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UNIVERSIDAD DE JAÉN Escuela Politécnica Superior de Jaén

Trabajo Fin de Grado

SIMULACIÓN DE FLUJO COMPRESIBLE EN CONDUCTO

Y ANÁLISIS DE SOLUCIÓN SIMPLIFICADA

Alejandro Ruiz Martínez

Septiembre, 2015

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UNIVERSIDAD DE JAÉN Escuela Politécnica Superior de Jaén

Trabajo Fin de Grado

SIMULACIÓN DE FLUJO COMPRESIBLE EN CONDUCTO

Y ANÁLISIS DE SOLUCIÓN SIMPLIFICADA

Alumno: Alejandro Ruiz Martínez Tutor: Prof. D. Patricio Bohórquez de Medina Dpto: Ingeniería Mecánica y Minera

Septiembre, 2015

SIMULACIÓN DE FLUJO COMPRESIBLE EN CONDUCTO Y ANÁLISIS DE SOLUCIÓN SIMPLIFICADA

2

Índice

1. Introducción al proyecto

1.1. Introducción a los capítulos del proyecto

2. Descripción de las soluciones teóricas disponibles

2.1. Consideraciones generales

2.2. Consideraciones generales aplicadas a conductos

2.3. Flujo por un tubo de sección constante, con fricción y adición de calor

2.4. Descarga de un depósito por un conducto de sección constante aislado

térmicamente

2.5. Descarga de un deposito por un tubo con adición de calor y despreciando la

fricción

2.6. Flujo incompresible con adición de calor en tubo de secciones constate.

Aplicaciones de la analogía de Reynolds

3. Resolución de problemas clásicos mediantes soluciones teóricas disponibles

3.1. Introducción

3.2. Problema tipo 1 (con fricción y despreciando la trasferencia de calor)

3.3. Problema tipo 2 (con flujo de calor entrante y despreciando la fricción)

4. Evaluación de la implementación en software de cálculo de ingeniería (AFT

Arrow)

4.1. Introducción

4.2. Simulación problema tipo 1

4.3. Simulación problema tipo 2

5. Comparativa con soluciones no simplificadas (ANSYS Fluent)

5.1. Introducción

5.2. Simulación no simplificada problema tipo 1

5.3. Simulación no simplificada problema tipo 2

6. Conclusiones

7. Bibliografía


3

1. INTRODUCCIÓN AL PROYECTO

El presente proyecto hablará de una de las ramas más bellas e interesantes en la

mecánica de fluidos, donde la compresibilidad de los gases juega un papel

relevante. Estamos hablando de flujos compresibles.

Generalmente, todos los fluidos son compresibles, incluyendo los líquidos. A

menudo los fluidos suelen dividirse en dos grandes grupos, dependiendo de las

condiciones mecánicas, en flujos incompresibles o flujos compresibles. El punto de

interés de estos últimos reside en sus estados de operación; altas velocidades,

considerables variaciones de densidad y sobre todo, la creación de ondas de

choque. Obedecen la primera y segunda ley de la termodinámica, relacionando los

balances de energía en transferencia de calor y las irreversibilidades térmicas dentro

del concepto de entropía.

Existen una infinidad de aplicaciones ingenieriles y a cada cual más interesante, que

aprovechan la propiedad de compresibilidad de los gases para realizar increíbles

proyectos. Pero existe una en concreto, en la cual, la demanda de personal

especializado recientemente está en alza y se llama “Piping”.

El término “Piping” proviene del inglés y prácticamente se ha incorporado a nuestro

vocabulario técnico y de ingeniería. La traducción deriva del término “pipe” que

significa tubo o cañería. En la actualidad, casi todos los fluidos se transportan por

tuberías, ya sea durante su proceso de extracción, producción, distribución,

almacenamiento, procesamiento o utilización, lo que hace que las redes de

conductos tengan en la actualidad muchas aplicaciones técnicas, y cada vez se ha

ido incrementando más su importancia tanto industrial, como social, sobre todo en

las ciudades que necesitan un mayor número de servicios básicos para su

crecimiento y diversificaciones en sus sistemas energéticos.

A modo de información complementaria sobre el piping, en la página web

www.abarrelfull.wikidot.com se puede encontrar información muy exhaustiva sobre

refinerías; sus compañías, capacidad, los estados actuales de proyectos, la fecha

esperada de finalización y una descripción completa. Por ejemplo para este año, se

terminaran de construir 20 refinerías situadas en diferentes lugares del mundo como

http://www.abarrelfull.wikidot.com/


4

Brasil, Puerto Rico, China, Indias, etc. Otro proyecto interesante y de actualidad, es

el acuerdo intergubernamental entre Rusia y Turquía para la construcción de un

gaseoducto de más de 1.100 Km de longitud, conocido como “Turk Stream”. Esta

tubería gigante podrá llevar hasta 47.000 millones de metros cúbicos de gas desde

Rusia hasta la frontera de Turquía con Grecia, con un tramo terrestre y otro

submarino cruzando el Mar Negro.

Para proyectos de piping de tal envergadura, los programas de cálculo han de ser

igual de potentes, versátiles y multidisciplinares. Uno ejemplo de ellos es SP3D

(Smarth Plant 3D), es un software con más de dos décadas de vida creado por la

empresa Intergraph, se utiliza para el cálculo de las estructuras, la ubicación de

equipos, líneas para la ubicación de las tuberías o piping, posición de los soportes,

etc. Este programa es usado tanto en el sector de las energías como en el naval, en

concreto para el diseño de barcos y submarinos. Podemos destacar algunos más,

como PDS, PDMS (Plant Design Management System) o CAESAR II, todos ellos

son aplicaciones para el diseño e ingeniería asistida por computadora (CAD/CAE),

para el diseño, construcción, operaciones de plantas industriales y gestión por

producción.

A grandes rasgos, la importancia de estos programas reside en el cálculo de

presiones y coeficientes de fricción, esto ayuda a obtener las tensiones producidas

en las tuberías, para posteriormente hallar las deformaciones producidas.

Por lo tanto, en este proyecto se centrará en la teoría de flujos compresibles

subsónicos aplicada a conductos de sección constante. Analizaremos la validez de

las soluciones analíticas a problemas clásicos de la mecánica de fluidos que son

empleados frecuentemente en el diseño de instalaciones. Además, veremos cómo

afectan por separado la fricción y la transferencia de calor a las propiedades del

flujo, compararemos las soluciones teóricas con los resultados obtenidos mediante

un software de cálculo de ingeniería llamado AFT Arrow, basado en los mismos

módulos simplificados utilizados por los programas de cálculo de tuberías

mencionados con anterioridad. Para finalizar, haremos una comparativa con las

soluciones no simplificadas usando para ello ANSYS Fluent. Es por tanto deseable

validar las soluciones teóricas que actualmente se implementan mediante

herramientas computacionales para el diseño y cálculo de proyectos de ingeniería.


5

1.1 Introducción a los capítulos del proyecto

El proyecto está dividido en seis partes claramente diferenciadas. En la primera se

expone una breve introducción sobre el camino que se desarrollará a lo largo del

proyecto. En la segunda parte, realizaremos un análisis de la teoría de flujo

compresible particularizando para el caso de fluidos en conductos. Para un tubo de

sección constante analizaremos como varían la densidad, velocidad, temperatura o

el número de Mach con la fricción y la adicción de calor. Haremos uso de la

ecuación de continuidad, cantidad de movimiento, energía y ecuaciones de estado

para deducir una serie de expresiones que nos ayudarán a resolver problemas tipo.

Además, veremos que la fricción y la adicción de calor producen un aumento de la

velocidad, y a su vez del número de Mach, pero una disminución de la densidad.

Todo esto será analizado con más detalle en apartados posteriores.

La tercera parte se concentra en la resolución de problemas clásicos aplicando la

teoría desarrollada en el capítulo dos. Se propone dos problemas tipo, uno de ellos

con fricción y despreciando la transferencia de calor, y el segundo con flujo de calor

entrante y omitiendo la fricción. Aquí, obtendremos resultados numéricos en ambos

problemas que nos facilitará el análisis de las diferentes propiedades que intervienen

en el proceso.

Se resolverán los problemas tipo mediante un software de cálculo de ingeniería

simplificado (AFT Arrow) en la cuarta parte. En este caso, se realizará una

introducción general al software utilizado describiendo los pasos seguidos para la

obtención de las soluciones numéricas, añadiendo gráficas, capturas de pantallas y

tablas necesarias para el desarrollo del capítulo.

En la quita sección del proyecto se realizará un análisis de los problemas mediante

un software de soluciones no simplificadas como es ANSYS Fluent. Se realizará una

simulación mediante volúmenes finitos para obtener los datos necesarios y realizar

una comparativa con AFT Arrow y la teoría de flujo compresible. En esta sección se

omitió una introducción al software de cálculo por ser un programa popularmente

conocido. Finalmente en el último capítulo, se describirán las conclusiones


6

principales una vez analizados los resultados obtenidos en los diferentes capítulos

del presente proyecto.

2. DESCRIPCIÓN DE LAS SOLUCIONES TEÓRICAS DISPONIBLES

Antes de comenzar el análisis de las soluciones es importante señalar las fuentes en

las que me he basado para realizar este análisis de la teoría de flujo compresible.

Mi referencia principal ha sido el libro “Mecánica de Fluidos” por Antonio Crespo

Martínez, en el capítulo 28 realiza un estudio sobre este tema de una manera muy

compacta y poco detallada. En general, encontrar un documento continuo y

minucioso sobre los desarrollos matemáticos referentes al tema de flujos

compresibles es muy difícil. Se han consultado de forma secundaria: “Mecánica de

fluidos” por Frank M. White y “Fluid Mechanics (Fundamentals and Applications)”

escrito por Yunus A. Çengel y Jonh M.Cimbala.

2.1 Consideraciones generales En este apartado se van a definir una serie simplificaciones previas, para poder

profundizar en el estudio de los flujos compresibles en conductos cuando existen

simultáneamente efectos de fricción y adición de calor, estos modificarán el

fenómeno de bloqueo sónico y el comportamiento del fluido para regímenes

subsónicos y supersónicos. Al considerar como característica relevante la

compresibilidad de los gases, la adición de calor y la fricción tendrán un efecto en el

comportamiento mecánico del fluido. En definitiva, estas características provocan

que el fluido tenga un comportamiento muy parecido cuando experimenta una

reducción de área en el interior del conducto, produciéndose un aumento de la

presión y de la velocidad.

El número de Mach

El número de Mach (Ma) es el parámetro dominante dentro del análisis de flujos

compresibles, se define como el cociente entre la velocidad del fluido y la velocidad


7

del sonido, el comportamiento del flujo dependerá del valor de este parámetro.

Existen 5 tipos de flujo altamente diferenciables:

x M < 0,3: flujo incompresible, donde los efectos de la densidad son

despreciables.

x 0,3 < M < 0,8: flujo subsónico, donde los efectos de la densidad son

importantes, pero no aparecen ondas de choque.

x 0,8 < M < 1,2: flujo transónico, donde aparecen por primera vez ondas de

choque que separan regiones subsónicas y supersónicas dentro del flujo.

x 1,2 < M < 3,0: flujo supersónico, donde hay ondas de choque pero ya no

existen regiones subsónicas.

x 3,0 < M: flujo hipersónico, donde las ondas de choque y otros cambios que

experimenta el flujo son especialmente fuertes.

Calores específicos

El número de Mach y la geometría no son los únicos parámetros que tienen un papel

relevante dentro de la teoría de flujos compresibles. Existe una expresión que

relaciona los calores específicos y comúnmente se le conoce como coeficiente

adiabático (γ):

𝛾 =𝑐𝑝

𝑐𝑣 (1)

El valor del coeficiente adiabático se puede considerar constante debido a que las

variaciones de temperatura que estaremos sometidos serán muy pequeñas. Se

necesitan diferencias del orden de 5000 ºF para obtener un cambio significativo en

los calores específicos y el coeficiente adiabático. Los valores de este coeficiente

varían de 1 hasta 1,7, concretamente para el aire es igual a 1,4.

Gas perfecto

El fluido que utilizaremos será aire, debido a que es un gas de interés dominante y la

utilización de la ecuación de estado para gas ideal en la mayoría de los análisis.

Aunque podría ser totalmente factible la utilización de cualquier otra ecuación de

estado.


