sistem kendali - uki paulus

SISTEM KENDALI (Teori dan contoh soal dilengkapi

dengan penyelesaian menggunakan MATLAB)

UU No 28 tahun 2014 tentang Hak Cipta Fungsi dan sifat hak cipta Pasal 4 Hak Cipta sebagaimana dimaksud dalam Pasal 3 huruf a merupakan hak eksklusif yang terdiri atas hak moral dan hak ekonomi. Pembatasan Pelindungan Pasal 26 Ketentuan sebagaimana dimaksud dalam Pasal 23, Pasal 24, dan Pasal 25 tidak berlaku terhadap: i. penggunaan kutipan singkat Ciptaan dan/atau produk Hak Terkait untuk pelaporan

peristiwa aktual yang ditujukan hanya untuk keperluan penyediaan informasi aktual; ii. Penggandaan Ciptaan dan/atau produk Hak Terkait hanya untuk kepentingan penelitian

ilmu pengetahuan; iii. Penggandaan Ciptaan dan/atau produk Hak Terkait hanya untuk keperluan pengajaran,

kecuali pertunjukan dan Fonogram yang telah dilakukan Pengumuman sebagai bahan ajar; dan

iv. penggunaan untuk kepentingan pendidikan dan pengembangan ilmu pengetahuan yang memungkinkan suatu Ciptaan dan/atau produk Hak Terkait dapat digunakan tanpa izin Pelaku Pertunjukan, Produser Fonogram, atau Lembaga Penyiaran.

Sanksi Pelanggaran Pasal 113 1. Setiap Orang yang dengan tanpa hak melakukan pelanggaran hak ekonomi sebagaimana

dimaksud dalam Pasal 9 ayat (1) huruf i untuk Penggunaan Secara Komersial dipidana dengan pidana penjara paling lama 1 (satu) tahun dan/atau pidana denda paling banyak Rp100.000.000 (seratus juta rupiah).

2. Setiap Orang yang dengan tanpa hak dan/atau tanpa izin Pencipta atau pemegang Hak Cipta melakukan pelanggaran hak ekonomi Pencipta sebagaimana dimaksud dalam Pasal 9 ayat (1) huruf c, huruf d, huruf f, dan/atau huruf h untuk Penggunaan Secara Komersial dipidana dengan pidana penjara paling lama 3 (tiga) tahun dan/atau pidana denda paling banyak Rp500.000.000,00 (lima ratus juta rupiah).

SISTEM KENDALI (Teori dan contoh soal dilengkapi

dengan penyelesaian menggunakan MATLAB)

Nicolaus Allu Apriana Toding

SISTEM KENDALI (TEORI DAN CONTOH SOAL DILENGKAPI DENGAN PENYELESAIAN MENGGUNAKAN MATLAB)

Nicolaus Allu & Apriana Toding

Desain Cover : Dwi Novidiantoko Tata Letak Isi : Haris Ari Susanto

Sumber Gambar : http://id.wikipedia.org

Cetakan Pertama: Mei 2018

Hak Cipta 2018, Pada Penulis

Isi diluar tanggung jawab percetakan

Copyright © 2018 by Deepublish Publisher All Right Reserved

Hak cipta dilindungi undang-undang

Dilarang keras menerjemahkan, memfotokopi, atau memperbanyak sebagian atau seluruh isi buku ini

tanpa izin tertulis dari Penerbit.

PENERBIT DEEPUBLISH (Grup Penerbitan CV BUDI UTAMA)

Anggota IKAPI (076/DIY/2012)

Jl.Rajawali, G. Elang 6, No 3, Drono, Sardonoharjo, Ngaglik, Sleman Jl.Kaliurang Km.9,3 – Yogyakarta 55581

Telp/Faks: (0274) 4533427 Website: www.deepublish.co.id www.penerbitdeepublish.com E-mail: [email protected]

Katalog Dalam Terbitan (KDT)

ALLU Nicolaus

Sistem Kendali (Teori dan Contoh Soal Dilengkapi dengan Penyelesaian Menggunakan Matlab)/oleh Nicolaus Allu & Apriana Toding.--Ed.1, Cet. 1--Yogyakarta: Deepublish, Mei 2018.

x, 189 hlm.; Uk:15.5x23 cm ISBN 978- 602-475-270-5

1. Pendidikan I. Judul

370

v

Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas berkat dan kasih

karunia-Nya sehingga penulis diberi kemampuan telah selesai menyusun

buku ini yang berjudul Sistem Kendali: teori dan contoh soal dilengkapi

dengan penyelesaian menggunakan MATLAB.

Buku ini ditunjukan sebagai bahan pegangan, terutama bagi

mahasiswa jurusan Teknik Elektro dan buku ini membahas secara

sistematis dan praktis mengenai teori dan contoh soal dilengkapi dengan

penyelesaian menggunakan MATLAB agar mudah dipahami oleh

pembaca. Pada setiap bab diberi contoh soal dan penyelesaiannya dengan

menggunakan formula yang ada serta panduan penggunaan dalam

MATLAB.

Terima kasih penulis ucapkan kepada rekan-rekan yang telah

memberi dukungan dalam penyelesaian buku ini.

Semoga buku ini dapat bermanfaat bagi pembaca. Akhirnya, agar

isi buku ini lebih sempurna di edisi-edisi mendatang, penulis sangat

mengharapkan segala saran dan masukan dari para pembaca.

Makassar, Februari 2018

Penulis

vii

KATA PENGANTAR .............................................................................. v

DAFTAR ISI .......................................................................................... vii

BAB 1 PENGANTAR SISTEM KONTROL....................................... 1

1.1. Definisi-definisi .................................................................... 1

1.2. Prinsip Sistem Kontrol .......................................................... 2

1.3. Klasifikasi Sistem Kontrol .................................................... 5

1.4. Karakteristik Sistem Kontrol Otomatik .................................. 7

1.5. Aplikasi Sistem Kontrol ........................................................ 8

1.6. Alat Bantu untuk Mempelajari Sistem Kontrol ...................... 8

BAB 2 KONFIGURASI SISTEM KONTROL ................................. 10

2.1. Elemen Sistem .................................................................... 10

2.2. Diagram Blok ..................................................................... 13

2.3. Reduksi Blok Diagram ........................................................ 15

Latihan Soal: .............................................................................. 19

BAB 3 LATAR BELAKANG MATEMATIS ..................................... 20

3.1. Persamaan Linear Differensial............................................. 20

3.1.1. Persamaan Linear Differensial Orde Tingkat 1

(Satu)...................................................................... 20

3.1.2. Persamaan Homogen Tingkat 2 (Dua) ..................... 23

3.1.3. Persamaan Tak Homogen ....................................... 26

3.2. Transformasi Laplace .......................................................... 31

3.2.1. Transformasi Laplace Balik .................................... 35

3.2.2. Solusi Persamaan Linear Diferensial dengan

Metoda Transformasi Laplace ................................. 44

Latihan Soal: .............................................................................. 47

viii

BAB 4 PEMODELAN MATEMATIS SISTEM FISIK ...................... 49

4.1. Pendahuluan ........................................................................ 49

4.2. Model Matematis ................................................................ 49

4.2.1. Model Matematis Untuk Sistem Listrik ................... 49

4.2.2. Model Matematis Untuk Sistem Mekanis ................ 50

4.3. Fungsi Alih ......................................................................... 51

4.4. Diagram Blok ...................................................................... 54

Latihan Soal: .............................................................................. 62

BAB 5 ANALISIS TANGGAPAN PERALIHAN ............................... 64

5.1. Pendahuluan ........................................................................ 64

5.2. Sistem Orde Satu ................................................................. 65

5.3. Sistem Orde Dua ................................................................. 73

5.4. Sistem Orde Tinggi ............................................................. 85

Latihan Soal: .............................................................................. 90

BAB 6 ANALISIS KESTABILAN SISTEM ....................................... 93

6.1. Pendahuluan ........................................................................ 93

6.2. Persamaan Karakteristik ...................................................... 98

6.3. Kriteria Routh ................................................................... 102

6.4. Kriteria Hurwitz ................................................................ 109

6.5. Kriteria Continued Fraction ............................................... 112

Latihan Soal: ............................................................................ 116

BAB 7 ANALISIS KESALAHAN ...................................................... 117

7.1. Pendahuluan ...................................................................... 117

7.2. Koefisien Kesalahan Statik ................................................ 118

7.3. Analisa Kepekaan Sistem .................................................. 126

Latihan Soal: ............................................................................ 129

BAB 8 AKSI DASAR PENGENDALIAN ......................................... 132

8.1. Pendahuluan ...................................................................... 132

8.2. Pengendali Tipe Proporsional (P)....................................... 133

8.3. Pengendali Tipe Integral (I) ............................................... 138

ix

8.4. Pengendali Tipe Proporsional (P) dan Integral (I) .............. 143

8.5. Pengendali Tipe Proposional (P) dan Derivatif (D) ............ 147

8.6. Pengendali Tipe Proporsional (P), Integral (I) dan

Derivatif (D) ..................................................................... 152

Latihan Soal: ............................................................................ 165

BAB 9 METODA TEMPAT KEDUDUKAN AKAR ........................ 167

9.1. Pendahuluan ..................................................................... 167

9.2. Prinsip-prinsip Tempat Kedudukan Akar ........................... 167

9.3. Teknik Ringkas Pembuatan TKA ...................................... 169

Latihan Soal: ............................................................................ 187

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................... 188

TENTANG PENULIS .......................................................................... 189

Sistem Kendali oleh Nicolaus Allu – Apriana Toding |1

1.1. Definisi-definisi

Dalam proses industri, sering dibutuhkan besaran-besaran yang

memerlukan kondisi atau persyaratan yang khusus, seperti ketelitian yang

tinggi, harga yang konstan untuk selang waktu yang tertentu, nilai yang

bervariasi dalam suatu rangkuman tertentu, perbandingan yang tetap

antara 2 (dua) variabel, atau suatu besaran sebagai fungsi dari besaran

lainnya. Jelas, kesemuanya itu tidak cukup dilakukan hanya dengan

pengukuran saja, tetapi juga memerlukan suatu cara pengontrolan agar

syarat-syarat tersebut dapat dipenuhi. Karena alasan inilah diperkenalkan

suatu konsep pengontrolan yang disebut Sistem Kontrol.

Ada beberapa definisi yang harus di mengerti untuk lebih memahami

Sistem kontrol secara keseluruhan, yaitu: Sistem, Proses, kendali dan

sistem kontrol. Definisi dari beberapa istilah tersebut adalah sebagai

berikut:

SISTEM : Sistem adalah kombinasi dari beberapa komponen yang

bekerja bersama-sama melakukan sesuatu untuk sasaran

tertentu.

PROSES : Proses adalah perubahan yang berurutan dan berlangsung

secara kontinu dan tetap menuju keadaan akhir tertentu.

KONTROL : Kontrol adalah suatu kerja untuk mengawasi,

mengendalikan, mengatur dan menguasai sesuatu.

1 BAB 1

PENGANTAR SISTEM KONTROL

2| Sistem Kendali oleh Nicolaus Allu – Apriana Toding

SISTEM KONTROL

(Control System) : Sistem Kendali adalah proses pengaturan atau

pengendalian terhadap satu atau beberapa besaran

(variabel atau parameter) sehingga berada pada

suatu harga atau range tertentu. Contoh variabel

atau parameter fisik, adalah: tekanan (pressure),

aliran (flow), suhu (temperature), ketinggian (level),

pH, kepadatan (viscosity), kecepatan (velocity), dan

lain-lain.

Hubungan sebuah sistem dan proses dapat diilustrasikan seperti

terlihat pada Gambar 1.1 di bawah ini.

Gambar 1.1. Blok Diagram Sistem

1.2. Prinsip Sistem Kontrol

Sebuah contoh Sistem kontrol/kendali akan diceritakan di bawah ini.

Seorang operator sedang menjaga ketinggian (level) suatu tangki yang

akan digunakan untuk sebuah proses kimia. Jika, ketinggian tangki kurang

dari yang semestinya, operator akan lebih membuka keran masukan

(valve), dan sebaliknya, jika ketinggian melebihi dari yang semestinya,

operator akan mengurangi bukaan keran (valve), dan seterusnya. Gambar

1.2 mengilustrasikan cerita sistem kendali/ kontrol tersebut.

PROSES

INPUT OUTPUT


Gambar 1.2 Contoh Sistem Kendali

Dari kejadian ini, dapat dinyatakan bahwa sebenarnya yang terjadi

adalah pengukuran terhadap tinggi cairan di dalam tangki, kemudian

membandingkannya terhadap harga tertentu dari tinggi cairan yang

dikehendaki, lalu melakukan koreksi yakni dengan mengatur bukaan

keran masukan cairan ke dalam tangki.

Dapat disimpulkan bahwa sebuah sistem kontrol/kendali, melakukan

urutan kerja sebagai berikut:

1. Pengukuran (Measuring)

2. Perbandingan (Comparison)

3. Perbaikan (Correction)

Sistem tersebut dapat berjalan baik, jika dianggap sistem bekerja

secara ideal dan sederhana. Namun, masalah akan timbul jika diteliti lebih

lanjut, seperti:

a. Keadaan proses yang lebih kompleks dan sulit

b. Pengukuran yang lebih akurat dan presisi

c. Jarak proses yang tidak mudah dijangkau

maka diperlukan modifikasi terhadap sistem tersebut. Dalam hal

seperti inilah diperlukan sebuah Sistem Kendali Otomatik, sebagaimana

diilustrasikan pada Gambar 1.3 di bawah ini.

POMPA AIR

OPERATOR

TANGKI PABRIK


Gambar 1.3 Sistem Kontrol Otomatik

Terdapat beberapa manfaat pada penggunaan Sistem Kontrol

Otomatik pada sebuah proses, yaitu:

• Kelancaran Proses

• Keamanan

• Ekonomis

• Kualitas

Gambar 1.4 Sebuah Master Control Room untuk mengontrol Sistem Proses Jarak Jauh

Solenoid

TANGKI POMPA AIR

CONTROLLER

Level Transducer

Set Point

PABRIK


1.3. Klasifikasi Sistem Kontrol

Secara umum, sistem kontrol dapat diklasifikasikan sebagai berikut:

a. Sistem Kontrol Manual dan Otomatik

b. Sistem Lingkar Terbuka (Open Loop) dan Lingkar Tertutup (Closed

Loop)

c. Sistem Kontrol Kontinu dan Diskrit

d. Menurut sumber penggerak: Elektrik, Mekanik, Pneumatik, dan

Hidraulik

Penjelasan singkat dari jenis-jenis sistem kontrol diatas akan dibahas

berikut ini.

Sistem Kontrol Manual adalah pengontrolan yang dilakukan oleh

manusia yang bertindak sebagai operator, seperti tampak pada Gambar

1.2. Sedangkan Sistem Kontrol Otomatik adalah pengontrolan yang

dilakukan oleh peralatan yang bekerja secara otomatis dan operasinya

dibawah pengawasan manusia, sebagaimana terlihat pada Gambar 1.3.

Sistem Kontrol Manual banyak ditemukan dalam kehidupan sehari-

hari seperti pada pengaturan suara radio, televissi, cahaya layer televise,

pengaturan aliran air melalui keran, pengendalian kecepatan kendaraan,

dan lain-lain. Sedangkan Sistem Kontrol Otomatik banyak ditemui dalam

proses industri (baik industri proses kimia dan proses otomotif),

pengendalian pesawat, pembangkit tenaga listrik dan lain-lain.

Sistem Kontrol Lingkar Terbuka (Open Loop) adalah sistem

pengontrolan di mana besaran keluaran tidak memberikan efek terhadap

besaran masukan, sehingga variable yang dikontrol tidak dapat

dibandingkan terhadap harga yang diinginkan. Sedangkan Sistem Kontrol

Lingkar Tertutup (Closed Loop) adalah sistem pengontrolan dimana

besaran keluaran memberikan efek terhadap besaran masukan, sehingga

besaran yang dikontrol dapat dibandingkan terhadap harga yang

diinginkan. Selanjutnya, perbedaan harga yang terjadi antara besaran

yang dikontrol dengan harga yang diinginkan digunakan sebagai koreksi

yang merupakan sasaran pengontrolan.


Open Loop Control System memiliki karakteristik sebagai berikut:

a. Tidak terdapat proses pengukuran

b. Variabel yang dikontrol tidak mempengaruhi aksi pengontrolan

c. Banyak didasari oleh waktu atau urutan proses

d. Kurang akurat, lebih stabil, murah

Sedangkan Closed Loop Control System mempunyai karakteristik

sebagai berikut:

a. Terdapat proses pengukuran

b. Variabel yang dikontrol mempengaruhi aksi pengontrolan (feed back)

c. Lebih akurat, dapat terjadi ketidakstabilan

d. Mahal

Gambar 1.5 di bawah ini, mengilustrasikan blok diagram Open Loop

Control System dan Closed Loop Control System. Selanjutnya, sebagian

besar pembahasan Sistem Kontrol adalah berdasarkan kepada Closed

Loop Control System atau lebih dikenal dengan Sistem Kontrol Umpan

Balik (Feedback Control System).

(a) Sistem Kontrol Lingkar Terbuka

(b) Sistem Kontrol Lingkar Tertutup

Gambar 1.5 Sistem Kontrol Lingkar Terbuka dan Tertutup

PROSES

INPUT OUTPUT

PROSES INPUT OUTPUT


Sementara itu, Sistem Kontrol Kontiniu adalah sistem yang

memanfaatkan pengendali (controller) berbasis nilai kontinu, seperti:

Proportional (P), Integrator (I), dan Differensiator (D), atau kombinasi dari

ketiganya (PI, PD, atau PID). Sedangkan Sistem Kontrol Diskrit adalah

sistem yang menggunakan pengontrol (controller) dengan nilai diskrit,

seperti pengendali ON-OFF atau pengendali posisi ganda (switch selector).

Gambar 1.6 PID Controller

1.4. Karakteristik Sistem Kontrol Otomatik

Beberapa karakteristik penting dari Sistem Kontrol Otomatik adalah

sebagai berikut:

a. Sistem Kontrol Otomatik merupakan sistem dinamik yang dapat

berbentuk linear maupun non-linear

b. Bersifat menerima informasi, memprosesnya, mengolahnya dan

kemudian mengembangkannya

c. Komponen atau unit yang membentuk sistem kontrol ini akan saling

mempengaruhi

d. Bersifat mengembalikan sinyal ke bagian masukan (feedback) dan ini

digunakan untuk memperbaiki sifat sistem

e. Karena adanya pengembalian sinyal ini, maka pada sistem kontrol

otomatik selalu terjadi masalah stabilitas


1.5. Aplikasi Sistem Kontrol

Pemakaian Sistem Kontrol Otomatik banyak ditemui dalam kehidupan

sehari-hari, baik dalam pemakaian langsung maupun tidak langsung.

Pemakaian dari Sistem Kontrol dapat dikelompokkan sebagai berikut:

1. Sistem Kontrol Proses: seperti temperatus, aliran, tinggi permukaan

cairan, viskositas, dan lain-lain. Misalnya pada industri kimia,

makanan, tekstil, pengilangan, dan lain-lain.

2. Sistem Kontrol Energi: seperti pada pengendalian pembangkit tenaga

listrik dan pendistribusian tenaga.

3. Sistem Kontrol Numerik: seperti pengontrolan operasi yang

membutuhkan ketelitian tinggi dalam proses yang berulang-ulang.

Misalnya pada proses pengeboran, pembuatan lubang, pengelasan

dan kerja-kerja otomotif.

4. Sistem Kontrol Transportasi: seperti elevator, escalator, pesawat

terbang, kereta api, conveyor, dan lain-lain.

5. Sistem Kontrol Servomekanis: sistem yang berhubungan dengan

posisi, kecepatan dan pergerakan.

6. Bidang non teknis: seperti sistem ekonomi, sistem sosial dan sistem

biologi.

1.6. Alat Bantu untuk Mempelajari Sistem Kontrol

Saat ini telah banyak berkembang perangkat-perangkat lunak yang

digunakan untuk lebih mempermudah proses pembelajaran Sistem

Kontrol. Perangkat-perangkat tersebut ada yang sudah menjadi perangkat

lunak aplikasi, sehingga pengguna hanya perlu memasukkan simbol-

simbol tertentu untuk dirangkai menjadi sebuah sistem kontrol, seperti

SIMULINK dan lain-lain.


Gambar 1. 7 Contoh Perangkat Lunak menggunakan Simbol-simbol pada sebuah Sistem Proses

Disamping itu terdapat pula perangkat lunak yang masih dalam

bentuk bahasa, sehingga pengguna diharuskan menuliskan teks-teks yang

nantinya dijalankan untuk menganalisa karakter dan performansi sistem

kontrol tersebut. Perangkat lunak dalam bentuk bahasa yang banyak

dipakai adalah MATLAB (MATriks LABoratory). Perkuliahan ini akan

menggunakan MATLAB sebagai alat bantu proses pembelajarannya.

MATRIX LABORATORY

Gambar 1.8 Simbol Perangkat Lunak MATLAB


2.1. Elemen Sistem

Setiap sistem kontrol terdiri dari beberapa unit yang membentuknya,

yang disebut dengan elemen sistem kontrol. Secara fungsional, elemen-

elemen tersebut dapat dinyatakan oleh blok-blok diagram dan sinyal-

sinyal yang mengiringinya. Secara umum blok diagram dan sinyal sistem

tersebut digambarkan oleh Gambar 2.1.

