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SOBRE WAVELETS E IMÁGENES

♦♦♦♦

Ing. Walter J. D. Cova - Ing. Rodolfo A. Cavallero

Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional Córdoba

Centro Universitario de Desarrollos en Automación y Robótica

Compilado: Agosto de 2006 Primera revisión: Noviembre de 2006

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Primera Revisión: comentarios.

Con gran sorpresa por parte de quienes llevamos a término esta compilación que fuera originalmen-te concebida como un trabajo de difusión en lenguaje nacional para graduados, se le ha brindado difusión a través de la Editorial de la Universidad Tecnológica Nacional, que realizó su publicación en la página www.edutecne.edu.ar a partir del mes de Septiembre de 2006. La realimentación por parte de nuestros lectores, posibilitada por la difusión a través de internet, nos lleva hoy a corregir una imperdonable omisión en nuestras referencias bibliográficas originada en un deficiente análisis de antecedentes por nuestra parte. Tal como expresamos en las notas introductorias de la versión original y a continuación repetimos: estas notas son el resultado de una compilación de materiales disponibles en Internet; y muy la-mentablemente omitimos advertir que una de las fuentes subyacentes, como muy adecuadamente nos hiciera constatar un atento lector, es el texto de K. R. Castleman “Digital Image Processing”, editado en 1996 por Prentice Hall el que, a partir de esta Revisión, ha sido incluido en la sección de Referencias y Enlaces, junto con otras referencias. Vaya nuestro reconocimiento a los lectores por su eficaz colaboración, que nos permite preservar nuestra honestidad intelectual por una parte, mientras que en otro aspecto posibilita ofrecer a todos los interesados una información bibliográfica más completa. Agradeceremos cordialmente las ob-servaciones que los lectores nos hagan llegar al correo [email protected] y que nos ayuden a mejorar el contenido de esta publicación.

Walter J. D. Cova + Rodolfo A. Cavallero

UTN FRC - CUDAR

Noviembre de 2006.

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Ex umbra in solem.

A modo de presentación.

Nuestra civilización tecnológica enfrenta permanentemente el desafío de reducir el volu-men ocupado por la información que ella misma ha generado y genera, sin por ello afectar la calidad de su contenido. En su momento, la microfilmación constituyó un importante avance en la compactación de documentos sobre soporte de papel. La posterior universali-zación del empleo de soportes informáticos ha conducido al desarrollo de técnicas algorít-micas de compresión de la información digitalizada, llevando al redescubrimiento de mé-todos matemáticos originalmente concebidos para otras aplicaciones. La aplicación de la teoría de wavelets a la compresión de datos uni y pluridimensionales constituye un ejemplo de lo apuntado.

El trabajo precursor de Haar (alrededor de 1909) referido a bases no condicionadas en espacios funcionales clásicos poseyó un neto cariz matemático y fue continuado por Goupillard, Grossman y Morlet con la formulación (1982) de lo que hoy se conoce como transformación wavelet continua (CWT) para el análisis de ondas sísmicas en la prospección petrolífera. La introducción de las wa-velets discretas (DWT) es debida a Strömberg (1983), siendo im-portantísimo el aporte teórico y práctico de la belga Ingrid Daube-chies con sus wavelets ortogonales de soporte compacto. La es-tructuración del análisis multiresolución por parte de Mallat (1989), y la interpretación tiempo-frecuencia de la CWT debida a Delprat (1991), constituyen sucesivos hitos de un terreno que con-tinúa siendo fecundado por la intensa labor de Coifman, Graps, Meyer y Aboufadel, entre otros investigadores. La transformada wavelet discreta (DWT) es comúnmente utilizada en ingeniería y ciencias de la computación para la codificación de señales, mientras que la transformada wavelet continua (CWT) es empleada en investigación científica para el análisis de señales. Las transformadas wavelet han sido adoptadas como herramientas para un vasto número de aplicaciones de naturaleza diversa, reem-plazando a menudo a la transformada de Fourier convencional. Muchas áreas de la física han testimoniado este cambio de para-digma, incluyendo dinámica molecular, astrofísica, geofísica sís-mica, óptica, mecánica de turbulencia y mecánica cuántica. Otras áreas que han experimentado este cambio son: procesamiento de imágenes, análisis de señales médicas, análisis de proteínas y de ADN, climatología, topografía y geografía, reconocimiento del habla, gráficos computacionales, procesamiento de señales y análi-sis multifractal. Uno de los usos principales de las wavelets es la compresión de datos. Al igual que otras transformaciones, la transformada wave-

Jean Baptiste J. Fourier

Alfréd Haar

Werner Heisenberg

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let puede ser utilizada para convertir señales en bruto (por ejemplo imágenes) y codificar los datos transformados obteniendo una compresión efectiva. Así han sido empleadas en la compresión de archivos de imágenes de huellas digitales por el FBI (alcanzando una relación de com-presión de 26:1), y han sido incorporadas en la norma de compre-sión de imágenes JPEG 2000 reemplazando a la transformada dis-creta de coseno (DCT) utilizada en versiones precedentes, obte-niendo no tan sólo una mejora de las performances de compresión y edición, sino logrando también la incorporación de capacidades de escalabilidad. Con referencia a la compresión de imágenes de video, esta área del procesamiento de señales se encuentra a la fecha (Agosto de 2006), en un estado que podríamos llamar de ‘ebullición tecnoló-gica’ manifestando una clara tendencia a la incorporación de las transformadas wavelet en la codificación de este tipo de señales. Así, entre los desarrollos que incluyen wavelets podemos mencio-nar a Dirac, que es un algoritmo prototipo para la codificación y decodificación de video en bruto; su objetivo es lograr la compre-sión/decompresión de señales PAL-TV standard. Snow es un co-dec experimental basado en wavelets que permite, en apariencia, alcanzar muy buenas resoluciones a bajas velocidades de transfe-rencia (bits/s). Pixlet es un codec de video cuyo objetivo es posi-bilitar la proyección en tiempo real de películas HD de alta resolu-ción a velocidades de transferencia similares a las de video digital (DV); de acuerdo a sus creadores, Pixlet alcanza relaciones de compresión de 20-25:1. Tarkin (llamado así por uno de los héroes de la película La guerra de las Galaxias), es un desarrollo aún incompleto que intenta la compresión de video por wavelets en tres dimensiones (dos dimensiones espaciales y una temporal), en fuerte contraste con otros métodos basados en la codificación bi-dimensional por cuadros, con ulterior compensación de movimien-tos. Presentado así el panorama de las aplicaciones de las wavelets, pasemos a referirnos brevemente al contenido de las presentes notas. Siendo las wavelets de ‘ascendencia matemática’ resulta natural concebir que su presentación debiera estar acompañada de toda la parafernarlia asociada al análisis funcional y salpicada de teoremas de existencia y unicidad. Sin negar la importancia del rigor demostrativo, ni menospreciar a quienes lo practican, hemos decidido presentar un enfoque de las transformadas wavelet basa-do en la plausibilidad: un enfoque a nivel de ingeniería, apto para la vertebración escueta de las características esenciales de estos instrumentos y una introducción a sus aplicaciones en la compre-sión de señales uni y bidimensionales. Aunque el contenido es elemental, presupone de los lectores un conocimiento a nivel de grado de álgebra lineal, de las aplicaciones de la series

Mladen Victor Wickerhauser

Ingrid Daubechies

Ronald Coifman

Stéphane Mallat

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y transformadas de Fourier, como asimismo conocimientos de análisis y diseño de filtros digitales. Los conceptos básicos se encuentran sintetizados en el Apéndice y quizás resul-taría recomendable comenzar la lectura del texto justamente por el Apéndice. Estas notas son el resultado de una compilación de materiales dis-ponibles en Internet. En rigor de honestidad debemos declarar que somos deudores del Politécnico de Milán por una buena parte del contenido y, entre otros, de los departamentos de matemáticas de las universidades de Princeton, Yale y la Grand Valley State Uni-versity. Por último (y sin que ello le reste importancia) debemos expresar nuestro reconocimiento a Wikimedia Foundation Inc. por la cantidad de datos básicos, enlaces útiles y referencias bibliográ-ficas disponibles en http://en.wikipedia.org/. Si luego de recorrer la treintena de páginas subsiguientes, alguno de nuestros lectores deci-de continuar profundizando en el tema tratado, podremos entonces afirmar que la finalidad de estas notas se habrá visto cumplimentada.

Walter J. D. Cova + Rodolfo A. Cavallero

UTN FRC - CUDAR Agosto de 2006.

Amara Lynn Graps

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Contenido

1 INTRODUCCIÓN............................................................................................................ 2 2 PORQUÉ SE PREFIEREN LAS WAVELETS? ...................................................................... 2

2.1 Funciones base con soporte compacto............................................................... 2 2.2 Forma de las funciones base. ............................................................................. 3 2.3 Análisis tiempo-frecuencia. ................................................................................ 3

3 TIPOS DE TRANSFORMACIONES. ................................................................................... 5 3.1 Transformada de Fourier. .................................................................................. 5 3.2 Transformada wavelet. ....................................................................................... 6

4 TRANSFORMADA CONTINUA WAVELET. ....................................................................... 6 4.1 Definiciones. ....................................................................................................... 6 4.2 CWT bidimensional. ........................................................................................... 9 4.3 Interpretación por analogía con un banco de filtros. ........................................ 9 4.4 Banco de filtros bidimensionales...................................................................... 11

5 EXPANSIÓN EN SERIE DE WAVELETS. ......................................................................... 11 5.1 Wavelets diádicas. ............................................................................................ 11 5.2 Definiciones. ..................................................................................................... 12 5.3 Wavelets diádicas compactas. .......................................................................... 13 5.4 Transformada de Haar. .................................................................................... 14

