sledovat - mat.fsv.cvut.cz filena strance k ma04 jsou odkazy na materi´ aly k line´ arn´ı´...
TRANSCRIPT
Predmet: MA04
Vyucujıcı: Jan Chleboun, mıstnost B-305, linka 3866([email protected])
Konzultace: utery 14:00-15:40 nebo dle dohody
Sledovat informace na webovych strankach vyucujıcıho(o zkousce, studijnı materialy aj.):web FSv CVUT → kat. matematiky → Chleboun → MA04nebo http://mat.fsv.cvut.cz/chleboun/
Hlavnı literatura◮ zdroje na webove strance prednasejıcıho◮ skripta O. Zindulka: MA 3◮ skripta K. Rektorys: MA 43 (knihovna)
1 / 24
Volitelny predmet: Seminar k Matematice 4 (101XSM4)Vıce informacı na webu.
Kdy a kde: streda 16:00 – 17:40, B-255
2 / 24
Magistersk e studium — n aro cn ejsı urove n nez bakal arsk estudium
Bakalar – zna kucharskou knihu. (Jak?)Inzenyr – pıse kucharskou knihu. (Proc a jak?)Prototyp inzenyra – Cyrus Smith (J. Verne, Tajuplny ostrov)
Matematika 6= resenı p rıkladu
◮ Trocha matematicke teorie stojıcı za resenım uloh, s nimizse setkate i v jinych predmetech (NAK).
◮ Pripomenutı matematickych souvislostı.◮ Castecne opakovanı.◮ Procvicenı mozku; abstraktnı myslenı.◮ Vetsı rozhled – lepsı pozice na trhu prace.◮ Prıprava na spolupraci s odbornıky, kterı hovorı
narocnejsım matematickym jazykem (absolventi FJFICVUT, MFF UK aj.).
3 / 24
Pokus: Pocıtejte hodnoty Ii dle rekurentnıch vztahu
I0 = 1 − 1e,
I1 = 1 − I0
(=
1e
),
I2 = 1 − 2I1,
I3 = 1 − 3I2,
. . .
In = 1 − nIn−1
tak dlouho, az pro nejake i poprve nastane Ii < 0.Poznamenejte si i a Ii .
4 / 24
Je p redm et MA04 obtızny?
Asi ano, ale mene, nez se povıda, nebot
◮ vektory, matice, determinanty jsou zopakovany na cvicenı◮ na strance k MA04 jsou odkazy na materialy k linearnı
algebre, derivaci a integralu vhodne pro opakovanı◮ MA04 predpoklada jen velmi malo znalostı z MA01, MA02,
MA03 (ne techniky, ale ponetı o pojmech)◮ na strance k MA04 jsou/budou prezentace prednasek◮ vetsina temat je strucne pokryta Prıruckou pro prezitı
5 / 24
Cast e namitky
6 / 24
Cast e namitky◮ Matematiku jsme meli naposled pred tremi lety!
6 / 24
Cast e namitky◮ Matematiku jsme meli naposled pred tremi lety!
V odbornych predmetech nebyla zapotrebı? To je zopakovanı sizakladu takovy probem (viz pripravene materialy)?
6 / 24
Cast e namitky◮ Matematiku jsme meli naposled pred tremi lety!
V odbornych predmetech nebyla zapotrebı? To je zopakovanı sizakladu takovy probem (viz pripravene materialy)?
◮ Tohle nikdy nebudu potrebovat, vidım to ve firme, kdepracuji!
6 / 24
Cast e namitky◮ Matematiku jsme meli naposled pred tremi lety!
V odbornych predmetech nebyla zapotrebı? To je zopakovanı sizakladu takovy probem (viz pripravene materialy)?
◮ Tohle nikdy nebudu potrebovat, vidım to ve firme, kdepracuji!a) Mozna prımo ne – stejne jako 92% informacı, ktere Vamiprotekly behem cele skolnı dochazky (60-85% z pobytu na FSv).Je vsak osobnost a jejı schopnost resit problemy utvarena jenskolenım zamerenym na konkretnı ukol?
6 / 24
Cast e namitky◮ Matematiku jsme meli naposled pred tremi lety!
V odbornych predmetech nebyla zapotrebı? To je zopakovanı sizakladu takovy probem (viz pripravene materialy)?