8

𝑝 = 𝜌𝑅𝑇 ; 𝑅 = 𝑐𝑝 − 𝑐𝑣 = 𝑐𝑡𝑒; 𝛾 =𝑐𝑝

𝑐𝑣= 𝑐𝑡𝑒 (2)

los calores específicos quedan

𝑐𝑝 =𝛾𝑅

𝛾 − 1= 1004 𝑚2 (𝑠2 · 𝐾);⁄

𝑐𝑣 =𝑅

𝛾 − 1= 718 𝑚2 (𝑠2 · 𝐾);⁄

(3)

Debe recordar que la constante del gas es igual a una constante universal dividida

por el peso molecular:

𝑅𝑔𝑎𝑠 = ℂ

𝑀𝑔𝑎𝑠 (4)

Donde ℂ es igual a 8314 J/ (kmol · K), entonces para el aire con M = 28,97

Proceso isentrópico

El segundo principio de la termodinámica define la entropía como la valoración de la

energía disponible que se pierde en un proceso termodinámico. Además, esta

propiedad es una función de punto, es decir, su valor solo depende del estado inicial

y final. La entropía se define

La variación de calor se puede escribir como

Resulta

Haciendo una valoración de la entalpía para gases perfectos, 𝑑ℎ = 𝑐𝑝(𝑇)𝑇

𝑅𝑎𝑖𝑟𝑒 = 287 𝑚2 (𝑠2 · 𝐾); 𝛾⁄ = 1,4 (5)

𝑑𝑠 =𝑑𝑄𝑇

(6)

𝑑𝑄 = 𝑑ℎ −𝑑𝑝𝜌

(7)

𝑇𝑑𝑠 = 𝑑ℎ − 𝑑𝑝𝜌

(8)


9

En el caso que de no suponer constantes los calores específicos, deberíamos hacer

uso datos tabulados, pero en este apartado podemos resolver la integral definida

Esta expresión se utiliza para obtener las variaciones de entropía a través de una

onda de choque, que es un proceso irreversible. En el caso de suponer un proceso

isentrópico, los valores de entropía a la entrada y a la salida coinciden, de manera

que podemos obtener unas relaciones muy interesantes que nos simplificarán el

cálculo:

Proceso estacionario e isentrópico

La hipótesis de flujo isentrópico reduce enormemente el cálculo en flujos

compresibles. Una simplificación parecida se consigue si suponemos un fluido

adiabático y no isentrópico. Si aplicamos la ecuación de la energía para un flujo

estacionario

Podemos omitir la energía potencial de la ecuación, las variaciones de esta

propiedad son extremadamente pequeñas comparadas con los términos de energía

cinética y entalpia. Si aplicamos la condición adiabática y suponemos nulos los

esfuerzos viscosos fuera de la capa límite, la ecuación se simplifica

∫ 𝑑𝑠 = ∫ 𝑐𝑝 𝑑𝑇𝑇

− 𝑅 ∫𝑑𝑝𝑝

2

1

2

1

2

1 (9)

𝑠2 − 𝑠1 = 𝑐𝑝 ln𝑇2

𝑇1− 𝑅 ln

𝑝2

𝑝1= 𝑐𝑣 ln

𝑇2

𝑇1− 𝑅 ln

𝜌2

𝜌1 (10)

𝑝2

𝑝1= (

𝑇2

𝑇1)

𝛾/𝛾−1

= (𝜌2

𝜌1)

𝛾 (11)

ℎ1 +12

𝑣12 + 𝑔𝑧1 = ℎ2 +

12

𝑣22 + 𝑔𝑧2 − 𝑞 + 𝑤𝑣 (12)

ℎ1 +12

𝑣12 = ℎ2 +

12

𝑣22 = 𝑐𝑡𝑒 (13)


10

Introducimos un concepto nuevo, la entalpía de remanso o estancamiento (ℎ0). El

valor constate de la Ecuación (13) es igual a la máxima entalpía de un fluido cuando

alcanza reposo adiabáticamente

Esta condición debe cumplirse para cualquier flujo compresible, estacionario y

adiabático fuera de la capa límite. Para definir el concepto de capa límite

supongamos un flujo sobre una la pared de una placa plana aislada como muestra la

figura 1. A medida que las partículas del fluido se acercan a la pared, disminuyen su

velocidad hasta detenerse en la superficie (condición de no deslizamiento). La

desaceleración se debe a los esfuerzos cortantes (𝜏𝑤) que actúan en los planos

paralelos a la velocidad del fluido. Existe la capa límite hidrodinámica y

generalmente mayor la capa límite térmica debido a que la mayoría de los gases

tienen un número Prandtl menor de la unidad (𝑃𝑟 < 1).

Figura 1. Distribución de velocidad y entalpía de remanso en una pared aislada.

Podemos observar como la entalpia varía dentro de la capa límite térmica pero su

valor medio coincide con el valor fuera de ésta. Deducimos que la entalpía es

función únicamente de la temperatura de forma que

Si sustituimos en la Ecuación (14) el valor de la entalpía, se tiene:

ℎ1 +12

𝑣12 = ℎ0 = 𝑐𝑡𝑒 (14)

ℎ = ℎ(𝑝, 𝑇) ⟹ 𝑑ℎ = (𝜕ℎ𝜕𝑇

)𝑝

𝑑𝑇 + (𝜕ℎ𝜕𝑝

)𝑇

𝑑𝑇 = 𝑐𝑝(𝑇) 𝑑𝑇 (15)


11

siendo 𝑇0 la temperatura de remanso para un flujo adiabático.

Velocidad del sonido

La velocidad del sonido se puede definir como la velocidad a la que una onda de

presión infinitesimal se propaga a través de un fluido en reposo.

Figura 2. Propagación de onda de presión: (a) Volumen de control fijo respecto al fluido en reposo; (b) volumen

de control moviéndose con el frente de onda.

Supongamos una onda móvil con área A que se mueve a una velocidad v. A la

izquierda tenemos las propiedades de reposos 𝑝, 𝑣, 𝑇 , 𝜌, siendo la velocidad nula y a

la derecha tenemos (𝑝 + Δ𝑝, 𝜌 + Δ𝜌, 𝑇 + Δ𝑇). Si suponemos un volumen de control

que incluye la onda, el problema presentará una dificulta adicional, porque

tendremos que incluir los términos no estacionarios. En cambio, si adoptamos el

frente de onda como volumen de control, eliminamos dichos términos y las

propiedades termodinámicas no se ven afectadas.

Si aplicamos la ecuación de continuidad para el flujo a través de la onda

𝐺𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑎 = 𝐺𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎

La ecuación de la cantidad de movimiento para un flujo unidimensional a través de la

onda, despreciando la fricción, vienen dada por:

𝑐𝑝𝑇 + 12

𝑣2 = 𝑐𝑝𝑇0 (16)

𝜌𝐴𝐶 = (𝜌 + Δ𝜌)(𝐴)(𝑣 − Δ𝑣) (17)


12

Si despejamos la variación de presión:

Combinando las Ecuaciones (17) y (19), obtenemos la velocidad a la viaja la onda:

Si consideramos una variación infinitesimal(Δ𝜌 → 0):

Esta expresión se define como la velocidad del sonido de un fluido.

En el caso de tener un proceso adiabático, no existen gradientes de temperatura

excepto en el interior de la onda, las ondas sonoras tendrán una intensidad casi

nula. La expresión de la velocidad del sonido para un gas perfecto:

La velocidad del sonido aumenta o disminuye con la raíz cuadrada de la temperatura

absoluta.

2.2 Consideraciones generales aplicadas a conductos Supongamos el caso de un tubo cuya sección puede variar pero que lo haga de

forma suficientemente lenta para que al menos, en forma local, podamos suponer

que todas las pérdidas están asociadas al rozamiento con las paredes. Esto se

cumple si la distancia en que cambia la sección es grande comparada con el

diámetro del tubo. Supondremos que las propiedades a través del tubo permanecen

constantes y dependen de la coordenada “ƪ” paralela al eje del conducto como

muestra la imagen. Por último, supondremos que los conductos son de sección

𝑝𝐴 − (𝑝 + ∆𝑝)𝐴 = (𝜌𝐴𝐶)(𝑣 − 𝑣 − Δ𝑣) (18)

∆𝑝 = 𝜌𝑣 ∆𝑣 (19)

𝑣2 =Δ𝑝Δ𝜌

(1 +Δ𝜌𝜌

) (20)

𝑎2 = 𝑣2 =𝜕𝑝𝜕𝜌

(21)

𝑎 = (𝜕𝑝𝜕𝜌

|𝑠)

1 2⁄

= (𝛾𝜕𝑝𝜕𝜌

|𝑇

)1 2⁄

= (𝛾𝑝𝜌

)1 2⁄

= (𝛾𝑅𝑇)1 2⁄ (22)


13

circular. En caso de no serlo, podemos sustituir en las siguientes ecuaciones el

diámetro D, por 4 · 𝑟ℎ, siendo 𝑟ℎ el radio hidráulico.

Figura 3. Sección de una tubería circular señalando la dirección de la coordenada “ƪ”

Definimos la ecuación de conservación de la masa en forma diferencial

Si integramos

donde G, anteriormente se definió como el gasto másico o caudal constate, A el área

transversal del conducto y 𝑣 es la velocidad media en una determinada sección del

conducto. La ecuación de la cantidad de movimiento, al depender todas las

propiedades de “ƪ” queda:

Se supone que el coeficiente 𝜆 se obtiene a partir de Reynolds y la rugosidad:

𝜆 = 𝜆(𝑅𝑒,𝑘

4𝑟ℎ)

Aunque esto solo se aplicara para 𝑀𝑎 ≪ 1 , ya que 𝜆 puede ser función del número

de Mach. Generalmente el coeficiente 𝜆 aumenta con Ma y viceversa.

Definimos la ecuación de la energía para un volumen de control formado por las

paredes del tubo y dos secciones próximas:

Nótese que los subíndices s y e representan la entrada y la salida del conducto,

respectivamente.

𝑑𝑑𝑙

(𝜌𝑣𝐴) = 0 (23)

𝐺 = 𝜌𝑣𝐴 (24)

𝑣𝑑𝑣𝑑𝑙

+1𝜌

𝑑𝑝𝑑𝑙

= −𝜆𝑣2

2𝐷 (25)

(ℎ +12

𝑣2 + 𝑈)𝑠 − (ℎ +12

𝑣2 + 𝑈)𝑒 =𝑊 + �̅�

𝐺

(26)


14

Debemos recordar que al no existir paredes en movimiento el trabajo aportado al

sistema es nulo. Además, suponemos la variación de energía potencial

extremadamente pequeña frente a la energía cinética y entalpía. Por ello, la

ecuación de la energía resulta

Si limitamos la distancia entre las secciones próximas hasta un rango infinitesimal

donde �̅� representa el calor comunicado al fluido por unidad tiempo, gasto y longitud

del tubo. De manera que si el flujo de calor se comunica a través de una pared

caliente podemos hacer referencia a la “Analogía de Reynolds para la Transmisión

de Calor”. Existe una similitud entre los procesos de transferencia de calor y

transmisión de cantidad de movimiento a través de la pared del tubo. El flujo de calor

por unidad de área y tiempo a través de la pared del tubo “𝑞𝑝” y el esfuerzo cortante

en la pared “𝜎𝑝” están relacionados por la igualdad adimensional siguiente:

donde 𝑈𝑚 es la velocidad media del fluido, c es el calor específico, 𝑇𝑚 y 𝑇𝑝 es la

temperatura media y en la pared del tubo, respectivamente. Una de las dos

velocidades medias del denominador del primer término se sustituye en el otro

denominador por la diferencia, entre la temperatura media del fluido en el tubo 𝑇𝑚 y

la de la pared 𝑇𝑝, multiplicada por el calor específico c. El flujo de calor a la pared es

proporcional a la diferencia entre temperatura media del fluido y la de la pared, de

manera que cuando ésta está más caliente que el fluido, pasa calor al fluido y

viceversa. La ecuación (29) sólo es válida cuando el número de Prandtl es igual a

uno, aunque en movimientos turbulentos se puede aplicar con bastante

aproximación para todo tipo de fluidos.

𝐺 [(ℎ +12

𝑣2)𝑠

− ( ℎ +12

𝑣2)𝑒

] = △ �̅� (27)

𝑑𝑑𝑙

[ℎ +12

𝑣2] = 1𝐺

𝑑�̅�𝑑𝑙

= �̅� (28)

𝜎𝑝

𝜌𝑈𝑚𝑈𝑚=

𝑞𝑝

𝜌𝑈𝑚𝑐(𝑇𝑚 − 𝑇𝑝)

(29)


15

De hecho, esto no es más que una consecuencia de la analogía existente entre los

diferentes fenómenos de transporte. Aunque si el coeficiente de fricción (𝜆) viene

determinado por la rugosidad, esta analogía no es válida. El coeficiente de fricción

se define como:

Ahora, despejando 𝜏𝑤(tensión tangencial en la pared) de la ecuación y sustituyendo

en la Ecuación (29), llegamos al siguiente resultado:

Esta expresión representa una relación entre el calor de la pared del tubo y el calor

comunicado al fluido. Por lo tanto, existe una relación entre el calor en la pared del

tubo y el calor comunicado al fluido:

de forma que despejando el valor del calor y sustituyendo 𝐺 por su expresión

correspondiente:

Finalmente:

Si generalizamos esta ecuación para el caso de gases ideales, considerando 𝑐𝑝 en

vez de c y considerando la temperatura de remanso del fluido en lugar de la estática,

llegamos a:

𝜆 =8𝜏𝑤

𝜌𝑈𝑚2 (30)

𝑞𝑝 =𝜆8

𝜌𝑈𝑚𝑐(𝑇𝑚 − 𝑇𝑝) (31)

−𝑞𝑝 · 𝑝𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 = �̅� · 𝐺 (32)

−�̅� · 𝜌𝑣𝐴𝑝𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜

=𝜆8


−�̅� · 𝜌𝑣 𝜋𝐷2

4𝜋𝐷

=𝜆8


�̅� = 𝜆

2𝐷𝑐(𝑇𝑝 − 𝑇)

(35)


16

La energía cinética del fluido contribuirá al calentamiento de la pared a lo largo del

conducto. El efecto térmico de la energía cinética en (36) es, no obstante, poco

importante para corrientes con número de Mach mucho menor que uno. Puede

haber otras causas que contribuyen al término �̅�, además de la pared caliente, como

puede ser el proceso de combustión en el seno del fluido.

Esto nos permite construir un sistema de tres ecuaciones para tres incógnitas: la

velocidad y dos variables de estado, por lo que se debe completar el sistema con

una ecuación más que determine la entalpía como función de la presión y la

temperatura.

Previamente, se pueden obtener una serie de expresiones interesantes a través de

las ecuaciones vistas, que dan una idea de las características del movimiento.

