caos y wavelets

Analisis tiempo-frecuencia de secuencias caoticas mediante

wavelets

David Arroyo Guardeno

Indice

Indice 1

1. Introduccion 2

2. Caracterizacion tiempo-frecuencia de secuencias caoticas 22.1. Wavelet analıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2. Resolucion tiempo-frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.3. Escalograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.4. Wavelets por modulacion de ventanas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.5. Crestas wavelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.6. Deteccion de comportamiento caotico en una secuencia . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3. Entropıa 63.1. Consideraciones previas sobre la transformada wavelet . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.1.1. Analisis multiresolucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.2. Entropıa de Shannon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.3. Entropıa de Tsallis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.4. Energıa wavelet relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.5. Entropıa wavelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.6. Entropıa multiresolucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.6.1. Aplicaciones de la entropıa multiresolucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.7. Entropıa multiresolucion continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.7.1. Aplicaciones de la entropıa multiresolucion continua . . . . . . . . . . . . . 17

4. Conclusiones 19

Referencias 20

1

1. Introduccion

El analisis de los sistemas caoticos se ha efectuado tradicionalmente mediante la determinacionde invariantes como el exponente de Lyapunov, el exponente de Hurst, la entropıa... El objeto deeste artıculo es presentar las wavelets como una herramienta valida para la caracterizacion de aqueltipo de sistemas. De forma mas concreta, se tratara de presentar un mecanismo mediante el cualconcluir si una cierta senal manifiesta o no un comportamiento caotico. Tal objetivo sera cubierto enla primera parte de trabajo mediante el calculo y analisis de crestas de wavelets. En la segunda partedel documento se recogen diversas propuestas ([1],[6]-[11]) que explotan la transformada waveletcomo un vehıculo para potenciar el analisis de entropıa de un cierto sistema. La exposicion queaquı aparece referida constituye un primer acercamiento a las implicaciones de dichas propuestas.

2. Caracterizacion tiempo-frecuencia de secuencias caoticas

En este apartado se van a mostrar los resultados obtenidos al trabajar con lo expuesto en [5].Allı se presenta el analisis de crestas de wavelets como herramienta para detectar el comportamientocaotico de una cierta secuencia. Lo primero sera mostrar el fundamento teorico de las crestas de unatransformada wavelet. Por ello, se comienza la seccion definiendo el concepto de wavelet analıtica,pues sobre este tipo de transformada se construye la herramienta objeto del estudio que nos ocupa.El fin perseguido al explotar la transformada wavelet analıtica no es otro que el de conseguir unaeficiente localizacion de tonos, de frecuencias. Esa localizacion lleva a la concrecion de las llamadascrestas de una transformada, que no son mas que maximos locales del modulo de la transformadawavelet. Se justificara por que esos maximos locales sirven como elemento localizador de frecuencias.

2.1. Wavelet analıtica

Definicion 2.1. Se dice que un funcion fa ∈ L2(R) es analıtica si su transformada de Fourier esnula para frecuencias negativas

Fa(ω) = 0 ∀ω < 0

Corolario 2.2. Una funcion analıtica es necesariamente compleja y esta determinada enteramentepor su parte real. En efecto, sea f(t) = fa(t) + f∗a (t) la parte real de la funcion analıtica fa(t). Latransformada de Fourier de f(t) vendra dada por

F (ω) =Fa(ω) + F ∗a (−ω)

2,

lo que permite expresar

Fa(ω) =

{2F (ω) si ω ≥ 00 si ω < 0

(1)

En definitiva, la funcion analıtica fa(t) asociada a una cierta funcion f(t) real se determinara cal-culando la inversa de la transformada de Fourier referida por (1)

2.2. Resolucion tiempo-frecuencia

La transformada wavelet de una cierta funcion f(t) se determinada a partir de una waveletcontinua y segun la expresion:

Wf(u, s) = 〈f, ψu,s〉 =∫ +∞

−∞f(t)

1√sψ∗

(t− u

s

)dt (2)

donde ψu,s(t) = ψ( t−us ).

Suponiendo que ψ(t) esta centrada en 0, si σ2t =

∫ +∞−∞ t2 |ψ(t)| dt, se tiene que la dispersion

temporal de ψu,s es ∫ +∞

−∞(t− u)2|ψu,s(t)|2dt = s2σ2

t (3)

Dado que ψ(t) es una funcion analıtica, la frecuencia central de su espectro se puede calcularcomo

η =12π

∫ +∞

0

ω |Ψ(ω)|2 dω (4)

2

La transformada de Fourier de ψu,s es

Ψu,s(ω) =√

sΨ(sω)e−jωu (5)

y, en consecuencia, su frecuencia central sera η/s. Por otro lado, se tiene

σ2ω =

12π

∫ +∞

0

(ω − η)2 |Ψu,s(ω)|2 dω, (6)

de modo que la dispersion de potencia en el caso de ψu,s es

12π

∫ +∞

0

(ω − η

s

)2

|Ψu,s(ω)|2 dω =σ2

ω

s2(7)

En definitiva, la transformada wavelet analıtica corresponde a una caja de Heisenberg centradaen (u, η/s), con amplitud en el eje del tiempo s2σ2

t , mientras que la amplitud en el eje de lasfrecuencias σω/s. De este modo, el area de la caja sera constante e igual a σtσω, aunque la resolucionen tiempo y frecuencia depende del valor de escala s:

A frecuencias mayores, menor valor de escala, mayor resolucion temporal

A frecuencias menores, mayor valor de escala, mayor resolucion en frecuencia

2.3. Escalograma

Definicion 2.3. Se define el escalograma como la densidad de energıa encerrada en una caja deHeisenberg ligada a una transformada wavelet analıtica. Matematicamente vendra dada como

PW f(u, ξ) = |Wf(u, s)|2 =∣∣∣∣Wf

(u,

η

ξ

)∣∣∣∣2

(8)

2.4. Wavelets por modulacion de ventanas

Las wavelets con las que se trabajara, se van a obtener como resultado de la modulacion deuna ventana real y simetrica g

ψ(t) = g(t)eiηt (9)

Al ser g(t) real, su espectro es simetrico y tiene valor maximo en ω = 0. Por tanto, Ψ(ω) alcanzasu valor maximo en ω = η y estara centrado en ω = η. Para que la funcion obtenida mediante 3.12sea analıtica, es preciso que G(ω) = 0 ∀ |ω| > η

En adelante se considerara que g(t) es una ventana gaussiana definida

g(t) =1

(σ2π)1/4e−t2/(2σ2) (10)

La transformada de Fourier de la ventana es

G(ω) = (4πσ2)1/4e−σ2ω2/2 (11)

2.5. Crestas wavelet

Sea g(t) una ventana simetrica que es distinta de cero solo en [−1/2, 1/2]. Sea ∆ω el ancho debanda de G(ω). Si se define ψ(t) = g(t)e(iηt), y ademas se cumple que η > ∆ω entonces

∀ω < 0, Ψ(ω) = G(ω − η) << 1.