◮ Tohle nikdy nebudu potrebovat, vidım to ve firme, kdepracuji!a) Mozna prımo ne – stejne jako 92% informacı, ktere Vamiprotekly behem cele skolnı dochazky (60-85% z pobytu na FSv).Je vsak osobnost a jejı schopnost resit problemy utvarena jenskolenım zamerenym na konkretnı ukol?b) Pohled skoly je jiny. Diplom ma byt pro absolventa i jehozamestnavatele potvrzenım toho, ze absolvent v urcitemrozsahu zvlada urcite spektrum disciplın, ze je jakymsivıcebojarem. Pokud toho v zivote nevyuzije, je to jeho vec. Pakse take naskyta otazka, zda takovy certifikat vubec potrebuje.
6 / 24
Zpet k pokusu: V posloupnosti je In =1e
∫ 10 xnex dx . Ukazme to
integracı po castech
In =1e
∫ 1
0xnex dx =
1e
[xnex]1
0 −1e
n∫ 1
0xn−1ex dx
=1e(e − 0)− nIn−1 = 1 − nIn−1.
7 / 24
Zpet k pokusu: V posloupnosti je In =1e
∫ 10 xnex dx . Ukazme to
integracı po castech
In =1e
∫ 1
0xnex dx =
1e
[xnex]1
0 −1e
n∫ 1
0xn−1ex dx
=1e(e − 0)− nIn−1 = 1 − nIn−1.
Platı
I0 =1e
∫ 1
01ex dx =
1e[ex ]
10 =
e − 1e
= 1 − 1e.
7 / 24
Zpet k pokusu: V posloupnosti je In =1e
∫ 10 xnex dx . Ukazme to
integracı po castech
In =1e
∫ 1
0xnex dx =
1e
[xnex]1
0 −1e
n∫ 1
0xn−1ex dx
=1e(e − 0)− nIn−1 = 1 − nIn−1.
Platı
I0 =1e
∫ 1
01ex dx =
1e[ex ]
10 =
e − 1e
= 1 − 1e.
Vzdy je In > 0, navıc limn→+∞ = 0, nebot
0 <
∫ 1
0xnex dx ≤ e
∫ 1
0xn dx =
en + 1
[xn+1
]1
0=
en + 1
n→+∞−→ 0.
M. Krızek: Muzeme verit numerickym vypoctum? PMFA, 2011, cıslo 4 (podle
I. Babuska, M. Prager, E. Vitasek: Numerical processes in differential equations, 1966)
7 / 24
Matematika 4 zacınaZaklady zna cenıR, C . . . mnozina realnych, komplexnıch cısel∈; a ∈ R . . . je prvkem; a je realne cıslo∀; ∃; ∃! . . . (pro) kazdy; existuje; existuje prave jeden=⇒; ⇐⇒ . . . z toho plyne; prave tehdy, kdyzC([a,b]), Ck ([a,b]) . . . mnozina (ale!, viz dale) vsech realnychfuncı spojitych na uzavrenem intervalu [a,b], spojitych nauzavrenem intervalu [a,b] do k-te derivace vcetne
Ukazka definice mnozinyM =
{v ∈ C1([a,b])| v(a) = 0 & v ′(b) = 0
}
8 / 24
Vektorovy (t ez line arnı) prostor V : prvky lze scıtat a nasobitskalarem, pricemz platı (1)-(9)
∀u, v ∈ V u + v = v + u, (1)
∀u, v , z ∈ V u + (v + z) = (u + v) + z, (2)
∃! 0 ∈ V ∀u ∈ V u + 0 = u, (3)
∀v ∈ V ∃! − v ∈ V v + (−v) = 0, (4)
∀α ∈ C (nebo ∈ R) ∀v ∈ V αv ∈ V , (5)
∀v ∈ V 1v = v , (6)
∀α, β ∈ C (nebo ∈ R) ∀v ∈ V α(βv) = (αβ)v , (7)
∀α ∈ C (nebo ∈ R) ∀u, v ∈ Vα(u + v) = αu + αv , (8)
∀α, β ∈ C (nebo ∈ R) ∀v ∈ V (α + β)v = αv + βv . (9)
Ale nejdulezit ejsı jsou dv e vlastnosti:u, v ∈ V =⇒ u + v ∈ V u ∈ V , a ∈ R =⇒ au ∈ VEkvivalentne: u, v ∈ V a,b ∈ R =⇒ au + bv ∈ V
Znate v. p. Rn, Ck ([a,b]),M =
{v ∈ C1([a,b])| v(a) = 0 & v ′(b) = 0
}.
