SVEUILITE/UNIVERZITET VITEZ U TRAVNIKU

FAKULTET POSLOVNE INFORMATIKE

STUDIJ PRVOG CIKLUSA, I. GODINA STUDIJA

SMJER INFORMACIONE TEHNOLOGIJE

SKUPOVI

Seminarski rad

Predmet: Matematika za informatiareProfesor: Prof. dr. Esad JakupoviAsistent: Aida HodiStudent: Sandrino Vulovi

TRAVNIK, 12/2014.

SadrajUvod2I.Definicija skupova31.ta je skup?3II.RELACIJE SKUPOVA61.Kardinalni broj72.Operacije sa skupovima72.1.Unija skupova72.2.Presjek skupova82.3.Razlika skupova82.4.Simetrina razlika92.5.De Morganov zakon102.6.Ureeni par122.7.Dekartov proizvod122.8.Komplement skupa132.9.Partitivni skup14

Uvod

Poseban zamah razvoju teorije dao je B. Russell otkriem paradoksa. To je rezultiralo razvojem aksiomatske teorije skupova. Prvi prijedlog aksiomatizacije dao je E. Zermelo, 1908. godine. Zermelo je dokazao da se svaki skup moe dobro urediti. Nakon velikih kritika njegovog neoekivanog rezultata, Zermelo je pobrojao aksiome koje je koristio. A. Fraenkel je 1922. godine precizirao shemu aksioma separacije. Zatim su A. Fraenkel i T. Skolem predloili shemu aksioma zamjene kao jo jedan novi aksiom. J. von Neumann je eksplicirao aksiom dobre utemeljenosti i definirao ordinalne brojeve.

U ovom kratkom osvrtu na historijski razvoj teorije skupova istaknut emo jo samo da je 1938. godine K. Gdel dokazao relativnu konzistentnost ZermeloFraenkelove teore skupova s aksiomom izbora i hipotezom kontinuuma, te je 1963. godine P. Cohen dokazao nezavisnost hipoteze kontinuuma sa ZermeloFraenkelovom teorijom skupova.

I. Definicija skupova

1. ta je skup?

Skup je primitivan pojam, i kao takav se ne definira. Smatramo da ve imate izraenu intuiciju o pojmu skupa. Skup je kolekcija objekata koji zajedno ine cjelinu.

Georg Cantor, principijelni tvorac teorije skupova, je napisao sljedeu definiciju skupa: Pod terminom skup smatramo bilo koju kolekciju M odreenih, razliitih objekata m nae zamjedbe ili misli (koji e se zvati elementi skupa M) u cjelinu.

Objekte skupa takoer zovemo njegovim lanovima ili elementima. Elementi skupa mogu biti raznih vrsta: brojevi, ljudi, slova abecede, drugi skupovi itd. Skupovi se dogovorno oznaavaju velikim slovima A, B, C, itd. Za dva skupa A i B kaemo da su jednaka i zapisujemo A = B ako imaju iste lanove.

Skup, za razliku od multiskupa, ne moe sadravati vie jednakih elemenata. Sve skupovne operacije uvaju svojstvo jedinstvenosti elementa u skupu. Slino, redoslijed nabrajanja elemenata skupa je nebitan, za razliku od slijeda ili tupla.

U matematici se pojam skup ne definira eksplicitno. On predstavlja osnovni pojam, poput pojma take ili prave u geometriji. Sutinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili lanova. Osnovni odnos izmeu elemenata i skupova je pripadanje. Izraz a pripada A se simbolikim matematikim jezikom pie .

Kae se i da je a element skupa A, ili da je a sadran u A. Izraz a ne pripada skupu A, odnosno negacija formule, se simboliki oznaava sa

2. Opis skupova

Nemaju svi skupovi precizan opis - neki mogu jednostavno biti proizvoljne kolekcije, bez nekog jasno izraenog "pravila" koje kazuje koji su elementi unutar ili van skupa.

Neki skupovi mogu biti opisani rijeima, na primjer:

A je skup iji su lanovi prva etiri cijela broja.B je skup iji su lanovi boje francuske zastave.Dogovorno se skup takoer moe definirati eksplicitnim nabrajanjem svih elemenata izmeu vitiastih zagrada, na primjer:

C = {4, 2, 1, 3}D = {crvena, bijela, plava}Dva razliita opisa mogu definirati isti skup. Na primjer, gore definirani skupovi A i C su identini, poto imaju jednake lanove. Skraeni zapis A = C se koristi za izraavanje takve jednakosti. Slino, za gore definirane skupove vrijedi B = D.