6 TRANSFORMADA DISCRETA WAVELET. ...................................................................... 14 6.1 Teoría del banco de filtros. .............................................................................. 14 6.2 Multiresolución................................................................................................. 18 6.3 Codificación por sub-bandas. .......................................................................... 20 6.4 Algoritmo de transformada rápida wavelet. .................................................... 25 6.5 Diseño de una transformada discreta wavelet. ................................................ 26 6.6 Transformada discreta wavelet bidimensional................................................. 31 6.7 Transformadas wavelet biortogonales. ............................................................ 33

7 SELECCIÓN DE WAVELETS. ........................................................................................ 35 8 APLICACIONES........................................................................................................... 37

8.1 Compresión de imágenes.................................................................................. 37 8.2 Mejora de imágenes. ........................................................................................ 37 8.3 Fusión de imágenes. ......................................................................................... 37

APÉNDICE .......................................................................................................................... 38 REFERENCIAS Y ENLACES .................................................................................................. 40


1 Introducción. La transformada wavelet1 es una de las técnicas más recientes propuestas para resolver pro-blemas de compresión de imágenes, relevamiento de bordes y análisis de texturas. El inte-rés por este nuevo instrumento matemático nace de la posibilidad que el mismo ofrece de superar algunas de las limitaciones que se enfrentan al emplear otras transformaciones, en-tre las que se destaca la muy conocida transformación de Fourier. El objeto de estas notas es una rápida introducción de los conceptos básicos para compren-der la definición y las aplicaciones más ventajosas de la transformada wavelet. En primer lugar se ilustrará de qué manera sus prestaciones pueden superar a las de la transformada de Fourier. Se pasará posteriormente a definir tres tipos de transformadas wavelet, destacando las similitudes existentes con respecto de otras técnicas ya consolidadas. Por razones de simplicidad, cada concepto se presentará inicialmente referencido al caso monodimensional extendiéndolo posteriormente a dos dimensiones, dado nuestro interés particularmente orientado al campo de las imágenes.

2 Porqué se prefieren las wavelets?

2.1 Funciones base con soporte compacto. La transformada de Fourier emplea como funciones base ortonormales2 ondas senoidales del tipo e–j2πft

en el caso continuo y e–j2πfn en el discreto. Dichas funciones no poseen un

soporte compacto en el sentido que son no nulas sobre su entero dominio. Las componentes de señales transitorias por el contrario, asumen valores diferentes de cero solamente durante un breve intervalo: muchas características importantes de una imagen, como por ejemplo los bordes, poseen una muy fuerte localización espacial. Ninguna de estas componentes se asemeja a una función base de la transformada de Fourier, por lo que no puede ser representada de una manera compacta por sus coeficientes: para crear una función nula sobre una gran parte de su intervalo de definición es necesario materializar una oportuna interferencia destructiva entre ondas senoidales. Para superar esta ineficien-cia se emplea otra aproximación fundada en transformaciones con funciones base de dura-ción limitada: las wavelets. Dichas funciones base se hacen variar, posteriormente, tanto en frecuencia como en amplitud. La Fig. 1 ilustra las diferencias entre ondas senoidales y wavelets.

1 Por razones de inclinación personal y de fidelidad a la nomenclatura encontrada en la literatura internacio-nal, en estas notas hemos preferido la designación wavelet a la castellanización ondita. 2 Ver Apéndice.


Fig. 1. Ondas senoidales (arriba) y wavelets (abajo).

2.2 Forma de las funciones base. Los coeficientes de cualquier transformación son el resultado de un producto interno3 entre la función de la que se quiere evaluar la transformada (función de entrada) y una función base. Este valor representa de cierta manera el grado de similitud entre las dos funciones. Si éstas son ortogonales el resultado es un coeficiente nulo, mientras que si la señal o la imagen está constituida por componentes que son similares a una o más funciones base, entonces los coeficientes correspondientes poseerán un valor relativamente grande. De la misma manera, la transformación inversa puede ser concebida como la suma de las funciones base ponderada por los coeficientes correspondientes: la sumatoria poseerá tan-tos más términos de amplitud elevada, cuanto más parecidas sean las componentes de la señal o de la imagen a las funciones base. En el caso en que muchos de estos términos puedan ser despreciados se obtiene el efecto ventajoso de una representación más compac-ta. Adicionalmente, si una componente no deseada, por ejemplo debida al ruido, es similar a una o a unas pocas funciones base, resulta fácilmente individualizable y por ende elimi-nable en el dominio de la transformada, reduciendo o anulando los coeficientes pertinentes. De lo expuesto, aparecen claramente las ventajas que pueden ser obtenidas empleando fun-ciones base similares a las componentes esperadas de una señal o de una imagen. Resulta además evidente que no puede encontrarse una similitud o parecido entre componentes transitorias y las funciones base de la transformada de Fourier o de cualquier otra transfor-mación basada en ondas continuas.

2.3 Análisis tiempo-frecuencia. El análisis tiempo-frecuencia es una técnica de elaboración de señales basada en el empleo de un espacio bidimensional: el plano tiempo-frecuencia. A pesar que este análisis preceda históricamente a la transformación wavelet, en la actualidad las dos técnicas pertenecen al mismo campo de investigación. El resultado del análisis tiempo-frecuencia es el mapeo de una componente transitoria de una señal sobre un punto del plano que corresponde a su instante de ocurrencia y a su com-ponente de frecuencia predominante. La resolución de tiempo y de frecuencia está sujeta, al igual que cualquier fenómeno físico, al principio de indeterminación de Heisenberg por

3 Ver Apéndice.


lo que, dada una señal no es posible conocer exactamente cuál frecuencia existe en un de-terminado instante de tiempo, conociéndose tan solo cuál banda de frecuencias existe en un cierto intervalo finito. La Fig. 2 ejemplifica lo expresado.

Fig. 2. Espacio tiempo-frecuencia: (a) señal: (b) representación. En el análisis de imágenes, el espacio deviene tridimensional (dos dimensiones espaciales más una correspondiente a la frecuencia) y puede ser visualizado como una pila. Una com-ponente localizada aparecerá principalmente en correspondencia con el nivel de la pila re-presentativo de la frecuencia dominante. En la Fig. 3 se muestran dos filtros que permiten separar las componentes del ejemplo.

Fig. 3. Análisis tiempo-frecuencia de una imagen: (a) señal; (b) representación.

tiempo

amplitud

amplitud

tiempo frecuencia


3 Tipos de transformaciones.

3.1 Transformada de Fourier. Existen tres posibles transformaciones de Fourier: la transformación continua, el desarrollo en serie y la transformada discreta (DFT). La primera asocia dos funciones continuas: una señal y su espectro. En el caso monodi-mensional las fórmulas de transformación directa e inversa se expresan como:

2 ( )( ) ( ) j x fU f u x e dx

π+∞

−

−∞= ∫ (1)

2 ( )( ) ( ) j x fu x U f e df

π+∞

−∞= ∫ (2)

La expansión en serie de Fourier representa una función periódica (o una función transitoria que pueda considerarse como un ciclo de una señal periódica) como una secuencia finita o infinita de coeficientes. Las relaciones directa e inversa se obtienen discretizando f=n⋅∆f

2 ( )

0( ) ( )

Lj xn f

nU U n f u x e dxπ− ⋅∆= ⋅ ∆ = ∫ (3)

2 ( )

0

( ) j xn f

n

n

u x f U eπ

∞⋅∆

=

=∆ ⋅∑ (4)

donde L es el período y ∆f = 1/L . La DFT representa una función muestreada mediante un espectro muestreado, donde el número de muestras independientes (o grados de libertad) es el mismo en ambos dominios. La expresión de la transformada se obtiene haciendo x=i⋅∆x variable discreta. Si la señal g(x) posee un ancho banda limitado y es muestreada correctamente de acuerdo al teorema de muestreo, entonces es gi=g(i⋅∆x) y resulta

1 2

0

1 iN j kN

k i

i

G g eN

π− −

=

= ∑ (5)

1 2

0

1 kN j iN

i k

k

g G eN

π−

=

= ∑ (6)

In cada una de las transformadas que hemos descripto, las funciones base (senos y cosenos de frecuencias distintas) forman un conjunto de funciones ortonormales. Los coeficientes de cada una de las transformadas son calculados mediante un producto interno, que en el caso particular de la DFT es discreto como asimismo son discretas las correspondientes funciones base.


3.2 Transformada wavelet. Análogamente a la transformación de Fourier, también para las transformadas wavelet exis-ten tres tipos posibles: transformada continua wavelet (CWT), expansión en serie wavelet y transformada discreta wavelet (DWT). Las funciones base de la transformada wavelet puede o no ser ortonormales, a diferencia de las otras transformadas normalmente tratadas. Esto conduce a que la situación posea un tratamiento ligeramente más complicado, ya que es posible que una función de ancho de banda limitado sea representada por una expansión en serie de wavelet de infinitos términos. Puede además presentarse el caso que una trans-formada discreta wavelet necesite un número de coeficientes superior al número de mues-tras de la función de entrada. La clase de funciones que se intentará representar mediante una transformada wavelet se limitará aquí al conjunto de funciones cuyo módulo cuadrado es integrable a lo largo de todo el eje real. Esta clase particular de funciones será denotada mediante la notación

( )2L R significando

2

( )u x dx+∞

−∞< ∞∫ , (7)

es decir: señales de potencia finita. En las transformadas wavelet, el conjunto de funciones base es generado a partir de una única función prototipo llamada wavelet madre, que se indica con ψ(x), mediante transla-ciones y cambios de escala. Generalmente se trata de una función oscilatoria centrada en el origen que decrece rápidamente a cero para | x |→∝ . Por ello ( )2( )x Lψ ∈ R .

4 Transformada continua wavelet.

4.1 Definiciones. Si ψ(x) es una función real cuyo espectro de Fourier Ψ(f) satisface el siguiente criterio de admisibilidad

2

( )fC df

fψ

+∞

−∞

Ψ= < ∞∫ (8)

entonces ψ(x) se denomina wavelet madre. Nótese que dado que la variable f está presente en el denominador del integrando, se hace necesario que

(0) 0 ( ) 0x dxψ+∞

−∞Ψ = ⇒ =∫ (9)

Además, como Ψ(∝)=0, puede observarse que el espectro de una función que satisface el criterio de admisibilidad se asemeja a la función de transferencia de un filtro pasabanda. De hecho, cualquier filtro pasabanda con respuesta impulsiva media nula, que tienda a cero con suficiente rapidez para frecuencias crecientes, puede emplearse como función wavelet madre.