9 / 24
Vlastnı cısla a vlastnı vektory maticNecht A je ctvercova matice. Nenulovy sloupcovy vektor x senazyva vlastnı vektor matice A, platı-li Ax = λx pro nejake cısloλ ∈ C. Toto λ se nazyva vlastnı cıslo matice A odpovıdajıcıvlastnımu vektoru x .
λ je vlastnı cıslo matice A ⇐⇒ (prave tehdy, kdyz)λ je korenem charakteristickeho polynomu matice A, tj.det(A − λI) = 0. Navod pro vypo cet vl. cısel mal e matice!Koreny mohou byt nasobne i komplexnı (cısla).
Vl. vektor(y) odpovıdajıcı vl. c. λ zıskame vyresenım soustavylin. alg. rovnic (A − λI)x = 0.
Pocet linearne nezavislych vlastnıch vektoru muze byt mensınez pocet vlastnıch cısel (branych s nasobnostı).
Vyuzitı: vlastnosti metod NLA, resenı soustav LODR X = AX + b,hlavnı smery napetı a hlavnı napetı, vlastnı frekvence a vlastnı tvarykmitanı, Google . . .
10 / 24
Necht A je ctvercova matice (realna nebo komplexnı).◮ Matice A je singularnı (tj. neexistuje A−1, regularnı:
existuje A−1) prave tehdy, kdyz ma vlastnı cıslo 0.◮ (λ, x) vlastnı par matice A =⇒ (λ2, x) vlastnı par matice A2.◮ Existuje-li A−1, je (λ, x) vlastnım parem matice A prave
tehdy, kdyz (1/λ, x) je vlastnım parem matice A−1 (tj. Ai A−1 majı stejne vlastnı vektory).
◮
∑ni=1 λi = tr A, kde tr A =
∑ni=1 aii ,
∏ni=1 λi = det A
◮ Je-li (λ, x) vlastnı par realne matice A, pak take (λ, x) jevlastnım parem matice A. Realna nesymetricka matice muzemıt komplexnı vl. cısla a vektory!
◮ A i AT majı stejna vl. cısla, vl. vektory mohou byt ruzne.◮ Je-li A realna a symetricka, pak vsechna jejı vlastnı cısla
jsou realna a vlastnı vektory odpovıdajıcı ruznym vlastnımcıslum jsou navzajem kolme.
11 / 24
Dokazme poslednı tvrzenı.Definujme skal. soucin pro vektory s komplexnımi slozkami:
(u, v)C =
n∑
i=1
uiv i , u, v ∈ Cn
Platı: (u, v)C = (v ,u)C, (u, λv)C = λ(u, v)C λ ∈ C
Prıklad: u = (1 + i, 2 − 3i,−4 + 2i), v = (5 − i, 2i, 4 − 3i)(u, v)C = −24+2i, (v , u)C = −24−2i (u, u)C = 35, (v , v)C = 55
Dukaz: Necht Au = λu a Av = ωv , kde λ 6= ω. Pak
λ(u,u)C = (Au,u)C = (u,ATu)C = (u,Au)C
= (u, λu)C = λ(u,u)C(u,u)C>0=⇒ λ = λ;
λ(u, v)C = (Au, v)C = (u,Av)C = ω(u, v)Cλ6=ω=⇒ (u, v)C = 0.
12 / 24
Nasobnost vlastnıho cısla λ matice A typu n × n◮ algebraicka: nasobnost korene charakteristickeho
polynomu p(λ) = det(A − λI), tj. nasobnost resenı char.rovnice det(A − λI) = 0
◮ geometricka: dimenze (pod)prostoruN (A − λI) = {v ∈ C
n : (A − λI)v = 0}, tj. maximalnı pocetlin. nezavislych vlastnıch vektoru prıslusnych vl. cıslu λ.
Ukazka:
A =
4 0 00 4 00 0 4
, p(λ) = (4−λ)3, baze (vl. v.):
100
,
010
,
001
.
