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SPAZI DI HARDY IN Rn
1. Funzioni test e operatori massimali in Rn
Scopo di questo capitolo e studiare la limitatezza L1 di operatori massimali e introdurrelo spazio di Hardy H1(Rn) attraverso di essi.
Il punto di partenza (negativo) e la Proposizione 15.3 in [AE]1: l’unica funzione f la cuifunzione massimale di Hardy-Littlewood sia integrabile su Rn e la funzione identicamentenulla.
Per ottenere risultati positivi, e necessario ricorrere a funzioni massimali piu “blande”,sostituendo alle medie di |f | sulle palle,
(1.1)1
|B|
∫B
|f(y)| dy ,
medie di f pesate con una densita ϕ dotata di un certo grado di regolarita, e opportunamentetraslata e riscalata per adattarsi alla palla in considerazione. Supponendo inizialmente chesuppϕ ⊂ B(0, 1), la media che prenderemo in considerazione sulla palla B = B(x, t) sara
(1.2)
∫f(y)t−nϕ
(y − xt
)dy =
∫f(y)ϕt(y − x) dy = f ∗ ϕt(x) .
Per evidenziare analogie e differenze tra (1.1) e (1.2), si noti che la media (1.1) puo essereespressa come ∫
|f(x)|ϕt(x− x0) dx , con ϕ(x) =1
|B(0, 1)|χB(0,1) .
In realta considereremo medie (1.2) anche con funzioni ϕ che non sono a supporto compatto(e non necessariamente positive). In generale, se ϕ ∈ L1(Rn) e
∫Rn ϕ(x) dx 6= 0, poniamo
(1.3) Mϕf(x) = supt>0
∣∣f ∗ ϕt(x)| .
La condizione∫ϕ 6= 0 e ovviamento un rilassamento della normalizzazione
∫ϕ = 1, carat-
teristica delle identita approssimate. Tenendo conto della relazione Mλϕf = |λ|Mϕf perλ ∈ C, questo rilassamento e inessenziale.
Il Teorema 15.10 si [AE] afferma che, se
ϕ∗(x) = sup|y|≥|x|
|ϕ(y)| ∈ L1(Rn) ,
allora
Mϕf(x) ≤ ‖ϕ∗‖1Mf(x) ,
1Indicheremo cosı i riferimenti agli appunti “Analisi Armonica su Spazi Euclidei”.1
2
dove M e l’operatore massimale di Hardy-Littlewood. Ovviamente questa condizione non epero sufficiente a garantire l’esistenza di funzioni f non nulle tali che Mϕf sia integrabile.
Mostriamo con un esempio che una tale f esiste se ϕ ha un minimo di regolarita.Esempio. Prendiamo ϕ con supporto nella palla unitaria e Holderiana di ordine δ > 0. Siprenda f limitata, con supp f ⊂ B(0, R) e con
∫Rn f(x) dx = 0. Allora
f ∗ ϕt(x) =
∫Rnf(y)ϕt(x− y) dy =
∫Rnf(y)
(ϕt(x− y)− ϕt(x)
)dy .
Ma ∣∣ϕt(x− y)− ϕt(x)∣∣ = t−n
∣∣∣ϕ(x− yt
)− ϕ
(xt
)∣∣∣ ≤ C|y|δ
tn+δ,
per cui ∣∣f ∗ ϕt(x)∣∣ ≤ Ct−n−δ
∫Rn|f(y)||y|δ dy = C ′t−n−δ .
D’altro canto, se |x| > R, f ∗ ϕt puo essere non nullo solo a condizione che (supp f) ∩B(x, t) 6= ∅, e dunque che t > |x| −R. Quindi, per |x| > R,
Mϕf(x) = C ′ supt>|x|−R
t−n−δ = C ′(|x| −R)−n−δ .
In particolare, se |x| > 2R, si ha |x| −R > |x|/2, e dunque∫|x|>2R
Mϕf(x) dx ≤ C ′′∫|x|>2R
|x|−n dx <∞ .
Per |x| < 2R vale la maggiorazione |f ∗ ϕt(x)| ≤ ‖f‖∞‖ϕ‖1, per cui Mϕf e limitata.Dunque Mϕf ∈ L1(Rn).
