고체역학(solid mechanics)kycyber.konyang.ac.kr/contents/private/20… · ppt file · web...

1/49

고체역학 (Solid Mechanics)

2/49 [email protected]

제 1 장 응 력 (Stress) 외력 (External Loads) 의 정의 변형체의 평형 (Equilibrium of Deformable Body) 내부하중 (Internal Loads) 응력 (Stress) 의 정의


1.1 서론

재료역학 / 고체역학 (mechanics of materials/solid mechanics) 이란 ? (1) 변형체에 가해지는 外力과 물체 내의 內力 사이의 관계 및 (2) 물체의 변형 (deformation) 을 연구하는 학문 ( 안정성과도 관련 )

역사적 발달 과정 17C 초 : 다양한 재료의 beam, rod 에 대한 하중 - 변형 실험(Galileo) 18C 초 : 재료 거동에 관한 실험 /이론적 연구 (France; Saint-Venant, Poisson, Lame, Navier..) 재료 강도학 (strength of materials) 변형체 (deformable bodies) 역학 or 재료역학 or 고체역학 탄성학 , 소성학 등으로 발전 ( 고등수학의 발달로 ), 컴퓨터 발달로 인해 FEM, BEM 등에 활용

선수과목 (prerequisite): 정역학 (Statics)


1.2 변형체의 평형 (Equilibrium of Deformable Body)

외력 (External loads)

표면력 (surface force): → → 물체력 (body force): → →


선형분포 하중의 예

분포하중 집중하중으로 대체하여 고려할 수 있는가 ? 하중 (FR) 의 크기 ? 하중 (FR) 의 작용점 ?

Cw(s)

FRw

s


표 1-1 지점 반력 (support reactions)


반력의 수는 어떻게 결정되는가 ? 용어 : 이동 (translation) 회전 (rotation) 반력 (reaction force) 모멘트 (reaction

moment)

=( 운동이 억제된 방향의 수 )


물체에 작용하는 기지 및 미지의 힘들을 모두 명시하는 가장 좋은

방법은 그 물체의 자유 물체도를 그리는 것이다 .

평형방정식

;0 F

평 형 조 건 (3 차원 ):

;0M

Special case(2 차원 ): 동일 평면력 (coplanar forces)

0

0

0

zMyFxF

평형 조건식 : 9 개

평형 조건식 : 3 개


내부하중 성분들의 합력


내부하중 성분들의 합력

표시 : 힘 : 하나의 화살표로 , 모멘트 : 회전방향을 나타내는 화살표와 함께 표시 . ( 오른손 법칙 )

점 O 는 Centroid

N : 수직력 (Nz); V : 전단력 (V=Vx+Vy); M : 굽힘 모멘트 (M

=Mx+My)Tz : 비틀림 모멘트 (torque)


Special Case: Coplanar system of forces

전단력 V

수직력 N

굽힘모멘트 Mo

O


해석과정

(i) 지점 반력 : 전체 물체에 대한 FBD 를 그리고 ,

평형방정식을 적용하여 구한다 .(ii) 절단된 물체의 FBD 를 그리고 , 미지력 N, V, M, T 를 표시한다 .(iii) 평형방정식으로부터 N, V, M, T 를 구한다 .


점 C 를 지나는 단면의 내부하중을 구하라 .

풀이 :

예제 1-1

(iii) 평형조건 :

(i) 지점 반력 :

(ii) 자유물체도 (Free-Body-Diagram)

:0

:0

:0

zMyFxF

RA= ? , MA=?


풀이

(ii) 점 C 에서 절단한 FBD 그림 (c)

(i) 지점 반력 : 자유물체도 (FBD)에서

(iii) 평형방정식 :

음 (-) 의 부호의 의미는 ?

:0

:0

:0

zMyFxF

NyAMB 75.18:0

예제 1-2점 C 를 지나는 단면의 내부하중의 합력과 합모멘트를 구하라 . 단 , 점 A 와 B에서 베어링 지지 되어있다 .