Gambar 2.1 Blok Diagram Umum Sistem Kontrol

Secara umum, elemen sistem kontrol rangkaian tertutup terdiri dari:

a. Masukan (reference input elemen, Gv)

Elemen ini berfungsi untuk mengubah besaran yang dikontrol

menjadi sinyal masukan acuan (r) bagi sistem kontrol.

2 BAB 2

KONFIGURASI SISTEM KONTROL

PLANT m c

CONTROLLER e INPUT

REFERENCE

r v

TRANSDUCER

b

c

+ -


b. Pengontrol (controller, G1).

Berfungsi untuk memproses kesalahan (error, r) yang terjadi dan

setelah kesalahan tersebut dilewatkan melalui elemen pengontrol,

akan dihasilkan sinyal yang berfungsi sebagai pengontrol proses.

c. Sistem Proses (proses, atau plant, G2)

Elemen ini dapat berupa proses mekanis, elektris, hidraulis, fisik,

atau kombinasinya.

d. Jalur Umpan Balik (feedback element, H1)

Bagian ini bagian sistem yang mengukur keluaran yang dikontrol dan

kemudian mengubahnya menjadi sinyal umpan balik (feedback

signal).

Setiap blok memiliki sinyal yang masuk ke dalamnya dan sinyal lain

yang keluar darinya. Pada umumnya, sinyal-sinyal di dalam blok diagram

sistem kontrol adalah sebagai berikut:

a. Set Point (command input, v)

Set Point adalah harga yang diinginkan bagi variabel yang dikontrol

selama proses pengontrolan berlangsung. Harga ini tidak tergantung

dari keluaran sistem

b. Masukan Acuan (reference input, r)

Yaitu sinyal aktual yang masuk ke dalam sistem kontrol. Sinyal ini

diperoleh dengan menyetel harga v sehingga dapat dipakai dalam

sistem kontrol.

c. Keluaran yang dikontrol (controlled variable, c)

Sinyal ini merupakan harga atau nilai yang akan dipertahankan bagi

variabel yang dikontrol, dan merupakan harga yang ditunjukkan oleh

pencatat

d. Variabel yang dimanipulasi (manipulated variable, m)

Sinyal ini adalah sinyal yang keluar dari elemen pengontrol

(controller) dan berfungsi sebagai sinyal pengontrol


e. Sinyal umpan balik (feedback signal, b)

Yaitu sinyal yang merupakan fungsi dari keluaran yang dicatat oleh

alat pencatat

f. Kesalahan (error signal, e)

Yaitu selisih antara sinyal acuan, r, dan sinyal umpan balik, b. Sinyal

ini adalah sinyal yang dimasukkan ke elemen pengontrol dan

harganya diinginkan sekecil mungkin. Sinyal e ini menggerakkan unit

pengontrol untuk menghasilkan dan mendapatkan keluaran pada

suatu harga yang diinginkan.

Dalam kehidupan sehari-hari, berbagai jenis sistem kontrol pada

dasarnya dapat dipandang dalam bentuk diagram dengan sinyal-sinyal

seperti pada Gambar 2.1 diatas. Sebagai contoh, sebuah sistem kontrol

seperti tampak pada Gambar 2.2 (lihat lagi BAB 1). Maka, blok

diagramnya dapat digambarkan seperti pada Gambar 2.3.

Gambar 2.2 Sistem Kontrol Ketinggian Tangki

TANGKI POMPA AIR

CONTROLLER

Level Transducer

Solenoid

Set Point

PABRIK


Gambar 2.3 Blok Diagram Sistem Kontrol Ketinggian Tangki

2.2. Diagram Blok

Secara fungsional, elemen-elemen yang membangun sebuah sistem

kontrol dapat direpresentasikan dalam bentuk blok diagram, seperti

tampak pada Gambar 2.4 di bawah ini.

Gambar 2.4 Simbol Sebuah Blok Diagram

Dalam simbol ini, A menyatakan suatu sistem atau proses (mekanik,

fisik, termis, dan lain-lain), sedangkan tanda panah menunjukkan arah

proses yang dinyatakan oleh variabel x dan y, yang merupakan input dan

output blok tersebut. Secara simbolis, sistem dinyatakan oleh huruf

kapital. Hubungan antara keluaran dan masukan dinyatakan oleh:

y = Ax (2.1)

Dari hubungan ini dapat dilihat bahwa sebuah blok sebetulnya

merupakan faktor pengali terhadap masukannya, atau dengan kata lain

dapat disebutkan bahwa blok A adalah sebuah sistem yang berfungsi

untuk mengubah harga masukan.

-

v SET POINT

r

+

c

c PELAMPUNG

m KETINGGIAN TANGKI

SOLENOID e

b

A

INPUT OUTPUT

x y


Disamping sebuah blok, terdapat elemen lain yang diperlukan untuk

menyatakan hubungan antar blok, yaitu: summing junction dan pickoff

point.

Summing junction merepresentasikan operasi penjumlahan atau

pengurangan antara beberapa sinyal. Elemen ini disimbolkan dalam

bentuk sebuah lingkaran dan tanda-tanda operasi pada setiap anak panah

yang masuk ke dalamnya. Operasi aljabar untuk proses summing junction

diperlihatkan pada Gambar 2.5.

Gambar 2.5 Summing Junction

Sedangkan pickoff point atau titik cabang adalah elemen yang

menggambarkan bahwa sinyal tersebut digunakan kembali oleh bagian

lain di dalam sistem, tanpa terjadi perubahan harga. Contoh sebuah

pickoff point diperlihatkan pada Gambar 2.6.

Gambar 2.6 Pickoff Point

p

q

r

y +

+ -

y = p + q - r

c

c


2.3. Reduksi Blok Diagram

Dalam sebuah sistem kontrol, sebagaimana yang digambarkan pada

Gambar 2.1, terdiri dari beberapa blok. Oleh karena itu, untuk

mempermudah pengamatan, diperlukan beberapa langkah tertentu

untuk mereduksi banyaknya blok dalam sebuah sistem sesederhana

mungkin. Terdapat beberapa prinsip penyederhanaan blok, yaitu:

hubungan cascade, hubungan paralel, dan hubungan feedback.

Gambar 2.7 memperlihatkan hubungan cascade dari 2 (dua) buah

blok, G1 dan G2 dengan sinyalnya masing-masing. Jika

G1 = y/x, dan

G2 = z/y,

maka

y = G1x, dan

z = G2y

sehingga

z = G1G2x (2.2)

Gambar 2.7 Blok Diagram dengan hubungan cascade

Dengan kata lain, reduksi dari blok yang dihubungkan dengan

cascade adalah hasil perkalian dari blok-blok tersebut.

Sementara itu, Gambar 2.8 memperlihatkan sebuah contoh blok

diagram yang dihubungkan secara parallel. Jika,

G1 = y/x, dan

G2 = z/x,

G1 G2 x z y G1G2

x z =


maka

y = G1x, dan

z = G2x

maka

c = y + z

c = G1x + G2x

sehingga

c = (G1 + G2)x (2.3)

Dengan kata lain, reduksi dari blok yang dihubungkan dengan paralel

adalah hasil penjumlahan dari blok-blok tersebut.

Gambar 2.8 Blok Diagram dengan hubungan parallel.

Hubungan blok diagram yang lain hubungan feedback, seperti

tampak pada Gambar 2.9. Hubungan ini adalah suatu hubungan yang

paling umum digunakan dan dipelajari dalam sistem kontrol. Pada

hubungan ini, blok-blok diagram disimbolkan dengan G dan H, dimana:

G = c/e,

H = b/c, dan

e = r – b

maka

c = Ge

G1 x y

G1 + G2 x c =

G1 x z

c +

+


b = Hc

e = r – Hc

sehingga

c = G (r – Hc)

c = Gr –GHc

Gr = c + (GHc)

Gr = c (1+GH)

dan

c/r = G/(1+GH) (2.4)

Gambar 2.9 Blok Diagram dengan hubungan feedback

Sebuah sistem kontrol yang sebenarnya, merupakan kombinasi dari

hubungan-hubungan yang telah disebutkan diatas. Kombinasi ketiga

hubungan tersebut akan membentuk sebuah sistem yang kompleks

dalam. Memahami hubungan-hubungan ini merupakan sebuah

prasayarat untuk dapat menganalisa dan mengamati sistem yang

kompleks. Karena, dengan mereduksi blok-blok yang ada, analisa dan

pengamatan dapat dilakukan dengan mudah.

Sebagai sebuah contoh, sebuah sistem kontrol digambarkan di

bawah ini. Maka, prinsip-prinsip hubungan diatas akan diaplikasikan

untuk menghasilkan sebuah blok tunggal.

G

H

+ _

c

b

e r

= r

c


Gambar 2.10 Proses reduksi blok. (a) Blok Diagram awal, (b) Blok Diagram setelah reduksi blok-blok cascade pada bagian atas dan blok-blok parallel pada bagian bawah, (c) Blok Diagram setelah reduksi feedback, dan (d) Blok diagram akhir dan tunggal

G1 G2 G3

H1

H2

H3

r c + + +

- + -

(a)

G1 G2G

H1-H2+H3

r c +

-

G1

r c

(c)

(b)

(d)

𝑟

𝐶


Latihan Soal:

1. Reduksi diagram blok dibawah kedalam untai terbuka dan tentukan

fungsi alih dari sistem:

G1(s) G(s) G4(s

)

G2(s)

H1(s)

G3(s)

-

+

-

+C(s)R(s)

H2(s)

+



3S

1

0,2

R(S)K+ +

+_

C(S)

S 3S

1



1

1

S

2S

+-

R(S) C(S)


3.1. Persamaan Linear Differensial

Suatu persamaan yang mengandung satu atau beberapa turunan dari

suatu fungsi yang tidak diketahui disebut persamaan differensial.

Khususnya, suatu persamaan berbentuk

) ) ) (3.1)

Dimana ) menyatakan turunan y terhadap t yang ke –n.

Persamaan (3.1) disebut persamaan differensial biasa tingkat n. Contoh-

contoh persamaan differensial tingkat 1, 2, dan 3 adalah

(3.2)

+

- 2y = 0 (3.3)

+ (

)

- = 0 (3.4)

Pada bagian ini akan ditinjau persamaan linear differensial yaitu

persamaan yang berbentuk

) ) ) ) ) ) (3.5)

3.1.1. Persamaan Linear Differensial Orde Tingkat 1 (Satu)

Bentuk umum persamaan linear differensial orde satu adalah

3 BAB 3

LATAR BELAKANG MATEMATIS


) ) (3.6)

Pertama-tama mengalikan kedua ruas persamaan dengan faktor integral

∫ )

∫ ) ) ∫ ) )

Kemudian dikenali ruas kiri sebagai turunan dari ∫ ) sehingga

persamaan berbentuk

( ∫ ) ) ∫ ) )

Sehingga

∫ ) ∫ ) ∫ ) (3.7)

Contoh 3.1 : Sebuah rangkaian RC

Gambar 3.1 Rangkaian RC

Dengan

R = 1 MΩ

C = 0,2 μF

E = 100 Volt

V(0) = 5 Volt

Jawab :

Persamaan linear differensial untuk rangkaian RC

∫

= E


+ V = E

Dengan memasukkan nilai-nilai yang diketahui diperoleh

0,2

+ V = 100

+ 5V = 500

Diperoleh

a = 5 dan f(t) = 500

Solusi persamaannya adalah

V(t) = ∫

Dengan asumsi

∫

( |

)

Sehingga diperoleh hasil sebagai berikut

) [ ] 5

)

Listing program Matlab

clc

clear all

close all

% Contoh Soal 2.1

V = dsolve(‘Dv = -5*v + 500’,’v(0)=5’)

Hasil Program

V = 100-95*exp(-5*t)


3.1.2. Persamaan Homogen Tingkat 2 (Dua)

Bentuk umum persamaan linear differensial orde dua adalah

+

+ y = k (3.8)

Dengan asumsi

o a1 dan a2 adalah konstanta

o k secara identik bernilai nol (kasus homogen)

Persamaan (3.9) dalam bentuk operator D sebagai berikut

) (3.9)

Persamaan bantu dari persamaan (3.10) adalah

(3.10)

Terdapat tiga kasus yang ditinjau, berpadanan terhadap apakah

persamaan bantu mempuyai dua akar riil berlainan, akar tunggal

berulang atau akar-akar kompleks saling konjugat.

Kasus 1 : Jika r1 dan r2 berlainan maka penyelesaian umum y” + a1y’ + a2 y = 0

adalah

)

(3.11)

Contoh 3.2 : Tentukan penyelesaian umum dari y” + 7y’ + 12y = 0

Jawab :

Persamaan bantu: r2 + 7r + 12 = ( r + 3)( r + 4 ) = 0

Akar-akar persamaan bantu: r1 = -3 dan r2 = -4

Penyelesaian umum persamaan differensial

)


clc

clear all


close all

% Contoh Soal 2.2

y = dsolve(‘D2y = -7*Dy – 12*y’)

Hasil program

y = C1*exp(-4*t) * C2*exp(-3*t)

Kasus 2 : Jika persamaan bantu mempunyai akar tunggal berulang r maka

penyelesaian umum y” + a1y’ + a2 y = 0 adalah

)

(3.12)

dimana r1 = r2 = r

Contoh 3.3 : Tentukan penyelesaian umum dari y” - 6y’ + 9y = 0

Jawab :

Persamaan bantu: r2 - 6r + 9 = ( r - 3)( r -3 ) = 0

Akar-akar persamaan bantu: r1 = 3 dan r2 = 3 , r1 = r2 = r = 3


)


clc

clear all

close all

% Contoh Soal 2.3

y = dsolve(‘D2y = 6*Dy - 9*y’)

Hasil program

y =

C1*exp(3*t) * C2*exp(3*t)*t


Kasus 3 : Jika persamaan bantu mempunyai akar kompleks saling

konjugat α ± βi maka penyelesaian umum terhadap y” + a1y’ + a2 y = 0

adalah

)

(3.13)

Contoh 2.4: Tentukan penyelesaian umum dari y” - 4y’ + 13y = 0

Jawab :

Persamaan bantu: r2 - 4r +13 = ( r – 2 – 3i)( r – 2 + 3i ) = 0

Akar-akar persamaan bantu: r1 = 2 + 3i dan r2 = 2 – 3i


)


clc

clear all

close all

% Contoh Soal 2.4

y = dsolve(‘D2y = 4*Dy - 13*y’)

Hasil program

y = C1*exp(2*t)sin(3*t) * C2*exp(2*t)cos(3*t)

Persamaan Lebih Tinggi

Adapun bentuk umum persamaan linear differensial

) ) (3.14)

Persamaan bantu

r(n) + a1r(n-1) + ... + an-1r + an = 0 (3.15)

Misalnya, jika pesamaan bantu adalah

(r – r1)(r – r2)3[r – (α+βi)][r – (α-βi)] = 0 (3.16)


Penyelesaian umum persamaan differensial adalah

)

) [ ] (3 .17)

Contoh 3.5: Tentukan penyelesaian umum dari y’’’’ - y’’’ - 20y’’ = 0

Jawab :

Persamaan bantu: r4 – r3 – 20r2 = r2(r – 5)(r + 4) = 0

Akar-akar persamaan bantu: r1 = 0 , r2 = 0 , r3 = 5 dan r4 = -4


)


clc

clear all

close all

% Contoh Soal 2.5

y = dsolve(‘D4y = D3y + 20*D2y’)

Hasil program

y = C1 + C2*t + C3*exp(-4*t)+ C4*exp(5*t)

3.1.3. Persamaan Tak Homogen

Bentuk umum persamaan linear tak homogen umum dengan koefisien

konstan adalah

y” + a1y’ + a2 y = k(t) (3.18)

Penyelesaian persamaan (3.18) ini dapat direduksi atas tiga langkah

1. Tentukan penyelesaian umum

yh(t) = C1u1(t) + C2u2(t) + C3u3(t) + ... + Cnun(t)

2. Tentukan penyelesaian khusus yp

3. Tambahkan penyelesaian langkah 1 dan langkah 2


Contoh 3.6: Selesaikan y” + y’ - 2 y = 2t2 – 10t + 3

Jawab:

Persamaan bantu : r2 + r – 2 = 0

Akar-akar persamaan bantu : r1 = - 2 , r2 = 1


)

Penyelesaian khusus terhadap persamaan tak homogen dicoba

)

)

diperoleh

2A + 2At + B – 2 (At2 + Bt + C) = 2t2 – 10t + 3

-2A = 2 → A = -1

2A – 2B = - 10 → B = 4

2A + B – 2C = 3 → C =

Sehingga

yp(t) = At2 + Bt + C = - t2 + 4t

Maka

) ) )

)

- t2 + 4t



clc

clear all

close all

% Contoh Soal 2.6

y = dsolve(‘D2y = -Dy + 2*y + 2*t^2 -10*t + 3’)

Hasil program

y = exp(-2*t)*C2 + exp(t)*C1-1/2 + 4*t – t^2

Contoh 3.7: Selesaikan y” - 2y’ - 3y = 8e3t

Jawab:

Persamaan bantu : r2 – 2r – 3 = 0

Akar-akar persamaan bantu : r1 = 3 , r2 = -1


)


)

)

)

diperoleh

) )

→ B = 2

Sehingga

)

Maka

) ) )



clc

clear all

close all

% Contoh Soal 2.7

y = dsolve(‘D2y = 2*Dy + 3*y + 8*exp(3*t)’)

Hasil program

y =

exp(-t)*C2 + exp(3*t)*C1+2*t*exp(3*t)

Contoh 3.8: Selesaikan y” - 2y’ - 3y = cos 2t

dengan kondisi awal y(0) = 0 dan

)

Jawab:

Persamaan bantu : r2 – 2r – 3 = 0

Akar-akar persamaan bantu : r1 = 3 , r2 = -1


)


)

)

)

diperoleh

) )

) )


Sehingga

)

Maka

) ) )

Untuk kondisi awal: y(0) = 0

)

)

)

) )

Untuk kondisi awal:

)

)

)

)

)

) )

Diperoleh

) ) )


clc

clear all

close all

% Contoh Soal 2.8

y = dsolve(‘D2y = 2*Dy + 3*ycos(2*t)’,’y(0)=0’,’Dy(0)=0’)

Hasil program

y = 1/20*exp(-t)+3/52*exp(3*t)-7/65*cos(2*t)-4/65*sin(2*t)


3.2. Transformasi Laplace

Transformasi Laplace adalah metoda operasional yang dapat

digunakan secara mudah untuk menyelesaikan persamaan linier

diferensial. Dengan menggunakan transformasi Laplace, dapat dirubah

beberapa fungsi umum seperti fungsi sinusoida, fungsi sinusoida teredam

dan fungsi eksponensial menjadi fungsi-fungsi aljabar kompleks.

Kelebihan metoda transformasi Laplace adalah metoda ini memungkinkan

penggunaan teknik grafis untuk meramal performansi sistem tanpa

menyelesaikan persamaan diferensial sistem. Kelebihan lain metoda

transformasi Laplace adalah diperolehnya secara serentak baik komponen

peralihan maupun komponen keadaan mantap solusi persamaan

diferensial.

Tranformasi Laplace dari f (t ) didefinisikan oleh

[ )] ) ∫ )

(3.19)

Transformasi Laplace suatu fungsi f(t) ada jika f(t) secara sepotong-

sepotong kontinu pada setiap selang terhingga dalam daerah t > 0 dan jika

fungsi tersebut mempunyai orde eksponensial dengan membesarnya t

menuju tak terhingga. Dengan kata lain, integral Laplace harus konvergen.

Suatu fungsi f(t) mempunyai orde eksponensial jika ada suatu konstanta

nyata posisitf σ sedemikian rupa sehingga fungsi | )| mendekati nol jika

t mendekati tak terhingga. Jika suatu fungsi f(t) mempunyai transformasi

Laplace maka transformasi Laplace dari Af(t) dimana A adalah suatu

konstanta diberikan.

[ )] [ )] (3.20)

Hubungan ini secara mudah dapat diturunkan dari definisi transformasi

Laplace. Dengan cara yang sama jika f1(t) dan f2(t) mempunyai transformasi

Laplace maka transformasi Laplace dari f1(t) + f2(t) diberikan oleh

[ ) )] [ )] [ )] (3.21)

Berikut ini akan diturunkan transformasi Laplace untuk beberapa fungsi


yang sering digunakan. Transformasi Laplace dari setiap fungsi f(t) yang

dapat ditransformasikan dengan integral Laplace, diperoleh dengan

mengalikan f(t) dan kemudian mengintegrasikan hasil perkalian ini dari

t = 0 sampai t = ∞.

