Zanimljiva matematika

Snjezna pahuljica

Sandra Gracan, Zagreb

Baveci se gotovo svakodnevno matema-tikom, sigurno ste jedan od onih koje je osvo-jila njezina ljepota, logicnost, intelektualnosti izazovnost. Ne zaboravimo ipak da je mno-gima matematika sve samo ne lijepa: sterilansvijet besmislenih suma, racuna i zbunjujuc´ihsimbola. Osim toga, cesto i sami, udubljeniu neki matematicki problem, zaboravljamonjezinu vezu sa stvarnosˇcu. Vratimo se stogana tren prirodi, izostavimo sve one racune,simbole i dokaze, te pogledajmo koliko ma-tematike u sebi krije jedno malo, ali pravocudo prirode — snjezna pahuljica!

Snijeg? Brrrr..

Priznajem — ne volim snijeg. Asocija-cija je to na hladnocu, bljuzgavicu, problemes ciscenjem ulica i parkiranjem auta. No,maknete li se samo malo dalje od grada, slikaprirode pod snijegom osvojit ce vas svojomljepotom �pogotovo ako prizor mozete pro-matrati iz tople sobe, s vatricom u kaminu ilitako nekako, he he�. Gledan izdaleka, snijegsigurno ima svoju snazˇnu i cistu ljepotu. No,je li vam ikada palo na pamet pogledati ga

izbliza? Jer, gledamo li ga pod povecalom,svaka pahuljica otkriva se kao pravi mali ge-ometrijski dragulj!

I jos nesto. Kazu da ne postoje dvije istepahuljice. Kao matematicari, rekli bismo daje tvrdnja ili trivijalna ili veliko pretjerivanje.Uzmemo li u obzir samo one razlicitosti vid-ljive slabim povecalom i pomislimo li kolikoje pahuljica u ovih 4 milijarde starosti Ze-mlje palo, sigurno se negdje, nekad pojavioneki “duplic”. Ipak, dovoljno je razlicitostida u jednoj snjeznoj noci necete pronaci dvijeidenticne pahuljice. Kako je to moguc´e?

Pahuljice imaju zagonetnu kombinacijusvojstava — toliko pravilnosti i matematickihzakonitosti po kojima su slozene, a s drugestrane beskonacno mnogo razlicitosti. Pog-ledajmo cega tu sve ima!

Ljepota simetrije

Neke pahuljice “obicni” su sesterokuti,sicusne ledene plocice sa sest ravnih strani-ca. Ostale su njihovi “daljnji rodaci”, mnogozanimljivije, ljepse i otmjenije, s drvolikimgrancicama slozenim iz sic´usnih kristala le-

66 17, 2002

da. No, koju god da promatramo, najprije c´enam paznju zaokupiti njihova simetricnost.

Matematicari proucavajutransformaci-je nekog objekta kao posebnu vrstu funkcija.Primjeri tih transformacija su rotacija, trans-lacija, osna simetrija�zrcaljenje� ili central-na simetrija. Danas su one osnovni elementsvakog grafickog programa — svima ce bi-ti poznate naredbe MOVE, COPY, ROTATE,SCALE, MIRROR.

Simetrija objekta je pak ona transfor-macija koja ostavlja taj objekt nepromijenjen�invarijantan� — on�gledan kao cjelina� izg-leda jednako nakon transformacije kao i prijenje, iako su se pojedine njegove tocke po-maknule. Skup svih simetrija neke figurecini grupu.

� � �Ljudsko oko najlakse uocˇava sesteros-

truku rotacijsku simetriju pahuljice — rotira-mo li pahuljicu za 60, 120, 180, 240 ili 300stupnjeva, dobivamo opet istu sliku.

Ali, savrseno simetricna snjezna pahu-ljica ima i tocno sest zrcalnih simetrija. Pog-ledamo li onu najnezanimljiviju — pahuljicuu obliku sesterokuta, uocˇit cemo kako postojitocno sest razlicitih duzina koje ju dijele nadva zrcalno simetricna dijela. Sve duzine si-jeku se u sredisˇtu sesterokuta, a kut izmedudviju susjednih duzina iznosi tocno 30 stup-njeva.

