1. Diberikan S= { x∈R : x>0 }. Apakah S mempunyai batas bawah dan batas atas ? Apakah inf S dan sup S ada ? Buktikan jawabanmu.

Bukti S punya batas bawahMisalkan ambil s S sebarang∊Maka tentulah s ˃ 0Berdasarkan definisi, S memiliki batas bawah

Bukti S tidak punya batas atasAndaikan ∃ w batas atas dari Sartinya s ≤ w ∀ s∈Ss ≤ w ini berarti bahwa s ˃ 0 dan w ˃ 0karena w ˃ 0 → w + 1 ˃ 0karena w + 1 ˃ 0 → w + 1 S∊sementara w ˂ w+1Artinya w bukan batas atas dari SJadi pengandaian salah maka haruslah S tidak punya batas atas.

Bukti S mempunyai infMisal k batas bawah SKarena s ˃0 ∀ s∈SMaka haruslah k ˂ 0Karena k ˂ 0 artinya S mempunyai inf yaitu 0

Bukti S tidak memiliki supSebelumnya telah dibuktikan bahwa S tidak memiliki batas atas.Karena S tidak memiliki batas atas maka S tidak memiliki sup.

2. Diberikan T={1− (−1 )n

n:n∈N }. Carilah inf T dan sup T.

Diketahui : T={1− (−1 )n

n:n∈N }

Ditanya : inf T daan sup TJawab :

n∈N → n≥1n∈N → n∈genapatau n∈ganjil tapi tidak kedua−duanya .

Untuk n ≥ 1→1n

≤ 1

Untuk n∈genap

karena (−1 )n>0 →(−1 )n

n≤

12

(−1 )n

n≤

12

−(−1 )n

n≥−1

2

1−(−1 )n

n≥ 1−1

2

1−(−1 )n

n≥

12

Untuk n∈ganjil

karena (−1 )n<0 →(−1 )n

n≥−1

(−1 )n

n≥−1

−(−1 )n

n≤ 1→ 1−

(−1 )n

n≥ 1+1

1−(−1 )n

n≥ 2 …………………………… ……(2)

Dari (1) dan (2) diperoleh sup T = 2 , inf T = 12

3. Diberikan S subset tak kosong yang terbatas kebawah.ℝBuktikan bahwa inf S= - sup{−s : s∈S }.

Diketahui : S terbatas dibawah S= {s∨s∈S }

Adib : inf S= - sup{−s : s∈S }Bukti :

S= {s : s∈S } terbatas dibawah

Berart∃w=inf S →w ≤ s,∀ s∈S …………………(1)i Karena w ≤ s→−s≤−w

−s≤−w →−w ={−s∨s∈S } ¿

Dari (1)

inf S = w = - (-w)

= - (¿ {−s∨s∈S } ) = −{−s∨s∈S } ¿

Jadi terbukti, jika S subset tak kosong yang terbatas kebawah maka inf S= - suℝ {−s : s∈S }p.

4. Tunjukkan bahwa jika A dan B subset terbatas dari , makaℝ A∪B merupakan himpunan

terbatas. Tunjukkan bahwa ¿ ( A∪B ) ={¿ A, supB } ¿.

Diketahui : A, B ⊆ ℝ A, B terbatasAdit : a. A∪Bmerupakan himpunan terbatas b. ¿ ( A∪B ) ={¿ A, supB } ¿.Bukti :

a. x∈ A∪B → x∈ A atau x∈ BA terbatas → A mempunyai batas atas dan batas bawahB terbatas → B mempunyai batas atas dan batas bawah

Misalkan : a1 merupakan batas bawah dari A dan a2 merupakan batas atas dari A

Berarti a1≤ a ≤ a2 ,∀a∈ A

Misalkan : b1 merupakan batas bawah dari B dan b2 merupakan batas atas dari B

Berarti b1≤ b ≤ b2 ,∀b∈B

Misalkan :

u merupakan batas atas A∪B → u ={a2 , b2} ¿w merupakan batas bawah A∪B → w ={a1 ,b1 } ¿karena u merupakan batas atas dan w merupakan batas bawah dari A∪Bsehingga w ≤ x≤ u ,∀ x∈ A∪Bini berarti A∪Bterbatas.

b. A terbatas diatas → A mempunyai supMisalkan, c = sup A

B terbatas diatas → B mempunyai supMisalkan, d = sup B

Misalkan u={ c, d } ¿ u ={¿ A,B} …………………∗¿

Jadi, u sebarang batas atas A∪B ………(1)Karena, x∈ A → x ≤ c≤ u atau x∈ B→ x≤ d ≤u

x∈ A∪B → x≤ u

Misal ada t batas atas lain da A∪B ……………(2)ri maka t >u ,dikarenakan u>c atau u>d ( c = sup A atau d = sup B )sehingga t >c ataut>d

dari (1) dan (2) diperoleh u =( A ∪B )… … …… …… …∗¿ ¿

dari * dan ** diperoleh ¿ ( A∪B ) ={¿ A, supB } ¿.

5. Diberikan S ⊆ dan misalkan s*=sup S dalam S. Jika u S. Tunjukkan bahwaℝ ∉

¿ ( S∪ {u } ) ={s¿ ,u } ¿

Bukti :

(1) s*=sup S → s≤ s¿ , ∀ s∈Smisalkan ∃ t yang merupakan batas atas lain dari S → s¿<t

(2) misalkan c ={ s¿ ,u } ¿∀ x∈S → x≤ s¿≤ c∀ x=u → x=u≤ c

∴∀ x∈S∪ {u }→ x≤ c

Artinya c sebarang batas atas lain dari S∪ {u }.

Misalkan ada t batas atas lainnya maka t >c¿karena t >c→ t>s¿ataut >uberarti c sup dari S∪ {u }.¿ ( S∪ {u } )=c

¿ {s¿ ,u }

6. Tunjukkan bahwa himpunan berhingga S ⊆ memuat supremumnya.ℝ

7. Jelaskan dan buktikan Lemma 1.3.3.

Bukti :

Dari kiri kekanandiketahui : u =S , S∈R ,s ≠ 0 ¿ v<0

Adit : 1. s≤u ,∀ s∈S

2. Jika v<u→ s'∈S∋ v<s '

Bukti :1. u=S ¿ , sehingga u = batas atas S Jadi, s≤u ,∀ s∈S

Syarat (1) terpenuhi.

2. Andaikan tidak terdapat s'∈S∋ v<s '

berarti ∀ s '∈S∋ s '<vkarena s'<v dan v<u

kontradiksi dengan u=S ¿pengandaian salah, sehingga yang benar ∃ s'∈S∋ v<s '

syarat (2) terpenuhi.

Dari kanan kekiriDiketahui :

(1) s≤u ,∀ s∈STerlihat bahwa u merupakan batas atas dari S.Tebukti bahwa u suprimum S

(2) Jika v<u maka ∃ s'∈S∋ v<s '

Andaikan u bukan suprimum S, berarti ∃w∈S∋w<udengan w = batas atas S.Dari (2) karena w<u maka ∃ s'∈S∋w<s'

Kontradiksi w = batas atas SPengandaian salah.Harusnya u = suprimum S