solution with reigly method
TRANSCRIPT
Pravougaona ukljestena ploca na elasticnoj podlozi Skica;
Kao sto je na skici prikazano,normalno na srednju ravan deluje opterecenje definisano sledecom jednacinom;
))1()1((2],[ 0 b
y
b
y
a
x
a
xqyxq
Ploca je ukljestena sa sve cetiri strane I na njoj opterecenje predstavlja rastresit materijal koji zbog svog oblika na krajevima ploce, moze da simulira plocu kao dno zatvorenog rezeorvara.Stoga je dozvoljeno da opterecenje postoji na krajevima stranica,kao da se radi o sudu.Jos se predpostavlja da je podloga elasticna na kojoj stoji sistem.A koeficijent elasticnosti je c[N/m3] Prethodna jednacina je dobijena odredjivanjem konstanti na sledeci nacin;
0
42
322
1
]2
,2
[
0],[
0],0[
0]0,[
],[
qba
f
baf
bf
af
yCyCxCxCyxf
Sa ovom formulacijom distribucije opterecenja,moze se napisati sledeca diferencijalna jednacina ploce;
4
4
22
4
4
4
2y
W
xy
W
x
WW
D
c
b
y
b
y
a
x
a
x
D
q ))1()1((
2 0 =0
ili
],[4 yxW WD
c
b
y
b
y
a
x
a
x
D
q ))1()1((
2 0
Gde su oznake sledeceg znacenja; W[x,y]-polje pomeranje ploce u metrima,
0q -opterecenje na sredini ploce u [N/m2],
a-duzina ploce u metrima, b-sirina ploce u metrima,
E-modul elasticnosti u [N/m2] x-nezavisno promenljiva u pravcu duzine y- nezavisno promenljiva u pravcu sirine
-Poasonov koeficijent,koji predstavlja odnos poprecne I uzduzne dilatacije,
4
4
22
4
4
44 2
yxyx
-biharmonijski operator za Dekartov koordinatni sistem,
c-koeficijent elasticnosti podloge ,dimenzije[N/m3],
D=)1(12 2
3
Eh
-savojna krutost dimenzije[Nm]
h-debljina ploce u metrima.
Sada ce se ovaj izraz bezdimenzijonisati na sledeci nacin,vodeci racuna o sledecem;
D=)1(12 2
3
Eh
,sto je savojna krutost.Konstanta c predstavlja krutost ploce u [N/m3]
nEh
ca
pEh
aq
kb
a
uh
Wb
ya
x
3
4
4
40 ,
,
,
,
,
Nakon uvrstavanja ovih smena I sredjivanja diferencijalna jednacina ploce glasi;
4
44
22
42
4
4
2u
ku
ku
nup )1(12))1()1()(1(24 22 =0
Resenje mora da zadovolji granicne uslove koji glase;
.0]1,0[
,0]0,0[
,0]0,1[
,0]0,0[
,0]1,1[
,0]1,0[
,0]0,1[
,0]0,0[
u
u
u
u
u
u
u
u
Resenje trazimo u obliku stepenog reda koji glasi;
55
44
33
2210
55
44
33
2210
][
][
][][],[
AAAAAAu
CCCCCCu
uuu
Prvi red mora da zadovolji sledece granicne uslove,
,0]1[
,0]0[
,0]1[
,0]0[
u
u
u
u
Pa se dobija sledeca zavisnost konstanti koje se resavaju po dve konstante a one su
)2(
)2(
524
253
CCC
CCC
Sada imamo sledecu funkciju ))1(()1((][ 23
522
2 CCu
ili krace
1
1
2 )1(][
mM
mmCu
Sada se isto pristupa resavanju drugog reda predpostavljenog resenja pa se dobija
,0]1[
,0]0[
,0]1[
,0]0[
u
u
u
u
1
1
2 )1(][
nN
nnAu
Kada se ova dva reda pomnoze vodeci racuna o konstantama dobijamo
M
m
N
n
nmmnCu
1 1
1212 )1()1(],[
Konstante uz zavisno promenljive sto cemo resiti Galerkinovim integralom
223232
1
0
1
0
24
44
22