Nasobnost algebraicka = 3, geometricka = 3.
13 / 24
A =
4 1 00 4 00 0 4
, p(λ) = (4 − λ)3, baze (vl. v.):
100
,
001
.
Nasobnost algebraicka = 3, geometricka = 2.
A =
4 1 00 4 10 0 4
, p(λ) = (4 − λ)3, baze (vl. v.):
100
.
Nasobnost algebraicka = 3, geometricka = 1.
Dalsı vlastnosti:◮ 1 ≤ geom. nasobnost ≤ algebraicka nasobnost ≤ n◮ Vlastnı cısla hornı (dolnı) trojuhelnıkove matice lezı na jejı
hlavnı diagonale
14 / 24
DefiniceMnozina vsech vlastnıch cısel matice se nazyva spektrummatice. Spektrum matice A budeme oznacovat σ(A).
DefiniceRealnemu cıslu (A) = max{|λ| : λ ∈ σ(A)} rıkame spektralnıpolomer matice A.
15 / 24
Vl. pary pro vetsı a velke matice — numerickymi metodami
Mocninna metoda s Hotellingovou redukcı (nejjednodussı verze)
Predpoklady: A symetricka typu n × n, vlastnı cısla jenjednonasobna, existuje n linearne nezavislych vl. vektoru.
1. m := 0, zvolme vektor v0, napr. v0 := (1,1, . . . ,1)T.
2. v := Avm; cm+1 := ta slozka vektoru v , jejız absol. hodnotaje nejvetsı; vm+1 := v/cm+1; m := m + 1.
3. cm ma konvergovat k vl. c. s nejvetsı absol. hodnotou, vm
ma konvergovat k prısl. vl. vektoru; nejsme-li s konvergencıspokojeni, vratıme se na 2, jinak pokracujeme na 4
4. Chceme-li vypocıtat vl. c. s druhou nejvetsı absol.hodnotou matice A, pouzijeme Hotellingovu redukci:q := cm/(vm · vm); A := A − qvmvT
m, nova matice A mamısto puvodnıho vl. c. s nejvetsı absol. hodnotou vl. cıslo0, ostatnı vl. c. jsou zachovana; vratıme se na 1.Nechceme-li pocıtat dalsı vl. cısla, ukoncıme vypocet.(Ukazka – Matlab.)
V praxi spıse jine metody — Lanczos, Householder, Givens, . . .16 / 24
Gersgorinova vetaNecht A = (aij) je komplexnı nebo realna ctvercova maticen-teho radu, tj. typu (n,n). Potom vsechna vlastnı cısla maticeA lezı v komplexnı rovine ve sjednocenı
⋃ni=1 Ki kruhu Ki
o stredu aii a polomeru∑n
j=1, j 6=i |aij |:
Ki =
z ∈ C : |aii − z| ≤
n∑
j=1, j 6=i
|aij |
, i = 1,2, . . . ,n.
V kazde komponente tohoto sjednocenı lezı prave tolikvlastnıch cısel matice A, z kolika kruhu tato komponentavznikla. Specialne – v izolovanem kruhu lezı prave jednovlastnı cıslo.
17 / 24
Prıklad
Je dana matice
A =
1 0 50 2 0−2 0 3
.
Pomocı Gersgorinovy vety zjistete,a) zda je zaruceno, ze matice A je regularnı;b) zda by cıslo −4 + 2i mohlo byt vlastnım cıslem matice A;c) zda by cıslo 4 + 2i mohlo byt vlastnım cıslem matice A.Odhadnete spektralnı polomer.
Vypoctete vlastnı cısla, spektralnı polomer, prıpadne vlastnıvektory. Existuje-li A−1, vypoctete vl. cısla.
18 / 24
Resenı: Spocteme vlastnı cısla a porovname s odhady danymiGersgorinovymi kruhy.
det(A − λI) = det
1 − λ 0 50 2 − λ 0−2 0 3 − λ
= (1 − λ)(2 − λ)(3 − λ) + 10(2 − λ)
= (2 − λ)(3 − 4λ+ λ2 + 10) = (2 − λ)(λ2 − 4λ+ 13)
Koreny, tj. vlastnı cısla
det(A − λI) = 0 ⇒ λ1 = 2 + 3i, λ2 = 2 − 3i, λ3 = 2
Vl. cısla nenulova =⇒ existuje A−1. Prıslusna vl. c.:
λ1 = 1/λ1 =1
2 + 3i=
2 − 3i13
, λ2 =2 + 3i
13, λ3 = 1/2.