Un conjunto de bases wavelet {ψa,b(x)}, se genera mediante translaciones y cambios de escala de la wavelet madre ψ(x) de acuerdo a la expresión

,

1a b

x b

aaψ ψ

− =

(10)

donde a>0 y b son número reales. La variable a determina la escala de la función base, mientras que b especifica su posición sobre el eje de las x. La transformada wavelet con-tinua de u(x) respecto de la wavelet madre ψ(x) se expresa mediante:

, ,( , ) ( ), ( ) ( ) ( )u a b a bW a b u x x u x x dxψ ψ+∞

−∞= = ∫ (11)

Los coeficientes de la transformada son, una vez más, el resultado de un producto interno4 entre la función a transformar y la función base considerada. La expresión de la transfor-mada wavelet continua inversa es:

, 20

1( ) ( , ) ( )u a b

dau x W a b x db

C aψ

ψ+∞ +∞

−∞= ∫ ∫ (12)

El factor de escala presente en la Ec.(10) asegura la igualdad de las normas de las funciones base. En efecto:

2

( )x b x b

a au u dx a u x

+∞

−∞

− − = = ∫ . (13)

Por medio del ejemplo siguiente puede observarse el comportamiento de la CWT. Consi-dérese la señal no estacionaria de la Fig. 4: está compuesta por cuatro componentes de fre-cuencias 30 Hz, 20 Hz, 10 Hz y 5 Hz.

Fig. 4. Señal no estacionaria.

4 La notación <.,.> indica producto interno. Más detalles en el Apéndice.


La Fig. 5 es la transformada wavelet continua de la señal que acabamos de describir. Nóte-se que los ejes del gráfico son la translación y la escala, y no el tiempo y la frecuencia. De todas maneras es fácil convencerse que la translación está estrechamente ligada al tiempo, por cuanto indica dóde se encuentra localizada la wavelet madre. La escala por su parte puede ser reconducida a la recíproca de la frecuencia, por lo que las escalas más pequeñas corresponden a las frecuencias mayores y la frecuencia disminuye con el aumento de esca-la. La Fig. 6 muestra la misma WT que la Fig. 5 desde una perspectiva diferente para ilus-trar las propiedades de resolución.

Fig. 5. Transformada wavelet continua de la señal de Fig. 4.

Fig. 6. Otra vista de la CWT de Fig. 5.


4.2 CWT bidimensional. La transformada continua wavelet Wu(a,b) de una función u(x) de una dimensión, es una función de dos variables, una más que la propia u(x). Para cada incremento de una varia-ble, la transformada aumenta su dimensión en una unidad. Entonces, si u(x1,x2) es una función de dos dimensiones, su transformada continua wavelet se expresará como:

1 2 1 2

1 2 , , 1 2 1 2( , , ) ( , ) ( , )x xu x x a b bW a b b u x x x x dx dxψ

+∞ +∞

−∞ −∞= ⋅ ⋅∫ ∫ (14)

donde

1 2 y x xb b indican las translaciones en las dos dimensiones y

1 2

1 2

1 2, , 1 2

1( , ) ,

x x

x x

a b b

x b x bx x

a a aψ ψ

− − =

(15)

siendo ψ(x1,x2) es una función wavelet madre bidimensional. La transformación inversa correspondiente es

1 2 1 21 2

1 2 , , 1 2 3

1( , ) ( , , ) ( , )

x xu x x a b b x x

dau x x W a b b x x db db

C aψ

ψ+∞ +∞ +∞

−∞ −∞ −∞= ⋅ ⋅∫ ∫ ∫ (16)

La misma generalización puede ser extendida al caso n-dimensional.

4.3 Interpretación por analogía con un banco de filtros. Es posible producir una interpretación significativa de la transformada continua wavelet por medio de una analogía con un banco de filtros continuos. Para ello se define una función base wavelet de escala a, ψa(x),

1

( )a

xx

aaψ ψ

=

(17)

que no es más que la función wavelet madre, ψ (x), con factor de escala a y normalizada por a1/2 (nótese como, con el crecer de a, las funciones se ensanchan más y más). Sea además:

� * *1( ) ( )a a

xx x

aaψ ψ ψ

= − = −

(18)

es decir, igual al complejo conjugado de la wavelet madre reflejado sobre el eje de ordena-das. En caso de ser ψ (x) una función real y par, la conjugación y reflexión no tienen efec-


tos sobre ella. La transformada wavelet continua (11) puede ser reescrita de la manera si-guiente:

( , ) ( ) ( ) ( ) ( )u a aW a b u x b x dx u x xψ ψ+∞

−∞= − = ∗∫ � � (19)

Para un valor de a dado, Wu(a,b) es el resultado de la convolución de u(x) con la reflexión conjugada de la wavelet base de escala a. Cada valor de a define así un filtro pasabanda diferente y el conjunto de todas las salidas representa la transformada wavelet. La Fig. 7 muestra la transformada wavelet de u(x) como producto de un banco de filtros lineales.

Fig. 7. Analogía entre un banco de filtros y la transformada wavelet continua de una señal.

La transformación inversa (12) se expresa ahora como

[ ]

[ ]

20

2

1( ) ( ) ( ) ( )

1 ( ) ( ) ( )

a a

a a

dau x u x x x b db

C a

dau x x x

C a

ψ

ψ

ψ ψ

ψ ψ

+∞ +∞

−∞

+∞

−∞

= ∗ − ⋅

= ∗ ∗

∫ ∫

∫

�

�

(20)

lo que implica que, la combinación de las salidas del banco, ulteriormente filtrada por ψa(x) y escaleada reconstruye la señal u(x). Recordando el teorema del cambio escala de la transformación de Fourier, se demuestra que la frecuencia central del filtro pasabanda decrece, mientras la función de transferencia se hace más y más estrecha a medida que a aumenta. En efecto:

( ){ }1 f

u ax Ua a

=

F (21)

de donde:

( ) ( ){ } ( )a af x a afψ =Ψ Ψ=F (22)


4.4 Banco de filtros bidimensionales. La Fig. 8 ilustra el enfoque empleado, donde cada filtro ψa(x1,x2) produce a su salida una versión pasabanda de la imagen original u(x1,x2). La pila de imágenes filtradas constituye la transformada wavelet. El resultado, desde el punto de vista del volumen de información, es el de incrementar la redundancia. En efecto, si la función de transferencia Ψ (f1,f2), co-rrespondiente a ψ(x1,x2), fuera doquier no nula a menos del origen, la imagen original po-dría teóricamente recuperarse a partir de una cualquiera de las salidas mediante una opera-ción de filtrado inverso (deconvolución). Alternativamente, si el ancho de banda de u(x1,x2) fuera limitado y perteneciera al intervalo cubierto por almenos una de las Ψ (f1,f2), entonces sería suficiente la salida de este solo filtro para recuperar la imagen original.

Fig. 8. Analogía entre un banco de filtros y la CWT de una imagen.

Como conclusión, puede decirse que las potencialidades de la transformada wavelet conti-nua posibilitan la descomposición y análisis de señales o imágenes, pero no su representa-ción compacta. Para una mejor ilustración de este aspecto, supóngase que la imagen de la Fig. 8 contuviera objetos circulares de diferentes tamaños y que la función wavelet madre haya sido elegida de modo tal de responder principalmente a formas circulares de radio unitario. El examen de la salida de cada filtro posibilita relevar la posición de tales objetos. En particular, cada objeto aparecerá tan solo en (o será evidenciado más fuertemente por) aquella salida que corresponda a su tamaño.

5 Expansión en serie de wavelets.

5.1 Wavelets diádicas. Al igual que para la transformada wavelet continua, el conjunto de funciones base es gene-rado partiendo de una función prototipo escaleada en amplitud y transladada. La diferencia es que tanto las translaciones como los cambios de escala están especificados por números


enteros y no por valores reales. Se restringirá la definición de este tipo de transformada al caso de funciones base obtenidas mediante cambios de escala binarios del tipo 2j y trasla-ciones diádicas de la wavelet madre ψ(x). Una translación diádica corresponde a un des-plazamiento de valor k /2j igual a un múltiplo entero del factor de escala binario y por con-siguiente del tamaño de la wavelet. La Fig. 9 muestra un conjunto de wavelets diádicas.

Fig. 9. Cambios de escala binarios y translaciones diádicas de una wavelet.

5.2 Definiciones. Una función ψ(x) es una wavelet ortonormal, si el conjunto de funciones {ψj,k(x)} definido por: ( )/ 2

, ( ) 2 (2 ) donde , , son enterosj j

j k x x k j kψ ψ= − ∈ −∞ +∞ (23)

forma bases ortonormales en ( )2

L R . El entero j define la dilatación, mientras que k espe-

cifica la translación. El conjunto de wavelets constituye bases ortonormales si se satisfacen dos propiedades: 1)

, , , ,,j k l m j k l m

ψ ψ δ δ= (24)

donde l y m son enteros y δj,k es el símbolo de Kronecker5; 2) Toda función ( )2( )u x L∈ R puede ser escrita como

, ,( ) ( )j k j k

j k

u x c xψ+∞ +∞

=−∞ =−∞

= ∑ ∑ , (25)

donde nuevamente los coeficientes de la transformada están dados por un producto

interno:

/ 2, ,( ), ( ) 2 ( ) (2 )j j

j k j kc u x x u x x k dxψ ψ

+∞

−∞= = −∫ . (26)

5 Ver el Apéndice.


Las Ecs. (25) y (26) definen la expansión en serie de wavelets de u(x) con respecto de la wavelet madre ψ(x). Nótese que una función continua queda representada por una secuen-cia doblemente infinita de términos. El general el volumen de información de la transfor-mada es sobreabundante. Eligiendo apropiadamente ψ(x), es posible truncar la serie sin incurrir en una grosera aproximación. Si, por ejemplo, u(x) posee duración finita y la fun-ción wavelet base está bien localizada (es decir tiende a cero rápidamente a medida que se aleja del origen), entonces muchos de los coeficientes con elevado k (índice asociado con las translaciones) serán despreciables. De la misma manera, los coeficientes con valo-res elevados de j (índice correspondiente al cambio de escala) resultarán insignificantes por cuanto las funciones base correspondientes se hacen o bien extremadamente estrechas o excesivamente extendidas.