42
4
4
4
123222
1
0
1
0
24
44
22
42
4
4
3
212232
1
0
1
0
24
44
22
42
4
4
2
112222
1
0
1
0
24
44
22
42
4
4
1
)1()1)())1()1()(1(242(
)1()1)())1()1()(1(242(
)1()1)())1()1()(1(242(
)1()1)())1()1()(1(242(
Cddtnupu
ku
ku
I
Cddtnupu
ku
ku
I
Cddtnupu
ku
ku
I
Cddtnupu
ku
ku
I
g
g
g
g
)1(12 2t U svakom integralu za resenje se uzima sledeca funkcija
323222
322212
223221
222211 )1()1()1()1()1()1()1()1( CCCCu
Posle grupisanja koeficijenata uz varijaciju konstanata dobijamo linearan system od cetiri algebarske jednacine, 01 gI , 02 gI , 03 gI , 04 gI , cijim resavanjem sledi,
2222224
2
222112224
2
11
)1()1()1(422442
)1(378],[
0,)1(422442
)1(378
nkk
pu
CCCnkk
pC
Pomeranje ploce za p=1,k=1,n=1
00.2
0.40.6
0.81
x
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
h
0
0.005
0.01u
00.2
0.40.6
0.81
x
Zadnja jednacina predstavlja priblizno resenje diferencijalne jednacine ploce. Sada se prelazi na analizu napona koji su definisani momentima savijanja.
)1(
)(
)(
6
6
6
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
yx
WDM
x
W
y
WDM
y
W
x
WDM
h
Mh
Mh
M
xy
xx
xx
yyyy
xyxy
xxxx
Da bi se ovi izrazi upotrebili potrebno ih je bezdimenzionisati.Tako da se naponi bezdimenzionisu na sledeci nacin.
,
,
,
2
2
2
2
2
2
Eh
aS
Eh
aS
Eh
aS
yyyy
xyxy
xxxx
Gde se za napone na desnoj strani jednakosti uzimaju vrednosti definisane momentima . Sada se bezdimenzionisu momenti gde se smene za nezavisno I zavisno promenljive poistovecuju sa prvim smenama,pa se dobija
ukS
uk
uS
uk
uS
xy
yy
xx
)1(2
)()1(2
1
)()1(2
1
2
22
2
2
2
2
22
2
2
2
Sada se izvodi jednacina koja predstavlja maximum deformaciskog rada na promeni zapremine koja glasi;
)3( 222xyyyyyxxxxekv SSSSSS
Pa se dobija polje napona za izvedeno resenje I usvojenim bezdimenzijskim velicinama Napon u x pravcu p=1, k=1, n=1
00.2
0.40.6
0.81
x
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
h
-0.2
-0.1
0
0.1
sxx
00.2
0.40.6
0.81
x
Napon u y pravcu p=1, k=1, n=1
00.2
0.40.6
0.81
x
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
h
-0.2
-0.1
0
0.1
syy
00.2
0.40.6
0.81
x
Napon u xy pravcu p=1, k=1, n=1
00.2
0.40.6
0.81
x
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
h
-0.04-0.02
00.020.04
sxy
00.2
0.40.6
0.81
x
Ekvivalentni napon p=1, k=1, n=1
00.2
0.40.6
0.81
x
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
h
00.05
0.1
0.15s
00.2
0.40.6
0.81
x
Na osnovu prikazanog sledi da je moguce dimenzionisati plocu I analizirati uticaje bezdimenzijskih parametara na istu. Analizira se sledeci skup jednacina;
kb
a
pEh
aq
4
40
nEh
ca
3
4
2222224
2
)1()1()1(422442
)1(378],[
nkk
pu ,za n=0 imamo
222224
2
)1()1(747
)1(63],[
kk
pu
kroz koji cemo naci funkciju najveceg ugiba od parametara.Ako stavimo n=0, imamo
42max 422442
34367.1]0,3.0,5.0,5.0[
kk
pnu
Pomeranje sredine x=0.5,h=0.5, n=0