ψ no es estrictamente analıtica, pues su transformada de Fourier no es estrictamente nula parafrecuencias negativas.

ψu,s(t) =1√(s)

ψ(t− u

s) = gu,s,ξ(t)e−iξu, (12)

donde ξ = η/s y

gs,u,ξ(t) =√

(s)g(t− u

s)eiξt. (13)

La transformada de wavelet queda

Wf(u, s) = 〈f, ψu,s〉 = 〈f, gs,u,ξ〉 eiξu (14)

3

Si se tienef(t) = a(t)cosφ(t), (15)

en [3] se demuestra que

〈f, gs,u,ξ〉 =

√(s)2

a(u)ei[φ(u)−ξu] (G(s[ξ − φ′(u)]) + ε(u, ξ)) , (16)

donde ε(u, ξ) es un termino correctivo que puede despreciarse si a(t) y φ′(t) presentan pocasvariaciones en el intervalo de definicion de φu,s y si se cumple φ′(u) ≥ ∆ω/s.

El escalograma normalizado de la senal a partir de la wavelet analıtica definida es

ξ

ηPW f(u, ξ) =

|Wf(u, s)|2s

para ξ = η/s, (17)

y dado que (14) y (16) llevan a Wf(u, s) =√

s2 a(u)eiφ(u) (G(s[ξ − φ′(u)]) + ε(u, ξ)), se tiene que

ξ

ηPW f(u, ξ) =

|Wf(u, s)|2s

=14a2(u)

∣∣∣∣G(

η

[1− φ′(u)

ξ

])+ ε(u, ξ)

∣∣∣∣2

para ξ = η/s. (18)

Dado que |G(ω)| es maximo para ω = 0 , si se desprecia el termino correctivo ε(u, ξ), el escalogramaes maximo para

η

s(u)= ξ(u) = φ′(u) (19)

Definicion 2.4. Se denominan crestas wavelet a los puntos (u, ξ(u)) en los que el escalogramapresenta maximos locales.

2.6. Deteccion de comportamiento caotico en una secuencia

El calculo de crestas wavelet va a ser una herramienta de gran utilidad a la hora de identificaruna determinada secuencia como caotica. De los resultados expuestos hasta ahora, se tiene que siuna cierta secuencia es estacionaria y periodica, la funcion de maximos locales (las crestas de latransformada wavelet analıtica) es constante. Si esa secuencia no es estrictamente periodica, sinoque lo es en determinados intervalos de tiempo, el analisis de crestas de la transformada waveletpermitira localizar en tiempo y en frecuencia tal comportamiento. Supongamos que la secuencia estal que los valores de la misma estan contenidos en un determinado intervalo. Supongamos que dichasecuencia no es periodica, y que la probabilidad de determinar a partir de un valor dado el siguientees aproximadamente 1/2. Supongamos, ademas, que los valores que la secuencia toma a lo largo deltiempo recorren completamente el intervalo de definicion. Bajo estas hipotesis, la determinacionde crestas de la transformada wavelet analıtica dara lugar a una funcion con un gran numero dediscontinuidades a lo largo del tiempo. Es decir, la secuencia presenta comportamiento periodicoen intervalos de tiempo de muy corta duracion y, ademas, la frecuencia, el perıodo asociado a cadauno de esos intervalos es distinto. Pues bien, esto es lo que ocurre con las secuencias caoticas. Larepresentacion de los maximos locales de la transformada wavelet en el caso de estos sistemas esuna funcion totalmente discontinua, definida a puntos, ya que las secuencias generadas a partir detal tipo de sistemas “se comportan como” una secuencia de ruido blanco y, por tanto, presentanun espectro frecuencial cuasiplano.

A modo de ejemplo, vamos a realizar una serie de simulaciones con el mapa logistico:

xn+1 = λxn(1− xn) ∀n ≥ 0, (20)

donde 0 ≤ λ ≤ 4 con el objeto de que la secuencia este acotada (0 ≤ xn ≤ 1 ∀n ≥ 0). Sobre estesistema se van a calcular las crestas de la transformada wavelet analıtica para distintos valores delparametro dinamico λ, y empleando la funcion wavelet de tipo Morlet:

ψ(t) =√

πFbe−i2πFcte−t2/Fb . (21)

En las figuras 1 y 3 se recogen los resultados de las simulaciones efectuadas. En las figuras 2 y 4aparecen representados los histogramas del mapa logıstico para el conjunto de valores de λ que sehan estudiado. Se observa que para aquellos histogramas con un numero discreto de elementos, lafuncion de crestas es constante. Es decir, en los casos en los que el parametro dinamico da lugar asecuencias con una tasa alta de repeticion de valores, el calculo de crestas de la transformada waveletindica la existencia de un comportamiento periodico. Por el contrario, si el histograma presenta un

4

conjunto no discreto de valores, esto es, si el histograma presenta dispersion de valores, la funcionde crestas wavelet es totalmente discontinua. Es mas, no se obtiene sino un conjunto de puntosque evidencian el caracter psuedoaleatorio de la secuencia analizada. Ademas, cuanto mas caoticaes una secuencia, mas dispersion presentan la funcion de maximos locales del valor absoluto de latransformada wavelet.

ξ / 2

π

λ=2.5

Parámetro temporal0 1000 2000

0.0156

0.125

0.2344

0.3438

0.4531

0.5625

0.6719

0.7813

0.8906

1λ=3.5


0.0156

0.125

0.2344

0.3438

0.4531

0.5625

0.6719

0.7813

0.8906

1λ=3.65


0.0156

0.125

0.2344

0.3438

0.4531

0.5625

0.6719

0.7813

0.8906

1

ξ / 2

π

λ=3.82


0.0156

0.125

0.2344

0.3438

0.4531

0.5625

0.6719

0.7813

0.8906

1λ=3.829


0.0156

0.125

0.2344

0.3438

0.4531

0.5625

0.6719

0.7813

0.8906

1λ=3.92


0.0156

0.125

0.2344

0.3438

0.4531

0.5625

0.6719

0.7813

0.8906

1

Figura 1: Calculo de crestas mediante wavelet tipo Morlet: Fb = 3, Fc = 2

0.5 0.6 0.70

500

1000

1500

2000

2500λ=2.5

0 0.5 10

100

200

300

400

500

600λ=3.5

0 0.5 10

5

10

15

20

25λ=3.65

0 0.5 10

5

10

15

20

25λ=3.82

0 0.5 10

100

200

300

400

500

600

700λ=3.829

0 0.5 10

5

10

15

20

25

30λ=3.92

Figura 2: Histogramas del mapa logıstico para distintos valores del parametro dinamico