5.3 Wavelets diádicas compactas. Si ulteriormente se impone a las funciones u(x) y a las bases wavelet la condición de ser nulas en el exterior del intervalo [0,1], entonces la familia de funciones base ortonormales puede ser especificada por un único índice, n. Así resulta, / 2( ) 2 (2 )j j

nx x kψ ψ= − (27)

donde j y k son funciones del único índice n de acuerdo a: 2 para 0,1, 0,1, ,(2 1)j jn k j k= + = = −… … . (28) Cualquiera sea n, j es el mayor entero tal que 2j ≤

n y k = n –2j

. La transformada inversa está dada por:

0

( ) ( )n n

n

u x c xψ+∞

=

=∑ (29)

donde se supone que ψ0(x)=1. Los coeficientes de la transformada surgen del producto interno:

/ 2( ), ( ) 2 ( ) (2 )j j

n nc u x x u x x k dxψ ψ

+∞

−∞= = −∫ . (30)

Una función continua queda entonces expresada mediante una secuencia simplemente infi-nita de términos, al igual que en la representación en serie de Fourier. Una vez más: si una o más de las ψn(x) son semejantes a u(x) (o a sus componentes fundamentales), entonces es posible truncar la serie en pocos términos sin cometer excesivo error en la aproximación. Más aún, si u(i∆x) es una función discreta muestreada con N puntos, donde N es una po-tencia de dos, y si ψ(x) es una wavelet diádica compacta, entonces se puede calcular una transformada wavelet discreta empleando una versión discretizada de las Ecs. (29) y (30). Ambas ecuaciones se convierten en sumatorias de N términos. La transformada de Haar es un ejemplo demostrativo de lo que se acaba de expresar.


5.4 Transformada de Haar. La transformada de Haar constituye un primer ejemplo de lo que hemos definido como transformada wavelet ortonormal, diádica y compacta. La Fig. 10 muestra un conjunto de funciones base de Haar. Ellas se obtienen a partir de la wavelet madre (n=0) reduciendo progresivamente la escala en potencias de dos. Cada wavelet más pequeña es posterior-mente transladada en incrementos iguales a su extensión, de modo tal que el conjunto de bases de una escala dada cubra todo el intervalo. Para mantener la ortonormalidad para cada reducción de escala en una potencia de dos, la amplitud se multiplica por un factor

2 .

Fig. 10. Funciones base de la transformada de Haar.

6 Transformada discreta wavelet. En los tres puntos sucesivos se describirán algunas de las técnicas que han conducido a la introducción de la transformada discreta wavelet (DWT):

• Teoría del banco de filtros, • Multiresolución, • Codificación por sub-bandas.

6.1 Teoría del banco de filtros. Sean una señal compuesta por dos sinusoides de breve duración a las que se superpone rui-do de fondo aleatorio y supongamos desear llevar a cabo el análisis de esta señal para de-terminar el número, frecuencia y posición de las sinusoides truncas (ver Fig. 11a). La transformación de Fourier representa indudablemente el contenido completo de la señal, pero de una manera que no se presta a una fácil interpretación (Fig. 11b). La información acerca de la posición, por ejemplo, queda escondida en el espectro de fase de una manera


complicada. El espectro de amplitudes puede mostrar picos individualizables correspon-dientes a la la componentes transitorias de la señal, pero esta determinación resulta confia-ble solamente para aquellas componentes que posean una amplitud y duración de tamaño suficiente como para dominar el espectro.

Fig. 11. Señal formada por dos fragmentos de sinusoide con ruido superpuesto: a) Las tres componentes; b) Espectros de amplitud y fase.

6.1.1 Filtro pasabanda ideal.

Supongamos que se ha particionado el eje de las frecuencias en un conjunto disjunto de intervalos adyacentes y que se ha empleado esta subdivisión para definir un conjunto de funciones de transferencia pasabanda ideales como se muestra en la Fig. 12b.

Fig. 12. Partición del eje de frecuencias para generar una serie de filtros pasabanda: (a) Respuestas impulsivas; (b) Funciones de transferencia.

Espectro deAmplitud

Espectro deFase


Fig. 13. Implementación de un banco de filtros pasabanda.

De acuerdo al esquema de la Fig. 13, la señal de entrada se aplica simultáneamente sobre todos los filtros, siendo gi(x) la salida genérica. Las funciones de transferencia Hi(f) están definidas de manera tal que su suma sea igual a uno para todas las frecuencias, de manera que se tendrá:

1 1

( ) 1 ( ) ( )i i

i i

H f g x u x+∞ +∞

= =

= ⇒ =∑ ∑ (31)

Fig. 14. Salidas del banco de filtros. En la Fig. 14, que representa la salida de los filtros pasabanda, se puede observar que los dos tonos de sinusoide emergen de filtros separados y que su localización respecto del eje de tiempo resulta evidente en cada salida. Este sistema representa entonces una aproxima-ción útil para descomponer una señal e identificar sus componentes de interés. Cada salida de los filtros pasabanda está dada por la convolución

( ) ( ) ( )i ig x u t h x t dt+∞

−∞= −∫ (32)


Dado que Hi(f) es real y par, también lo será hi(x), por lo que puede tomarse su reflejo en la integral de convolución y reescribir la salida del filtro como

( ) ( ) ( ) ( ), ( )i i ig x u t h t x dt u t h t x+∞

−∞= − = −∫ ; (33)

por consiguiente cada punto x0 de gi(x) es el resultado del producto interno entre u(t) y la versión de hi(t) transladada el valor x0. Podemos además concebir a {gi(x)} (que es un conjunto bidimensional cuyos índices son i y x) como un conjunto de coeficientes de una transformada wavelet donde {hi(x)} es el conjunto de las wavelets. Adicionalmente, {gi(x)} resulta suficiente para reconstruir u(x), como se deduce de la Ec.(31).

6.1.2 Filtros pasabanda con transiciones suaves.

Una de las características que debe poseer una buena función wavelet, es la de encontrarse bien localizada, es decir tender rápidamente a cero por fuera de su región central. Como consecuencia hi(x–x0) no debería responder a componentes fuertes ubicadas lejos del pun-to x0. Diseñar las funciones Hi(f) con transiciones suaves reduce el ancho de hi(x). Dado que la suma de las Hi(f) debe ser la unidad, las funciones de transferencia pasabanda resul-tantes tendrán superpuestas sus zonas de transición.

Fig. 15. Filtros pasabanda con transiciones suaves: (a) Respuestas impulsivas; (b) Funciones de transferencia.


Un ejemplo de lo dicho se ha representado en la Fig. 15, donde las transiciones han sido suavizadas empleando un semiciclo de coseno. La Fig. 16 muestra las salidas del banco de filtros de la Fig. 15 en respuesta a una entrada igual a la señal de la Fig. 11. El mejoramiento de la localización resulta evidente. Queda también evidenciado que conceptualmente estamos moviéndonos en la dirección del análisis tiempo-frecuencia (o posición-frecuencia) de una señal compuesta.

Fig. 16. Salidas del banco de filtros.

6.2 Multiresolución. Puede observarse que los objetos de una imagen resultan identificables empleando diferen-tes escalas de ampliación. En general, una aproximación multiresolucional aplicada a la representación o al análisis de una imagen intenta aplicar este concepto. Un ejemplo muy ilustrativo podemos encontrarlo en la cartografía. La escala de un mapa está dada por la relación entre la dimensión real del territorio y su representación sobre el papel. Para escalas elevadas, solamente resultan visibles las características más macroscó-picas, mientras que los detalles solamente pueden emerger para escalas más bajas. En las wavelets este aspecto se realiza dilatando y contrayendo la wavelet madre para crear el conjunto de las funciones base. La wavelet madre ψ(x) se escalea como ψ(x/a): para a elevados la función base queda dilatada para detectar características extensas, para valores de a pequeños se analizan los detalles de la señal.

6.2.1 Algoritmo piramidal.

Supongamos generar a partir de una imagen de 1024×1024 pixels, 10 imágenes adicionales obtenidas ‘partiendo’ sucesivamente bloques de 2×2 pixels. Si ahora se aplica un operador de 3×3 para determinar bordes o contornos, se encontrarán pequeños contornos en la ima-gen inicial, algo más extendido en las imágenes de 512×512 y 256×256 y contornos sucesi-vamente más amplios en las imágenes más pequeñas. Todos los contornos, grandes y pe-queños, se encuentran presentes en la imagen original y no se requiere de ningún cambio de resolución para localizarlos. El problema está en la determinación de contornos amplios empleando operadores convencionales. Podría escalearse el operador, pero resulta más


eficiente escalear la imagen, ya que el empleo de un operador para contornos extensos so-bre una imagen de alta resolución es muy oneroso desde el punto de vista computacional.

6.2.2 Codificación por pirámide laplaciana.

El esquema piramidal de codificación introducido por Burt y Adelson, se basa sobre el uso de una función gaussiana. La imagen se somete a un filtro pasabajos con respuesta impul-siva gaussiana y el resultado se resta de la imagen original. Los detalles de alta frecuencia son conservados en la imagen diferencia, mientras que la imagen filtrada pasabajos puede ser submuestreada sin pérdida de información. El proceso se ilustra en la Fig. 17.

