- ELEKTRIČNA KOLA SA VREMENSKI PROMJENLJIVIM STRUJAMA -( by: M.Omerkić )

1. Osnovne razlike između električnih kola sa vremenski konstantnim i vremenski promjenljivim strujama.

El.kola sa konstantnim (jednosmjernim strujama) sastoje se od tri elementa: el.izvora(naponskog ili strujnog generatora), provodne veze i potrošača(otpornik). U slučaju vremenski konstantih struja Kirhofovi zakoni su egzaktni tj. formulisani bez bilo kakvih aproksimacija. Ako bi se strogo posmatralo, I Kirhofov zakon bi važio, pod uslovom da je specifična provodnost dielektrika koji okružuje provodnike jednaka nuli. Naravno,ovaj uslov nikada u potpunosti nije tačan. Pored toga,oblik provodnika kojima su međusobno povezani el.elementi kola, ne utiče čak ni teorijski na jačinu struje u granama el.kola. El.kola sa vremenski konstantnim strujama često se koriste u tehničkoj praksi. Ipak,mnogo češće,u raznovrsnim primjenama, susreću se el.kola sa vremenski promjenljivim strujama. Prenos el.energije od mjesta proizvodnje (nuklearne,termoelektrane...) do potrošače obavlja se uglavnom vremenski promjenljivim strujama. U slučaju radija,televizije...prenos signala se ostvaruje uglavnom pomoću vremenski promjenljivih struja.Vremenski promjenljive struje uvijek su praćene pojavom vremenski promjenljivih indukovanih el.polja. Ovo indukovano el.polje indukuje ems u provodnicima koji se u njemu nalaze. Zbog svega toga, svako el.kolo sa vremenskim promjenljivim strujama, predstavlja izuzetno složen sistem za analizu, jer postoji međusobna sprega između svih grana el.kola, koja se ostvaruje podsredstvom indukovanog el.polja. Prema tome, ova međusobna sprega zavisi od oblika grana i njihovog međusobnog položaja. Zbog toga zaključujemo da jačine struja,u svima granama kola sa vremenski promjenljivim strujama, zavise od geometrijskog oblika kola. U velikom broju slučajeva, indukovana ems,usljed sprege između grana kola, mnogo je manja od napona između krajeva elemenata u grani.

2.Uporediti uticaj oblika provodnika/kola na jačinu struja u granama kod el.kola sa vremenski konstantnim i vremenski promjenljivim strujama.

- Kod el.kola sa vremenski konstantnim strujam oblik provodnika kojima su međusobno povezani el.elementi kola, ne utiče čak ni teorijski na jačinu struje u granama el.kola. - Svako el.kolo sa vremenskim promjenljivim strujama, predstavlja izuzetno složen sistem za analizu, jer postoji međusobna sprega između svih grana el.kola, koja se ostvaruje podsredstvom indukovanog el.polja. Prema tome, ova međusobna sprega zavisi od oblika grana i njihovog međusobnog položaja. Zbog toga zaključujemo da jačine struja, u svim granama kola sa vremenski promjenljivim strujama, zavise od geometrijskog oblika kola.

3.Površinski – Skin efekat.

Površinski efekat predstavlja pojavu neravnomjernog raspoređivanja naizmjenične struje po poprečnom presjeku provodnika, i to tako da je gustina struje u središtu provodnika manja od gustine struje na njegovoj površini. Ova raspodjela smanjuje aktivnu površinu poprečnog presjeka provodnika i povećava njegov otpor. Ako kroz provodnik protiče jednosmjerna struja, gustina struje je ista u svim tačkama poprečnog presjeka provodnika. Međutim,ukoliko kroz provodnik protiče naizmjenična struja i, raspodjela po presjeku je neravnomjerna,i to tako da je najveća na površini,a najmanja u središtu provodnika.

1

Naizmjenična struja obrazuje promjenljivo magnetno polje, odnosno promjenljiv magnetni fluks. Zbog pojave promjenljivog fluksa,unutar provodnika se indukuje promjenljiva ems,pod čijim se uticajem uspostavlja gustina struje,koja se potiskuje prema površini provodnika. Zato se ovaj efekat naziva površinski, ili skin efekat,odnosno površinki efekat prve vrste.Odnosi se na usamljeni provodnik kroz koji protiče promjenljiva struja,i po prirodi je simetričan. Skin efekat je veći ukoliko je brzina promjene fluksa veća.Pored ovoga, postoji i površinski efekat druge vrste, ili efekat bliskosti. Odnosi se na dva provodnika koja su blizu jedan drugom.Npr.provodnici dvožičnog el.voda,kod kojih je I1= -I2.

Ako se posmatra raspodjela magnetnog polja dobija se takva raspodjela gje se u jednom dijelu raspodjela prvog i drugog polja podudaraju,a u drugom dijelu su suprtnih smjerova. Pošto je raspodjela nesimetrična,i efekat bliskosti je nesimetričan efekat.

4.Šta su to kvazistaciona stanja u el.kolima?

Pored međusobnog uticaja grana el.kola u kolima sa vremenski promjenljivim strujama, postoji još jedan efekat, kojeg nema u kolima sa vremenski konstantnim strujama. To je efekat konačne brzine prostiranja struje duž grana el.kola Duž nekog trakastog voda,zanemarljive podužne otpornosti, em talas (a time i talas struje duž voda) prostire se brzinom jednakoj brzini prostiranja svjetlosti u vakuumu. Može se pokazati da se približno istom brzinom prostire talas struje duž svakog provodnika, koji povezuje elemente el.kola.Ovo znači da u jednom trenutku vremenski promjenljiva struja nije istog intenziteta duž grane. Ovaj efekat primjetan je samo ako je pri datoj brzini promjene struje, grana dovoljno duga. Ako su promjene jačine struje dovoljno spore,da se efekat konačne brzine prostiranja struje duž grana kola može zanemariti, kaže se da je stanje u kolu kvazistacionarno. Riječ "kvazi" je na latinskom "nalik na".

5. Osnovni elementi el.kola sa vremenski promjenljivim strujama. Objasni pojam referentnog smjera u slučaju vremenski promjenljivih struja i napona.

U el.kolima sa vremenski promjenljivim strujama, koristi se veliki broj elemenata različitog karaktera, kao što su npr. poluprovodničke diode,el.cijevi,transformatori,zavojnice-kalemi sa i bez feromagnetnog jezgra,tranzistori,kondenzatori sa običnim i nelinearnim dielektrikom,linearni i nelinearni otpornici itd. Neki od ovih elemenat pretvaraju neku drugu vrstu energije u energiju vremenski promjenljivog el.polja (el.cijevi,tranzistor) i njih nazivamo aktivnim elementima.Drugu grupu elementa el.kola čine elementi u kojima se el.energija pretvara u druge oblike energije. Ovo su tzv.pasivni elementi.Osnivna tri elementa u ovakvim el.kolima su otpornici,zavojnice(kalemi) i kondenzatori. Otpornost R simbolizuje proces pretvaranja el.energije u toplotu. Induktivnos t L predstavlja karakteristiku pasivnog elementa, i jednaka je odnosu sopstvenog fluksa i struje koja ga je izazvala tj. L = Ф/I . U kalemu (zavojnici) dolazi do nagomilavanja magnetne energije Wm = ½ LI 2. Pad napona na kalemu jednak je nuli UL=0,a to znači da se u kalemu pretvaranje primljene energije,tj.kalem se ponaša kao kratko spojen element u el.kolu. Kapacitivnost C predstavja osnovnu karakteristiku kondenzatora i izražava vezu opterećenja Q i napona na oblogama kondenzatora tj. Q = CUC .Unutar dielektrika kondenzatora dolazi do nagomilavanja el.energije WC = ½ CUC

2.Ne predstavlja prekid kola.

Kod vremenski konstantnih struja i napona, referentni kraj potrošača se smatra onaj u koji struja «utiče». Ako se na kraju računa dobije jačina struje,odnosno napona, sa negativnim

2

predznakom,zaključili smo da struja,odnosno napon, ima suprotan smjer od predpostavljenog. Za generatore smo usvojili obrnutu konvenciju. Pojam referentnih smjerova za napon i struju uvodi se i u slučaju vremenski promjenljivih struja,ali je smisao tih ref.smjerova drugačiji.Pod vremenski promjenljivom strujom se podrazumijeva struja koja u toku vremena mijenjabilo intenzitet ili smjer, ili oboje. Za takvu struju kažemo da je pozitivna u onim vremenskim intervalima u kojima joj se stvarni smjer poklapa sa referentnim, a da je negativna u onim vremenskim intervalima u kojima joj je stvarni smjer suprotan od referentnog.

6. Kako bi glasile jednačine u(t) = Ri(t), u(t) = L i i(t) = C kada bi se

usklađeni referentni smjerovi za napon i struju odabrali tako da referentni smjer «izlazi» iz referentnog naponskog kraja elementa.( - ???????????? -)

7. Objasniti pojam trenutne vrijednosti neke vremenski promjenljive veličine.

Vrijednost neke promjenljive veličine u nekom trenutku se naziva trenutna vrijednost te veličine. Trenutne vrijednosti se pišu malim slovom, da se pokaže njihova vremenska zavisnost. Npr. uR(t), iR(t), uL(t), iL(t), uC(t), iC(t).... R,L,C pokazuju da li se radi o struji kroz otpornik,zavojnicu ili kondenzator,odnosno o naponu na njihovim krajevima.

8. Osnovne zakonitosti procesa u el.kolima sa vremenski promjenljivim strujama.(Odgovor - pitanje br. 9)

9.Objasniti fizikalnu suštinu ponašanja elemenataR ,L ,C u kolima s vremenski promjenljivim strujama. Uporediti sa stanjem kada se ovi elementi nalaze u el.kolima sa vremenski konstantnim strujama. Ilustrovati odgovore sa vremenskim dijagramima napona i struje.

U kolima sa vremenski promjenljivim strujama, ponašanje elemenata R,L, i C bitno se razlikuje od ponašanja u kolima sa vremenski konstantnim strujama.Otpornost R u ovim kolima karakteriše isti proces pretvaranja el.energije u toplotnu, sa tom razlikom, što je sad brzina pretvaranja energije(snaga) vremenska funkcija. Ovo je posljedica vremenske zavisnosti struje kroz otpornik i napona na njegovim krajevima UR(t)=R iR(t).Po ovoj jednačini, napon između krajeva otpornika je u svakom trenutku proporcionalan jačini struje kroz njega. Ako se jačina struje i napon predstave u zavisnosti od vremena, na istoj slici, to su slične krive i to takve da između njihovih vrijednosti u svakom trenutku postoji stalan odnos.Napon u(t) između krajeva nekog otpornika R, i jačina struje i(t), prikazani su na slici.

3

di(t)

dt

du(t)

dt

t

u(t)i(t)

u(t)

i(t)

Pod induktivnim kalemom (zavojnicom), kojeg karakteriše induktivnost L, podrazumijeva se takav element za koji je,uz referentne smjerove, veza između napona uL(t),između njegovih krajeva, i jačine struje iL(t) kroz njega, data jednačinom

a)

b)

Slikama su prikazana dva primjera napona između krajeva zavojnice(kalema) koji odgovara oblicima jačine struje kroz zavojnicu. Za razliku od pojava u el.kolima sa vremenski konstantnim strujama, induktivni kalem u kolu sa vremenski promjenljivim strujama ne predstavlja kratki spoj. Ovo je posljedica ems samoindukcije,koja se permanentno protivi promjenama u el.kolu. ove promjene su stalno prisutne u svim vremenskim trenucima, te je ova ems stalno prisutna i opire se promjeni struje. U ovakvom kolu se uspostavlja naponsko ravnotežno stanje uL(t) + eL(t) = 0. uL(t) =L di(t)/dt.

U el.kolima sa vremenski promjenljivim strujama, elektrode kondenzatora izložene su djelovanju napona uc(t), koji na krajevima kondenzatora izaziva promjenljivo el.polje u dielektriku, a koje je posljedica opterećenja promjenljivog u vremenu qc(t) na elektrodama kondenzatora qc(t) = C uc(t). Promjena opterećenja referentne elektrode kondenzatora za dq(t), usuštini znači da je kroz njegove priključke protekla za to vrijeme količina elektriciteta dq(t).