5

ξ / 2

π

λ=3.828


0.0156

0.125

0.2344

0.3438

0.4531

0.5625

0.6719

0.7813

0.8906

1λ=3.8282


0.0156

0.125

0.2344

0.3438

0.4531

0.5625

0.6719

0.7813

0.8906

1λ=3.8284


0.0156

0.125

0.2344

0.3438

0.4531

0.5625

0.6719

0.7813

0.8906

1

ξ / 2

π

λ=3.8286


0.0156

0.125

0.2344

0.3438

0.4531

0.5625

0.6719

0.7813

0.8906

1λ=3.8288


0.0156

0.125

0.2344

0.3438

0.4531

0.5625

0.6719

0.7813

0.8906

1λ=3.829


0.0156

0.125

0.2344

0.3438

0.4531

0.5625

0.6719

0.7813

0.8906

1

Figura 3: Crestas con wavelet Morlet Fb = 3, Fc = 2

0 0.5 10

10

20

30

40

50

60λ=3.828

0 0.5 10

20

40

60

80

100

120λ=3.8282

0 0.5 10

50

100

150

200

250λ=3.82824

0 0.5 10

100

200

300

400

500

600

700λ=3.82826

0 0.5 10

100

200

300

400

500

600

700λ=3.82828

0 0.5 10

100

200

300

400

500

600

700λ=3.8289

Figura 4: Histogramas del mapa logıstico para diversos valores del parametro dinamico

3. Entropıa

Dado que la entropıa es una medida del grado de desorden en el seno de un determinado sistema,se nos muestra como una herramienta de gran utilidad en el estudio de la dinamica de sistemas engeneral y, por supuesto, de los sistemas caoticos en especial. En esta seccion se presentan diversasvıas a traves de las cuales efectuar la medicion de ese grado de incertidumbre. Ademas se incorporael uso de los wavelets como un alternativa a los sistemas clasicos de calculo de la entropıa. Mediantelos wavelets se puede realizar un analisis de la entropıa a distintos niveles de resolucion, esto es, esviable analizar la evolucion del “grado de desorden” vinculado a una componente frecuencial a lolargo del tiempo.

Se va a trabajar sobre dos caracterizaciones de la entropıa. La primera es la definida en elsentido clasico de Shannon. La segunda fue propuesta por Tsallis. El examen multiresolucion dela entropıa se llevara a cabo mediante esas medidas de la entropıa y el aprovechamiento de lasvirtudes de la transformada wavelet.

6

3.1. Consideraciones previas sobre la transformada wavelet

En el apartado anterior se ha trabajo exclusivamente con la transformada wavelet continua(CWT). Ahora, ademas, vamos a llevar cabo una discretizacion del espacio de escalas y de tiempo.Para ello, en (2) hacemos s = 2−j y u = k · 2−j con j = 1, 2, . . ., con lo que se tendra una trans-formada wavelet diadica (DWT). La DWT emplea un conjunto de ventanas de tamano variable yproporcional a 2−j , con el objeto de extraer informacion respecto a las estructuras de datos “em-plazadas” en las distintas escalas. Imponiendo una serie de condiciones a ψ(t), esta transformadapuede ser invertida y es posible reconstruir la senal original.

Hay una clase de DWT que puede ser implementada utilizando algoritmos muy eficientes [2].Estos tipos de transformada wavelet estan asociados con estructuras matematicas llamada apro-ximaciones multiresolucion de L2(R)(MRA) [2],[3].

3.1.1. Analisis multiresolucion

Definicion 3.1. Una secuencia {Vj}j∈Z de subespacios cerrados de L2(R), es una aproximacionmultiresolucion de f(t) si se satisfacen las siguientes propiedades:

∀(j, k) ∈ Z2, f(t) ∈ Vj ⇔ f(t− 2jk) ∈ Vj , (22)∀j ∈ Z,Vj+1 ⊂ Vj , (23)

∀j ∈ Z, f(t) ∈ V ⇔ f

(t

2

)∈ Vj+1, (24)

lımj→+∞

Vj =+∞⋂

j=−∞Vj = {0}. (25)

lımj→−∞

Vj =+∞⋃

j=−∞Vj es denso en L2(R) (26)

La idea es obtener una secuencia de aproximaciones sucesivas de la senal a traves de proyec-ciones reiteradas de la misma sobre subespacios Vj de L2(R), los cuales son generados mediantetranslaciones de una funcion de escalado φ(t):

Vj =

{∑

k∈Zcj(k)φj,k(t)

}, (27)

donde φj,k(t) = 2j/2φ(2jt− k) son dilataciones (o reducciones) y translaciones de la funcion φ(t).Ademas, para un valor dado de j, el conjunto {φj,k(t), k ∈ Z} debe ser una base incondicional deVj .

En definitiva, la aproximacion multiresolucion puede ser interpretada como una “escalera” deespacios incrustados unos en otros. En base a (22)-(26), la funcion de escalado φ(t) no puede serescogida de cualquier modo. Dado que V1 ⊂ V0, 21/2φ(t/2) ∈ V1 y φ(t) ∈ V0, y teniendo en cuentaque {φ(t− n)}n∈Z es una base ortonormal de V0, podemos expresar

1√2φ

(t

2

)=

+∞∑n=−∞

h[n]φ(t− n), (28)

con

h[n] =⟨

1√2φ

(t

2

), φ(t− n)

⟩. (29)

Aplicando la transformada de Fourier a ambos lados de la ecuacion (28), se tiene

Φ(2ω) =1√2H(ω)Φ(ω), (30)

ecuacion que, para p ≥ 0, conduce a

Φ(2−p+1ω) =1√2H(2−pω)Φ(2−pω) (31)

Por sustitucion, se tiene

Φ(ω) =

(P∏

p=1

H(2−pω)√2

)Φ(2−P ω) (32)

7

Si Φ(ω) es continua en ω = 0, entonces lımP→+∞

Φ(2−P ω) = Φ(0), con lo que

Φ(ω) =+∞∏p=1

H(2−pω)√2

Φ(0). (33)

El siguiente teorema [3] da las condiciones necesarias y suficientes que debe satisfacer H(ω) paraque (33) sea la transformada de Fourier de la funcion de escalado.

Teorema 3.2. Sea φ ∈ L2(R) una funcion de escalado integrable. La transformada de Fourier deh[n] =

⟨2−1/2φ(t(2), φ(t− n)

⟩satisface

∀ω ∈ R, |H(ω)|2 + |H(ω + π)|2 = 2, (34)

yH(0) =

√2. (35)

Por otro lado, si H(ω) es 2π periodica y continuamente diferenciable en un entorno de ω = 0, sesatisface (34) y (35)y si

ınfω∈[−π/2,π/2]

|H(ω)| > 0 (36)

entonces

Φ(ω) =+∞∏p=1

H(2−pω)√2

(37)

es la transformada de Fourier de una funcion de escalado φ ∈ L2(R).