Fig. 17. Esquema de codificación por pirámide laplaciana. Sean u0(i,j) la imagen original y g(i,j) la respuesta al impulso del filtro pasabajos gaus-siano. En cada uno de los pasos del proceso de codificación, la imagen es descompuesta en dos componentes: baja frecuencia con semiresolución y alta frecuencia con resolución completa: uk(i,j) y hk(i,j). Para el primer paso vale: [ ] [ ]1 0 1 0 0( , ) (2 ,2 ) y ( , ) ( , ) ( , )u i j u g i j h i j u i j u g i j= ∗ = − ∗ (34)

Este procedimiento se itera cada vez sobre una imagen submuestreada. Luego de n pasos sobre una imagen N×N, donde N=2n , un(i,j) se reduce a un punto. La codificación pira-midal de la imagen consiste en el conjunto de las hk(i,j) y la imagen final de baja frecuen-cia un(i,j). La decodificación se efectúa siguiendo el orden inverso de las operaciones pre-cedentes. Cada imagen submuestreada uk(i,j) a partir de la última, un(i,j), es sobremues-treada (operación consistente en la intercalación de muestras nulas) y convolucionada con g(i,j). El resultado se suma con la imagen sucesiva uk–1(i,j) y el proceso se repite sobre la imagen resultante. Cada hk(i,j) es la diferencia entre dos imágenes obtenidas por la convo-lución de una imagen con una gaussiana de extensión simple y doble. Ésto equivale a la convolución de la imagen con la diferencia de dos gaussianas (lo que a su vez es una aproximación al valor del laplaciano de una gaussiana), hecho del que se deriva el nombre del algoritmo piramidal descripto. Aunque el algoritmo conduzca al incremento de la cantidad de pixels necesarios para repre-sentar una imagen, resulta posible un nivel significativo de compresión. Ello resulta posi-ble en cuanto las imágenes hk(i,j) poseen un rango dinámico significativamente reducido


al igual que una baja correlación, por lo que se puede aplicar una cuantificación más grose-ra, pudiéndose también anular algunos pixels.

6.3 Codificación por sub-bandas. La codificación por sub-bandas intenta la descomposición de una imagen o una señal en componentes de banda limitada (filtrado pasabanda), de la que se brinda una representa-ción exenta de redundancia que haga posible reconstruir sin error la señal original. Dada una señal de banda limitada u(x), para la cual se cumple ( ){ } ( ) max0 para u x U f f f= = ≥F (35)

resulta posible muestrear la señal con un paso de muestreo uniforme ∆x para formar:

max

1( ) 0,1, , 1

2Nu i x i N f f

x∆ = − ≤ =

∆… (36)

donde fN es la frecuencia de Nyquist. Nuestro análisis partirá de la subdivisión del eje de frecuencias en intervalos disjuntos; aunque pudiera emplearse cualquier longitud de inter-valo de frecuencias, elegiremos el de magnitud fN / 2, como se muestra en la Fig. 18.

6.3.1 La sub-banda inferior.

Un filtro ideal pasabajos semibanda, h0(i∆x), (Fig. 18b) posee esa denominación porque deja pasar solamente las frecuencias comprendidas en la banda [–fN / 2, fN / 2], que es la mitad inferior del intervalo de frecuencias [–fN, fN ]. La respuesta impulsiva y la función de transferencia de h0 son respectivamente:

0 0sinc y rect2 N

x fh H

x fπ

= =

∆ (37)

donde la función rectangular rect(x) se define como

1 1/ 2

rect( ) 1/ 2 1/ 2

0 1/ 2

x

x x

x

<

= =

>

(38)

y

sin( )

sinc( )x

xx

= (39)

Aplicando este filtro a u(i∆x) (Fig. 18a) se obtiene la señal g0(i∆x) (Fig. 18c) que se en-cuentra limitada a la banda f = fN / 2. Esta última es una versión de baja resolución de u(i∆x)


Fig. 18. Codificación por sub-bandas: la sub-banda inferior. (a) Una señal muestreada y su espectro. (b) Filtro ideal pasabajos. (c) Señal filtrada pasabajos. (d) Función de diezmado.

(e) Muestras impares substituidas con ceros. (f) Muestras impares eliminadas.

que contiene la forma básica de u(i∆x) pero que carece de detalles. Ya que g0(i∆x) no po-see energía por encima de fN / 2, puede ser muestreada con un intervalo de muestreo mayor, tal como 2∆x sin generar alias. Podemos eliminar una de cada dos muestras y representar a g0 con las restantes N/2 muestras (Fig. 18f). Este proceso se denomina submuestreo o decimación. Podemos modelar el submuestreo como una multiplicación entre la señal y


una función que anule las muestras impares, seguida por la eliminación de estas últimas. Como función de decimación se plantea (Fig. 18d):

( )1

( ) 1 cos 22f Nu i x f i xπ∆ = + ∆ , (40)

cuyo espectro vale:

[ ]1

( ) ( ) ( ) ( )2f N NU f f f f f fδ δ δ= + − + + . (41)

Al multiplicar la señal g0(i∆x) por uf (i∆x), se realiza la convolución de los espectros res-pectivos. El resultado es un espectro simétrico, cuyo período reducido pasa de 2 fN a fN de la manera mostrada en la Fig. 18e. Además su amplitud se reduce a la mitad, es decir:

[ ]0 0 0 0

1( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2f N NU f G f G f G f f G f f∗ = + − + + (42)

En este punto se pueden eliminar las muestras impares sin pérdida de información (Fig. 18f): la frecuencia máxima se ha reducido y se han satisfecho las condiciones impuestas por el teorema del muestreo. Es posible reconstruir g0(i∆x) a partir de la señal submuestreada llevando a cabo las ope-raciones siguientes:

• Calcular el espectro discreto (N/2 puntos); • Insertar ceros desde fN / 2 a fN para reconstruir G0(f) (Fig. 18c); • Calcular la DFT inversa de G0(f) para obtener g0(i∆x).

Una técnica más simple para recuperar g0(i∆x) consiste en sobremuestrear la señal codifi-cada (Fig. 18f) insertando muestras nulas. La señal resultante (Fig. 18e) debe ser poste-riormente filtrado por 2h0(i∆x), el filtro ideal pasabajos (Fig. 18b). Esto reconstruirá el espectro y por la tanto la señal g0(i∆x), (Fig. 18c). En el dominio de frecuencia lo enun-ciado se expresa de la manera siguiente:

[ ]

0 0

0 0 0 0

( ) ( ) ( )

1 1 ( ) ( ) ( ) rect ( )

2 2

f

N N

N

U f G f H f

fG f G f f G f f G f

f

∗ × =

= + − + + × =

(43)

6.3.2 La sub-banda superior.

Retornando a la sub-banda superior de u(i∆x) (véase Fig. 19a), puede aislarse la energía con un filtro pasabanda ideal (Fig. 19b), cuya respuesta impulsiva y función de transferen-cia son respectivamente:

1 1( ) ( ) sinc y ( ) 1 rect2 N

x fh i x x H f

x fδ π

∆ = − = −

∆ (44)


donde rect(x) ha sido definido mediante la Ec.(38). El filtro produce la señal g1(i∆x), cuyo espectro es diferente de cero únicamente en la mitad superior de la banda (Fig. 19c), que corresponde a la banda de u(i∆x) eliminada por el filtro pasabajos. Es por ello que g0(i∆x) y g1(i∆x), tomados conjuntamente, contienen la totalidad de la información presen-te en la señal original u(i∆x).

Fig. 19. Codificación por sub-bandas: la sub-banda superior. (a) Una señal muestreada y su espectro. (b) Filtro ideal pasabajos. (c) Señal filtrada pasabajos. (d) Función de diezmado.

(e) Muestras impares substituidas con ceros. (f) Muestras impares eliminadas.


Ello ocurre así pues, 0 1 0 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )u i x g i x g i x u i x h i x u i x h i x∆ = ∆ + ∆ = ∆ ∗ ∆ + ∆ ∗ ∆ (45)

ya que: 0 1( ) ( ) 1 por definición.H f H f+ = (46)

Cuando g1(i∆x) (Fig. 19c) es submuestreada por la función uf (i∆x), que ya fuera defini-da en la Ec. (40), los espectros convolucionan. Formalmente podemos escribir

[ ]1 1 1 1

1( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2f N NU f G f G f G f f G f f∗ = + − + + (47)

El espectro es periódico con período fN / 2 y puede ser muestreado con paso 2∆x sin que se produzcan alias. En definitiva la señal de N muestras u(i∆x) ha sido codificada empleando dos señales de N / 2 muestras cada una (Fig. 19f). Ya hemos visto que es posible recuperar g0(i∆x) de la señal pasabajo. Queda por demostrar que g1(i∆x) puede ser recuperado de la señal codifi-cada pasaalto para concluir que también u(i∆x) es recuperable sin errores. Podemos obte-ner G1(f) y por lo tanto g1(i∆x) (Fig. 19c) simplemente filtrando su versión sobremues-treada a través de 2h1(i∆x) (Fig. 19b) para eliminar la energía de baja frecuencia. Mate-máticamente:

[ ]

1 1

1 1 1 1

( ) ( ) ( )

1 1 ( ) ( ) ( ) 1 rect ( )

2 2

f

N N

N

U f G f H f

fG f G f f G f f G f

f

∗ × =

= + − + + × − =

(48)

En definitiva: empleando codificación por sub-bandas de dos canales, obtenemos una re-presentación de la señal, representación que es no redundante e invertible, expresada en términos de las salidas submuestreadas de filtros discretos.

6.3.3 Codificación y decodificación por sub-bandas.

La codificación de dos canales por sub-bandas requiere solamente el filtrado de u(i∆x) con h0(i∆x) y h1(i∆x), seguido por el submuestreo de cada salida. Esto conduce a la definición de las dos señales [ ]0 0( ) ( ) ( 2 )

i

g k x u i x h i k x∆ = ∆ − + ∆∑ (49)

y [ ]1 1( ) ( ) ( 2 )

i

g k x u i x h i k x∆ = ∆ − + ∆∑ (50)


La reconstrucción se realiza sobremuestreando las dos sub-bandas, interpolándolas con 2h0(i∆x) y 2h1(i∆x) respectivamente y sumando las dos señales resultantes (Fig. 20). En fórmulas:

( ) ( )0 0 1 1( ) 2 ( ) ( 2 ) ( ) ( 2 )k

u i x g k x h i k x g k x h i k x∆ = ∆ − + ∆ + ∆ − + ∆ ∑ (51)

Fig. 20. Codificación por sub-bandas en dos canales y reconstrucción.