4

uL(t) = L diL(t)

dtu(t)i(t)

i(t)

u(t)

t0

u(t)i(t) u(t) i(t)

t0

+ C -ic(t) ic(t)

uc(t)

+q(t) -q(t)

Struja koja protiče kroz granu sa kondezatorom je promjenljiva struja i data je jednačinom:

i(t) = dq(t) /dt = C duc(t)/dt.

Opterećenje se zadržava na elektrodama kondenzatora. Kroz sam kondenzator,tj.kroz njegov dielektrik,nema struje,iako kroz njegove priključke postoji vremenski promjenljiva struja. U slučaju kondenzatora,čiji dielektrik nije vakuum,dolaki do vremenski promjenljive polarizacije,tj. do kretanja el.opterećenja zbog deformacije atoma i molekula dielektrika. Na osnovu predhodnih analiza,može se zaključiti da u el.kolu sa vremenski promjenljivom strujom,kondenzator ne predstavlja prekid kola,i struja teče kroz granu u kojoj je kondenzator.Kroz granu sa kondenzatorom protiče promjenljiva struja,koja je u svakom trenutku povezana sa naponom na njegovim elektrodama-oblogama. Prema tome,kada se govori o struji kroz kondenzator, podrazumijeva se struja kroz njegove priključke.strujno kolo sa kondenzatorom nije zatvoreno,nije galvanski povezano,ali ipak postoji promjenljiva struja u njemu,dok je u kolima sa jednosmjernom strujom zatvoreno.Na slikama su prikazani oblici promjene jačine struje kroz kondenzator koji odgovaraju nekim tipičnim oblicima promjene napona na njegovim krajevima.

a)Jednačina između vremenski promjenljivog napona i jačine struje u slučaju otpornika, data je kao linearna zavisnost i(t) = u(t)/R.

b)

10. Kada se govori o struji kroz kondenzator, podrazumijeva se struja kroz priključke kondenzatora. Zašto?

Opterećenje se zadržava na elektrodama kondenzatora. Kroz sam kondenzator,tj.kroz njegov dielektrik,nema struje,iako kroz njegove priključke postoji vremenski promjenljiva struja. U slučaju kondenzatora,čiji dielektrik nije vakuum,dolaki do vremenski promjenljive polarizacije,tj. do kretanja el.opterećenja zbog deformacije atoma i molekula dielektrika. Na osnovu predhodnih analiza,može se zaključiti da u el.kolu sa vremenski promjenljivom strujom,kondenzator ne predstavlja prekid kola,i struja teče kroz granu u kojoj je kondenzator.Kroz granu sa kondenzatorom protiče promjenljiva struja,koja je u svakom trenutku povezana sa naponom na njegovim elektrodama-oblogama. Prema tome,kada se govori o struji kroz kondenzator, podrazumijeva se struja kroz njegove priključke.

5

t

i(t)

u(t) i(t)

0

t

u(t) i(t)

i(t)

11. Prilikom izračunavanja struje kroz induktivni kalem, odnosno napona na krajevima kondenzatora javlja se konstanta I0, odnosno U0 . Kakav je fizikalni smisao? Pojavljuju li se ove konstante u slučaju prostoperiodičnih napona i struja?

Za induktivni kalem napon na njegovim krajevima dat je jednačinom. Iz ove jednačine, struju i(t) možemo odrediti

I0 je konstanta koja najviše zavisi od toga na šta je kalem priključen,znači od oblika napona koji vlada na krajevima induktivnog kalema.Pored neke vremenski promjenljive struje i(t), postojaće i neka vremenski konstantna struja struja I0. Prema tome,ukupna jačina struje kroz neki kalem bi sada bila i(t)+I0. Analogno tome Iz jednačine i(t) = C duc(t)/dt, dolazimo do jednačine za napon na krajevima kondenzatora

Objašnjenje je isto kao i predhodno. U principu kondenzator može biti priključen istovremeno na vremenski promjenljivi i konstantni napon U0.

12. Kirchoff-ovi zakoni za el.kola sa vremenski promjenljivim strujama.

Predpostavimo da se el.kolo sastoji od proizvoljnog broja elemenata i da je brzina promjene ems naponskih i strujnih generatora takva da se stanje u el.kolu može smatrati kvasistacionarnim. Za svaki čvor u el.kolu važi,u svakom trenutku, I Kirchoffov zakon.

Neka se u čvoru stiče n struja (grana), tada vrijedi

Ovako napisan, prvi Kirchoffov zakon vrijedi pod uslovom da su referentni smjerovi struja u svim granam,koje se stiču u čvoru, isti u odnosu na čvor, bilo od čvora,bilo ka čvoru. Usvajamo da je struja sa pozitivnim predznakom ako je ref.smjer od čvora,a negativna ako je ref.smjer ka čvoru. U slučaju vremenski promjenljivih struja, pojedini sabirci sa lijeve strane jednačine mijenjaju u toku vremena svoju vrijednost, ali im je suma u svakom trenutku jednaka nuli.U nekom el.kolu sastavljenom od generatora,otpornika,kalemova i kondenzatora,napon između krajeva elemenata jednak je razlici potencijala između tih krajeva. U tom slučaju, napon između bilo koje dvije tačke A i B u el.kolu jednak je uAB(t) = { ∑ u(t) }od A do B .

Ako se pri kretanju duž grana el.kola od A do B naiđe na referenti kraj elementa, taj napon se uzima sa pozitivnim predznakom. Kada se tačke A i B poklope,napon između njih je nula.

II Kirchoffov zakon za el.kolo sa promjenljivim strujama možemo dobiti kao Tj. kao sumu svih napona duž grana el.kola u svakom trenutku za zatvorenu konturu. U slučaju linearnih el.kola sa vremenski konstantnim strujama Kirchoffovi zakoni su omogućavali da se napiše sistem linearnih algebarskih jednačina. U ovim jednačinama, jačine struja kroz grane el.kola bile su nepoznate veličine. U slučaju vremenski promjenljivih struja,pomoću Kirhoffovih zakona ne možemo dobiti takav,relativno prost sistem jednačina. Ovdje bismo dobili takav sistem,koji bi,pored nepoznatih jačina struja kroz grane, sadržavao i njihove izvode,odnosno integrale u vremenu. Način određivanja tih struja bi bio znatno otežan,i matematički komplikovan.

6

dt

di(t) u(t) = L

1 L

i(t) = ∫ u(t) dt + I0

uc(t) = ∫ i(t)dt + U0 1 C

∑ ik(t) = 0 n

k=1

∑ uk(t) = 0 n

k=1

Za bilo koji čvor u kolu naizmjenične struje može se definisati i primijeniti prvi Kirhofov zakon,koji glasi: Algebarska suma trenutnih vrijednosti struja u granama,koje se stiču u bilo koji čvor kola,jednaka je nuli.

∑ i = 0.Drugi Kirhofov zakon glasi: Algebarska suma trenutnih vrijednosti napona na svim elementima duž proizvoljne zatvorene konture električnog kola jednaka je nuli.

∑ u = 0.Ili algebarska suma svih trenutnih vrijednosti ems izvora duž proizvoljne zatvorene konture el.kola jednaka je algebarskoj sumi trenutnih vrijednosti padova napona na svim elementia dotične konture.

∑e = ∑uNapon na krajevima osnovnih parametara povezan je sa strujom koja protiče kroz njih jednačinama: Za aktivni otpor R: uR = R i , i naziva se aktivnim padom napona.

Za induktivitet L: , i naziva se induktivnim padom napona.

Za kapacitet C : i naziva se kapacitivnim padom napona.

13. Da li prvi Kirhoff-ov zakon vrijedi za svaki čvor el.kola, u kojem stanje nije kvazistacionarno? Odgovor ilustrovati primjerom za sljedeća dva slučaja: kada se prvi Kirhoff-ov zakon primijeni na malu površ, koja jedva obuhvata čvor, i kada se primijeni na veliku površ koju provodnici presijecaju daleko od čvora.

14. Objasni pri kojim uslovima važi drugi Kirhoff-ov zakon za električna kola

sa vremenski promjenljivim strujama. Da li je taj zakon u takvom slučaju apsolutno tačan ?

15. Koje su sličnosti i razlike između drugog Kirhoff-ovog zakona i tog zakona

za električna kola sa vremenski konstantnim strujama ?

16. Snaga u električnim kolima sa vremenski promjenljivim strujama .

Posmatrajmo neki potrošač priključen na izvor napona u(t). Neka je i(t) jačina struje kroz priključke potrošača ili prijemnika. U intervalu vremena dt, kroz potrošač protekne količina naelektrisanja dq(t) = i(t) dt. Prema definiciji napona, u tom vremenskom intervalu el.sile izvora izvršile su rad dAel.sile(t) = u(t) · i(t)dt. Brzina pretvaranja el.rada,ili rada el.sila izvora, naziva se snaga, p(t) = dAel.sile(t) / dt = u(t) · i(t) .Zaključujemo da je el.snaga vremenska funkcija, koju u svakom trenutku karakteriše trenutna vrijednost p(t). Jednaka je proizvodu trenutnih vrijednosti napona u(t) i trenutne vrijednosti struje i(t).

7

∑ uk(t) = 0 n

k=1

∑ uk(t) = 0 n

k=1∑E - ∑RI = 0

uL = L di

dt

uc = ∫ i dt 1 C

U slučaju vremenski promjenljivih struja, el.snaga u pojedinim vremenskim intervalima, može imati i negativnu vrijednost, za razliku od vremenski konstantnih struja,gdje je el.snaga uvijek bila pozitivna i vremenski konstantna veličina (P=RI2). U intervalima kada je el.snaga potrošača negativna, potrošač se ponaša kao generator,tj.dio dobijene energije vraća izvoru.

17. Osnovni pojmovi o periodičnim i prostoperiodičnim veličinama i karakteristične vrijednosti prostoperiodičnih veličina .

Pod vremenski periodičnim veličinama podrazumijevaju se veličine,čije se vrijednosti u jednakim vremenskim intervalima ponavljaju.Interval T poslije koga se vrijednosti periodične funkcije ponavljaju, naziva se njen period.Pošto period predstavlja neki vremenski interval,i on je vrijeme,čija ke jedinica sekunda s.Kod vremenski promjenljivih struja poseban značaj imaju periodične struje. Periodične struje su one el.struje,čiji se karakter egzaktno ponavlja nakog određenog perioda.i(t) = i ( t + T ) = i ( t + 2T ) = ........... .= i ( t + nt ), gdje je n-cijeli broj.

Oblici promjene napona i struje u el.kolima u praksi su vrlo različiti. Ipak,od značaja su el.struje čije se karakteristične veličine mijenjaju po prosto-periodičnom zakonu (sinusnom ili kosinusnom). Ove struje se nazivaju prostoperiodične el.struje ili harmonijske ili sinusoidalne, i one imaju najvažniju ulogu u elektrotehnici. Za veličinu,koja je u toku jednog perioda izvršila sve svoje promjene,a koje se kasnije periodično ponavljaju,kaže se da je izvršila jedan ciklus. Prema tome,za period se može reći da predstavlja dužinu trajanja jednog ciklusa periodične funkcije.

Broj ciklusa u jednoj sekundi definiše učestanost pojave ili frekvenciju f = N/tn . gdje je N broj ciklusa,a tn vrijeme za koji se ti cikluse izvrše. Ako je u pitanju samo jedan ciklus f = 1/T. Jedinica za frekvencij je 1/s tj. 1Hz(herc). (Evropa 50Hz, SAD 60Hz...) 1Hz predstavlja ušestanost periodične struje,čiji je period jednak 1sek. Na dijagramu tačka b označava maksimalnu vrijednost koju veličina može dostići,i naziva se maximalna vrijednost ili amplituda. Matematički izražena ova veličina bi bila:i(t) = Im sin (ωt + ψi), gdje je Im amplituda,a izraz u zagradi definiše trenutnu vrijednost faznog ugla ili faze prostoperiodične struje. «Faza» je grčka riječ i znači izgled ili pojava. Prema tome,faza opisuje trenutni izgled,odnosno vrijednost prostoperiodične funkcije. Obilježavamo je sa αi(t). Ugao ψi predstavlja početnu fazu,početni fazni ugao prostoperiodične struje. ω ugaona ili kružna učestanost. ω = dα(t)/dt. [rad/s]

8

° ° °

°

T

0

-Im

Im Im

a a’ b b

ψi

18. Objasniti fizikalnu suštinu «fazne razlike» vremenski promjenljivih veličina, kašnjenje ili prednjačenje jedne u odnosu na drugu .