A 지점 반력 : 전체물체의 FBD on AB

점 E 에서 절단한 FBD 그림 (c)

NyAyAyF

NxAxAxF

NFFM CDCDA

5.2452:0)81.9(500)53)(5.12262(:0

9810:0)54)(5.12262(:0

5.12262:0)3)(81.9(500)2)(53(:0

평 형 방 정 식 :

NMM

NVyF

NNxF

EE

E

E

5.2452:0

5.2452:0

9810:0

평형조건 :

예제 1-3 질량 500 kg 의 엔진이 그림과 같이 매달려 있다 . 크레인 팔 E 점을 지나는 단면에 작용하는 내부 하중의 합력과 합모멘트를 구하라 .


점 G 를 지나는 단면의 내부하중은 ?

풀이

반력 성분 :점 C 에는 1

개 , 점 E 에는 2 개그 이유는 ?

두 힘 부재 :FF FF

예제 1-4


(ii) FBD

(iii) Equilibrium:

:

:

:

0

0yF

0xF

GM


풀이 :

ii) 점 B 에서 절단한 FBD 그림 (b)

i) 지 점 반력 :

iii) 평형방정식 : 힘 평형 ;

:0

:0

:0

zFyFxF

NWNW

AD

BD

525.2481.9

자중 :

예제 1-5점 B 를 지나는 단면의 내부하중의 합력과 합 모멘트는 ? 단 , 파이프의 단위 길이 당 질량 w=2 kg/m 이고 , 끝 점에 작용하는 수직하중은 50 N, 우력은 70 N·m 이다 .


평형방정식 : 모멘트 평형 ;

:0)

:0)

:0)

zMyMxM

B

B

B

값에서 음 (-) 의 부호의 의미는 ?

수직력 NB= (FB)y

전단력 VB=(0)2+(84.3)2 비틀림 모멘트 TB= (MB)y 굽힘 모멘트 MB= (30.3)2+(0)2


1.3 응력 (stress)

內力의 분포를 나타내기 위해 응력의 개념을 도입 미소면적 A 에 작용하는 內力에 관심 . A→0 ( 극한치 ) 단 , 재료는 Continuous & Cohesive: Continuum Assumption F / A =const. = 응력

內力의 合力F

A

F

Ft

Fn

t

n

인장응력 (tensile stress)압축응력 (compressive stress)


직각 좌표계의 응력성분 (Cartesian stress components)

수직응력 (Normal stress):

전단응력 (shear stress):

인장응력압축응력

0;0

0;0lim

0n

nn

A FF

AF

AFt

A

0

lim

ΔA

ΔF

x

z

y z

x

Azx AF

0

limz

z

Az AF

0

limz

y

Azy AF

0

lim

작용면에 수직인 축 작용 방향


A 를 포함하는 infinitesimal cube 를 고려하면 ;

xy 평면

yz 평면xz 평면

면당 3 개의 응력성분


평형조건 (Equilibrium requirements)

)9(,,,,,,,, zxxzzyyzyxxyzyx

)(',',',',',',',',' 9zxxzzyyzyxxyzyx

응력성분 (18 개 ):

xy

xzyz

xy

xy

xz

xz

yz

yz

x

z

y

24/49

xz- 평면 전단응력 성분

xy- 평면 전단응력 성분

수직응력 성분

Fy=0: '' 0)()( yyyy zxzx

Fz=0: '' 0)()( zzzz yxyx

Fx=0: 'xx

'' 0)()( xyxyxyxy zyzy

Fx=0: '' 0)()( yxyxyxyx zxzx

Fy=0:

'' 0)()( xzxzxzxz zyzy

Fx=0:

Fz=0:

'' 0)()( zxzxzxzx xyxy

힘의 평형

z

z

z 0)()( ' zyzy xx 면적응력

힘


3 개 응력성분 6 면 =18 개 응력성분 9 개 응력성분

yz- 평면 전단응력 성분'' 0)()( zyzyzyzy yxyx Fy=0:

Fz=0: '' 0)()( yzyzyzyz zxzx

z


Mx=0: zyyzzyyz zyxyzx 0)()(

My=0: zxxzzxxz zyxxzy 0)()(

6 개 응력성분

Mz=0:

모멘트의 평형

9 개 응력성분

yxxyyxxy yzxxzy 0)()(응력 면적 모멘트 팔

모멘트힘


2 차원 응력상태 (coplanar stress state)

응력성분은 .

응력의 단위 SI: 1 Pa(pascal) = 1 N/m2, 1 kPa = 103 Pa cf.) 1 Mpa = 106 Pa, 1 Gpa = 109 Pa FPS: 1 psi = 1 lb/in2, 1 ksi = 1 kpsi =1000 lb/in2 cf.) 1 kip = 103 lb

z

y

y

yz

z

yz

yz

일반적인 응력상태

zzyzx

yzyyx

xzxyx

28/49

1.4 축하중을 받는 막대의 평균 수직 응력

가정 :(i) prismatic bar ( 균일단면 막대 )(ii) 재료 : homogeneous + isotropic(iii) 균일변형


• 내력은 단면에 균일하게 분포• 평균응력 =P/A=N/A • 하중 P 는 도심에 작용

평균응력

► 압축력의 경우 좌굴 (buckling) 이 발생할 수 있음 .► 위의 응력식은 slightly tapered bar 에도 적용 가능 .

단축응력(uniaxial stress)

응력의 부호가 바뀜


막대에 축하중이 다수 분포되어 작용하거나 , 단면이 불균일한 경우 ,수직력 ( 축력 ) 선도 N(x) 를 그리고 , (x)=N(x)/A(x) 를 계산하여 최대값을 구한다 .

최대 평균 수직 응력 (maximum average normal stress)

해석과정 • 내부하중 : 부재를 길이방향 축에 수직하게 절단하고 , 자유물체도와 평형방정식을 사용하여 내부 축력 P 를 구한다 .• 평균수직응력 단면에서 부재의 단면적을 구하고 , =P/A 로 평균 수직응력을 구한다 .


구간 BC 에서 축력 : PBC=30 kN

APBC

BC 최대 평균 수직응력 :

내부 하중 :

예제 1-6

폭 w=35 mm, 두께 t=10 mm 인 막대가 아래와 같이 힘을 받을 때 , 최대 평균 수직응력은 ?


BC

BCBC A

P

내부 하중 : BABC FFunknown ,:2 Fx=0: Fy=0:

평균 수직응력 :

AB

ABAB A

P MPaBC 86.7

MPaAB 05.8

NFBA 4.632

NFBC 2.395

예제 1-7

질량 m=80 kg 인 램프가 AB=10 mm, BC=8 mm 인 막대에 매달려있다 . 어느 막대의 평균 수직응력이 더 큰가 ?


주조품 비중량 st=80 kN/m3, 점 A 와 B 에서의 평균 압축응력은 ?

자유물체도 :

Fz=0: 0 stWP내부 하중 :

평균 압축 응력 :

kPaAP 0.64

Wst=stVst.

자유물체도

예제 1-8

34/49

수직력 3kN 에 의하여 점 C 에서의 평균 압축응력과 막대 AB 에서의 평균 인장응력이 같아지는 x 의 값은 ? 단 , AAB=400 mm2, AC=600 mm2.