Sabiendo que en ausencia de fricción y adicción de calor, la entropía del sistema no

varía (proceso isentrópico), si restamos la ecuación de la cantidad de movimiento a

la ecuación de la energía en forma diferencial, resultará:


+1𝜌

𝑑𝜌𝑑𝑙

= −𝜆𝑣2

2𝐷;

𝑑𝑑𝑙

(ℎ +12

𝑣2) = �̅� ⟹𝑑ℎ𝑑𝑙

+ 𝑣𝑑𝑣𝑑𝑙

= �̅�

La Ecuación (37) indica que la entropía siempre aumenta debido a la fricción y en el

sentido del movimiento. Además, el calor aumentará o disminuirá dependiendo si es

entrante o saliente del sistema. Esta última expresión es resultado del segundo

principio de la termodinámica, recordando la entropía para un gas perfecto:

𝑑𝑠 = 𝑐𝑣 [𝑑𝑝𝑝

−𝛾𝜌𝛾−1

𝜌𝛾 𝑑𝜌] ; 𝑎2 =𝜕𝑝𝜕𝜌

)𝑠

=𝛾 · 𝑝

𝜌

�̅� = 𝜆

2𝐷[𝑐𝑝𝑇𝑝 − (𝑐𝑝𝑇 +

12

𝑣2)]

(36)

𝑑ℎ𝑑𝑙

−1𝜌

𝑑𝜌𝑑𝑙

=𝜆𝑣2

2𝐷+ �̅� = 𝑇

𝑑𝑠𝑑𝑙

⟹ 𝑇𝑑𝑠𝑑𝑙

= 𝑑ℎ𝑑𝑙

−1𝜌

𝑑𝜌𝑑𝑙

= �̅� +𝜆𝑣2

2𝐷

(37)

𝑠 = 𝑐𝑣 ln (𝑝

𝜌𝛾) (38)


17

donde 𝑎 era la velocidad del sonido. Entonces, sustituyendo esta expresión en la

ecuación de la entropía, resulta:

Ahora si eliminamos las derivadas de la presión y densidad en (23), (25) y (40), se

obtiene:

𝑑𝑑𝑙

(𝜌𝑣𝐴) = 0 ⟹ 1𝜌

𝑑𝜌𝑑𝑙

+1𝑣

𝑑𝑣𝑑𝑙

+1𝐴

𝑑𝐴𝑑𝑙

= 0


+1𝜌

𝑑𝑝𝑑𝑙

= −𝜆𝑣2

2𝐷 ⟹

𝑑𝑝𝑑𝑙

= −𝜌 [𝜆𝑣2

2𝐷+ 𝑣

𝑑𝑣𝑑𝑙

]

𝑐𝑣 𝑇𝑝

𝑑𝑑𝑙

[𝑑𝑝 − 𝑎2𝑑𝜌] = �̅� +𝜆𝑣2

2𝐷

𝑐𝑣 𝑇𝑝

[(−𝜌 [𝜆𝑣2

2𝐷+ 𝑣

𝑑𝑣𝑑𝑙

]) − 𝑎2 𝑑𝜌𝑑𝑙

] = �̅� +𝜆𝑣2

2𝐷

Despejando 𝑑𝜌𝑑𝑙

de la expresión anterior:

𝑑𝜌𝑑𝑙

= −𝑝�̅�

𝑐𝑣𝑇𝑎2 −𝜆𝑣2

2𝐷 𝑎2 (𝑝

𝑐𝑣𝑇+ 𝜌) −

𝜌𝑣𝑎2

𝑑𝑣𝑑𝑙

y sustituyendo en la ecuación de continuidad:

1𝜌

(−𝑝�̅�

𝑐𝑣𝑇𝑎2 −𝜆𝑣2

2𝐷 𝑎2 (𝑝

𝑐𝑣𝑇+ 𝜌) −

𝜌𝑣𝑎2

𝑑𝑣𝑑𝑙

) +1𝑣

𝑑𝑣𝑑𝑙

+1𝐴

𝑑𝐴𝑑𝑙

= 0

𝑑𝑠 =𝑐𝑣

𝑝 [𝑑𝑝 − 𝑎2𝑑𝜌];

(39)

𝑐𝑣 𝑇𝑝

𝑑𝑑𝑙

[𝑑𝑝 − 𝑎2𝑑𝜌] = �̅� +𝜆𝑣2

2𝐷 (40)


18

Reorganizando términos y multiplicando por 𝑎2, obtenemos:

Ahora con ayuda de relaciones de termodinámica:

𝑝𝜌

= 𝑅𝑇; 𝛾 =𝑐𝑝

𝑐𝑣= 1 +

𝑅𝑐𝑣

resulta

Se pueden sacar una serie de conclusiones sobre la Ecuación (42):

x Para que la igualdad se cumpla, los signos del segundo miembro nos

determinan el comportamiento de cada variable respecto al término de

velocidad. En otra palabras, la aceleración o desaceleración del fluido a lo

largo del conducto está condiciona de igual manera por la adición de calor

que por la fricción pero de forma inversa para la variación de área, debido al

signo negativo.

x Una manera para que el segundo miembro sea nulo será cuando la variación

de área sea positiva:

𝑣 (1 − 𝑀2

𝑀2 ) 𝑑𝑣𝑑𝑙

= 0

Por lo tanto se podría alcanzar flujo sónico en cualquier sección de la tubería

sin tener que coincidir con la sección mínima.

𝑣 (1 − 𝑀2


= −𝑎2

𝐴𝑑𝐴𝑑𝑙

+𝜆𝑣2

2𝐷 (

𝑝𝑐𝑣𝑇

+ 1) +𝑝

𝜌𝑐𝑣𝑇�̅� (41)

𝑣 (1 − 𝑀2


= −𝑎2


+ 𝛾𝜆𝑣2

2𝐷 + (𝛾 − 1)�̅� (42)


19

Figura 4. Esquema que muestra como 𝑀 = 1 se alcanza aguas debajo de la garganta cuando hay

fricción o adición de calor.

x Si el segundo miembro es positivo, por ejemplo cuando la sección del tubo

permanece constate y se añade calor, la única forma posible para alcanzar

flujo sónico sería cuando 𝑑𝑙𝑑𝑣

se haga cero. Lo que significa que si

experimentamos flujo sónico en el conducto, ocurriría cuando la longitud de la

tubería sea máxima, es decir, justamente en el extremo final.

Resumiendo, si tenemos un flujo subsónico el flujo se acelerará a medida que

avanza por el conducto hasta un valor sónico, únicamente alcaldable en los

extremos final aguas abajo. En cambio, un flujo supersónico experimentará

una desaceleración a lo largo del tubo mientras en número de Mach

permanezca superior a la unidad.

2.3 Flujo por un tubo de sección constante, con fricción y adición de calor En este apartado se va describir de forma cualitativa el fenómeno, dejando para los

apartados siguientes la realización del cálculo. De esta manera se puede obtener

una mejor idea física del proceso. En la figura siguiente podemos ver el boceto de

una tubería adosada a un depósito con gas a presión 𝑝0. El gas descarga a través

de la tubería en un recinto a presión atmosférica. Suponemos que el depósito es

muy grande de forma que el fluido se vacía muy lentamente considerándose

estacionario. Además, el gas se encuentra en reposo y los parámetros dentro del

depósito se suponen conocidos.


20

Figura 5. Tubería adosada a un depósito con gas a presión. El gas descarga por la tubería a la presión atmosférica, 𝑝𝑎

El fluido se mueve de forma natural a través de la contracción suave y gradual de

forma que podamos despreciar las perdidas, conservándose las condiciones de

remanso. Obteniendo la siguiente relación

La presión a la salida del tubo debe ser la atmosférica, por lo tanto podemos calcular

el valor de M(0) y las condiciones a la entrada del tubo ya que todas se pueden

expresar como función del número de Mach. Estas condiciones se usan como

condiciones de contorno para resolver el sistema de ecuaciones (23), (25) y (41) y

calcular las propiedades del fluido a lo largo del tubo, en particular la distribución de

presiones y la presión existente a la salida, que vendrá dada como función de una

propiedad a la entrada del tubo, por ejemplo 𝑀 = (0). Mientras que el flujo sea

subsónico, la presión a la salida del tubo debe ser igual a la ambiente:

𝑝(𝐿) = 𝑝𝑎 𝑠𝑖 𝑀(𝐿) < 1

Si existe una gran diferencia de presiones entre el depósito y la presión atmosférica,

el fluido se acelera hasta alcanzar M=1 en el extremo del conducto. De esta forma:

𝑀(𝐿) = 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑝0

𝑝𝑎> 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒 ⟹ 𝑝(𝐿) > 𝑝𝑎

𝑝0 = 𝑝(0) (1 + 𝛾 − 1

2 𝑀(0)2)

𝛾𝛾−1

(43)


21

Para el caso donde 𝑝0 𝑝𝑎⁄ > 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒 se produce el llamado “bloqueo sónico” en

la descarga del depósito. Decimos que existe un bloqueo sónico o que el conducto

está bloqueado cuando, para unas condiciones de remanso dadas, hay condiciones

críticas o sónicas. Es decir, el gasto másico que puede atravesar un conducto debe

ser máximo y no puede haber un valor mayor a no ser que se modifique la geometría

de la garganta.

De forma paralela, debemos hacer referencia a la caída de presión que surge en un

conducto de sección constante como consecuencia de la fricción y adición de calor.

Esto se puede observar si relacionamos la ecuación de la conservación de la

cantidad de movimiento (25) y la ecuación (42):


+1𝜌

𝑑𝑝𝑑𝑙

= −𝜆𝑣2

2𝐷 ⟹

1𝜌

𝑑𝑝𝑑𝑙

= −𝜆𝑣2

2𝐷− 𝑣

𝑑𝑣𝑑𝑙

𝑣 (1 − 𝑀2


= −𝑎2


+𝜆𝑣2

2𝐷 (

𝑝𝑐𝑣𝑇

+ 1) +𝑝

𝜌𝑐𝑣𝑇�̅�

Sustituyendo 𝑣 𝑑𝑣𝑑𝑙

de Ecuación (42) en (25), resulta:

En nuestro caso específico, al ser el tubo de sección constante el segundo término

del segundo miembro sería cero. De manera que la expresión finalmente quedaría:

Nótese que tanto la fricción como la adición de calor introducen una caída de presión

a lo largo del tubo. Cuanto mayores son los efectos de la fricción y adición de calor,

mayor es el cociente 𝑝0 𝑝𝑎⁄ necesario para alcanzar el bloqueo sónico o para

alcanzar un gasto determinado. En el siguiente cuadro resumen se observa cómo

influyen las diferentes propiedades, diferenciando si el tipo de flujo es subsónico o

1𝜌

𝑑𝑝𝑑𝑙

= −𝜆𝑣2

2𝐷+

𝑀2

1 − 𝑀2𝑎2


−𝑀2

1 − 𝑀2 𝛾𝜆𝑣2

2𝐷 –

(𝛾 − 1)𝑀2

1 − 𝑀2 �̅� (44)

1𝜌

𝑑𝑝𝑑𝑙

= − (1 +𝑀2

1 − 𝑀2 𝛾)𝜆𝑣2

2𝐷 –

(𝛾 − 1)𝑀2

1 − 𝑀2 �̅� (45)


22

supersónico. Esto nos ayudará a comprobar y validar los datos obtenidos en los

apartados de problemas. Es importante señalar que independientemente del flujo en

el que nos encontremos, la entropía siempre aumentará como consecuencia de la

segunda ley de la termodinámica.

Figura 6. Comportamiento de propiedades para flujos subsónicos y supersónicos.

En la figura 4 tenemos representado la forma esquemática de una tubería con una

contracción suave que permite mantener las condiciones de remanso constantes.

Figura 7. Esquema de la distribución de presiones y del número de Mach a lo largo del tubo, para distintas

presiones de descarga, manteniendo la presión del depósito fija.

En el caso que la diferencia de presiones entre la presión del depósito y la

atmosférica será igual a uno, no se producirá ningún tipo de movimiento por parte


23

del flujo. Si disminuimos el valor de la presión atmosférica ligeramente por debajo de

la presión de entrada, se producirá un aumento progresivo de la velocidad a lo largo

del tubo. En cambio, si reducimos el valor de la presión a la salida hasta un valor

límite producida que el flujo alcance un estado sónico a la salida. En el caso de

seguir reduciendo el valor de la presión atmosférica por debajo del valor límite, no

produciría ningún cambio significativo. Únicamente el flujo a la salida se

expansionaría hasta alcanzar la presión ambiente mediante otros mecánicos.

2.4 Descarga de un depósito por un conducto de sección constante aislado térmicamente

En este apartado vamos a describir el efecto de la fricción en un conducto con

sección constante y aislando térmicamente (adiabático). En la sección anterior se ha

mostrado como afecta la fricción y la trasferencia de calor, simultáneamente, a una

tubería. Ahora vamos a analizar estas propiedades por separado, analizando como

alteran el comportamiento del flujo. Las hipótesis consideradas en esta sección son:

x Flujo adiabático, estacionario y unidimensional.

x Gas perfecto con calores específicos constates.

x Conducto recto con área constate.

x El trabajo motor (de posibles partes móviles) y las variaciones de energía

potencial son despreciables.

x El esfuerzo en la pared responde a correlaciones de coeficientes de fricción

de Darcy.