19 / 24
−6 −4 −2 0 2 4 6−6
−4
−2
0
2
4
6
S1
S2
S3
λ1
λ2
λ3
Reálná osa
Imag
inár
ní o
sa
G. kruznice, vl. císla λ, spektr. polomer, jeho h. odhad
a) G. veta regularnost nezarucı, nebot pocatek (tj. nula) lezı vnejvetsım modrem kruhu, nenı vylouceno, ze je vl. c.b) Ne; stacı G. veta, −4 + 2i lezı mimo G. kruhy.c) G. veta pripoustı, ze mohlo, nebot 4 + 2i lezı v G. kruhu.
Spektralnı polomer presny (A) = |2 + 3i| = |2 − 3i| =√
13,odhadnuty dle G. vety Gersgorin(A) = 6 (polomer nejmensıho kruhupokryvajıcıho vsechny modre kruznice).
20 / 24
Vlastnı vektory: resıme (A − λI)v = (0, 0, 0)T
λ1 = 2 + 3i ⇒
−1 − 3i 0 5
0 −3i 0−2 0 1 − 3i
∼
−10 0 5 − 15i
0 −3i 010 0 −5 + 15i
∼
−2 0 1 − 3i0 −3i 00 0 0
⇒ v1 =
1 − 3i02
r , r ∈ C \ {0}
Zkouska: leva strana Av1, prava strana λ1v1; leva str. ?= prava str.
Av1 =
1 0 50 2 0−2 0 3
1 − 3i02
=
11 − 3i0
4 + 6i
, λ1v1 = (2+3i)
1 − 3i02
=
11 − 3i0
4 + 6i
;
leva strana = prava strana, tj. (λ1, v1) je vlastnı par.
21 / 24
λ2 = 2 − 3i ⇒
−1 + 3i 0 5
0 3i 0−2 0 1 + 3i
∼
10 0 −5 − 15i0 3i 0
−10 0 5 + 15i
∼
2 0 −1 − 3i0 3i 00 0 0
⇒ v2 =
1 + 3i02
q, q ∈ C \ {0} Zk. . . .
λ3 = 2 ⇒
−1 0 50 0 0−2 0 1
⇒ v3 =
010
p, p ∈ C \ {0} Zk. . . .
22 / 24
Prıklad
Je dana matice
A =
1 + 3i 1 + i 2/(1 + i)1/2 3 − 2i (1 + i)/i−2i (1 + i)/2 −3i
.
Pomocı Gersgorinovy vety zjistete,a) zda je zaruceno, ze matice A je regularnı;b) zda by cıslo 2 + 3i mohlo byt vlastnım cıslem matice A;c) zda by cıslo −3 − 2i mohlo byt vlastnım cıslem matice A;d) zda by cıslo −2/5 − i/5 mohlo byt vlastnım cıslem maticeA−1.Odhadnete spektralnı polomer.
Gersgorinovy kruhyKruh K1: S1 = [1, 3], r1 = 2
√2 < 3
Kruh K2: S2 = [3, −2], r2 = 12 +
√2 < 2
Kruh K3: S3 = [0, −3], r3 = 2 +√
22 < 3
23 / 24
−6 −4 −2 0 2 4 6
−4
−2
0
2
4
6
S1
S2
S3
λ1
λ2
λ3
G. kruznice, vl. cisla λ, spektr. polomer, jeho h. odhad
Reálná osa
Imag
inár
ní o
sa
a) ano, nula (pocatek) je mimo G. kruhy; b) ano, lezı v G. kruhuc) ne, protoze nejblizsı kruh je K3, ale vzdalenost bodu od stredu S3
je | − 3 − 2i − (−3i)| = | − 3 + i| =√
10 > 3
d) ne, nebot1
−2/5 − i/5= −2 + i lezı mimo G. kruhy, tedy nemuze
byt vl. c. matice A, tudız −2/5 − i/5 nemuze byt vl. c. matice A−1.
24 / 24