simulacija ne-sfernih zrcala i anamorfnih slika...

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO-MATEMATIČKI FAKULTET

FIZIČKI ODSJEK

Marko Marelja

Diplomski rad

SIMULACIJA NE-SFERNIH ZRCALA I

ANAMORFNIH SLIKA METODOM

PRAĆENJA SVJETLOSNIH ZRAKA

Zagreb, 2012.

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO-MATEMATIČKI FAKULTET

FIZIČKI ODSJEK

SMJER: PROF. FIZIKE I INFORMATIKE

Marko Marelja

Diplomski rad

SIMULACIJA NE-SFERNIH ZRCALA I

ANAMORFNIH SLIKA METODOM

PRAĆENJA SVJETLOSNIH ZRAKA

Voditelj diplomskog rada: dr.sc. Antonio Šiber

Ocjena diplomskog rada:

Povjerenstvo:

Datum polaganja:

Zagreb, 2012.

Zahvaljujem,

mentoru, dr.sc. Antoniju Šiberu na prijedlozima i idejama te pomoći i strpljenju

koje mi je ukazao tokom izrade diplomskog rada.

Također, neizmjerno zahvaljujem svojoj obitelji na bezuvjetnoj podršci i

velikom strpljenju koje su mi pružili tijekom dugogodišnjeg obrazovanja.

Sadržaj

1. Uvod .................................................................................................................................... 1

2. Nastanak slike u sfernim zrcalima ....................................................................................... 2

2.1. Konkavno zrcalo ........................................................................................................... 2

2.2. Konveksno zrcalo ......................................................................................................... 6

3. Ne-sferna zrcala .................................................................................................................. 9

3.1. Stožasta zrcala ........................................................................................................... 11

3.1.1. Geometrija refleksije na stožastom zrcalu ......................................................... 13

3.2. Cilindrična zrcala ........................................................................................................ 14

3.2.1. Konkavno cilindrično zrcalo – nastanak slike ..................................................... 15

3.2.1.1. Konkavno cilindrično zrcalo – promatranje slike ........................................ 16

3.2.2. Konveksno cilindrično zrcalo – nastanak slike ................................................... 19

3.2.2.1. Geometrija refleksije na konveksnom cilindričnom zrcalu ......................... 21

3.2.2.2. Konstrukcija slike na krivulji Limaçon ......................................................... 23

4. Anamorfne slike ................................................................................................................ 27

4.1. Nastanak anamorfne slike translatiranjem perspektive ........................................... 35

4.2. Transformiranje slike u anamorfnu refleksijom na cilindru ...................................... 38

5. Računalne simulacije ......................................................................................................... 40

5.1. Metoda praćenja svjetlosnih zraka ............................................................................ 40

5.2. POVray i Anamorph Me ............................................................................................. 41

5.3. Simulacije refleksija na ne-sfernim zrcalima ............................................................. 42

5.3.1. Simulacija konveksnog cilindričnog zrcala ......................................................... 42

5.3.2. Simulacija konkavnog cilindričnog zrcala ........................................................... 47

5.4. Simulacija anamorfnih slika ....................................................................................... 49

6. Metodički dio .................................................................................................................... 54

7. Zaključak ............................................................................................................................ 60

8. Literatura ........................................................................................................................... 61

Popis slika

Slika 1. Slika koju formira sferno konkavno zrcalo kada se predmet O nalazi iza centra zakrivljenosti. ................. 3

Slika 2. Zrake svjetlosti sa udaljenog objekta reflektirane na konkavnom zrcalu u točki fokusa F. ........................ 4

Slika 3. Crvena, plava i zelena zraka svjetlosti su reflektirane u točku fokusa. Možemo primijetiti da je točka

fokusa bijele boje. ................................................................................................................................................... 4

Slika 4. Utjecaj sferne aberacije na refleksiju slike. Zrake se lome po zakonu refleksije ali su zbog aberacije

zrcala sjecišta njihovih projekcija na području većem od točke; Predmet postavljen između F i zrcala daje

virtualnu, uspravnu i uvećanu sliku. ........................................................................................................................ 4

Slika 5. Kada se predmet nalazi između F i C slika je realna, obrnuta i uvećana..................................................... 5

Slika 6. Kada se predmet nalazi iza C slika je realna, obrnuta i umanjena.............................................................. 6

Slika 7. Nastanak slike na konveksnom zrcalu; Slika je uvijek virtualna, umanjena i uspravna. ............................. 7

Slika 8. Slika na konveksnom zrcalu uvijek je virtualna, umanjena i uspravna; Utjecaj sferne aberacije na zrake

sa velikim upadnim kutom ...................................................................................................................................... 8

Slika 9. Princip rada reflektivnog teleskopa. ........................................................................................................... 9

Slika 10. Cloud gate i izlazak sunca. Djelo Anisha Kapoora postavljeno u Chicagu, Illinois .................................. 10

Slika 11. Kružno reflektiranje svjetlosti pomoću stožastog zrcala ......................................................................... 11

Slika 12. Građevinski alat za određivanje jednakog nivoa .................................................................................... 11

Slika 13. Stožasto zrcalo transformira brazde navoja u arhimedovu spiralu. ....................................................... 12

Slika 14. Primjer anamorfne slike predviđene za promatranje iznad vrha stožastog zrcala. ................................ 12

Slika 15. Geometrija stožastog zrcala promatranog iz točke V. ............................................................................ 13

Slika 16. Refleksije sa ravnog i kružnog dijela konkavnog cilindričnog zrcala ....................................................... 15

Slika 17. Refleksija točkastog objekta tvori dvije linijske slike ............................................................................... 16

Slika 18. Zraka svjetlosti koja upada u oko promatrača siječe linijsku sliku ispred zrcala i projicira se na krivulju

iza zrcala ............................................................................................................................................................... 17

Slika 19. Kut konvergencije za različite udaljenosti predmeta .............................................................................. 18

Slika 20. Zrake reflektirane od horizontalnog kružnog dijela projiciraju se u točku a ........................................... 19

Slika 21. Zrake reflektirane od vertikalnog ravnog dijela projiciraju se u točku b. ................................................ 20

Slika 22. Konstrukcija refleksije anamorfne slike na koju je smješteno cilindrično zrcalo. Promatranje se vrši iz

toče V. ................................................................................................................................................................... 21

Slika 23. Desna strana: 10x20 mreža kvadrata transformirana refleksijom od cilindra promatrana sa d=15, h=10.

Lijeva strana: ista mreža promatrana iz beskonačnosti iz kuta nagiba. ............................................................... 22

Slika 24. Konstrukcija krivulje limaçon .................................................................................................................. 24

Slika 25. Konstrukcija nalaženja točke na virtualnoj linijskoj slici. ........................................................................ 24

Slika 26. Virtualne linijske slike točkastog objekta čine krivulju limaçona. ........................................................... 26

Slika 27. "Umjetnik crta akt", Albrecht Dürer, 1528. g. ......................................................................................... 27

Slika 28. Anamorfoza dječjeg lica i oka; autor je Leonardo da Vinci. .................................................................... 28

Slika 29. Usporedba dobivanja konvencionalne perspektivne i anamorfne slike .................................................. 28

Slika 30. "Anamorfni portreti Charlesa V, Ferdinanda od Austrije, Pape Pavla III i Francisa I", Erthard Schön,

1535. g. ................................................................................................................................................................. 28

Slika 31. "Ambasadori", Hans Holbein, 1533.g. .................................................................................................... 29

Slika 32. Ravan strop crkve Sv. Ignacija u Rimu oslikan je perspektivnom anamorfnom tehnikom koja se i danas

koristi kod projekcija video zapisa na velika platna. Autor Andrea Pozzo 1685.-1694. ........................................ 30

Slika 33. "Insekt i klaun", Salvador Dali ................................................................................................................. 31

Slika 34. Razna djela Istvána Orosz ....................................................................................................................... 32

Slika 35. Primjer ulične trodimenzionalne anamorfne slike; autor: Robert Guillemin poznatiji kao Sidewalk Sam.

.............................................................................................................................................................................. 33

Slika 36. anamorfoza projekcije šahovnice na 3D predmet. ................................................................................. 34

Slika 37. Skulptura nemogućeg trokuta; autor Bjørn Christian Tørrissen. ............................................................ 34

Slika 38. Wada fraktali i "Okretanje svijeta naglavačke"; Anish Kapoor. ............................................................. 35

Slika 39. Model "stožastog gledanja ". .................................................................................................................. 36

Slika 40. Plošna anamorfoza konstruirana za gledanje iz beskonačnosti pod kutom od 13. Autor je Marolois

godine 1614........................................................................................................................................................... 36

Slika 41. Geometrija plošne anamorfoze promatrane iz konačne udaljenosti. ..................................................... 37

Slika 42. Geometijska matrica za konstrukciju cilindričnih anamorfoza; autor Niceron, 1638.g. ......................... 38

Slika 43. Jednostavni elementi mogu se transformirati pomoću aproksimacijskih jednadžbi. ............................. 39

Slika 44. Digitalno izrađena anamorfoza J.L.Hunt-a; jedan od istraživača čije su jednadžbe i saznanja sadržana u

ovome radu. .......................................................................................................................................................... 39

Slika 45. Princip rada metode praćenja zraka. ...................................................................................................... 40

Slika 46. Fotografija refleksije podloge na konveksnom cilindričnom zrcalu ........................................................ 42

Slika 47. POVRay simulacija cilindričnog zrcala; ovisnost reflektirane slike o promjeni kuta promatranja. ......... 42

Slika 48. Refleksija sfernog objekta na konveksnom zrcalu. Lijevo: fotografija, a desno: PovRay simulacija ....... 43

Slika 49. POVRay simulacije ovisnosti deformacije reflektirane slike o nagibu konveksnog zrcala....................... 44

Slika 50. Usporedba fotografije i simulacije nagnutog cilindričnog zrcala. .......................................................... 44

Slika 51. Fotografija cilindričnog zrcala polegnutog na podlogu; fotografirano s minimalne visine. ................... 45

Slika 52. POVRay simulacije ovisnost refleksije cilindričnog zrcala o paralelnoj udaljenosti podloge;.................. 45

Slika 53. Prikaz refleksije anamorfnih objekata promatrane iz predviđenog mjesta; PovRay simulacija. ............ 46

Slika 54. Anamorfni objekti ispred konveksnog cilindričnog zrcala. PovRay simulacija. ....................................... 46

Slika 55. Refleksija na konkavnom cilindričnom zrcalu. Lijevo: fotografija, a desno: PovRay simulacija. ............. 47

Slika 56. Usporedba refleksije sa konkavnog i konveksnog cilindričnog zrcala jednakog radijusa. PovRay

simulacije. ............................................................................................................................................................. 48

Slika 57. loptica ispred konkavnog zrcala. Lijevo: fotografija. Desno: PovRay simulacija. .................................... 48

Slika 58. POVRay simulacija ovisnosti reflektirane slike o udaljenosti predmeta od konkavnog cilindričnog zrcala.

.............................................................................................................................................................................. 49

Slika 59. Na lijevoj strani je slika "Ambasadori", a na desnoj prikazana je ista, promatrana iz alternativnog kuta

gledanja. ............................................................................................................................................................... 49

Slika 60. Lijevo je prikazana perspektivna anamorfna slika promatrana okomito na plohu, a desno iz

predviđenog kuta. ................................................................................................................................................. 50

Slika 61. Simulacija stožastog zrcala na anamorfnoj plohi. .................................................................................. 51

Slika 62. Simulacija anamorfna slike difrakcije reflektirane svjetlostio da površine kompaktnog diska; uvećano

na desnoj strani. .................................................................................................................................................... 52

Slika 63. Simulacija cilindričnog zrcala na anamorfnoj plohi promatranog iz predviđene točke gledanja. .......... 53

Slika 64. anamorfne slike mačke i psa ................................................................................................................... 56

Slika 65. nacrt za anamorfnu vježbu ..................................................................................................................... 57

Slika 66. Cilindrično zrcalo i zrno sačme ................................................................................................................ 57

Slika 67. anamorfna nacrtna mreža ...................................................................................................................... 58

Slika 68. anamorfna nacrtna mreža sa slovom L................................................................................................... 58

1

1. Uvod

Tema ovog diplomskog rada prvenstveno je refleksija svjetlosti na ne-sfernim zrcalima. U

nastavnom programu elementarne geometrijske optike analizirana su zrcala jednostavnih

oblika, tj. ravna te konveksna i konkavna zrcala čija je površina sfernog oblika. Ne-sferna

zrcala mogu biti veoma kompleksne površine, no u ovom radu, zbog mogućnost analitičke

obrade, usredotočio sam se na jednostavnije oblike zrcala - cilindrično i stožasto.