Fx=0: MA=0:

내부 하중 :

평균 수직응력 :ABC

CAB FFmmF

mmF 50.1

600400 22

NFC 1857

만족함;1243000

)200( mmNmmFx C

NFAB 1153

하중 작용점 :

xFFunknown CAB ,,:3

예제 1-9


1.5 평균 전단응력 (Mean shear stress)

AV

avg 평균 전단응력 :

단순 / 직접 전단 (simple or direct shear)

스팬 길이 L 0Mmax 와 V 값의 크기비교

P

P/2P/2

P/2 V=P/2

M(x)=Px/2x

PL/4

L/2 L

모멘트 선도

=F/2


단일 전단 (single shear): 전단면이 하나인 경우

모멘트가 발생하지만 작으므로 그 영향은 무시 .

이중 전단 (double shear): 전단면이 두개인 경우

V=FV=F

겹치기 이음 lap joint

V=F/2 V=F/2

이중 겹치기 이음

double lap joint

37/49

절단면상의 한 점의 체적요소

내부전단 응력을 구하고자 하는 면을 절단하고 자유물체도를 그린다 . 평형 조건식으로부터 전단력 V 를 구한다 .평균전단응력 avg =V/A 를 사용하여 구하고 , 방향은 전단력 V 의 방향임 . 한 면의 응력방향이 정해지면 다른 면은 평형을 고려하여 결정됨 .

해석과정


핀 A(d=20mm) 와 B(d=30mm) 에 작용하는 평균 전단응력을 구하라 .

평균전단응력 :

핀 A 에 작용하는 전단력 (2 중 전단 ):

예제 1-10

kNyAyAyF

kNxAxAxF

kNFFM BBA

20:030)54)(5.12(:0

5.7:0)53)(5.12(:0

5.12:0)2)(30()6)(54(:0

내부 하중 :

36.21205.7 2222 yxA AAF

MPaAV

A

AavgA 0.34

)02.0(4

68.10)(2

핀 B 에 작용하는 전단력 ( 단일 전단 ):

MPaAV

B

BavgB 7.17

)03.0(4

5.12)(2

39/49

전단면 a-a 와 b-b 에 작용하는 평균 전단응력을 구하라 .( 연결부 두께 =150 mm)

평균전단응력 :

예제 1-11

kNFFxF 3:026:0 내부 하중 :

kPaAV

a

aavga 200

)15.0)(1.0()10(3)(

3

전단면 a-a:kNaVaVxF 3:03:0

전단면 b-b: kNaVaVxF 3:03:0

kPaAV

b

bavgb 160

)15.0)(125.0()10(3)(

3


b=40 mm 인 정사각 단면 보의 a-a 단면과 b-b 단면의 평균 수직응력과 평균 전단응력은 ?

평균응력 :

0

avg

AP

Fx=0: Fy=0:

평균응력 :AN

Alternative solution: Fx’=0, Fy’=0:AV

a-a 단면 : Fx=0:

b-b 단면 :

예제 1-10 ( 구교재 )

41/49

d=10 mm 인 강재 봉으로 고정된 목재 부재에 5 kN 의 수직력이 작용할 때 , 강재봉 내부의 평균 전단응력은 ? 목재의 평면 abcd 에서의 평균 전단응력은 ?

평균 전단응력 :

MPamN

AV 7.63

)005.0(5000

2

목재

봉

MPamm

NAV 12.3

)02.0)(04.0(2500

V=P V=P/2

예제 1-11 ( 구 교재 )


경사부재의 접촉면 AB 와 BD 에서의 평균 압축응력과 수평면 EDB 의 평균 전단응력은 ?

내부 하중 :

평균 응력 :

AB

ABAB A

F

EBDavg A

V

BC

BCBC A

F

ABFV

Fx=0:

Fy=0:

예제 1-12


1.6 허용응력 (allowable stress)

실제하중 > 설계하중 )( valueltheoreticaPP allowfail

이를 보완하기 위하여 안전계수 (factor of safety, F.S.) 도입

많은 경우 , 하중과 응력이 비례하므로 ( 즉 , P~, V~)..

1..SF

PP

PP

SF failallow

allow

fail

....