Identitet skupa ne zavisi od redoslijeda nabrajanja elemenata skupa, kao i o moguim ponavljanjima elemenata prilikom nabrajanja. Na primjer, {6, 11} = {11, 6} = {11, 11, 6, 11}.

Za skupove sa mnogo elemenata ponekad se koristi skraena lista. Na primjer, prvih hiljadu pozitivnih cijelih brojeva se mogu opisati simbolikom kraticom:{1, 2, 3, ..., 1000},pri emu specijalni simbol od tri toke (...) oznaava da se lista nastavlja na podrazumjevani nain.

Slino se skup parnih brojeva moe opisati notacijom:{2, 4, 6, 8, ... }.Sloeniji skupovi se ponekad opisuju razliitom notacijom. Na primjer, skup F iji su lanovi prvih dvadeset brojeva koji su za etiri manji od kvadrata cijelog broja, moe biti opisan na sljedei nain:

U ovom opisu, dvotoka (:) znai "takav da", i matematiari interpretiraju ovaj opis kao "F je skup svih brojeva oblika , takvih da je n cijeli broj u opsegu od 0 do 19 inkluzivno." (Ponekad se umjesto dvotoke koristi vertikalna crta |.)

3. Obiljeavanje skupova

Skupove obiljeavamo velikim latininim slovima Elemente skupa obiljeavamo najee malim latininim slovima Ako neki element pripada nekom skupu, onda to oznaavamo sa , dok ako neki element ne pripada nekom skupu, to oznaavamo sa . Element skupa moe bilo ta da bude: broj, taka, linija, jabuka, slovo, galaksija, pa ak i drugi skup. Sve elemente nekog skupa moemo predstaviti na razliite naine. Jedan od tih naina je, da izmeu dvije krive zagrade nabrojimo sve elemente odvajajui ih zarezom: Ovaj nain je zgodan kada skup ima mali broj elemenata, ali kod veih skupova javlja se potreba za sljedeim obiljeavanjem elemenata skupa: . Ovo znai da skup A sainjavaju svi elementi koji imaju neko svojstvo S. Npr.: , to znai da su elementi ovog skupa svi oni brojevi, manji od 3 a vei od 2. Naravno, sve elemente tog skupa ne moemo napisati, jer ih ima beskonano. esto se mogui iksevi ogranie samo na neke elemente drugog skupa, pa tako oznaava sve prirodne brojeve vee od dva i manje od est, tj. {3,4,5}. Trei nain obiljeavanja skupa je pomou Vennovog dijagrama.

Ovaj nain je mnogo intuitivniji od prethodna dva. Crtanjem zatvorene krive linije (krunice) mi definiramo skup, a elementi tog skupa predstavljaju sve take koje se nalaze unutar krive linije. Ova metoda je dobila ime po Englezu Johnu Vennu, koji je 1880. prezentirao ovakav nain obiljeavanja.

Potrebno je napomenuti da postoji pojam praznog skupa, tj. skupa koji nema elemenata. Takav skup obiljeavamo sa .

U matematici se esto koriste neki skupovi, zbog ega su oni obiljeeni posebnim slovima da bi se razlikovali od ostalih skupova: - skup svih prirodnih brojeva (eng. numbers). Nula ne ulazi u ovaj skup. - skup svih cijelih brojeva (njem. Zahlen) - skup svih racionalnih brojeva, tj. brojeva koji se mogu napisati u obliku ab, gdje su a i b cijeli brojevi (eng. quotient). - skup svih realnih brojeva - skup svih imaginarnih brojeva - skup svih kompleksnih brojeva - skup svih prostih brojeva (eng. prime)

Digresija: Obratite panju na poseban stil slova kojim se obiljeavaju skupovi Ovaj stil se naziva BlackBoard Bold i popularizovan je u francuskim matematikim enciklopedijama grupe Bourbaki. Bourbaki je, takoer, uveo znak .

esto se pored oznake skupa dodaje mali znak plus ili minus, ime se oznaavaju pozitivni ili negativni brojevi tog skupa. Npr.: predstavlja sve pozitivne cijele brojeve, dok predstavlja sve negativne realne brojeve. Takoe, ponekad se govori o ne-negativnim i ne-pozitivnim brojevima. To su brojevi koji su vei od nule ukljuujui i nulu (ne-negativni) i brojevi koji su manji od nule ukljuujui i nulu (ne-pozitivni). Takoer, ponekad se dodaje i nula, ime se oznaava da i nula ulazi u taj skup, npr.: Napomena: nula se smatra cijelim brojem, ali ne i prirodnim.