Takve simetrične površine predstavljaju osnovne oblike ne-sfernih zrcala koja reflektiraju

okolinu na zanimljiv i ne uvijek očigledan način. Na takvim zrcalima dolazi do specifičnih

„deformiranja“ okoline koja su se koristila, pogotovo u renesansi, za ispravno promatranje

optičkih iluzija. Naime, odgovarajuće optičko pomagalo u obliku cilindričnog ili stožastog

zrcala koristi se sa prethodno deformiranom slikom, čija kombinacija otkriva skriveni motiv

slike ili cijelu sliku u nedeformiranom obliku. Takvi se prikazi nazivaju anamorfnim.

Za simulaciju ne-sfernih zrcala i anamorfnih slika koristio sam program POVRay (Persistanece

Of Vision RAYtracer) čiji je rad baziran na metodi praćenja zraka. Pomoću ovog jednostavnog

a snažnog alata za iscrtavanje ostvaren je cilj simulacije zrcaljenja na ne-sfernim zrcalima te

usporedba virtualnog i stvarnog eksperimenta. Korišten je također za simulaciju zrcala

potrebnih za otkrivanje optičkih iluzija sadržanih u anamorfnim slikama.

2

2. Nastanak slike u sfernim zrcalima

Sam naziv sferno zrcalo odaje nam da se radi o zrcalu koje ima oblik cijele ili samo dijela

sfere. Ovisno o predznaku zakrivljenosti mijenja ju se reflektivna svojstva zrcala. Vrste sfernih

zrcala su konkavna, tj. izdubljena i konveksna, tj. ispupčena. Elementi za konstrukciju slike su:

Radijus zakrivljenosti R koji se proteže od površine zrcala do točke centra

zakrivljenosti C

Točka fokusa F u kojoj se stvarne zrake svjetlosti ili njihove projekcije sijeku

Optička os na kojoj se nalaze karakteristične točke, te predmet i pripadna slika

Konstrukcija reflektirane slike vrši se na isti način za oba zrcala, pomoću paraksijalnih zraka.

Takve se zrake nalaze blizu optičke osi i na zrcalo dospijevaju pod malim upadnim kutom s

obzirom na okomicu u točki refleksije. Razlog konstruiranja pomoću paraksijalnih zraka je

efekt sferne aberacije koja je prisutna u sfernim zrcalima. Neželjene posljedice sferne

aberacije su razne kaustične krivulje1, koje nastaju projekcijama fokalnih površina, a

načinjene su od niza točaka, odnosno linija i ploha na kojima se svjetlost fokusira. Takav

način fokusiranja reflektiranih zraka rezultira nejasnim slikama. Ispravlja se korištenjem

paraboličnih zrcala koja se konstruiraju rotacijom parabole, za razliku od sfernih zrcala, koja

se konstruiraju rotacijom kružnice.

2.1. Konkavno zrcalo

Zrcalo koje reflektira svijetlost sa unutarnje, konkavne strane površine sfere nazivamo

konkavnim zrcalom. Postavimo li predmet visine h ispred zrcala na udaljenost od zrcala p, te

uz poznavanje radijusa zrcala R možemo izračunati udaljenost slike od zrcala i njenu visinu.

Te se udaljenosti po konvenciji mjere od Točke V na zrcalu. Slika 1 prikazuje dvije zrake

svjetlosti koje napuštaju vrh objekta. Jedna od njih tih zraka prolazi kroz centar zakrivljenosti

C te upada na zrcalo okomito na površinu zrcala i reflektira se istim putem. Druga zraka

pogađa zrcalo u središte, tj. u točku V i reflektira se po zakonu refleksije. Slika vrha predmeta

nalazi se u točki sjecišta reflektiranih zraka. Iz pravokutnog trokuta2 zlatne boje vidimo da

vrijedi , a iz plavog trokuta vidimo da vrijedi . Negativan predznak

koristimo jer je slika invertirana, pa je vrijednost visine h' negativna. Iz definicije povećanja

1 Istraživanje kaustike metodom praćenja svjetlosnih zraka i usporedba s eksperimentom – Bruno Paun, Zagreb

2001, str. 63. 2 Fundamentals of Physics, Halliday & Resnick, 7th edition, 2004., Chapter 36, str. 1143.

http://asiber.ifs.hr/bruno_pauns_caustic.html

3

koje računamo omjerom visine slike i visine predmeta, te prethodnih izraza dobivamo da je

povećanje zrcala

1

Slika 1. Slika koju formira sferno konkavno zrcalo kada se predmet O nalazi iza centra zakrivljenosti.

Također iz slike možemo primijetiti iz trokuta koji imaju zajednički kut α da vrijedi

i

Iz čega slijedi

2

Ako usporedimo jednadžbe 1 i 2 može se primijetiti

Jednostavnom algebrom reduciramo izraz na

3

Taj izraz nazivamo jednadžbom zrcala i upotrebljiv je samo za model konstruiran pomoću

paraksijalnih zraka.

Kada se predmet nalazi veoma daleko od zrcala, tj. kada je pR možemo za p reći da je u

beskonačnosti. Tada vrijedi da je , a iz jednadžbe 3 slijedi , što nam govori

4

da se slika nalazi na pola udaljenosti od radijusa zrcala, tj. u točki fokusa F. Udaljenost fokusa

označavamo sa f i možemo prethodni izraz zapisati kao

Slika 2. Zrake svjetlosti sa udaljenog objekta reflektirane na konkavnom zrcalu u točki fokusa F.

Slika 3. Crvena, plava i zelena zraka svjetlosti su reflektirane u točku fokusa. Možemo primijetiti da je točka

fokusa bijele boje.

Jednadžbu zrcala također možemo zapisati pomoću udaljenosti fokusa f i tada glasi:

4

Postavimo li ispred konkavnog zrcala predmet koji nije točkast možemo vidjeti i utjecaj

aberacije na reflektiranu sliku.

Slika 4. Utjecaj sferne aberacije na refleksiju slike. Zrake se lome po zakonu refleksije ali su zbog aberacije zrcala sjecišta njihovih projekcija na području većem od točke; Predmet postavljen između F i zrcala daje virtualnu, uspravnu i uvećanu sliku

3.

3 Java applet, autor dr. Fu-Kwun Hwang; http://www.phy.ntnu.edu.tw/ntnujava/index.php?topic=376.0

5

Vidljivo je kako se sve zrake koje tvore sliku nalaze blizu optičke osi. One koje upadaju pod

malim kutom na zrcalo tvore sliku očekivanu s obzirom na približnu, paraksijalnu

konstrukciju, a zrake koja upadaju pod većim kutom tvore nejasnu sliku.

Na slici 4 vidimo karakteristike reflektirane slike koje ovise o položaju predmeta u odnosu na

zrcalo. Kada se predmet nalazi između točke fokusa i zrcala slika je virtualna, uspravna i

uvećana.

Ako predmet postavimo između točke fokusa i centra zakrivljenosti zrcala, slika je realna,

obrnuta i uvećana, kao na slici 5.

Slika 5. Kada se predmet nalazi između F i C slika je realna, obrnuta i uvećana4

A kada se predmet nalazi iz centra zakrivljenosti slika je realna, obrnuta i umanjena.


http://www.phy.ntnu.edu.tw/ntnujava/index.php?topic=376.0

6

Slika 6. Kada se predmet nalazi iza C slika je realna, obrnuta i umanjena5

2.2. Konveksno zrcalo

Konveksna zrcala su izrađena tako da reflektiraju svjetlost sa vanjske, konveksne strane

sfere. Poznata su i kao divergentna zrcala zbog toga što smjerovi reflektiranih zraka svjetlosti

divergiraju kao da izviru iz neke točke smještene iza površine zrcala. Slika predmeta na slici 7

je virtualna upravo iz tog razloga što reflektirane zrake djeluju kao da izviru iz točke na slici

predmeta, kao što je prikazano iscrtanim linijama. Osim što je slika dobivena konveksnim

zrcalom uvijek virtualna, također je umanjena i uspravna. Zbog svojstva da promatraču

reflektira široki vizualni kadar, koriste se kao pomoć u prometu na nepreglednim raskrižjima i

za nadgledanje trgovina.



7

Slika 7. Nastanak slike na konveksnom zrcalu; Slika je uvijek virtualna, umanjena i uspravna.

Jednadžbe konveksnog zrcala jednake su jednadžbama za konkavna zrcala. Koriste se izrazi 1,

4 i 6 uz pridržavanje konvencije o predznacima varijabli ovisno o položaju u odnosu na zrcalo.

Područje na kojem svjetlosne zrake putuju prema zrcalu nazivamo prednjim područjem, a

drugu stranu stražnjim područjem. Imajući to u vidu, predznaci varijabli definirani su na

slijedeći način.

p je pozitivan ako se predmet nalazi ispred zrcala (realna objekt).

p je negativan ako se predmet nalazi iza zrcala (virtualni objekt).

q je pozitivan ako se slika nalazi ispred zrcala (realna slika).

q je negativan ako se slika nalazi iza zrcala (virtualna slika).

f i R su pozitivni ako se centar zakrivljenosti nalazi ispred zrcala (konkavno zrcalo).

f i R su negativni ako se centar zakrivljenosti nalazi iza zrcala (konveksno zrcalo).

Ako je M pozitivan, slika je uspravna.

Ako je M negativan, slika je obrnuta.

Tabela 1. Konvencija o predznacima za zrcala

Kao i kod konkavnog zrcala, sliku možemo konstruirati pomoću dijagrama zraka. Te

konstrukcije otkrivaju narav slike i mogu poslužiti za provjeru točnosti prethodno izračunatih

udaljenosti i uvećanja slika. Potrebna su nam udaljenost predmeta od zrcala i radijus

zakrivljenosti. Tada pomoću dvije paraksijalne zrake konstruiramo sliku, a trećom potvrdimo

konstrukciju slike.

Zraku 1 crtamo sa vrha predmeta paralelno sa optičkom osi; reflektira se kroz točku F.

Zraku 2 crtamo sa vrha predmeta kroz točku fokusa F; reflektira se paralelno optičkoj osi.

Zraku 3 crtamo sa vrha predmeta kroz centar zakrivljenosti C; reflektira se natrag u točku C.

8

Možemo i četvrtu zraku crtati sa vrha predmeta do tjemena zrcala, kao što je na slici 8, ali

samo za male predmete. Zbog mogućeg velikog upadnog kuta (kod većih predmeta) slika

koju konstruiramo može biti podložna sfernoj aberaciji.

Slika 8. Slika na konveksnom zrcalu uvijek je virtualna, umanjena i uspravna; Utjecaj sferne aberacije na zrake sa velikim upadnim kutom

6

Sjecište dvaju reflektiranih paraksijalnih zraka predstavlja točku koja je novi izvor svjetlosti i

to takav da su zrake, koje izviru iz novo nastale točke, identične zrakama koje izviru sa točke

na predmetu.