Fue Gino Fanno, un ingeniero italiano nacido en 1882, la persona que estudió por

primera vez este tipo de flujos no isentrópico. Básicamente estamos ante un

problema clásico de fricción, pero se caracteriza por tener grandes saltos de presión,

entalpía y energía cinética. Estos flujos a lo largo de tuberías de sección constante

mantienen invariante la entalpía de remanso y gasto másico, pero la cantidad de

movimiento es variable debido a la condición de fricción en la pared. La curva de

Fanno representada por la figura 5, define el comportamiento de la entalpía frente a


24

la entropía para todos los posibles estados de flujo, tanto subsónico como

supersónico.

Observe que el flujo alcanza la entropía máxima cuando 𝑀 = 1. De acuerdo con la

segunda ley de la termodinámica, la entropía debe ir creciendo a lo largo de la

tubería, lo que demuestra que el flujo de Fanno siembre tenderá hacia M = 1, tanto

si es un flujo subsónico como supersónico.

Para el caso particular donde la trasferencia de calor es cero, la entalpía de remanso

se conserva a lo largo del conducto, como se mencionó en la Ecuación (14). Ahora

si relacionamos ésta ecuación con la ecuación característica para un gas perfecto,

obtenemos:

La Ecuación (42) resulta:

Figura 8. Curva de Fanno.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

-1 -0,9 -0,8 -0,7 -0,6 -0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0

En

talp

ía (

H)

Entropía (S)

Curva de Fanno (𝛾 = 1,4)

Curva de Fanno H-S

Flujo Supersónico

Flujo subsónico

Punto singular, M=1 en S = 0 y H = 0,833

𝑀2 =𝑣2

𝑎2 =𝑣2

(𝛾 − 1)ℎ=

𝑣2

(𝛾 − 1)(ℎ0 − 12 𝑣2)

(46)

𝑣 (1 − 𝑀2


= −𝑎2


+ 𝛾𝜆𝑣2

2𝐷 + (𝛾 − 1)�̅� (47)


25

Resultando:

Sustituyendo la Ecuación (45) en Ecuación (48):

𝑣 ((𝛾 − 1)(ℎ0 − 1/2𝑣2)

𝑣2 − 1) 𝑑𝑣𝑑𝑙

= 𝛾𝜆𝑣2

2𝐷

12

((𝛾 − 1)ℎ0

𝑣2 − (𝛾 − 1

2) − 1)

𝑑𝑣2

𝑑𝑙= 𝛾

𝜆𝑣2

2𝐷

12

((𝛾 − 1)ℎ0

𝑣2 −𝛾 + 1

2)

𝑑𝑣2

𝑑𝑙= 𝛾

𝜆𝑣2

2𝐷

Ahora si dividimos la ecuación anterior entre 𝑣2 y 𝛾:

∫(𝛾 − 1)

2𝛾ℎ0

𝑣2𝑑𝑣2

𝑣2 − ∫𝛾 + 1

4𝛾𝑑𝑣2

𝑣2 = ∫𝜆

2𝐷𝑑𝑙

Esta ecuación nos permite obtener la velocidad en cualquier sección, teniendo en

cuenta que la velocidad a la entrada 𝑣(0) debe ser conocida. También se puede

obtener una expresión similar, poniendo la velocidad en función del número de

Mach:

Esta ecuación representa la variación de M a lo largo del conducto conociendo

previamente el valor de 𝑀(0). En el caso que Mach fuera máximo (𝑀 = 1) y si se

alcanza dicho valor, lo haría cuando “ƪ” fuera máximo. Esto se puede comprobar si

derivamos las dos ecuaciones anteriores por M o v, respectivamente. De forma que:

𝑣 (1

𝑀2 − 1) 𝑑𝑣𝑑𝑙

= 𝛾𝜆𝑣2

2𝐷 (48)

(𝛾 − 1)2𝛾

ℎ0 [1

𝑣(0)2 −1

𝑣2] −𝛾 + 1

4𝛾ln

𝑣2

𝑣(0)2 =𝜆𝑙2𝐷

(49)

12γ

[1

𝑀(0)2 −1

𝑀2] −𝛾 + 1

4𝛾ln [

𝑀2

𝑀(0)2(𝛾 − 1)𝑀(0)2 + 2

(𝛾 − 1)𝑀2 + 2] =

𝜆𝑙2𝐷

(50)


26

𝑀 = 1 ⟹ 𝑣2 =2(𝛾 − 1)

𝛾 + 1ℎ0

Si se sustituye esta relación en las dos ecuaciones anteriores en función de M y/o v,

obtenemos:

Con esta ecuación se puede obtener la longitud máxima del conducto en función de

número de Mach a la entrada. Con ayuda de la Ecuación (14) y la de continuidad

(23) podemos calcular los valores de la entalpía y la densidad. De esta forma somos

capaces de obtener las variaciones de los restantes parámetros que intervienen en

proceso en función de la velocidad (𝑣):

de aquí se despeja la presión y sustituimos en la Ecuación (23):

La ecuación (50) se puede particularizar tomando como condiciones de contorno

𝑝(0) y 𝑀(0) para la entrada, 𝑝(𝐿) = 𝑝𝑎 𝑦 𝑀(𝐿) < 1 para la salida. De esta forma, si

dividimos ambas ecuaciones, obtenemos una expresión que relaciona el incremento

de presiones entre dos tramos de un conducto:

(𝛾 + 1)4𝛾

[2(𝛾 − 1)(𝛾 + 1)

ℎ0

𝑣(0)2 − 1] − ln [2(𝛾 − 1)(𝛾 + 1)

ℎ0

𝑣(0)2] =1

2γ[

1𝑀(0)2 − 1]

−𝛾 + 1

4𝛾ln [

(𝛾 − 1)𝑀(0)2 + 2(𝛾 + 1)𝑀(0)2 ] =

𝜆𝑙𝑚á𝑥

2𝐷

(51)

ℎ = 𝑒 +𝑝𝜌

= 𝑐𝑣𝑇 +𝑝𝜌

= 𝑐𝑣𝑝

𝜌𝑅+

𝑝𝜌

=𝑝𝜌

(𝑐𝑣

𝑅+ 1) =

𝛾𝛾 − 1

𝑝𝜌

(52)

𝑝 =𝛾 − 1

𝛾𝐺𝐴

ℎ0 − 1/2𝑣2

𝑣=

1𝛾

𝐺𝐴

√ℎ0(𝛾 − 1)

√𝑀2 (1 + 𝛾 − 12 𝑀2)

(53)

(𝑝0

𝑝𝑎)

2=

𝑀(𝐿)2 (1 + 𝛾 − 12 𝑀(𝐿)2) (1 + 𝛾 − 1

2 𝑀(0)2)𝛾+1𝛾−1

𝑀(0)2 (54)


27

Se puede apreciar que las Ecuaciones (50) y (54) forman un sistema para obtener el

valor del número de Mach tanto a la entrada como a la salida del tubo, suponiendo

que el valor de éste sea menor que la unidad. En caso contrario, se pondrá que

𝑀(𝐿) = 1 y 𝑝(𝐿) pasaría a ser incógnita del problema en cuestión. Cumpliéndose

que el valor de 𝑝(𝐿) > 𝑝𝑎 . Una vez obtenido 𝑀(0), se pueden calcular todas las

variables de entrada del conducto. Centrándonos en el gasto del fluido o Ecuación

(24):

𝐺 = 𝜌(0)𝑣(0)𝐴

Es de gran interés, la relación entre el gasto másico real (𝐺) y el gasto crítico (𝐺∗).

Si relacionamos la densidad, la velocidad a la entrada del tubo y las propiedades del

depósito mediante las ecuaciones que expresan la conservación de propiedades de

remanso desde el depósito a la entrada del tubo, tenemos:

Finalmente resulta:

Siendo 𝐺∗ el gasto que habría si 𝑀(0) fuese igual a la unidad.

De la ecuación (56) 𝜌0 𝑦 𝑎0 son la densidad y la velocidad del sonido en el depósito,

que se suponen datos del problema.

𝐺 = 𝑀 𝐴 𝜌0𝑎0

(1 + 𝛾 − 12 𝑀2)

𝛾+12(𝛾−1)

(55)

𝐺𝐺∗ =

𝑀(0)

[ 2𝛾 + 1 (1 + 𝛾 − 1

2 𝑀(0)2)]𝛾+1

2(𝛾−1)

(56)

𝐺∗ = (2

𝛾 + 1)

𝛾+12(𝛾−1)

𝜌0𝑎0𝐴 (56)


28

Figura 9. Diagrama para calcular el gasto G a través de un tubo con fricción que descarga desde un deposito a presión 𝑝0, a la presión ambiente 𝑝𝑎.

Caso especial: Flujo lento (𝑀 ≪ 1)

Se puede ahora particularizar este desarrollo matemático para el caso en el flujo sea

lento M<<1. Aunque pueden existir caídas de presión muy grandes entre el depósito

y el ambiente, la longitud del tubo debe ser lo suficientemente grande para que la

fricción entre el fluido y las paredes impida un aumento del valor de M. Por lo tanto

se toman una serie de consideraciones:

𝑀 ≪ 1 , 𝜆𝐿𝐷

≫ 1 , 𝑝0 − 𝑝𝑎

𝑝𝑎 ~ 1

Dicho esto y recordando que consideramos el proceso adiabático, la Ecuación (45)

se simplifica:

A su vez, se demuestra que la energía cinética es mucho menor que la entalpía. Por

lo tanto la Ecuación (46) queda:

1𝜌

𝑑𝑝𝑑𝑙

= −𝜆𝑣2

2𝐷 (57)


29

Esto nos dice que la entalpía permanece constante a lo largo del conducto (línea

de corriente) para un gas perfecto. Entonces, a través de la ecuación de estado (52)

se puede afirmar que la densidad es proporcional a la presión:

Haciendo uso de esta última Ecuación en (57) y la ecuación de continuidad para la

velocidad, se obtiene una relación muy interesante:

Si la integramos para la entrada y la salida, el gasto másico resulta:

Como hemos supuesto que el número de Mach era mucho más pequeño que la

unidad, la Ecuación (43) nos dice que la presión en el depósito es prácticamente

igual a la presión a la entrada del conducto. Aunque debemos destacar en este

caso, el gasto másico varía en función de la diferencia de cuadrados de las

presiones frente a la diferencia de presiones en el caso incompresible. Si

recordamos la diferencia de cuadrados podemos obtener otra forma de expresar la

Ecuación (61):

𝐺 = 𝐴√2𝐷𝜆𝐿

𝜌𝑚(𝑝0 − 𝑝𝑎)

Siendo 𝜌𝑚 la densidad media entre la entrada y salida, con ayuda de la Ecuación

(59):

𝜌𝑚 =𝜌0 − 𝜌𝑎

2=

𝜌0

𝑝0

𝑝0 + 𝑝𝑎

2

ℎ = ℎ0 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 (58)

𝑝𝜌

=𝑝0

𝜌0

(59)

𝜌0𝑝𝑝0

𝑑𝑝𝑑𝑙

= −𝜆

2𝐷(

𝐺𝐴

)2

(60)

𝐺 = 𝐴√𝐷𝜆𝐿

𝜌0𝑝0

2 − 𝑝𝑎2

𝑝0 (61)


30

2.5 Descarga de un depósito por un tubo con adición de calor y despreciando la fricción

Este escenario representa otro caso particular con solución analítica para un flujo

compresible de sección constate. En este apartado, supondremos nulos los

esfuerzos viscosos provocados por las paredes del conducto y el aporte de un flujo

de calor por unidad de masa. Fue Jonh William Rayleigh, físico británico, la primera

persona que estudió este tipo de flujos. Debido a la transferencia de calor la

temperatura de remanso varía, frente al flujo de Fanno que permanecía constante.

Este intercambio provoca un aumento en la temperatura y genera un cambio de

densidad que para conservar el gasto másico altera la velocidad. Por conservación

de la energía se produce una variación de presión. El calor lo podemos definir como:

Si integramos la Ecuación (28) recordando que hemos supuesto constante la

entalpía de remanso:

Además, de continuidad y cantidad de movimiento se obtiene:

Con estas tres Ecuaciones (63) a (65) se pueden calcular las variables de estado; la

velocidad del gas en función del calor y las condiciones a la entrada del tubo. De

forma que conocidos los datos

𝑄 = ∫ �̅�𝑑𝑙𝐿

0 (62)

𝑑𝑑𝑙

(ℎ +12

𝑣2) =1𝐺

𝑑�̅�𝑑𝑙

= �̅� ⟹ (ℎ +12

𝑣2) − (ℎ(0) +12

𝑣(0)2) = ∫ �̅�𝑑𝑙𝐿

0

⟹ (ℎ +12

𝑣2) = (ℎ(0) +12

𝑣(0)2) + 𝑄 = ℎ0 + 𝑄

(63)

𝜌𝑣 = 𝜌(0)𝑣(0) =𝐺𝐴

(64)


+1𝜌

𝑑𝑝𝑑𝑙

= −𝜆𝑣2

2𝐷 ⟹ 𝜌𝑣2 + 𝑝 = 𝜌(0)𝑣(0)2 + 𝑝(0) (65)


31

𝑝0

𝑝𝑎 ,

𝑄ℎ0

, 𝛾

somos capaces de obtener los valores del número de Mach a la entrada y a la

salida del conducto. Para ello, debemos recordar que

De las Ecuaciones (64) y (65):

De manera análoga con la Ecuación (64) elevada al cuadrado y (66), resulta;

(𝜌𝑣)2 = (𝜌(0)𝑣(0))2

⟹ (𝜌

𝜌(0))2

= (𝑣(0)

𝑣)

2

(𝜌

𝜌(0))

2=

𝑀(0)2𝛾 𝑝(0)𝜌(0)

𝑀2𝛾𝑝𝜌

= (𝜌

𝜌(0))

𝑀(0)2𝛾 𝑝(0)𝑀2𝛾 𝑝

Ahora de la ecuación (63):

Si sustituimos la ecuación (66) y (67) en el primer miembro de (69):

𝑎2 =𝜕𝑝𝜕𝜌

)𝑠

=𝛾𝑝𝜌

⟹ 𝑀2 =𝑣2

𝑎2 = 𝜌𝑣2

𝛾𝑝 (66)

𝑝(𝑀2𝛾 + 1) = 𝑝(0)(𝑀(0)2𝛾 + 1) ⟹ 𝑝

𝑝(0) = 𝑀(0)2𝛾 + 1

𝑀2𝛾 + 1 (67)

(𝜌

𝜌(0)) =

𝑝(0)𝑝

𝑀(0)2

𝑀2 (68)

𝑝𝑝(0)

𝜌(0)𝜌

=ℎ

ℎ(0)=

𝑇𝑇(0)

=[1 + 𝛾 − 1

2 𝑀(0)2] (1 + 𝑄ℎ0

)

1 + 𝛾 − 12 𝑀2

(69)


32

(𝛾𝑀(0)2 + 1

𝛾𝑀2 + 1)

2

(𝑀

𝑀(0))

2 1 + 𝛾 − 12 𝑀2

1 + 𝛾 − 12 𝑀(0)2

= 1 +𝑄ℎ0

Ordenando términos:

Se puede simplificar esta expresión si llamamos F(M) a:

Así la ecuación (70) queda:

Representando el valor de F(M) vemos que tiene un máximo en 𝑀 = 1 (figura 10).