00.2
0.40.6
0.81
p
0
1
2
3
k
0
0.01
0.02
0.03
Umax
00.2
0.40.6
0.81
p
Za ovaj slucaj moze se isto tako naci napon u funkciji istih koji glasi
242
422
)747(
)233.110389.15233.110(
6
1]0,3.0,5.0,5.0[
kk
kkpnekv
Ekvivalentni napon x=0.5,h=0.5, n=0
00.2
0.40.6
0.81
p
0
1
2
3
k
0
0.1
0.2s
00.2
0.40.6
0.81
p
Sada se trazi zavisnost u kojoj figurise opterecenje sa p=1,n=0 a ona glasi;
42max 422442
34367.1]1,3.0,0,5.0,5.0[
kkpnu
0.5 1 1.5 2 2.5 3k
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
Umax Maximalni ugib
Nakon trazenja korena jednacine pomeranja sredine ploce dobija se sledeca najmanja vrednost odnosa stranica pri kojoj je pomeranje sredine blisko nuli,k=13.4602,koja uzrokuje pomeranje 7107123.9]3.0,1,0,4602.13,5.0,5,0[ xpnku Po grafiku izlozenom ranije vidimo da je napon najveci na sredinama stranica ploce. Sto iznosi
,142188.0]1,1,1,3.0,5.0,5.0[
,194429.0]1,1,1,3.0,5.0,0[
npk
npk
ekv
ekv
Ako sada posmatramo korene jednacine I dobijeni najmanji koren uvrstimo ekvivalentni napon imamo;
Ekvivalentni napon p=1, k=13.4602 , n=0
00.2
0.40.6
0.81
x
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
h
0
0.001
0.002s
00.2
0.40.6
0.81
x
Napon u x pravcu p=1, k=13.4602 , n=0
00.2
0.40.6
0.81
x
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
h
-0.0005
0
0.0005
sxx
00.2
0.40.6
0.81
x
.
Napon u y pravcu p=1, k=13.4602 , n=0
00.2
0.40.6
0.81
x
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
h
-0.003-0.002-0.001
00.001
syy
00.2
0.40.6
0.81
x
Napon u xy pravcu p=1, k=13.4602 , n=0
00.2
0.40.6
0.81
x
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
h
-0.00004-0.00002
00.000020.00004
sxy
00.2
0.40.6
0.81
x
Da bi dimenzionisali plocu usvajamo vrednosti za dozvoljeni napon I vrednosti konstanti Koje figurisu u jednacinama pa sledi
28
222
2
2
1021978.4
)3(]3.0,1,0,1,5.0,5,0[
hxq
SSSSSpnkSEh
axyyyyyxxxxekvdoz
0.005 0.015 0.02 0.025 0.03h m
50000
100000
150000
200000
250000
300000
350000
q N m2 sdoz=60MPa
Sada cu pokusati da nadjem vezu izmedju pomeranja ploce I koeficijenta elasticnosti podloge na kojoj se nalazi ploca.Ne bi li nasao podlogu koja minimizira pomeranje sredine ploce.Polje pomeranja ploce glasi,
2222224
2
)1()1()1(422442
)1(378],[
nkk
pu
Kako bih dosao do grafickog prikaza zavisnosti pomeranja od opterecenja I koeficijenta elasticnosti podloge,moracu da uvrstim vrednosti koordinata na sredini ploce I da predpostavim da je ploca kvadratna,tj. da je k=1;pa se dobija
n
pku
91.0108
34367.1]1,3.0,5.0,5.0[
,cije polje izgleda;
Pomeranje sredine x=0.5,h=0.5,k=1
00.2
0.40.6
0.81
p
0
100
200
300
n
0
0.005
0.01Umax
00.2
0.40.6
0.81
p
Ako predpostavim sledece, n
pku91.0108
34367.1]1,1,3.0,5.0,5.0[
,
Dobijam sledecu zavisnost pomeranja sredine ploce od koeficijenta elasticnosti podloge.