6 Java applet, autor Fu-Kwun Huang; http://www.phy.ntnu.edu.tw/ntnujava/index.php?topic=376.0


9

3. Ne-sferna zrcala

Pod ne-sferna zrcala spadaju sva tijela reflektivne površine simetričnog ili asimetričnog

oblika. Najpopularniji primjer vjerojatno je parabolično zrcalo7 koje se koristi za korekciju

sferne aberacije, a može se naći u optičkim uređajima poput reflektorskog teleskopa. Ideja je

poznata još iz stare Grčke, gdje je starogrčki matematičar Diokl opisao i dokazao da se

paralelne zrake svjetlosti koje upadaju u parabolično zrcalo8, skupljaju u jednu točku ili

žarište. Prvi uređaj datira iz 1663. godine, kada je engleski matematičar James Gregory

zamislio teleskop koji će raditi na principu odbijanja svjetlosti između dvaju zrcala i jednog

otvora kroz koji bi svjetlost dospjela do promatrača. U to vrijeme precizna obrada metala,tj.

izrada paraboličnog zrcala, predstavljala je naočigled nepremostiv tehnički problem kojeg je,

1721. godine uspio riješiti John Hadley. Osmislio je način testiranja kakvoće paraboličnog

zrcala te koristeći metodu pokušaja i pogreške, uspješno je izbrusio metalno parabolično

zrcalo sa malom količinom sferne aberacije. U čast prve ideje reflektivnog teleskopa,

nazivamo ih Gregorijanskim reflektorima.

Vrijedi spomenuti da je u našim prostorima Marin Getaldić9, hrvatski matematičar i fizičar, u

svoje vrijeme najistaknutiji hrvatski znanstvenik, također konstruirao parabolično zrcalo

promjera 2/3 metra, koje se i danas čuva u Pomorskom muzeju u Londonu. Živio je i djelovao

na prijelazu 16. i 17. st. te je osim raznih naprava u naslijeđe ostavio i dvije pisane rasprave

Neki stavovi o paraboli i Unaprijeđeni Arhimed.

Slika 9. Princip rada reflektivnog teleskopa10

.

7 http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/ParabolaMirror.shtml

8 http://hr.wikipedia.org/wiki/Paraboli%C4%8Dno_zrcalo

9 http://www.hkv.hr/hkvpedija/znanost/2000-marin-getaldi.html

10 http://amazing-space.stsci.edu/resources/explorations/groundup/lesson/basics/g10b/

http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/ParabolaMirror.shtml

http://hr.wikipedia.org/wiki/Paraboli%C4%8Dno_zrcalo

http://www.hkv.hr/hkvpedija/znanost/2000-marin-getaldi.html

http://amazing-space.stsci.edu/resources/explorations/groundup/lesson/basics/g10b/

10

Od simetričnih ne-sfernih zrcala, osim paraboličnog koriste se stožasta i cilindrična opisana

detaljno u narednim poglavljima.

Spomenimo još i valovita zrcala koja ubrajamo u nesimetrična zrcala, koja zbog svog

neobičnog izobličenja slike upotrebu nalaze u zabavnim parkovima, te razna umjetnička

djela koja zrcale okolinu na neobičan način.

Slika 10. Cloud gate i izlazak sunca. Djelo Anisha Kapoora postavljeno u Chicagu, Illinois11

11

http://www.flickr.com/places/United+States/Illinois/Chicago?q=cloudgate

http://www.flickr.com/places/United+States/Illinois/Chicago?q=cloudgate

11

3.1. Stožasta zrcala

Reflektivni plašt stošca koristi se u tehnologiji za potpuno kružno reflektiranje snopa

svjetlosti koji je emitiran iznad vrha stošca. Takvim se uređajima koriste građevinski radnici

za pomoć pri niveliranju terena gradilišta.

Slika 11. Kružno reflektiranje svjetlosti pomoću stožastog zrcala12

Slika 12. Građevinski alat za određivanje jednakog nivoa13

Također ga se koristi za promatranje okoline koja je reflektirana od plašta stošca. Tehnološku

upotrebu pronašao je u uređajima za promatranje kakvoće navoja unutar nedostupnih

mjesta, a umjetničku za promatranje i izradu anamorfnih slika.

12

http://bruce.cs.cf.ac.uk/bruce/LVM/LA%20Method%20182/LA_182(a).jpg 13

http://www.forconstructionpros.com/product/10733283/bosch-power-tools-accessories-ll20-self-leveling-exterior-line-laser

http://bruce.cs.cf.ac.uk/bruce/LVM/LA%20Method%20182/LA_182(a).jpg



12

Slika 13. Stožasto zrcalo transformira brazde navoja u arhimedovu spiralu.14

Slika 13 prikazuje geometrijsku transformaciju navojnih brazdi u spirali. Kakvoća navoja

izdubljenog u nekom predmetu promatra se tako da u njega umetnemo stožasto zrcalo na

način da vrh okrenemo prema promatraču (kameri) i promatramo postoji li narušenost

spirale na dobivenoj slici.

Slika 14 prikazuje primjer upotrebe stožastog zrcala u umjetnosti. Distorziranu sliku koja je

nastala ručno, pantografom15 ili pomoću računala nazivamo anamorfnom plohom. Skrivena

slika se otkriva postavljanjem odgovarajućeg stožastog zrcala na predviđeno mjesto te

promatranjem postava iz predviđenog položaja.

Slika 14. Primjer anamorfne slike predviđene za promatranje iznad vrha stožastog zrcala16

.

14

http://bruce.cs.cf.ac.uk/bruce/LVM/LA%20Method%20033/LA%20033(b).jpg 15

http://en.wikipedia.org/wiki/Pantograph 16

http://www.anamorphosis.com/stenope.html

http://bruce.cs.cf.ac.uk/bruce/LVM/LA%20Method%20033/LA%20033(b).jpg

http://en.wikipedia.org/wiki/Pantograph

http://www.anamorphosis.com/stenope.html

13

Iako na prvi pogled stožac djeluje kao da je pomalo zakrivljenog plašta, sjena stošca otkriva

da se radi o običnom stožastom zrcalu.

3.1.1. Geometrija refleksije na stožastom zrcalu

Geometriju refleksije najjednostavnije je promatrati iznad vrha stošca (slika 15). Kao i kod

ravnog zrcala, svjetlost iz okoline reflektira se od zrcalne površine u promatračevo oko pod

kutom koji je jednak upadnom. Taj se kut može mjeriti ako zamislimo tangentnu plohu na

svakoj točki plašta stošca. Taj beskonačan skup infintezimalno malih ravnih zrcala reflektira

slike u promatračevo oko putem ravnih linija. Tako jednostavna geometrija može biti

korištena da bismo predvidjeli kako će slike izgledati kada ih promatramo pomoću stožastog

zrcala.

Slika 15. Geometrija stožastog zrcala promatranog iz točke V17

.

17

J. L. Hunt, B. G. Nickel, and Christian Gigault, „Anamorphic images,“ Am. J. Phys. 68(3), 232-237 (2000)

14

Stožac na slici je karakteriziran kutom vrha θ. Na slici 15 radijus baze stošca jediničan je,

stoga je visina stošca

. Transformacija ima kružnu simetriju, takvu da nakon

refleksije od stožaste površine transformira niz koncentričnih kružnica radijusa r' u kružnice

radijusa r. Za gledanje iz beskonačnosti (što nije nerealna pretpostavka u stvarnosti)

transformacija je strogo linearna.

5

U situaciji prikazanoj na slici, slika se promatra iz točke V na visini d iznad vrha stošca. Iz slike

slijedi

(

)

i

⁄

Posljednji redak može se koristiti da bi eliminirali i a, nakon čega dobivamo

[

] 6

Ograničenje, kada d raste u beskonačnost je prikazano u jednadžbi 5.

3.2. Cilindrična zrcala

Poznato je da će slika točkastog objekta ispred ravnog ili sfernog zrcala, u idealnom slučaju,

biti točka kroz koju projiciraju ili konvergiraju sve reflektirane zrake koje dolaze iz smjera tog

točkastog objekta. U slučaju cilindričnog zrcala slika nije točka, što čini cilindre zanimljivim

optičkim zrcalima. Naime, cilindar je površina koja možemo promatrati kao da je sastavljena

od niza prstenova određenog radijusa, naslaganih jedan na drugome (dalje u tekstu područje

promatrano kao prsten zvat ćemo kružno područje) ili kao skup ravnih infintezimalo uskih

linija beskonačnog radijusa (dalje u tekstu ravno područje), koje se nalaze jedna uz drugu i

tako formiraju zatvoreni krug. Promatrana cilindrična zrcala orijentirana su okomito u

odnosu na plohu na kojoj se nalaze.

15

3.2.1. Konkavno cilindrično zrcalo – nastanak slike

Zamislimo točkasti objekt koji se nalazi ispred konkavnog cilindričnog zrcala. Na slici 16

prikazane su upadne zrake koje dolaze iz smjerova koji leže na horizontalnoj plohi (na kojoj

se nalazi točkasti objekt), okomite su na zrcalo i reflektirat će se od kružnog područja u točku

ispred zrcala, kao što bismo i očekivali kod idealne jednostruke refleksije na unutrašnjosti

prstena. Ujedno, upadne zrake koje dolaze iz smjerova vertikalne plohe (na kojoj se također

nalazi objekt), reflektirat će se na ravnom području, a projekcije reflektiranih zraka će se sjeći

u jednoj točki virtualnog prostora iza zrcala, kao što bismo očekivali kod refleksije na ravnom

zrcalu.

Slika 16. Refleksije sa ravnog i kružnog dijela konkavnog cilindričnog zrcala18

Uzmemo li u obzir i ostale upadne zrake koje dolaze iz smjera objekta, možemo zaključiti da

se reflektiraju u području koje više nije točka. Slika 17 nam prikazuje kako reflektirane zrake

konvergiraju u točke duž linije ispred zrcala i ujedno se projiciraju duž krivulje u virtualnom

prostoru iza zrcala. Npr. dvije gornje reflektirane zrake konvergiraju u točku iznad i ispred

zrcala, dok dvije zrake sa desne strane projiciraju na točku iza zrcala, što se vidi na desnoj

strani slike. Umjesto uobičajenih točkastih slika, refleksije svih upadnih zraka na našem

zrcalu tvore dvije linijske slike. Takve linijske slike slične su onima što ih proizvodi

astigmatična leća, a tvori se uzastopnim projiciranjem iste slike na veoma bliske točke.

Realna linijska slika je vertikalna i ravna, i nalazi se ispred zrcala, dok je virtualna smještena

18

Sve slike iz poglavlja 3.2.1. posuđene od Alan J. DeWeerd, S.Eric Hill, „The Dizzying Depths of Cylindrical Mirror“, Phys. Teach 43, 90-93, (Feb 2005)

16

iza zrcala na krivulji naziva limaçon19 te je orijentirana horizontalno. U eksperimentalnom

poglavlju vidjet će se posljedica projekcije na virtualnu linijsku sliku.

Slika 17. Refleksija točkastog objekta tvori dvije linijske slike

Bez obzira na konačnu nejasnu, distorziranu i re-orijentiranu sliku, za koju je odgovorno

mapiranje slike na dva mjesta odjedanput i to u linijskom obliku, promatrač će prepoznati

sličnost objektu ispred zrcala. Kako bismo razumjeli način na koji je sličnost točkastom

objektu percipirana, važno je uzeti u obzir ulogu promatrača.

3.2.1.1. Konkavno cilindrično zrcalo – promatranje slike

Za točkasti objekt vrijedi da svaka zraka reflektirana od konkavnog cilindričnog zrcala siječe

linijsku sliku ispred zrcala i također se projicira na linijsku sliku iza zrcala. Stoga zraka koja

spaja te dvije linijske slike i oko promatrača određuju smjer u kojem se konačna slika objekta

promatra. Na slici 18 prikazana je konstrukcija slike za dva različita položaja promatračeva

oka.

19

Vidjeti poglavlje 3.2.5. Konstrukcija slike na krivulji limaçon

17

Slika 18. Zraka svjetlosti koja upada u oko promatrača siječe linijsku sliku ispred zrcala i projicira se na krivulju iza zrcala

Za razliku od slike u kojoj je točkasti objekt mapiran na jednu točku, za ovako linijski

mapiranu sliku točke promatrač ne može utvrditi točnu lokaciju. Ako se promatrač pomiče

lijevo-desno, smjer pogleda se mijenja kao da se slika nalazi na liniji ispred zrcala. Međutim,

ako se promatrač pomiče gore-dolje, smjer promatranja se mijenja kao da je slika locirana na

krivulji iza zrcala.