Na primjeru nekog elementa el.kola,kroz koji protiče struja i(t) i na čijim krajevima vlada

napon u(t), fazna razlika između napona i struje jednaka je φ = αu(t) – αi(t) = θ – ψ.Fazna razlika jednaka je razlici njihovih početnih faza. Kada je θ >ψ, odgovarajući maximum i nule napona u(t) nastupaju nešto ranije od onih za i(t), što znači da je kriva napona u(t) pomjerena ulijevo u odnosu na krivu i(t). Tada kažemo da napon u(t) prednjači nad strujom i(t). Kada je θ <ψ slučaj je obrnut tj.kriva napona u(t) je pomjerena udesno u odnosu na krivu i(t) i kažemo da napon kasni za strujom,odnosno da struja prednjači naponu.Kašnjenje,odnosno prednjačenje jedne veličine u odnosu na drugu se ne izražava vremenom,nego faznom razlikom,tj.uglom. To znači da će se vremenske promjene struje i(t) javiti kasnije,za vremenskim promjenama

napona u(t), za vrijeme koje odgovara faznoj razlici φ.

19. Napon i struja su različite fizikalne veličine. Ima li smisla porediti njihove početne faze?Ima li onda smisla porediti njihove amplitude?

20. Srednja vrijednost prostoperiodičnoih veličina .

Za određivanje karaktera neke prostoperiodične veličine, neophodno je poznavati osnovne parametre koji definišu ovu veličinu (maksimalna vrijednost-amplituda,ugaona učestanost-frekvencija,početni fazni pomak). Maksimalna vrijednost prostoperiodične veičine predstavlja najveću vrijednost koju veličina postiže u bilo kom vremenskom trenutku. U analizi ponašanja prostoperiodične veličine tokom cjelokupnog intervala to i nije baš najpogodnije,čak i najsavremenijim sredstvima. U tom slučaju neophodno je definisati drugu veličinu,odnosno vrijednost koja omogućava analizu periodične veličine u toku nekog cjelokupnog vremenskog intervala. Srednja vrijednost prostoperiodične veličine predstavlja algebarski određenu prosječnu vrijednost u toku nekog vremenskog intervala. Radi dređivanja srednje vrijednosti, vremenski interval se podijeli na n segmenat,čijim sabiranjem vrijednosti,i dijeljenjem sa sa ukupnim brojem segmenata n se dobija prosječna vrijednost analizirane veličine u nekom vremenskom intervalu.

9

i

t

Isr

T

T/2

0

n

Ako uočimo pravougaonik,čija je visina jednaka dužini presječne duži vrijednosti struje Isr,a osnovica koja je jednaka dužini T/2,onda je površina ovog pravougaonika S'=Isr T/2.

Isr = 2/T ∫(od 0 do π/2 ) i(t)dt.Vezano za srednju vrijednost neke veličine,uvodi se i pojam apsolutne vrijednosti te veličine koji se od predstavljenog oblika krive razlikuje po tome što je negativni polutalas prebačen iznad ose. U tom slučaju svejedno je hoće li se algebarsko usrednjavanje vršiti za poluperiod ili period prostoperiodične veličine,a početni fazni pomak u tom slučaju nema značaja.Srednja vrijednost takve veličine izračunava se sljedećom jednačinom:

Isr = 1/T ∫(od 0 do T ) i|(t)|dt.Ove dvije jednačine uspostavljaju vezu između srednje vrijednosti i maksimalne vrijednosti prostoperiodičnih veličina. Na osnovu kojih zaključujemo da je srednja vrijednost prostoperiodičnih veličina jednaka nuli. Srednja vrijednost svake periodične veličine,čije se negativne i pozitivne vrijednosti poslije svake poluperiode mijenjaju,jednaka je nuli.

21. Zbog čega je efekat periodične struje, u slučaju elektrolize,punjenja akumulatora i određivanja srednjeg momenta magnetnih sila na strujnu konturu u homogenom,vremenski konstantnom magnetnom polju, srazmjeran srednjoj vrijednosti prostoperiodične struje ? Odgovor: Pitanje 22

22. Efektivna vrijednost prostoperiodičnih struja. Primjeri korištenja efektivne vrijednosti u praksi .

Naizmjenična struja i(t) izvrši rad u otporniku R za vrijeme T isti kao i jednosmjerna struja I u tom istom otporniku za isto vrijeme T, pri čemu je vrijednost ove struje određena jednačinom:

Ova vrijednost struje se naziva efektivna vrijednost struje. Ako se vrijednost struje mijenja po zakonu i(t) = Im sinωt,uvrštavnjem u jednačinu za efektivnu vrijednost,dobićemo

Koja će se od karakteristika periodične struje ili napona koristiti, zavisi od toga šta se posmatra. Ako se postavlja pitanje može li neki kondenzator da izdrži određeni periodični napon,onda nam je potrebno poznavati maksimalnu vrijednost tog naizmjeničnog napona. Ako se radi o elektrolizi ili npr. o punjenju akumulatora,od interesa je poznavanje tzv.srednje vrijednosti struje . Kad se radi o zagrijavanju provodnika,najjednostavnije ga je proračunati ako se koristi efektivna vrijednost napona ili struje. Vrlo je važno istaći da svi laboratorijski elementi pokazuju efektivnu vrijednost prostoperiodičnih veličina.

10

Im √2

I = ____ = 0,7o7 Im

I = √1/T ∫(od 0 do T) i2(t)dt √ ___________________________

23. Princip rada generatora prostoperiodične struje .

Najprostiji izvor,odnosno generator prostoperiodičnog napona predstavlja jedan pravougaoni ram (okvir), koji se obrće konstantnom brzinom ω u homogenom magnetnom polju, oko ose koja je normalna na linije magnetnog polja.U toku okretanja ram prolazi kroz različite položaje i u svakom trenutku njegov položaj u odnosu na linije magnetnog polja je drugačiji. Time se mijenja njegov fluks,koji je se razlikuje za svaki položaj rama. Pošto se vremenom mijenja položaj rama,znači da i fluks zavisi i mijenja se za svaki vremenski trenutak. Ako je ram u homogenom magnetnom polju, tada za sve elementarne površine ds vrijednost magnetne indukcije konstantna pa je Φ = BS cosα.

A ako polje nije homogeno Φ = ∫BS cosα.U skladu sa Faradejevom em.indukcijom,promjena magnetnog fluksa kroz zatvorenu konturu ima za posljedicu pojavu indukovane ems po zakonu

e = ωΦm sinωt; e(t) =Em sinωt; gdje je Φm-max.fluks, Φm=BS, ωt=α-ugao između normale i magn.linija.

Analizirajući oblik krivih koje su date na slici, izvide se sljedeći zaključci:1.položaj rama α=ωt=0, karakteriše položaj kada on zahvata maksimalan fluks, ems=0.2.položaj rama α=ωt=π/2 odgovara trenutku kada linije magn.polja ne presijecaju površinu rama,te je magn.fluks u tom trenutku jednak nuli,a ems je maksimalna.3.položaj rama α=ωt=π odgovara maksimalnoj negativnoj vrijednosti fluksa,zbog toga što su vektori normale i linije indukcije kolinearni vektori suprotne orijentacije,ems je jednaka nuli.4.položaj rama α=ωt=3π/2 odgovara nultoj vrijednosti fluksa,a indukovana ems ima maksimalnu negativnu vrijednost.5.položaj rama α=ωt=2π odgovara početnom položaju,fluks je maksimalan,a ems = 0.

Zaključak je da između magn.fluksa i indukovane ems postoji fazni pomak u iznosu od π/2.Magn.fluks fazno prednjači indukovanoj ems za π/2 .Kod realnih generatora u praksi, umjesto jednog rama,odnosno namotaja,koristi se njih N,pri čemu je sada ukupni fluks Φuk = NΦ = N·Φm·cosωt , u tom slučaju je indukovana ems e=Nω·Φm·cosωt;Em=N·2πf·Φm ;E = Em /1.41 = 4.44 fΦmN. (1.41 je korijen iz 2)Za vremenski interval,koji odgovara jednom punom obrtaju rama, ems učini jedan puni ciklus promjene u trajanju jednog perioda T. Prema tome,ako se u jednoj minuti ima n obrtaja rama,tada će broj ciklusa promjene ems u jednoj sekundi biti f = n/60.

11

dt e= dΦ

-

Φ,e

Em e

Φ

ωt

π/2 π 3π/2 2π

24. Otpornik u električnom kolu prostoperiodične struje .

Proticanje el.struje u kolu ima za posljedicu pretvaranja el.energije u toplotu na otporniku R, tj.otpornik R se zagrijava. Prosto el.kolo sa otpornikom R kroz koji protiče promjenljiva struja i(t),i gdje vlada napon u(t) prikazano je na slici.

Ako se napon mijenja po zakonu u(t)=Umsin(ωt+θ),po Omovom zakonu bi struja u ovom kolu bila jednaka:

Kako je opšti oblik promjene struje dat jednačinom i(t)=Im sin(ωt+ψ), to se poređenjem ove dvije jednačine dobija Im = Um/R . Ψ=θ.Ovi odnosi daju važne karakteristike el.kola sa otpornikom R,a to je da je maksomalna vrijednost struje određena odnosom maksimalne vrijednosti napona i otpornosti provodnika,i da naizmjenična struja i(t),koja protiče kroz kolo,prati promjenu napona.Na vremenskom dijagramu napon i struja izgledaju tako što je početni fazni pomak ovih veličina jednak nuli. Sa dijagrama se čita i to da u kolu nema struje kada je napon jednak nuli, a da struja dostiže maksimum kada je i napon maksimalan,a kada se promijeni znak napona izvora,mijenja se i predznak struje.Za analizu energetske pojave neophodno je odrediti funkcijuj trenutne snage,koja se na otporniku R pretvara u toplotu.

pR(t) = uR(t) i(t) = Um sin(ωt + θ)· Im sin(ωt + Ψ) = Um Im sin2 (ωt + θ) =

= U I [1-cos(2(ωt + θ)] ≥ 0.Analizirajuću zadnju jednačinu,zaključujemo da je u svakom vremenskom trenutku snaga pozitivna. Ovo znači da je smjer kretanja energije od izvora ka potrošaču. Srednja snaga ovog kola je Psr = U·I = U2/R ≠ 0.Ovaj zaključak upućuje da se u ovakvom el.kolu odigravaju aktivni procesi,tj. da se u njemu vrši nepovratno pretvaranje el.energije u toplotu. Srednja snaga se još baziva i aktivna snaga,a otpornik u el.kolu,za razliku od omskog otpornika u kolima stacionarne struje, naziva se aktivni otpornik. Vrije dnosti U i I su efektivne vrijednosti napona i struje.

El.kola sa aktivnim otporom u kolu naizmjenične struje karakteriše energetski proces pretvaranja el.energije u toplotu na aktivnom otporniku otpornosti R. El.struja u ovom kolu prati promjene priključenog napona tj.ima isti fazni pomak kao napon Ψ = θ. Njena maksimalna vrijednost se određuje po Omovom zakonu Im = Um / R. Za ovo el.kolo se kaže da su struja i napon u fazi.

25. Induktivni kalem-zavojnica u električnom kolu prostoperiodične struje .

Kada se induktivni kalem(zavojnica) nađe u kolu naizmjenične struje pod djelovanjem promjenljivog napona, javiće se u kolu promjenljiva struja, koja izaziva pojavu promjenljivog magnetnog fluksa. Fluks u kalemu indukuje ems samoindukcije, čiji je smjer suprotan uzroku nastanka. Na krajevima kalema javiće se promjenljivi napon koji se određuje jednačinom:

12

+

i(t)

R

Um u(t)i(t) = = sin(ωt+θ)

R R

uL(t) = L diL(t)

dt

u,i

t

0

i el u

p(t)

π/2

Ako predpostavimo da se priključeni napon mijenja po prostoperiodičnom zakonu u(t)=Umsin(ωt + θ) tada iz jednačine za napon na krajevima induktivnog elementa određujemo struju kroz zavojnicu, koja je jednaka struji kroz čitavo kolo

i(t)=1/L ∫ u(t)dt + I0 . U ovoj jednačini I0 predstavlja moguću,vremenski konstantnu, komponentu struje kroz induktivni kalem.Za čisto prostoperiodični režim ova konstanta je jednaka nuli.