Contoh 3.9: Fungsi tangga dinyatakan sebagai berikut

f(t) = 0 untuk t < 0 dan f(t) = A (konstanta) untuk t > 0

Jawab:

[ )] ) ∫

Contoh 3.10: Fungsi tangga dinyatakan sebagai berikut

f(t) = 0 untuk t < 0 dan f(t) = At untuk t > 0

Jawab:

[ )] ) ∫

[ )] ∫

|

∫

[ )] ∫

∫

Teorema Nilai Awal . Teorema nilai awal memungkinkan untuk mencari

harga f(t) pada t = 0 secara langsung dari f(t). Teorema nilai awal tidak

memberikan harga f(t) tepat pada t = 0 tetapi harga fungsi f(t) pada saat t

sedikit lebih besar dari nol. Adapun rumusan matematisnya

) ) (3.22)

Contoh 3.11: Tentukan f(0) dari fungsi alih

)

Jawab:

Dengan menggunakan teorema nilai awal didapatkan


)

)

)

)

Dalam menggunakan teorema nilai awal, tidak dibatasi oleh pole dari

sF(s) sehingga teorema nilai awal berlaku untuk fungsi sinusoida.

Teorema Nilai Akhir. Teorema harga akhir menyatakan bahwa perilaku

keadaan tunak f(t) adalah sama dengan perilaku sF(s) disekitar s = 0. Dengan

demikian dapat diperoleh harga f(t) pada t = ∞ secara langsung dari sF(s).

Adapun rumusan matematisnya adalah

)

) (3.23)

Contoh 3.12: Tentukan f(∞) dari fungsi alih

) )

)

Jawab: Dengan menggunakan teorema nilai akhir diperoleh

)

)

)

)

)

)

Teorema nilai awal dan teorema nilai akhir memberikan hasil

pengecekan secara mudah pada suatu solusi yang memungkinkan untuk

meramal perilaku sistem dalam wawasan waktu tanpa melakukan

transformasi balik dari fungsi dalam wawasan s ke fungsi waktu.

Tabel 3.1 berikut ini memberikan suatu daftar pasangan transformasi

Laplace. Tabel tersebut dapat digunakan untuk mencari transformasi

Laplace suatu fungsi waktu yang diberikan. Adapun pasangan-pasangan

transformasi Laplace sebagai berikut


Tabel 3.1 Pasangan-pasangan Transformasi Laplace


Contoh 3.13: Tentukan transformasi Laplace untuk fungsi f(t) berikut

a. f(t) = 12

b. f(t) = 10 t

c. f(t) = 6 t2

d. f(t) = 6e-5t

e. f(t) = 6e-5t cos 4t

Jawab:

Dengan menggunakan Tabel 3.1 diperoleh

a. f(t) = 12 → )

b. f(t) = 10 t → )

c. f(t) = 6 t2 → )

d. f(t) = 6e-5t → )

e. f(t) = 6e-5t cos 4t → )

)

3.2.1. Transformasi Laplace Balik

Transformasi Laplace balik adalah proses matematik dalam mengubah

ekspresi variabel kompleks menjadi ekspresi waktu. Notasi transformasi

balik adalah [ )] sehingga

[ )] ) (3.24)

Dalam menyelesaikan persoalan dengan menggunakan transformasi

Laplace balik akan ditemui pada suatu pertanyaan tentang cara

menentukan f (t ) dari F(s). Secara matematisf (t) diperoleh dari F(s)

dengan ekspresi matematis berikut

)

∫ )

untuk ( t > 0 ) (3.25)

Dimana c adalah absis konvergensi yang merupakan konstanta

nyata yang dipilih sedemikian rupa sehingga lebih besar dari semua titik

singular F(s). Jadi lintasan integrasi sejajar dengan sumbu jω dan digeser


sejauh c dari sumbu khayal. Lintasan ini berada di sebelah kanan semua

titik singular.

Metoda uraian pecahan parsial untuk mencari transformasi Laplace Balik.

Jika F(s) transformasi Laplace dari f (t ), diuraikan menjadi komponen-

komponennya berikut

) ) ) ) (3.26)

dan jika transformasi Laplace balik dari ) ) ) telah

tersedia maka

[ )] [ )] [ )]

[ )] ) ) ) (3.27)

Dimana ) ) ) masing-masing adalah transformasi

Laplace balik dari ) ) ). Untuk soal-soal dalam teori

kendali, F(s) sering mempunyai bentuk berikut

) )

) (3.28)

Dimana A (s) dan B(s) adalah polinomial dalam s dan derajat B(s) tidak

lebih tinggi dari A (s) . Dalam menggunakan teknik uraian pecahan parsial

untuk mencari transformasi Laplace balik dari F(s) = B(s)/A(s) terlebih

dahulu harus diketahui akar-akar polinomial A (s) . Kelebihan pendekatan

uraian pecahan parsial adalah masing-masing suku dari F(s) merupakan hasil

penguraian ke dalam bentuk pecahan parsial dan merupakan fungsi s yang

sangat sederhana.

Tinjau fungsi F(s) yang ditulis dalam bentuk faktor berikut

) )

)

) ) )

) ) ) (3.29)

dimana p1, p2, p3, …, pn dan z1, z2, z3, …. , zn adalah besaran nyata atau

besaran kompleks Asumsi pangkat tertinggi s dari A(s) dianggap lebih

tinggi dari B(s) . Dalam penguraian F(s) = B(s)/A(s) ke dalam bentuk

pecahan, pangkat tertinggi s pada A(s) harus lebih tinggi dari pangkat


tertinggi s pada B(s). Jika tidak demikian maka pembilang B(s) harus dibagi

terlebih dahulu dengan penyebut A(s) sehingga diperoleh suatu

polinomial s ditambah dengan sisa (perbandingan antara polinomial s

yang derajat pembilangnya lebih rendah dari penyebutnya).

Uraian pecahan parsial jika F(s) hanya melibatkan pole-pole yang

berbeda. Pada kasus ini F(s) selalu dapat diuraikan menjadi suatu

penjumlahan pecahan parsial sederhana berikut

) )

)

(3.30)

Dimana ak adalah konstanta ak disebut residu pada pole s = -pk. Harga ak

dapat diperoleh dengan mengalikan kedua persamaan (3.30) dengan (s + pk)

dan memasukkan harga s = - pk berikut

)

) ) *

)

)

)+|

(3.31)

Semua suku uraian pada persamaan (3.31) menjadi nol kecuali ak. Jadi residu

ak

* )

) )+

(3.32)

Berdasarkan persamaan (3.30) dan dengan memperhatikan bahwa

*

+

(3.33)

Diperoleh f(t) = [ )] sebagai berikut

f(t) =

dimana (t ≥ 0) (3.34)

Contoh 3.14: Carilah transformasi Laplace balik dari

)

)

)


diperoleh

) )

)

)

)

Menentukan konstanta A

)|

) )|

) )|

) )

) )

Menentukan konstanta B

) )|

)

) )|

)|

) )

) )

Menentukan konstanta B

) )|

)

) )|

)|

) )

) )

Diperoleh

)

)

)

Dengan menggunakan transformasi Laplace balik diperoleh

) untuk ( t ≥ 0 )



clc

clear all

close all

% Contoh Soal 3.14

syms s

f1 = (2*s^2)+(21*s)+(6);

f2 =(s^3)+(8*s^2)+(12*s);

f = f1/f2

%

L = ilaplace(f)

Hasil program

f =

(2*s^2+21*s+6)/(s^3+8*s^2+12*s)

L =

-2*exp(-6*t)+7/2*exp(-2*t)+1/2

Uraian pecahan parsial jika F(s) hanya melibatkan pole-pole konjugasi

kompleks.

Jika p1 dan p2 adalah pole konjugasi kompleks, maka dapat digunakan

uraian berikut

) )

)

) )

(3.35)

Harga a1 dan a2 diperoleh dengan mengalikan kedua ruas persamaan (3.35)

dengan ) ) dan memasukkan harga sebagai berikut

* )

) ) )+

(3.36)


* )

) ) )+

* )

) )

)

)+

(3.37)

Terlihat bahwa semua suku uraian menjadi nol kecuali suku (a1s

+a2). Dengan demikian

) *

)

) ) )+

(3.38)

Karena p1 adalah besaran kompleks, maka kedua ruas persamaan (3.38)

merupakan besaran kompleks. Dengan menyamakan bagian nyata kedua

ruas persamaan (3.38) diperoleh satu persamaan. Dengan cara yang sama,

dengan menyamakan bagian khayal kedua ruas persamaan (3.38) akan

diperoleh yang lain. Dari kedua persamaan dapat ditentukan haga a1 dan a2


)

Jawab:

)

) ) )

)

)

)

)

) )|

)

) ) )|


Sehingga

) ⁄

)

⁄ ⁄

)

⁄ ⁄

)

) ⁄

)

)

)

Untuk

) ⁄

) )

)

)

)

(

)

) )

(

)

) )

(

) )

⁄

(

) )

(

) )

(

) )

)

Sehingga diperoleh

) ) )


clc

clear all

close all

% Contoh Soal 3.15

syms s

f1 = (s + 3);

f2 = (s^3) + (5*s^2) + (12*s) + 8;

f = f1/f2


%

L = ilaplace(f)

Hasil program

f =

(s+3)/(s^3+5*s^2+12*s+8)

L =

2/5*exp(-t)-2/5*exp(-2*t)*cos(2*t)+3/10*exp(-2*t)*sin(2*t)

Uraian pecahan parsial jika F(s) hanya melibatkan pole-pole yang

berulang. Tinjau F(s) = B(s)/A(s) dimana A(s) = 0 mempuyai akar p1 yang

berulang r kali. Selanjutnya A(s) dapat ditulis sebagai

) ) ) ) ) (3.39)

Uraian pecahan parsial dari F(s) adalah

) )

)

)

)

(3.40)

dimana diberikan oleh

[ )

) )

]

[ )

) )

]

[ )

) )

]

)

[ )

) )

]


Sehingga transformasi laplace balik dari F(s) diperoleh sebagai berikut

) [ )]

*

)

) +

(3.41)


)

) )

Jawab:

)

)

)

)

)

) ) )|

) ) ) |

[

) ) ) ]|

[

) ) )]|

Selanjutnya

)

)

)

)

)

)

)


clc

clear all

close all

% Contoh Soal 3.16


syms s

f1 = 10;

f2 = (s^4) + (5*s^3) + (9*s^2) + (7*s) + 2;

f = f1/f2

%

L = ilaplace(f1/f2)

Hasil program

f =

10/(s^4+5*s^3+9*s^2+7*s+2)

L =

-10*exp(-2*t)+5*(4+t^2-2*t)*exp(-t)

3.2.2. Solusi Persamaan Linear Diferensial dengan Metoda

Transformasi Laplace

Metoda transformasi Laplace menghasilkan solusi lengkap (solusi

homogen ditambah dengan solusi tak homogen) dari persamaan linear

diferensial. Metode klasik untuk menentukan solusi lengkap dari

persamaan diferensial memerlukan perhitungan-perhitungan konstanta-

konstanta integrasi dengan menggunakan syarat-syarat awal tetapi

dengan menggunakan transformasi Laplace perhitungan konstanta

integrasi dari syarat awal tidak diperlukan karena syarat awal secara

otomatis sudah dimasukkan dalam transformasi Laplace dari persamaan

diferensial.

Jika semua syarat awal adalah nol maka tranformasi Laplace dari

persamaan diferensial diperoleh hanya dengan mengganti d/dt dengan s,

d2/dt2 dengan s2 dan seterusnya. Langkah – langkah dalam penyelesaian

persamaan diferensial dengan metoda transformasi Laplace adalah

1. Dengan mencari transformasi Laplace, tiap-tiap suku persamaan

diferensial linier yang diberikan, mengubah persamaan diferensial

tersebut menjadi suatu persamaan aljabar s, mencari ekspresi


transformasi Laplace variabel yang bergantung dengan menyusun

kembali persamaan aljabar tersebut.

2. Mencari solusi persamaan diferensial dalam domain waktu dengan

mencari transformasi Laplace balik dari variabel yang berkaitan.

Contoh 3.17: Tentukan solusi dari persamaan linear differensial dibawah

ini dengan menggunakan transformasi Laplace

dengan kondisi awal: y(0) = 2 dan

)

Jawab:

Dengan menggunakan transformasi Laplace

) ) ) ) ) )

) ) )

) ) )

) )

)

)

)


)

)

) )

)

)

)

)|

) )|

) )

) )

) )|


)

) )|

) )

)

) )|

)

) )|

) )

)

diperoleh

)

)

)

)


clc

clear all

close all

% Contoh Soal 3.17

y = dsolve('D2y = -8*Dy - 12*y + 6','y(0)=2','Dy(0)=5')

Hasil program

y =

7/2*exp(-2*t)-2*exp(-6*t)+1/2


Latihan Soal:

1. Dengan menggunakan program Matlab, tentukan penyelesaian

lengkap dan gambarkan grafik dari persamaan diffrensial orde satu

yang dinyatakan sebagai

dengan kondisi awal V(0) = 5

2. Dengan menggunakan formula matematis dan program Matlab,

tentukan penyelesaian lengkap dan gambarkan grafik dari

persamaan diffrensial orde dua yang dinyatakan sebagai

)

)







)

)

)





6. Dengan menggunakan Matlab, tentukan transformasi Laplace untuk

fungsi f(t) berikut:

)

7. Dengan menggunakan Matlab, tentukan transformasi Laplace balik

dari persamaan berikut:

a. )

)

b. ) =

c. )

) )

8. Dengan menggunakan program Matlab, tentukan transformasi

Laplace balik dari fungsi alih berikut::

a. )

b. )


tentukan transformasi Laplace balik dari fungsi alih berikut:

a. )

) )

b. )

)

c. )

d. )

)

e. )

) )

f. )

)


4.1. Pendahuluan

Untuk analisis dan desain sistem kendali, sistem fisis harus dibuat model

fisisnya. Model fisis ini harus dapat menggambarkan karakteristik dinamis

sistem tersebut secaramemadai. Dari model fisis diturunkan model

matematis. Model matematis diartikansebagai hubungan matematik yang

menghubungkan keluaran sistem dengan masukannya.

Model matematis diperoleh dari hukum-hukum fisis sistem yang

bersangkutan seperti dinamika sistem mekanis yang dimodelkan dengan

hukum-hukum Newton, dinamika sistem elektrik dimodelkan dengan

hukum-hukum Kirchoff, ohm dll. Model matematis digunakan untuk

memperkirakan bagaimana sistem akan memberikan tanggapan pada

kondisi-kondisi spesifik yang pasti tanpa menguji sistem fisik yang

sebenarnya. Suatu sistem yang memiliki model matematis sama tidak

selalu menggambarkan model fisis yang sama (misal : analogi sistem

mekanis dengan sistem elektrik). Beberapa contoh model matematis

untuk sistem tradisional satu input satu output (SISO) diantaranya.

4.2. Model Matematis

4.2.1. Model Matematis Untuk Sistem Listrik

Contoh 4.1: Tentukan persamaan dinamis untuk rangkaian listrik RLC seri

berikut ini

4 BAB 4

PEMODELAN MATEMATIS SISTEM FISIK


ieoe

L R

C

Gambar 4.1 Rangkaian Listrik RLC seri

Jawab:

Hukum fisis: Hukum Kirchoff

Persamaan dinamis sistem yang diekspresikan dengan menggunakan

persamaan linear diferensial

∫ (4.1)

∫ (4.2)

4.2.2. Model Matematis Untuk Sistem Mekanis

Contoh 4.2: Tentukan persamaan dinamis untuk system gerak mekanik

gerobak

Gambar 4.2 Sistem Mekanis Tipe 1


dimana:

m : Massa (kg)

a : Percepatan (m/s2)

F : Gaya (N)

Jawab:

Hukum Fisis : Hukum Gerak Newton II

ma = ∑ (4.3)

dengan beberapa asumsi

- Pada saat t < 0 sistem tidak bergerak dan t = 0 gerobak digerakkan

dengan kecepatan konstan

- Input : u(t) dengan

bersifat konstan

- Output : y(t) merupakan gerak relatif terhadap tanah

Persamaan dinamis sistem yang diekspresikan dengan menggunakan

persamaan linear diferensial

(

) )

4.3. Fungsi Alih

Dalam teori kendali, fungsi yang disebut fungsi alih seringkali digunakan

untuk mencirikan hubungan masukan dan keluaran dari sistem linier

parameter konstan. Konsep fungsi alih ini hanya digunakan pada sistem

linier parameter konstan. Fungsi alih sistem linier parameter konstan

didefinisikan sebagai perbandingan dari transformasi Laplace keluaran

dan transformasi Laplace masukan dengan asumsi semua kondisi awal

bernilai nol. Sistem linier parameter konstan dinyatakan dengan


persamaan linier diferensial berikut )

)

)

)

(n ≥ m) (4.4)

Dimana y adalah keluaran sistem dan x adalah masukan sistem.

Fungsi alih dari sistem ini diperoleh dengan mencari transformasi Laplace

dari kedua persamaan (4.4) dengan asumsi semua kondisi awal bernilai

nol.

Fungsi alih : ) )

)

) )

)

(4.5)

Contoh 4.3: Tentukan fungsi alih dari rangkaian listrik RC berikut ini

1R 2R

1C 2C oeie1i 2i

Gambar 4.3 Rangkaian Listrik RC Paralel

Jawab:

∫ )

∫ )

∫

∫


Bentuk transformasi Laplace (asumsi semua kondisi awal bernilai nol)

[ ) )] ) )

[ ) )] )

)

) )

Fungsi alih )

)

) )

)

)

) )

Contoh 4.4: Tentukan fungsi alih dari sistem rotasi mekanis berikut ini

Gambar 4.4 Sistem Rotasi Mekanis

Dimana : T : Momen putar masukan

: Penyimpangan sudut keluaran

D : Gesekan

Jawab:

Berdasarkan hukum Newton dan hukum Hooke, dalam keadaan seimbang

) )

)

) (4.6)


Transformasi Laplace untuk persamaan differensial (4.6) adalah

) ) ) ) (4.7)

) )

Fungsi alih

) )

)

4.4. Diagram Blok

Diagram blok suatu sistem adalah suatu penyajian bergambar dari fungsi

yang dilakukan oleh tiap komponen dan aliran sinyalnya. Dalam suatu

diagram blok, semua variabel sistem saling dihubungkan dengan

menggunakan blok fungsional. Blok fungsional atau biasa disebut blok

adalah suatu simbol operasi matematik pada sinyal masukan blok yang

menghasilkan keluaran. Fungsi alih dari komponen biasanya ditulis di

dalam blok yang dihubungkan dengan anak panah untuk menunjukkan

arah aliran sinyal. Gambar 4.5 menunjukkan suatu elemen diagram blok.

Anak panah yang menuju ke blok menunjukkan masukan dan anak panah

yang meninggalkan blok menyatakan keluaran. Anah panah semacam ini

dianggap sebagai sinyal. Diagram blok suatu sistem adalah suatu

penyajian bergambar dari fungsi yang dilakukan oleh tiap komponen dan

aliran sinyalnya. Dalam suatu diagram blok, semua variabel sistem saling

dihubungkan dengan menggunakan blok fungsional. Blok fungsional atau

biasa disebut blok adalah suatu simbol operasi matematik pada sinyal

masukan blok yang menghasilkan keluaran. Fungsi alih dari komponen

biasanya ditulis di dalam blok yang dihubungkan dengan anak panah

untuk menunjukkan arah aliran sinyal. Gambar 4.5 menunjukkan suatu

elemen diagram blok. Anak panah yang menuju ke blok menunjukkan

masukan dan anak panah yang meninggalkan blok menyatakan keluaran.

Anah panah semacam ini dianggap sebagai sinyal.


Fungsi Alih

G(s)

Gambar 4.5 Elemen diagram blok

Diagram blok mengandung informasi perilaku dinamik tetapi tidak

mengandung informasi mengenai konstruksi fisik dari sistem. Oleh karena

itu, beberapa sistem yang berbeda dan tidak mempuyai relasi satu sama

lain dapat dinyatakan dengan diagram blok yang sama. Selain itu dalam

suatu diagram blok sumber energi utamanya tidak ditunjukkan secara

eksplisit dan juga bahwa diagram blok suatu sistem adalah tidak unik.

Detektor Kesalahan. Detektor kesalahan menghasilkan suatu sinyal

yang merupakan selisih antara sinyal masukan acuan dengan sinyal

umpan balik dari sistem kendali. Penyajian diagram blok dari detektor

kesalahan ditunjukkan pada Gambar 4.6 berikut

Gambar 4.6 Diagram blok suatu detektor Kesalahan

Perhatikan bahwa lingkaran dengan tanda silang adalah simbol yang

menunjukkan suatu operasi penjumlahan. Tanda positif atau negatif pada

setiap anak panah menunjukkan operasi yang harus dikenakan pada

sinyal tersebut, ditambahkan atau dikurangkan. Besaran-besaran yang

ditambahkan atau dikurangkan mempuyai dimensi dan satuan yang sama.

Diagram blok sistem lingkar tertutup. Gambar 4.7 menunjukkan

suatu contoh digram blok sistem lingkar tertutup. Keluaran C(s) diumpan-


balikkan ke titik penjumlahan untuk dibandingkan dengan masukan acuan

R(s) . Keluaran blok C(s) dalam hal ini diperoleh dengan mengalikan

Gambar 4.7 Diagram Blok Suatu Sistem Lingkar Tertutup

Setiap sistem kendali linier dapat dinyatakan dengan suatu diagram

blok yang terdiri dari beberapa blok, titik penjumlahan dan titik cabang.