Promatranje sa oba oka odjednom daje sličnu informaciju o dubini kao što ga daje

promatranje sa jednim okom. Zbog njihove fizičke udaljenosti, oči gledaju u blago različitom

smjeru da bi promatrale isti objekt. Što je objekt bliže očima, veći je kut kojeg zatvaraju

zamišljeni pravci kojim svako oko promatra. Taj kut odaje promatraču informaciju o dubini

na kojoj se objekt nalazi. Kada promatramo s oba oka i oči su orijentirane horizontalno, dva

se pravca duž kojih oči gledaju sijeku u vertikalnoj linijskoj slici ispred zrcala. Promatrač će

tada steći dojam da se slika nalazi ispred zrcala. Međutim, ako su oči orijentirane vertikalno

dva se pravca projiciraju na dio horizontalne krivulje iza zrcala, što indicira da se slika nalazi

iza zrcala. Kada se oči nalaze između dva navedena položaja, smjer njihova gledanja ne

konvergira te je slika nejasna, a samo promatranje pobuđuje nelagodan osjećaj vrtoglavice

kod promatrača.

18

Slika 19. Kut konvergencije za različite udaljenosti predmeta20

Više je načina percipiranja dubine. Prethodno opisan zovemo binokularnim. Postoje i

monokularni način koji omogućuju percipiranje dubine jednim okom, a jedan od tih je

pomoću količine akomodacije potrebne da se slika fokusira. Udaljenost fokusa od leće oka

reguliraju cilijarni mišići oka, te njihova napetost daje promatraču informaciju o udaljenosti

predmeta. Ako su mišići opušteni objekt se nalazi daleko, a ako su napeti objekt se nalazi

blizu oka. Ovakav način određivanja dubine kompliciran je zbog dvije linijske slike koje

nastaju kod refleksije na cilindričnom zrcalu. Očna leća fokusirana na linijsku sliku nastalu

ispred zrcala projicirala bi vertikalni linijski segment na mrežnicu, a kada bi fokusirala linijsku

sliku iza zrcala projicirala bi horizontalni linijski segment. Kada bi leću fokusirali na jednako

udaljen prostor između dvaju linijskih slika, na mrežnicu bi se projicirao ovalni oblik.

Pretpostavljamo da oko radi kompromis i fokusira na točku koja se nalazi između linijskih

slika gdje je svaka od tih slika podjednako dobro fokusirana. Za astigmatične leće, to se

područje zove medialni fokus ili „krug najmanje nejasnoće“21. Poznato je da kada refleksiju

na konkavnom cilindričnom zrcalu promatramo jednim okom, slika je mutna ali ne izaziva

vrtoglavicu.

Vrtoglavica je vjerojatno uzrokovana nemogućnošću procjene dubine na kojoj se slika nalazi.

Kada su promatračeve oči duž horizontalne ili vertikalne osi, kut na kojem dva pravca

gledanja konvergiraju smješta sliku na dubinu jedne od linijskih slika, ali akomodacija ju

smješta između linijskih slika. Identificiranje točnog psihološkog uzroka vrtoglavice nije

20

http://www.sapdesignguild.org/editions/edition9/vision_physiology.asp 21

http://en.wikipedia.org/wiki/Astigmatism

http://www.sapdesignguild.org/editions/edition9/vision_physiology.asp

http://en.wikipedia.org/wiki/Astigmatism

19

poznat, ali DeWeerd i Hill22 predlažu dva uzroka. Prvi je uzrok nemogućnost da mentalno

sjedinimo nekonzistentne informacije o dubini, a drugi taj da se oči uzaludno pokušavaju

fokusirati na oštru sliku i steći točan osjećaj dubine, što uzrokuje nelagodan osjećaj pokreta.

Zaključuju da ako promatračeve oči nisu niti na jednoj od spomenutih osi, konvergencija ne

daje dobru percepciju dubine, što čini nedoumicu još većom, te primjećuju da je pojava

vrtoglavice najizraženija kada naginjemo glavu sa jedne strane na drugu.

3.2.2. Konveksno cilindrično zrcalo – nastanak slike

Na sličan način kao što je opisano u prethodnom poglavlju, nastaje i refleksija na

konveksnom cilindričnom zrcalu. Točkasti predmet postavimo ispred zrcala čija je os

orijentirana vertikalno. Slično kao kod konkavnog zrcala, upadne zrake iz smjera horizontalne

x-y plohe koje se reflektiraju od horizontalnog kružnog dijela, projiciraju se u točku a ali ovaj

puta u virtualnom prostoru (Slika 20). Zrake koje dolaze na zrcalo iz smjera vertikalne x-z

plohe reflektiraju se, a njihove reflektirane zrake projiciraju na točku b u virtualnom prostoru

(Slika 21).

Slika 20. Zrake reflektirane od horizontalnog kružnog dijela projiciraju se u točku a23

22

Alan J. DeWeed, S. Eric Hill, op. Cit, str. Alan J. DeWeerd, S.Eric Hill, „The Dizzying Depths of Cylindrical Mirror“, Phys. Teach 43, 90-93, (Feb 2005) 23

Sve slike iz poglavlja 3.2.2. posuđene od Alan J. DeWeerd, S.Eric Hill, „Comment on „Anamorphic images“ by J.L.Hunt, B.G.Nickel, and Christian Gigault“, Am. J. Phys. 74 (1), 83-84, (Jan 2006)

20

Slika 21. Zrake reflektirane od vertikalnog ravnog dijela projiciraju se u točku b.

Uzmemo li u obzir i sve zrake koje dolaze na zrcalo iz smjera točkastog objekta i reflektiraju

se, njihove projekcije tvoriti će dvije linijske slike. Zrake reflektirane sa kružnog dijela

formirati će ravnu vertikalnu linijsku sliku, ali ovoga puta unutar virtualnog prostora, a zrake

reflektirane sa ravnog dijela formirat će linijsku sliku duž krivulje limaçom, nešto dalje u

virtualnom prostoru. Linijske slike su, kao i kod konkavnog cilindričnog zrcala, astigmatične.

Povećanjem udaljenosti objekta od zrcala povećava se i međusobna udaljenost linijskih slika.

Posljedica ovog sve većeg astigmatizma je manjak oštrine slike na rubnim područjima

cilindričnog zrcala.

21

3.2.2.1. Geometrija refleksije na konveksnom cilindričnom zrcalu

Matematička analiza refleksije na cilindričnom konveksnom zrcalu prikazana je na slici.

Slika 22. Konstrukcija refleksije anamorfne slike na koju je smješteno cilindrično zrcalo. Promatranje se vrši iz toče V.

Cilindar sa jediničnim radijusom stoji na anamorfnoj plohi. Transformacija je konstruirana

pomoću zamišljenih zraka iz točke P'' na anamorfnoj plohi, koje se reflektiraju od zrcala u

točki R prema točki promatranja V. Zamišljeni produžetci zrake VR prolaze kroz anamorfnu

plohu u točki P'. Na lijevoj strani slike 22 prikazana je projekcija geometrije cilindra na

horizontalnu anamorfnu plohu, dok je na desnoj strani projekcija na vertikalnu plohu koja

prolazi duž osi cilindra i točke promatranja V.

Središte baze cilindra je u ishodištu koordinatnog sustava, a točka promatranja V na visini h i

udaljenosti d u kojem slučaju je geometrija zrake VP' točno prikazana na slici 41 iz ulomka

4.1. Za mapiranje slike iz točke P' u točku P'' koriste se slijedeće jednadžbe transformacije24

7

i

24

Anamorphic images, J. L. Hunt, B. G. Nickel, and Christian Gigault, Am.J. Phys. 68 (3)m Matrch 2000, str.235

22

(

) 8

Slika 23. Desna strana: 10x20 mreža kvadrata transformirana refleksijom od cilindra promatrana sa d=15, h=10. Lijeva

strana: ista mreža promatrana iz beskonačnosti iz kuta nagiba

.

Narav tih jednadžbi ilustrirana je na desnoj strani slike 23 koja prikazuje transformaciju

10x20 mreže kvadrata na intervalu sa vrijednostima i ,

koje tvore kut gledanja od 33.7. Vidimo da dobivene konture nisu krugovi, te da je

reflektivni cilindar pomaknut u odnosu na središte transformirane mreže. Zakrivljene

konture dobivaju na sve većoj međusobnoj udaljenosti, kako se odmičemo od cilindra, kao

posljedica konačne udaljenosti točke promatranja. U mnogim situacijama udaljenost

promatranja može biti beskonačna i ostvariti će se znatno pojednostavljenje jednadžbi

transformacija. Ako je , gdje je kut gledanja s obzirom na plohu, tada

jednadžbe 7 i 8 postaju

(

√ ) 9

⁄

10

23

Kao primjer ovih jednadžbi, na lijevoj strani slike 23, prikazana je još jedna 10x20 mreža sa

gledana iz beskonačnosti pod istim kutem od 33.7. Konture nisu kružnice ali su

ekvidistantne a zrcalo je i dalje dislocirano od središta mreže.

Kontrast između lijeve i desne strane slike ilustrira da bridovi cilindra nisu linije sa

konstantnom udaljenosti x, osim za slučaj promatranja iz beskonačnosti. Na konačnoj

udaljenosti, promatrač vidi sliku trapeznog oblika koji je pri vrhu širi, što mozak inzistira

interpretirati kao pravokutnik. Posljedica takve interpretacije jest da gledajući anamorfozu

„uokvirenu“ u cilindru promatrač stječe dojam da sa slikom nešto nije u redu, jer se slika

udaljava od bridova cilindra kako se povećava veličina y. Da bi se dobila vizualno

zadovoljavajuća transformacija moramo nekako kompenzirati iluziju da se bridovi cilindra

čine kao paralelne linije. Jedan od načina je da jednadžbu 13 (poglavlje 4.1) i odgovarajuću

ishodišnu plohu na slici 41 ostavimo netaknutom za specificiranje y koordinate, a jednadžbu

14 zamijenimo sa

⁄ 11

koja odgovara specificiranju x koordinate na vertikalnoj ishodišnoj plohi kroz os cilindra.

Definirajući dvije ishodišne plohe izlazi se iz domene perspektivnog crtanja u uskom smislu,

ali upravo takve očigledne nekonzistentnosti ne dopuštaju jedinstveno rješenje problema

transformacije.

3.2.2.2. Konstrukcija slike na krivulji Limaçon

Krivulja Limaçon25, poznata kao i Pascalov Limaçon, definirana je kao krivulja koja nastaje

istovremenom translacijom i rotacijom kruga po vanjskom obodu drugog kruga istog

radijusa. Točka koja proizvodi, tj. „crta“ krivulju limaçona nalazi se unutar revolvirajućeg

kruga i smještena je bilo gdje osim u centru tog kruga26 kao što je prikazano na slici 24.

25

http://en.wikipedia.org/wiki/Lima%C3%A7on 26

U suprotnom, dobivena krivulja bila bi kružnica

http://en.wikipedia.org/wiki/Lima%C3%A7on

24

Slika 24. Konstrukcija krivulje limaçon27

Linijska slika nastala projekcijom reflektiranih zraka na vertikalnom ravnom području

cilindričnog zrcala leži na krivulji limaçon. Kada bi na tangenti tog vertikalnog dijela površine

bilo ravno zrcalo, spomenuta točka bila bi slika objekta. Ta je točka udaljena iza tangente

koliko je objekt udaljen ispred tog dijela zrcala. Na slici 25 prikazana je konstrukcija linijske

slike promatrana na x-y plohi.

Slika 25. Konstrukcija nalaženja točke na virtualnoj linijskoj slici28

.