Prva jednačina podsjeća nas na Omov zakon,ali pod uslovom da imenilac ima karakter otpornosti. Ta otpornost se naziva induktivna otpornost ili induktivni otpor XL=ωL [Ω] UL=XLIL –efektivne vrijednosti.Druga jednačina pokazuje da u ovom slučaju struja i napon nemaju isti početni fazni stav. Ako predpostavimo da je početni fazni stav napona jednak nuli,θ=0, iz ove druge jednačine proizilazi da je početni fazni stav struje ψ= -π/2.To znači da struja fazno zaostaje za ugao π/2.Indukovana ems samoindukcije se protivi promjeni struje kroz kalem, usljed čega dolazi do kašnjenja struje u odnosu na priključeni napon.Snaga p(t)=UI sin 2ωt . Dakle,promjena snage u ovakvom kolu je dva puta brža od promjene napona,odnosno struje. Psr = 0 ukazuje da se u zavojnici ne razvija aktivna snaga,prema tome,nema nepovratnog pretvaranja el.energije u toplotnu (kao kod R).

U prvoj četvrtini perioda su napon i struja pozitivni. Struja raste do maksimalne vrijednosti, a rad el.sila izvora prelazi u energiju magn.polja kalema,sve do maksimalne vrijednosti Wm=½LI2

m. Opadanjem struje dolazi do opadanja magn.energije,odnosno u drugoj četvrtini perioda,do njenog vraćanja izvoru (negativna snaga). U drugoj polovini perioda proces se ponavlja,samo što su sada suprotni smjerovi napona i struje. Ovo praktično znači da energija osciluje između izvora i kalema,a u el.kolu nema aktivnih procesa i nema nepovratnih gubitaka energije. Ove oscilacije karakterišu se tzv. reaktivnom snagom.Znači,energija se periodično privremeno deponuje u kalemu i u sljedećem vremenskom intervalu se cjelokupna vraća izvoru. Induktivni kalem je reaktivni potrošač. Nema nepovratnih gubitaka energije u kalemu. Struja fazno zaostaje za naponom za π/2.

13

L uL (t)

i(t)

u(t)

Um

ωLIm =

ωL

Um i(t) = sin (ωt + θ – π/2)

i(t) = Im sin (ωt +ψ)

u,i

ωt

0

u ec i

p(t)

π/2

26. Kondenzator u električnom kolu prostoperiodične struje .

Kondenzator u el.kolu naizmjenične struje ne predstavlja prekid u kretanju elektriciteta,te kroz granu(priključke) dolazi do proticanja el.struje.Kondenzator je priključen na izvor promjenljivog naizmjeničnog napona,te će se kondenzator periodično puniti i prazniti, a u el.kolu će proticati naizmjenična struja,koja predstavlja struju punjenja i pražnjenja kondenzatora.

Poređenjem jednačina promjene napona po prostoperiodičnom zakonu i struje u kolu, dobijamo sljedeće:

Prva jednačina podsjeća na Omov zakon, pod uslovom da imenilac ima karakter otpornosti. On se naziva kapacitivna otpornost.

Ova otpornost izaziva uticaj ems kondenzatora na struju kroz kondenzator, pri djelovanju priključenog promjenljivog napona. Ems kondenzatora se protivi priključenom naponu.Kod druge jednačine vidjeli smo da struja i napon nisu u fazi i nemaju isti početni fazni stav. Uz predpostavku da je početni fazni stav napona θ=0,iz druge jednačine proizilazi da je u tom trenutku početni fazni stav struje ψ=π/2.Ovo ukazuje da struja kroz kondenzator fazno prednjači naponu na njegovim krajevima za ugao π/2 ,odnosno za ¼ perioda.Snaga se mijenja dvostruko bržom učestanošću: p(t) =UI sin2ωt.

Sa slike možemo zaključiti: Kad napon izvora raste od 0 do max.vrijednosti, on održava struju u kolu,ems kondenzatora takođe raste i sve ovo kao rezultat daje da se u kondenzatoru pojačava el.polje. Rad el.sila izvora se pretvara u elektrostatičku energiju el.polja kondenzatora. Snaga izvora je pozitivna,kondenzator prima energiju od izvora i ponaša se kao prijemnik (potrošač) (prva četvrtina perioda).U drugoj četvrtini perioda napon opada,i time se smanjuje elektrostatička energija kondenzatora,pretvara se u rad, koji se predaje izvoru. U ovom periodu kondenzator se prazni.

14

C uc (t)

i(t)

u(t)

+

dt dt

dqc(t)i(t) = = C

du(t)

Um

ωL

Im = 1

ψ = θ + π/2 ;

1

ωCXc = [Ω] ; UC = XCIC ;

ψ = θ + π/2 ;

R L C

uC(t) uL(t) uR(t)

+ u(t)

i(t)

Dakle,i ovdje imamo oscilovanje energije između izvora i kondenzatora,a elektrostatička energija kondenzatora se mijenja po zakonu: Wcm=½CU2

cm . P=Psr=0.U ovom kolu nema nepovratnih gubitaka energije, nema aktivnih procesa. Električna energija se periodično privremeno deponuje između obloga kondenzatora u ¼ perioda,a već u sljedećoj četvrtini se vraća izvoru. Zbog toga se za kondenzator kaže da je reaktivni prijemnik-potrošač.Kondenzator pri dovoljno visokim učestanostima predstavlja kratak spoj, pa se može koristiti za «razdvajanje» periodične struje od jednosmjerne.

27. Električno kolo sa otpornikom,induktivnim kalemom i kondenzatorom .

Kod el.kola sa reakivnim elementima (L i C) nema nepovratnog pretvaranja el.energije u toplotnu,već ona osciluje između izvora i reaktivnih elemenata. S obzirom na to da svaki aktivni element nije idealan,nego ga karakteriše i određeni iznos koeficijenta samoinduktivnosti, zaključujemo da čisto aktivno,ili čisto reaktivno kolo predstavlja idealan slučaj nekog realnog el.kola. Dakle,redno el.kolo sadrži elemente sa aktivnim i reaktivnim karakteristikama.

Na slici je prikazano jedno redno vezano el.kolo sastavljeno od aktivnog otpornika otpornosti R,induktivnog elementa-zavojnice induktivnosti L i kondenzatora kapaciteta C. Ovi elementi su priključeni na izvor promjenljivog napona u(t)=Umsin(ωt + θ).Pod djelovanjem ovog promjenljivog napona u el.kolu će se pojaviti struja,koja se mijenja po zakonu i(t)=Imsin(ωt + ψ). Razmatramo slučaj kada je početni fazni stav struje jednak nuli,tj. i(t)=Imsinωt. Na krajevima svakog od ovih elemenata ima se napon ima se poseban napon.

Impedanda (prividna otpornost)

15

uR =R·i(t)=RImsinωt ;

di

dt uL =L =Lω Im cosωt = XL Im sin(ωt + π/2) .

uC = ∫idt = Im cosωt = XC Im sin(ωt – π/2); 1

C

1

ωC

I = U

√R2+(XL-XC)2 Z = √R2+(XL-XC)2

Za analizu el.kola sa parametrima R,L i C važno je proučiti tri karakteristična slučaja:

1. XL>XC – pretežno induktivno kolo 0 < φ ≤ π/2 ,2. XL<XC – pretežno kapacitivno kolo –π/2 < φ < 0 ,3. XL=XC – čisto aktivno kolo.

Ovaj treći izaziva pojavu tzv.naponske rezonance. U tom slučaju ima se najveća efektivna vrijednost struje kroz kolo I = U/R , a to znači da je ωL – 1/ωC = 0. tj. XL-XC = 0.Rezonanca na latinskom znači odjek. Kaže se da je kolo u rezonanciji. U slučaju rezonancije, napon između krajeva kondenzatora i kalema nisu jednaki nuli,ali je njihova suma jednaka nuli,zbog čega se ova rezonanca i naziva naponska rezonanca.

28. Redno rezonantno kolo. Da li su u slučaju rezonancije naponi između krajeva kondenzatora i kalema jednaki nuli ?

Pod prostim rezonantnim kolom podrazumijeva se redna ili serijska veza otpornika,kalema i kondenzatora. Prema jednačini za struju u ovakvom kolu

Kada je

Tada je najveća vrijednost struje definisana jednačinom I = U/R.

Ovo je ugaona učestanost,po kojoj je efektivna vrijednost struje kroz kolo najveća, a za kolo se kaže da je u rezonanciji,pa se ova učestanost i naziva rezonantne ugaona učestanost. Pri ovoj učestanost fazna razlika između napona i struje je jednaka nuli (φ=0), što ne znači da je napon između krajeva kondenzatora i krajeva kalema jednak nuli.U slučaju rezonance naponi izmeđuz krajeva kondenzatora i kalema nisu jednaki nuli,ali je njihova suma jednaka nuli,zbog čega se ova rezonanca i naziva naponska rezonanca.Naponi između krajeva kalema i kondenzatora ne samo da nisu jednaki nuli u slučaju naponske rezonance,nego mogu biti i znatno veći od napona izvora na koji je el.kolo priključeno. U tom slučaju naponi uC i uL se nazivaju prenaponi.Do pojave prenapona dolazi u suštini zbog velike (teorijski) maksimalne struje kroz el.kolo. Primjena: Prosto rezonantno kolo se često koristi u praksi. Npr. ako u nekom kolu djeluju generatori dvije učestanosti. Zadatak je da nekom potrošaču dovedemo napon samo jedne učestanosti. U tom cilju paralelno sa potrošačem vežemo redno rezonantno kolo,čija je rezonantna učestanost jednaka učestanosti napona napona koji želimo da odstranimo. Pošto za svoju rezonantnu učestanost redno rezonantno kolo predstavlja skoro kratak spoj,napon između krajeva potrošača one učestanosti koju želimo odstraniti biće jednak nuli.Rezonantne pojave se koriste u tzv.filterima za propuštanje signala određenih učestalosti.

29. Nacrtati vremenski i fazorski dijagram struje i napona između krajeva sva tri elementa za rednog RLC kola u slučaju da je kolo u a)rezonanci i b)van rezonance .

16

I = U

√R2+(XL-XC)2

1

ωCωL - = 0.

1

LCω2 = ω = 1

√LC

30. Paralelno rezonantno kolo. Zašto se ovaj slučaj naziva strujna rezonanca? Dati fizikalno objašnjenje ove pojave.

Otpornost grane sa kondenzatorom je obočno veoma mala i može se zanemariti. Gubici u dielektriku kondenzatora se mogu približno uzeti u obzir, promjenom otpornosti R otpornika u grani sa kalemom.

Najčešće je otpornost R znatno manja od reaktanse ωL. Recipročna vrijednost impedanse Z biće realna,ako je

Ova ugaona učestanost naziva se antirezonantna učestanost, a ovaj slučaj el.kola se naziva antirezonancija. Pri učestanosti ω = ω0 jačina struje kroz zajedničku granu je skoro minimalna,nasuprot rezonanci rednog kola,kada je jačina struje maximalna. Ova rezonancija često se naziva i strujna rezonancija. Neka je R=0 (što praktično nikad ne može biti), ali R može biti vrlo malo. U tom slučaju jačina struje I kroz zajedničku granu jednaka je nuli. Pošto su obje grane priključene na naponU,to znači da kroz obje grane teče struja. Međutim,ove su pomjerene u odnosu na napon,jedna za π/2 unaprijed (kroz granu sa kondenzatorom),a druga za π/2 unazad (kroz granu sa kalemom).Pri antirezonanciji, obje ove struje su jednakog intenziteta,pa je njihova suma jednaka nuli.Fizikalno objašnjenje: Energija sadržana u antirezonantnom kolu razmjenjuje se između kondenzatora i kalema.tj.naizmjenično se pretvara u el.magn.energiju. Pri tome između krajeva kondenzatora i kalema postoji promjenljivi napon, koji je u fazi sa naponom izvora. Očigledno,kroz zajedničku granu zbog toga ne može da bude struje,mada postoji struja u samom el.kolu.U realnom slučaju,otpornost R nije nula. U toku svakog perioda prostoperiodične struje, u kolu se izvjesna količina energije pretvori u toplotu. Kada kolo ne bi bilo vezano za napon U, energija sadržana u kolu ubrzo bi se pretvorila sva u toplotu,i oscilacije bi prestale. Oscilacije će postojati jedino ako se se nadoknađuje energija pretvorena u toplotu.Tu ulogu ima napon U,koji predstavlja izvor energije. Učestanost tog napona mora biti ista kao učestanost oscilacija struje u kolu kada tog napona nema.Svaki rezonantni sistem karakterišu dvije energije: 1.energija koja je sadržana u sistemu,2.energija koja se u sistemu gubi u toku jednog perioda.Što je njihov odnos veći,sistem može duže da osciluje.