Existe un pequeño problema con la frecuencia central f = fN / 2 ya que tanto la codificación como la decodificación filtran a u(i∆x) dos veces, una con h0(i∆x) y la otra con h1(i∆x), teniendo H0(fN / 2)=1/2 y H1(fN / 2)=1/2. Este inconveniente se puede obviar redefiniendo

1 1rect

2 2

± =

.

6.4 Algoritmo de transformada rápida wavelet. Ha sido definido un algoritmo rápido para la transformada wavelet discreta que resulta más eficiente que el cálculo de un conjunto de productos internos. El algoritmo aplica una codi-ficación por dos sub-bandas de una manera iterativa y construye la transformada wavelet calculando en primer lugar los coeficientes correspondientes a las escalas más pequeñas. Luego de un primer paso de codificación por sub-bandas como se ha descripto en las sec-ciones precedentes, la sub-banda inferior de la señal, g0(i∆x), es ulteriormente codificada por sub-bandas. Esto conduce a una señal de la semibanda superior de N / 2 puntos y dos señales de N / 4 puntos correspondientes al primer y segundo cuarto del intervalo [0, fN]. El procedimiento se repite y en cada paso la señal de la sub-banda superior se conserva mientras que el de la sub-banda inferior vuelve a ser codificado hasta obtener una señal de una sola muestra. Los coeficientes de la transformada son el punto de la banda inferior y el conjunto de las señales correspondientes a la sub-bandas superiores codificadas. Lo expre-sado se muestra en la Fig. 21. La respuesta al impulso hj(i∆x), se duplica en escala en cada iteración. Por ello se obtiene una transformada wavelet ortonormal cuya función madre es h(x)=δ(x)–sinc(ax), siendo las funciones base son 2–j/2

h(2jx–n). La codificación por sub-bandas, que es una técnica

de transformación tiempo-frecuencia, es así empleada para definir una transformada wave-let tiempo-escala. El algoritmo descripto (propuesto por Mallat) es también conocido con


los nombre de algoritmo “espina de pescado” o transformada rápida wavelet (FWT). La transformada inversa se obtiene realizando el proceso inverso (Fig. 22).

Fig. 22. Transformada discreta wavelet inversa.

6.4.1 Funciones base.

El conjunto de los coeficientes de la transformada es obtenido convolucionando repetida-mente la señal u(i∆x) con h0(i∆x) y con h1(i∆x), como puede observarse en la Fig. 21. Por tal razón las funciones base de la transformada wavelet resultan ser h1(i∆x) y las obte-nidas por la convolución repetida de h1(i∆x) con h0(i∆x).

6.5 Diseño de una transformada discreta wavelet. Para el diseño de los filtros de un banco de filtros, hemos visto que no es necesario que ellos sean filtros pasabajos o pasabanda ideales. Para la DWT resulta así suficiente emplear un par de filtros que satisfaga la Ec. (51). En el dominio de frecuencias se tiene:

0 0 1 1

0 0 1 1

1 1( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( )

2 2

1 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2

U f G f H f G f H f

U f H f H f U f H f H f

= + =

= +

(52)

Fig. 21. Algoritmo de transformada discreta wavelet.


lo que conduce a:

2 20 1( ) ( ) ( ) ( )U f U f H f H f = + (53)

y las dos funciones de transferencia de los filtros deben satisfacer la condición 2 2

0 1( ) ( ) 1 para 0 NH f H f f f+ = ≤ ≤ . (54)

Las funciones de transferencia están al cuadrado porque u(i∆x) es convolucionado dos ve-ces con cada filtro, una vez durante la codificación y otra en la decodificación. Si H0(f) es la función de transferencia del filtro pasabajos con transiciones suaves que deseamos em-plear para realizar la transformada, la H1(f) correspondiente estará dada por: 2 2

1 0( ) 1 ( )H f H f= − (55)

y el diseño de la realización de una transformada wavelet discreta queda reducido a la se-lección de un filtro pasabajos adecuado.

6.5.1 Filtros especulares en cuadratura (QMF).

En el caso de filtros pasabanda ideales, se puede considerar a h1(i∆x) como una versión transladada de h0(i∆x) aplicando

{ }

{ } ( )

1 2

12

1 2

( ) ( )

( ) ( ) 1 ( )

j ax

j i xix

N

H f a e h x

H f f e h i x h i x

π

π

−

∆ − ∆

− = ⇒

− = ∆ = − ∆

F

F

(56)

por lo que la translación de un semiperíodo sobre el eje de frecuencias tiene por efecto cambiar el signo de las muestras impares. Podemos también emplear este enfoque para la construcción de filtros de sub-banda más generales. Eligiendo h1(i∆x) tal que,

( ) ( ) ( )1 01 1i

h N i x h i x− − ∆ = − ∆ (57)

donde N es la longitud de h0(i∆x), se obtiene el correspondiente filtro pasa alto h1(i∆x) llamado filtro especular de h0(i∆x). Si h0(i∆x) es de duración breve, entonces nos asegu-ramos que h1(i∆x) tendrá la misma duración. La propiedad de simetría que debe cumplir H0(f) para garantizar la validez de (55) es:

0 012 2N Nf f

H f H f

+ = − −

(58)

Estos filtros se denominan filtros QMF (Quadrature Mirror Filters). El filtro H1(f) es ob-tenido de H0(f) tal como se muestra en la Fig. 23.


Fig. 23. Filtro pasabajo y pasa altos especular.

6.5.2 El vector de escalas.

Para describir una transformada wavelet discreta es suficiente definir una respuesta impul-siva discreta pasabajo, h0(k), que satisfaga algunos requisitos (Ec. (58)). Esta respuesta impulsiva es denominada también vector de escalas. A partir de h0(k) podemos generar la función asociada φ(x) llamada también función de escalas. Además podemos generar h1(k) de acuerdo a (57) y, con esta última y con φ(x), calcular la wavelet madre ψ(x). Si el vector de escalas posee un número finito de términos no nulos, entonces φ(x), ψ(x) e las wavelets resultantes poseerán soporte compacto. Sea un vector de escalas tal que:

0 0 0( ) 2 y ( ) ( 2 ) ( )k k

h k h k h k l lδ= + =∑ ∑ (59)

existe una función de escalas para la cual: 0( ) ( ) (2 )

k

x h k x kφ φ= −∑ (60)

que puede ser construida como una suma ponderada de copias de la mitad de sí misma, usando h0(k) como factor de peso. La función de escalas resulta una función continua cuya forma general es la misma que la respuesta del filtro pasabajo discreto h0(k). Si en cambio iniciamos nuestro cálculo a partir de la función de escalas φ(x), ésta deberá ser ortonormal respecto de las translaciones unitarias, es decir: ,( ), ( ) m nx m x nφ φ δ− − = (61)

y h0(k) puede ser calculada mediante:

0 1,0 0,( ) ( ), ( )kh k x xφ φ= (62)

donde:

( )/ 2, ( ) 2 2 0,1, 0,1, ,2 1j j j

j k x x k j kφ φ= − = = −… … . (63)


Si la función de escalas ˆ( )xφ deseada no es ortonormal, puede ser empleada para generar

una ortonormal mediante una correcta normalización de su espectro ˆ ( )fΦ , resultando:

ˆ ( )

( )ˆ ( 2 )

n

C ff

f nπ+∞

=−∞

ΦΦ =

Φ −∑ (64)

donde C es una constante.

6.5.3 El vector wavelet.

Determinados φ(x) y h0(k), podemos definir una respuesta impulsiva discreta pasa altos llamada vector wavelet, de la forma:

( ) ( )1 0( ) 1 1k

h k h k= − − + (65)

y, a partir de éste, la wavelet madre 1( ) ( ) (2 )

k

x h k x kψ φ= −∑ (66)

de donde se deriva el conjunto de wavelets ortonormales: / 2

, ( ) 2 (2 )j j

j k x x kψ ψ= − . (67)

6.5.4 Cálculo de la transformada wavelet.

Dado el conjunto de wavelets ortonormales, la expansión en serie de una función continua de ancho de banda limitado u(x) resulta:

, , , ,,

( ) ( ) y ( ) ( )j k j k j k j k

j k

c u x x dx u x c xψ ψ+∞

−∞= =∑∫ ; (68)

mientras que la transformada discreta wavelet de una función muestreada es: , , , ,

,

( ) ( ) y ( ) ( )j k j k j k j k

i j k

c u i x i x u i x c i xψ ψ= ∆ ∆ ∆ = ∆∑ ∑ (69)

los coeficientes y las sumatorias pueden ser calculados respecto de un único índice entero n

=1, 2, ..., N–1, donde: 22 para 0,1, , log ( ) 1 0,1, ,2 1j jn k j N k= + = − = −… … (70)


Este procedimiento toma el nombre de algoritmo top-down porque calcula en primer lugar los coeficientes de mayor escala, al contrario del algoritmo de Mallat. El diseño requiere en primer lugar determinar una secuencia h0(k) que satisfaga la Ec. (58) para luego cons-truir las correspondientes funciones de escala o, de lo contrario, elegir una función de esca-las ortonormal y determinar h0(k) mediante la Ec. (62). Una función de escalas puede hacerse ortonormal por aplicación de la (64). La transformada discreta wavelet puede ser implementada ya sea en forma directa mediante la Ec. (69), o bien aplicando el algoritmo FWT de “espina de pescado”. Este último no requiere una construcción explícita de la fun-ción de escalas y de las wavelets, por lo que resulta computacionalmente más eficiente.