Nel seguito dovremo utilizzare diversi tipi di operatori massimali, che iniziamo a classificareper grandi linee.
1. Operatori massimali definiti da un’unica funzione ϕ.Questi si diversificano ulteriormente come segue:(i) operatori massimali “centrati”, ossia gli Mϕ in (1.3);(ii) operatori massimali “non centrati”,
Mϕ,bf(x) = supt>0 , |y−x|<bt
|f ∗ ϕt(y)| ,
per b > 0;(iii) operatori massimali “estremamente non centrati”,
M∗ϕ,Nf(x) = sup
t>0 , y∈Rn
(1 +|y − x|t
)−N |f ∗ ϕt(y)| ,
per N > 0.
3
2. “Grand maximal operators”Si considera una famiglia Φ di funzioni ϕ con date condizioni di regolarita e oppor-tunamente normalizzate, e si pone
MΦf(x) = supϕ∈Φ
Mϕf(x) , MΦ,bf(x) = supϕ∈Φ
Mϕ,bf(x) , M∗Φ.Nf(x) = sup
ϕ∈ΦM∗
ϕ,Nf(x) .
Negli operatori del primo tipo si impone la condizione che∫ϕ 6= 0, mentre in quelli del
secondo tipo le limitazioni imposte sugli elementi di Φ devono consentire la presenza difunzioni con integrale diverso da zero.
Con riferimento agli operatori del primo tipo, e utile avere una visualizzazione grafica dellediverse condizioni di variazione dei parametri t, y rispetto ai quali si prende il sup.
Sul semispazio Rn+1+ = Rn × (0,+∞) ⊂ Rn+1, si consideri la funzione u = uϕ data da
u(x, t) = f ∗ ϕt(x) .
Fissato x ∈ Rn, consideriamo la semiretta verticale Rx = {x} × (0,+∞) e i coni diapertura b, con vertice in x,
(1.4) Γx,b = {(y, t) : |x− y| < bt} .Allora
Mϕf(x) = supRx
|u| , Mϕ,bf(x) = supΓx,b
|u| ,
mentre
M∗ϕ,Nf(x) = sup
Rn+1+
(1 +|x− y|t
)−N|u(y, t)| ,
in cui i valori di u sulle varie semirette uscenti da x sono pesati in modo diverso.Con riferimento a questa rappresentazione, gli operatori della forma Mϕ,b si chiamano
anche “non tangenziali”.
Un caso particolarmente interessante e quello in cui ϕ = P ,
P (x) =cn(
1 + |x|2)n+1
2
,
dove la costante cn =Γ(n+1
2
)πn+1
2e scelta in modo che
∫Rn P (x) dx = 1.
Le funzioni
Pt(x) = cnt(
t2 + |x|2)n+1
2
formano il nucleo di Poisson che interviene nella soluzione del problema di Dirichlet
(1.5)
{∆u = 0 in Rn+1
+
u|t=0 = f .
Per f ∈ (L1 + L∞)(Rn), u(x, t) = f ∗ Pt(x) e l’unica soluzione del problema (1.5) che sialimitata nei sotto-semispazi t ≥ t0 > 0.
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Un caso ugualmente interessante e legato all’equazione del calore
(1.6)
{∂tu = ∆xu in Rn+1
+
u|t=0 = f .
In questo caso, per f ∈ (L1+L∞)(Rn), l’unica soluzione del problema (1.5) che sia limitatanei sotto-semispazi t ≥ t0 > 0 e data da u(x, t) = f ∗W√t, dove il nucleo di Weierstrass W√te ottenuto a partire dalla funzione
W (x) =1
(4π)n2
e−|x|24 .
Si noti che W ∈ S(Rn), mentre P non ha decadimento rapido.
2. Confronti tra “grand maximal functions”
Ci sono alcune ovvie relazioni tra le funzioni massimali sopra introdotte. Per esempio,
(2.1) Mϕf(x) ≤ Mϕ,bf(x) , Mϕf(x) ≤M∗ϕ,Nf(x) , Mϕ,bf(x) ≤ (1 + b)NM∗
ϕ,Nf(x) .
Le stesse relazioni valgono per le corrispondenti “grand maximal functions”. Per partico-lari famiglie Φ, si hanno anche relazioni inverse. Prendiamo per esempio
(2.2) Φm ={ϕ ∈ Cm : suppϕ ⊂ B(0, 1) , ‖ϕ‖Cm ≤ 1
}.