Esto nos dice que cuando el flujo es subsónico 𝑀(0) < 1 y se añade calor, M

aumenta. De manera que se pueda añadir una cantidad de calor máxima hasta

alcanzar el estado sónico.

Para finalizar, haremos referencia a una expresión muy interesante que relaciona la

diferencia de presiones a la entrada y a la salida. Para ello debemos particularizar la

Ecuación (67) para la entrada y salida, dividiéndola por la Ecuación (43):

(𝛾𝑀(0)2 + 1)2

𝑀(0)2 (1 + 𝛾 − 12 𝑀(0)2)

·𝑀2 (1 + 𝛾 − 1

2 𝑀2)(𝛾𝑀2 + 1)2 = 1 +

𝑄ℎ0

(70)

𝐹(𝑀) = 𝑀√1 + 𝛾 − 1

2 𝑀2

𝛾𝑀2 + 1 (71)

𝐹2(𝑀)𝐹2(𝑀(0))

= 1 +𝑄ℎ0

(72)

𝑝0

𝑝(𝐿)= (1 +

𝛾 − 12

𝑀(0)2)𝛾

𝛾−1 𝛾𝑀(𝐿)2 + 1𝛾𝑀(0)2 + 1

(73)


33

Figura 10. Función del número de Mach en la Ecuación (69), para 𝛾 = 1,4

El sistema de ecuaciones (72) y (73) nos permiten obtener el número de Mach a la

entrada y a la salida conociendo previamente las relaciones de presiones y la

relación entre el calor aportado y la entalpía. Una vez conocidos los valores

correspondientes al número de Mach tanto para la entrada como para la salida, se

puede obtener el valor del gasto másico. Esto se puede ver de forma gráfica en la

figura 11. Nótese que para el caso particular M(L)>1, nuestras condiciones de

contorno serían M(L)=1 y la presión a la salida p(L)>pa pasaría a ser incógnita del

problema.

Figura 11. Diagrama para calcular el gasto G a través de un tubo con adición de calor.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

F(M)

M

F(M)

F(M)


34

2.6 Flujo incompresible con adición de calor en tubo de secciones constate. Aplicaciones de la analogía de Reynolds

Figura 12. Esquema de una tubería por la que atraviesa un fluido.

Supongamos un fluido con densidad constante y una temperatura 𝑇𝐹 ligeramente

inferior a la temperatura de la pared de la tubería 𝑇𝑝 . Es lógico suponer que la

temperatura del fluido aumentará a medida que atraviese el conducto hasta alcanzar

el equilibrio térmico. Si aplicamos la ecuación de continuidad:

𝑑𝑑𝑙

(𝜌𝑣𝐴) = 0

Se deduce que para un fluido con densidad constante, la velocidad también resulta

ser constante. Aplicado a un gas incompresible, la variación de entropía resulta:

𝑇𝑑𝑠 = 𝑐𝑝𝑑𝑇

Utilizando las Ecuaciones (35) y (45), para el calor:

El último sumando representa el calor producido por la fricción y generalmente es

despreciable. Se puede integrar entonces la expresión tomando como condiciones

de contorno iniciales 𝑙 = 0, 𝑇 = 𝑇𝐹, resultando:

𝑐 𝑑𝑇 𝑑𝑠𝑑𝑙

= 𝑐 𝑑𝑇𝑑𝑙

= 𝑐 𝜆

2𝐷 (𝑇𝑝 − 𝑇) −

𝜆𝑣2

2𝐷

(74)

𝑇 = 𝑇𝑝 + (𝑇𝑓 − 𝑇𝑝) exp (−𝜆𝑙2𝐷

) 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝜆𝑙2𝐷

≫ 1 , 𝑇 ≃ 𝑇𝑝

(75)


35

3. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CLÁSICOS MEDIANTES SOLUCIONES TEÓRICAS DISPONIBLES

3.1 Introducción

Una vez visto los conceptos teóricos necesarios para la resolución de problemas, el

objetivo ahora es la obtención de soluciones analíticas de problemas clásicos en

mecánica de fluidos. Esto servirá como referencia a la hora de comparar las

diferentes soluciones. Se podrá analizar cómo afectan las diferentes variables a los

resultados finales debido a las hipótesis planteadas a la hora de resolver

analíticamente los problemas en contraposición a los resultados obtenidos en un

programa de simulación. Estas suposiciones nos ayudarán a resolver problemas de

forma que solo tengamos que aplicar un número determinado de ecuaciones

dependiendo del caso en el que nos encontremos. Además este proceso se hace

aún más sencillo porque, como se vio en la sección anterior, algunos de los

resultados se encuentran tabulados (figuras 9 y 11).

Entonces, podemos clasificar dos problemas en la sección de soluciones teóricas.

Cada uno de estos problemas propone unas condiciones de contorno iniciales

distintas. Por lo tanto, se procederá a la resolución analítica de un problema por

cada bloque. En el primer bloque supondremos la descarga de un depósito por un

conducto de sección constante aislado térmicamente (sección 2.4 y 3.2). El segundo

y último bloque considerará la descarga de un depósito por un tubo con adición de

calor y despreciando la fricción (sección 2.5 y 3.3).

3.2 Problema tipo 1 (con fricción y despreciando la trasferencia de calor)

El problema planteado trata del efecto de la fricción despreciando las variaciones de

área y la transferencia de calor. Básicamente, estamos estudiando un problema de

fricción en un tubo, tipo Moody, pero con grandes variaciones de energía cinética,

entalpía y presión. Este tipo de flujo en conductos, con área constante, entalpía de

remanso constante, gasto másico constante, pero cantidad de movimiento variable

(a consecuencia de la fricción), se denomina flujo de Fanno, en honor a Gino Fanno,

un ingeniero italiano nacido en 1882 que estudio por primera vez este tipo de flujos.


36

Enunciado

- Se tiene una tubería circular de sección constante de 10 metros de

longitud por la que circula aire a una temperatura de 288 K. El diámetro es

de 10 cm y el coeficiente de fricción λ =0,02. En la entrada de la tubería

tenemos una presión igual a 2 · 105 Pa, el flujo sale aguas abajo a 105 Pa

y suponemos el coeficiente adiabático constate 𝛾 = 1,4.

Consideraciones

- Proceso adiabático

- Flujo estacionario

- Unidimensional

- Gas ideal (Cp y Cv constantes)

- Variación de área con respecto a longitud nula

- Energía potencial nula

- El trabajo motor (de posibles partes móviles) despreciable

- El esfuerzo en la pared responde a correlaciones de coeficientes de fricción

de Darcy.

Solución

Previamente comprobamos que no nos encontramos en un caso de flujo lento

(M ≪ 1) mediante la expresión: λ LD

=0,02 · 10

0,1= 2 ≫ 1

Al no cumplir esta condición, no podemos usar las expresiones características del

caso especial de flujo lento. Las relaciones geométricas vienen definidas por:

xD

= 100,1

= 100; 2 L λ D

= 4


37

Dirigiéndonos a la figura 9 y sabiendo que tenemos una relación de presiones igual a

dos.

Obtenemos aproximadamente que:

M (0) = 0,4 GG∗ = 0,63

Con estos valores, somos capaces de calcular las demás variables del problema. La

relación entre el gasto del fluido es:

G = 0,63 · G∗ = 0,63 · (2

γ + 1)

γ+12(γ−1)

· ρ0a0A = 2,356 kg/s

Siendo ρ0 la densidad a la entrada, a0 la velocidad del sonido y A el área de la

tubería, calculadas:

ρ0 =p0

RgT0 =

2 · 105 Pa

287 m2(s2 · K)⁄ · 288 K

= 2,419 Kg/m3

a0 = √γRgTo = 340,174 m/s


38

A =πD2

4= 7,854 · 10−3 m2

Una vez conocido el número Mach a la entrada y la diferencia de presiones,

obtenemos Mach a la salida:

(p0

pa)

2=

M(L)2 (1 + γ − 12 M(L)2) (1 + γ − 1

2 M(0)2)γ+1γ−1

M(0)2 ⟹ M(L) = 0,695

El flujo no está bloqueado, debe existir entonces una longitud máxima para M = 1:

λ lmax

2D=

12γ

[1

M(0)2 − 1] −γ + 1

4γln [

2 + (γ − 1)M(0)2

(γ + 1)M(0)2 ] ⟹ lmax = 11,542 m

Entonces, para una distancia L = 11,542 m el flujo a la salida de la tubería seria

supersónico. Calculamos la velocidad a la entrada v(0) y salida v(L), y la densidad

en el extremo final del tubo:

v(0) =G

A ρ0 = 124,019 m/s

ρ(L) =pa

RgT0 =

105 pa

287 m2(s2 · K)⁄ · 288 K

= 1,209 kg/m3

v(L) =G

A ρ(L) = 248,142 m/s

Rugosidad de la tubería:

𝑅𝑒 =𝜌𝑣𝐷

𝜇= 7583804,061

Consultando el diagrama de Moody, sacamos de manera aproximada que:

𝑘𝐷

= 0,001 → 𝑘 = 𝑟𝑢𝑔𝑜𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 = 0,0001 𝑚


39

Conclusiones Una vez calculadas la mayoría de las variables que intervienen en el problema y

recordando la sección de teoría, podemos comprobar que los resultados se ajustan

a lo esperado. La velocidad del fluido se ha duplicado, la densidad se disminuye con

una razón de dos y el número de Mach ha experimentado un aumento considerable

hasta alcanzar un valor aproximado de 0,7. Se debe destacar también que si

aumentamos la tubería hasta una longitud máxima, producirá flujo sónico a la

salida. Aunque si nuestro objetivo es obtener 𝑀 = 1 a la salida, quizás la mejor

opción sería buscar el coeficiente de fricción necesario para una tubería con las

características geométricas señaladas en el problema.

3.3 Problema tipo 2 (con flujo de calor entrante y despreciando la fricción)

En el siguiente problema nos restringiremos al análisis de la transferencia de calor

sin fricción en un conducto de sección constante.

Enunciado

- Una tubería de longitud 10 metros, diámetro 10 cm, entra aire a una

temperatura de 288K con una presión igual a 121590 Pa. El aire sale por

el extremo final a presión atmosférica (101325 Pa), mientras se le añade

un flujo de calor constate a lo largo de toda la superficie. Suponemos 𝑐𝑝 =

1004 𝐽 𝑘𝑔 · 𝐾⁄ y 𝛾 = 1,4.

Consideraciones

- Flujo de calor constante por unidad de área.

- Flujo estacionario

- Unidimensional (1D)

- Gas ideal (Cp y Cv constantes)

- Variación de área con respecto a longitud nula

- Energía potencial nula

- El trabajo motor (de posibles partes móviles) despreciable


40

- Coeficiente de fricción nulo (𝜆 =0).