31. Objasni razlog pojave prenapona u kondenzatoru i kalemu prostog rezonantnog kola .

U slučaju rezonance naponi između krajeva kondenzatora i kalema nisu jednaki nuli,ali je njihova suma jednaka nuli,zbog čega se ova rezonanca i naziva naponska rezonanca.Naponi između krajeva kalema i kondenzatora ne samo da nisu jednaki nuli u slučaju naponske rezonance,nego mogu biti i znatno veći od napona izvora na koji je el.kolo priključeno. Ako su reaktivni otpori pri rezonansi XL = XC>>R, u tom slučaju naponi uC i uL se nazivaju prenaponi. Do pojave prenapona dolazi u suštini zbog velike (teorijski) maksimalne struje kroz el.kolo (detaljnije u pitanju 28.)

17

I

U L CRp

+

1

ωLωC - = 0.

U

Z I =

ω0 = 1

√LC

32. Imajući u vidu da riječ «rezonanca» znači «odjek», da li je prikladan naziv za rezonancu u rednom kolu «naponska rezonanca», a u paralelnom kolu «strujna rezonanca» ?

Rezonansa predstavlja režim na dijelu kola, u kome je fazni stav između napona i struje jednak nuli. Detaljnije: Pitanje 28, i 30.

33. Redna (serijska) veza otpornika i kalema priključena je na prostoperiodični napon. Da li struja u takvom el.kolu kasni, prednjači, ili je u fazi sa naponom ?

Prikazana je serijska(redna) veza optornika i kalema. Kada se kolo priključi na izvor naizmjeničnog napona, u kolu će se uspostaviti naizmjenična struja,koja je zajednička za oba parametra. i = Im sinωt. Uspostavljena struja na aktivnom otporu stvara pad napona uR = Ri, i induktivni pad napona na zavojnici uL = L di/dt, koji se u skladu sa drugim Kirhofovim zakonom uravnotežuju sa naponom napajanja u:u = uR + uL = R i + L di/dt = RIm sinωt + ωLIm cosωt = =URm sinωt + ULm cosωt.

Gdje su URm=RIm , a ULm=ωLIm .U opštem izrazu za trenutnu vrijednost napona napajanja, prirodno je predpostaviti da napon u odnosu na referentni položaj struje, fazno prednjači struji,za ugao φ.u=Um sin(ωt+ φ). Maximalna vrijednost napona se dobija kao Um

2=URm2+ULm

2, a početni fazni stav φ, iz tg φ= ULm/ URm .Prividni otpor ili impedansa Z se dobija iz relacije:

Um/Im = U/I =

Z = =

Fazni stav φ napona i struje mijenja se od nule do π/2 .

Trenutna vrijednost snage iznosi p=ui=UI 2sinωt sin(ωt + φ)=UI [cosφ – cos( 2ωt+ φ)].Srednja snaga je jednaka: Psr = U I cosφ . Jedinica je vat W.Faktor snage: cosφ= Psr /UI. –koeficijent manji od jedinice,koji pokazuje koliki se dio od ukupne snage nepovratno pretvara u snagu Džulovih gubitaka.Pored aktivne snage P,postoji i reaktivna snaga Q =UI sinφ. Q predstavlja snagu koja se u procesu uspostavljanja struje nagomilava u magn.polju zavojnice. Jedinica su reaktivni voltampermetri Var.sinφ predstavlja faktor reaktivnosti.Prividna snaga:

S =UI =

Jedinica je voltampermetar,VA.

18

i

u L

R

√R2+(ωL)2

√R2+(ωL)2 √ R2+XL2

√ P2+Q2

34. Redna (serijska) veza otpornika i kondenzatora priključena je na prostoperiodični napon. Da li struja u takvom el.kolu kasni,prednjači ili je u fazi sa priključenim naponom ?

Kada se kolo priključi na izvor naizmjeničnog napona, u kolu će se uspostaviti naizmjenična struja: i=Im sinωt. Ova struja na aktivnom otporu izaziva pad napona:uR= R i, i kapacitivni pad napona na kondenzatoru:

uC = ∫ i dt. koji se, u skladu sa drugim Kirhofovim zakonom uravnotežuju sa naponom napajanja u.

u=uR+uC = . . . . . .= URm sinωt – UCm cosωt.

Gdje su URm=R Im , i UCm= .

Prirodno je predpostaviti da napon, u odnosu na referentni smjer struje, fazno zaostaje u odnosu na struju,za fazni stavφ.

u=Um sin(ωt+ φ). Maximalna vrijednost napona se dobija kao Um2=URm

2+UCm2 = Z2Im

2 , a početni fazni stav φ, iz

tgφ= - = -

Um cosφ = R Im ,Um sinφ = - UCm = -

Pa je Um2=Z2Im

2.

-Trenutna vrijednost snage kod ovog kola je data relacijom : p = u i = UI 2sin(ωt + φ),tj.p = UI [ cosφ – cos( 2ωt + φ )].

-Srednja vrijednost snage Psr = UI cosφ.

35. Paralelna veza otpornika i kalema priključena je na prostoperiodični napon. Da li struja u takvom kolu kasni,prednjači ili je u fazi sa priključenim naponom ?

36. Paralelna veza otpornika i kondenzatora priključena je na prostoperiodični napon. Da li struja u takvom el.kolu kasni,prednjači ili je u fazi sa priključenim naponom ?

19

i

u C

R

1

C

Im

ωC

1

ωCR

UCm

URm

Im

ωC

37. Otpornik,kalem i kondenzator vezani su u paralelno na izvor prostoperiodičnog napona. Da li struja kroz zajedničku granu može da bude u fazi s naponom ?

Ako se kolo napaja sinusoidalnom raspodjelom napona: u = Um sinωt, onda će se uspostaviti i sinusoidalna raspodjela struje,čiji je opšti izraz za trenutnu vrijednost: i = Im sin(ωt + φ).U skladu sa prvim Kirhofovim zakonom, ukupna struja i jednaka jesumi trenutnih vrijednosti struja u granama: i = iR + iL + iC .

Maksimalne vrijednosti struja u granama su:

IRm = ; ILm = ; ICm = ωCUm .

Odnos = = koji predstavlja recipročnu vrijednost impedanse ima dimenziju

Provodnosti. Ovako dobijena provodnost naziva se prividnom provodnošću ili admitansom kola, i označava se štampanim slovom Y.

Ako se sa G označi aktivna,a sa B reaktivna provodnost ili supceptansa, važi:

; ;

B2=(BL – BC )2 . Na osnovu dobijenog i još nekih specifičnih podataka, procjenjuje se karakter kola. Npr:-kolo je induktivnog karaktera ako je BL > BC , odnosno, ako je B>0;-kolo je kapacitivnog karaktera ako je BL < BC ,odnosno, ako je B<0;-kolo ima aktivni karakter ako je BL = BC, odnosno, ako je B=0.

20

i

u L CR

+ iR iL iC

u

R iR = sinωt = IRm sinωt

Um

R =

iL = ∫ u dt = - cosωt = -ILm cosωt C

L

Um

ωL

iC = C = ωC Um cosωt = ICm cosωt du

dt

Um

R

Um

ωt

Im

Um

I

U

1

Z

1

Z Y = = [ + ( - ωC)2 ] ½

1

R

1

ωL

ωL

1

R G =

1 B = = ωC = BL – BC

√ G 2+B 2Y =

38. Predstavljanje prostoperiodičnih veličina kompleksnim brojem. Simbolička metoda.

i(t) = Im sin( ωt + ψ) Im = e jωt (*) Im = |Im| e jψ

Ovaj izraz predstavlja kompleksnu amplitudu struje. To je konpleksan broj,čiji je moduo jednak maksimalnoj vrijednosti struje,a argument početnom faznom stavu struje. U elektrotehnici se češće umjesto kompleksne amplitude prostoperiodične veličine uvodi tzv. kompleksna efektivna vrijednost. I = |I| e jψ

Iz kompleksnog broja neke prostoperiodične veličine može se odrediti trenutni oblik. Tako npr. za kompleksni oblik struje,dat jednačinom (*), trenutni oblik određuje se nalaženjem njegovog imaginarnog dijela tj. i(t) = Im dio { Im ejωt} .Prema tome, trenutni oblik neke prostoperiodične veličine jednak je imaginarnom dijelu kompleksnog broja, kojim je predstavljena ta veličina. Predstavljanje prostoperiodičnih veličina kompleksnim brojem naziva se simbolička metoda, i u elektrotehnici omogućava jednostavnije rješavanje el.kola. Ova metoda omogućava da se vektori naizmjeničnih veličina struje,napona,ems,snage predstavljaju kompleksnim brojem.Ili npr. za Z : Z = R + jX, gdje je R komponenta koja se nanosi po realnoj osovini, i naziva se realnom komponentom,dok je X komponenta koja se nanosi po imaginarnoj osovini (±j) i naziva se imaginarnom komponentom. j2 = -1 . U matematici se imaginarna jedinica označava sa i, dok se u elektrotehnici označava sa j, i to zbog toga što je i rezervisano za struju,pa da ne bi dolazilo do zabune. Sa fazorskog dijagrama impedanse Z , vidimo da je

Z = a ugao φ = arctg

Realna i imaginarna komponenta kompleksnog broja se mogu predstaviti i pomoću modula i argumenta: R=Z cosφ, X=Z sinφ, pa se kompleksni broj može prikazati i u trigonometrijskom obliku,kao: Z= (cosφ+jsinφ) Z, može i pomoću Eulerovog obrasca cosφ + sinφ = e jφ, Kompleksni broj Z bi se mogao prikazati i u eksponencijalnom obliku: Z = Ze jφ

39. Osnovni zakoni el.kola prostoperiodičnih struja u kompleksnom obliku.

Koristeći simboličku metodu, svi ranije razmatrani zakoni el.kola mogu se predstaviti u kompleksnom obliku. Tako npr. Omov zakon u kompleksnom obliku je dat jednačinom:

(za efektivne vrijednosti) . Z = R + jX.

I Kirhofov zakon definiše da je algebarska suma struja koje se stiču u neki čvor el.kola jednaka nuli. Izraz

predstavlja prvi Kirhofov zakon u kompleksnom obliku, u kome je Ik = Ik e jφ.

21

-j

+j

XZ

R r.o.

φ

0

√R2+X2 X

R

U

Z I =

Σ Ik = 0 , n

k=1

II Kirhofov zakon : Algebarska suma trenutnih vrijednosti svih ems izvora duž proizvoljne zatvorene konture el.kola jednaka je algebarskoj sumi trenutnih vrijednosti padova napona na svim ostalim elementima te konture. Taj zakon bi u kompleksnom obliku izgledao:

Gdje su Ek i U i kompleksne vrijednosti ems i napona.