Istu sesterostruku zrcalnu simetriju po-sjeduju i kompliciranije pahuljice. A kakokompozicija dviju osnih simetrija s razlicitimosima daje rotaciju za odredeni kut, slijedi daje osna�zrcalna� simetrija pahuljice glavna.

Ali, zasto ne padaju peterokutne ili sed-merokutne pahuljice? I koji su to fizikalnizakoni koje priroda postuje pri “lijepljenju”ledenih komadica u savrseno simetricnu for-mu sesterostrane snjezne pahuljice?

Prva glavobolja

Prvi znanstvenik koji je pokusao odgo-voriti na to pitanje bio je njemacki astronomJohann Kepler. On je 1611. godine objavioclanakO sesterokutnoj snjeznoj pahuljiciukojem raspravlja o tome zasto pahuljice uvi-jek poprimaju jedinstven sesterokutni oblik.Naslutio je da to ima veze s problemom sla-ganja jednakih dijelova materije tako da sezauzme najmanji moguci prostor. Smatrao jeda priroda stvara na optimalan nacin — snjezˇ-ne pahuljice su sesterostrane jer tako zauzmunajmanje prostora.

Kepler je tako pokrenuo rjesavanje prob-lemanajucinkovitijeg pakiranja, i to krugovau ravnini a zatim i sfera u prostoru. Timeje matematicarima zadao pravu visestoljetnu“glavobolju”!

Problem je djelomicno rijesio njemacˇ-ki matematicar Carl Friedrich Gauss. On je1831. godine dokazao da je sesterokutno pa-kiranje krugova najucinkovitije od svih reset-kastih nacina pakiranja.�Resetka u ravnini je

17, 2002 67

skup svih tocaka koje su smjestene u cvoro-vima pravilne dvodimenzionalne mreze, bilopravokutne, bilo kosokutne.�

I jos nesto je interesantno, pokusateli krugovima “poplociti” ravninu dobit ceteuzorak pcelinjeg saca — svaki krug bit c´eokruzen s tocˇno sest drugih krugova. Okonjih opet mozete opisati veliki krug, tri putaveceg radijusa. A u tri dimenzije, svaka sferaokruzena je s tocno 12 drugih. Tek nedavno,tocnije 1998. godine, americki matematicˇarThomas Hales uspio je dokazati da je ses-terokutno pakiranje sfera u obliku piramidenajucinkovitije od svih nacina pakiranja. Vi-se o tome mogli ste procitati u clanku prof.

Ele Rac,Problem pakiranja sfera, br. 4,2000.

Dakle, majka Priroda izabrala je seste-rokutni oblik pahuljica jer je on optimalan —najmanje povrsine ili prostora se gubi kad semnogo njih roji negdje u oblaku ili pada nazemlju. Jer, zavirimo li na tren u problempoplocavanja povrsine “plocicama” u oblikupravilnih mnogokuta, odgovor na pitanje koji

I Rene Descartes pisao je o pa-huljici. Evo sto je napisao 1635.g.:

“Bile su to male plocice leda,vrlo plosnate, vrlo prozirne, oko de-bljine lista debljeg papira. ali takosavrseno oblikovane u sesterokutecije stranice su tako ravne, sa pot-puno jednakih sest kutova, da je cˇo-vjeku nemoguce stvoriti takvu pre-ciznost. Jedino sam imao potesˇko-ca zamisliti sto je oblikovalo sestpotpuno simetricnih grancica usredzraka i pod naletima jakog vjetra,dok nisam shvatio da ih bas takvevjetar najlakse nosi u oblake i ta-mo zadrzava, i da je svaka pahulji-ca u ravnini okruzena se sest drugih,postujuci jednostavan zakon priro-de.”

pravilni poligoni potpuno pokrivaju ravninu�tako da im se vrhovi poklapaju� glasi: jed-nakostranicni trokuti, kvadrati, pravilni ses-terokuti i nista vise!