Solución

Previamente calculamos la diferencia de presiones para poder hacer uso de la figura

11 y obtener una relación entre Q (L)/h0:

p0

pa= 1,2

Por considerar gas perfecto, la entalpia es:

h0 = Cp · T0 = 1004J

kg K· 288K = 289,152

kJkg

Eligiendo una relación entre el calor aportado y la entalpia de remanso arbitraria e

igual a 0,3, resulta:

p0

pa= 1,2 ⟹

Q(L)ho

= 0,3 ⟹ Q(L) = 86,73kJkg

La gráfica aporta los valores de Mach a la entrada y la relación entre el gasto

másico:

M (0) = 0,38


41

GG∗ = 0,60

De forma análoga al problema anterior, calculamos el gasto másico a través del

conducto de 10 metros de longitud:

G = 0,6 · G∗ = 0,6 · (2

γ + 1)

γ+12(γ−1)

· ρ0a0A = 1,351 kg/s

Previamente debemos calcular:

ρ0 =p0

RgT0 =

121590 Pa

287 m2(s2 · K)⁄ · 288 K

= 1,471 kg/m3

a0 = √γRgTo = 340,174 m/s

A =πD2

4= 7,854 · 10−3 m2

La velocidad a la entrada del tubo viene dada por la siguiente expresión:

v(0) =G

A ρ0 =

1,351 kg/sπ (0,1)2

4 · 1,471 kg/m3= 116,937 m/s

El calor total resulta:

Q̅(L) = Q(L) · G = 117,172 kW

Ahora dividendo el valor del calor total por el área de la tubería:

Q̅(L)Atuberia

=117,172(π · D)L

= 37,297 kW/m2

El número de Mach a la salida será:


42

p0

p(L) =p0

pa= (1 +

γ − 12

M(0)2)γ

γ−1·

γM(L)2 + 1γM(0)2 + 1

⟹ M(L) = 0,4673

Una vez calculado el número de Mach a la salida, la temperatura a la salida viene

expresada:

T(L)T(0)

= [1 + γ − 1

2 M(0)2 ] [1 + Q(L)h0

]

1 + γ − 12 M(L)2

⟹ T(L) = 369,092 K ~ 96,092 °C

Finalmente los valores finales de la velocidad, densidad y entalpia son:

ρ0 =pa

RgT(L) =

101325 Pa

287 m2(s2 · K)⁄ · 369,092 K

= 0,956 kg/m3

v(L) =G

A ρ(L) =

1,351 kg/sπ (0,1)2

4 · 0,956 kg/m3= 179,831 m/s

h

h(0) =T

T(0) ⟹ h(L) = 370,568 kJ/kg

Conclusiones

Al introducir calor al sistema, éste provoca una variación en la entalpía de remanso

debido a la variación de la temperatura de remanso. En definitiva, el efecto de

transferencias de calor a la tubería es prácticamente igual al producido por la

fricción, visto en el problema anterior. Comprobamos lo que se dijo en la sección de

teoría, el número de Mach siempre tiene a la unidad independientemente de si el

flujo es subsónico o supersónico, obedeciendo la segunda ley de la termodinámica.


43

4. EVALUACIÓN DE LA IMPLEMENTACIÓN EN SOFTWARE DE CÁLCULO DE INGENIERÍA (AFT ARROW)

4.1 Introducción Applied Flow Technology Arrow se presenta como un software líder en el modelado

de flujos en tubos, con numerosos clientes y un gran abanico de distribuidores en

más de 70 países. Este software ayuda a compañías de diferentes ámbitos

industriales a diseñar y resolver problemas de la forma más eficiente y segura

posible. AFT fue fundada por el ingeniero Trey Walters en Louisville, Ohio. Antes de

empezar con AFT, Trey trabajó modelando y desarrollando software durante seis

años. A principios de 1992, llego a sus manos un programa de análisis gráfico de

flujo en tuberías y desde entonces, empezó a trabajar como hobby, en algoritmos

para solucionar problemas hidráulicos.

En este apartado, se presentará una breve y rápida introducción al software,

características más relevantes, hipótesis, su potencial y sus limitaciones.

AFT Arrow es una herramienta entandar para el modelado de redes de tuberías para

fluidos compresibles. Puede calcular pérdidas de carga, distribución de flujos,

balance de energía y mucho más. Permite la utilización de numerosas ecuaciones

de estado, gas ideal, factor de compresibilidad, la ecuación de Relich-Kwong, etc.


44

Modela sistemas abiertos y cerrados, sistemas donde el gas es impulsado por

presión definida por compresores o ventilados. Además, ofrece una librería

personalizable de componentes y propiedades. Pero existen numerosas limitaciones

a tener en cuenta, el flujo ha de ser estacionario, compresible y de una sola fase, no

pueden simularse reacciones químicas ni sistemas bifásicos.

AFT Arrow se compone de 5 ventanas principales. El Workspace y la ventana Model Data sirven básicamente para construir y definir el sistema, mientras que las

ventanas de Output, Graph Results y Visual Report tienen el objetivo de mostrar los

resultados. Esto se puede observar de manera gráfica en las imágenes siguientes.

Ahora vamos a explorar el Workspace o espacio de trabajo con más detalle. Para

construir un modelo, debemos de utilizar Toolbox o barra de herramientas situada en

la parte izquierda del Workspace. Se divide en 4 herramientas de dibujo en la parte

superior, y 20 tipos de uniones localizadas en la parte inferior izquierda. En el

siguiente cuadro se detalla el significado de cada uno de los iconos que podemos

ver la barra de herramientas:


45

Pipe Draw tool

Annotation tool

Branch: se puede utilizar como conector genérico entre tuberías, donde se

puede unir hasta 25 tuberias. En esta unión, por defecto, se realiza un

balance de masa.

Tank: esta unión representa un deposito o tanque de almacenamiento que

actua a su vez como condición de contorno de presion y como una fuente o

como un receptor de flujo del sistema

Assigned Flow

Assigned Pressure

Area Change

Bend

Tee or Wye

Valve: se dispone de diferentes opciones para definir las pérdidas de carga

subsónicas y estas son: Cv, % de apertura, K constante o variables y como

una curva de pérdida de carga.

Control Valve

Check Valve

Relief Valve

Dead End

Orifice

Venturi

Screen

Heat exchanger

Spray discharge

Compressor/Fan: diferentes opciones para definir un compresor o

ventilador, flujo másico o volumétrico constante, incremento de presión o

altura, o definiendo su curva característica.

Separator


46

General component

La parte vacía de la ventana principal es el cuadro de trabajo. Aquí dibujaremos de

forma esquemática nuestra red de tuberías, seleccionando para ello, las diferentes

herramientas que se han explicado anteriormente. Para ubicar una unión dentro de

la ventana de trabajo, solo haga clic en la unión deseada y arrástrela hasta el

Workspace. Una vez allí, para mover la tubería o una unión, arrástrela hacia la

posición que prefiera. Para mover el extremos de una tubería puede mover el punto

situado en este mismo extremo o mover el componente enlazado con la tubería.

Para introducir las condiciones iniciales en una herramienta, haga doble clic sobre la

unión o tubería y se abrirá una ventana de Especificaciones. La ventana será el

medio empleado para introducir los datos que definen las tuberías y las uniones en

el modelo. Para ayudarle a identificar aquellos datos imprescindibles, sus

correspondientes celdas se remarcan con un fondo azul. Una vez introducido el dato

se desactivará el fondo azul, para que la entrada de datos resulte más sencilla.

La imagen (pipe properties) muestra las propiedades de una tubería (recuerde que

toda tubería debe tener algún tipo de unión en cada extremo), los datos mínimos

requeridos para definir una tubería son: diámetro, longitud y modelo de fricción. Para

definir las tuberías de su modelo, por defecto, se dispone de una librería de

materiales, diámetros y espesores comerciales. A su vez, como la termodinámica va

a la par con la dinámica de gases, AFT Arrow siempre calculará la transferencia de

calor a lo largo de cada tramo de tubería que forma el sistema.

Dentro de la ventana de propiedades de tubería, encontrará una sección para

transferencia de calor. Cada uno de ellos, despliega una serie de parámetros

mínimos necesarios para poder resolver cualquier simulación. Por defecto, el modelo

propuesto es el adiabático.

Existen otras propiedades adicionales que se pueden definir en esta ventana, la

pérdida de carga es una de ellas. Puede diseñar alertas para conocer si una

propiedad ha superado un valor acordado. En el caso de conocer el gasto másico

inicial y/o propiedades secundarias, se pueden introducir en la sección Optional.


47


48

En la ventana principal, encontrará una serie de pestañas disponibles; File, Edit, View... Si hace clic en Analysis aparecerá una serie de opciones para hacer

funcionar el modelo. Estas son Solution Control, Output Control, Cost Settings y

vienen definidas por defecto en el programa. También puede encontrar esta sección

en la esquina inferior derecha representada por un LED rojo. Haciendo clic en este

icono, aparece una lista con las opciones descritas anteriormente, deben estar

validadas por el software para que pueda simular el modelo.

En System Properties es donde definirá el fluido y todas las características

necesarias como la viscosidad, ecuación de estado y el modelo de entalpía.


49

Con el objetivo de verificar la correcta definición de todos los componentes y

tuberías, primero debe construir el modelo en el “Workspace” y cumplimentar los

datos mínimos requeridos. Una vez hecho, en la parte superior derecha encontrará

una herramienta llamada “List Undefined Objects” justo al lado de un icono con

forma de bombilla. Haga clic, se desplegará un panel donde podrá observar todas

las uniones o tuberías que han quedado sin declarar.


50

Hasta aquí, una breve introducción a AFT Arrow. El objetivo esencial de esta sección

era describir el software de implementación de forma breve y rápida, para ayudar al

lector a coger unas nociones básicas del software. El interés ahora se centra en la

resolución de los problemas tipo 1 y 2 resueltos en la sección 3.2 y 3.3 mediante el

programa descrito anteriormente. Se busca comprobar la validez del análisis teórico

y comparar los resultados numéricos.

4.2 Simulación problema tipo 1

En este apartado se pretende modelar, haciendo uso de AFT Arrow, los problemas

resueltos en la sección 3 usando las soluciones teóricas disponibles. Respetando

cada una de las características esenciales de los problemas teóricos, para poder

comparar los datos obtenidos analíticamente.


51

Enunciado



de 10 cm y un coeficiente de fricción λ =0,02. En la entrada de la tubería


y suponemos el coeficiente adiabático constate, 𝛾 = 1,4.

Solución

Mediante AFT Arrow arrastramos la tubería y las uniones correspondientes en el

Workspace para poder construir el problema esquemáticamente. A priori, debe

seleccionar el fluido dentro de Analysis, System properties. Añade aire como fluido al

modelo y selecciona gas ideal como ecuación de estado. Selecciona Ok para

validar.


52

Tanto a la entrada como a la salida de la tubería, puede elegir entre numerosas

condiciones iniciales con sus uniones correspondientes. Para este problema hemos

optado por introducir la presión y temperatura a la entrada en Assigned pressured y

a la salida hemos elegido asigar el gasto másico, Assigned Flow, que previamente

calculamos en la sección 3.2.

Es muy importante recordar que se está utilizando propiedades de remanso. Por lo

tanto, cuando haga doble clic en Assigned pressure para introducir los datos

mínimos necesarios y no olvide seleccionar “Stagnation”. Como se señaló en la

parte teórica, estamos utilizados propiedades de remanso, no estáticas. Existe una

ligera diferencia entre ambos valores y se verá al final de esta sección.


53

Debe actuar de igual forma para las propiedades de la tubería y finalmente para las

propiedades a la salida del conducto. En la tubería, debe anotar 10 cm en Inner diameter, 10 metros en Lenght, seleccionar 0,02 como factor de fricción o Explicit Fricction Factor y comprobar que el modelo de transferencia de calor está

seleccionado como adiabático. A la salida debemos especificar gasto másico,

Assigned Flow, un valor igual a 2,356 kg/s.

Una vez introducidos todos los datos necesarios para la simulación, haga doble clic

en Run model. Aparecerá una ventana que podrá ver las diferentes características

de la simulación, el tiempo de simulación, tolerancia absoluta, iteraciones y un

mensaje final informado si la simulación ha convergido.

Haga clic sobre View Output y esto le redirigirá a otra ventana donde podrá ver los

resultados de la simulación. La ventana se divide en tres apartados, el primero de

ellos “General” se puede consultar todos los datos genéricos de la simulación. En el

segundo, están los resultados, cada una de las variables que intervienen en el


54

problema. Haga clic en Internal Pipe Results observará como varían la velocidad, la

presión, la temperatura y la entalpia a lo largo del conducto, el software divide la

tubería en secciones y calcula en cada una de ellas el valor de la variable.

Finalmente, el último apartado hace un resumen de todas las uniones y tuberías

utilizadas en el modelo.

Haga clic sobre sobre Graph Results, seleccione Tools y seguidamente Select Graph Data. Podrá ser capaz de representar cualquier variable del problema,

únicamente seleccione la tubería y el parámetro, después seleccione Show.


55


56

Como ya se ha señalado en apartados anteriores, nuestro objetivo es analizar cómo

influye la fricción y la adición de calor en un fluido compresible. Para ello, el estudio

se va centrar en el parámetro más relevante en el análisis de flujos compresibles, el

número de Mach. Generalmente, en el caso de flujos internos (conductos), la

cuestión más importante es si el flujo es subsónico (M < 1) o supersónico (M > 1).

Aunque en el presente proyecto solo trataremos con flujos subsónicos.

AFT Arrow representa el número de Mach:

En la tabla siguiente puede analizar la diferencia entre los parámetros analíticos y

los resultados obtenidos usando AFT Arrow:

Gasto

(kg/s)

Mach(0) Mach(L) ρ(0)

kg/m3

ρ(L)

kg/m3

v(0) m/s v(L) m/s

Soluciones

teóricas

2,356 0,4 0,695 2,419 1,209 124,019 248,142

AFT Arrow 2,356 0,4002 0,658 2,236 1,394 134,2 214,2

Los datos obtenidos sirven para comparar la influencia del coeficiente de fricción en

la teoría de flujos compresibles y en el software de cálculo simplificado. En la imagen


57

anterior se ha representado cómo evoluciona el número de Mach a lo largo de la

tubería de 10 metros de longitud. Una relación de dos en la presiones provoca que el

flujo entre en el conducto con un 𝑀 = 0,4, se eleve hasta un valor alrededor de 0,7

en la salida.

Conclusión

En la sección 2.4 vimos que el coeficiente de fricción aumentaba cuando el número

de Mach aumentaba y viceversa. En la gráfica anterior se puede comprobar a través

del haz de rectas representadas con un valor diferente de 𝜆 . Manteniendo la

geometría y aumentamos gradualmente el valor de este coeficiente, observamos

como el número de Mach aumenta, ligeramente, al principio de forma lineal, hasta

una vez llegado a un valor límite de λ el flujo se bloquea.