40. Izvesti jednačine za prvi i drugi Kirchoffov zakon u kompleksnom obliku .

Prvi Kirhofov zakon definiše da je algebarska suma struja koje se stiču u neki čvor el.kola jednaka nuli:

Ako se trenutna vrijednost struje izrazi pomoću imaginarnog dijela njene kompleksne predstave, dobija se:

Ili

OdnosnoAko se uvede pojam kompleksne efektivne vrijednosti struje i, znajući da je odnos maksimalne i efektivne vrijednosti , dobijena formula

se jednostavno svodi na oblik:

koji predstavlja izraz prvog Kirhofovog zakona u kompleksnom obliku. ________________________________________________________________

Drugi Kirhofov zakon je definisan jednačinom

ili u obliku:

U kompleksnom obliku se predstavlja jednačinom:

(nepotpuno)

41. Izvesti jednačine za napon na krajevima kondenzatora u kompleksnom obliku .

Kompleksna efektivna vrijednost napona napajanja U, uravnotežena je sa kompleksnim efektivnim vrijednostima pa dova napona UR, UL i UC, pa je U = UR+UL+UC .

Kompleksna efektivna vrijednost struje I , koja se uspostavlja u kolu je ista kroz sve elemente kola. Aktivni pad napona je u fazi sa strujom, induktivni pad napona faznom prednjači struji za π/2,a kapaciticni fazno zaostaje za π/2,tako da se kompleksni izrazi za padove napona mogu prikazati u obliku:

22

ΣΣ Ek = U i

n

k=1

m

i=1

Σ ik = 0 . n

k=1

Σ Jk [ Imk e jφ i e jωt] = n

k=1Σ Jk [ Imk e jωt] = 0 .

n

k=1

Σ Imk = 0 . n

k=1

e jωt [ =0Σ Imk ] n

k=1

___

√2

Σ Imk = 0 . n

k=1

ΣΣ ek = u i

n

k=1

m

i=1

ΣΣ ek - u i = 0. n

k=1

m

i=1

ΣΣ Ek = U i

n

k=1

m

i=1

C

I

U

R L

UR = R I .

UL = ω L I e jπ/2 = jωL I .

42.Izvesti jednačine za napon na krajevima induktivnog kalema u kompleksnom obliku .

pitanje 41.(nepotpuno)

43. Može li prvi Kirchoffov zakon u komleksnom obliku da se napiše ako su jačine struje,koje se stiču u nekom čvoru, neprostoperiodične ?

44. U nekom el.kolu sa linearnim elementima djeluju generatori napona dviju učestanosti. Može li se stanje u ovom el.kolu analizirati posebno za jednu i drugu učestanost, a zatim stvarno stanje dobiti sabiranjem ta dva stanja ?

Prosto rezonantno kolo se često koristi u praksi. Npr. ako u nekom kolu djeluju generatori dvije učestanosti. Zadatak je da nekom potrošaču dovedemo napon samo jedne učestanosti. U tom cilju paralelno sa potrošačem vežemo redno rezonantno kolo,čija je rezonantna učestanost jednaka učestanosti napona napona koji želimo da odstranimo. Pošto za svoju rezonantnu učestanost redno rezonantno kolo predstavlja skoro kratak spoj,napon između krajeva potrošača one učestanosti koju želimo odstraniti biće jednak nuli.Rezonantne pojave se koriste u tzv.filterima za propuštanje signala određenih učestalosti.........

45. Redna(serijska) ,paralelna i mješovita veza impedansi .

Kod serijske veze, struja je ista kroz sve impedanse, dok je napon, u skladu sa drugim Kirhofovim zakonom, jednak sumi padova napona na impedansama.U = U1 + U2 +.........+ Un.U = Z1 I + Z2 I + ......+ZnI = (Z1+Z2+..........+Zn) = ZeI, gdje su:

Ze = Σ Zi = Σ (Ri + jXi) = ΣRi + jΣXi = Re + jXe

Re = ΣRi , i Xe = ΣXi ._________________________________Kod paralelne veze admitansi Y1,Y2.......Yn , napon na krajevima je isti za sve admitanse, dok je struja, u skladu sa prvim Kirhofovim zakonom:I = I1 + I2 + ................+ In = Y1 U + Y2 U + ................ + Yn U = ( Y1 + Y2 +.........+ Yn ) U = Ye U . gdje je:

Ye = Σ Yi = Σ ( Gi – jBi ) = ΣGi – jΣBi = Ge – jBe . odnosno

Ge = ΣGi ; Be = ΣBi ._________________________________

23

UC = I e –jπ/2 = I = - I 1

ωC

1

jωC

j

jωC

Za mješovitu vezu sa slike, poznate su impedanse i napon napajanja. Prvo treba riješiti paralelne grane :

Ekvivalentna impedansa kola je:

Pa su struje:

46. Transfiguracija trougla impedansi u zvijezdu i obrnuto. Izvesti izraze.

Za prikazani spoj trougao-zvijezda važe analogni odnosi:Spoj trougao:

Spoj zvijezda:

24

=

I1

U

Z1

I2 I3

Z2 Z3

I1

U Ze

Y23 =Y2 + Y3 = + = 1

Z2

1

Z3

Z2+Z3

Z2Z3

Z23 = = 1

Y23

Z2Z3

Z2+Z3

Ze = Z1+Z23 = Z1 + Z2Z3

Z2+Z3

I1 = = U . U

Ze

Z2+Z3

Z1Z2 + Z2 Z3 + Z3Z1

I2 = I1 = U .

Z3

Z2+Z3

Z3

Z1Z2 + Z2 Z3 + Z3Z1

I3 = I1 = U .

Z2

Z2+Z3

Z2

Z1Z2 + Z2 Z3 + Z3Z1

Z1

Z2 Z3

Z31 Z12

1

2 3 Z23

0

Z12 = Z1 + Z2 + Z1Z2

Z3

Z23 = Z2 + Z3 + Z2Z3

Z1

Z31 = Z3 + Z1 + Z3Z1

Z2

Z1 = ; Z12 Z31

Z12 + Z23 + Z31

Z2 = ; Z12 Z23

Z12 + Z23 + Z31

Z3 = ; Z23 Z31

Z12 + Z23 + Z31

QS

P

φ

47. Izvesti izraze za snagu u kompleksnom obliku .

Neka u kolu naizmjenične struje djeluje napon u =Um sin ( ωt + φu ), čija je efektivna vrijednost U = U e jφ

u . Pod uticajem napona, u kolu se uspostavlja struja: i = Im sin ( ωt + φu –φ ) = Im sin ( ωt + φi ).φi = φu –φ, gdje je φ fazni stav između napona i struje. Kompleksna efektivna vrijednost struje se može prikazati u obliku: I = I e jφ

i .Poznato je da snaga zavisi od proizvoda efektivnih vrijednosti napona i struje, i fazne razlike između njih. Da bi se ostvarili takvi izrazi u kompleksnoj predstavi napona i struje, treba upotrijebiti konjugovano-kompleksni izraz za struju: I* = I e –jφ

i .Odnosno izraz za kompleksnu prividnu snagu treba prikazati u obliku:

S = U I* = U I e jφu e –jφ

i = U I e j (φu – φ

i) , jer je φ = φu – φi .

Pa se za snagu dobija:S = U I e jφ = U I cosφ + j U I sinφ, ili S = U I* = P + jQ.

Moduo kompleksne prividne snage je S = , a argument

Ako se umjesto konjugovano-kompleksne struje upotrijebi konjugovano-kompleksni napon, dobija se:

U *I = U I cosφ – U I sinφ = P – jQ.Aktivna i reaktivna snaga u tom slučaju iznosi:

cosφ –faktor snage potrošača

P = Re { S }= U I cosφ ;Q = Im { S } = U I sinφ ;

48. Zbog čega je reaktivna snaga potrošača od interesa u praksi ?

Reaktivna snaga opisuje razmjenu energije između potrošača i izvora-generatora. Ova razmjena energije vrši se podsredstvom struja duž provodnika, kojima se potrošač napaja (npr.energetski vodovi dugi više km). Zbog ove komponente struje, u napojnom vodu se javljaju dodatni gubici. Ovi gubici, zbog relativne snage potrošača, posljedica su razmjene energije između potrošača i izvora-generatora duž voda, čas u jednom,čas u drugom smjeru. Cilj je da se ovi gubici eliminišu ili svedu na najmanju moguću mjeru. Relativna snaga je mjera koliko su ti dodatni nepotrebni gubici, kojih nema ukoliko je relativna snaga nula, a rastu kad se ona povećava. U praksi su potrošači rijetko čisto aktivni ili čisto reaktivni. El.motor je primjer u kojem je potrošač uvijek i aktivan (el.energija se pretvara u mehaničku), i reaktivan(zbog induktivnosti namotaja motora).Reaktivna snaga predstavlja snagu koja se u procesu uspostavljanja struje, nagomilava u magnetnom polju zavojnice i u procesu uspostavljanja napona, u el.polju kondenzatora.

25

√ P 2+Q 2 φ = arctg

Q

P

P = ( U I* + U* I )

1

2

Q = ( U I* - U* I )

1

2j

QS

P

φ

49. Šta predstavlja kompleksna snaga potrošača i generatora? Zašto se kompleksna snaga ne računa kao U I, nego kao U I* ?

(pitanje 47.)

50. Faktor snage i popravka faktora snage .

cosφ –faktor snage potrošača

Kada je faktor snage potrošača mali npr. 0,7 aktivna snaga znatna nekoliko kW,tada se dodatnim reaktivnim elementima postiže faktor snage cijelog sistema (stvarni potrošač i dodatni reaktivni elementi),koji treba da bude što bliže jednak jedinici. Ovo dodavanje reaktivnih elemenata, u cilju povećanja faktora snage, naziva se popravka (projekcija) faktora snage. Može se definisati odnos:

Faktor snage predstavlja koeficijent, koji je manji od jedinice i koji pokazuje koliki se dio od ukupne snage (UI) nepovratno pretvara u snagu Džulovih gubitaka.

51. Da li faktor snage potrošača može biti negativan ?

Faktor snage ne može biti negativan, varira između 0 i 1. Za čisto reaktivni potrošač (kondenzator i kalem) je jednak nuli,a za čisto aktivni,otporni potrošač je jednak nuli. Za el.motore,koji se mogu prikazati kao redna veza otpornika i kalema, cosφ se kreće u granicama od 0,7 do 0,9.

52. Šta je aktivna snaga potrošača ?

Pošto se na aktivnom otporu energija nepovratno pretvara u toplotnu,očigledno je da srednja snaga predstavlja,ustvari,snagu Džulovih gubitaka. Pošto se transformacija ostvaruje u aktivnom parametru R kola, uobičajeno se ona naziva aktivnom snagom, i označava se sa P.

53. Šta je reaktivna snaga potrošača ?

Reaktivna snaga se označava štampanim slovom Q,i definisana je relacijom: Q = U I sinφReaktivna snaga predstavlja snagu koja se u procesu uspostavljanja struje nagomilava u magnetnom polju zavojnice, i uprocesu uspostavljanja napona u el.polju kondenzatora,pri čemu se faktor snage sinφ naziva faktorom reaktivnosti. On pokazuje koliki se dio ukupne snage pretvara u energiju magnetnog i električnog polja.

26

cosφ =

P

UI

sinφ =

Q

UI

54. Kondenzator i kalem su reaktivni potrošači. Zašto? Može li se desiti da paralelna veza otpornika, kalema i kondenzatora bude "čisto"aktivan potrošač ?

55. Metode proračuna stanja složenih električnih kola sa prostoperiodičnim strujama.

Pri proračunu struja u el.kolima sa vremenski konstantnim strujama, koristile su se različite metode,počevši od Kirchoffovih zakona,metode konturnih struja,ekvivalentnog generatora,superpozicije, do metoda napona čvorova...i sl. Postavlja se pitanje da li se ove metode mogu koristiti pri proračunu stanja u el.kola sa vremenski promjenljivim strujama.Za svaki vremenski trenutak, ravnotežna stanja u el.kolu jednoznačeno su definisana. Ovo znači da za složeno el.kolo sa prostoperiodičnim strujama mogu biti primijenjene iste metode proračuna. Naravno,ove metode uključuju vezu trenutnih vrijednosti napona i struja duž pojedinih grana kola. Skuo jednačina u kojima egzistiraju trenutni oblici prostoperiodičnih veličina težak je i nepogodan za rješavanje. I tog oblika treba preći u algebarski oblik jednačina,što se ostvaruje primjenom simboličke metode,odnosno kompleksnog računa. Na ovaj način sve korištene metode kod el.kola sa vremenski konstantnim strujama,mogu se koristiti i kod proračuna struja u el.kolima sa prostoperiodičnim strujama. Jedina razlika je u tome što su vrijednosti napona i struja izražene kompleksnim,efektivnim vrijednostima ovih veličina, i što se otpornosti u ovim jednačinama pojavljuju kao kompleksne vrijednosti impedanse.