Definicion 3.3. Los filtros discretos que satisfacen (34) son denominados filtros espejo conjugados.

Las aproximaciones de f(t) en las escalas 2j y 2j−1 son, respectivamente,su proyeccion ortogonalsobre Vj y Vj−1. Se nota Wj el complemento ortogonal de Vj en Vj−1:

Vj−1 = Vj ⊕Wj . (38)

La proyeccion ortogonal de f sobre Vj−1 puede ser expresada como la suma de las proyeccionesortogonales sobre Vj y Wj :

PVj−1f = PVj f + PWj f (39)

Dado que la proyeccion sobre Vj representa la aproximacion en la escala 2j , la proyeccion sobre elsubespacio complementario constituyen los detalles de la senal f(t) presentes en la escala 2j peroque desaparecen en 2j+1. El siguiente teorema [3] prueba que es factible construir una base de Wj

mediante escalado y translacion de una funcion wavelet ψ.

Teorema 3.4. Sea φ una funcion de escalado y h el filtro espejo conjugado asociado. Sea ψ lafuncion cuya transformada de Fourier es

Ψ(ω) =1√2G

(ω

2

)Φ

(ω√2

), (40)

conG(ω) = eiωH∗(ω + π). (41)

Sea

ψj,k(t) =1√2j

ψ

(t− 2jk

2j

). (42)

Para cualquier escala 2j, {ψj,k}k∈Z es una base ortonormal deWj. Para todas las escalas, {ψj,k}(j,k)∈Z2

es una base ortonormal de L2(R).

La demostracion del teorema [3] muestra que G(ω) es la transformada de Fourier de

g[n] =⟨

1√2ψ

(t

2

), φ(t− k)

⟩, (43)

que son los coeficientes de la descomposicion de

1√2ψ

(t

2

)=

+∞∑

k=−∞g[k]φ(t− k). (44)

8

La proyeccion ortogonal de una senal f en un espacio de “detalles” Wj es obtenida, pues, comouna expansion parcial en su base wavelet

PWj f =+∞∑

k=−∞〈f, ψj,k〉ψj,k. (45)

La expansion de una senal en base wavelet ortogonal puede ser, por tanto, interpretada como unaagregacion de detalles a todas las escalas 2j

f =+∞∑

j=−∞PWj

f =+∞∑

j=−∞

+∞∑

k=−∞〈f, ψj,k〉ψj,k. (46)

El teorema 3.4 aporta la vıa a traves de la cual disenar un base wavelet ortogonal. Ahora bien,¿toda base wavelet ortogonal esta asociada a una aproximacion multiresolucion y a un filtro espejoconjugado? Si imponemos que ψ tenga soporte compacto, en [12] se demuestra que ψ necesaria-mente corresponde a una aproximacion multiresolucion. En este trabajo el analisis multiresolucionde senales se llevara a cabo mediante funciones wavelet de este tipo. De modo mas concreto, seutilizaran funciones wavelet Battle-Lemarie de orden 3. Esta clase de funciones efectua una aproxi-macion mutiresolucion mediante splines y es bastante adecuada para el analisis de senales de caos([6],[7]).

3.2. Entropıa de Shannon

Definicion 3.5. Sea pj la probabilidad de que un determinado sistema se encuentre en un ciertoestado j. La entropıa en el sentido de Shannon vendra dada por

SE = −M∑

j=1

pj log(pj), (47)

donde M representa el numero total de estados en los que se puede encontrar el sistema en cuestion.

3.3. Entropıa de Tsallis

Definicion 3.6. Sea pj la probabilidad de que un determinado sistema se encuentre en un ciertoestado j. La entropıa en el sentido de Tsallis vendra dada por

TEq = (q − 1)−1M∑

j=1

[pj − pq

j

]. (48)

3.4. Energıa wavelet relativa

Dado que la familia {ψj,k(t)} constituye una base ortonormal en L2(R), el concepto de ener-gıa estara ligado con las nociones derivadas de la teorıa de Fourier. Dada una senal s(t), semuestrea con un tiempo de muestreo Ts, obteniendose un conjunto S de M elementos (S ={s(0), s(Ts), . . . , s((M−1)·Ts)}). Si se obtienen los coeficientes wavelet de S como Cj(k) = 〈S, ψj,k〉,la energıa asociada a cada nivel de resolucion j = 1, 2, . . . , N , con N = log2(M), sera la energıapromedio de la senal de detalle:

Ej =1

Nj

∑

k

|Cj(k)|2, (49)

siendo Nj el numero de coeficientes en la escala j. La energıa total se obtendra como

Etot = ||S||2 =∑

j<0

∑

k

|Cj(k)|2 =∑

j<0

Ej . (50)

Definicion 3.7. La energıa wavelet relativa (RWE) es el cociente entre la energıa asociada a cadaescala de resolucion y la energıa total:

pj =Ej

Etot(51)

para j = 1, 2, . . . , N .

Es decir, la energıa wavelet relativa representa la funcion de distribucion probabilıstica de laenergıa. Se cumple, en consecuencia,

∑j pj = 1, y la distribucion {pj} puede ser interpretada como

una funcion de densidad tiempo-escala.

9

3.5. Entropıa wavelet

La entropıa segun Shannon proporciona un criterio valido para analizar y comparar distribu-ciones de probabilidad, ya que proporciona una medida de la informacion de cualquier distribucion.

Definicion 3.8. A partir de la entropıa segun el criterio de Shannon y (51), se define la entropıawavelet (WE) como

SWT ≡ SWT (p) = −∑

j<0

pj · ln[pj ] (52)

WE es una medida del grado de orden/desorden de una senal, por lo que permitira inferirinformacion sobre la dinamica del proceso subyacente. Ası, un proceso determinista, esto es, conun alto grado de orden, puede ser interpretado como una senal periodica pura, de un solo tono.La representacion wavelet de tal tipo de senal se caracterizara por la existencia de maximos sobre-salientes en una determinada escala o, lo que es lo mismo, todas las energıas wavelet relativas serancasi cero excepto para el nivel de resolucion wavelet que incluye las componentes frecuenciales sig-nificativas de la senal. Para este nivel especial la energıa wavelet relativa estara proxima a 1 y, enconsecuencia, WE estara proxima a cero. Una senal generada por un proceso totalmente aleatoriopuede ser considerada como muestra de un comportamiento totalmente desordenado. Este tipode senal presentara valores significativos para todas las escalas de su representacion wavelet. Esmas, es esperable que la contribucion energetica de los distintos niveles sea del mismo orden. Deeste modo, la energıa wavelet relativa sera aproximadamente igual para todas las escalas, y WEtomara valores maximos.