Titik cabang adalah titik tempat sinyal keluaran blok secara bersamaan

menuju ke blok lain. Jika keluaran diumpan-balik ke titik penjumlahan

untuk dibandingkan dengan masukan maka perlu mengubah bentuk

sinyal keluaran agar sama dengan bentuk sinyal masukan. Peranan

penting umpan balik adalah memodifikasi keluaran sebelum dibandingkan

dengan masukan. Pada Gambar 4.8 sinyal umpan balik yang diumpan-

balikkan ke titik penjumlahan untuk dibandingkan dengan sinyal masukan

adalah B(s) = H(s)C(s) diperoleh

Gambar 4.8 Sistem Lingkar Tertutup


Perbandingan antara sinyal umpan-balik B(s) dengan sinyal kesalahan

penggerak E(s) disebut fungsi alih lingkar terbuka yang dinyatakan

)

) ) ) (4.8)

Perbandingan antara keluaran C(s) dengan sinyal kesalahan penggerak

E(s) disebut fungsi alih umpan maju sehingga

)

) ) (4.9)

Untuk sistem yang ditunjukkan pada Gambar 4.8, keluaran C(s) dan

masukan R(s) dihubungkan sebagai berikut

C(s) = G(s)E(s)

E(s) = R(s) - B(s) = R(s) -H(s)C(s)

C(s) = G(s)[R(s) – H(s)C(s)] = G(s)R(s) - H(s)C(s)G(s)

Sehingga

)

)

)

) ) (4.10)

Fungsi alih yang merelasikan C(s) dengan R(s) disebut fungsi alih

lingkar tertutup. Fungsi alih ini meghubungkan dinamika sistem lingkar

tertutup dengan dinamika elemen umpan maju dan elemen umpan balik.

Dari persamaan (4.10), C(s) diberikan oleh

) )

) ) ) (4.11)

Dari persamaan (4.11) ini terlihat bahwa keluaran sistem lingkar

tertutup bergantung pada fungsi alih lingkar tertutup dan sifat dari

masukan.

Prosedur penggambaran diagram blok. Untuk menggambar diagram

blok suatu sistem, pertama kali tulis persamaan yang menggambarkan

perilaku dinamik tiap komponen, kemudian persamaan ini dirubah ke

dalam transformasi Laplace dengan asumsi semua syarat awal bernilai nol

dan gambarkan masing-masing persamaan dalam bentuk transformasi


Laplace ini dalam suatu blok. Akhirnya, susunan elemen-elemen ini

menjadi suatu diagram blok lengkap.

Contoh 4.5 : Rangkaian RC yang ditunjukkan pada Gambar 4.9 Persamaan

untuk rangkaian ini adalah

(4.12)

(4.13)

Transformasi Laplace dari persamaan (4.12) dan (4.13) dengan syarat

awal nol diperoleh

) ) )

(4.14)

) )

(4.15)

Gambar 4.9 Rangkaian RC

Gambar 4.10 Diagram Blok Dari Persamaan (4.14)


Gambar 4.11 Diagram Blok Dari Persamaan (4.15)

Gambar 4.12 Diagram Blok Rangkaian RC

Persamaan (4.14) menyatakan operasi penjumlahan sedangkan

diagram bloknya ditunjukkan pada Gambar 4.10. Persamaan (4.15) dapat

dinyatakan dengan blok diagram pada Gambar 4.11 dengan

mengabungkan dua elemen maka diperoleh diagram blok keseluruhan

sistem seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4.12.

Penyederhanaan diagram blok. Diagram blok kompleks yang

melibatkan beberapa lingkar berumpan-balik dapat disederhanakan

dengan penyusunan kembali selangkah demi selangkah dengan

menggunakan aturan aljabar diagram blok. Penyederhanaan diagram blok

dengan cara penyusunan kembali dan substitusi sangat meringankan

tugas yang diperlukan untuk analisis matematik berikutnya. Dalam

menyederhanakan diagram blok, beberapa hal yang perlu diingat adalah

1. Hasil kali fungsi alih pada arah umpan maju harus tetap sama.

2. Hasil kali fungsi alih pada pengelilingan lingkar tertutup harus tetap

sama.

Suatu aturan umum untuk menyederhanakan diagram blok adalah

memindahkan titik cabang dan titik penjumlahan, saling menukar titik

penjumlahan dan kemudian menyederhanakan lingkar umpan balik di


dalamnya. Beberapa aturan penyederhanaan diagram blok diperlihatkan

pada Tabel 4.1 berikut

Tabel 4.1 Beberapa Aturan Penyederhanaan Diagram Blok

Contoh 4.6 : Sederhanakan diagram blok berikut ini

Gambar 4.13 Diagram Blok Model Sistem I


Jawab:

Langkah 1

Gambar 4.14 Langkah 1 Penyederhanaan Diagram Blok Model Sistem I

Langkah 2

Langkah 3

Langkah 4

Didapat fungsi alih berikut

)

)


Latihan Soal:

1. Diketahui rangkaian seperti gambar berikut:

ei

eo

L

R1

R2 C

i(t)

Tentukan fungsi alihnya dari gambar rangkaian diatas.

2. Diketahui rangkaian seperti gambar berikut:

vi v

oL

R1

R2

C

i(t)

Tentukan fungsi alihnya dari gambar rangkaian diatas.

3. Sederhanakan blok diagram sistem kendali kalang tertutup

berumpan balik seperti pada gambar berikut:

a.

C(S)K

R(S) + +_ _

S

1

1)(S

2


b.

K 2S3)(S

1

S

1

+

++

2S

1

_

R(S) C(S)


5.1. Pendahuluan

Dalam prakteknya, sinyal masukan sistem kendali tidak dapat diketahui

sebelumnya tetapi mempunyai sifat acak sehingga masukan sesaat tidak

dapat dinyatakan secara analitis. Untuk analisis dan perancangan sistem

kendali, harus dipunyai dasar perbandingan kinerja berbagai sistem

kendali. Dasar ini disusun untuk melakukan perbandingan tanggapan

berbagai sistem, yaitu dengan memberikan masukan uji. Masukan uji

yang biasa digunakan adalah fungsi undak, fungsi laju, fungsi percepatan,

fungsi impulsa, fungsi sinusoida dan sebagainya. Dengan sinyal uji ini

dapat dilakukan analisis matematika dan eksperimen secara mudah,

karena sinyal-sinyal ini merupakan fungsi waktu yang sederhana. Jenis

sinyal masukan yang akan digunakan untuk menganalisis karakteristik

sistem diantara sinyal-sinyal masukan khas ini dapat ditentukan dari

bentuk masukan yang paling sering diberikan ke sistem pada operasi

normal. Jika masukan sistem kendali merupakan fungsi waktu yang

berangsur-angsur berubah maka fungsi laju satuan mungkin merupakan

sinyal uji yang baik. Demikian pula, jika sistem dikenai gangguan secara

tibatiba maka fungsi undak satuan mungkin merupakan sinyal uji yang

baik dan untuk sistem yang dikenai masukan-masukan kejut, sinyal uji

yang paling baik mungkin fungsi impulsa. Penggunaan sinyal uji

memungkinkan untuk membandingkan performansi semua sistem

dengan basis yang sama.

5 BAB 5

ANALISIS TANGGAPAN PERALIHAN


Tanggapan waktu sistem kendali terdiri dari dua bagian yaitu

tanggapan peralihan dan tanggapan dalam keadaan mantap. Tanggapan

peralihan adalah tanggapan sistem yang berlangsung dari keadaan awal

sampai keadaan akhir sedangkan tanggapan keadaan mantap adalah

tanggapan keluaran sistem jika t mendekati tak terhingga. Selain itu

dalam keadaan mantap suatu masukan dianggap telah terjadi cukup lama

sehingga pengaruh daripada setiap perubahan yang ada sebelumnya

telah hilang.

5.2. Sistem Orde Satu

Fungsi alih dari suatu sistem orde satu dapat ditulis sebagai berikut

) )

)

(5.1)

Dimana : C(s) : fungsi masukan

R(s) : fungsi keluaran

Notasi yang lebih umum dari fungsi alih orde satu adalah

) )

)

(5.2)

dengan membandingkan persamaan (5.1) dan (5.2) diperoleh

dan

(5.3)

Selain itu dapat juga diturunkan persamaan differensial sistem dari

persamaan (5.2) sebagai berikut

(

) )

) (5.4)

Dengan menggunakan transformasi Laplace balik persamaan (5.4)

menjadi

)

)

)

(5.5)


Selanjutnya dengan menggunakan transformasi Laplace dari persamaan

(5.5) dan memasukkan kondisi awalnya diperoleh

) )

)

) (5.6)

Penyelesaian untuk persamaan (5.6) sebagai berikut

) )

)

⁄ ) )

⁄ ) (5.7)

Persamaan (5.7) dapat ditampilkan dalam bentuk diagram blok berikut

Gambar 5.1 Sistem Orde Pertama dengan Kondisi Awal

Dimana kondisi-kondisi awal biasanya tidak ditunjukkan sebagai

masukan pada diagram blok sistem. Perlu diperhatikan bahwa kondisi

awal sebagai suatu masukan memiliki transformasi Laplace c(0) yang

merupakan suatu konstanta. Transformasi Laplace balik dari suatu

konstanta merupakan suatu fungsi impulsa. Dengan demikian, kondisi

awal sebagai suatu masukan muncul sebagai fungsi impulsa c(0)δ(t). Disini

dapat dilihat bahwa fungsi impulsa memiliki arti praktis, meskipun fungsi

impulsa bukan sinyal fisik yang dapat direalisasikan sehingga kondisi awal

ini biasanya diabaikan pada diagram blok. Dengan demikian diagram blok

pada Gambar 5.1 disederhanakan menjadi


Gambar 5.2 Sistem Orde Pertama Tanpa Kondisi Awal

Pada persamaan (5.7) kondisi awal berperan pada keluaran sistem.

Misalkan kondisi awal pada persamaan (5.7) bernilai nol dan masukan r (t

) adalah undak satuan maka R(s) sama dengan ⁄ sehingga persamaan

(5.7) menjadi

) )

( ))

) (5.8)

Transformasi Laplace balik persamaan (5.8) menghasilkan

) ( ) (5.9)

Dari persamaan (5.9) terlihat bahwa suku pertama pada tanggapan

c(t) berasal dari pole masukan R(s) dan disebut tanggapan paksa. Selain

itu suku pertama ini tidak menuju nol dengan bertambahnya waktu

sehingga disebut juga dengan tanggapan tunak. Suku kedua dari

persamaan (5.9) berasal dari pole fungsi alih G(s) yang disebut tanggapan

alami, karena suku kedua ini menuju nol dengan bertambahnya waktu

disebut juga dengan tanggapan peralihan.

Perhatikan bahwa suku yang menuju nol secara eksponensial memiliki

kemiringan awal yaitu

)

( )

|

(5.10)

Secara matematis, suku eksponensial tidak menuju nol pada interval

waktu terbatas. Namun demikian jika suku ini diteruskan pada kecepatan

awalnya akan mencapai nilai nol dalamτ detik. Parameter τ disebut

konstanta waktu dan memiliki satuan detik. Penurunan nilai menuju nol

dari fungsi eksponensial diperlihatkan pada Tabel 5.1 berikut


Tabel 5.1 Penurunan Nilai Fungsi Eksponensial Sebagai Fungsi dari Konstanta Waktu

Pada Tabel 5.1 terlihat bahwa fungsi eksponensial telah berkurang

sebesar 2 persen dari nilai awal dalam empat konstanta waktu dan

berkurang 1 persen dari nilai awal dalam lima konstanta waktu. Pada

perhitungan selanjutnya diasumsikan suku eksponensial menjadi nol

setelah empat konstanta waktu. Tanggapan sistem pada persamaan (5.9)

adalah

) (5.11)

Limit pada persamaan (5.11) disebut nilai akhir atau nilai keadaan

tunak tunak dari tanggapan. Dengan demikian bentuk umum fungsi alih

orde pertama adalah

)

(5.12)

Dimana :

: konstanta waktu sistem (detik)

K : tanggapan keadaan tunak terhadap masukan undak satuan

Contoh 5.1:

Tentukan tanggapan sistem untuk masukan undak satuan dengan fungsi

alih lingkar terbuka sebagai berikut

)


Jawab :

)

)

) ) ) )

=

)

)

Pole dari fungsi alih pada s = -1 memberikan konstanta waktu =

0.75 detik. Nilai keadaan tunak tanggapan adalah 20/3. Dengan konstanta

waktu sistem sebesar 0.75 maka keluaran mencapai keadaan tunak kira-

kira dalam 3 detik.


clc

clear all

close all

% Contoh Soal 5.1

num = [ 0 5];

den = [ 0.75 0.75];

%

[r,p,k] = residue(num,den)

%

step(num,den)

grid on

title('Tanggapan Terhadap Masukan Undak Satuan ')

ylabel('Keluaran')

xlabel('t detik')

Hasil program

r =

6.6667

p =

-1


k =

[ ]

Hasil plot tanggapan terhadap masukan undak satuan

Gambar 5.3 Tanggapan Sistem Terhadap Masukan Undak Satuan

Selanjutnya jika masukan r(t) = t adalah laju satuan, maka R(s) sama

dengan

sehingga persamaan (5.7) menjadi

) )

[ )] =

)⁄ (5.13)

Transformasi Lapalace balik persamaan (5.13) menghasilkan

) (5.14)

dari persamaan (5.14) terlihat bahwa tanggapan laju terbentuk atas

tiga suku. Suku konstanta dan suku eksponensial. Pertama, suku

eksponensial memiliki konstanta waktu yang sama dengan tanggapan


undak. Amplitudo dari eksponensial berbeda pada tanggapan laju

dibanding tanggapan undak. Amplitudo berbeda dengan faktor . Jika

lebih besar dari satu maka eksponensial memiliki efek menonjol pada

tanggapan sistem. Tanggapan keadaan tunak diberikan oleh

) (5.15)

dengan css(t) adalah nilai keadaan tunak dari c(t). Disini akan

didefinisikan tanggapan keadaan tunak dibentuk dari suku-suku tersebut

yang tidak menuju nol bila waktu bertambah.

Contoh 5.2:

Tentukan tanggapan sistem untuk laju satuan dengan fungsi alih

)

Jawab:

)

)

) ) ) )

=

)

)

)

Pole dari fungsi alih pada s = -1 memberikan konstanta waktu =

0.75 detik. Nilai keadaan tunak tanggapan adalah

. Dengan

konstanta waktu sistem sebesar 0.75 maka keluaran mencapai keadaan

tunak kira-kira dalam 3 detik.


clc

clear all

close all

%Cobtoh Soal 5.2

num = [ 0 5];


den = [ 0.75 0.75];

%

[r,p,k] = residue(num,den)

%

t = 0:0.1:10;

r = t;

y = lsim(num,den,r,t);

plot(t,y)

grid on

title('Tanggapan Terhadap Masukan Laju Satuan ')

ylabel('Keluaran')

xlabel('t detik')

Hasil program

r =

6.6667

p =

-1

k =

[]


Hasil plot tanggapan terhadap masukan laju satuan

Gambar 5.4 Tanggapan Sistem Terhadap Masukan Laju Satuan

5.3. Sistem Orde Dua

Bentuk standar dari fungsi alih orde kedua adalah

)

(5.16)

Dimana:

: rasio redaman

: frekuensi tidak teredam atau frekuensi natural

Terlihat bahwa semua karakteristik sistem dari sistem orde kedua

standard merupakan fungsi dari ς dan . Pertama-tama perhatikan

tanggapan terhadap masukan undak satuan dari sistem orde kedua

adalah

) ) )

)

(5.17)


Transformasi balik dari persamaan (5.17) tidak diturunkan pada

persamaan (5.17). Namun dengan mengasumsikan saat ini bahwa pole-

pole dari G(s) kompleks diperoleh

)

) (5.18)

Dengan √ dan (

)

Pada tanggapan ini, adalah konstanta waktu dari

sinusoida dalam detik serta frekuensi dari sinusoida teredam. Sekarang

akan ditunjukkan tanggapan undak yang umum pada sistem orde kedua.

Tanggapan undak pada persamaan (5.18) adalah fungsi dari ς dan . Jika

ditentukan nilai ς saja maka untuk memplot c(t) belum bisa dilakukan

tanpa menentukan juga. Untuk menyederhanakan plot grafik c(t) akan

dipergunakan suatu nilai ς yang telah ditentukan sebagai fungsi dari .

Keluarga kurva dari berbagai nilai ς sangat berguna dan diperlihatkan

pada Gambar 5.5 dengan nilai ς antara 0 ≤ ς ≤ 2 . Untuk 0 ≤ ς ≤1

tanggapan merupakan sinusoida teredam. Untuk ς = 0 tanggapan

merupakan sinusoida tidak teredam dan untuk ς ≥ 1 osilasi sudah tidak

ada. Pada persamaan (5.18) terlihat bahwa untuk ς < 0 tanggapan

bertambah tanpa batas. Program Matlab untuk menghitung beberapa

tanggapan terhadap masukan undak dengan beberapa nilai ς berikut


clc

clear all

close all

%

zeta = [0.1 0.2 0.4 0.7 1 2]

for k = 1 : 6

Gnum = [ 0 0 1]

Gden = [ 1 2*zeta(k) 1]

step(Gnum,Gden)


hold on

grid on

end

Hasil plot tanggapan terhadap masukan undak satuan terhadap

berbagai nilai ς berikut

Gambar 5.5 Tanggapan Sistem Terhadap Masukan Undak Satuan Dengan Berbagai Nilai ς

Untuk ς > 1 sistem bersifat teredam lebih dan tanggapan terhadap

masukan undak satuan adalah

)

) (5.19)

dengan masukan R(s) =


)

)


)

( √ )( √ ) (5.20)

dengan menggunakan transformasi Laplace balik persamaan (5.20)

berubah menjadi

)

√ ( √ ) ( √ )

√ ( √ ) ( √ ) (5.21)

)

√ (

) untuk t (5.22)

dengan ( √ ) dan ( √ )

Untuk = 1 sistem bersifat teredam kritis dan tanggapan terhadap


)

) (5.23)

dengan masukan R(s) =


)

)

=

) (5.24)


berubah menjadi

) ) untuk t (5.25)

Untuk (0 < ς < 1) sistem bersifat teredam kurang dan tanggapan terhadap


)

) (5.26)

)

) ) (5.27)


dimana √


menjadi

) (

√ ) (5.28)

)

√ (

√ )

Contoh 5.3:

Tentukan , serta tanggapan undak satuan dari sistem lingkar

tertutup berikut

)

)

Jawab:

Berdasarkan persamaan (5.16) diperoleh

130 = 11.4018

= 15 )

= √ )√ )

Untuk tanggapan undak dari sistem lingkar tertutup diperoleh

) ) ) =

)

=

+

)

)


) (

√ )

) (

√ ) )

) )


clc

clear all


close all

% Contoh Soal 5.3

num = [ 0 0 130];

den = [ 1 15 130];

%

omega_n = sqrt(den(3))

zeta = den(2)/(2 * omega_n)

%

num1 = [ 0 0 0 130];

den1 = [ 1 15 130 0 ];

%

[z,p,k] = residue(num1,den1)

step(num,den)

grid on


ylabel('Keluaran')

xlabel('t detik')

Hasil program

omega_n =

11.40175425099138

zeta =

0.65779351448027

z =

-0.50000000000000 + 0.43666688230469i

-0.50000000000000 - 0.43666688230469i

1.00000000000000

p =

-7.50000000000000 + 8.58778201865883i

-7.50000000000000 - 8.58778201865883i

0


k =

[]

Hasil plot tanggapan terhadap masukan undak satuan

Gambar 5.6 Tanggapan Sistem Orde Kedua Terhadap Masukan Undak Satuan

Dalam beberapa kasus praktis, karakteristik performansi sistem

kendali yang diinginkan dinyatakan dalam bentuk besaran wawasan

waktu. Sistem yang mempuyai elemen penyimpan energi tidak dapat

merespon secara seketika dan akan menunjukkan tanggapan peralihan

jika dikenai masukan atau gangguan. Seringkali karakteristik performansi

sistem kendali dinyatakan dalam bentuk tanggapan peralihan terhadap

masukan undak satuan karena mudah dibangkitkan dan jika tanggapan

terhadap masukan undak diketahui maka secara matematis dapat

dihitung tanggapan terhadap setiap masukan.


Tanggapan peralihan sistem terhadap masukan undak satuan

bergantung pada syarat awal. Untuk memudahkan perbandingan

tanggapan peralihan berbagai macam sistem, hal yang biasa dilakukan

adalah menggunakan syarat awal standard yaitu sistem mula-mula

keadaan diam sehingga keluaran dan semua turunan waktunya pada awal

tanggapan sama dengan nol, selanjutnya karakteristik tanggapan secara

mudah dapat dibandingkan. Tanggapan peralihan sistem kendali praktis

sering menunjukkan osilasi teredam sebelum mencapai keadaan tunak.