6.5.5 Wavelets ortonormales con soporte compacto.

Daubechies ha construido una familia {rψ(x)} de wavelets ortonormales con soporte com-pacto. Para cada valor del índice r el conjunto de las wavelets es:

{ } { }/ 2, ,( ) 2 (2 )j j

r j k r j kx x kψ ψ= − (71)

donde j y k son enteros. Además rψ(x) es nula fuera del intervalo [0, 2r–1], anulándose también sus primeros r momentos:

( ) 0 0,1, ,n

rx x dx n rψ

+∞

−∞= =∫ … (72)

siendo r/5 el número aproximado de derivadas continuas. Nótese en particular, que 1ψ(x) es la wavelet madre de la transformada de Haar. Al incrementarse r estas funciones se hace cada vez más extensas y regulares, como se constata en la Fig. 24.

Fig. 24. Wavelets ortonormales para: (a) r =3, (b) r =5, (c) r =7 y (d) r =9.


6.6 Transformada discreta wavelet bidimensional. Los conceptos discutidos para la representación de señales unidimensionales pueden ser generalizados fácilmente para dos dimensiones. Consideremos el caso para el que la fun-ción de escala en dos dimensiones sea separable, es decir: ( , ) ( ) ( )x y x yφ φ φ= (73) donde φ(x) es una función de escala unidimensional. Si ψ(x) es su wavelet asociada, en-tonces las tres wavelets base bidimensionales son: 1 2 3( , ) ( ) ( ); ( , ) ( ) ( ); ( , ) ( ) ( )x y x y x y x y x y x yψ φ φ ψ ψ φ ψ φ ψ= = = . (74) En particular, el conjunto de funciones

{ } { }, , ( , ) 2 ( 2 , 2 ) 0 1,2,3l j l j j

j m nx y x m y n j lψ ψ= − − ≥ = (75)

donde j, l, m y n son enteros, constituyen una base ortonormal para 2 2( )L � .

6.6.1 La transformada directa.

Considérese una imagen de N × N, uj(x1, x2), donde la escala está indicada por el subíndice

de u y N es una potencia de dos. Para j=0, la escala es 2j =20 =1, siendo esta la escala de la imagen original. Todo valor entero sucesivamente mayor duplica la escala y reduce la resolución a la mitad. La imagen puede ser expresada en términos de wavelets bidimensio-nales como sigue: en cada paso de la transformación la imagen es descompuesta en cuatro subimágenes, cada una de las cuales es el resultado de un producto interno con una de las wavelets base seguido por un submuestreo (o decimación) en un factor de 2 a lo largo de x1 y de x2. Para la primera etapa (j=1) se tiene:

02 1 1 2 1 2

1 12 1 1 2 1 2

2 22 1 1 2 1 2

3 32 1 1 2 1 2

( , ) ( , ), ( 2 , 2 )

( , ) ( , ), ( 2 , 2 )

( , ) ( , ), ( 2 , 2 )

( , ) ( , ), ( 2 , 2 )

u m n u x x x m x n

u m n u x x x m x n

u m n u x x x m x n

u m n u x x x m x n

φ

ψ

ψ

ψ

= − −

= − −

= − −

= − −

(76)

Para las etapas sucesivas (j >1), 0

1 22( , )ju x x se descompone exactamente de la misma mane-

ra en cuatro subimágenes más pequeñas de escala 12 j + . Escribiendo el producto interno como una convolución tendremos:


{ }{ }{ }{ }

1

1

1

1

0 01 2 1 22 2

1 0 11 2 1 22 2

2 0 21 2 1 22 2

3 0 31 2 1 22 2

( , ) ( , ) ( , ) (2 , 2 )

( , ) ( , ) ( , ) (2 , 2 )

( , ) ( , ) ( , ) (2 , 2 )

( , ) ( , ) ( , ) (2 , 2 )

j j

j j

j j

j j

u m n u x x x x m n

u m n u x x x x m n

u m n u x x x x m n

u m n u x x x x m n

φ

ψ

ψ

ψ

+

+

+

+

= ∗ − −

= ∗ − −

= ∗ − −

= ∗ − −

(77)

y las mismas operaciones de filtrado y submuestreo se repiten en cada etapa. Como las funciones de escala y las wavelets son separables, cada convolución puede ser separada en convoluciones unidimensionales operadas sobre las filas y las columnas de 0

1 22( , )ju x x .

Fig. 25. Pasos de descomposición de una imagen en la DWT.

Por ejemplo, en el primer paso se convolucionan las filas de la imagen u1(x1, x2) con h0(–x) y con h1(–x) y se eliminan las columnas impares (numerando a partir de cero la columna de más a la izquierda) de las dos matrices resultantes. Las columnas de cada matriz N ×

N/2 son a su vez convolucionadas con h0(–x) y h1(–x) y se eliminan las filas impares (numeran-do a partir de cero la fila de más arriba). El resultado son cuatro matrices N/2 ×

N/2. La transformada wavelet bidimensional puede ser calculada en forma rápida empleando J pa-sos, donde el entero J ≤ log2(N) para una imagen de N ×

N. La Fig. 26 muestra el ejemplo de la descomposición diádica de una imagen procesada de acuerdo a la norma JPEG 2000.

filas columnas columnas filas


Fig. 26. Ejemplo de descomposición diádica de una imagen.

6.6.2 La transformada inversa.

En cada paso se sobremuestrean las cuatro matrices de la etapa precedente insertando una columna de ceros a la izquierda de cada columna. Posteriormente se convolucionan las filas con h0(x) y h1(x) y se suman las matrices N/2 ×

N resultantes. Ulteriormente se so-bremuestrean estas matrices agregando filas de ceros por sobre cada fila de las matrices para llevarlas a la dimensión N ×

N. Las columnas de las dos matrices que así se obtienen se convolucionan nuevamente con h0(x) y h1(x). La suma de las dos matrices resultantes representa el resultado final de la etapa de reconstrucción (Fig. 27).

Fig. 27. Pasos de reconstrucción de una imagen en la DWT.

6.7 Transformadas wavelet biortogonales. Las funciones que califican como wavelets ortonormales con soporte compacto carecen de propiedades deseables de simetría. Podría resultar conveniente, por ejemplo, que ψ(x) fue-se una función par o impar. Utilizando dos diferentes wavelets base, ( ) y ( )x xψ ψ� , una

columnas filas filas columnas


para la descomposición (análisis) y otra para la reconstrucción (síntesis), se pueden tener wavelets simétricas con soporte compacto. Las wavelets son duales y las dos familias { } { }, ,( ) y ( )

j k j kx xψ ψ� son biortogonales, es de-

cir:

, , , ,,j k l m j l k mψ ψ δ δ=� (78)

se tiene por lo tanto:

, , , ,( ), ( ) y ( ), ( )j k j k j k j kc u x x d u x xψ ψ= = � (79)

para la descomposición y , , , ,

, ,

( ) ( ) ( )j k j k j k j k

j k j k

u x c x d xψ ψ= =∑ ∑ � (80)

para la reconstrucción.

6.7.1 Implementación.

La transformada wavelet biortogonal unidimensional requiere cuatro filtros. Debemos ele-gir dos filtros pasabajos (vectores de escalas), 0 0( ) y ( )h n h n� , cuyas funciones de transfe-

rencia satisfagan: 0 0 0 0(0) (0) 1 y ( ) ( ) 0N NH H H f H f= = = =� � (81)

donde fN = 1/2∆x es la frecuencia de Nyquist. A partir de éstas podemos generar dos fil-tros pasabanda (vectores wavelet) mediante una translación de un semiperiodo de sus fun-ciones de transferencia:

1 0 1 0( ) ( 1) (1 ); ( ) ( 1) (1 )n nh n h n h n h n= − − = − −� � . (82)

Se puede ahora implementar el algoritmo FWT a “espina de pescado” empleando estos cuatro filtros, como se muestra en la Fig. 28.

Fig. 28. Un paso de descomposición y uno de reconstrucción para transformada wavelet biortogonal.


6.7.2 Wavelets biortogonales.

Las condiciones para los filtros wavelet biortogonales son:

0 0 1 1( ) ( ) 2 y ( ) ( ) 0n n n n

h n h n h n h n= = = =∑ ∑ ∑ ∑� � (83)

y la propiedad de reconstrucción exige que: 0 0 1 1 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1N NH f H f H f H f H f H f H f f H f f+ = + − − =� � � � (84)

Las dos funciones de escalas en el dominio de frecuencias están dadas por:

0 0 0 00 0

(2 ) ( ) ( ) ( / 2 ) y (2 ) ( ) ( ) ( / 2 )n n

n n

f H f f H f f H f f H f+∞ +∞

= =

Φ = Φ = Φ = Φ =∏ ∏� � � � (85)

resultando las wavelets:

1 1( ) 2 ( 1) (2 ) y ( ) 2 ( ) (2 )n n

x h n x n x h n x nψ φ ψ φ= + − = −∑ ∑ � �� . (86)

6.7.3 Construcción de wavelets biortogonales.

El diseño de wavelets biortogonales requiere la definición de las respuestas impulsivas dis-cretas 0 0( ) y ( )h n h n� que satisfacen las Ecs. (81) y (84). Generalmente, el empleo de res-

puestas impulsivas de mayor longitud permite obtener wavelets más regulares, es decir con una mayor cantidad de derivadas y momentos nulos.

6.7.4 Wavelets biortogonales de dos dimensiones.

Las wavelets biortogonales para la transformada bidimensional directa están dadas por la Ec. (74). Para la transformación inversa son:

1 2 3( , ) ( ) ( ); ( , ) ( ) ( ); ( , ) ( ) ( )x y x y x y x y x y x yψ φ φ ψ ψ φ ψ ψ ψ= = =� � �� (87) La implementación de la FWT biortogonal de dos dimensiones es una extensión del caso ortonormal.