SForSF fail

allowallow

fail

allow

fail

F.S. 증가↑ : 안전 , 비경제적 감소↓ : 경제적 , 불안전 설계기준 or 핸드북 참조 ; 공공의 안전 , 환경적인 안전 , 경제성

원인 : ► 조립오차 , ► 진동 , 충격 , 우발적인 하중 , 동적하중 등 ► 부식 , 풍화 , 열화 등


1.7 간단한 연결부의 설계

재료의 거동을 단순화하면 , Case I: 인장부재의 단면적Case II: 전단을 받는 연결부재의 단면적 Case III: 받침을 위한 소요면적Case IV: 축하중에 의한 전단력의 소요면적

allowbPA /

allowPA /

allowPA /

allowPA /

CASE I

CASE II


CASE IV

Case III: 받침을 위한 소요면적Case IV: 축하중에 의한 전단력의 소요면적

allowbPA /

allowPA /

CASE III

지지응력 (bearing stress): 두 면사이의 압축으로 발생하는 수직응력


해석과정

내부하중 : 부재를 가상적으로 절단하고 자유물체도를 그린다 . 그리고 평형조건을 적용하여 절단면의 내력을 구한다 .소요면적 : 구해진 내력을 지탱하기위해 필요한 단면적은 , A= P/allow, 또는 A=V/allow

47/49

강의 허용전단응력이 allow=55 MPa 일 때 , 핀의 치수를 5 mm 단위로 구하라 .

내부 전단력 :

2)2

(dVAallow

MC=0: Fx=0: Fy=0:

yxAB CCFunknow ,,:3

소요면적 :

예제 1-13

48/49

20 kN 의 하중을 지탱하기 위한 봉의 최소 직경과 원판의 최소 두께는 ? 단 , 봉의 허용응력 allow=60 MPa, 원판의 허용응력 allow=35 MPa이다 .

봉의 직경 :

원판의 두께 :

2)2

(dPAallow

dtVAallow

예제 1-14


2)2

( A

allow

AA

dVA

핀의 허용전단응력 allow=12.5 ksi, 막대 CB 의 허용 인장응력 allow=16.2 ksi 일 때 , 핀 A 와 B 의 직경과 막대 CB 의 직경을 1/16 in. 단위로 구하라 .

핀의 직경 :

봉의 직경 :

2)2

( B

allow

BB

dVA

2)2

()(

BC

allowtBC

dPA

예제 1-14( 구교재 )


점 C 의 허용 지지응력 (b)allow=75 MPa, 축의 평균 수직응력이 허용 인장응력 (t)allow=55 MPa 를 초과하지 않는 하중 P 의 값은 ?

축응력 :

지지응력 :

AP

allowt3)

ballowb A

P3)

2322 )10(20.2])003.0()004.0[(: mmmAAreactionseCross b

예제 1-15


강봉 AC 와 알루미늄 블럭의 파괴응력 (st)fail=680 MPa, (al)fail=70 Mpa이고 , 핀의 전단 파괴응력 fail=900 MPa 일 때 , 막대에 가할 수 있는 최대 하중 P 의 값은 ? 단 , F.S.=2.0 이다 .

막대 AC:

../

../)()(

../)()(

SF

SF

SF

failallow

failalallowal

failstallowst

MA=0:

MB=0:

)() ACallowstAC AF

평형조건 :

허용응력 :

0)2()25.1( mFmP AC

AAC=1800 mm2

d)pin =18 mm

예제 1-16


블록 B:

핀 A 와 C:

)() BallowalB AF

)(AFV allowAC

0)2()25.1( mFmP AC

0)75.0()2( mPmFB

AAC=1800 mm2

d)pin =18 mm


연습문제 및 복습문제를 유형별로 선택하여 풀어 봄으로써 자신의 성취도를 확인하기 바라며 , 강의 중에 질문은 자유롭게 언제든 해주기 바람 .

고체역학(solid mechanics)kycyber.konyang.ac.kr/contents/private/20… · ppt file · web...

Documents