Zasto nema drugih mogucnosti? Stvarje u tome da kutovi pri svakom vrhu morajutocno pristajati — bez “rupa” ili preklapa-nja. Zato kut poligona mora biti cijeli broj idjelitelj broja 360!

68 17, 2002

1665. Robert Hooke objavlju-je knjigu “Mikrografija” koja sadr-zi crteze gotovo svih oblika koje jetada mogao vidjeti sluzˇeci se naj-novijim izumom — mikoskopom.

Matematika, kemija ili magija

Korak dalje bio bi zaviriti od cega je za-pravo pahuljica napravljena. I sam Keplernaslucivao je kako su njezin oblik i simetrijausko vezane uz geometrijsku strukturu kris-tala.

Kristali opcenito, krajnje su fascinirajuc´i— pravilnih oblika, krasnih boja, tvore bizar-no komplicirane likove,spajaju se u neobicˇneforme, predivno reflektiraju svjetlost. U se-bi sadrze pravilnu geometriju koja je rezultat

njihove pravilne resetkaste atomske struktu-re. Kristali kuhinjske soli, na primjer, sic´usnesu kockice, kristali joda ljubicasto smedi ne-pravilni dodekaedri, gips ima oblik dugackihprizmi, kristal kositra svjetlucave su pirami-de.

Snjezna pahuljica napravljena je od leda.Molekula vode ima oblik tetraedra. Atom ki-sika nalazi se u sredistu tetraedra, dva vrhatetraedra zauzeta su atomima vodika, a drugadva vrha su prazna�slobodna�. U kristaluleda tetraedri se spajaju u sesterokutnu for-mu stvarajuci pravilni uzorak. U tom uzorkuatomi kisika “stanu” u vrhove sesterokuta, aatomi vodika nalaze se na udaljenosti od oko1�3 duljine stranice tog sesterokuta. Sˇestero-kuti se pak slazu jedni na druge tvoreci takosesterostrane prizme. One se na kraju vrloprecizno slazu u slojevima jedna na drugu itako nastaje led, s onim svojim “skliskim”svojstvima. Gledamo li resetku leda od na-prijed, vidjet cemo duge sesterostrane tunelepoput pcelinjeg saca. Gledamo li resetku sastrane, ti slojevi sesterostranih prizmi su go-tovo plosnati.

17, 2002 69

Kaos u oblacima

Vidjeli smo kako se pahuljica sastoji odsicusnih kristalica leda, spojenih na gotovonevjerojatne nacine. Pravilna struktura reset-ke uzrok je pravilne geometrije kristala, i od-reduje kutove pod kojim se pojedini dijelovislazu. Geometrijske mogucnosti u prostorudaleko su vece nego u dvije dimenzije, pa necudi tolika raznolikost simetrija. 17 tipovasimetrija 2-dimenzionalnih uzoraka prerastau 230 tipova simetrija kod 3D kristalnih re-setki.

Nadalje, resetka leda formira se pri nor-malnom atmosferskom tlaku i temperaturimalo ispod 0�C. Niza temperatura i veci tlakdat ce drugaciju strukturu kristala. Najvazˇ-niji faktori su zapravo temperatura i prezasi-cenost vlagom — oni odreduju generalni ob-lik pahuljice. Fini detalji ovise o kaoticnimuvjetima u oblacima. A kako su vremenskiuvjeti u prirodi daleko od savrsenih, mate-maticki cistih situacija, zaista ne cudi tolikaraznolikost snjeznih pahuljica!

Wilson Bentley (1865. – 1931.),samouki americki farmer i fotografsnimio je za zivota oko 5000 fotog-rafija snjeznih pahuljica.

Spojivsi mikroskop i foto-kameru,nakon godina pokusaja i pogresaka,napokon je 1885. g. postao prvi cˇo-vjek koji je snimio jednu snjezˇnupahuljicu.

Vise od 2000 fotografija objav-ljeno je 1931. g. u njegovoj knjizi“Snjezni kristali”. Neke od njih idanas plijene paznju svojom ljepo-tom (vidi panoptikum).