27

http://en.wikipedia.org/wiki/File:EpitrochoidIn1.gif

http://en.wikipedia.org/wiki/File:EpitrochoidIn1.gif

25

Na prethodnoj slici, B predstavlja upadnu zraku sa objekta na točku na zrcalu, je vektor od

objekta do odgovarajuće točke na linijskoj slici, R je radijus zrcala koji pokazuje gdje se zraka

odbija, a C se proteže od objekta do središta zakrivljenosti.

Koristeći kosinusov poučak možemo uočiti pravilnosti

i

uz kao kut kojeg zatvaraju stranice R i C. Zbroj kutova u četverokutu je 2π, što je u ovome

slučaju

. Uvrštavanjem u prethodni izraz dobiveno je

Treću pravilnost možemo uočiti pomoću kosinusovog poučka za stranice C, B, R i kuta ξ kojeg

zatvaraju stranice R i B. Vrijedi da je iz čega slijedi

Pojednostavljenje ovih jednadžbi daje

što je polarna jednadžba za limacon koja za rezultat daje vektor položaja točke linijske slike u

ovisnosti o kutu otklona θ, udaljenosti zrcala od ishodišta C i zakrivljenosti zrcala R.

28

Alan J. DeWeerd, S. Eric Hill, „Appendix to“The Dizzying Depths of the Cylindrical Mirror“, THE PHYSICS TEACHER, Vol 43, February 2005

26

Slika 26 prikazuje krivulju limaçon koja nastaje kada je točkasti objekt reflektiran od cilindra.

Slika 26. Virtualne linijske slike točkastog objekta čine krivulju limaçona.

Refleksija od konkavnog (plavog) dijela zrcala proizvodi vanjski (plavi) dio limacona, dok

refleksija od konkavnog (crvenog) dijela proizvodi unutarnju (crvenu) petlju limacona.

27

4. Anamorfne slike

Anamorfna slika ili drugom riječju anamorfoza definirana je u Websterovm rječniku kao

distorzirana29 ili monstruozna projekcija ili reprezentacija slike na ravnoj ili zakrivljenoj

površini, koju kada promatramo iz određene točke promatranja ili pomoću refleksije sa

zakrivljenog zrcala, djeluje skladno i u proporciji.

Doslovan prijevod riječi anamorfoza sa grčkog jezika ima značenje „iznova formirati“, što se

odnosi na vizualnu perspektivu slike koja je na neki način skrivena.

Otkriću anamorfne umjetnosti prethodilo je otkriće slikanje u perspektivi (3D objekata na 2D

površini) koje je poznato je od razdoblja rane Renesanse. U talijanskom gradu Florenci

početkom 15. St. umjetnici su kroz stotinu godina iznova otkrivali umjetnost perspektive i

izučavali njene geometrijske pravilnosti. Njemački umjetnik Dürer ilustrirao je svoj način

crtanja perspektive tako da je promatrao subjekt sa fiksne točke kroz drveni okvir sa napetim

crnim nitima koje čine kvadratnu mrežu. Slika subjekta kojeg umjetnik vidi kroz taj okvir jest

slika koju umjetnik kopira na platno sa mrežom, koje se nalazi pred njim. Iako vještijim

umjetnicima ne treba mreža za izradu slike, sama ideja shvaćanja slike kao prozora ključna je

za perspektivu. Također je i ključna ideja postojanja samo jedne točke promatranja iz koje bi

vidjeli točno ono što je umjetnik zamislio.

Slika 27. "Umjetnik crta akt", Albrecht Dürer, 1528. g.

Na ideji sa prozorom perspektive nastao je prvi anamorfni crtež, a autor je bio Leonardo da

Vinci 1480. godine.

29

Art of anamorphosis, http://www.anamorphosis.com/exhibition/index.html

http://www.anamorphosis.com/exhibition/index.html

28

Slika 28. Anamorfoza dječjeg lica i oka; autor je Leonardo da Vinci.

Leonardo i ostali umjetnici su primijetili da orijentacija okvira sa mrežom ne mora nužno biti

90° u odnosu na pravac gledanja subjekta, te su na taj način stvarali slike koje se promatraju

pod određenim kutom.

Slika 29. Usporedba dobivanja konvencionalne perspektivne i anamorfne slike

Gledanje slike pod pravim kutom rezultira distorziranom slikom, a ako je kut zamišljenog

promatranja veoma mali moguća je i potpuna neprepoznatljivost. Ta je tehnika danas

poznata pod imenom perspektivna (oblique) anamorfoza.

Slika 30. "Anamorfni portreti Charlesa V, Ferdinanda od Austrije, Pape Pavla III i Francisa I", Erthard Schön, 1535. g.

29

U 16. se stoljeću znanje o perspektivi proširilo na sjever, pa su i sjevernoeuropski umjetnici

krenuli eksperimentirati sa „distorziranom perspektivom“. Proslavljeni primjer navedene

tehnike sadržan je u portretu kojeg je naslikao Hans Holbein mlađi poznat pod imenom

Ambasadori. Slika lubanje, svojevrsni memento mori30, naslikana je rastegnuto na dnu slike i

zamišljena je tako da bude vidljiva je pod kutom koji se prirodno pojavi kada bismo se penjali

stubištem iznad kojeg je slika (vjerojatno izvorno bila) izložena.

Slika 31. "Ambasadori", Hans Holbein, 1533.g.

Tijekom 17. I 18. stoljeća, anamorfna umjetnost razvila se teoretski i praktično, izrazito u

Francuskoj i Italiji. Geometrijska pravila za anamorfoze postala su jasnija, što je rezultiralo

preciznijim i učinkovitijim tehnikama koje su uvelike olakšale konstrukciju velikih anamorfnih

slika, kojima su se oslikavali zidovi i stropovi.

30

Memento mori, http://en.wikipedia.org/wiki/Memento_mori

30

Slika 32. Ravan strop crkve Sv. Ignacija u Rimu31

oslikan je perspektivnom anamorfnom tehnikom koja se i danas koristi kod projekcija video zapisa na velika platna. Autor Andrea Pozzo 1685.-1694.

Otkrivena je i nova vrsta anamorfoze, prozvana zrcalnom (catoptic), koja se konstruira na

površinama koje više nisu ravne, nego su sačinjene od unutarnjih i vanjskih površina stožaca i

piramida. Također su otkrivene anamorfoze koje koriste refleksije sa zakrivljenih zrcala

stošca, cilindra i piramide, čije ideje potječu iz Kine.

Prvi priručnici koji sadrži opisane tehnike za izradu raznih vrsta anamorfoza objavljeni su

1600. g. Jean-Francoise Niceron-ova knjiga Thaumaturgs Opticus (doslovno: Izvođač optičkih

čuda), koja se pojavila 1646. najvažnija je od njih. Njegove nacrte i dijagrame spominjali smo

u prethodnim, a biti će riječi o njima i u narednim poglavljima.

U 19. Stoljeću, razvojem povoljnijeg tiskanja u boji, anamorfne slike postaju dostupne

također i srednjem staležu te postaju popularne kao društvene igre otkrivanja skrivenog

motiva, zajedno sa ostalim vizualnim igrama kao što su stereoskopske fotografije. Kao i

mnoge druge igre 19. stoljeća, uslijed izuma radija i televizije, anamorfoze su u prošlom

stoljeću gotovo potpuno nestale iz općeg znanja. Spominju se tek u knjigama o perspektivi i

ponekad pojavljuju na posebnim izložbama.

31

http://en.wikipedia.org/wiki/Sant%27Ignazio

http://en.wikipedia.org/wiki/Sant%27Ignazio

31

Nekolicina umjetnika nastavila je njegovati tehniku. Salvador Dali napravio je nekoliko

primjeraka gdje je slika skrivena u slici.

Slika 33. "Insekt i klaun", Salvador Dali

Mađarski predstavnik moderne umjetnosti István Orosz, također je djelovao na području

anamorfne umjetnosti sa slikama koje također sadrže skriveni motiv.

32

Slika 34. Razna djela Istvána Orosz32

U današnje vrijeme tehnike anamorfoze koriste se u urbanoj umjetnosti. Veoma su

popularne trodimenzionalne slike nacrtane kredom na pločniku, koje spadaju u kategoriju

street art, a primjer vidimo na slici 35.

32

http://www.visualnews.com/2011/03/10/anamorphic-drawings-hidden-images-revealed/

33

Slika 35. Primjer ulične trodimenzionalne anamorfne slike33

; autor: Robert Guillemin poznatiji kao Sidewalk Sam34

.

Također je popularno i slikanje anamorfoze na diskontinuiranim površinama kao što je

prikazano na slici 36. Pretpostavljam da se za ovu veoma egzaktnu tehniku slikanja u svrhu

nacrta koristi projekcija konačne slike pomoću video projektora iz odabrane točke

promatranja.

33

http://zazenlife.com/2012/04/17/amazing-3d-street-art/ 34

http://www.sidewalksam.com/about_swsstory.htm

http://zazenlife.com/2012/04/17/amazing-3d-street-art/

http://www.sidewalksam.com/about_swsstory.htm

34

Slika 36. anamorfoza projekcije šahovnice na 3D predmet35

.

Anamorfna umjetnost nije ograničena samo na slike i crteže. Primjer na slici 37 je umjetnička

skulptura Penroseovog trokuta, poznatog kao i „nemogući trokut“, koji se sastoji od tri grede

sastavljene pod pravim kutom koje unatoč tome čine „trokut“, barem kad ga se pogleda iz

točno određene točke.

Slika 37. Skulptura nemogućeg trokuta36

; autor Bjørn Christian Tørrissen.

Anish Kapoor također je jedan od modernih umjetnika koji nerijetko koristi objekte koji

neobično zrcale okolinu i na taj način transformiraju perspektivu kako je prikazano na slici

38.

35

http://newundersol.blogspot.com/2012/07/illusion-5-anamorphosis.html 36

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Perth_Impossible_Triangle.jpg

http://newundersol.blogspot.com/2012/07/illusion-5-anamorphosis.html

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Perth_Impossible_Triangle.jpg

35

Slika 38. Wada fraktali37

i "Okretanje svijeta naglavačke"38

; Anish Kapoor39

.

4.1. Nastanak anamorfne slike translatiranjem perspektive

Dvije su ključne ideje koje objašnjavaju mehanizam perspektive, i koje su zaslužne za

konstrukciju anamorfoza koristeći perspektivu.

Prva jest ta da svjetlost putuje u ravnim linijama, a druga da okolinu vidimo zbog toga što iz

svake točke okoline putuju zrake svjetlosti koje upadaju na promatračevo oko. Te dvije ideje

vode do koncepta „stošca gledanja“, gdje se sve zrake koje dolaze sa površine (baza stošca)

susreću u jednoj točki (promatračevo oko).

37

http://lisathatcher.wordpress.com/2012/05/18/anish-kapoor-nothing-and-space/ 38

http://en.wikipedia.org/wiki/File:TWUP_Jerusalem_190810_1.JPG 39

http://anishkapoor.com/

http://lisathatcher.wordpress.com/2012/05/18/anish-kapoor-nothing-and-space/

http://en.wikipedia.org/wiki/File:TWUP_Jerusalem_190810_1.JPG


36

Slika 39. Model "stožastog gledanja ".

Na slici 39. ponovno je prikazana Dürerova slika na kojoj su dodane zrake koje čine zamišljeni

stožac. Vidimo da je drveni okvir koji predstavlja „prozor“ zapravo ploha koja siječe

zamišljeni stožac.

Temeljna je činjenica da će svaka ploha koja siječe stožac proizvesti isti utisak kod

promatrača, neovisno o nagibu i obliku te plohe.

Kod ovakvih slika planarna figura je distorzirana, najviše u jednoj dimenziji. Najjednostavnija

transformacija slike u plošnu anamorfnu je prikazana na slici 40. koju je izradio Samuel

Marolois godine 1614. U ovom je slučaju jedna dimenzija distorzirana stoga je jedini ispravan

način promatranja rekonstrukcije ove slike promatranjem iz beskonačnosti pod određenim

kutom.

Slika 40. Plošna anamorfoza konstruirana za gledanje iz beskonačnosti pod kutom od 1340

. Autor je Marolois godine 1614.