Las virtudes de las figuras que acaban de ser citadas, pueden verificarse mediante la observacionde las graficas recogidas en la figura 5. La primera de estas graficas corresponde a una senalpuramente periodica. La senal de partida es muestreada a una frecuencia de muestreo de 250Hz,de modo que sobre la secuencia resultante se calculan tanto la RWE como la WE. Los resultadosobtenidos corresponden a la grafica (a) de la figura 5. La grafica en cuestion evidencia que lascomponentes de alta frecuencia (valores bajos de escala, esto es, valores pequenos de j) contienenla mayor parte de la informacion asociada a la senal en cuestion. En efecto, la senal analizadapresenta un unico tono frecuencia en 75Hz y, dado que la frecuencia de muestreo es de 250Hz, lamayor parte de la energıa se localizara en j = 1 y j = 2, esto es, en los valores de escala 2 y 4, puesla escala asociada al nivel j engloba las frecuencias 2−jFs ≤ |f | ≤ 2−(j−1)Fs. De forma mas precisa,la componente principal del espectro se emplazarıa en la escala de nivel j = 2, mientras la escala denivel j = 1 recoge los valores de frecuencia que son multiplos de la principal. Dicho de otro modo,el examen efectuado identifica el tono de 75Hz, pero tambien identifica tonos en 150Hz y 225Hz.Las restantes graficas de la figura 5 constituyen un analisis del mapa logıstico. Vemos que, tal ycomo cabrıa esperar, a medida que aumenta la complejidad del sistema, crece el valor de entropıawavelet (WE). Asimismo, se comprueba que a medida que el sistema muestra mayor caractercaotico, el diagrama de energıa wavelet relativa (RWE) presenta una mayor dispersion, esto es,todas las escalas tienen asociada energıa. En definitiva, conforme aumenta la complejidad del mapalogıstico, tambien crece su caracter aleatorio. Por tanto, las figuras que se han introducido en esteapartado, esto es, la WE y la RWE se constituyen en un metodo valido para medir la complejidad deun sistema dinamico, ademas de mostrarse con una buena alternativa a otras variantes empleadospara este menester, como son el exponente de Lyapunov, el exponente de Hurst o las dimensionesde correlacion, pues reduce considerablemente la carga computacional y es un metodo libre deparametros ([1],[6],[13]).

10

1 2 3 4 5 6 7 8 910110

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

coseno(2⋅ π ⋅ 75 ⋅ t) WE=1.760655

Niveles de resolución (a)

En

erg

ía w

ave

let re

lativ

a

1 2 3 4 5 6 7 8 91011120

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

Mapa Logistico λ=3.92 WE=2.066894

Niveles de resolución (b)

En

erg

ía w

ave

let re

lativ

a1 2 3 4 5 6 7 8 9101112

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25


En

erg

ía w

ave

let re

lativ

a

Niveles de resolución (c)

1 2 3 4 5 6 7 8 91011120

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7


En

erg

ía w

ave

let re

lativ

a

Niveles de resolución (d)

1 2 3 4 5 6 7 8 91011120

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5


En

erg

ía w

ave

let re

lativ

a

Niveles de resolución (e)

1 2 3 4 5 6 7 8 91011120

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7


En

erg

ía w

ave

let re

lativ

a

Niveles de resolución (f)

Figura 5: Energıa wavelet relativa para un tono puro y el mapa logıstico

3.6. Entropıa multiresolucion

En [7] se presenta una nuevo metodo para el calculo de la entropıa explotando las cualidadesde la transformada wavelet. De nuevo se hara uso de una transformada wavelet discreta (DWT) enbase a funciones wavelet madre de tipo spline cubico. Aprovechando las buenas caracterısticas delas wavelets spline, en cuanto a localizacion en el plano tiempo-frecuencia (tienen soporte compactoy numero suficientemente elevado de momentos nulos), se llevara a cabo una medicion del gradode desorden de los coeficientes determinados (Cj(k) = 〈S, ψj,k〉). Supondremos que la longitud dela secuencia sobre la que se calcula la transformada DWT es una potencia de dos, es decir, si Mes la longitud de la secuencia, se cumple que M = 2N , donde N sera el numero de niveles que seanalizaran en la transformada DWT. De este modo, debido al efecto de decimacion, el numero decoeficientes wavelet en el nivel j (Kj) es aproximadamente 2N−j . Otro concepto importante eneste analisis de entropıa es el de ventana deslizante.

Definicion 3.9. Sea w ∈ N (entero par) la anchura de la ventana, y ∆ ∈ N el parametro dedeslizamiento. La ventana deslizamiento queda definida como

W j(m; w, ∆) = {Cj(k), k = 1 + m∆, 2 + m∆, . . . , w + m∆}, m = 0, 1, . . . ,mjmax (53)

donde ∆ y w son seleccionados de modo que w ≤ Kj y (Kj − w)/∆ ∈ N. El centro de la ventanaesta ubicado en m = w/2 + m∆.

Una vez se tiene la ventana deslizante para cada nivel, se divide el espacio de valores de loscoeficientes contenidos en la ventana en L subespacios. Si Cmax es el coeficiente de maximo valor

11

de entre los contenidos en la ventana W j(m; w, ∆), y Cmin el coeficiente de mınimo valor de entrelos contenidos en esa misma ventana, se divide el intervalo [Cmin, Cmax] en L subintervalos detamano t = |Cmax − Cmin|/L:

Imj,1 = [Cmin, Cmin + t) ,

Imj,2 = [Cmin + t, Cmin + 2 · t) ,

· · ·Imj,L = [Cmin + (L− 1) · t, Cmax] . (54)

Construidos estos subintervalos, es tiempo de llevar a cabo una estimacion de la funcion de dis-tribucion de los valores de coeficientes asociadas a una cierta ventana W j(m; w, ∆). Para ello secalcula la probabilidad p(Im

j,l) de que un coeficiente contenido en dicha ventana pertenezca al in-tervalo Im

j,l, para 1 ≤ l ≤ L. En base a esta funcion de distribucion probabilıstica se definen laentropıa multiresolucion segun el criterio de Shannon o de Tsallis.