4.3 Simulación problema tipo 2

En este apartado se resuelve el problema regente al bloque 2 de problemas

analíticos. Vamos a suponer que añadimos un flujo de calor constante a lo largo de

toda la superficie del conducto de manera que modifique las propiedades del flujo,

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

1,1

0 2 4 6 8 10

Ma

ch

Longitud (m)

Mach

𝜆=0,005 𝜆=0,01 𝜆=0,015 𝜆=0,02 𝜆=0,023


58

considerando la fricción nula. Intuimos que las condiciones iniciales, se verán

modificadas, de manera que nuestro objetivo será comparar los resultados

numéricos usando la teoría de flujos compresibles y los resultados mediante el

software de cálculo AFT Arrow.

Enunciado





1004 𝐽 𝑘𝑔 · 𝐾⁄ y 𝛾 = 1,4.

Solución

A priori, no debe olvidar señalar el tipo de fluido que desea utilizar y en su defecto la

ecuación de estado. Dibujamos de forma esquemática el problema en el

“Workspace” como se muestra en la figura.


59

Arrastramos la unión Assigned Pressure y Assigned Flow al Workspace. Une ambas

uniones mediante una tubería, seleccionando Draw Pipe Tool y desplace el puntero

hasta recorrer la distancia entre iconos.

El siguiente paso, rellene los datos mínimos necesarios que AFT Arrow necesita

para poder modelar el problema mediante las ecuaciones que utiliza el software.

Recuerde que estos campos son aquellos que vienen resaltados en color azul, una

vez rellenos, el color desaparecerá. No olvide señalar la pestaña de “Stangnation”,

como señalamos en la parte teórica del presente proyecto, estamos trabajado con

propiedades de remanso.

Cuando haya introducido correctamente los datos en Pipe Properties, Assigned Pressure y Assigned Flow Properties, el software le permitirá simular el modelo. En

caso contrario, debe comprobar si le falta algún campo por rellenar. Recibirá un

mensaje si en alguna unión o tubería quedan parámetros sin definir.

Recuerde que ahora estamos trabajando con un flujo de calor constante. Debe

insertar el valor numérico de la transferencia de calor dentro de Pipe Properties, Heat Transfer, dentro podrá seleccionar numerosas relaciones de unidades dentro

de la casilla de Heat Flux, elija la que mejor le convenga y haga clic en OK.


60

Ejecute la simulación, haga clic en Run model. Una vez que la simulación termine,

haga clic en View Output para ver los resultados.


61


62

Al igual que en el ejercicio anterior, para poder representar cualquier variables en

función de la longitud de la tubería, haga clic en Tools y luego haga clic en Graph data base.

Seleccione la tubería y con ello, el parámetro que considere relevante En nuestro

caso, el parámetro más importante es el número de Mach. Se observa en la gráfica

de arriba, que la variación entre el estado inicial y el final ha sido muy pequeña. Esto

nos dice que podemos seguir aumentando la velocidad, el flujo aún no se ha

bloqueado a la salida, por lo tanto se puede seguir añadiendo calor al sistema.

Observe cómo influye la adición constate de calor de este tipo de flujos a un fluido. A

medida que aumento el calor por unidad de área, para una misma geometría, el

valor del número de Mach aumenta. Debe destacar que en este apartado, la relación

de presiones es considerablemente más baja que en el problema tipo 1. Pero de

igual manera, la adición de calor produce el mismo efecto que la fricción en el

comportamiento de un fluido a través de una tubería.

Esto se puede observar claramente en la gráfica siguiente. Se ha añadido calor por

unidad de superficie y de forma gradual. El resultado es un haz de rectas que

proporcionan como resultado un comportamiento esperado del flujo. Esta gráfica nos

informa que podemos aplicar calor hasta un valor aproximado de 140 kW/m2 para

tener un flujo sónico a la salida de la tubería.


63

El balance entre los resultados analíticos y obtenidos mediante AFT Arrow se

presentan en la tabla siguiente:

Soluciones teóricas AFT Arrow

Gasto (kg/s) 1,351 1,351

Mach(0) 0,380 0,372

Mach(L) 0,467 0,457

ρ(0) kg/m3 1,471 1,374

ρ(L) kg/m3 0,956 0,990

v(0) m/s 116,937 125,2

v(L) m/s 179,831 173,7

T(L) K 369,092 374,01

h(L) 370,568 534,3

Se puede observar que los datos son muy similares, existen ligeras diferencias pero

son prácticamente iguales. Esto nos confirma la validez de la hipótesis y las

diferentes expresiones utilizadas en la sección 2 para flujos compresibles

subsónicos. Además corrobora la utilidad y sencillez del software AFT Arrow para la

solución de problemas complejos reduciendo el tiempo de cálculo drásticamente.

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

1,1

-1 1 3 5 7 9 11

Ma

ch

Longitud (m)

Mach & longitud

q = 5 kW/m2 q = 20 kW/m2 q = 37,3 kW/m2

q = 50 kW/m2 q = 100 kW/m2 q = 130kW/m2

q = 140 kW/m2


64

Durante la resolución de problemas, se ha hecho hincapié en remarcar la casilla

relacionada con las propiedades de remanso dentro del software AFT Arrow.

Recuerde por ejemplo, que la temperatura de remanso sería aquella que alcanzarían

los gases al ser decelerados desde su velocidad hasta el reposo. Debido a las

consideraciones que se hicieron en el apartado de teoría de flujos compresibles, la

gráfica (Remanso y Estático) muestra la diferencia del número de Mach al utilizar

propiedades de remanso frente a propiedades estáticas, para el problema

caracterizado por un valor de fricción constante y ausencia de transmisión de calor.

Vemos como a medida que el flujo va aumentado de velocidad a través del

conducto, la diferencia se va haciendo también mayor, cometiendo un error

aproximado del 25%.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0 2 4 6 8 10 12

Ma

ch

Longitud (m)

Propiedades de Remanso & Propiedades

estáticas

Propiedades de Remanso Propiedades Estáticas


65

5. COMPARATIVA CON SOLUCIONES NO SIMPLIFICADAS (ANSYS FLUENT)

5.1 Introducción

ANSYS, Inc. es un software creado en 1970 por la compañía Swanson Analysis

Sysmtens Inc. Su objetivo es desarrollar, dar aporte y comercializar a todo el ámbito

de ingeniería, un programa de simulación mediante la teoría de elementos finitos

para estructuras y volúmenes finitos para fluidos. Generalmente, se pretende

predecir el comportamiento de un producto bajo un entorno lo más real posible (no

simplificación). Fluent es uno de los muchos paquetes que componente ANSYS,

concretamente dedicado al modelado físico que se necesita para modelar flujos,

turbulencias, transferencias de calor, etc. A día de hoy, existe un gran número de

compañías, que se benefician del uso de este tipo de software como parte integral

del diseño y de las diferentes fases de optimización de su desarrollo de producto.

En esta sección, como indica su nombre, vamos a comparar los resultados de la

teoría de flujos compresibles con aquellos obtenidos mediante un software de

soluciones no simplificadas como es ANSYS FLUENT. Utilizaremos tres

herramientas principales o módulos: el primero de ellos es el pre-procesador, nos

permite crear la geometría del problema. El segundo, es el procesador, nos permite


66

personalizar diferentes singularidades a la hora de simular, como puede ser el

material, condiciones iníciales, ecuaciones y mucho más. Por último está el post-

procesador, este módulo está provisto por una interfaz gráfica para ayudar al usuario

a visualizar de manera más sencilla e intuitiva los datos después del procesado.

5.2 Simulación no simplificada problema tipo 1

Antes de empezar el pre-procesado en ANSYS debemos recordar el enunciado del

problema con fricción y ausencia de calor, ya resuelto en las secciones anteriores.



de 10 cm y un coeficiente de fricción λ =0,02. En la entrada de la tubería


y suponemos el coeficiente adiabático constate 𝛾 = 1,4.

Primero, debe crear una geometría. La tubería utilizada en los problemas es de

sección circular, por lo tanto, para reducir el coste computacional en la simulación,

se dibuja únicamente un plano transversal a lo largo de la longitud del conducto.

Además podemos reducir este plano a la mitad, ya que la geometría es simétrica. La

tubería se ha reducido de su forma original hasta un paralelogramo con 10 metros

de longitud y 5 centímetros de diámetro, como muestra la figura.


67

Una vez hecha la forma, señalamos las diferentes partes de la geometría; la entrada

del flujo o Inlet, la salida o Outlet, la parte superior como pared o Wall y la parte

horizontal inferior como simetría Axis.

Nótese que esta misma geometría será utilizada para el problema tipo 2, de manera

que cuando se llegue al apartado correspondiente omitiremos el proceso de creación

de forma, pasando directamente al procesador.

Creada la geometría, el siguiente paso es el mallado. El mallado puede llegar a ser

un tema muy arduo si la geometría es compleja, pero en este caso, la forma es

sencilla. A priori, creamos una malla basta, con 2761 nodos y 2500 elementos

cuadrilaterales. Más tarde, para comprobar la validez de estos cálculos, crearemos

una malla mucho más fina. En el caso de que los datos en la segunda malla no

difieran de los primeros, confirmaremos que las soluciones son correctas.

Configuramos la malla haciendo clic sobre Mapped Face Meshig, esto nos asegura

que las celdillas sean paralelas a las diferentes caras de la geometría. Además,

espaciaremos de forma gradual el área de cada elemento en la malla mediante el

comando Edge Sizing que nos permite congestionar una zona con un número mayor

de celdas. En nuestro caso, sería recomendable aumentar el número de nodos

cerca de la pared del tubo y de la simetría, por ejemplo para obtener con mejor

precisión el esfuerzo tangencial que se produce a lo largo de la tubería.


68

Para terminar, generamos la malla y el resultado es como se muestra en la figura.

No se ha representado toda la tubería porque la relación entre longitudes es muy

grande distorsionando la visualización de la malla.

El segundo módulo recibe el nombre de procesado, básicamente, debemos indicar

todas las caracterices importantes del problema, hipótesis, materiales, ecuaciones,

valores de referencia, condiciones iniciales, es decir, un abanico de posibilidades

que aportan versatilidad al software.

En la ventana principal de Setup podemos observar diferentes apartados como

Solution Setup, Solution y Results, cada uno de ellos contiene a su vez numerosas

opciones que iremos detallando más adelante. En la primera ventana debe elegir el

tipo de Solver que quiere utilizar para la simulación.

Seleccionamos Density-Based porque nos encontramos con un problema de flujo

compresible y velocidades altas. Este solver se basa en el número de Courant como

principal referencia a la hora del paso de tiempo. La teoría de la estabilidad

determina un rango permisible de valores del número de Courant, de manera que

cuando especificamos un valor, Fluent calcula el tiempo de paso apropiado. Aunque

en este caso, utilizaremos una formulación implícita, que nos otorga una estabilidad

incondicional.

Estamos ante un problema de flujo permanente y axisimétrico, las casillas Steady y

Axisymmetric deben estar seleccionadas. En Models, vemos las diferentes modelos

que podemos utilizar, nos interesa activar la ecuación de la energía, el modelo


69

turbulento k-epsilon (Realizable) y una tratamiento estándar para la pared del

conducto. K-epsilon es el modelo más utilizado en dinámica de fluidos

computacionales para condiciones turbulentas, incluye dos ecuaciones de transporte

que representan las propiedades turbulentas del flujo. Las variables son la energía

cinética y disipación turbulenta que determinan el grado de esta propiedad.

En el apartado de materiales Materials debemos seleccionar un fluido (aire),

especificando concretamente gas ideal en la pestaña de densidad. Las demás

propiedades las dejamos por defecto. Es importante recordar que estamos

trabajando con propiedades absolutas, por lo tanto, en el apartado Cell Zone Conditions, en Operating conditions, debemos estar seguros que el valor de esa

casilla es cero.

Boundary Conditions o condiciones iniciales es la ventana donde debemos introducir

todos los datos característicos, como la presión a la entrada, presión a la salida, flujo

másico o temperatura entre otros. Nótese que hemos definido la entrada y salida

como Pressure Inlet y Pressure Outlet, respectivamente. Esto es debido a que los

datos iniciales del problema son presiones y no velocidades. Especificamos Intensity and Hydraulic Diameter como método especifico de turbulencia.


70

Pasamos a Refence values, debemos introducir todos los parámetros que aparecen

en la ventana porque esto servirá para calcular aquellas variables adimensionales.

Podemos simplificar el proceso desplegando la pestaña debajo de Compute from y

seleccionar la zona interesada.


71

Llegamos al apartado de Solution, aquí especificamos el método de formulación y el

tipo de discretización. Como puede observar en la imagen, hemos elegido una

formulación implícita y dentro de la discretización: las dos variables relacionadas con

la turbulencia con un orden de precisión y el flujo con segundo orden de presión. En

Solution Control podemos observar que al elegir un método implícito, ANSYS Fluent

por defecto selecciona un número de Courant igual a 5, no realizar cambios en esa

ventana, al considerar aceptable los valores numéricos.

Debemos especificar el criterio de convergencia entre las diferentes ecuaciones que

intervienen, suponemos 1e-06 como valor suficiente para considerar que la

simulación ha terminado correctamente. Antes de empezar la simulación, debemos

inicializar el flujo en todo el dominio. Esto se puede hacer en Solution Initialization, permite asignar uno valores iniciales a las distintas variables fluidas e iniciar la

solución usando esos valores.


72

Una vez inicializada la simulación, estamos en condiciones de lanzar la simulación.