U ovom su slučaju jednadžbe transformacije trivijalne:

40


37

i ⁄ . 12

Gdje x' i y' predstavljaju transformirane koordinate, a α predstavlja kut gledanja. Mjerenja

slike iz primjera ukazuju na kut promatranja od 13°.

U stvarnoj situaciji, slike relativno malih dimenzija, promatrat ćemo iz točke V na konačnoj

udaljenosti d i visini h od centra najbližeg brida anamorfne slike, kao što je prikazano na slici

41.

Slika 41. Geometrija plošne anamorfoze promatrane iz konačne udaljenosti41

.

Slika se transformira tako da se mapiraju točke koordinata x,y sa slike, u točke koordinata x' i

y' na anamorfnu plohu. Primjer takvog mapiranja je prikazan na slici gdje se točka P mapira u

točku P'. Ako uzmemo orijentaciju slike kao okomicu na dužinu VO koja se proteže od točke

promatranja do ishodišta tada vrijedi

⁄

i

⁄⁄

Koristeći izraz za tangens razlike kutova ⁄ i zapis

funkcija preko d, h i α dobije se transformacija koordinate y i njen inverz.

41


38

⁄

⁄

⁄ 13

Za svaku vrijednost y, slijedi transformacija x iz donjeg dijela slike 41, što je horizontalna

ploha koja uključuje dužinu VAB. Zapiše li se ⁄⁄ pomoću d, h, y, i y', dobiva se

√ √ ⁄ 14

Jednadžbe 13 i 14 imaju jednadžbu 12 kao granicu, kada d i h rastu u beskonačnost sa

konstantnim omjerom h/d =tan.

4.2. Transformiranje slike u anamorfnu refleksijom na cilindru

Niceron je napisao točnu geometrijsku metodu za konstrukciju anamorfoza i aproksimaciju

prikazanu na slici 42. U aproksimaciji, konture su kružnice kojima međusobna udaljenost

raste sa radijalnom udaljenošću, što indicira da se radi o aproksimaciji namijenjenoj za

promatranje sa konačne udaljenosti.

Slika 42. Geometrijska matrica za konstrukciju cilindričnih anamorfoza42

; autor Niceron, 1638.g.

42


39

Također, kao što smo već spomenuli, položaj cilindra ne nalazi se u središtu geometrijske

mreže, a radijalne linije su iskrivljene tako da pokazuju u središte izmaknutog cilindra, što

nije slučaj kod točne transformacije. Radijalne su linije nacrtane na jednakim kutnim

udaljenostima, što čini područja u prednjem dijelu slike većima nego na stranama slike. Na

Slika 23 iz poglavlja 3.2.1.1. vidi se da vrijedi upravo obrnuti raspored polja po veličini nego

što bi ga stvarna transformacija ostvarila. Testirajući Niceronovu matricu transformiranjem

ravnih linija, npr. trokuta, rekonstruirana slika zadržava blage konture. Taj se nedostatak

korigirao dovršavanjem anamorfoza direktnim promatranjem u cilindru.

Jednadžbe transformacije 7 i 8, te 13 i 14 iz prijašnjih poglavlja, prikladne su za uporabu ako

se slika sastoji od jednostavnih elemenata. Primjer toga slučaja i odgovarajuća rekonstrukcija

prikazana je na slici 43. U kompliciranijim slučajevima kao u digitaliziranoj fotografiji,

poželjno je koristiti inverzne jednadžbe43. Primjer takve anamorfoze je prikazan na slici 44.

Slika 43. Jednostavni elementi mogu se transformirati pomoću aproksimacijskih jednadžbi.

Slika 44. Digitalno izrađena anamorfoza J.L.Hunt-a44

; jedan od istraživača čije su jednadžbe i saznanja sadržana u

ovome radu.

43

J. L. Hunt, B. G. Nickel, and Christian Gigault, „Anamorphic images,“ Am.J. Phys. 68 (3)m Matrch 2000, str.236 44

James L. Hunt homepage, http://www.physics.uoguelph.ca/personal_site.php?idx=36

http://www.physics.uoguelph.ca/personal_site.php?idx=36

40

5. Računalne simulacije

Kao što i sam naslov upućuje, cilj ovog diplomskog rada upravo je simulacija zrcaljenja

svjetlosti na površinama ne-sfernih zrcala i anamorfnih slika. Za te potrebe koristio sam

grafičke aplikacije POVRay (Persistance Of Vision RAYtracer) za virtualni eksperimentalni

postav i Anamorph Me za transformiranje slika u anamorfne koje ćemo također promatrati

pomoću POVRay-a.

5.1. Metoda praćenja svjetlosnih zraka

U računalnoj grafici, metoda praćenja zraka45 (eng. ray tracing) predstavlja jednu od metoda

za iscrtavanje virtualnih scena (eng. rendering). Koja radi upravo na obrnutom principu od

modela gledanja. U stvarnosti zrake svjetlosti šire se u svim smjerovima od izvora svjetlosti

prema objektima, te se događaju četiri moguća ishoda: refleksija, refrakcija, apsorpcija i

fluorescencija svjetlosnih zraka. Zrake koje nakon mogućih ishoda završe u promatračevom

oku ili objektivu kamere čine sliku. Izračunavanje položaja, smjera i mogućih ishoda svih

zraka nepotrebno je iz razloga što većina zraka nikad niti ne dospije do promatrača. Iz tog

razloga koristi se princip gdje se iz položaja promatrača šalju „zrake gledanja“ za svaki piksel

koji će sačinjavati konačnu sliku.

Slika 45. Princip rada metode praćenja zraka46

.

45

Istraživanje kaustike metodom praćenja svjetlosnih zraka i usporedba s eksperimentom – Bruno Paun, str. 44 46

Ray tracing, http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=File:Ray_trace_diagram.svg&page=1


http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=File:Ray_trace_diagram.svg&page=1

41

Tada se računa siječe li se pravac zrake sa nekim od objekata u sceni i ako da, boja točke na

objektu koju je ta ista zraka pogodila. U svrhu određivanja točne boje, iz točke na objektu

šalju se zrake prema svim izvorima svjetlosti kako bi se odredio iznos svjetlosti koja dolazi iz

izvora, tj. direktno osvjetljenje. Takve zrake nazivamo „zrakama sjene“ jer se njima

provjerava leži li točka objekta u sjeni ili ne. Ako je površina reflektivna ili prozirna, šalju se

nove zrake kako bi odredile doprinos reflektirane i refraktirane svjetlosti ukupnoj boji

površine objekta. Taj se postupak iterativno ponavlja dok ne odredimo točnu boju svakog

piksela konačne slike.

5.2. POVray i Anamorph Me

POVRay47 je open source program koji koristi tehniku iscrtavanja pomoću metode praćenja

zrake za stvaranje 3D računalne grafike fotografske kakvoće. Licenciran je kao shareware i

podržan na svim platformama i operativnim sustavima. Upravo zbog tih razloga, i

jednostavnosti korištenja veoma je rasprostranjen alat za iscrtavanje.

Koristi se na način da se kroz jednostavnu sintaksu programskog jezika pomoću ugrađenog

text editora upisuju naredbe u tekstualnu datoteku, u kojoj definiramo cijelu virtualnu scenu.

U njoj su sadržane naredbe kojima su u 3D prostoru kreirani razni objekti, definirani njihovi

položaji, teksture, atmosferske prilike i što je najvažnije, položaji izvora svjetlosti i položaj

kamere. Na osnovu tih podataka izvršava se iscrtavanje scene.

Anamorph me besplatan je program za oblikovanje slika s kojim je moguće primijeniti gotovo

sve anamorfne transformacije koje koriste perspektivu i zrcala na sliku koju smo prethodno

učitali. Autor je Phillip Kent a program je napisan u programskom jeziku Visual C++ verziji 6.0

i baziran je na C++ biblioteci imena paintlib. Koristio sam ga za izradu anamorfnih slika koje

sam u POVRay-u učitao i uz pomoć zrcala i točnog položaja kamere naknadno „dekodirao“.

Sučelje je veoma izravno a sadržane su slijedeće transformacije:

perspektivno i linearno rastezanje slike

projekcija slike na unutrašnji i vanjski plašt stošca ili piramide

polarna transformacija za promatranje pomoću cilindričnog zrcala (aproksimacija)

transformacija za promatranje pomoću stošca

47

Diplomski rad – Reprezentacija učinka kompleksnih optičkih elemenata metodom praćenja zraka; Kristijan Kunštek, str. 8

http://asiber.ifs.hr/diplomski_kunstek.html


42

5.3. Simulacije refleksija na ne-sfernim zrcalima

Kao praktični dio rada fotografirao sam razne postave cilindričnog konkavnog i konveksnog

zrcala u kombinaciji sa objektima. Moj zadatak bio je vjerno rekonstruirati fizikalni pokus u

virtualnom okruženju programa POVRay, te uočiti zakonitosti koje proizlaze promjenom kuta

kamere i orijentacije zrcala.

5.3.1. Simulacija konveksnog cilindričnog zrcala

Na slici 46 vidimo fotografiju cilindričnog zrcala promjera 7 cm načinjeno od poliranog

nehrđajućeg čelika koje je postavljeno okomito na podlogu.

Slika 46. Fotografija refleksije podloge na konveksnom cilindričnom zrcalu

Može se primijetiti da središnja crvena linija djeluje kao vertikalna os simetrije reflektirane

slike, te da je zadržala svoj izvorni oblik. Zasluga tome je prednji centralni dio zrcala koji po

svom uskom vertikalnom dijelu reflektira zrake svjetlosti poput ravnog zrcala.

Slika 47. POVRay simulacija cilindričnog zrcala; ovisnost reflektirane slike o promjeni kuta promatranja.

43

U oba slučaja na slici 47 vidljivo je da se dijelovi mreže koji se nalaze dalje od zrcala

reflektiraju na većoj visini zrcala od dijelova bližih zrcalu. Uzrok tome je ovisnost vertikalne

komponente upadnog, odnosno reflektiranog kuta zrake o udaljenosti neke točke na podlozi.

Kao i kod refleksije na ravnom zrcalu, što je točka na podlozi udaljenija, manja je vertikalna

komponenta upadnog kuta zrake na zrcalo, što rezultira višim položajem točke refleksije.

Zbog zajedničkog svojstva konkavnog sfernog i cilindričnog zrcala da umanjuju reflektiranu

sliku, a time i povećavaju kut vidnog polja, najudaljeniji dijelovi podloge (kutovi na bridovima

mreže) vidljivi su i prema svojoj udaljenosti vidimo ih na određenoj visini cilindra.

Pomicanjem točke promatranja na veću visinu povećavaju se vertikalne komponente

upadnih kutova zraka i proporcionalno se povećava visina reflektirane slike.

Kada ispred zrcala postavimo predmet, u našem slučaju lopticu za stolni tenis, vidimo da se

slika objekta promijenila samo u horizontalnoj dimenziji.

Slika 48. Refleksija sfernog objekta na konveksnom zrcalu. Lijevo: fotografija, a desno: PovRay simulacija

Posljedica je to nejednakosti kutova vidnog polja u horizontalnom i vertikalnom smjeru, a

uzrok nejednakosti je zakrivljenost zrcala samo u jednom, horizontalnom smjeru.

Kod postepene promjene orijentacije zrcala iz vertikalnog u horizontalni položaj dolazi do

očekivanog mapiranja slike na cilindru.

44

Slika 49. POVRay simulacije ovisnosti deformacije reflektirane slike o nagibu konveksnog zrcala.

Lijevi kut mreže nalazi se sve dalje od zrcala i sukladno tome reflektira se sve niže na zrcalu.

Obrnuto vrijedi za desni kut koji se nalazi sve bliže zrcalu i reflektira se na sve višem dijelu

zrcala. Bitno je uočiti da uzak središnji dio zrcala dosljedno reflektira neiskrivljenu sliku

središnje crvene linije, što je u približno refleksiji na ravnom zrcalu, ali se sa rotacijom tog

dijela zrcala rotira i slika crvene linije.