Dalam menentukan karakteristik tanggapan peralihan sistem kendali

terhadap masukan undak satuan biasanya ditentukan parameter sebagai

berikut

o Waktu tunda (delay time), td

Waktu tunda adalah waktu yang diperlukan tanggapan untuk

mencapai setengah harga akhir yang pertama kali.

o Waktu naik (rise time), tr

Waktu naik adalah waktu yang diperlukan tanggapan untuk naik dari

10 % sampai 90 %, 5 % sampai 95 % atau 0 sampai 100 % dari harga

akhirnya. Untuk sistem orde kedua redaman kurang biasanya

digunakan waktu naik 0 sampai 100 % dan untuk sistem redaman

lebih biasanya digunakan waktu naik 10 % sampai 90 %

o Waktu puncak (time overshoot), tp

Waktu puncak adalah waktu yang diperlukan tanggapan untuk

mencapai puncak lewatan pertama kali

o Lewatan maksimum (maximum overshoot), Mp

Lewatan maksimum adalah harga puncak maksimum dari kurva

tanggapan yang diukur dari satu. Jika harga keadaan tunak

tanggapan tidak sama dengan satu maka biasa digunakan persentase

lewatan maksimum dengan rumusan berikut

Lewatan maksimum (maximum overshoot)

( ) )

) x (5.29)


o Waktu penetapan (settling time), ts

Waktu penetapan adalah waktu yang diperlukan kurva tanggapan

untuk mencapai dan menetap dalam daerah disekitar harga akhir

yang ukurannya ditentukan dengan persentase mutlak dari harga

akhir biasanya 5 % atau 2 %. Waktu penetapan ini dikaitkan dengan

konstanta waktu terbesar dari sistem kendali.

Jika harga-harga td, tr, tp, Mp dan ts telah ditetapkan maka bentuk

kurva tanggapan peralihan dapat ditentukan berikut

Gambar 5.7 Spesifikasi Tanggapan Peralihan

Untuk tanggapan peralihan pada sistem orde kedua, jika diinginkan

pada sistem tersebut adanya tanggapan yang cepat dengan redaman

yang cukup maka rasio redaman harus terletak antara 0.4 sampai

dengan 0.8. Jika harga rasio redaman kecil dari 0.4 (ς < 0.4) maka

dihasilkan lewatan berlebih pada tanggapan peralihan dan jika harga

rasio redaman besar dari 0.8 (ς > 0.8) maka dihasilkan tanggapan

peralihan yang lambat. Untuk sistem orde kedua perhitungan harga-

harga td , ts , tp , Mp dan ts berdasarkan persamaan (5.24) dan sistem

dianggap mengalami redaman kurang. Diperoleh

o Waktu naik (rise time), tr

) (

√ ) = 1 (5.30)


Karena persamaan (5..30) berubah menjadi

√ = 0 (5.31)

atau

√

=

(

) =

(5.32)

Untuk nilai didefinisikan berdasarkan Gambar 5.8 berikut

Gambar 5.8 Definisi Nilai

o Waktu puncak (time overshoot), tp

Waktu puncak (tp) diperoleh dengan mendiferensiasikan c(t) pada

persamaan (5.24)

terhadap waktu dan menyatakan turunan ini sama dengan nol serta

diperoleh

)

|

( )

√ = 0 (5.33)

Akan menghasilkan persamaan

Karena waktu puncak berkaitan dengan lewatan puncak pertama

maka


(5.34)

o Lewatan maksimum (maximum overshoot), Mp

Lewatan maksimum (maximum overshoot) Mp terjadi pada waktu

puncak atau pada

. Dengan menggunakan persamaan

(5.29) diperoleh

)

(

) (

√ )

(

)

=

(

√ )

Persen lewatan maksimum adalah (

)

x 100 % (5.35)

o Waktu penetapan (settling time), ts

Waktu penetapan (settling time) ts untuk pita toleransi ± 2 % dan ± 5

% dapat diukur dalam bentuk ts =

. Untuk 0 < ς < 0.9 digunakan

kriteria ± 2 % maka waktu penetapan ts mendekati empat kali

konstanta waktu dengan rumusan

(5.36)

Untuk 0 < ς < 0.9 dan digunakan kriteria ± 5 % maka waktu

penetapan ts mendekati tiga kali konstanta waktu atau

(5.37)

Contoh 5.4:

Untuk sistem dibawah ini


Dimana ς = 0.65 dan . Tentukan tr, tp, Mp dan ts jika

sistem dikenal masukan undak satuan.

Jawab:

√ = 10√ ) = 7.5993

(0.65)(10) = 6.5

(

) = (

) = 0.8632

Waktu naik (rise time), tr

= 0.2998

Waktu puncak (time overshoot),

= 0.4134

Lewatan maksimum (maximum overshoot),

(

)

= (

)

= 0.0681

Waktu penetapan ( )

Untuk kriteria 2 % waktu penetapannya adalah

=

0.6154 detik

Untuk kriteria 5 % waktu penetapannya adalah

=

0.4615 detik


5.4. Sistem Orde Tinggi

Tinjau sistem yang ditunjukkan pada Gambar 5.9 dengan fungsi alih

lingkar tertutupnya

Gambar 5.9 Diagram Blok Sistem Kendali

)

)

)

) )

(5.38)

Pada umumnya G(s) dan H(s) diberikan sebagai rasio polynomial

dalam s atau

) )

) (5.39)

) )

) (5.40)

Dimana p(s), q(s), n(s) dan d(s) adalah polynomial dalam s. Fungsi alih

lingkar tertutup yang diberikan oleh persamaan (5.38) selanjutnya dapat

ditulis

)

)

) )

) ) ) ) (5.41)

)

)

(5.42)


Untuk menentukan tanggapan peralihan sistem pada persamaan

(5.41) atau persamaan (5.42) terhadap setiap masukan yang diberikan

perlu diuraikan persamaan polynomial tersebut atas faktor-faktornya.

Setelah persamaan polinomial diuraikan atas faktor-faktornya maka

persamaan C(s)/R(s) dapat ditulis

)

)

) ) )

) ) ) (5.43)

Selanjutnya akan diuji perilaku tanggapan sistem ini terhadap

masukan undak satuan. Diasumsikan bahwa pole-pole lingkar tertutup

berbeda satu sama lain. Untuk masukan undak satuan persamaan (5.43)

dapat ditulis menjadi

)

∑

(5.44)

Dimana adalah residu dari pole di s = -

Jika semua pole lingkar tertutup terletak disebelah kiri sumbu khayal

bidang s maka besar relatif dari residu menentukan kepentingan relatif

dari komponen-komponen C(s) dalam bentuk uraian tersebut. Jika ada

suatu zero lingkar tertutup mempuyai harga yang hampir sama dengan

suatu pole lingkar tertutup maka residu pada pole ini adalah kecil dan

koefesien suku tanggapan peralihan yang berkaitan dengan pole ini

menjadi kecil. Sepasang pole dan zero yang letaknya berdekatan secara

efektif akan saling menghilangkan. Jika suatu pole terletak sangat jauh

dari titik asal maka residu pada pole ini mungkin kecil. Tanggapan

peralihan yang ditimbulkan oleh pole yang jauh ini adalah kecil dan

berlangsung dalam waktu yang singkat. Suku-suku C(s) dalam bentuk

uraian yang mempuyai residu sangat kecil memberikan kontribusi yang

kecil pada tanggapan peralihan sehingga suku-suku ini dapat diabaikan.

Jika ini dilakukan maka sistem orde tinggi dapat didekati dengan sistem

berorde rendah.

Pole-pole dari C(s) terdiri dari pole-pole nyata dan pasangan-

pasangan pole konjugasi kompleks. Sepasang pole konjugasi kompleks


menghasilkan bentuk orde kedua dalam s. Bentuk uraian faktor dari

persamaan karakteristik orde tinggi terdiri dari bentuk orde pertama dan

orde kedua maka persamaan (5.44) dapat ditulis kembali

)

)

∏ )

∏ )∏ )

(5.45)

Dimana q + 2r = n. Jika pole-pole lingkar tertutup mempunyai harga

yang berbeda-beda satu sama lain maka persamaan (5.45) dapat

diuraikan menjadi pecahan parsial sebagai berikut

)

∑

∑

) √

(5.46)

Dari persamaan (5.46) dapat dilihat bahwa tanggapan sistem orde

tinggi tersusun dari beberapa bentuk yang melibatkan fungsi-fungsi

sederhana yang dijumpai pada tanggapan sistem orde pertama dan

kedua. Selanjutya tanggapan sistem terhadap undak satuan c(t)

didapatkan dengan menggunakan transformasi Laplace balik dari C(s)

adalah

untuk t ≥ 0 (5.47)

Jika semua pole-pole lingkar tertutup berada disebelah kiri sumbu

khayal bidang s maka suku-suku ekspoensial dan suku-suku eksponensial

teredam pada persamaan (5.47) mendekati nol dengan membesarnya

waktu t. Selanjutnya keluaran keadaan mantapnya adalah c(∞) = a.

Contoh 5.5:

Tentukan tanggapan masukan undak dari system berumpan balik

satu yang mempunyai fungsi alih lingkar terbuka

) )

) )


Jawab:

Fungsi alih lingkar tertutup sistem adalah )

)

)

) ) )

)

)

)

)

)

)

) )

Tanggapan terhadap masukan undak satuan adalah

) )

) )

Difaktorkan menjadi

)

)

)

)

)

Dengan menggunakan transformasi Laplace balik diperoleh c(t) dengan

nilai sebagai berikut

)

untuk t ≥ 0


clc

clear all

close all

% Contoh Soal 5.5

num = [ 0 0 0 5 100];

den = [ 1 8 32 80 100];

%

% Fungsi alih


sys1 = tf(num,den)

%

t = 0:0.02:30;

[y,x,t] = step(num,den,t);

plot(t,y);

grid on


ylabel('Keluaran')

xlabel('t detik')

Hasil program

Gambar 5.10 Tanggapan Sistem Orde Empat (orde Tinggi) Terhadap Masukan Undak Satuan


Latihan Soal:

1. Sistem lingkar tertutup orde 1 dengan waktu tunda dinyatakan

dalam bentuk fungsi alih pada persamaa berikut:

)

⁄ )

Dengan menggunakan Matlab, tentukan nilai – nilai parameter

peralihan sebagai berikut:

o Nilai waktu naik

o Nilai waktu puncak

o Nilai waktu keadaan mantap

o Nilai puncak

o Nilai lewatan maksimum

o Grafik tanggapan peralihan terhadap masukan undak satuan

2. Sistem lingkar tertutup orde 1 dinyatakan dalam bentuk fungsi alih

pada persamaan berikut:

)

⁄ )


peralihan sebagai berikut

o Nilai minimum

o Nilai waktu minimum

o Nilai maksimum

o Nilai waktu maksimum

o Waktu keadaan mantap

o Grafik tanggapan peralihan terhadap masukan eksponensial e-4t .



)

⁄ )




o Nilai minimum


o Nilai maksimum



o Grafik tanggapan peralihan terhadap masukan gelombang

sinusoidal.



)

⁄ )



o Nilai minimum


o Nilai maksimum



o Grafik tanggapan peralihan terhadap masukan impulsa satuan.



)

⁄ )



o Nilai minimum



o Nilai maksimum



o Grafik tanggapan peralihan terhadap masukan undak satuan.



)



o Nilai K

o Nilai

o Nilai Zeta )

o Nilai waktu tunda

o Nilai waktu naik

o Nilai waktu puncak

o Nilai Waktu keadaan mantap untuk kriteria 2 %, 5 % dan 0.5 %

o Nilai puncak

o Nilai lewatan maksimum

o Grafik tanggapan peralihan terhadap masukan undak satuan.


6.1. Pendahuluan

Sebuah sistem dikatakan tidak stabil jika tanggapannya terhadap suatu

masukan menghasilkan osilasi yang keras atau bergetar pada suatu

amplitudo/harga tertentu. Sebaliknya suatu sistem disebut stabil jika

sistem tersebut akan tetap dalam keadaan diam atau berhenti kecuali jika

dieksitasi oleh suatu fungsi masukan dan akan kembali dalam keadaan

diam jika eksitasi tersebut dihilangkan. Ketidakstabilan merupakan suatu

keadaan yang tidak menguntungkan bagi suatu sistem lingkar tertutup

sedangkan pada suatu sistem lingkar terbuka tidak dapat tidak harus

stabil. Jelas untuk memperoleh nilai yang memberikan manfaat praktis

sebuah sistem kendali harus stabil. Masukan sistem tidak memberikan

pengaruh terhadap kestabilan suatu sistem sehingga jika sistem tersebut

stabil terhadap suatu masukan maka sistem akan stabil untuk masukan

yang ada. Sebaliknya kestabilan hanya bergantung pada karakteristik

daripada sistem itu sendiri.

Tanggapan suatu sistem stabil dapat dikenali dari adanya peralihan

yang menurun menuju nol terhadap pertambahan waktu. Ini berarti

bahwa untuk mendapatkan sebuah sistem yang stabil, koefesien-

koefesien dari suku eksponensial yang terdapat dalam tanggapan

peralihan tersebut harus merupakan bilangan-bilangan nyata yang negatif

atau bilangan kompleks dimana bagian nyata adalah negatif.

Contoh 6.1:

6 BAB 6

ANALISIS KESTABILAN SISTEM


Sistem orde satu mempuyai persamaan differensial sebagai berikut

Jawab:

Didapatkan

)

Persamaan x(t) adalah solusi dari persamaan differensial yang

bersifat tidak stabil karena eksponen dari t adalah positif. Akibatnya

tanggapan akan bertambah besar terhadap pertambahan waktu. Dalam

praktek, secara aktual tanggapan ini tidak akan terus menjadi tidak

terhingga tetapi akan mencapai suatu harga batas yang besarnya

ditentukan oleh sifat sistem tersebut.

Contoh 6.2:

Gambar 6.1 Sistem Mekanik


Persamaan dinamik sistem mekanik

) ) (6.1)

Dimana m = 1 kg , b = 0.75 N-sec/m dan K = 1.25 N/m dan asumsi

pada saat t = 0 nilai y(0) = 0 dan )

= ) . Tentukan tanggapan

sistem terhadap masukan undak satuan.

Jawab:

Dengan menggunakan transformasi Laplace didapatkan

[ ) ) )] [ ) )] ) )

dengan memasukkan nilai-nilai yang diketahui diperoleh

)[ ) ) ] )[ ) ] ) ) )

) ) )

)

)

Persamaan keluaran sistem mekanik tersebut menjadi jika diberi


)

)

)

Dengan menggunakan metoda pecahan bagian kecil diperoleh

)

)

)

dengan menggunakan transformasi Laplace balik didapatkan

)

√

√

√

untuk t ≥ 0


Persamaan y(t) ini menyatakan suatu tanggapan yang berosilasi

dengan amplitudo yang berkurang terhadap waktu secara eksponensial.

Berdasarkan pengertian kestabilan maka sistem mekanik ini bersifat

stabil.


clc

clear all

close all

% Contoh Soal 6.2

num = [ 0 0 1];

den = [ 1 0.75 1.25];

%

num1 = [ 0 0 0 1];

den1 = [ 1 0.75 1.25 0];

%

[z,p,k] = residue(num1,den1)

step(num,den)

grid on


ylabel('Keluaran')

xlabel('t detik')

%

syms s t ;

Fs= 1/(s^3 + 0.75*s^2 + 1.25*s); ft=ilaplace(Fs)

Hasil program

z =

-0.4000 + 0.1424i

-0.4000 - 0.1424i

0.8000

p =


-0.3750 + 1.0533i

-0.3750 - 1.0533i

0

k =

[]

ft =

4/5-4/5*exp(-3/8*t)*cos(1/8*71^(1/2)*t)-12/355*71^(1/2)*exp(-

3/8*t)*sin(1/8*71^(1/2)*t)

Plot grafik

Gambar 6.2 Tanggapan Keluaran Sistem Mekanik Terhadap Masukan Undak Satuan

Untuk menentukan apakah suatu sistem bersifat stabil atau tidak

terdapat beberapa cara yang dapat digunakan berbagai metoda

diantaranya

1. Persamaan karakteristik

2. Kriteria Routh


3. Kriteria Hurwitz

4. Kriteria Continued Fraction

6.2. Persamaan Karakteristik

Fungsi alih sebuah elemen atau sistem disebut juga fungsi karakteristik

sistem. Fungsi ini menentukan kelakuan tanggapan peralihan dan dapat

memberikan informasi mengenai kestabilan sistem tersebut. Pada

Gambar 6.3 diperlihatkan blok diagram umum untuk suatu sistem umpan

balik dimana fungsi alihnya adalah

)

)

)

) ) (6.2)

Sehingga

) ) )

) ) (6.3)

Gambar 6.3 Diagram Blok Sistem Lingkar Tertutup

Dengan demikian persamaan (6.3) menunjukkan bahwa tanggapan

keluaran adalah perkalian antara fungsi sistem terhadap fungsi masukan.

Selanjutnya karena fungsi masukan tidak mempengaruhi terhadap bentuk

fungsi transien maka tidak ada hubungan apakah sistem tersebut stabil


atau tidak. Dengan demikian fungi masukan yaitu pembilang dalam

persamaan (6.4) dapat dibuat nol tanpa mempengaruhi bentuk peralihan

sehingga

) ) )[ ) )] (6.4)

atau

) ) (6.5)

Persamaan (6.5) disebut persamaan karakteristik sistem lingkar

tertutup, dimana dari persamaan (6.5) ini dapat ditentukan apakah suatu

sistem bersifat stabil atau tidak. Fungsi alih lingkar terbuka yang

dinyatakan oleh G(s)H(s) dan dituliskan dalam bentuk perbandingan dua

buah polinomial yaitu N(s) dan D(s) berikut

) ) )

) (6.6)

Dengan menggantikan harga ini ke dalam persamaan (6.6) diperoleh

) ) )

)

) )

) (6.7)

karena menurut persamaan (6.6), 1+G(s)H(s) = 0 maka dari persamaan

(6.7) berlaku

) )

) 0 (6.8)

atau

D(s) + N(s) = 0 (6.9)

Faktor D(s) dan N(s) dalam persamaan (6.9) dapat dikalikan bersama,

maka persamaan karakteristik dapat dituliskan dalam bentuk yang lebih

umum untuk orde-n sebagai berikut

(6.10)

Akar-akar persamaan ini dapat ditentukan sehingga bentuknya dapat

diuraikan sebagai berikut


) ) ) ) ) (6.11)

Dimana : adalah akar-akar polinomial yang

dinyatakan oleh persamaan (6.11) yang disebut juga akar-akar persamaan

karakteristik. Selanjutnya dari persamaan (6.11) dapat ditentukan

kestabilan sistem dengan cara melihat apakah akar-akar persamaan

karakteristik tersebut memenuhi terhadap syarat kestabilan yaitu agar

suatu sistem bersifat stabil maka bagian nyata dari akar-akar persamaan

karakteristiknya harus bernilai negatif.

Contoh 6.3

Jika pada Gambar 6.3 fungsi alihnya adalah

)

) dan )

Tentukan apakah sistem tersebut stabil atau tidak

Jawab:

Persamaan karakteristik adalah

) )

)

= 0

berubah menjadi

maka akar-akarnya : r1 = -4 dan r2 = -1

Karena bagian nyata dari kedua akar-akar dari persamaan

karakteristik ini semuanya bernilai negatif maka sistem bersifat stabil.


clear all

close all

% Contoh Soal 6.3

%

p = [1 5 4]

roots(p)


Hasil program

K =

-4

-1

Contoh 6.4:

Fungsi alih lingkar terbuka sebuah sistem kendali adalah

)

) ) dan )

Tentukan apakah sistem tersebut stabil atau tidak.

Jawab:

) )

) ) = 0

) )

Jika diuraikan akan menghasilkan

) ) )

Sehingga akar-akar persamaan karakteristik adalah

r1 = -160

r2 = 5 + j81.0864

r3 = 5 – j81.0864

dari akar-akar persamaan karakteristik system dapat dilihat bahwa

akar r2 dan r3 mempunyai bagian nyata yang positif yang menyebabkan

sistem menjadi tidak stabil.


clear all

close all

% Contoh Soal 5.4


%

p = [1 150 5000 1056000];

K = roots(p)

Hasil program

K =

1.0e+002 *

-1.6000

0.0500 + 0.8109i

0.0500 - 0.8109i

6.3. Kriteria Routh

Penentuan kestabilan suatu sistem berdasarkan persamaan karakteristik

akan mengakibatkan kesulitan bagi persamaan yang tingkatannya (orde)

yang lebih tinggi yaitu dalam menentukan akar-akar persamaan

karakteristik tersebut. Suatu cara lain untuk menentukan kestabilan suatu

sistem tanpa menghitung akar-akar persamaan karakteristiknya adalah

menggunakan kriteria Routh. Kriteria ini merupakan metode aljabar untuk

menentukan kestabilan dalam wawasan s (Laplace). Cara ini akan

menunjukkan adanya akar-akar yang tidak stabil beserta jumlahnya tetapi

tidak menentukan nilai atau kemungkinan cara untuk mencegah

ketidakstabilan.