50 100 150 200 250 300n
0.004
0.006
0.008
0.012
Umax x=0.5,h=0.5,k=1,p=1
Ova opsta analiza ne daje konkretan zakljucak o vezi opterecenja I koeficijenta elasticnosti,pa cu preci na njihovu konkretnu analizu,koja se bazira na sledecim koeficijentima.
nEh
ca
pEh
aq
3
4
4
40 ,
Ako po dimenzijonisanju ploce se dobije da za opterecenje od 0.1Mpa debljina iznosi 1.5cm gde je dozvoljeni napon od 60Mpa,a duzina 1m,modul elasticnosti celika
E=2
111006.2m
Nx ,onda je p=33.3,pa kada se nadje prvi koren jednacine
npku
91.0108
7443.44]3.33,1,3.0,5.0,5.0[
,dobija se
da je 61076933.2 xn ,sto kada se uvrsti u pomeranje imamo, u=0.0000177543,sto predstavlja odnos pomeranja I debljine ploce. Medjutim ovo se dobija nakon 15 iteracija Njutnovom metodom,s’toga je priblizno,ali je onda koeficijent elasticnosti podloge mora
biti 3
11104.8m
Nxc .Koren od n= 1110 vec vise utice na pomeranje sredine ploce nego
ranije ali bi onda isti bio 3
1610m
Nc .U prvom slucaju bi pomeranje za sredinu ploce
izgledao;
500000 1´ 106 1.5 ´ 106 2´ 106 2.5 ´ 106n
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
Umax x=0.5,h=0.5,k=1,p=33.3
Ovakva analiza daje na uvid da ,kvadratna ploca dimenzionisana bez podloge ,moze priblizno da se ne pomera, ako se nadje podloga koja ima ovakve koeficijente elasticnosti.
Resavanje ploce Rayleigh – Ritzovovom metodom Polazi se od resenja koje zadovoljava granicne uslove a glasi,
M
m
N
n
nm
mn b
y
b
y
a
x
a
xhCyxw
1 1
12
12 )1()1(),(
Da bi se odredile konstante koristi se cinjenica da je potencijalna energija deformacije jednaka radu spoljasnih sila,sto znaci da je ukupna potencijalna energija ploce jednaka nuli.Sledeci izrazi definisu prethodno izreceno,
U
gdje je Ф – ukupna potencijalana energija sistema
- potencijalna energija deformacije i
U – rad spoljasnjih sila sila.
Koristeći se principom stacionarnosti ukupne potencijalne energije potrebno je pronaći
rešenje problema za pretpostavljeno polje pomeranja.
Izraz za potencijalnu energiju glasi
)1(12))(1()()(
2
12
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
hE
DdA
yx
wy
wx
w
yx
w
y
w
x
w
y
w
x
wD
A
a b
yy dxdyyx
w
y
w
x
ww
y
w
x
w
x
wD 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
))(1(2)(,)(2
1
a b
dxdyyx
w
y
w
x
w
x
w
x
wD))()(1(2)(
22
2
2
2
2
22
2
2
2
2
Izraz za rad spoljasnjih sila glasi
dydxyxwyxqUa b
0 0
),(),(
Da bih mogao da koristim bezdimenzijsko polje pomeranja,shodno tome
bezdimenzionisacu potencijalnu energiju deformacije,sledecim smenama
,
,
,
,
kb
a
uh
Wb
ya
x
Pa sledi;
a b
dduuu
ku
kuu
ku
a
bhE
)()1(2)2()1(24
22
2
2
2
222
2
2
24
2
2
2
22
2
2
2
3
5
2
ddabhCqUm n
nmmn
2
1
2
1
12121
0
1
0
0 )1()1()1()1(4
Dobijena su jos dva bezdimenzijska parametra a to su;
abhqUE
bEh
aE
s
p
0
5
3
1
;
Njihova dimenzija je kao sto se vidi [Nm].Sada izjednacavam potencijalnu energiju
deformacije sa radom spoljasnjih sila zarad stacionarnosti ukupne potencijalne energije.