Definicion 3.10. Se define la entropıa multiresolucion de Shannon asociada a la escala 2j (MREj)como

HjS(m) = −

L∑

l=1

p(Imj,l) log(p(Im

j,l)), m = 0, 1, . . . , mjmax . (55)

Definicion 3.11. Se define la entropıa multiresolucion de Tsallis asociada a la escala 2j (MRETj)como

Hjq (m) = (q − 1)−1

L∑

l=1

[p(Im

j,l)−(p(Im

j,l))q]

, m = 0, 1, . . . , mjmax . (56)

Si se representan los puntos (w/2+m∆,Hjx(m)) ( siendo Hj

x la entropıa bien de Shannon, biende Tsallis para la escala 2j) obtendremos un sistema equivalente a las wavelets splines en lo queatane a la localizacion de detalles en el plano frecuencia-tiempo. De este modo, las propiedadesde localizacion del esquema, unidas al analisis estadıstico que se lleva a cabo, permiten detectarcon precision cambios en la dinamica del sistema. Hay que tener en cuenta, no obstante, quela localizacion temporal esta superditada a la imprecision subyacente al examen medianteventana deslizante. En efecto, la entropıa es representada con respecto a la posicion central dedicha ventana, de modo que entre dos muestras de entropıa existe una diferencia de w muestrastemporales reales. En definitiva, existe una imprecision temporal del orden de w/2, a lo que hayque unir la derivada del calculo diadico de la transformada wavelet (en el nivel de escala j existenla mitad de coeficientes que en el nivel j − 1: la resolucion temporal se reduce aproximadamente ala mitad).

3.6.1. Aplicaciones de la entropıa multiresolucion

Con el objeto de verificar las propiedades del analisis multiresolucion de la entropıa, se van aanalizar dos sistemas caoticos. El primero es un mapa de Henon en el que se introducen variacionesen el valor de unos de los dos parametros dinamicos que lo controlan. El mapa de Henon vienedefinido como

xn = 1 + yn−1 − any2n−1,

yn = bxn−1. (57)

Sobre el mapa de Henon se construyen dos sistemas:

1. an constante e igual a 1.023718384

2. an variable segun el esquema

an =

a1 si n < n1,

a1 + [(n− n1)(a2 − a1)/(n2 − n1)] si n1 ≤ n ≤ n2,a2 si n > n2,

(58)

con a1 = 1.062371838, a2 = 1.080744879, n1 = 812, n2 = 1842 y b = 0.3 en ambos casos.

En la figura 6 se recogen los resultados del analisis de entropıa de la primera componente xn

del mapa de Henon en el sentido de Shannon y de Tsallis. Estas graficas se obtuvieron empleandoel modelo de ventana deslizante sobre los valores de secuencia directamente en lugar de emplear los

12

coeficientes de la transformada wavelet. En las figuras 7 y 8 se lleva a cabo este mismo examen peroutilizando, en esta ocasion, el enfoque multiresolucion para j = 1, 2, 3 . En las tres figuras citadasse puede detectar facilmente cuando se produce el cambio en la dinamica del sistema. En el caso dela entropıa en el sentido de Tsallis, el enfoque multiresolucion mejora considerablemente las presta-ciones, pues la determinacion clasica de entropıa no hace pensar que se haya producido cambioalguno en la dinamica del sistema. Con respecto al enfoque segun Shannon, la optica multiresolu-cion, ademas de permitir localizar en tiempo y en frecuencia la modificacion de parametros, ayudaa eliminar influencias negativas propiciadas por presencia de ruido en las muestras de la senal,gracias a que la transformadas wavelet actua como un filtro paso banda.

Un segundo ejemplo al respecto de las prestaciones de las figuras MRE y MRET se va adesarrollar con el mapa logıstico(20). Se considerara un sistema tal que el parametro dinamico λevoluciona segun:

λn =

λ1 si n < n1,

λ1 + [(n− n1)(λ2 − λ1)/(n2 − n1)] si n1 ≤ n ≤ n2,λ2 si n > n2,

(59)

con λ1 = 3.5, λ2 = 3.8123, n1 = 1182 y n2 = 1634.En las figuras 9, 10 y 11 aparecen los resultados del analisis de entropıa del mapa logıstico con

parametro dinamico segun se acaba de referir. Los experimentos efectuados permite comprobar elbuen comportamiento del analisis multiresolucion, pues es facilmente localizable el instante en elcual el sistema deja de comportarse como un sistema periodico para, paulatinamente, convertirseen un sistema caotico. Este cambio es perceptible en todas las graficas, pero la localizacion enfrecuencia es mas precisa en el caso de emplear un analisis multiresolucion en el sentido de Tsallis.

En resumen, el analisis multiresolucion de entropıa es una herramienta interesante, en la medidaque permite inferir la complejidad de un determinado sistema de forma menos onerosa que unesquema sustentado en la determinacion de parametros como el exponente de Lyapunov, dimensionde correlacion...Ademas permite identificar con facilidad cambios producidos en la dinamica de unsistema y confiere mayor inmunidad frente a ruido subyacente a la toma de muestras del sistemaa examinar, esto es, las figuras MRE y MRET presentan mayor inmunidad frente al ruido que unesquema clasico de determinacion de entropıa.

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 90000.85

0.9

0.95

1

1.05Entropia Shannon w=204 , ∆=4, L=16

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 90000.23

0.235

0.24

0.245

0.25

0.255

0.26Entropia Tsallis,q=5 , w=204, ∆=4 , L=16

Henon parametros constantesHenon parametros variables

Figura 6: Analisis de entropıa para mapa de Henon con parametros constantes y variables

13

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 90000.6

0.8

1

1.2

1.4MRE1 w=204 , ∆=4, L=16

Henon parametro constanteHenon parametro variable

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 80000

0.5

1

1.5MRE2 w=204 , ∆=4, L=16


1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 80000.6

0.8

1

1.2

1.4MRE3 w=204 , ∆=4, L=16


Figura 7: Analisis de entropıa multiresolucion segun criterio de Shannon para el mapa de Henoncon parametros constantes y variables

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 90000.24

0.245

0.25MRET1 w=204 , ∆=4, L=16 , q=5


0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 80000.23

0.24

0.25

0.26MRET2 w=204 , ∆=4, L=16 , q=5


0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000

0.249

0.25

MRET3 w=204 , ∆=4, L=16 , q=5


Figura 8: Analisis de entropıa multiresolucion segun criterio de Tsallis para el mapa de Henon conparametros constantes y variables

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 90000.45

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7Entropia Shannon w=82.00 , ∆=2.00, L=5.00

λ=3.50λ=3.81λ variable

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 90000.238

0.24

0.242

0.244

0.246

0.248

0.25Entropia Tsallis,q=5.00 , w=82.00, ∆=2.00 , L=5.00


Figura 9: Analisis de entropıa para mapa logıstico con parametros constantes y variables

14

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 90000

0.2

0.4

0.6

MRE1 w=82.00 , ∆=2.00, L=5.00


0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 90000

0.2

0.4

0.6

MRE2 w=82.00 , ∆=2.00, L=5.00


0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 90000

0.2

0.4

0.6

MRE3 w=82.00 , ∆=2.00, L=5.00


Figura 10: Analisis de entropıa multiresolucion segun criterio de Shannon para el mapa logısticocon parametros constantes y variables