Kod skupova redoslijed elemenata, kao i broj ponavljanja nekog elementa, nije bitan. Npr.:

U radu sa skupovima javlja se potreba da znamo broj elemenata nekog skupa.Zato se uvodi pojam kardinalnosti. Kardinalni broj nekog skupa prosto oznaava broj elemenata tog skupa. Kardinalnost skupova se najee obiljeava sa |A|, mada se u literaturi sreu i sljedee notacije: Napomenimo ponovo da broj ponavljanja istog elemenata nije bitan, pa tako: Takoe, kardinalni broj praznog skupa Skupovi se po svojoj kardinalnosti mogu podijeliti na konane i beskonane skupove. Kod konanih skupova kardinalni broj moe da bude samo cio ne-negativan broj. Beskonane skupove moemo podijeliti na prebrojive i neprebrojive. Kardinalnost prebrojivog skupa se obiljeava prvim slovom hebrejskog alfabeta sa malom nulom, tj. alefom 0. Skupovi koji imaju 0 kardinalnost su: skup prirodnih brojeva, skup cijelih brojeva i skup racionalnih brojeva. Kardinalnost neprebrojivog skupa obiljeavamo sa c ili sa 1. Za skupove koji su neprebrojivi kaemo da imaju mo kontinuuma. Takvi su skupovi realnih, imaginarnih, kompleksnih brojeva, kao i bilo koji interval (otvoreni ili zatvoreni) na ovim skupovima.

Za dva skupa kaemo da su jednaka (ekvipotentna) ako svaki element prvog skupa pripada drugom skupu i obrnuto, ako svaki element drugog skupa pripada prvom. Jednakost dva skupa oznaavamo

Osobine ekvivalencije skupova:

Ove pomenute osobine se nazivaju refleksivnost, simetrinost i tranzitivnost.

Kada je skup dio nekog drugog skupa, to obiljeavamo sa (itamo: podskup). Ovu relaciju izmeu dva skupa moemo definisati na sledei nain: . Primijetit emo da je svaki skup podskup samog sebe, (refleksivnost), kao i da je prazan skup podskup svakog skupa, . Ako je i , odatle sledi da (osobina antisimetrinosti).Relacija pravog podskupa se obiljeava sa i oznaava da je A podskup nekog skupa B, ali da . Za skup koji je podskup nekog drugog skupa kaemo da se sadri u tom skupu. Ponekad se govori i o nadskupu , to znai da se u skupu A sadri skup B (relacija slina kao podskup, ali u drugom smjeru).

4. lanstvo skupa

Pod pojmom skup podrazumijevamo sjedinjenje razliitih objekata u jednu cjelinu. lanovi skupa imaju odreena svojstva po kojima sa sigurnou moemo utvrditi pripada li lan ili ne pripada skupu. U matematici uglavnom prouavamo skupove brojeva i skupove taaka (duina, pravac, polu-pravac , trokut...).Skup prirodnih brojeva: . Skup neparnih jednoznamenkastih prirodnih brojeva: Ako neto jest ili nije element nekog pojedinanog skupa, tada to simboliziramo sa odnosno .

II. RELACIJE SKUPOVA

1. Kardinalni broj

Jos u osnovnoj skoli smo ucili da svaki prirodni broj ima dvostruku ulogu: odreuje koliko cega ima, te koji je po redu. To znaci da je svaki prirodan broj kardinalni (glavni) i redni. Cilj nam je definirati beskonacne kardinalne brojeve koji ce mjeriti velicinu beskonacnih skupova, te beskonacne redne brojeve koji ce mjeriti poredak beskonacnih skupova. Prvo cemo definirati redne brojeve (ordinale), a zatim kardinalne brojeve. Svaki kardinalni broj je ordinalni, ali ne i obratno.Tekst koji slijedi u ovoj tacki sluzi kao motivacija za aksiomatsku izgradnju teorije skupova. Odnosno, zeli se istaknuti problem definicije kardinalnog broja, te navesti neke osnovne teoreme o kardinalnosti.

Kardinalnost je zapravo sinonim za ekvipotentnost. To znaci da u ovom trenutku jos nismo definirali pojam kardinalnog broja. Lako je vidjeti da je relacija "biti ekvipo- tentan" relacija ekvivalencije (na cemu? na klasi svih skupova?!). Znamo da svaka relacija ekvivalencije definira particiju (vidi propoziciju 1.59.). Iz tog razloga cini se da bi mogli definirati kardinalni broj proizvoljnog skupa A kao klasu ekvivalencije obzirom na relaciju , odnosno

2. Operacije sa skupovima

Kao to u aritmetici poznajemo operacije sabiranja, oduzimanja, mnoenja itd, a u logici poznajemo logike operacije (veznike) implikacije, konjunkcije, disjunkcije itd, tako i pri radu sa skupovima moemo da definiramo neke operacije.