1
0
1
0
22
2
2
2
222
2
2
24
2
2
2
22
2
2
2
)()1(2)2(
dduuu
ku
kuu
ku
=
ddCm n
nmmn
2
1
2
1
12121
0
1
0
)1()1()1()1(2
Polje pomeranja
2
1
2
1
1212 )1()1(),(m n
nmmnCu
Resavanjem ovih integrala doci cu do resenje jednacine po Cmn,a koje ce zavisiti od m ,
n,k,p,ν koji predstavljaju broj clanova reda u predpostavljenom stepenom redu koji je
resenje,a time I do veceg stepena resenja.Galerkinov integral je dozvoljavao m,n
vrednosti 1,dok se ovde ocekuje vece dopustanje a samim tim I drugaciji karakter polja
pomeranja.Cilj je naci ),,,,( kpnmFCmn .
Potrebni su nam sledeci izvodi;
)3)1(1()1)(3)1(1()1(
))3)(2()2)(1(2)1(()1(
))3)(2()2)(1(2)1(()1(
1 1
22
211
1 1
2
2
2
211
1 1
2
2
2
nmCu
nnnnnnCu
mmmmmmCu
nM
m
N
n
mmn
nmM
m
N
nmn
mnN
n
M
mmn
Sada treba ove izraze uvrstiti u izraz za potencijalnu energiju deformacije,sto sam ja
izveo koristeci se programskim paketom Mathematica4.0 pa se dobija
321 1
32
21
0
1
0
22
1 1
21
0
1
02
2
2
2
21
0
1
0
2
2
2
21
0
1
0
2
2
2
8364615
2
8364615
2
)25)(23)(21(
2
)25)(23)(21(
2
)27)(25)(23)(3)(2(
6)
)23)(21)(21(
)1(6(
)27)(25)(23)(3)(2(
6
)23)(21)(21(
)1(6
nnnmmmCdd
u
nnnmmmCdd
uu
mmmmmnnn
nnCdd
u
nnnnnmmm
mmCdd
u
M
m
N
nmn
M
m
N
nmn
m nmn
m nmn
mn
M
m
N
nmn
M
m
N
nmn
M
m
N
nmn
m nmn
m nmn
Cpnnnmmm
C
nnnmmmC
knnnmmm
Ck
mmmmmnnn
nnCk
nnnnnmmm
mmC
)1(175
2)
8364615
2
8364615
2
)25)(23)(21(
2
)25)(23)(21(
2
()1(2)25)(23)(21(
2
)25)(23)(21(
22
)27)(25)(23)(3)(2(
6)
)23)(21)(21(
)1(6(
)27)(25)(23)(3)(2(
6
)23)(21)(21(
)1(6
232
1 132
2
1 1
2
2
1 1
22
24
2
Izraz desno od jednakosti predstavlja integrisani rad spoljasnjih sila.Sada se pristupa
resavanju ove jednacine po koeficijentu Cmn.
Resenje je
)448223498
1
529210()14(9)432773742)(432773742(2
)27)(25)(22)(12)(12)(3)(2(
)14)(448223498529210(9(175
)27)(25)(22)(12)(12)(3)(2)(1()1()1(][
2432
244322322
1 125432
21212
nnnn
nnmknnnnmmmmk
nnnnnnn
nmmmmmm
mmmmmmmpu
M
m
N
n
nm
Sada uvrstavamo da je m,n jednako jedinici pa polje pomeranja izgleda da sledeci nacin
222224
2
)1()1(747
)1(63],[
kk
pu ,sto se poklapa sa predjasnjim resenjem
Sada m,n uzimaju vrednosti dva pa se dobija
))814481
3
994463
1(33
634499
33
747
1()1()1)(1(63),(
4242
424222222
kkkk
kkkkpu
Pomeranje ploce za p=1,k=1,m=2,n=2
00.2
0.40.6
0.81
x
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
h
0
0.05
0.1
0.15
u
00.2
0.40.6
0.81
x
Za funkciju pomeranja sredine ploce od odnosa duzina se dobija sledece
1 2 3 4 5 6k
0.1
0.2
0.3
0.4Umax Maximalni ugib
Dalje povecavanje broja clanova stepenog resenja dovodi do fizicki nerazumljivih
Neslaganje pa je stoga najtacniji rezultat koji za m,n uzima vrednost jedan,a koji je
odredjen Galerkinovom metodom.Postoji slaganje ove dve metode.