Prosedur penentuan stabilitas berdasarkan kriteria Routh berikut;

a. Tuliskan persamaan karakteristik sistem dalam bentuk polinomial

berikut

(6.12)

dimana :

adalah koefisien dari persamaan tesebut.

b. Koefesien-koefesien persamaan tersebut disusun dalam suatu

barisan yang menyerupai sebuah matriks dengan bentuk berikut


a0, a2, a4, a6 …………………

a1, a3, a5, a7 …………………

b1, b3, b5, b7 …………………

c1, c3, c5, c7 …………………

d1, d3, d5, d7 …………………

dst (6.13)

Dimana cara penyusunannya

Baris pertama adalah koefesien-koefesien yang terdiri dari indeks

genap (a0, a2, a4, a6 … dst )

Baris kedua adalah koefesien-koefesien yang terdiri dari indeks ganjil

(a1, a3, a5, a7, …. dst ) yang dimulai dari angka satu.

Baris ketiga dinyatakan oleh b1, b3, b5, b7 …. dst, dimana harga b1, b3,

b5, b7 ….. dst ditentukan dari harga-harga dari baris pertama dan

kedu.

Baris ketiga dinyatakan oleh c1, c3, c5, c7 ……dst , dimana harga c1, c3,

c5, c7 ….. dst ditentukan dari harga-harga dari baris kedua dan ketiga.

Baris keempat dinyatakan oleh d1, d3, d5, d7 ….dst , dimana harga d1,

d3, d5, d7 ….dst ditentukan dari harga-harga dari baris ketiga dan

keempat.

Demikian seterusnya.

Jumlah baris ini bergantung pada orde persamaan karakteristik

tersebut. Susunan barisan ini disebut barisan Routh. Untuk menentukan

harga-harga b1, b3, b5, b7 ……; c1, c3, c5, c7 ……dst . Susunan barisan ini

dianggap suatu determinan sehingga hargaharga tersebut dapat

ditentukan berikut

|

|

(6.14)


|

|

(6.15)

|

|

(6.16)

dan seterusnya.

Selanjutnya harga-harga c1, c3, c5, c7, …..dst ditentukan berikut

|

|

(6.17)

|

|

(6.18)

|

|

(6.19)

dan seterusnya.

Selanjutnya harga d1, d3, d5 , … ; ditentukan dengan cara yang sama.

Dengan demikian pada pada akhirnya akan diperoleh suatu susunan

barisan yang lengkap berbentuk segitiga dimana jumlah baris adalah

sebanyak pangkat tertinggi dari s ditambah satu. Berarti untuk persamaan

orde-dua jumlah baris adalah 3 (tiga), untuk persamaan orde-tiga menjadi

4 (empat) dan seterusnya. Setelah itu periksa kolom pertama dari

persamaan (6.14) apakah terjadi perubahan tanda. Jika tidak terjadi

perubahan tanda pada kolom pertama berarti sistem bersifat stabil dan

begitu pula sebaliknya jika terjadi perubahan tanda pada kolom pertama

berarti sistem tidak stabil.

Contoh 6.5:

Persamaan karakteristik


Periksa kestabilan sistem dengan menggunakan kriteria Routh.

Jawab:

Disusun dalam barisan Routh menjadi

1 12 0

6 8 0

0

8

karena pada kolom pertama tidak terdapat perubahan tanda maka semua

akar-akar persamaan karakteristik mempuyai bagian nyata yang negatif

dan sistem bersifat stabil.


clc

clear all

close all

% Contoh Soal 6.5

%

p = [1 6 12 8]

routh(p)

Hasil program

p =

1 6 12 8

Routh Array

1.0000e+000 1.2000e+001

6.0000e+000 8.0000e+000

1.0667e+001 0

8.0000e+000 0

System is stable


Cotoh 6.6:



Jawab:


1 8 0

4 -12 0

4 0

-12

karena pada kolom pertama terdapat perubahan tanda sebanyak 1 kali

maka pada persamaan karakteristik terdapat satu buah akar yang

mempuyai bagian nyata yang positif dan sistem bersifat tidak stabil.


clc

clear all

close all

% Contoh Soal 6.6

p = [1 4 8 -12]

routh(p)

Hasil program

p =

1 4 8 -12


Routh Array

1 8

4 -12

11 0

-12 0

There are 1 roots in the right half s-plane

Contoh 6.7:



Jawab:


1 8 0

-4 -12 0

4 0

-12

karena pada kolom pertama terdapat perubahan tanda sebanyak 3 kali

maka pada persamaan karakteristik terdapat 3 buah akar yang mempuyai

bagian nyata yang positif dan sistem bersifat tidak stabil.


clc

clear all

close all

% Contoh Soal 6.7

p = [1 -4 8 -12]

routh(p)


Hasil program

p =

1 -4 8 -12

Routh Array

1 8

-4 -12

5 0

-12 0

There are 3 roots in the right half s-plane

Contoh 6.8:



Jawab:


1 3 0

3 1+K 0

0

1+K

Agar sistem bersifat stabil maka kolom pertama tidak boleh terjadi

perubahan tanda oleh karena harus dipenuhi 8 −K > 0 dan 1+ K > 0 . Jika

suku kolom pertama pada suatu baris sama dengan nol tetapi suku-suku

berikutnya tidak sama dengan nol atau memang tidak ada suku

berikutnya maka suku tersebut diganti dengan suatu bilangan positif yang

sangat kecil ε yang selanjutnya digunakan untuk menghitung suku-suku

berikutnya.


Contoh 6.9:



Jawab:


1 1 0

2 2 0

0 - 0

2

Jika tanda koefesien diatas nol (ε) sama dengan tanda koefesien di bawah

nol berarti ada sepasang akar imaginer.

6.4. Kriteria Hurwitz

Cara lain menetukan stabilitas sebuah sistem adalah metoda Hurwitz.

Dengan metoda Hurtwitz ini dilakukan pemeriksaan apakah semua akar-

akar persamaan karakteristik memiliki bagian nyata yang negatif. Hal ini

ditentukan dengan cara menggunakan determinan. Persamaan

karakteristik dibuat dalam bentuk determinan berikut

(6.20)

|

| (6.21)

|

| (6.22)

Dan seterusnya sampai maka semua akar-akar persamaan

karakteristik mempuyai bagian nyata yang negatif hanya dan hanya jika

> 0 untuk i=1,2,3,…,n . Sebagai ilustrasi bila n = 3 diperoleh


(6.23)

|

| |

| (6.24)

|

| |

| (6.25)

Agar semua akar-akar memiliki bagian nyata yang negatif, harus dipenuhi

(6.26)

(6.27)

(6.28)

Contoh 6.10:

Suatu persamaan karakteristik

Periksa kestabilan sistem dengan menggunakan kriteria Hurwitz.

Jawab:

|

| |

| |

| 2112

|

| |

| |

| 88

8

Menurut kriteria Hurwitz sistem bersifat stabil karena setiap determinan

dan bernilai positif.


clc

clear all

close all


% Contoh Soal 6.10

hurwitz3(1,8,14,24)

Hasil program

delta_3 =

2112

delta_2 =

88

delta_1 =

8

Sistem stabil

Contoh 6.11:


Periksa kestabilan sistem dengan menggunakan kriteria Hurwitz.

Jawab:

|

| |

| |

|

|

| |

| |

| 208

8

maka menurut kriteria Hurwitz sistem bersifat tidak stabil karena

determinan bernilai negatif.


clc

clear all

close all

% Soal Contoh 6.11


hurwitz3(4,8,14,-24)

Hasil program

delta_3 =

-4992

delta_2 =

208

delta_1 =

8

Sistem tidak stabil

Contoh 6.12:


Dengan menggunakan kriteria Hurwitz tentukan nilai K agar sistem besifat

stabil.

Jawab:

|

| |

| |

| )

Agar sistem bersifat stabil maka determinan dan harus bernilai

positif. Untuk mendapatkan determinan yang bernilai positif maka K > 0

dan (2K-1) > 0.

6.5. Kriteria Continued Fraction


)

(6.29)

Persamaan (6.29) kemudian dibagi menjadi bagian genap dan ganjil

dengan bentuk berikut


)

(6.30)

)

(6.31)

Kemudian persamaan (6.30) dan (6.31) menjadi

)

)

(

) (

)

)

)

(6.33)

Sistem akan bersifat stabil jika koefesien h1, h2, … , hn bernilai positif. Hal

ini akan mengakibatkan akar-akar persamaan karakteristik Q(s) = 0 akan

mempuyai bagian nyata yang negatif.

Contoh 6.13:


Periksa kestabilan sistem bersifat stabil atau tidak dengan menggunakan

kriteria Continued Fraction.

Jawab:

)

Persamaan karakteristik diatas dibagi menjadi

)

)

diperoleh


)

)

didapat

Sistem bersifat stabil karena koefisien h1, h2 dan h3 bernilai positif.


clc

clear all

close all

% Contoh Soal 6.13

fraction3(1,6,12,8)

Hasil program

h1 =

0.1667

h2 =

0.5625

h3 =

1.3333

Sistem stabil

Contoh 6.14


Periksa apakah sistem bersifat stabil atau tidak dengan menggunakan

kriteria Continued Fraction.

Jawab:

)


Persamaan karakteristik diatas dibagi menjadi

)

)

diperoleh

)

)

didapat

Sistem tidak bersifat stabil karena koefesien h3 dan h4 bernilai negatif.


clc

clear all

close all

% Contoh Soal 6.14

fraction4(1,4,8,16,32)

Hasil program

h1 =

0.2500

h2 =

1

h3 =

-0.2500

h4 =

-0.5000

Sistem tidak stabil


Latihan Soal:

1. Untuk sistem pada Gambar 1 dengan fungsi alih dinyatakan dalam

bentuk persamaan (1) dan (2) berikut

+-

G(S)

H(S)

R(S) C(S)

Gambar 1. Diagram Blok Sistem Umpan Balik Negatif

)

) (1)

)

) (2)

Dengan menggunakan program Matlab, periksa kestabilan dari

sistem pada Gambar 1 dengan menggunakan:

a) persamaan karakteristik.

b) Kriteria Routh.

c) Kriteria Hurwitz.

d) Kriteria Continued Fraction.


7.1. Pendahuluan

Karakteristik tanggapan peralihan merupakan ciri performansi penting

dari sistem kendali. Ciri penting lainnya adalah kesalahan sistem.

Kesalahan dalam suatu sistem kendali dapat disebabkan oleh beberapa

faktor. Perubahan masukan acuan akan menimbulkan kesalahan yang

tidak dapat dihindari selama perioda peralihan dan dapat juga

menimbulkan kesalahan dalam keadaan tunak. Ketidaksempurnaan

komponen sistem seperti gesekan statik, ”backslash” dan drift penguat

maupun penuaan atau pemburukan akan menimbulkan kesalahan

keadaan tunak. Kesalahan keadaan tunak merupakan ukuran ketelitian

suatu sistem kendali. Performasi keadaan tunak suatu sistem kendali yang

bersifat stabil biasanya dinilai dari kesalahan keadaan tunak yang

disebabkan oleh masukan undak, laju maupun percepatan.

Sudah menjadi sifatnya bahwa setiap sistem kendali fisik mempuyai

kesalahan keadaan tunak dalam memberikan respon terhadap jenis-jenis

masukan tertentu. Suatu sistem mungkin bebas dari kesalahan keadaan

tunak terhadap masukan undak tetapi sistem yang sama mungkin

menunjukkan kesalahan keadaan tunak terhadap masukan laju. Ada atau

tidaknya kesalahan keadaan tunak suatu sistem untuk suatu jenis

masukan tergantung pada jenis fungsi alih lingkar terbuka.

7 BAB 7

ANALISIS KESALAHAN


7.2. Koefisien Kesalahan Statik

Koefesien kesalahan statik didefinisikan sebagai ukuran perbaikan sistem

kendali. Semakin tinggi koefesien ini maka kesalahan keadaan tunaknya

semakin kecil. Pada suatu sistem yang diberikan, keluarannya dapat

berupa posisi, kecepatan, tekanan, temperature dan sebagainya. Akan

tetapi, bentuk fisik keluaran tidak penting dalam analisis ini karena itu

keluaran posisi, laju perubahan keluaran “kecepatan” dan sebagainya. Ini

berarti bahwa pada sistem pengendalian temperature, “posisi”

menyatakan temperature keluaran, “kecepatan” menyatakan laju

perubahan temperature dan sebagainya.

Selain itu besar kesalahan keadaan tunak yang disebabkan oleh

masing-masing masukan merupakan indikasi kebaikan sistem. Tinjau

fungsi alih lingkar terbuka berikut

) ) ) ) ) )

) ) ) (7.1)

Ketentuan

o K + n > m

o z1 , z2 , z3 , … , zm adalah zero dari G(s) ≠ 0

o p1 , p2 , p3 , … , pk adalah pole dari G(s) ≠ 0

Fungsi alih pada persamaan (7.1) melibatkan bentuk pada

penyebutnya dimana menyatakan pole rangkap N di titik asal. Pola

klasifikasi yang sekarang ini didasarkan pada banyaknya integrasi yang

ditunjukkan oleh fungsi alih lingkar terbuka. Sistem disebut tipe 0, tipe 1,

tipe 2….. masing-masing jika N = 0, N = 1, N = 2…… Jika angka tipe

diperbesar maka ketelitian menjadi semakin baik akan tetapi

membesarnya angka tipe akan memperburuk persoalan kestabilan.

Kompromi antara ketelitian keadaan tunak dan kestabilan relatif selalu

diperlukan. Dalam praktek jarang sekali dijumpai sistem tipe 3 atau lebih

tinggi karena biasanya sulit untuk mendisain sistem stabil yang mempuyai

lebih dari dua integrasi pada lintasan umpan maju.


Kesalahan keadaan tunak. Tinjau sistem lingkar tertutup berikut ini

+-

R(S) C(S)G(S)

E(S)

Gambar 7.1 Diagram Blok Sistem Lingkar Tertutup

Fungsi alih lingkar tertutup

)

)

)

) ) (7.2)

Fungsi alih antara sinyal masukan kesalahan penggerak e(t ) dan

sinyal masukan r (t ) adalah

)

)

) )

)

) ) (7.3)

Dimana sinyal kesalahan penggerak e(t) adalah selisih antara sinyal

masukan dan sinyal umpan balik. Dengan menggunakan teorema harga

akhir dapat ditentukan performansi keadaan tunak sistem stabil karena

E(s) adalah

)

) ) ) (7.4)

Maka sinyal kesalahan penggerak keadaan tunaknya adalah

) )

) ) (7.5)

Koefesien kesalahan posisi statik (Kp) . Kesalahan penggerak keadaan

tunak sistem untuk masukan undak satuan adalah

)

) )

) ) (7.6)

Koefesien kesalahan posisi statik (Kp) didefinisikan sebagai


) ) (7.7)

Jadi kesalahan penggerak keadaan tunak dalam bentuk koefesien

kesalahan posisi statik (Kp) dinyatakan

(7.8)

Untuk sistem tipe 0,

) ) )

) ) ) (7.9)

Untuk sistem tipe 1 atau lebih tinggi,

) ) )

) ) ) (7.10)

Untuk N ≥ 1

Jadi untuk sistem tipe 0, koefesien kesalahan posisi statik (Kp) adalah

terhingga, sedangkan untuk tipe 1 atau lebih tinggi koefesien kesalahan

posisi statik (Kp) tak terhingga. Untuk masukan undak satuan, kesalahan

penggerak keadaan tunak (ess) dapat diringkas sebagai berikut

(7.11)

ess = 0

Dari analisis diatas terlihat bahwa tanggapan sistem kendali

berumpan balik satu terhadap masukan undak satuan mempuyai

kesalahan keadaan tunak jika tidak ada integrasi pada lintasan umpan

maju. Jika diinginkan kesalahan keadaan tunak nol untuk masukan undak

satuan maka tipe sistem harus satu atau lebih tinggi.

Koefesien kesalahan kecepatan statik (Kv). Kesalahan penggerak

keadaan tunak sistem dengan masukan laju satuan dinyatakan sebagai

) )

) )

) ) (7.12)


Koefesien kesalahan kecepatan statik (Kv) didefinisikan sebagai

) ) (7.13)


kesalahan kecepatan statik (Kv) dinyatakan sebagai

(7.14)

Istilah kesalahan kecepatan digunakan untuk menyatakan kesalahan

keadaan tunak terhadap masukan laju satuan. Dimensi kesalahan

kecepatan adalah sama dengan kesalahan sistem. Jadi kesalahan

kecepatan bukan merupakan kesalahan dalam kecepatan tetapi

merupakan kesalahan posisi yang ditimbulkan oleh masukan laju satuan


) ) )

) ) ) (7.15)


) ) )

) ) ) (7.16)

Untuk sistem tipe 2 atau lebih tinggi,

) ) )

) ) ) (7.17)

Untuk N ≥ 2

Analisis diatas menunjukkan bahwa sistem tipe 0 tidak dapat

mengikuti masukan laju satuan pada keadaan tunak. Sistem tipe 1 dengan

umpan balik satu dapat mengikuti masukan laju satuan dengan kesalahan

terhingga. Pada operasi keadaan tunak, kecepatan keluaran tepat sama

dengan kecepatan masukan, tetapi ada kesalahan posisi. Kesalahan ini

sebanding dengan kecepatan masukan dan berbanding terbalik dengan

penguatan K.


Koefesien kesalahan percepatan statik (Ka). Kesalahan penggerak

keadaan tunak sistem dengan masukan parabolik satuan dinyatakan

sebagai

)

untuk t ≥ 0 dan r(t) = 0 untuk t < 0 (7.18)

dinyatakan sebagai

) )

) )

) )

) ) (7.19)

Koefesien kesalahan percepatan statik (Ka) didefinisikan sebagai

) ) (7.20)


kesalahan percepatan statik (Ka) dinyatakan sebagai

(7.21)

Perhatikan bahwa kesalahan percepatan, kesalahan keadaan tunak

yang ditimbulkan oleh masukan parabolik adalah kesalahan posisi. Harga

Ka diperoleh berikut


) ) )

) ) ) (7.22)


) ) )

) ) ) (7.23)



) ) )

) ) ) (7.24)


) ) )

) ) ) (7.25)

Untuk N ≥ 3,

Jadi kesalahan penggerak keadaan tunak untuk masukan parabolik satuan

ess = ∞ untuk sistem tipe 0 dan tipe 1

untuk sistem tipe 2

untuk sistem tipe 3 atau lebih tinggi

Terlihat bahwa baik sistem tipe 0 maupun tipe 1 tidak mampu

mengikuti masukan parabolic pada keadaan tunak. Sistem tipe 2 dengan

umpan balik satu dapat mengikuti masukan parabolik dengan sinyal

kesalahan penggerak terhingga. Tabel 7.1 berikut merupakan ringkasan

kesalahan keadaan tunak sistem tipe 0, tipe 1 dan tipe jika dikenai

beberapa macam masukan. Harga terhingga kesalahan keadaan tunak

tampak pada garis diagonal. Di atas diagonal ini kesalahan keadaan

tunaknya tidak terhingga sedangkan di bawah diagonal ini kesalahan

keadaan tunaknya nol.

Tabel 7.1 Kesalahan Keadaan Tunak Dalam Bentuk Penguatan K

Koefesien kesalahan Kp, Kv dan Ka menggambarkan kemampuan

sistem untuk memperkecil atau menghilangkan kesalahan keadaan tunak.


Untuk itu, koefesien-koefesien tersebut merupakan indikasi performansi

kesalahan keadaan tunak. Biasanya diinginkan untuk memperbesar

koefesien kesalahan dengan menjaga respon peralihan dalam daerah

yang masih dapat diterima. Selain itu untuk memperbaiki performansi

keadaan tunak, dapat dilakukan dengan menaikkan tipe sistem dengan

menambah satu integrator atau lebih pada lintasan umpan maju.

Contoh 7.1:

Diketahui: )

) dan )

Tentukan:

a. Tipe sistem

b. c(t)ss bila masukannya undak satuan

c. Kp, Kv dan Ka untuk K = 10

d. e(t)ss bila masukannya undak satuan, laju satuan dan parabolik

satuan untuk K = 10

Jawab:

)

)

)

) ) )

) )

a. Sistem tipe 1

b. )

) )

) ) )

)

) )

)

) ) )

c. ) ) )

) )

) )

)

) )


) )

)

) )

d. Untuk masukan undak satuan diperoleh

)

0

Untuk masukan laju satuan diperoleh

)

Untuk masukan parabolik diperoleh

)


clc

clear all

close all

% Contoh Soal 7.1

num = [ 0 0 10 10];

den = [ 1 5 6 0];

%

errortf(num,den)

Hasil program

System type is 1

Error Constants:

Kp Kv Ka

Inf 1.6667 0

Steady-state Errors:

Step Ramp Parabolic

0 0.6000 Inf


7.3. Analisa Kepekaan Sistem

Kepekaan adalah ketergantungan sistem keseluruhan terhadap

perubahan subsistemnya. Untuk itu didefinisikan suatu ukuran kepekaan

sistem. Sistem diwakili oleh fungsi alih sistem keseluruhan T dan

subsistem oleh fungsi alih subsistem tersebut Gi. Kepekaan juga

didefinisikan sebagai perbandingan antara perubahan relatif dari T dan

perubahan relatif dari Gi dan ditulis

.

