n-1

Untuk n-2Percepatan pada waktu t didekati dengan persamaan

Bentuk persamaan keseimbangan gaya dalam matriks seperti dibawah:

Substitusi persamaan Houmbolt dibawah ke persamaan diatas

sehingga menjadi

Bentuk persamaan keseimbangan gaya dalam matriks seperti dibawah:

4. Metode WilsonMetode Wilson merupakan pengembangan dari metode Newmark dengan nilai = 1/6. Berdasarkan persamaan Newmark, dengan menggunakan penurunan metode percepatan linier, Wilson membuat modifikasi untuk percepatan dan perpindahan sebagai berikut:

(16)

(17)

dimana

= faktor pengali Wilson = 1,37

Persamaan (17) diatur kembali untuk mendapatkan percepatan, x(n+1)

(18)

Substitusi persamaan (18) ke dalam persamaan (16) maka akan didapat

(19)

Jika diterapkan pada penyelesaian persamaan diferensial dengan sistem mekanikal derajat tunggal, persamaan (18) dan (19) disubstitusikan kedalam persamaan

yang akan memberikan

Selanjutnya persamaan diatas diatur kembali sehingga dapat ditentukan perpindahan x(n+1) menjadi

(20)

Prosedur dalam metode Wilson, pertama kali menggunakan persamaan (20) untuk mendapatkan xn+1 . Selanjutnya persamaan (18) digunakan untuk menentukan percepatan, x(n+1) . Begitu juga dengan kecepatan x (n+1) ditentukan dengan persamaan (19). Hasil perhitungan masih berupa besaran pada interval , sehingga masih perlu dievaluasi pada interval waktu t dengan metode percepatan linier (Gambar 3)

xtt0t1t2t3t4ttttX1X1X2X2X3X3X4X4Gambar 3 Hubungan percepatan pada interval dan t Berdasarkan Gambar (2) harga-harga percepatan pada interval waktu, t dengan menggunakan persamaan

(21a)

(21b)

(21c)

Nilai yang didapat dari persamaan (21) merupakan nilai awal untuk proses perhitungan iterasi berikutnya.

Contoh 3 Struktur tiga lantai yang mengalami getaran bebas tanpa redaman dengan data sebagai berikut: m1 = 350,24 x 103 kg , k1 = 315,212 x 105 kg/m m2 = 262,67 x 103 kg , k2 = 210,142 x 105 kg/m m3 = 175,12 x 103 kg , k3 = 105,070 x 105 kg/m Kondisi awal struktur: x1 (t0) = 0,762 cm , x1 (t0) = 0 cm/detik x2 (t0) = 1,016 cm , x2 (t0) = 22,86 cm/detik x3 (t0) = 1,270 cm , x3 (t0) = 0 cm/detik

Gunakan interval waktu t = 0,01 detik

Solusi

Bentuk persamaan keseimbangan gaya dalam matriks seperti dibawah:

Substitusi persamaan Wilson dibawah ke persamaan diatas

sehingga menjadi

Bentuk persamaan keseimbangan gaya dalam matriks seperti dibawah:

dimana

Masukkan parameter-parameter yang diketahui kedalam persamaan sehingga didapat :

Selanjutnya dicari besar percepatan

Sementara kecepatan

Selanjutnya lakukan evaluasi terhadap perhitungan percepatan, kecepatan, dan perpindahan sbb:

Selanjutnya besar kecepatan

Sementara perpindahan

Untuk perhitungan iterasi selanjutnya, digunakan harga hasil perhitungan diatas dan seterusnya.