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 90000

0.1

0.2

MRET1 w=82.00 , ∆=2.00, L=5.00 , q=5.00


0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000−0.1

0

0.1

0.2

0.3

MRET2 w=82.00 , ∆=2.00, L=5.00 , q=5.00


0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000−0.1

0

0.1

0.2

0.3

MRET3 w=82.00 , ∆=2.00, L=5.00 , q=5.00


Figura 11: Analisis de entropıa multiresolucion segun criterio de Tsallis para el mapa logıstico conparametros constantes y variables

3.7. Entropıa multiresolucion continua

Otra posibilidad serıa utilizar la transformada wavelet continua (CWT) como sustento paraefectuar una evaluacion del grado de desorden presente en un cierto sistema. Esto es lo que selleva a cabo en [8]-[11]. La idea es la misma que la esbozada en 3.6, pero ahora se utilizan loscoeficientes de la transformada CWT en lugar de los de la DWT. En el caso de que se emplee unawavelet compleja, como la Morlet, en lugar de utilizar los coeficientes, se emplea el cuadrado desu modulo. La seleccion de tipo de wavelet a emplear dependera del tipo de senal. Si nos interesatrabajar con una wavelet que tenga buenas propiedades de localizacion, podrıamos optar por unade tipo sombrero mejicano. Si lo que se quiere es detectar singularidades, una buena eleccion serıaun wavelet de tipo Morlet.

Sea s(t) la senal sobre la que se va a llevar a cabo el estudio de entropıa. Se muestrea la senala una tasa de Ts segundos, obteniendose un total de M muestras. Sea s[n], para n = 0, . . . , M − 1,

15

el conjunto resultante de muestras. Los coeficientes wavelet vendran dados por:

Ws[n, 2j ] =N−1∑m=0

s[m]ψ∗j [m− n],

ψj [n] = 2−jψ( n

2j

). (60)

Con el objeto de que el analisis sea lo mas general posible se trabajara con el cuadrado delmodulo de los coeficientes:

d(i, j) =∣∣Ws[i, 2j ]

∣∣ j = 1, 2, . . . , N ; i = 0, 1, . . . , M − 1. (61)

El conjunto de todos estos coeficientes da lugar a una matriz de dimensiones MxN . A continuacion,para cada escala, esto es, para cada columna de la matriz se define la ventana deslizante:

Definicion 3.12. Dados w entero par y ∆ ∈ Z tales que w ≤ M y (M − w)/∆ ∈ N, la ventanade deslizamiento asociada a cada escala j es

W j (m; w, ∆) = {d(k, j), k = 1 + m∆, 2 + m∆, . . . , w + m∆} m = 0, 1, . . . , mmax, (62)

donde mmax = M−w∆ .

Esta ventana deslizante puede ser interpretada como la union de una serie de L intervalos dis-juntos obtenidos dividiendo el intervalo [mın{d(i, j) ∈ W j(m;w, ∆)}, max{d(i, j) ∈ W j(m; w, ∆)}]en L partes de igual tamano:

W j(m;w, ∆) =L⋃

l=1

Imj,l ,

Imj,l =

{[dj

min + (l − 1) · t, djmin + l · t) para l=1,. . . ,L-1 ,

[djmin + (L− 1) · t, dmax] para l=L ,

djmin = mın{d(i, j) ∈ W j(m; w, ∆)} ,

djmax = max{d(i, j) ∈ W j(m; w, ∆)} ,

t = (djmax − dj

min)/L . (63)

Definicion 3.13. Se define p(Imj,l) como la funcion distribucion probabilıstica de los coeficientes

wavelet asociados a la ventana deslizamente W j(m; w, ∆). Representa la probabilidad de que unelemento de la ventana en cuestion pertenezca al intervalo Im

j,l. Se calcula como el cociente en-tre el numero de elementos de W (m; w, ∆) contenidos en Im

j,l y el numero total de coeficientespertenecientes a esta ventana.

Con los conceptos introducidos hasta este punto, estamos en condiciones de definir las matricesCME y CMEq.

Definicion 3.14. Sea s(t) una senal que es muestreada a una tasa de Ts segundos, obteniendo lasecuencia s[n] de longitud M . En base a (60), (61) y las definiciones 3.12,3.13, se define la matrizCME o de analisis multiresolucion continuo de entropıa Shannon asociada a s[n] como:

CME(m, j) = −L∑

l=1

p(Imj,l) log

(pm(Im

j,l)), (64)

para j = 1, . . . , N y m = 0, 1, . . . , mmax.

Definicion 3.15. Sea s(t) una senal que es muestreada a una tasa de Ts segundos, obteniendo lasecuencia s[n] de longitud M . En base a (60), (61) y las definiciones 3.12,3.13, se define la matrizCMEq o de analisis multiresolucion continuo de entropıa Tsallis asociada a s[n] como:

CMEq(m, j) = (q − 1)−1L∑

l=1

[p(Im

j,l)−(p(Im

j,l))q]

, (65)

para j = 1, . . . , N y m = 0, 1, . . . , mmax.

16

3.7.1. Aplicaciones de la entropıa multiresolucion continua

Segun muestran [8]-[11], la principal ventaja aportada por las figuras CME y CMEq es el dela localizacion de cambios en la dinamica de un sistema. En dichas referencias, se desarrolla unmetodo que es capaz de inferir cambios en los parametros que regulan la dinamica de un ciertosistema. El metodo en cuestion, en primera instancia, lleva a cabo la determinacion de la evoluciontemporal de la componente principal asociada bien a CME, bien a CMEq. De forma mas precisa,se determina el autovalor de valor maximo asociado a cada una de las matrices dadas por

{PCp} = {CME(m, j)}m = w − 1 + (p− 1), . . . , 2w + (p− 1) ,

j = 1, . . . , N ,

p = 1, . . . , (mmax − w + 1). (66)

Es decir, se analiza la componente principal de matrices de entropıa asociadas a intervalos de wmuestras temporales. La representacion del autovalor maximo de cada una de esas matrices da unaidea de como evoluciona la dinamica del sistema. El estudio de esa evolucion, mediante el metodoCUSUM o mediante redes neuronales autosintonizables (SOM), permite inferir si se ha producidocambio alguno en la dinamica del sistema, segun se demuestra en [8]-[11].