7 Selección de wavelets. La wavelet madre ideal debiera ser una función oscilatoria de duración breve (soporte com-pacto y pequeñas amplitudes por fuera de un intervalo limitado), para la cual todas las translaciones diádicas fueran funciones ortonormales. Mientras que la wavelet madre de-


biera tender a cero para |x|→∝ por lo menos como 1/x para satisfacer el criterio de admi-sibilidad, algunas wavelets puede poseer un soporte totalmente no compacto. Esto signifi-ca que las translaciones diádicas a cualquier escala son ortogonales, pero las wavelets de escalas diferentes no lo son. Igualmente puede verificarse que las wavelets de diferentes escalas resulten ortogonales, mientras que no lo son todas o algunas translaciones diádicas de la misma escala. Obsérvese que alguna de las transformadas wavelet (la CWT, por ejemplo) son superabun-dantes, mientras que no los son otras (DWT). La transformada DWT biortogonal requiere dos vectores de escalas y dos vectores wavelet, pero esto no incide de manera incremental sobre el desarrollo computacional del proceso. Por otra parte, la transformada biortogonal posee la ventaja de posibilitar una más amplia selección de formas de wavelets con respecto de la transformada ortonormal.

Fig. 29 Ejemplo de wavelets biortogonales: (a) wavelet laplaciano piramidal;

(c) función wavelet spline lineal; (e) wavelet de 18 puntos con fase lineal.


La selección de la wavelet madre es a menudo una función de la aplicación particular que se desea implementar. Por ejemplo, para la compresión sin pérdidas las bases ortonormales o biortogonales resultan deseables porque el objetivo perseguido es representar la función exactamente y de una manera compacta. Si el objetivo es la codificación con pérdidas, la detección de componentes específicas de una imagen (como los bordes) o el rechazo de ruido, resulta más importante seleccionar una wavelet que sea similar a las componentes de interés. La transformada wavelet ofrece la posibilidad teórica de representar en modo com-pacto y detectar eficientemente las componentes de una imagen que responden a la forma de la wavelet elegida. Una componente se representa de una manera compacta si se alinea con una de las posiciones diádicas de la wavelet que le es más similar. Por esta razón las transformadas wavelet no ortogonales, se comportan usualmente mejor en los problemas de detección.

8 Aplicaciones.

8.1 Compresión de imágenes. La transformada discreta wavelet descompone una imagen en un conjunto de imágenes ortonormalesmás pequeñas. Adicionalmente mientras el histograma de los niveles de gris de la imagen original puede tener cualquier forma, el correspondiente a las transformadas wavelet es generalmente monomodal o simétrico. Este resultado simplifica el análisis esta-dístico de las propiedades de una imagen. A menudo resulta posible cuantificar grosera-mente o eliminar los coeficientes de bajo valor. Mallat y sus colaboradores han estudiado la posibilidad de reconstruir una imagen a partir de las posiciones de los cruces por cero de la transformada wavelet. Aunque no resulte posible realizar una reconstrucción perfecta, algunas imágenes se prestan a este tipo de codificación compacta.

8.2 Mejora de imágenes. La DWT descompone una imagen en componentes de diferentes escalas, posición y orien-tación. Al igual que en el filtrado lineal en el dominio de frecuencia, es posible modificar la amplitud de algunos coeficientes de la transformada wavelet antes de efectuar la trans-formación inversa. Esto permite acentuar alguna de las componentes de mayor interés a expensas de otras.

8.3 Fusión de imágenes. En la fusión de imágenes se combinan dos o más imágenes de un mismo objeto para formar una imagen única que puede ser más fácilmente interpretable que las originales. Esta técni-ca encuentra aplicación en la interpretación multiespectral de una imagen, como en las imá-genes médicas donde la misma parte del cuerpo es representada con diferentes modalida-des.

♦


Apéndice

A.1 Funciones base.

Las bases de un espacio vectorial V, son un conjunto de vectores linealmente independien-tes tales que, cualquier vector v en V puede ser escrito como una combinación lineal de estos vectores base. Es posible que haya más de una base para un espacio vectorial, pero sin embargo todas poseen el mismo número de vectores independientes el cual indica la dimensión del espacio vectorial. Por lo tanto: k k

k

c=∑v b (88)

Este concepto, expresado en términos de vectores, puede ser generalizado a funciones, sus-tituyendo el vector base bk con la función base φk(x) y el vector v con la función u(x). ( ) ( )

k k

k

u x a xφ=∑ (89)

Las funciones exponenciales (seno y coseno) son las funciones base para la transformada de Fourier.

A.2 Producto interno.

Sean u(x) y g(x) dos funciones en L2[a,b], donde L2[a,b] denota el conjunto de funciones cuyo módulo al cuadrado es integrable en el intervalo [a,b]. El producto interno está defi-nido por:

( ), ( ) ( ) ( )b

au x g x u x g x dx

∗= ∫ (90)

donde el asterisco denota la operación de conjugación.

A.3 Ortogonalidad.

Se dice que dos vectores v y w son ortogonales si su producto interno es nulo: , 0

n n

n

v w∗= =∑v w (91)

donde vn y wn son las componentes de v y w según los ejes. De igual manera, dos funcio-nes se dicen ortogonales si su producto interno es nulo:

( ), ( ) ( ) ( ) 0b

au x g x u x g x dx

∗= =∫ (92)


A.4 Ortonormalidad.

Un conjunto de vectores es denominado ortonormal si los vectores son ortogonales de a pares y poseen longitud unitaria. ,,m n m nv v δ= (93)

donde δm,n es la delta de Kronecker:

,

1 si

0 en caso contrario.m n

m nδ

==

(94)

De igual manera un conjunto de funciones es llamado ortonormal si cumple con:

2

( ) ( ) 0 (para ) y además ( ) 1b b

k l ka a

x x dx k l x dxφ φ φ∗ = ≠ =∫ ∫ (95)

Las bases ortogonales permiten el cálculo de los coeficientes ak de una manera simple:

( ), ( ) ( ) ( ) ; ( ) ( ) ( ), ( ) ( )b

k k k k k k k ka

k k

a u x x u x x dx u x a x a u x x xφ φ φ φ φ∗= = = =∑ ∑∫ (96)

A.5 Biortogonalidad.

La expresión “biortogonal” se refiere a dos bases diferentes que son ortogonales entre sí, pero que no forman un conjunto ortogonal.

♦


Referencias y enlaces

Referencias bibliográficas

� Kenneth R. Castleman, Digital Image Processing, Prentice Hall, Upper Saddle River, New-Jersey (07458), 1996, ISBN 0-13-211467-4.

� Paul S. Addison, The Illustrated Wavelet Transform Handbook, Institute of Physics, 2002, ISBN 0750306920

� Ingrid Daubechies, Ten Lectures on Wavelets, Society for Industrial and Applied Mathematics, 1992, ISBN 0898712742

� P. P. Vaidyanathan, Multirate Systems and Filter Banks, Prentice Hall, 1993, ISBN 0136057187

� Mladen Victor Wickerhauser, Adapted Wavelet Analysis From Theory to Software, A K Peters Ltd, 1994, ISBN 1568810415

� Gerald Kaiser, A Friendly Guide to Wavelets, Birkhauser, 1994, ISBN 0817637117

� Aboufadel E. & Schlicker S., Discovering Wavelets, Wiley International Edition, 1999, ISBN0-417-33193-7

� Elizabeth Vera de Payer, Análisis Conjunto Tiempo-Frecuencia, Universitas, 2005, ISBN 987-572-041-0.

� Jonas Gomes and Luiz Velho, From Fourier Analysis to Wavelets, SIGGRAPH'99 Course Notes #5, SIGGRAPH-ACM publication, Los Angeles, California, USA, august 1999. Los Dres. Gomes y Velho pertenecen al IMPA - Instituto de Matema-tica Pura e Aplicada, Estrada Dona Castorina, 110; 22460-320, Rio de Janeiro, RJ, Brazil. El Curso puede ser obtenido en formato pdf a través del siguiente enlace: http://www.irisa.fr/prive/kadi/Mustafa/Wavelet_Fourier_Transfom.PDF

Enlaces de Internet

� Wikipedia (http://en.wikipedia.org/wiki/Wavelet) � Wavelet Digest (http://www.wavelet.org/) � Wavelets made Simple (http://www.ee.ryerson.ca/~jsantarc/html/theory.html) � Amaras Wavelet Page (http://www.amara.com/current/wavelet.html) � Wavelet Posting Board (http://www.ondelette.com/indexen.html) � The Wavelet Tutorial by Polikar

(http://www.users.rowan.edu/~polikar/WAVELETS/Wtutorial.html) � OpenSource Wavelet C Code (http://www.herbert.the-little-red-haired-

girl.org/en/software/wavelet/) � An Introduction to Wavelets (http://www.amara.com/IEEEwave/IEEEwavelet.html) � Filter Coefficients of Popular Wavelets

(http://www.mathworks.com/matlabcentral/files/5502/Filter%20Coefficients%20to%20Popular%20Wavelets.pdf)


� Wavelet-based time-frequency analysis in Mathematica (http://www.ffconsultancy.com/products/CWT/HTML/tutorial.html) and example analyses from physics, biology, engineering, bioinformatics and finance.

� Wavelets for Kids (PDF file) (http://www.isye.gatech.edu/~brani/wp/kidsA.pdf) (introductory)

� Link collection about wavelets (http://www.cosy.sbg.ac.at/~uhl/wav.html) � List of Wavelet resources, libraries and source codes (http://www.compression-

links.info/Wavelets) � Wavelet forums (French) (http://www.ondelette.com/index.html) Wavelet forum

(English) (http://www.ondelette.com/indexen.html) � "Biorthogonal sinc wavelets"

(http://www.users.atw.hu/uranium/image_codec_doc/biosinc_20051204.pdf) � Gerald Kaiser's acoustic and electromagnetic wavelets

(http://www.wavelets.com/center.php) � A really friendly guide to wavelets

(http://perso.wanadoo.fr/polyvalens/clements/wavelets/wavelets.html).

Contacto:

� Se ruega dirigir todas las observaciones, sugerencias, correcciones y modificaciones que se estimen necesarias a [email protected] donde recibiremos cordial-mente toda la realimentación que se pudiere generar.

♦

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