Svakako treba naglasiti da su glavnu ulo-gu u proucavanju kristala odigrali matemati-cari. Oni se nisu brinuli o tome sˇto su i odcega ti osnovni elementi, vec su proucavalikako se oni slazu, te su tako pomaknuli nau-ku s mrtve tocke. Bio je to izvrstan primjerprimjene i vaznog doprinosa ciste matemati-ke u fizici i kemiji.

70 17, 2002

A to nije sve...

Simetrija nije jedino pravilo po kojemmajka Priroda slaze stvari. Postoji jos jedna,golom oku manje uocljiva vrsta pravilnostikoju posjeduju neki oblici: mali dijelovi tihobjekata minijaturne su kopije njih samih. Tosvojstvo — svojstvo fraktala — pronalazimoi u malim snjeznim kristalima. Svaka od sestjednakih grana pahuljice i sama se sastoji odslicnih grancica.

O fraktalima je u -u br. 7 pisao prof.Sime Suljic, u clanku Cudesne slike frakta-la. U nastavku mozete procitati zgodan cla-nak o jednoj posebnoj pahuljici, koja “pada”samo u matematickom svijetu. Radi se oKochovoj pahuljici, a clanak je prenesen izMFL-a br. 2�194, 1998.–99. A na nasoj “du-plerici” procitajte kako se Kochova pahuljicamoze napraviti uGeometers’ Sketchpadu

A ja bih zavrsila s jos jednom zanim-ljivoscu. Zapravo receptom: kako uhvatitisnjeznu pahuljicu i snimiti je prije nego serastopi! Evo kako.

Sve sto vam treba je akrilna boja u sp-reju i malo stakalce. I snijeg, naravno! Uvrlo tankom sloju poprskate staklenu plocˇi-cu, postavite je tako da na nju napada nesˇtopahuljica�ili skinete samo jednu pahuljicu skaputa i stavite je na plocicu�, a zatim opetsve vrlo oprezno poprskate. Kad voda ispari,dobili ste mali plasticni fosil snjezne pahulji-ce!

Toliko. Tko voli, nek’ izvoli. A ja odsa-da s povec´alom u dzepu cekam prvi snijeg.

Kristalografi su ulagali ogrom-ne napore kako bi otkrili te prirodneosnovne elemente od kojih su kri-stali izgradeni, no tek primjenomX-zraka u kristalografiji doc´i ce doodgovora na postavljena pitanja.

Ukichiro Nakaya, nuklearni fi-zicar po struci, prva je osoba koja jenapravila sistematsku studiju snjezˇ-nih kristala. Dobivsi posao na Hok-kaidu, otoku na sjeveru Japana gdjenije bilo puno mogucnosti za nuk-learna istrazivanja, ali je zato bilopuno snijega, bacio se na detaljnoproucavanje svih tipova smrznutihoborina. Jasno je definirao, foto-grafirao i katalogizirao sve glavnetipove snjeznih kristala, ne samoone koji plijene svojom estetskomljepotom i simetrijom. No, njegovpravi trijumf bilo je stvaranje um-jetnih snjeznih kristala u laborato-riju pod strogo kontroliranim uvje-tima. Proucavajuci umjetne krista-le, mogao je povezati odredeni ob-lik — morfologiju kristala s odre-denim okolnim (vremenskim) uv-jetima. 1954. objavljena je njegovaknjiga “Snjezni kristali: prirodni iumjetni”, u kojoj izmedu ostalogakaze: “Snjezni kristali su hijerogli-fi poslani s neba.”

Literatura�1� Ian Stewart,What Shape is a Snowflake? (Magi-

cal Numbers in Nature), Weidenfeld & Nicolson,London, 2001.

�2� Keith Devlin,Mathematics: The Science of Pat-terns, Scientific American Library, New York,1994.

�3� http:��www.its.caltech.edu��atomic�snowcrystals��4� http:��snowflakebentley.com�

17, 2002 71