En la figura 12 se representan los coeficientes de la matriz CMEq para el caso de una secuenciaobtenida a partir del mapa logıstico con valores del parametro λ segun el esquema expuesto en (59),mientras que la figura 14 se muestra la matriz CMEq para un sistema basado en el mapa de Henonsiguiendo el planteamiento referido en (58). Para el mapa logıstico se aprecia facilmente que existeun cambio en la dinamica del mismo, pues se pasa de un comportamiento periodico (λ = 3.5) a uncomportamiento caotico (λ = 3.8123). De este modo, el analisis de la componente principal (figura13) claramente alude a ese cambio, pues en el entorno de n = 800 la componente manifiesta uncambio brusco. Lo mismo ocurre para n ≈ 1400, aunque es cierto que existen cambios bruscos paraotros instantes. Por tanto, la capacidad de detectar los cambios de modo riguroso, dependera biendel establecimiento de un umbral adecuado en el caso de emplear el algoritmo CUSUM, bien de unbuen entrenamiento en el caso de optar por las redes SOM con metodo automatico de deteccionde cambios bruscos. Ademas, hemos de tener en cuenta la imprecision a la la hora de localizarlos cambios en el tiempo, debido a al error inmanente a la utilizacion de ventanas deslizantes ycoeficientes wavelet calculados mediante DWT (en la escala 2j existen aproximadamente la mitadde coeficientes que en la escala 2j−1, i.e., se ha reducido la resolucion temporal casi a la mitad). Enel caso del sistema basado en el mapa de Henon, la situacion es similar. El analisis de componenteprincipal (15) claramente senala la existencia de una modificacion en la dinamica para n ≈ 800 yotra en el entorno de n = 1500, lo que coincide, siempre de forma aproximada, con lo que cabrıaesperar.

Niv

el d

e es

cala

j

w/2+m∆

w=80,∆=16,L=5,q=90,wavelet=Morlet con Fb=4, F

c=2

1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000

2

4

6

8

10

1210

20

30

40

50

60

Figura 12: Matriz CMEq para el mapa logıstico con λ desde 3.5 a 3.8123

17

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 700010

15

20

25

30

35

40

45

50

55

Com

pone

nte

prin

cipa

l

Parámetro temporal

Figura 13: Analisis de componente principal asociada a la matriz CMEq para mapa logıstico conλ variable de 3.5 a 3.8123

w/2+m∆

Niv

el d

e es

cala

j

w=80, ∆=16, L=5,wavelet=Morlet Fb=4, F

c=2

1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000

2

4

6

8

10

12

50

100

150

200

250

Figura 14: Matriz CMEq para el mapa de Henon con el parametro a variable

18

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 700018

20

22

24

26

28

30

32

34

36

38

Com

pone

nte

prin

cipa

l

Parametro temporal

Figura 15: Analisis de componente principal asociada a la matriz CMEq para el mapa de Henoncon el parametro a variable

4. Conclusiones

El trabajo llevado a cabo ha permitido apreciar las virtudes fundamentales de la transformadawavelet en su aplicacion al analisis de la dinamica de sistemas. Se ha demostrado que la deter-minacion de crestas wavelet es una herramienta valida para caracterizar el grado de complejidadde un determinado sistema dinamico. El analisis de maximos locales de una transformada waveletanalıtica se mostro como un indicador del comportamiento caotico de una determinada secuencia.

Por otro lado, la utilizacion de la transformada wavelet discreta (DWT) ha permitido elaborardiversos criterios de medida de la entropıa, del grado de desorden de un sistema. A este respecto, seintrodujeron la entropıa wavelet o WE y los analisis multiresolucion de entropıa (MRE y MRET).Mediante WE se comprobo que se obtenıa una buena medida del grado complejidad de un sistema,mostrandose, dado el escaso coste computacional que lleva asociado su computo, como una alter-nativa a tener cuenta respecto a otras medidas de complejidad como el exponente de Lyapunov, elexponente de Hurst o las dimensiones de correlacion. Por su parte, tanto la MRE como la MRETnos permitieron detectar cambios en la dinamica de un sistema, gracias a que efectuan una medi-cion de la evolucion temporal de la complejidad, a diferentes escalas frecuenciales, de un ciertosistema dinamico. En este punto, hemos de recordar que la localizacion en tiempo de tales cambiostenıa asociada una cierta imprecision, debido a la perdida de resolucion implıcita en un esquemadiadico de calculo de coeficientes wavelet, y debido, tambien, al uso de ventanas deslizantes.

Por ultimo, se introdujo el concepto de entropıa multiresolucion continua. En este punto sehablo de las matrices de entropıa CME y CMEq, las cuales se obtuvieron mediante un analisis deentropıa basado en modelo de ventana deslizante y sobre los coeficientes resultado del calculo de latransformada wavelet continua o CWT de la secuencia analizada. En el caso de CME se hizo usodel concepto de entropıa segun Shannon (47), mientras que CMEq se basa en la interpretacion deTsallis (48). Las pruebas efectuadas demostraron que una analisis de componente principales sobreCMEq permite detectar cambios bruscos en la dinamica de un sistema. No obstante, la indagacionen mecanismos de deteccion automaticos de tales cambios queda como lınea de investigacion futura.

19

Referencias

[1] O.A. Rosso, M.L. Mairal, Characterization of time dynamical evolution of electroencephalo-grahic epileptic records, Physica A 312 (2002) 469-504.

[2] S. Mallat, A theory for Multiresolution Signal Decomposition: the Wavelet Representation,IEEE Trans. on Patt. Anal. and Mach. Intell., Vol. 11, NO.7, pp.: 674-693, 1989.

[3] S. Mallat, A wavelet tour of signal proccessing, 2nd edition, Academic Press, 1999

[4] I. Daubechies, Ten Lectures on Wavelets, Philadelphia: SIAM, 1992.

[5] C. Chandre, S. Wiggings, T.Uzer, Time-frequency analysis of chaotic systems, Physica D, 181(2003) 171-196.

[6] O.A. Rosso, S. Blanco, J. Yordanova, V. Kolev, A. Figliola, M. Schurmann, E. Basar, WaveletEntropy: a new tool for ananlysis of short duration brain electrical signals, Journal of Neuro-science Methods 105 (2001) 65-75.

[7] L.G. Gamero, A. Plastino, M.E. Torres, Wavelet analysis and nonlinear dynamics in a nonex-tensive setting, Physica A, 246 (1997) 487-509.

[8] M.E. Torres, L.G. Gamero. Relative complexity changes in time series using information mea-sures, Physica A, 286 (2000) 457-473.

[9] M.M. Anino, M.E. Torres, G. Schlotthauer, Slight parameter changes detection in biologicalmodels: a multiresolution approach, Physica A, 324 (2003) 645-664.

[10] M.E. Torres, M.M. Anino, G. Schlotthauer, Automatic detection of slight parameter changesassociated to complex biomedical signals using multiresolution q-entropy, Medical Engineering& Physics, 25 (2003) 859-867.

[11] H.M. Torres, J.A. Gurlekian, H.L. Rufiner, M.E. Torres, Self Organizing map clustering basedon continous multiresolution entropy, Physica A, 361 (2006) 337-354.

[12] P.G. Lemarie, Les Ondelettes en 1989, Lecture Notes in Mathematics no. 1438, Springer-Verlag, Berlin, 1990

[13] L. Zunino, D.G. Perez, M. Garavaglia, O.A. Rosso, Characterization of laser propagationthrough turbulent media by quantifiers based on the wavelet transform: Dynamic study, PhysicaA 364 (2006) 79-86

20

caos y wavelets

Technology