2.1. Unija skupova

Unija dva skupa se obiljeava sa i oznaava skup iji su elementi svi elementi oba skupa.

Venovim dijagramom predstavljeno :

(Sve to je obojeno crvenom bojom predstavlja uniju skupova A i B, dok sami krugovi predstavljaju skupove A i B)

Za uniju skupova vai osobina komutativnosti, tj. i asocijativnosti Napomenimo da je i (idempotentnost) i .Ako su skupovi disjunktni, tada vai card

Uniju skupova moemo proiriti i na vei broj skupova

2.2. Presjek skupova

Presjek dva skupa definiramo:Presjek dva skupa je skup koji sadri samo elemente koji se sadre u oba skupa.

Za presjek dva skupa takoer vai osobina asocijativnosti i komutativnosti. Takoer, (idempotentnost) i Za razliku od unije skupova, presjek dva skupa ne moemo uvijek da dobijemo. Naime, u sluaju kada su skupovi disjunktni (tj. nemaju zajednikih lanova) presjek dva skupa je prazan skup .

Presjek dva skupa se moe proiriti i na vei broj skupova

Vae zakoni distribucije,

i apsorptivnosti:

2.3. Razlika skupova

Razliku dva skupa u oznacidefiniramo kao skup koji sadri sve elemente prvog skupa ali ne sadri nijedan element drugog skupa.

Moemo primijetiti da razlika skupova nije komutativna, tj. Vae sljedei identiteti:

Razlika skupova se ponekad navodi kao relativni komplement skupa.

2.4. Simetrina razlika

Skup nazivamo simetrina razlika i obiljeavamo sa

Simetrina razlika se moe definirati i kao: 2.5. De Morganov zakonZakon je dobio ime po Avgustu De Morganu (18061871) koji je predstavio zvaninu verziju zakona o klasinoj propozicionalnoj logici. Na De Morganovu formulaciju je uticala algebarizacija preuzeta od strane Dorda Bula, koju je kasnije uvrstila De Morganova tvrdnja. Iako je slino zapaanje imao Aristotel i bila je poznata Grcima i srednjovjekovnim logiarima, De Morganu je data zasluga za formalno navoenje zakona i njihovo uvoenje u jezik logike. De Morganov zakon se moe lako dokazati, i moe ak izgledati trivijalno. Ipak, ovi zakoni su od pomoi u donoenju ispravnih zakljuaka u dokazima i deduktivnim argumentima.U matematikoj logici i Bulovoj algebri, De Morganovi zakoni predstavljaju par transformacijskih pravila. Pravila dozvoljavaju da se izrazi konjunkcije i disjunkcije mogu mijenjati jedan u drugi uz pomo negacije.Pravila mogu biti predstavljena u naem jeziku kao:Negacija konjunkcije predstavlja disjunkciju negacija. Negacija disjunkcije predstavlja konjunkciju negacija.ili neformalno:"ne (A i B)" je isto to i "(ne A) ili (ne B)"takoer i,"ne (A ili B)" je isto to i "(ne A) i (ne B)"Pravila mogu biti izraena u formalnom jeziku , sa dvije istinitosne promjenljive P i Q kao:

gdje je: operator negacije (NE) operator konjunkcije (I) operator disjunkcije (ILI) relacija ekvivalencije (AKKO)Ova pravila imaju iroku primjenu u pojednostavljivanju logikih izraza u kompjuterskim programima, kao i u digitalnim kolima. De Morganovi zakoni su opti primjer pojma dualnosti u matematici.

Neformalni dokazDe Morganovi zakoni mogu biti primijenjeni na kompletan izraz negacije disjunkcije ili negacije konjunkcije, kao i na neki dio njega.Negacija disjunkcijeU sluaju primjene De Morganovog zakona na disjunkciju, razmotrimo sljedeu tvrdnju: Nije tano da su A ili B tani iskazi, to moemo zapisati:

U tom sluaju utvreno je da istinitnosni iskaz A ili B nije taan, to znai da ni A nije tano, ni B nije tano, to moe biti zapisano:

Da je jedan od A ili B istina, njihova disjunkcija bi takoer bila istinita, to bi inilo ovu negaciju netanom. Prezentirano na govornom jeziku, pratea logika bi bila Ako su dvije stvari netane, takoer je netano da je neka od njih tana.Gledano u suprotnom smjeru, drugi izraz nam tvrdi da ni jedan od iskaza A i V nisu tani, to znai da nije tana ni njihova disjunkcija. Kako je negacija disjunkcije napisana u prvom izrazu sledi da je dokaz uspjean.Negacija konjukcijePrimjena De Morganovog zakona na konjunkciju je veoma slina sa prethodnom. Obe forme su trivijalne. Razmatrat emo sljedeu tvrdnju: "Nije tano da su i A i V tani iskazi", to matematiki moemo zapisati:

Da bi ova tvrdnja bila tana, potrebno je da i A i B budu netani, odnosno bar jedan od njih mora biti netaan, to moe biti zapisano:

Odnosno, na naem jeziku "Ukoliko nije tano da su dvije stvarni tane, onda bar jedna od njih nije tana.Dokaz u suprotnom smjeru je takoer trivijalan, drugi izraz predstavlja da bar jedan iskaz nije taan. Ukoliko bar jedan nije taan, lako se moe zakljuiti da njihova konjunkcija takoer nije tana.Formalni dokazDa bi dokazali da vai, prvo moramo dokazati da vai ,, a zatim ,.

Neka jeOnda , zato to , onda ili Ako , onda , iz tog slijedi . Ako , onda , slijedi Poto je ovo tano za proizvoljno , onda , dakle slijedi.

Da bi dokazali u suprotnom smjeru, pretpostavljamo da, takvo da . Onda . Pratei to . Slijedi . Ali onda , je u kontradikciji sa hipotezom . Stoga, c, i .

Poto i , sledi , to finalizira dokaz De Morganovog zakona.

2.6. Ureeni par

Za skup moemo rei da je ureen ako je poredak njegovih elemenata utvren (odreen). Par elemenata a i b za koje je odreeno koji element je prvi a koji je drugi po redu nazivamo ureen par ili ureena dvojka, u oznaci pri emu odnosno:

Element a ureenog para zove se prva koordinata, komponenta ili projekcija, a element b njegova druga koordinata.

Tri elementa a, b i c za koje je odreeno koji je prvi, koji je drugi a koji trei nazivamo ureena trojka u oznaci pri emu je

Na slian nain se definira i ureena etvorka elemenata krae Ureena n-torka elemenata a1, a2. ....an, bila bi:

2.7. Dekartov proizvod

Dolazimo sada do najkomplikovanije operacije, a to je Dekartov proizvod (ili Kartezijev produkt), koji se obiljeava sa . Dekartov proizvod skupova , u oznaci , predstavlja skup ureenih parova ija je prva komponenta element skupa A, a druga komponenta element skupa B.

)

Primjer: Dekartov proizvod se najbolje vidi ako se predstavi na grafiki nain putem mree:

Dekartov proizvod nema osobinu komutativnosti, , takoe nema osobinu asocijativnosti, Kardinalnost Dekartovog proizvoda je aritmetiki proizvod kardinalnih brojeva dva skupa: Definira se jo i Dekartov stepen skupa:

Dekartov proizvod bilo kog skupa i praznog skupa je prazan skup. Dekartov proizvod beskonanog skupa i nepraznog skupa je beskonaan skup.Dekartov proizvod je dobio ime po Reneu Dekartu, francuskom matematiaru, koji je izveo revoluciju u matematici kreirajui pravougli koordinatni sistem 2, mnogo prije nastanka teorije skupova.

2.8. Komplement skupa

Komplement skupa A je skup iji su elementi svi oni koji ne pripadaju A.Za komplement skupa potrebno je definirati, koji skup je nadskup skupa A. esto se taj nadskup obiljeava sa U (eng. universe), to jest nadskup svih skupova koji se spominju u kontekstu. Tada se kae da je apsolutni komplement skupa A skup UA.

Komplement skupa se obiljeava na razliite naine:.Neke karakteristike:

2.9. Partitivni skup

Za disjunktne podskupove skupa X ija je unija skup X kaemo da su particije skupa X.Za skup iji su elementi svi podskupovi skupa X kaemo da je partitivni skup skupa X i to oznaavamo sa

Za partitivni skup vai: card.

Napomenimo jo i da su prazan skup i sam skup A elementi skupa P(A).

Literatura:Esad Jakupovi "Via matematika"http://forum.matemanija.com/viewtopic.php?f=49&t=539http://sr.wikipedia.org/sr-el/__http://hr.wikipedia.org/wiki/Skup

3