56 Objasniti postupak rješavanje električnih kola prostoperiodičnih struja metodom konturnih struja .

Primjena metode konturnih struja svodi se na primjenu drugog Kirhofovog zakona na nezavisne konture kola.Broj nezavisnih kontura nk složenog kola sa nč čvorova i ng grana je:nk = ng – (nč – 1)U skladu sa ovom metodom, u jednoj konturi protiče samo jedna struja i naziva se konturna struja. Prije konstituisanja jednačina, primjenom drugog Kirhofovog zakona, proizvoljno treba odabrati smjer obilaska konture,koji je istovremeno i pozitivan smjer konturne struje. Ako se pozitivni smjer obilaženja konture podudara sa smjerom djelovanja EMS,onda EMS u jednačinama imaju pozitivan predznak,i obrnuto,ako se ne podudaraju,imaju negativan predznak.Struje u zajedničkim granama za dvije ili više kontura dobijaju se kao sume kompleksnih izraza konturnih struja,pod uslovom da je zadovoljen prvi Kirhofov zakon u čvorovima kola.Postupak je identičan sa onim u kolima jednosmjernih struja. U kolu sa n nezavisnih kontura, primjenom drugog Kirhofovog zakona,treba napisati isto toliki broj jednačina u kompleksnom obliku:Z11I1 + Z12I2 + ..............+ Z1n In = E11

Z21I1 + Z22I2 +...............+ Z2n In = E22

.

.Zn1I1 + Zn2I2 +...............+ Znn In = Enn

_________________________________gdje su I1,I2,..............In konturne struje prve,druge,odnosno n-te konture, Z11,Z21,...........Znn ukupne impedanse prve,druge,odnosno,n-te konture, E11,E22,..........Enn suma svih EMS prve,druge,odnosno n-te konture,dok impedanse tipa Zkp= Zpk predstavljaju impedanse zajedničkih grana.

27

57. Objasniti postupak rješavanje električnih kola prostoperiodičnih struja metodom napona čvorova .

Ova metoda,koja je posebno prikladna za složena kola,u kojima je broj grana znatno veći od broja čvorova, primjenjuje se na (nč – 1) nezavisnih jednačina, koje treba konstituisati u skladu sa prvim Kirhofovim zakonom, koje su, u slučaju da kolo sadrži samo naponske generatore oblika:

Y11U1 - Y12I2 - ..............- Y1n Un = I1

-Y21U2 + Y22U2 -...............- Y2n Un = I2

.

. Yn1U1 - Yn2U2 -...............+ Ynn Un = In

__________________________________gdje su U j napon čvorova j, j = 1,2,.....nI j = ( Σ E Y )j suma proizvoda EMS generatora u granama koje se stiču u čvor j sa admitansom odgovarajuće grane,pri čemu se EMS,čije je električno djelovanje orijentisano prema čvoru,uzimaju sa pozitivnim predznakom,a one koje su svojim djelovanjem orijentisane od čvora sa negativnim predznakom. Ukoliko pored naponskih, u kolu djeluju i strujni generatori,tada važi:I j = ( Σ E Y )j + ( Σ I s )j . pri čemu, ako je referentni smjer struje Is prema čvoru j,struja Is se uzima sa pozitivnim predznakom,a u slučaju da je orijentisana od čvora j,uzima se sa negativnim predznakom.Yjj – suma kompleksnih admimtansi svih grana koje se stiču u čvor j, j = 1,2.......n.Yjk – suma admitansi svih grana između čvorova j i k, j = 1,2......n, j≠k.

58.Električna kola sa induktivnom spregom(magnetno spregnuta)kola.Osnovne karakteristike.

Kod sčoženih el.kola međusobna veza između njih ili njihovih pojedinih dijelova može se ostvariti na tri načina:1.Galvanskom ili konduktivnom vezom preko otpora R ili induktiviteta L,2.Kapacitivnom ili dielektričnom spregom preko kondenzatora C,3.Induktivnom spregom preko magnetnog fluksa.

Induktivna sprega između dva kola ili njihovih pojedinih dijelova može se razumjeti iz definicije sopstvenog i međusobnog fluksa dva el.kola. Predpostavimo da postoje dvije, galvanski odvojene,zavojnice u homogenoj i izotropnoj sredini.μ=const. Jedna koja ima N1,i druga koja ima N2 zavojaka. Ako prvom zavojnicom protiče promjenljiva struja i1(t), ona će u prostoru oko sebe stvarati neki ukupni promjenljivi fluks Φ1. Ovaj fluks se naziva sopstveni fluks,jer nastaje usljed proticanja struje kroz prvu zavojnicu sa N1 zavojaka. Ovaj fluks je za zavojnicu sa linearnom karakteristikom

28

N2

u1 N1

Φ1

Φ12

Φ1r

magnetiziranja,proporcionalan struji koja ga izaziva. Jedan dio ovog fluksa prolaziće kroz zavojnicu 2,što se može označiti sa Φ12. Magnetne linije su spregnute u obje zavojnice,te se na taj način kola 1 i 2 mogu posmatrati kao dva induktivno spregnuta kola. Jedan dio fluksa, koji je jednak razlici ova dva fluksa nazivamo fluks razipanja prve zavojnice Φ1r . Sličan proces odigraće se i za slučaj kada kroz drugu zavojnicu proziče struja i2,s tom razlikom što će zavojnica2 zahvatati sopstveni fluks Φ2,a određeni broj magnetnih linija zahvataće i prvu zavojnicu Φ12,pa će ukupni fluks prve zavojnice biti Φ1= Φ1r+ Φ12. Magn.fluks se mijenja linearno sa strujom,i pošto su obje zavojnice z vazduhu može se napisati N1 Φ1=L1i1,tj.

Ovdje smo sa L1 označili ukupnu induktivnost prve zavojnice.Kada kroz namotaje zavojnice protiče jednosmjerna struja, induktivna sprega dva kola ne dovodi do prenosa energije iz jednog u drugo kolo.Proticanjem promjenljive struje dovodi do pojave Faradejeve el.magn. indukcije,što za posljedicu ima pojavu indukovanih ems u zavojnici. Unutar druge zavojnice dolazi do pojave ems,koja se može izraziti u zavisnosti od promjene struje i1,kao:

Koeficijent sopstvene induktivnosti L je uvijek pozitivan,jer su smjerovi fluksa i struje koja ga stvara uvijek usaglašeni,dok koeficijent međusobne induktivnosti M može biti i pozitivan i negativan.

59. Definisati koeficijent uzajamne-međusobne induktivnosti M.

Ovdje je M12 uzajamna ili međusobna induktivnost između dvije zavojnice. Zavisi od geometrijskog oblika prve i druge zavojnice,te njihovog međusobnog položaja. Negativan znak u jednačini slijedi iz osnovnog zakona el.magn.indukcije. Indukovana ems je izvor u drugoj zavojnici, ona teži da izazove struju i2,ova da izazove fluks Φ2,koji će težiti da smanji fluks kroz prvo kolo. Iz predhodne jednačine dobijamo, i pošto Φ12 linearno zavisi od struje izraz ne mora biti napisan u diferencijalnom obliku:

Koeficijent međusobne induktivnosti M može biti i pozitivan i negativan,zavisno od izbora referentnog smjera struje u primarnom i sekundarnom namotaju i načina na koji su oni namotani. Jedinica mu je 1H.(henri)

60. Objasniti smisao algebarskog znaka uzajamne-međusobne induktivnosti M, i šta sve na taj znak utiče ?

Koeficijent međusobne induktivnosti M može biti i pozitivan i negativan,zavisno od izbora referentnog smjera struje u primarnom i sekundarnom namotaju i načina na koji su oni namotani. Ako se sopstveni fluksevi podudaraju sa fluksevima međusobne indukcije,znak će biti pozitivan,i obratno. Dakle zavisi od referentog smjera struja, i smjerova flukseva.Zavisi i od toga da li porast struje i2 povećava ili smanjuje ukupni fluks. Međusobna induktivnost M zavisi, kao i L od geometrije magnetnog kola i broja navojaka.

29

L1 =

N1 Φ1

i1

Φ1 =

L1 i1

N1

e = - M12

di1

dt

M12 = N2

Φ12

i1

M21 = N1

Φ21

i2

61. Kada će i pod kojim uslovima indukovan ems e2 u drugoj-sekundarnoj zavojnici biti maksimalna ?

62. Dokazati jednakost M12 = M21 = M ?

63. Međusobna induktivnost dva zavojka je M12. Kolika bi bila međusobna induktivnost dva tanka kalema istog oblika i isto postavljena jedan u odnosu na drugi,ako bi imali jedan sa N1, a drugi sa N2 tijesno priljubljenih zavojaka tanke žice? Odgovor obrazložiti na dva načina:preko magnetnog fluksa i preko indukovane ems .

64. Dva dvožična voda prelaze jedan preko drugog («ukrštaju se») pod pravim uglom. Pokazati da je međusobna induktivnost tanka dva voda jednaka nuli,obrazlažući to na dva načina: preko magnetnog fluksa i preko indukovane ems .

65. Međusobna induktivnost može biti pozitivna i negativna. Da li samoinduktivnost može biti i pozitivna i negativna ?

Koeficijent sopstvene induktivnosti L je uvijek pozitivan,jer su smjerovi fluksa i struje koja ga stvara uvijek usaglašeni,dok koeficijent međusobne induktivnosti M može biti i pozitivan i negativan. Međusobna induktivnost M zavisi, kao i L od geometrije magnetnog kola i broja navojaka.

Posljednja jednačina predstavlja idealan slučaj magnetne sprege,koga je u praksi teško postići, jer postoji uvijek određeno rasipanje fluksa na primaru i sekundaru.

66. Definisati sačinilac sprege induktivno spregnutih kola .

Ako sa Φ12 označimo dio fluksa koji obuhvata sekundarni namotaj,a stvoren je od primarnog namotaja, i ako sa Φ1 označimo primarni fluks,(a Φ1r je fluks rasipanja) onda je:

Ovaj koeficijent k1 predstavlja karakterističnu veličinu primara i naziva se sačinilac sprege, a k2 je od sekundara.Ako napravimo proizvod jednačina L1 i L2, dobijamo:

Sačinilac sprege je bezdimenzionalan broj,i uvijek je manji od jedinice. Njegova vrijednost se kreće kod transformatora do 0,99.

30

L1 = N1

Φ12

i1

L2 = N2

Φ21

i2

k1 = =

Φ12

Φ1

Φ12

Φ1r+Φ12

k2 = =

Φ21

21 Φ2

Φ21

Φ2r+Φ21

M =

____√L1L2

L1L2 = · = · = ; N1Φ1

i1

N2Φ2

i2

N2Φ2

k2 i2

N1Φ1

k1 i1

M2

k1k2

M = k

____√L1L2

k = M

____√L1L2

67. Načini označavanja spregnutih namotaja .

Da bismo odredili znak ems međusobne induktivnosti, potrebno je posmatrati smjerove namotaja, kao i smjerove struja u namotajima. Međutim,u šemama el.kola ne koristi se ovaj način utvrđivanja krajeva spregnutih namotaja. U el.šemama namotaje prikazujemo ukršteno,a jedan od njihovih krajeva sa tačkom ili zvjezdicom. Pri ovome se uzimaju sljedeća pravila:Ako struje i jednog i drugog namotaja ulaze u krajeve označene sa punom tačkom (zvjezdicom) ili izlaze iz krajeva označenih punom tačkom, njihovo djelovanje u odnosu na zajednički fluks se podudara,a indukovana ems ima pozitivan predznak. U suprotnom slučaju ems ima negativan predznak.