Slika 50. Usporedba fotografije i simulacije nagnutog cilindričnog zrcala.

Kada cilindrično zrcalo orijentiramo horizontalno možemo primijeti da centralni dio

očekivano reflektira sliku poput ravnog zrcala. Uzrok je isti kao i kod slučaja loptica-cilindar,

ali u ovom slučaju slika je promijenjena (zbijena) po vertikalnoj osi.

45

Slika 51. Fotografija cilindričnog zrcala polegnutog na podlogu; fotografirano s minimalne visine.

Druga zakonitost u ovom postavu je ta da reflektirana slika podloge ne prelazi polovicu širine

cilindra, neovisno o kutu promatranja. Zrcalo sliku podloge reflektira na određenoj visini

cilindra prema odgovarajućoj udaljenosti točke podloge od cilindra. Vrijedi ista zakonitost

kao i kod uspravno položenog cilindra, uz iznimku da ovisnost visine točke refleksije o

udaljenosti točke na podlozi je sada jednaka na odgovarajućoj vertikalnoj koordinati, tj. ne

ovisi o horizontalnoj koordinati. Iz tog razloga slika nije deformirana u dvije, već samo u

jednoj, vertikalnoj dimenziji.

Slika 52. POVRay simulacije ovisnost refleksije cilindričnog zrcala o paralelnoj udaljenosti podloge;

U ovoj simulaciji podloga je beskonačno velike površine. Vidimo da slika i dalje ne prelazi

polovicu cilindra nego se sve više komprimira kako se bliži horizontalnoj osi cilindra.

Promjenom udaljenosti cilindra od podloge povećao se ukupan broj kvadrata na slici jer se

povećao kut vidnog polja zrcala.

46

Svojstvo cilindričnog zrcala da komprimira sliku u jednoj dimenziji možemo iskoristiti za

promatranje anamorfnih objekata. Promatranje takvih objekata iz predviđenog položaja

rezultira neiskrivljenom slikom objekta. Na slici 53 su prikazane refleksije dva objekta koji

pomoću cilindričnog zrcala čine sferu i kocku.

Slika 53. Prikaz refleksije anamorfnih objekata promatrane iz predviđenog mjesta; PovRay simulacija.

Slika 54. Anamorfni objekti ispred konveksnog cilindričnog zrcala. PovRay simulacija.

Kao i kod svih anamorfnih transformacija, potrebno je da izvorni objekti budu deformirani

barem u jednoj dimenziji kao što je prikazano na slici 54.

Usporedbom slike 53 i 54 vidimo na koji način kut promatranja utječe na reflektiranu sliku. Iz

modela gledanja općenito proizlazi da povećanjem kuta promatranja do promatračevih očiju

47

dolazi drugi skup zraka, što kod promatranja slike na ravnom zrcalu stvara efekt da slika na

zrcalu „raste“. U slučaju polegnutog konveksnog zrcala, povećanjem kuta promatranja slika

se stvara se privid da se slika „smanjuje“. Razlog tomu je povećanje kuta vidnog polja, što

rezultira reflektiranjem veće površine okoline na ograničenoj površini zrcala, stoga dolazi do

kompresije reflektirane slike i smanjenja objekata na reflektiranoj slici.

5.3.2. Simulacija konkavnog cilindričnog zrcala

Za promatranje refleksije na konkavnom cilindričnom zrcalu koristili smo uglačani metalni

prsten promjera 10 cm.

Slika 55. Refleksija na konkavnom cilindričnom zrcalu. Lijevo: fotografija, a desno: PovRay simulacija.

Vidimo kako dolazi do neobične deformacije slike. Na sredini zrcala nalazi se područje na

kojemu je slika rastegnuta u horizontalnom smjeru. To se može primijetiti pomoću crvenih i

crnih linija koje promjene smjer iz vertikalnog u horizontalni.

O mapiranju slike istog predmeta, u ovome slučaju podloge, na dva mjesta odjednom

govorili smo u poglavlju 3.2.1. Formiraju se dvije linijske slike, jedna realna vertikalna slika, a

druga je virtualna horizontalna u obliku krivulje limaçon. Na slici 56 vidi se područje na

konkavnom zrcalu na kojem dolazi do velike deformacije slike mreže. To se područje

refleksije nalazi na visini na kojoj reflektirane zrake prolaze kroz fokus smješten ispred zrcala

i blisko područje oko njega. Ako gledamo samo dio središnje crvene linije podloge, koja je

smještena u fokusu zrcala, očekivano je da će virtualna slika tog „predmeta“ biti mapirana na

više mjesta iza zrcala. Razlog tome jest što cilindrično zrcalo možemo zamisliti također kao

48

niz vertikalnih beskonačno uskih ravnih zrcala koja će isti predmet, zbog svog konačnog

zakrivljenog oblika, mapirati u virtualni prostor iza zrcala, i to upravo u obliku krivulje

limaçon.

Slika 56. Usporedba refleksije sa konkavnog i konveksnog cilindričnog zrcala jednakog radijusa. PovRay simulacije.

Postavimo li predmet ispred konkavnog zrcala, slika je očekivano uvećana, ali samo u smjeru

u kojem je zakrivljeno zrcalo (slika 57).

Slika 57. loptica ispred konkavnog zrcala. Lijevo: fotografija. Desno: PovRay simulacija.

Na slici 58 vidimo kako ovisi slika refleksije o udaljenosti objekta od zrcala. Primaknemo li

predmet do određene područja fokusa zrcala dolazi do uvećanja slike objekta.

49

Slika 58. POVRay simulacija ovisnosti reflektirane slike o udaljenosti predmeta od konkavnog cilindričnog zrcala.

Naglom uvećanju u horizontalnoj dimenziji vjerojatno je uzrok granična udaljenost (položaj u

fokusu) od zrcala koja se nalazi između centra zakrivljenosti i fokusa zrcala.

U interaktivnoj simulaciji objekta ispred konkavnog/konveksnog zrcala može se steći dojam

kako izgleda slika predmeta na graničnim udaljenostima od zrcala. Promjenjivi parametri su

zakrivljenosti i udaljenosti od zrcala, a simulacija se može pokrenuti klikom na ovaj link48.

5.4. Simulacija anamorfnih slika

Zbog neobičnog kuta promatranja te potrebe za zrcalima koja nisu lako nabavljiva, POVRay

postaje idealnim alatom za promatranje anamorfnih slika. Primjer vidimo na desnoj strani

slike 59 koja prikazuje sliku „Ambasadori“ Hansa Holbeina mlađeg, promatranu iz

alternativnog kuta koji otkriva skriveni motiv slike.

Slika 59. Na lijevoj strani prikazana je slika "Ambasadori", a na desnoj POVRay simulacija, promatrana iz alternativnog kuta gledanja.

48

Autor java simulacije je dr. Fu-Kwun Hwang; http://www.phy.ntnu.edu.tw/ntnujava/index.php?topic=376.0



50

Način na koji sam ostvario kut gledanja jest pomoću POVRay-a. Kreirao sam plohu te za

teksturu plohe odabrao sliku The Ambassadors. Metodom pokušaja i pogreške pomicanja

kamere i točke u koju kamera je kamera usmjerena pronađen je ispravan položaj i smjer

promatranja, a nalazi se sa desne strane, približno na horizontalnoj polovice slike. Jedna od

hipoteza o orijentaciji anamorfne slike lubanje49 jest da je slika predviđena za izlaganje na

bočnom zidu iznad stubišta, tako da promatrač silazeći niz stubište nehotice uoči lubanju.

Na slici 60. sam pomoću programa Anamorph me izradio perspektivnu anamorfnu

transformaciju koju sam opet promatrao pomoću POVRaya.

Slika 60. Lijevo je prikazana perspektivna anamorfna slika promatrana okomito na plohu, a desno iz predviđenog kuta.

Koristio sam transformaciju linear stretch koja transformira samo jednu dimenziju slike. U

programskom dijalogu potrebno je bilo zadati određeni faktor i os rastezanja. Ako bolje

pogledamo desnu stranu slike vidimo da je zapravo slika trapezoidna a ne pravokutna.

Posljedica je to linearne, a ne perspektivne anamorfne transformacije koja je predviđena za

promatranje iz beskonačnosti. Razlog što sam ipak koristio linearnu jest to što se upravo

prikazana anamorfoza koristi kao prometna signalizacija. Predviđena je promatrati se iz

perspektive vozača u vozilu, a važno je da bude čitljiva također i iz suprotnog smjera, što sa

perspektivnom anamorfozom ne bi bilo podjednako kvalitetno ostvareno.

Vrijedi spomenuti i repozitorij interaktivnih appleta Wolfram Demonstrations Project koji

sadrži nekoliko aplikacija vezanih za anamorfne transformacije. Jedan od njih je Perspective

49

http://en.wikipedia.org/wiki/The_Ambassadors_%28Holbein%29

http://demonstrations.wolfram.com/PerspectiveAnamorphosisOfPhotographicImages/

http://en.wikipedia.org/wiki/The_Ambassadors_%28Holbein%29

51

Anamorphosis of Photographic Images50 koji prikazuje anamorfozu nastalu projekcijom na

razne geometrijske oblike.

Na slici 61 vidimo simulaciju stožastog zrcala na odgovarajućoj anamorfnoj plohi.

Slika 61. Simulacija stožastog zrcala na anamorfnoj plohi.

Ovaj puta sam u programu Anamorph me koristio transformaciju conical mirror. Parametri

koje je trebalo zadati programu jest radijus i vršni kut stožastog zrcala. Nakon toga dobivenu

anamorfnu sliku sam koristio kao teksturu za podlogu i unutar POVRay-a kreirao

odgovarajuće stožasto zrcalo.

Pomicanjem kamere iznad vrha stošca, na slici 62 vidimo „dekodiranu“ sliku koja je zapravo

fotografija difrakcije reflektirane svjetlosti od površine kompaktnog diska.

50

http://demonstrations.wolfram.com/PerspectiveAnamorphosisOfPhotographicImages

http://demonstrations.wolfram.com/PerspectiveAnamorphosisOfPhotographicImages/


52

Slika 62. Simulacija anamorfne slike difrakcije reflektirane svjetlosti od površine kompaktnog diska51

; uvećano na desnoj strani.

Aplikacija imena Conical Anamorphic Projection of Polar Plots52 prikazuje kako se mijenja

izgled anamorfne plohe ovisno o položaju, veličini i obliku konačne slike. Također vezana

aplikacija je Conical Anamorphic Projection of Photographic Images53 gdje je anamorfna

ploha, nastala refleksijom od stožastog zrcala, podijeljena na raznovrsne geometrijske

oblike.

Treća anamorfna slika, prikazana na slici 63, koristi cilindrično zrcalo za promatranje.

Anamorfna plohu sam izradio grafičkom uredniku Windows Paint te nakon toga u programu

Anamorph me primijenio transformaciju Cylindrical mirror (polar). Zadao sam parametre

radijus cilindra i polarni kut do kojeg će se rastegnuti slika. Radi se o transformaciji iz

kartezijevog u polarni koordinatni sustav i predstavlja grubu aproksimaciju anamorfne

transformacije opisane u poglavlju 3.2.2.1.

51

http://www.sunyorange.edu/scienceandeng/coursesgeneral.shtml 52

http://demonstrations.wolfram.com/ConicalAnamorphicProjectionOfPolarPlots/ 53

http://demonstrations.wolfram.com/ConicalAnamorphicProjectionOfPhotographicImages/

http://demonstrations.wolfram.com/ConicalAnamorphicProjectionOfPolarPlots/


http://www.sunyorange.edu/scienceandeng/coursesgeneral.shtml



53

Slika 63. Simulacija cilindričnog zrcala na anamorfnoj plohi promatranog iz predviđene točke gledanja.

Ovdje se također anamorfna slika koristi kao tekstura podloge, a cilindrično zrcalo stvoreno

je pomoću POVRay-a. Vidimo kako je dobivena slika, zbog aproksimirane transformacije,

zadržala blago zakrivljene konture refleksijom od cilindričnog zrcala.