Nos dirigimos a Run calculation, Terminada la simulación, debe aparecer una

ventana emergente en la pantalla diciendo Calculation complete, esto indica que el

valor residual de todas las ecuaciones que intervienen ha caído por debajo de 1e-

06.

Ya estamos listos para obtener los resultados en la ventana correspondiente

Results. Como se indicó en la sección de teoría de flujos compresibles, el número de

Mach es considerado el parámetro más relevante en este tipo de flujos. De manera

que compararemos el resultado con la solución teórica para poder analizar si

aparecen disparidades en los datos. Debemos intuir que esto será cierto, debido a

las hipótesis que se hicieron al resolver los problemas.

Gasto (kg/s)

Mach(0) Mach(L) 𝜌(0) kg/𝑚3

𝜌(𝐿) kg/𝑚3

v(0) m/s v(L) m/s

Soluciones teóricas

2,356 0,4 0,695 2,419 1,209 124,019 248,142

ANSYS Fluent

2,356 0,42 0,549 2,211 1,901 134,541 180,996

Si representamos el número de Mach:

0,35

0,4

0,45

0,5

0,55

0,6

0 2 4 6 8 10

Ma

ch

Longitud (m)

Mach

Número de Mach


73

Se puede apreciar la variación del número de Mach en función de la longitud de la

tubería. Con las condiciones de contorno iniciales, era de suponer que el número de

Mach aumentara, el flujo a la entrada comienza en Ma=0,4 y aumenta de manera

lineal hasta alcanzar un valor aproximado de 0,55. Por el contrario aunque esperado,

la densidad decrece a medida que avanzamos en la tubería, reduce su valor de 2,25

kg/m3 hasta 1,91 kg/m3.

Otro parámetro interesante es la tensión tangencial en la pared τw, que representa la

resistencia al movimiento:

1,85

1,9

1,95

2

2,05

2,1

2,15

2,2

2,25

2,3

0 2 4 6 8 10 12

De

nsid

ad

(k

g/

m3)

Longitud (m)

Densidad (kg/m3)

Densidad

50

55

60

65

70

75

80

85

90

0 2 4 6 8 10 12

Te

nsió

n t

an

ge

nc

ial

(P

a)

Longitud (m)

Tensión tangencial (Pa)

tensión tangencial (Pa)


74

En flujos a altos número de Reynolds, en nuestro caso del orden de 107, cada

término de presión y velocidad dentro de las ecuaciones relevantes fluctúa rápida y

aleatoriamente en función de la posición y el tiempo, un ejemplo claro de ello es el

esfuerzo tangencial. Por lo tanto, nuestra atención estará dirigida a los valores

promediados o medios de la velocidad, densidad, esfuerzo cortante, etc. Esto nos

permite calcular el coeficiente de fricción:

𝜆 =8𝜏𝑤

𝜌𝑣2 = 0,0084

El coeficiente de fricción está muy por debajo de λ=0,02, valor que consideramos

dato en el problema. Esta puede ser la principal razón por la que el número de Mach

resulta menor respecto a la teoría y el software AFT Arrow. Un coeficiente de fricción

mayor, aumenta el número de Mach. Debemos recalcar que en AFT Arrow dicho

valor fue fijado por el usuario. Sin embargo, en ANSYS Fluent este coeficiente se

obtiene a posteriori de la simulación numérica, una vez resuelta la capa límite

turbulenta (incluyendo efectos térmicos).

En definitiva, vemos como las propiedades se comportan tal y como esperábamos.

Quizás en este caso, la diferencia entre los datos obtenidos analíticamente y

mediante Fluent difiera relativamente más que aquellos obtenidos mediante AFT

Arrow. Aunque todavía necesitamos validar los datos obtenidos mediante


75

refinamiento de la malla. Debemos aumentar el número de elementos con una

magnitud cuatro veces superior a la actual para comprobar los resultados y

compararlos con los obtenidos. Si la disparidad en los datos no es muy elevada,

podremos suponer que son correctos. En este caso, se ha creado una malla muy

fina con 40000 elementos y 41041 nodos.

Una vez creada la malla, lanzado el modelo y terminada la solución, obtenemos las

siguientes cifras:

Gasto (kg/s)

Mach(0) Mach(L) 𝜌(0) kg/𝑚3

𝜌(𝐿) kg/𝑚3

v(0) m/s v(L) m/s

Soluciones teóricas 2,356 0,400 0,695 2,419 1,209 124,019 248,142

ANSYS Fluent (Malla basta)

2,356 0,420 0,549 2,210 1,901 134,541 180,996

ANSYS Fluent (Malla fina)

2,356 0,424 0,569 2,212 1,891 141,768 182,931

Error relativo (%)

0 4,761 -26,593 -9,457 36,368 7,820 -37,098

Esta diferencia la podemos observar gráficamente:

0

20

40

60

80

100

120

140

0 2 4 6 8 10 12

Te

nsió

n t

an

ge

nc

ial

(P

a)

Longitud (m)

Tensión Tangencial

Tensión Tangencial Tensión Tengencial malla fina


76

Antes de terminar el problema debemos analizar el parámetro de pared Y+, para

comprobar la validez de nuestra malla. Como podemos observar su valor es igual a

340, suficiente para validar la malla.

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 2 4 6 8 10 12

De

nsid

ad

(k

g/

m3)

Longitud (m)

Densidad

Densidad Densidad malla fina

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0 2 4 6 8 10 12

Ma

ch

Longitud (m)

Mach

Mach Mach malla fina


77

5.3 Simulación no simplificada problema tipo 2

En esta sección vamos a resolver el problema tipo número dos. Omitimos la fricción,

pero en cambio, añadiremos un flujo de calor constante y por unidad de área.

Recordemos el enunciado:





1004 𝐽 𝑘𝑔 · 𝐾⁄ y 𝛾 = 1,4.

No reescribiremos todo el proceso de simulación por ser prácticamente igual, con la

salvedad de añadir un flujo de calor por unidad de área en la sección de condiciones

iniciales, directamente se va a exponer los resultados pertenecientes al problema.

Cabe destacar una peculiaridad en la simulación que ocurre cuando asignas un valor

muy alto de flujo calor. Esto provoca un error en la simulación y la temperatura y el

número de Mach se disparan a valores sin sentido. Esto se puede solucionar si

realizamos un método continuo para resolver las ecuaciones diferenciales que

intervienen en la simulación. Para ello debemos comenzar con un valor muy

320

340

360

380

400

420

440

460

-1 1 3 5 7 9 11

Y+

Longitud (m)

Y+ (función de pared)

Y+


78

pequeño de calor aportado, una vez terminada la simulación debemos aumentar

dicho valor y volver a lanzar la simulación, sin llegar a inicializar. De este modo

alcanzamos el valor de calor deseado para resolver sin que la simulación produzca

datos erróneos. Finalmente, este es los resultados:

Volvemos a ver que el comportamiento del flujo cuando se añade calor se asemeja a

cuando suponemos fricción. El número de Mach aumenta de forma proporcional

conforme aumentamos el calor aportado, y la densidad disminuyes a igual razón.

1

1,05

1,1

1,15

1,2

1,25

1,3

1,35

1,4

-1 1 3 5 7 9 11

De

nsid

ad

(k

g/

m3

)

Longitud(m)

Densidad

5 kW/m2 10 kW/m2 30 kW/m2 37,7 kW/m2

0,35

0,37

0,39

0,41

0,43

0,45

0,47

0,49

-1 1 3 5 7 9 11

Ma

ch

Longitud (m)

Mach

5 kW/m2 10 kW/m2 30 kW/m2 37,7 kW/m2


79

Resultados numéricos:

Soluciones teóricas ANSYS Fluent Error relativo

(%)

Gasto (kg/s) 1,351 1,351 0 Mach(0) 0,380 0,373 -1,876 Mach(L) 0,467 0,479 2,505

ρ(0) kg/m3 1,471 1,373 -7,137 ρ(L) kg/m3 0,956 1,127 15,173

v(0) m/s 116,937 125,012 6,459 v(L) m/s 179,831 173,435 -3,687 T(L) K 369,092 331,586 -11,311

h(L) kJ/kg 370,568 319,261 -16,070

Sin duda los resultados son muy parecidos, todo ellos han respondido como se

esperaba.

Salvo una ligera diferencia entre las temperaturas finales, que provoca que la

entalpia a la salida difiera un poco. En general, se puede confiar en las diferentes

hipótesis que se realizando en la parte teórica ya que el resultado se ajusta muy bien

a los obtenidos mediantes un programa de simulación no simplificado.


80

6. CONCLUSIONES

En los capítulos anteriores se ha realizado una valoración de cómo influye el efecto

de la fricción y la adicción de calor por separado a un fluido compresible que circula

a través de un conducto de sección constante. Ambos efectos provocan que las

propiedades del fluido varíen de forma muy similar alcanzando en casos extremos

bloqueo sónico a la salida.

Con el problema tipo 1 y 2 se pudo observar como las variaciones del coeficiente de

fricción (función de Reynolds y la rugosidad) y el calor afectaban directamente al

número de Mach, aumentando su valor hasta un régimen sónico. Esto verifica la

parte teórica, donde se señaló que la aceleración o desaceleración del fluido a lo

largo del conducto está condicionada de igual manera por el efecto de la fricción

como la adición de calor pero de forma inversa para la variación de área.

Además, se comprobó en la teoría y más tarde en la práctica que se podía obtener

flujo sónico en cualquier sección de la tubería y ésta no tenía por qué coincidir con la

sección mínima, sino que debía coincidir con el extremo final del conducto. Para este

caso, decimos que el gasto másico a través de la tubería es máximo y no se podrá

obtener un valor mayor si no se modifica la geometría de la garganta.

Por tanto, podemos decir que tanto la fricción como la adicción de calor introducen

una caída de presión a lo largo del tubo. Para valores mayores de fricción y adicción

de calor, mayor debe ser el cociente de presiones necesarias para alcanzar el

bloqueo sónico o para proporcionar un determinado gasto másico.

Todo esto se comprobó en las soluciones numéricas y simulaciones que se

realizaron para los problemas tipo 1 y 2, que se muestran tabulados en la siguiente

tabla:


81

Problema tipo 1:

Gasto

(kg/s) Mach(0) Mach(L)

ρ(0)

kg/m3

ρ(L)

kg/m3 v(0) m/s v(L) m/s

Soluciones

teóricas 2,356 0,4 0,695 2,419 1,209 124,019 248,142

AFT Arrow 2,356 0,4002 0,658 2,236 1,394 134,2 214,2

ANSYS Fluent 2,356 0,420 0,549 2,210 1,901 134,541 180,996

Problema tipo 2:

Gasto

(kg/s) Mach(0) Mach(L)

ρ(0)

kg/m3

ρ(L)

kg/m3 v(0) m/s v(L) m/s

Soluciones

teóricas 1,351 0,380 0,467 1,471 0,956 116,937 179,831

AFT Arrow 1,351 0,372 0,457 1,374 0,990 125,2 173,7

ANSYS Fluent 1,351 0,373 0,479 1,373 1,127 125,012 173,435

Para finalizar, el análisis de este tipo de flujos con adicción de calor y fricción

presentan una oportunidad para optimizar procesos de ingeniería. El conocimiento

del comportamiento del fluido en las diferentes situaciones ayuda a ahorrar tiempo y

dinero en los ámbitos relacionados con los diferentes flujos a través de conductos.

De esta forma se podría decir que dependiendo del grado de exactitud requerido se

podría utilizar una herramienta u otra como las soluciones teóricas, AFT Arrow o

Ansys Fluent. El caso de tener una red compleja de tuberías como se puede

encontrar en las refinerías o industrias químicas la aplicación de la teoría podría

llegar a ser un proceso arduo y laborioso. Gracias a su intuitiva interfaz, AFT Arrow

puede crear redes complejas de tuberías, personalizar cada una de ellas y obtener

los resultados en un tiempo mínimo por su algoritmo simplificado. Aunque presenta

algunas limitaciones los resultados obtenidos llegan a ser muy cercanos a la

simulación realizada por ANSYS que necesita más tiempo y potencia computacional.


82

7. BIBLIOGRAFÍA

- ANSYS INC. “Ansys CFD-Post User’s Guide”. Canonsburg, PA 15317,

Noviembre 2009.

- ANSYS INC. “Introduction to Using ANSYS FLUENT”, 10 Septiembre 200.

- CRESPO MARTINEZ, ANTONIO. “Mecánica de Fluidos”. Madrid: Paraninfo,

3ª reimpresión de 2011.

- ÇENGEL, YUNUS A. & CIMBALA, JONH M. “Fluids Mechanics Fundamentals

and applications”. McGraw-Hill, 2006.

- FLUENT, The Right Answer in CFD. “Modeling Turbulent Flows”. Fluent Inc, 23 Mayo 2005. Disponible en: www.fluentsusers.com

- - WHITE, FRANK M. 5ª Ed. “Mecánica de Fluidos”. Madrid: McGraw-Hill, 2004.

- WIKIPEDIA, the free encyclopedia: Fanno Flow [en línea]. 15 de Julio de

2014, [Consulta: 25 Mayo 2015]. Disponible en:

http://en.wikipedia.org/wiki/Fanno_flow

- WIKIPEDIA, the free encyclopedia: Rayleigh Flow [en línea]. 5 Junio de 2014,

[Consulta: 25 Mayo 2015]. Disponible en:

http://en.wikipedia.org/wiki/Rayleigh_flow

http://www.fluentsusers.com/

http://en.wikipedia.org/wiki/Fanno_flow

http://en.wikipedia.org/wiki/Rayleigh_flow

simulaciÓn de flujo compresible en conducto y...

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