68. Linearni transformator .

Uređaji,koji imaju osobinu da mijenjaju iznos napona i struje sa jednog na drugi nivo pri istoj učestanosti,nazivaju se transformatori. Transformator predstavlja induktivnu ili magnetnu spregu dva el.kola. U njemu se vrši promjena naizmjeničnih napona i struja induktivnim putem. Da bi se pojačala magnetna sprega,a time i ostvarila i bolja trasformacija struja i napona,za magnetno kolo se biraju materijali sa najvećom magnetnom propustljivošću,tj.feromagnetni materijali. Oko jezgra su,blisko jedna drugom,namotani primar,sekundar,tercijar...itd. Linearni transformator se odlikuje osobinom da se može opisati linearnim algebarskim i diferencijalnim jednačinama. Za transformator su karakteristična tri režima: Režim praznog hoda( Z = , i1=i0, i2=0), režim kratkog spoja( Z = 0, i1=i1max, i2=i2max ), i režim pod opterećenjem ( Z ≠ 0, i1≠0, i2≠0 ).Princip rada i osnovne osobine linearnog transformatora pod opterećenjem se mogu analizirati na primjeru dvonamotajnog transformatora sa željeznim jezgrom,impedanse Z .

31

● ● i2 i1 ● ● i2 i1

e = + M

di

dt

● ● i2 i1 ● ● i2 i1

e = - M

di

dt

●●

u2

Z

R2

L2

i2 i1

R1

L1

u1

M

69. Ekvivalentna šema linearnog transformatora .

Pod ekvivalentnom šemom transformatora podrazumijeva se konduktivno spregnuta šema, koja je nastala iz induktivno spregnute šeme,pri čemu se energetski odnosi u kolu,u odnosu na napojni sistem,ne mijenjaju.

Na slici je prikazan idealni transformator.

Na slici je prikazana ekvivalentna šema,koja je pogodna za transformatore bez željeza tj.za nedovoljno spregnuta magn.kola k<<1.

70. Uproštena ekvivalentna šema i linearni transformator definisan sa L i M .

Vezano za sliku iznad:

32

●

I0

E1

Z U2

R2

I2

E2 ●

L22

U1

Ia

I1' R1

L11 I1

Im

i2i1

R1 R2 L1-M L2-M

M u2 u1

a

b d

c

u1 = R1i1 + ( L1-M ) + M di1

dt

d( i1-i2)

dt

- u2 = R2i2 + ( L2-M ) + M di1

dt

d( i1-i2)

dt

VIŠEFAZNI SISTEMI

1. Višefazni sistemi.

Za razliku od jednofaznih el.kola,kod kojih el.struju izaziva generator ems,koji proizvodi jednu ems,višefazni generatori proizvode više ems sila istih učestalosti,ali različitih faznih pomaka. Veliki doprinos u njihovom otkrivanju dao je Tesla. Višefazni sistemi naizmjenične struje predstavlja udruženo djelovanje više el.kola,u kojima djeluju ems istih učestalosti,međusobno pomjerenih za ugao 2π/m, gdje je m broj faza. Kroz ova el.kola protiču struje istih učestalosti,ali su i one međusobno fazno pomjerene. Višefazni generator je analogan jednofaznom,koji se sastoji od određenog broja faznih namotaja međusobno prostorno pomaknutihč. Obrtanjem ovih namotaja u homogenom magn.polju ugaonom brzinom ω, u njima se indukuje ems istih učestanosti,ali različitih faznih pomaka u zavisnosti od ugla pod kojim su pomaknuti fazni navoji.Ako se predpostavi da su svi namotaji jednake konstrukcije, indukovane ems će u njima biti jednakih amplituda i njihove efektivne vrijednosti će biti međusobno jednake,a uglovi između njih takođe jednaki,tj. 2π/m. Ovakav generator se naziva simetrični generator.A ako svaka naredna ems fazno zaostaje za predhodnom,ovakav simetričan sistem se naziva direktan,a ako prednjači u odnosu na predhodnu-inverzan.U praksi se inače koriste dvofazni,trofazni,šestofazni,12-fazni,48-fazni sistemi.

2. Prednosti višefaznih sistema u odnosu na jednofazne.

- kod prenosa i distribucije el.energije postižu se značajne uštede materijala za el.vodove,- trofazne mašine i aparati su jednostavnije konstrukcije i ekonomičniji su u eksploataciji,- trofazni sistemi posjeduju konstantnu snagu,- omogućava snažno i konstantno usmjereno obrtno magn.polje.

3. Trofazni sistemi .

Trofazni sistem predstavlja udruženo djelovanje tri el.kola naizmjenične struje,u kojima djeluju ems iste učestanosti i međusobno fazno pomjerene za ugao 2π/3. Ove ems mogu se dobiti pomoću generatora,kao kod jednofaznih kola,s tim da bi ovaj,umjesto jednog rama sa prstenovima,imao njih tri pod uglom od 2π/3 i obrtali bi se u magn.polju brzinom ω. Međutim,bolje rješenje generatora je ako su namotaji postavljeni nepokretni na statoru,pod uglom 2π/3,a obrtni dio,rotor, predstavlja el.magnet,koji se napaja jednosmjernom strujom i obrće na osovini generatora.Obrtanjem rotora,njegovo magn.polje presijeca namotaje na statoru,i u njima indukuje ems. U datom trenutku,sjeverni magn.pol N rotora se nalazi naspram prvog namotaja. U tom trenutku i na tom mjestu je magn.polje najjače i uprvom namotaju indukuje ems e1,koja dostiže maksimalnu vrijednost Em. Maksimalna vrijednost ems u drugom namotaju nastaje kad se rotor obrne za 2π/3 i sjeverni pol N dođe naspram drugog namotaja,a u trećem kad se obrne još za 2π/3. Zaključujemo da između ovih ems koje se indukuju u namotajima statora,postoji fazna razlika od 2π/3 ili vremenska od 1/3 perioda (T/3). Ako su namotaji statora identični sa istim brojem zavojaka,tada su i max.vrijednosti ems jednake,a njihove trenutne vrijednosti su:e1 = Em sinωte2 = Em sin (ωt - 2π/3)e3 = Em sin(ωt - 4π/3).

33

4. Dokazati za trofazni sistem da je zbir trenutnih vrijednosti ems u sistemu jednak nuli .

Zaključujemo da između ems koje se indukuju u namotajima statora,postoji fazna razlika od 2π/3 ili vremenska od 1/3 perioda (T/3). Ako su namotaji statora identični sa istim brojem zavojaka,tada su i max.vrijednosti ems jednake,a njihove trenutne vrijednosti su:e1 = Em sinωte2 = Em sin (ωt - 2π/3)e3 = Em sin(ωt - 4π/3).Simboličkom metodom dobijamo ems u kompleksnom obliku:E1 = E e j0 E2 = E -j2π/3 E3 = E e -j4π/3 = E j2π/3 – direktni E1 = E e j0 E2 = E j2π/3 E3 = E e j4π/3 = E j2π/3 - inverzni E1 =E2 =E3 =E e j0 - nulti sistem .

Kod trofaznih kola,radi jednostavnijeg kompleksnog prikazivanja osnovnih parametara,uvodi se u račun kompleksni operato a :

a = e j2π/3.Tada se sistem može napisati u obliku:

E1 = E e j0 E2 = a2E E3 = a E (direktni)______________________________________

a = e j2π/3 = - ½ + j√3/2

a2 = e j4π/3 = - ½ - j√3/2

a3 = e j6π/3 = 1______________________________________Sabiranjem E1,E2 i E3 , za direktni sistem:

E1 + E2 + E3 = ( 1 + a + a2 ) E = 0., a pošto je 1 + a + a2 = 0, zaključak je da je zbir trenutnih vrijednosti ems u sistemu jednak nuli.

5. Obrazložite načine spajanja namotaja trofaznog generatora .

Kada se vežu tri namotaja generatora,tako da se izlaz jednog namotaja,npr.prve faze veže na ulaz namotaja druge faze,zatim izlaz namotaja druge,na ulaz namotaja treće faze,i na kraju se izlaz namotaja treće veže na ulaz namotaja prve. Ukupna ems ovako vezanog el.kola biće nula. Isto tako ukupna vrijednost ovako vezanog kola biće jednaka nuli, iako svaki namotaj ima svoju ems i svoju struju,čije su vrijednosti različite od nule.Ovakav način vezivanja namotaja naziva se veza u trougao. Vezivanje namotaja generatora u trougao režim generatora se ne mijenja i ne remeti se rad bilo kojeg namotaja. U tom slučaju napajanje trofaznog potrošača ne mora se izvoditi sa šest provodnika,nego samo sa tri. Struje u trofaznom simetričnom kolu su pomjerene za isti fazni ugao u odnosu na napon odgovarajuće faze,tako da je suma struja u svakom trenutku jednaka nuli. Ova osobina praktično znači da se sva tri ulaza (ili izlaza) namotaja trofaznog generatora mogu zajedno vezati u jedan čvor,(zato što je suma struja jednaka nuli-I Kirchoffov zakon). Pri ovome se rad svakog namotaja pojedinačno,i generatora u cjelini nije poremetio. Ovakav način vezivanja se naziva veza ili spoj u zvijezdu.

34

_

Namotaji generatora se najčešće vezuju u zvijezdu. Krajevi faznih zvjezdišta se spajaju u jednu tačku tzv.zvjezdište generatora ili neutralnu tačku. Drugi krajevi istih faznih namotaja izvode se na priključke generatora na koje se spaja potrošač.

6. Mogu li se kod veze trofaznog generatora u trougao definisati fazni naponi ?

7. Objasniti zbog čega je poželjno da fazni sistem bude simetričan .

8. Objasniti da li je moguće kod veze potrošača u trougao definisati fazne napone .

9. Da li je u slučaju veze potrošača u trougao (generator je uglavnom vezan u zvijezdu) moguće definisati fazne napone .

17. Trofazno električno kolo vezano u zvijezdu.

Čvor 0 je zvjezdište ili nulta tačka. Izlazi namotaja prve,druge i treće faze su označeni slovnim oznakama U,V,W. Linijski provodnici su označeni brojevima 1,2 i 3. Svaki namotaj generatora,kao nosilac jedne faze,naziva se fazni namotaj. Struja u namotaju je fazna struja i označava se sa If, a ems i pad napona na krajevima namotaja je fazna ems i fazni napon,i označavaju se Ef i Uf. U trofaznim kolima, struje koje protiču kroz linijske provodnike nazivaju se linijske struje. Tačka 1 je na višem potencijalu od tačke 2,čime je označen polaritet. U spoju zvijezda su linijske i fazne struje jednake,zato što su provodnici linije vezani u seriju sa namotajem generatora. U ovom spoju linijski naponi nisu jednaki sa faznim naponima,zato što je linijski napon određen rezlikom vektora faznih napona.(U12 = U1 – U2...).Amplituda linijskog napona za √3 puta veća od amplitude faznog napona. Linijski napon je fazno pomjeren u odnosu na fazni napon za ugao π/6.

35

A B C p(w)

trougao zvijezda N

●

x U 1 I1 (1)

y V 2 I2 (2)

z W I3 (3)

Uf1

Uf2

Uf3 0

P

18. Trofazno električno kolo vezano u trougao.

Očigledno je sa slike da je fazni napon na krajevima faznog namotaja generatora ujedno i linijski napon između linijskih provodnika,koji vežu odgovarajuće krajeve generatora sa potrošačem. Odavde se izvodi vrlo važan zaključak za simetrično trofazno kolo,a to je da je linijski napon jednak faznom.Linijske struje jednake su razlici dvije fazne koje se stiču u jedan čvor. Amplituda linijske struje je za √3 puta veća od amplitude fazne struje i fazno je pomjerena u odnosu na faznu struju za –π/6,tj.fazno zaostaje za njom.Znači,efektivna vrijednost linijske struje je√3 puta veća od efektivne vrijednosti fazne struje.

19. Uporediti veze trofaznog kola u zvijezdu i trougao.

Veza u zvijezdu je ekonomičnija, posebno kod utroška materijala prenosnoih vodova. Kod veze u trougao struja kroz vodove je √3 puta veća od fazne struje,dok su kod zvijezde ove struje jednake. Odavde zaključujemo da je za isti prenos el.energije moguće upotrijebiti približno √3 puta manje materijala,jer se kod manjih vrijednosti linijskih struja koriste provodnici manjeg presjeka.

36

●

● ●

● ●

● ●

I31

z u

w x

3 2

1

I12

I23

U12 U31

U23

I1 (1)

I2 (2)

I3 (3)

P