⁄

⁄ (7.26)

atau bila diambil limitnya, bentuk di atas menjadi bentuk diferensial

⁄

⁄

(7.27)

Untuk memberikan ilustrasi tentang kepakaan ini, sebuah sistem

kendali yang dinyatakan oleh diagram blok berikut

Gambar 7.2 Diagram Blok Sistem Lingkar Tertutup Model I.

) )

)

) )

) ) (7.28)

Akan dilihat kepekaan sistem terhadap perubahan Gi, G, dan H

a. Terhadap perubahan G1(s)

(7.29)


Perubahan relatif dari T akan sama dengan perubahan relative dari

G1

b. Terhadap perubahan H(s)

)

)

)

(7.30)

Bila GH ≤ 1 maka = −1 atau perubahan relatif T sama dengan

perubahan relatif H (dalam arah berlawanan).

c. Terhadap perubahan G(s)

)

)

)

)

(7.31)

Bila GH ≤ 1 maka << 1 atau perubahan relatif T sangat kecil

dibandingkan dengan perubahan relatif G.

Hasil-hasil di atas cukup menarik, yaitu dalam perancangan sistem

kendali, subsistem Gi dan H harus cukup kritis, karena perubahan relatif

padanya akan mengakibatkan perubahan relatif yang sama besar pada

sistem keseluruhan. Oleh karena itu, Gi dan H harus merupakan

peralatan-peralatan yang baik, teliti, dan stabil terhadap perubahan-

perubahan dari luar, seperti temperatur, waktu, dan sebagainya. Untuk


elemen arah maju G ternyata tidak perlu terlalu baik karena

ketergantungan padanya cukup kecil. Tentu saja asal GH cukup besar.

Contoh 7.2: Untuk sistem berikut ini

)

)

)

Tentukan kepekaan fungsi alih terhadap K

Jawab:

)

)

)

) ) )

) )

TF = )

) )

)

)

)

) ) ) = T(s)

Kepekaan TF terhadap K

)

) )

(

) )) ) (

))

)(

)

) ))

)

)

) )

)


Latihan Soal:

1. Untuk sistem dengan persamaan berikut:

)

dan )

Dengan menggunakan formula matematis dan program Matlab,

tentukan:

a) Tipe Sistem.

b) Kp, Kv, Ka untuk K = 10.

c) e(t)ss bila masukannya undak satuan, laju satuan dan parabolik

satuan untuk K = 10.

2. Dengan menggunakan Matlab, lakukan analisa kesalahan untuk

fungsi alih lingkar terbuka pada persamaan berikut:

)

) ) dan )

)

)

Tentukan:

a) Tipe sistem

b) Konstanta kesalahan posisi, konstanta kesalahan kecepatan dan

konstanta kesalahan percepatan jika K = 150

c) Kesalahan keadaan mantap sistem jika diberi masukan undak

satuan, laju satuan dan parabolik satuan.

3. Suatu sistem kendali kalang tertutup berumpan balik seperti pada

gambar diagram blok berikut :


S

2

2)(S

1

R(S) + +

3

1

+_

C(S)

S

1

2

1

k

1

Tentukan : a). Tipe Sistem.

b). Kepekaan fungsi alih terhadap K.

b). c(t)ss dan e(t)ss bila masukannya r(t) = 10u(t)

c). Kp, Kv dan Ka.



KR(S) C(S)+ +

__ S

1

1)(S

2

Tentukan : a). Tipe Sistem.

b). Kepekaan fungsi alih terhadap K

c). c(t)ss dan e(t)ss jika masukannya r(t) = 2u(t)

d). Kp, Kv dan Ka.




10S

K

2)(S

1

R(S) + +

2

1

+_

C(S)

S

1

Tentukanlah :

a) Tipe Sistem.

b) Kepekaan fungsi alih terhadap K.

c) c(t)ss dan e(t)ss bila masukannya r(t) = 2 u(t)

d) Kp, Kv dan Ka.


8.1. Pendahuluan

Dalam perencanaan sebuah sistem kendali, hal pertama yang harus

dilakukan adalah mendefinisikan struktur sistem tersebut secara tepat.

Perencanaan ini biasanya dilakukan agar memenuhi terhadap spesifikasi

diantaranya ketelitian, kecepatan memberikan jawaban, lonjakan yang

diinginkan, waktu keadaan mantap dan stabilitas yang dinyatakan oleh

“gain margin” dan “phase margin”. Jika sebuah sistem kendali bersifat

stabil dan hanya memerlukan perbaikan tanggapan maka yang dilakukan

adalah penggunaan alat-alat kendali dari jenis P (proporsional), I (integral)

atau D (diferensial). Sebaliknya jika pada perencanaan permulaan telah

membuktikan ketidakstabilan atau mendekati tidak stabil atau

kecenderungan keadaan tidak stabil sewaktu mencoba memperbaiki

tanggapan system tersebut maka pada sistem harus ditambahkan

peralatan kompensasi. Peralatan ini berfungsi untuk mengubah

penguatan dan sudut fasa agar dapat menghasilkan perbaikan terhadap

“gain margin” dan “phase margin”. Dengan demikian perbaikan sistem

kendali dilakukan dengan dengan dua cara yaitu menggunakan kontroller

dan teknik kompensasi. Pada bab ini akan dibahas mengenai alat-alat

kendali jenis P (proporsional), I(integral) atau D (diferensial) serta

kombinasi dari alat-alat kendali tersebut.

8 BAB 8

AKSI DASAR PENGENDALIAN


8.2. Pengendali Tipe Proporsional (P)

Pada alat kendali jenis P (proporsional) ini terdapat hubungan

kesebandingan antara keluaran terhadap kesalahan yaitu

Gambar 8.1 Blok Diagram Untuk Pengendali Proporsional (P)

Persamaan matematis untuk pengendali proporsional

) ) (8.1)

Fungsi alih untuk pengendali proposional

) ) (8.2)

Dimana :

Kp : Konstanta pengendali proporsional

Pertambahan harga Kp akan menaikkan penguatan sistem sehingga dapat

digunakan untuk memperbesar kecepatan tanggapan dan mengurangi ess

(penyimpangan dalam keadaan mantap). Pemakaian alat kendali tipe

proporsional ini saja sering tidak memuaskan karena penambahan Kp

selain akan membuat sistem lebih sensitif tetapi juga cenderung

mengakibatkan ketidakstabilan. Disamping itu pertambahan Kp adalah

terbatas dan tidak cukup untuk mencapai tanggapan sampai suatu harga

yang diingini. Kenyataannya dalam usaha mengatur harga Kp terdapat

keadaan-keadaan yang bertentangan. Di satu pihak diinginkan

mengurangi ss e sebanyak mungkin tetapi hal ini akan mengakibatkan

osilasi bagi tanggapan yang berarti memperlama “setling time” sedangkan

dipihak lain tanggapan terhadap setiap perubahan masukan harus terjadi

secepat mungkin tetapi dengan lonjakan dan osilasi sekecil mungkin.


Tanggapan yang cepat memang dapat diperoleh dengan memperbesar Kp

tetapi hal ini juga akan mengakibatkan ketidakstabilan sistem.

Contoh 8.1:

Gambar 8.2 Sistem Kendali Ketinggian Air Tanpa Pengendali Proporsional (P)

Fungsi alih sistem lingkar tertutup tanpa pengendali proporsional adalah

Gambar 8.3 Diagram Blok Sistem Kendali Ketinggian Air Tanpa Pengendali Proporsional (P)

Dengan menggunakan Matlab, tentukan tanggapan sistem ketinggian

air dengan masukan berupa input undak satuan dengan pengendali dan

tanpa pengendali proporsional.

Jawab:

Fungsi alih untuk sistem lingkar tertutup dengan tanpa pengendali

proporsional adalah

)

)

) (8.3)


Gambar 8.4 Diagram Blok Sistem Kendali Ketinggian Air Dengan Pengendali Proporsional (P)

Fungsi alih untuk sistem lingkar tertutup dengan pengendali proporsional

adalah

)

)

) (8.4)

Dengan parameter-parameter sebagai berikut

R = 0.1

C = 10

Kp = 2

dengan masukan berupa undak satuan dan didapatkan fungsi alih untuk

sistem tanpa pengendali proporsional

)

)

) =

Fungsi alih untuk sistem dengan pengendali proporsional

)

)

)


clc

clear all

close all

% Program Pengendali Proporsional

%

% Data - Data Parameter


R = 0.1;

C = 10;

% Data Pengendali

Kp = 2;

%

% Sistem Kendali Lingkar Tertutup Tanpa Pengendali

disp('Fungsi Alih Sistem Kendali Lingkar Tertutup Tanpa

Pengendali Proporsional')

Num1 = [ 0 R];

Den1 = [(R*C) (1+R)];

sys1 = tf(Num1,Den1)

%

% Sistem Kendali Lingkar Tertutup Dengan Pengendali

disp('Fungsi Alih Sistem Kendali Lingkar Tertutup Dengan

Pengendali Proporsional')

Num2 = [ 0 (Kp*R)];

Den2 = [(R*C) (1+R)];


%

% Tanggapan Sistem Lingkar Tertutup

t = 0:0.1:20;

[y1,x1,t] = step(Num1,Den1,t);


plot(t,y1,t,y2);

text(8,0.095,'Sistem Tanpa Pengendali')

text(8,0.185,'Sistem Dengan Pengendali Proporsional')

grid on

%

title('Tanggapan Sistem Terhadap Masukan Undak Satuan')

xlabel('t detik')

ylabel('Keluaran y1 dan y2')


Hasil program

Fungsi Alih Sistem Kendali Lingkar Tertutup Tanpa Pengendali

Proporsional

Transfer function:

0.1

-------

s + 1.1

Fungsi Alih Sistem Kendali Lingkar Tertutup Dengan Pengendali

Proporsional

Transfer function:

0.2

-------

s + 1.1

Plot grafik

Gambar 8.5 Tanggapan Ketinggian Air Dengan Pengendali dan Tanpa Pengendali Proporsional (P) Dengan Masukan Undak Satuan


8.3. Pengendali Tipe Integral (I)

Alat kendali jenis I (Integral) bertujuan untuk menghilangkan kesalahan

posisi dalam keadaan mantap tanpa mengubah karakteristik-karakteristik

frekuensi tinggi dan hal ini dapat dicapai dengan menberikan penguatan

tidak tak terhingga pada frekuensi nol yaitu pada kondisi mantap. Adapun

diagram blok untuk pengendali integral adalah

Gambar 8.6 Blok Diagram Untuk Pengendali Integral (I)

Adapun persamaan matematis untuk pengendali integral adalah

) ∫ )

(8.5)

Fungsi alih untuk pengendali integral adalah

)

)

(8.6)

Dimana

Ki : Konstanta pengendali integral

Bila nilai e(t) naik 2 kali, maka laju perubahan u(t) terhadap waktu

menjadi 2 kali lebih cepat. Bila e(t ) tetap maka nilai u(t) akan tetap

seperti semula. Aksi reset setelah ada perubahan beban.


Contoh 8.2:

Gambar 8.7 Sistem Ketinggian Air Tanpa Pengendali Integral (I)

Fungsi alih sistem lingkar tertutup tanpa pengendali integral adalah

Gambar 8.8 Diagram Blok Sistem Kendali Ketinggian Air Tanpa Pengendali Integral (I)



tanpa pengendali integral.

Jawab:

)

)

) (8.7)


Gambar 8.9 Diagram Blok Sistem Kendali Ketinggian Air Dengan Pengendali Integral (I)

Fungsi alih untuk sistem lingkar tertutup dengan pengendali integral

adalah

)

)

(8.8)


R = 0.05

C = 15

Ki = 15

dengan masukan berupa undak satuan dan diperoleh fungsi alih untuk

sistem tanpa pengendali integral

)

)

) =

Fungsi alih untuk sistem dengan pengendali integral

)

)

=


clc

clear all

close all

% Program Pengendali Integral

%



R = 0.05;

C = 15;

% Data Pengendali

Ki = 15;

%



Pengendali Integral')

Num1 = [0 R];

Den1 = [(R*C) (1+R)];


%

% Sistem Kontrol Lingkar Tertutup Dengan Pengendali


Pengendali Integral')

Num2 = [ 0 0 (Ki*R)];

Den2 = [(R*C) 1 (Ki+R)];


%


t = 0:0.1:20;



plot(t,y1,t,y2);


text(1.2,0.079,'Sistem Dengan Pengendali Integral')

grid on

%


xlabel('t detik')



Hasil program

Fungsi Alih Sistem Kendali Lingkar Tertutup Tanpa Pengendali Integral

Transfer function:

0.05

-------------

0.75 s + 1.05

Fungsi Alih Sistem Kendali Lingkar Tertutup Dengan Pengendali Integral

Transfer function:

0.75

--------------------

0.75 s^2 + s + 15.05

Plot grafik

Gambar 8.10 Tanggapan Ketinggian Air Dengan Pengendali dan Tanpa Pengendali Integral (I) Dengan Masukan Undak Satuan


8.4. Pengendali Tipe Proporsional (P) dan Integral (I)

Diagram blok untuk pengendali proporsional (P) dan Integral (I) adalah

Gambar 8.11 Blok Diagram Untuk Pengendali Proporsional (P) dan Integral (I)

Persamaan matematis untuk pengendali proporsional dan integral

) )

∫ )

(8.9)

Fungsi alih untuk pengendali proporsional dan integral

)

) (

)

(8.10)

Dimana :

Kp : Konstanta Pengendali Proporsional

Ki : Konstanta Pengendali Integral

Ti : Waktu integral

Contoh 8.3:

Gambar 8.12 Sistem Kendali Ketinggian Air Tanpa Pengendali Proporsional (P) dan Integral (I)


Fungsi alih sistem lingkar tertutup tanpa pengendali proporsional dan

integral berikut

Gambar 8.13 Diagram Blok Sistem Kendali Ketinggian Air Tanpa Pengendali Proporsional (P) dan Integral (I)



tanpa pengendali Proporsional dan Integral.

Jawab :

Fungsi alih untuk sistem lingkar tertutup tanpa pengendali proporsional

dan integral adalah

)

)

) (8.11)

Gambar 8.14 Diagram Blok Sistem Kendali Ketinggian Air Dengan Pengendali Proporsional(P) dan Integral (I)

Fungsi alih untuk sistem lingkar tertutup dengan pengendali

proporsional dan integral adalah

)

)

( ) (8.12)



R = 0.05

C = 15

Kp = 5

Ki = 100


sistem tanpa pengendali proporsional adalah

)

)

)

Fungsi alih untuk sistem dengan pengendali proporsional dan integral

adalah

)

)

( ) =


clc

clear all

close all

% Program Kontroller Proporsional dan Integral

%


R = 0.05;

C = 15;

% Data Kontroller

Kp = 5;

Ki = 100;

%



Pengendali Proporsional dan Integral')

Num1 = [ 0 R];


Den1 = [(R*C) (1+R)];


%



Pengendali Proporsional dan Integral')

Num2 = [ 0 (Kp*R) (Ki*R)];

Den2 = [(R*C) ((Kp*R)+1) (Ki*R)];


%


t = 0:0.1:20;



plot(t,y1,t,y2);


text(5.5,1.05,'Sistem Dengan Pengendali Proporsional dan

Integral')

grid on

%


xlabel('t detik')


Hasil program


Proporsional dan Integral

Transfer function:

0.05

-------------

0.75 s + 1.05



Proporsional dan Integral

Transfer function:

0.25 s + 5

---------------------

0.75 s^2 + 1.25 s + 5

Plot grafik

Gambar 8.15 Tanggapan Ketinggian Air Dengan Pengendali dan Tanpa Pengendali Proporsional (P) dan Integral (I) Dengan Input Undak Satuan

8.5. Pengendali Tipe Proposional (P) dan Derivatif (D)

Diagram blok untuk pengendali proporsional (P) dan derivatif (D) adalah


Gambar 8.16 Blok Diagram Untuk Pengendali Proporsional (P) dan Derivatif (D)

Persamaan matematis untuk pengendali proporsional dan derivatif

) ) )

(8.13)

Fungsi alih untuk pengendali proporsional dan derivatif

)

) ) (8.14)

Dimana :

Kp = Konstanta Pengendali Proporsional

Ki = Konstanta Pengendali Derivatif

Td = Waktu Derivatif

Contoh 8.4:

Gambar 8.17 Sistem Kendali Ketinggian Air Tanpa Pengendali Proporsional (P) dan Derivatif (D)


Fungsi alih sistem lingkar tertutup tanpa pengendali proporsional dan

derivatif berikut

Gambar 8.18 Diagram Blok Sistem Kendali Ketinggian Air Tanpa Pengendali

Proporsional (P) dan Derivatif (D)



tanpa pengendali Proporsional dan Derivatif.

Jawab:

Fungsi alih untuk sistem lingkar tertutup dengan tanpa pengendali

proporsional dan derivatif adalah

)

)

) (8.15)

Gambar 7.19 Diagram Blok Sistem Kendali Ketinggian Air Dengan Pengendali Proporsional (P) dan Derivatif (D)

Fungsi alih untuk sistem lingkar tertutup dengan pengendali

proporsional dan derivatif adalah

)

)

) ( ) (8.16)



R = 0.05

C = 15

Kp = 10

Kd = 0.01


sistem tanpa pengendali proporsional dan derivatif berikut

)

)

) =

Fungsi alih untuk sistem dengan pengedali proporsional dan derivatif

adalah

)

)

) ( ) =


clc

clear all

close all

% Program Kontroller Proporsional dan Derivatif

%


R = 0.05;

C = 15;

% Data Kontroller

Kp = 10;

Kd = 0.01;

%



Pengendali Proporsional dan Derivatif')

Num1 = [ 0 R];


Den1 = [(R*C) (1+R)];


%



Pengendali Proporsional dan Derivatif')

Num2 = [(Kd*R) (Kp*R)];

Den2 = [((Kp*R)+(R*C)) ((Kp*R)+1)];


%


t = 0:0.1:20;



plot(t,y1,t,y2);


text(4,0.34,'Sistem Dengan Pengendali Proporsional dan

Derivatif')

grid on

%


xlabel('t detik')


Hasil program


Proporsional dan Derivatif

Transfer function:

0.05

-------------

0.75 s + 1.05



Proporsional dan Derivatif

Transfer function:

0.0005 s + 0.5

--------------

1.25 s + 1.5

Plot grafik

Gambar 8.20 Tanggapan Ketinggian Air Dengan Pengendali dan Tanpa Pengendali Proporsional (P) dan Derivatif (D) Dengan Masukan Undak Satuan

8.6. Pengendali Tipe Proporsional (P), Integral (I) dan Derivatif (D)

Diagram blok untuk pengendali proporsional (P), Integral (I) dan Derivatif

(D) adalah


Gambar 8.21 Blok Diagram Untuk Pengendali Proporsional (P), Integral (I) dan Derivatif (D)

Persamaan matematis untuk pengendali proporsional, integral dan

derivatif

) )

∫ )

)

(8.17)

Fungsi alih untuk pengendali proporsional, integral dan derivatif

)

) (

)

(8.18)

dengan

Dimana:

Kp = Konstanta proporsional

Ki = Konstanta integral

Kd = Konstanta derivatif

Td = Waktu derivatif

Ti = Waktu integral

Pengendali proporsional (Kp) akan memberikan efek mengurangi

waktu naik tetapi tidak menghapus kesalahan keadaan tunak. Pengendali

integral (Ki) akan memberikan efek menghapus kesalahan keadaan tunak

tetapi berakibat memburuknya tanggapan peralihan. Pengendali derivatif

(Kd) akan memberikan efek meningkatnya stabilitas sistem, mengurangi


lewatan maksimum dan menaikkan tanggapan fungsi alih. Efek dari setiap

pengendali dalam sistem lingkar tertutup diperlihatkan pada Tabel 8.1

berikut

Tabel 8.1 Efek Setiap Pengendali Untuk Lingkar Tertutup

Contoh 8.5:

Gambar 8.22 Sistem Kendali Ketinggian Air Tanpa Pengendali Proporsional (P), Integral (I) dan Derivatif (D)

Fungsi alih sistem lingkar tertutup tanpa pengendali proporsional, integral

dan derivatif adalah


Gambar 8.23 Diagram Blok Sistem Kendali Ketinggian Air Tanpa Pengendali Proporsional (P),Integral (I) dan Derivatif (D)



tanpa pengendali proporsional, integral dan derivatif.