Aplikacija Cylindrical Mirror Anamorphosis54 prikazuje ovisnost izgleda anamorfne plohe o

obliku i orijentaciji konačne slike u cilindru.

54

http://demonstrations.wolfram.com/CylindricalMirrorAnamorphosis/



54

6. Metodički dio

Zbog svog oblika koji sadrži elemente ravnog i sfernog zrcala, cilindrična konveksna zrcala

činila bi zanimljivu temu školskog sata55. Na tom školskom satu pobliže bi se upoznala

reflektivna svojstva konveksnog cilindričnog zrcala koje možemo primijetiti na poliranim

ogradama od nehrđajućeg metala, raznim kupaonskim i kuhinjskim slavinama za vodu i

uglačanim dijelovima ispušnog sustava motocikala i automobila.

Nastavni sat prikladan je za dodatnu nastavu fizike u 4. razredu gimnazije, a slijedio bi nakon

odrađene nastavne jedinice koja se bavi sfernim zrcalima. Baziran je na interaktivnoj i

istraživački usmjerenoj nastavi gdje bi učenici upoznali kako se izrađuju jednostavne

anamorfne slike i ulogu cilindričnog zrcala u anamorfnim slikama.

Cilindrično zrcalo dostupno je u radionicama u kojima se izrađuju ograde od nehrđajućeg

čelika, čija je površina tvornički uglačana tako da ima izvrsna reflektivna svojstva. Također ga

je moguće izraditi pomoću reflektivne folije pričvršćene na limenku za piće.

55

http://www.exploratorium.edu/geometryplayground/Activities/GP_Activities_6-8/Soda%20Can%20Mirrors_6-8_v4.pdf



55

PLAN IZVOĐENJA SATA

RAZRED: 4. razred opće gimnazije

NASTAVNI PREDMET: Fizika

NASTAVNO PODRUČJE: Optika

NASTAVNA JEDINICA: Cilindrična zrcala i anamorfne slike

TIP NASTAVNOG SATA: Praktična vježba u sklopu dodatne nastave

TRAJANJE NASTAVNE JEDINICE: Jedan školski sat

Ciljevi:

a) Obrazovni:

Izraditi jednostavne cilindrične anamorfne slike

Objasniti pojmove anamorfne slike i anamorfnog zrcala

b) Funkcionalni:

Razvijanje logičkog razmišljanja i zaključivanja

Razvijanje sposobnosti promatranja i iskazivanja opažanja

Razvijanje sposobnosti verbalnog izražavanja

c) Odgojni:

poticanje razvijanja kulture komuniciranja i suradnje

poticanje radoznalosti i motivacije za učenje

poticanje sistematičnosti u radu i razmišljanju

Nastavne metode:

usmjerena rasprava

učeničko izvođenje pokusa u skupinama

Potrebna nastavna sredstva i pomagala:

limenke, reflektivna folija, ljepljiva traka, nekoliko anamorfnih slika, anamorfna nacrtna

mreža, zrnca sačme

56

Tijek nastavnog sata:

Uvodni dio:

Pokazati učenicima okupljenim oko nastavničkog stola anamorfnu sliku mačke i psa. Što je

prikazano na slikama? (iskrivljena slika mačke i psa)

Slika 64. anamorfne slike mačke i psa

Kako dobiti izvornu sliku psa i mačke? Koje pomagalo nam je potrebno? (zbog natpisa

pretpostaviti će da je potrebna limenka ali vjerojatno bez ideje kako ju iskoristiti)

Postavimo par limenki na predviđeno mjesto i zarotiramo sliku na stolu u ispravan položaj

promatranja (slika je učenicima bliža od limenke).

Kakvo optičko svojstvo treba imati limenka da bi pomoću nje vidjeli sliku? Zbog položaja

slike u odnosu na zrcalo navesti ih da pretpostave da je potrebno reflektivno svojstvo.

Kakve reflektivne površine osim čvrstih zrcala ste opazili u svijetu? Kuhinjska aluminijska

folija, ukrasni reflektivni papir za zamatanje darova, solarna zaštita za vjetrobranska stakla

vozila. Pokažemo učenicima komad reflektivne folije.

Kako ćemo postići reflektivnu površinu limenke? omatanjem reflektivne folije oko limenke

Glavni dio:

Slijedi izrada cilindričnog zrcala. Učenike podijelimo u manje skupine te im podijelimo

limenke, reflektivnu foliju i ljepljivu traku za pričvršćivanje folije.

Pomoću dobivenog pribora izradite cilindrično zrcalo i postavite ga na predviđeno mjesto.

Što opažate na površini cilindričnog zrcala? izvornu sliku mačke i psa

57

Zrcalo koje svojom refleksijom izobliči sliku nazivamo anamorfnim zrcalom. Slike koje

promatramo pomoću anamorfnih zrcala zovemo anamorfnim slikama. Koriste se u

umjetnosti i datiraju od razdoblja renesanse. U istu svrhu koriste se razni oblici anamorfnih

zrcala, npr. stožac i sferna zrcala.

Vježba izrade anamorfne slike:

Podijelimo učenicima zrnca sačme i list papira sa linijom i krugom na koji se postavlja zrcalo.

Slika 65. Nacrt za anamorfnu vježbu

Kada zrcalo postavite na predviđeno mjesto, postavite jedno zrnce sačme ispred zrcala

tako da reflektirana slika zrnca bude smještena točno na zamišljenoj isprekidanoj liniji koja

se nalazi ispod zrcala.

Upozoriti ih da odrede fiksan položaj promatranja postava te gledajući sliku u zrcalu pomiču

zrno dok se ne poravna sa zamišljenom linijom (učenje kontrole varijabli).

Slika 66. Cilindrično zrcalo i zrno sačme

Kako možete iskoristiti ostalu sačmu da na zrcalu formirate ravnu liniju? Tako da

poslažemo ostala zrnca ispred zrcala.

Kakav oblik linije tvore zrnca na stolu a kakvu liniju vidimo na zrcalu?

Oblik parabole. Oblik ravne linije.

Nakon toga podijeliti grupama papir sa anamorfnom nacrtnom mrežom koja se sastoji od

pravokutne i odgovarajuće transformirane mreže.

58

Slika 67. Anamorfna nacrtna mreža

Neke od linija sliče liniji sačme na papiru. Kako će izgledati refleksija iskrivljene mreže kada

se cilindrično zrcalo postavi na predviđeno mjesto?

Iskrivljene linije će izgledati kao ravne linije.

Postavite zrcalo na predviđeno mjesto. U koji oblik su se transformirale sve zakrivljene

linije kada ih gledamo u zrcalu? U oblik pravokutne mreže.

Uklonite zrcalo i nacrtajte na pravokutnoj mreži jednostavan lik, najbolje neko slovo

abecede. Provjeriti napredak.

Slika 68. Anamorfna nacrtna mreža sa slovom L

Promijenite sliku slova u anamorfnu sliku. Kako ćete to ostvariti? Kopiranjem dijelova slike

na anamorfnu mrežu.

Takva transformacija slike naziva se anamorfnom transformacijom. Provjerite rezultat

transformacije polaganjem zrcala na pravokutnu mrežu.

Provjeriti rezultat i zahtijevati eventualnu korekciju transformirane slike.

Završni dio sata:

Uz pomoć anamorfne nacrtne mreže na podlozi nacrtajte transformirane slike

pravokutnika, trokuta, kružnice.

59

Pokušajte bez nacrtne mreže ali uz pomoć promatranja u cilindru napisati svoje ime tako

da reflektirana slika bude neiskrivljena.

60

7. Zaključak

Ne-sferna zrcala trenutno su prilično neistraženo područje geometrijske optike. U ovom

radu pokušao sam računalnim simulacijama i postojećim matematičkim analizama doprinijeti

boljem poznavanju refleksije svijetlosti na cilindričnom i stožastom zrcalu. Usporedbom

simulacija i odgovarajućih fotografija pokusa sadržanih u 5. poglavlju možemo vidjeti da

grafički program POVRay, zbog svoje čvrste matematičke ukorijenjenosti i jednostavnosti

korištenja, predstavlja kvalitetan alat za izradu virtualnih pokusa i promatranje raznih

fizikalnih fenomena. Glavna praktična prednost korištenja POVRay-a kao računalnog

laboratorija je neograničena mogućnost oblikovanja raznih zrcalnih površina i predmeta te

promatranje njihovih refleksija iz teško dostupnih položaja promatranja. Također,

programiranjem virtualnog pokusa unaprijed je ostvarena kontrola varijabli i parametara, što

je ključno za uspješan pokus.

Unatoč svim svojim prednostima POVRay ima svoje granice te nikada ne može u potpunosti

zamijeniti stvarni pokus. Ipak, korištenjem računalnih simulacija unutar svojih granica,

moguće je uspješno zaviriti u fizikalni svijet koji je sadržan u sferi virtualne stvarnosti.

61

8. Literatura

1. Halliday & Resnick, Fundamentals of Physics, 7th edition, 2004., Chapter 36

2. Java applet, autor dr. Fu-Kwun Hwang;

http://www.phy.ntnu.edu.tw/ntnujava/index.php?topic=376.0, stranica posjećena

23.08.2012.

3. Antonio Šiber, Ekstremno brzi uvod u Povray s primjerima,

http://asiber.ifs.hr/papers/povray_tutorial.pdf, stranica posjećena 17.08.2012.

4. Istraživanje kaustike metodom praćenja svjetlosnih zraka i usporedba s

eksperimentom – Bruno Paun, Zagreb 2011

5. Telescopes, from the ground up, http://amazing-

space.stsci.edu/resources/explorations/groundup/?return=true, stranica posjećena

12.09.2012

6. J. L. Hunt, B. G. Nickel, and Christian Gigault, „Anamorphic images,“ Am. J. Phys.

68(3), 232-237 (2000)

7. Alan J. DeWeerd, S.Eric Hill, „The Dizzying Depths of Cylindrical Mirror“, Phys. Teach

43, 90-93, (Feb 2005)

8. Alan J. DeWeerd, S.Eric Hill, „Comment on „Anamorphic images“ by J.L.Hunt,

B.G.Nickel, and Christian Gigault“, Am. J. Phys. 74 (1), 83-84, (Jan 2006)

9. Limaçon, wikipedia, http://en.wikipedia.org/wiki/Lima%C3%A7on, stranica

posjećena 27.10.2012.

10. Alan J. DeWeerd, S. Eric Hill, „Appendix to“The Dizzying Depths of the Cylindrical

Mirror“, THE PHYSICS TEACHER, Vol 43, February 2005

11. Art of Anamorphosis, http://www.anamorphosis.com/index.html, stranica

posjećena 23.10.2012.

12. Diplomski rad – Reprezentacija učinka kompleksnih optičkih elemenata metodom

praćenja zraka; Kristijan Kunštek

13. Wolfram Demonstrations project-

http://demonstrations.wolfram.com/PerspectiveAnamorphosisOfPhotographicImag

es

14. Wolfram Demonstrations project –



http://asiber.ifs.hr/papers/povray_tutorial.pdf



http://amazing-space.stsci.edu/resources/explorations/groundup/?return=true

http://amazing-space.stsci.edu/resources/explorations/groundup/?return=true

http://en.wikipedia.org/wiki/Lima%C3%A7on

http://www.anamorphosis.com/index.html






62


http://demonstrations.wolfram.com/ConicalAnamorphicProjectionOfPhotographicI

mages/



17. Soda can mirors,

http://www.exploratorium.edu/geometryplayground/Activities/GP_Activities_6-

8/Soda%20Can%20Mirrors_6-8_v4.pdf

18. Anish Kapoor, http://anishkapoor.com/

19. Virtual museum, Optical toys and anamorphoses,

http://catalogue.museogalileo.it/multimedia/OpticalToysAnamorphoses.html







http://catalogue.museogalileo.it/multimedia/OpticalToysAnamorphoses.html

simulacija ne-sfernih zrcala i anamorfnih slika...

Documents