Jawab:

Fungsi alih untuk sistem lingkar tertutup tanpa pengendali proporsional,

integral dan derivatif adalah

)

)

) (8.19)

Gambar 7.24 Diagram Blok Sistem Kendali Ketinggian Air Dengan Pengendali Proporsional (P), Integral (I) dan Derivatif (D)

Fungsi alih untuk sistem lingkar tertutup dengan pengendali proporsional,

integral dan derivatif adalah

)

)

) ( ) (8.20)


R = 0.05

C = 15


Kp = 10

Kd = 0.01

Ki = 100


sistem tanpa pengendali proporsional, integral dan derivatif

)

)

) =

Fungsi alih untuk sistem dengan pengendali proporsional, integral dan

derivatif adalah

)

)

) ( )


clc

clear all

close all

% Program Kontroller Proporsional Integral dan Derivatif

%


R = 0.05;

C = 15;

% Data Kontroller

Kp = 10;

Kd = 0.01;

Ki = 100;

%



Pengendali Proporsional Integral dan Derivatif')


Num1 = [ 0 R];

Den1 = [(R*C) (1+R)];


%



Pengendali Proporsional Integral dan Derivatif')

Num2 = [(Kd*R) (Kp*R) (Ki*R)];

Den2 = [((Kd*R)+(R*C)) ((Kp*R)+1) (R*Ki)];


%


t = 0:0.1:20;



plot(t,y1,t,y2);


text(3.75,1.055,'Sistem Dengan Pengendali Proporsional

Integral dan Derivatif')

grid on

%


xlabel('t detik')


Hasil program


Proporsional Integral dan Derivatif

Transfer function:

0.05

-------------

0.75 s + 1.05



Proporsional Integral dan Derivatif

Transfer function:

0.0005 s^2 + 0.5 s + 5

----------------------

0.7505 s^2 + 1.5 s + 5

Plot grafik

Gambar 7.25 Tanggapan Ketinggian Air Dengan Pengendali dan Tanpa Pengendali Proporsional(P), Integral (I) dan Derivatif (D) Dengan Masukan Undak Satuan.

Adapun proses pemilihan parameter-parameter Kp, Ki dan Kd agar

menghasilkan spesifikasi kinerja yang diinginkan disebut penyepadanan

alat kendali (controller tuning). Ziegler dan Nichols menyarankan aturan-

aturan untuk penyepadanan alat-alat kendali PID berarti menyetel nilai

Kp, Ki dan Kd yang didasarkan pada tanggapan fungsi tangga

eksperimental atau pada nilai Kp yang menghasilkan kestabilan marginal


dengan hanya menggunakan tindakan kendali proporsional. Aturan-

aturan Ziegler-Nichols yang disajikan berikut sangat menyenangkan bila

model-model matematis kinerja tidak diketahui dan aturan ini tentunya

dapat diterapkan terhadap rancangan sistem dengan model matematis

yang diketahui.

Ada dua metode yang dinamakan aturan penyepadanan Ziegler-

Nichols. Dalam kedua metode ini ditujukan pada pencapaian 25 %

lonjakan maksimum dalam respon tangga. Adapun kedua metode

tersebut adalah :

1. Metode Pertama. Dalam metode pertama, secara eksperimental

diperoleh tanggapan sistem terhadap masukan undak satuan seperti

diperlihatkan pada Gambar 8.26 berikut :

Gambar 8.26 Tanggapan Undak Satuan Sebuah Sistem

Jika sistem tidak mencakup integrator ataupun nilai-nilai kutub

pasangan komplek yang dominan maka kurva tanggapan sebuah undak

satuan mugkin kelihatan seperti kurva berbentuk –S seperti yang

diperlihatkan pada Gambar 8.27 berikut ini :


Gambar 8.27 Kurva Tanggapan Berbentuk S.

Kurva-kurva tanggapan undak sedemikian dapat dihasilkan secara

eksperimen atau dari simulasi dinamik sistem. Karakteristik kurva

berbentuk-S dapat diberikan oleh dua konstanta yakni waktu tunda L dan

konstanta waktu tunda T. Konstanta waktu ditentukan dengan

menggambarkan garis singgung pada titik perubahan kurva berbentuk S

dan menentukan perpotongan garis singgung dengan sumbu waktu dan

garis c(t) = K seperti diperlihatkan pada Gambar 8.27. Ziegler-Nichols

menyarankan penyetelan nilai Kp, Td dan Ti berdasarkan rumus yang

diperlihatkan pada Tabel 8.2 berikut ini :

Tabel 8.2 Aturan Penyepadanan Ziegler-Nichols Didasarkan Pada Tanggapan Undak Sistem

kendali Proporsional (P), Integral (I) dan Derivatif (D) yang

disepadankan oleh metode pertama aturan Ziegler-Nichols adalah


) (

) (8.21)

)

(

) (8.22)

) (

)

(8.23)

Jadi alat kendali PID memiliki suatu nilai kutub pada titik asal dan nilai nol

ganda pada

.

2. Metode Kedua. Dalam metode kedua, mula-mula diatur Ti = ∞ dan

Td = 0. Dengan menggunakan tindakan kendali proporsional

ditambahkan nilai Kp dari 0 ke suatu nilai kritis Kcr . Hal ini

diperlihatkan pada Gambar 8.28 berikut

Gambar 8.28 Sistem Lingkar Tertutup Dengan Alat Kendali Proporsional

Disini mula-mula keluaran memiliki osilasi yang berkesinambungan,

jika keluaran tidak memiliki osilasi berkesinambungan untuk nilai Kp

maupun yang boleh diambil maka metode ini tidak berlaku. Jadi

penguatan kritis Kcr dan periode Pcr yang sesuai ditentukan secara

eksperimen. Hal ini diperlihatkan pada Gambar 8.29 berikut :


Gambar 8.29 Osilasi Berkesinambungan Dari Periode Pcr

Ziegler-Nichols menyarankan penyetelan nilai Kp, Td dan Ti berdasarkan

rumus yang diperlihatkan pada Tabel 8.3 berikut ini :

Tabel 8.3 Aturan Penyepadanan Ziegler-Nichols Didasarkan Pada Penguatan Kritis cr K dan Periode cr

Alat kendali Proporsional (P), Integral (I) dan Derivatif (D) yang

disepadankan oleh metode kedua aturan Ziegler-Nichols adalah

) (

) (8.24)

) (

) (8.25)

) (

)

(8.26)

Jadi alat kendali PID memiliki suatu nilai kutub pada titik asal dan nilai nol

ganda pada

.

Contoh 8.6:


Sistem kendali dengan diagram blok berikut

Gambar 8.30 Diagram Blok Sistem Kendali

dimana

)

) )

Dengan pengendali Proporsional (P), Integral (I) dan Derivatif (D) yang

mempunyai fungsi alih berbentuk

) (

) (8.27)

Dengan menggunakan kriteria Ziegler-Nichols tentukan konstanta kp, ki

dan kd.

Jawab:

Dari persamaan (8.21) terlihat bahwa plant mempuyai 1 buah integrator.

Dengan demikian metode yang digunakan adalah metode Ziegler-Nichols

tipe kedua dimana untuk kondisi awal Ki = 0 dan d K = 0 sehingga fungsi

alih lingkar tertutup diperoleh

)

)

) ) =

dimana Kp = 25 kp

Selanjutnya akan dihitung nilai Kcr dan Tcr. Nilai Kcr dan Pcr diperoleh

dari persamaan karakteristik sistem lingkar tertutup sebagai berikut :


Dengan menggunakan kriteria Routh diperoleh

Didapat K = 70 Kcr = 70 didapatkan frekuensi osilasi

s = √ =

Perioda osilasi

Pcr =

=

√ = 1.9869 detik.

Berdasarkan Tabel 8.3 diperoleh parameter-parameter Proporsional (P),

Integral (I) dan Derivatif (D) sebagai berikut

Kp = 0.6 Kcr = 0.6(70) = 42 kp =

= 1.68

ki =

=

= 1.007

kd = 0.125 (1.9869) = 0.2484

Fungsi alih kontroler Proporsional, Integral dan Derivatif (PID) menjadi

) (

)

) (

)


Latihan Soal:

1. Diketahui sistem yang terdiri dari massa, pegas, dan peredam seperti

gambar dibawah:

dimana: M = 1 Kg

b = 10 N.s/m

k = 20 N/m

F(s) = 1

Dengan program Matlab, tentukan respon sistem pada gambar

diatas dengan mengubah parameter Kp, Ki, dan Kd serta gambarkan

respon sistem dalam bentuk plot.

2. Diketahui sistem rangkaian litrik RLC seperti gambar dibawah:

Diketahui: R = 100 Ohm.

L = 1,25 mH.

C = 6250 .


Dengan program Matlab, tentukan respon sistem pada gambar

diatas dengan mengubah parameter Kp, Ki, dan Kd serta gambarkan

respon sistem dalam bentuk plot.


9.1. Pendahuluan

Pada modul ini, akan diperkenalkan dengan salah satu metode

perancangan sebuah sistem kontrol, yang dikenal dengan istilah Tempat

Kedudukan Akar (Root Locus). Metode TKA ini adalah metode yang cukup

berguna untuk menganalisa atau merancang sebuah sistem kontrol.

Pada umumnya, Tempat Kedudukan Akar (TKA)didefinisikan sebagai

suatu plot dari akar-akar sebuah persamaan karakteristik sistem dimana

terdapat sebuah parameter yang diubah-ubah.

9.2. Prinsip-prinsip Tempat Kedudukan Akar

Metode pembuatan TKA ini akan dijelaskan dengan menggunakan sebuah

contoh, seperti yang tampak pada Gambar 9.1 di bawah ini,

+-

R(S) C(S)K

E(S)

)2(

1

ss

Gambar 9.1 Sebuah Blok Diagram Sistem Kontrol

9 BAB 9

METODA TEMPAT KEDUDUKAN AKAR


dimana plant-nya adalah sebuah motor servo dan bebannya GP(s), yang

digerakkan oleh penguat daya dengan penguatan sebesar K, dimana:

)

)

sehingga Fungsi Alih sistem lup tertutupnya adalah:

) )

)

)⁄

)⁄

(9.1)

Maka persamaan karakteristik sistem (yaitu penyebut dari fungsi alih

tertutup yang diset sama dengan nol), adalah:

(9.2)

Dengan menggunakan rumus pencari akar-akar kuadrat ABC, dapat

ditentukan akar-akar dari persamaan (9.2), yaitu:

√

√ (9.3)

dimana akar-akarnya akan bernilai real dan negatif jika 0 < K < 1, dan jika

K > 1, akar-akarnya akan bernilai kompleks, yaitu:

√ (9.4)

Jika harga akar-akar tersebut di plot, seperti pada saat K = 0,

s1 = 0

s2 = -2

dan harga akar-akar tersebut bergerak menuju

s1 = -1

s2 = -1

pada saat K = 1.

Kemudian, pada saat K > 1, akar-akar tersebut bernilai kompleks,

yang harganya kompleksnya akan semakin besar bersamaan dengan


semakin besarnya harga K. Hasil plot dari akar-akar tersebut dapa dilihat

pada Gambar 9.2 di bawah ini.

Gambar 9.2 Tempat Kedudukan Akar Sistem Kontrol pada Gambar 9.1

Dapat diperhatikan bahwa plot dari persamaan karakteristik sebuah

sistem dimana terdapat paramater yang diubah-ubah akan

memperlihatkan sebuah informasi yang berguna untuk menggambarkan

respon alami dari sistem tersebut. Plot pada Gambar 9.2 itulah yang

disebut dengan Tempat Kedudukan Akar (TKA).

9.3. Teknik Ringkas Pembuatan TKA

Terdapat beberapa tahapan umum untuk membuat TKA dari sebuah

sistem kontrol. Perhatikan gambar blok diagram umum sebuah sistem

kontrol di bawah ini:

+-

R(S) C(S)K

E(S)G(s)

H(s)

Gambar 9.3 Blok Diagram Umum Sistem Kontrol


Maka, persamaan fungsi alih sistem lup tertutupnya adalah:

) )

) ) (9.5)

Sehingga persamaan karakteristik sistemnya adalah:

1 + KG(s)H(s) = 0 (9.6)

Jika persamaan fungsi alih sistem adalah sebuah polinomial yang dapat

dituliskan

dalam bentuk di bawah ini:

) ) ) )

) ) ) (9.7)

dimana z adalah zero, p adalah pole, m adalah banyaknya zero dan n

adalah banyaknya pole, maka persamaan (9.6) dapat dituliskan ulang

sebagai berikut:

1 + KG(s)H(s) = 1+ ) ) )

) ) ) = 0 , atau (9.8)

) ) ) ) ) )

Dari persamaan-persamaan diatas (penurunan rumus tidak dituliskan di

sini), dapat disimpulkan beberapa aturan dalam pembuatan TKA, yaitu:

1. TKA adalah simetris terhadap sumbu aksis real.

2. TKA berawal dari pole-pole dari G(s)H(s) (pada saat K = 0) dan

bergerak menuju zero-zero dari G(s)H(s)(pada saat K = 8), termasuk

zero yang terdapat di titik tak Berhingga.

3. Jika fungsi lup tertutup memiliki a buah zero pada titik tak berhingga,

dimana a > 1, TKA akan bergerak mendekati asimtot sesuai dengan

penambahan harga K yang menuju ke harga tak berhingga. Asimtot

tersebut terletak pada sebuah titik yang memiliki sudut sebesar:

q =

, r = (9.9)

dan berhimpitan dengan sumbu aksis real pada:


∑ ∑

(9.10)

dimana

a = n – m (9.11)

4. TKA adalah seluruh titik pada sumbu aksis real pada sebelah kiri dari

akar-akar yang sebelah kanannya berjumlah genap.

5. Titik pisah TKA akan terletak pada titik di TKA yang memenuhi

persamaan titik pisah di bawah ini:

[ ) )]

= 0 , atau (9.12)

) ) )

dimana N(s) dan D(s) masing-masing adalah pembilang dan penyebut

dari polinomial G(s)H(s).

6. TKA akan bergerak dari pole pi (dan tiba pada zero zi) dari G(s)H(s)

pada sudut:

∑ ∑ ) (9.13)

∑ ∑ )

Dimana r = ±1, ±3, ... dan dan merepresentasikan masing-

masing sudut dari pole pi dan zero zi dari pj (zj).

Contoh 9.1:

Tinjau sistem berikut:

)

)

Buat sketsa diagram tempat kedudukan akar (TKA) dari sistem

diatas.

Jawab:

pole dari sistem: p1 = 0 dan p2 = -2 dengan n = 2, dan sistem tidak

memiliki zero sehingga m = 0.


Berdasarkan aturan diatas, maka langkah awal pembuatan TKA adalah

menempatkan pole dan zero pada bidang s, seperti Gambar 9.4 di bawah

ini:

Gambar 9.4 Pole dan Zero diletakkan di bidang s

Kemudian, berdasarkan Aturan ke-4, maka TKA terletak di sebelah

kiri dari akar-akar genap:

Gambar 9.5 Pole TKA di sebelah kiri akar genap


Setelah itu, berdasarkan Aturan ke-2, maka TKA bergerak dari s =

0 ke kiri dan dari s = - 2 ke kanan, seperti yang tampak pada

gambar di bawah ini:

Gambar 9.6 Arah TKA

Menurut Aturan ke-3 tentang asimtot, lihat persamaan (9.9) hingga

(9.11), didapat:

a = n – m = 2 – 0 = 2, dan

, serta

[ ) )] [ ]⁄ = ⁄ =

maka, garis dan titik asimtotnya adalah sebagai berikut:


Gambar 9.7 Garis dan titik Asimtot

Dari gambar diatas, dapat diketahui bahwa TKA memiliki titik pisah. Maka

berdasarkan

Aturan ke-5, titik pisah adalah:

[ ) )]

[ ]

) , atau

Sehingga, TKA akan berpisah pada harga s = -1, yang kemudian bergerak

mengikuti arah garis asimtot. Kebetulan pada kasus ini, titik pisah

berhimpit dengan titik asimtot, sehingga, TKA akan berada pada garis

asimtotnya, seperti tampak pada Gambar 9.8 di bawah ini:


Gambar 9.8 TKA dimana titik pisah berhimpit dengan titik asimtot.

Contoh 9.2:

Sebuah sistem kontrol memiliki blok diagram seperti di bawah ini:

+-

R(S) C(S)K

E(S))(sGp

dimana:

)

) ) )


diatas.


Jawab:

maka

pole: p1 = -1, p2 = -3, p3 = -7 dengan n = 3, dan

zero; z1 = -5, dengan m = 1.

Menurut Aturan ke-3 tentang asimtot, didapat:

a = n – m = 3 – 1 = 2, dan

, serta

[ ) ) ) )] ⁄ = [ ) )] =

⁄

Titik pisah sistem adalah:

[ ) )]

) ) )

[ ) )]

) ) [ )] = 0

)

Dari perhitungan matematika, akan didapat, harga s yang terletak

pada TKA, dan juga merupakan titik pisah adalah:

Sehingga, TKA akan berpisah pada harga s = -2.06, yang kemudian

bergerak mengikuti arah garis asimtot. Tahapan pembuatan TKA dapat

dilihat pada Gambar 9.9 di bawah ini.


(a)

(b)


(c)

(d)


(e)

Gambar 9.9 TKA Contoh 9.2

Contoh 9.3:

Sebuah sistem kontrol memiliki blok diagram seperti di bawah ini:

+-

R(S) C(S)K

E(S))(sGp

dimana:

)

) )

Buat sketsa diagram tempat kedudukan akar (TKA) dari sistem diatas.


Jawab:

maka

pole: p1 = -1, p2 = -3, dengan n = 2, dan

zero; z1 = -5, dengan m = 1.


a = n – m = 2 – 1 = 1, dan

, serta

[ ) ) )] ⁄ = [ ) )] = ⁄

Titik pisah sistem adalah:

[ ) )]

) ) )

[ ) ]

) ) [ )] = 0

)

Dari perhitungan matematika (Rumus ABC), akan didapat harga s yang

terletak pada TKA, dan juga merupakan titik pisah adalah:

Sehingga, TKA akan berpisah pada harga s1 = -2.17, yang kemudian

bergerak menuju titik temu untuk berpisah lagi pada harga s2 = -7.82.

Tahapan pembuatan TKA dapat dilihat pada Gambar 9.10 di bawah ini.


(a)

(b)


(c)

(d)

Gambar 9.10 TKA Lengkap Contoh 9.3

Contoh 9.4:

Sebuah sistem kontrol berikut memiliki fungsi alih sebagai berikut:

)

) ) )



diatas.

Jawab:

maka

pole: p1 = -1, p2 = -3, dengan n = 2, dan

zero; tidak ada, sehingga m = 0.


a = n – m = 3 – 0 = 3, dan

, serta

[ ) ) )] [ ]⁄ =

Titik pisah sistem adalah: [ ) )]

) ) ) )

[ ) )]

) )

dari perhitungan matematika (Rumus ABC), akan didapat, harga s yaitu:

(terletak pada TKA)

(tidak terletak pada TKA)

sehingga s1 yang terletak pada TKA dan juga merupakan titik pisah adalah:

s1 = -1,90.

Tahapan pembuatan TKA dapat dilihat pada Gambar 9.11 di bawah ini.


(a)

(b)


(c)

(d)


(e)

Gambar 9.11 TKA Lengkap Contoh 9.4


Latihan Soal:

1. Sebuah sistem kontrol memiliki blok diagram seperti di bawah ini:

R(S) +

1)S(S

K

3)(S

1

_

C(S)


diatas.

2. Sebuah sistem kontrol berikut memiliki fungsi alih sebagai berikut:

G(s)H(s) = )

) )

a) Buat sketsa diagram tempat kedudukan akar (TKA) dari sistem

diatas.

b) Tentukan batas harga K agar sistem stabil.

3. Sebuah sistem kontrol berikut memiliki fungsi alih sebagai berikut:

) 2 3S S ( S

K

2 G(s)H(s)

a) Buat sketsa diagram tempat kedudukan akar (TKA) dari sistem

diatas.

b) Tentukan batas harga K agar sistem stabil.


Biran, Adrian & Breiner, Moshe,” MATLAB For Engineers”, Addison-

Wesley, 1995.

Dorf, R.C. and Bishop, RH,” Modern Control Systems’, 7th Edition, Addison

Wesley Publishing Company, 1995.

Kuo,Benjamin C.,”Automatic Control system” 7th ed, Prentice Hall, 1995.

Ogata, Katsuhiko, ‘Solving Control Engineering Problem with MATLAB’.

New Jersey: Prentice Hall, Inc., 1994.

Ogata, Katsuhiko, “Modern Control Engineering”, Prentice Hall of India,

New Delhi, atau terjemahannya (jilid 1) terbitan Penerbit

Erlangga, Jakarta.

Phillips L Charles, Harbor D Royce,” Feedback Control Systems”, Prentice

Hall, 2000.

Richard C.Dorf,Robert H.Bishop “Modern Control System”, 9th ed, Prentice

Hall, 2001.


PENULIS 1

Nicolaus Allu lahir di Makassar pada tanggal 14

September 1971. Penulis menamatkan S1 Jurusan

Teknik Elektro UKI Paulus Makassar tahun 1997,

kemudian melanjutkan pendidikan masternya (S2)

pada Program Studi Teknik Elektro UNHAS tahun

2012. Saat ini penulis adalah dosen tetap program

Studi Teknik Elektro UKI Paulus Makassar sejak tahun

1999. Sebelumnya, penulis pernah mengajar Medan

Elektromagnetik, Rangkaian Listrik, Perancangan Sistem Kendali dan

Sistem Kendali Optimal.

PENULIS 2

Apriana Toding, ST, MEngSc, PhD lahir di Sumbawa

pada tanggal 03 April 1977. Penulis menamatkan S1

Jurusan Teknik Elektro di Universitas Kristen Paulus

Makassar tahun 2000, kemudian tahun 2004-2005

Melanjutan pendidikan Master of Electrical

Engineering di Curtin University of Technology,

Australia. Kemudian tahun 2009-20014

melanjutkan pendidikan PhD of Electrical

Engineering di kampus yang sama Curtin University, Australia.

sistem kendali - uki paulus

Documents