Proposizione 2.1. Valgono le relazioni
MΦmf(x) ≤ MΦm,bf(x) ≤ (1 + b)n+mMΦmf(x)
MΦmf(x) =M∗Φm,n+mf(x) .
Dimostrazione. Le disuguaglianze MΦmf(x) ≤ · · · sono ovvie. Prendiamo ora ϕ ∈ Φm ey ∈ Rn. Se y = x+ tv, poniamo ψ(x) = ϕ(x+ v). Allora
f ∗ ϕt(y) =
∫Rnf(z)t−nϕ
(x− zt
+ v)dz
=
∫Rnf(z)t−nψ
(x− zt
)dz
= f ∗ ψt(x) .
Ora, ψ ha supporto nella palla B(0, 1 + |v|) e ‖ψ‖Cm ≤ 1. Posto ψ(x) = (1 + |v|)nψ((1 +
|v|)x), si ha supp ψ ⊂ B(0, 1) e ‖ψ‖Cm ≤ (1 + |v|)n+m. Dunque ψ ∈ (1 + |v|)n+mΦm.
Poiche ψt = ψt(1+|v|)−n per ogni t > 0, si ha allora
|f ∗ ϕt(y)| ≤ (1 + |v|)n+mMΦmf(x) =(1 +|y − x|t
)n+mMΦmf(x) ,
e questo da la tesi in entrambi i casi. �
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Relazioni analoghe si possono ottenere per famiglie di funzioni Holderiane di ordine δ ∈(0, 1],
(2.3) Φδ = {ϕ : suppϕ ⊂ B(0, 1) , ‖ϕ‖Λδ ≤ 1} ,dove
‖ϕ‖Λδ = ‖ϕ‖∞ + supx,y|x− y|−δ
∣∣ϕ(x)− ϕ(y)∣∣ .
Prendiamo ora
Φ∞m ={ϕ ∈ C∞ : suppϕ ⊂ B(0, 1) , ‖ϕ‖Cm ≤ 1
}.
Si noti che, nonostante si prendano funzioni C∞, la normalizzazione e data in termini dellanorma Cm.
Proposizione 2.2. Vale l’uguaglianza
(2.4) MΦ∞m f(x) =MΦmf(x) .
Dimostrazione. Essendo la disuguaglianza ≤ ovvia, basta verificare che, dati ϕ ∈ Φm e t > 0,
(2.5)∣∣f ∗ ϕt(x)
∣∣ ≤ supψ∈Φ∞m , t>0
∣∣f ∗ ψt(x)∣∣ .
Sia {ηs}s>0 un’identita approssimata, con η ≥ 0 di classe C∞, supp η ⊂ B(0, 1) e∫η = 1.
Sia δ > 0 tale che suppϕ ⊂ B(0, 1− δ). Se s < δ, ϕ ∗ ηs ha supporto in B(0, 1), ϕ ∗ ηs ∈ C∞e ‖ϕ ∗ ηs‖Cm ≤ ‖ϕ‖Cm‖ηs‖1 ≤ 1. Quindi ϕ ∗ ηs ∈ Φ∞m e dunque∣∣f ∗ (ϕ ∗ ηs)t(x)
∣∣ ≤MΦ∞m f(x) .
Ma allora∣∣f ∗ ϕt(x)∣∣ = lim
s→0
∣∣f ∗ ϕt ∗ ηst(x)∣∣ = lim
s→0
∣∣f ∗ ϕt ∗ ηst(x)∣∣ ≤MΦ∞m f(x) ,
da cui segue la (2.5). �
In modo analogo si dimostra che, per 0 < δ ≤ 1,
MΦ∞δf(x) =MΦδf(x) .
Naturalmente la normalizzazione del supporto delle ϕ alla palla unitaria non e essenziale.Infatti, se ϕ ha supporto nella palla B(0, R), con R > 1, la funzione ϕR−1(x) = Rnϕ(Rx) hasupporto nella palla unitaria e (ϕR−1)t = ϕR−1t. Pertanto,
Mϕf(x) = MϕR−1f(x) .
A partire da questa osservazione, possiamo giungere a confronti che coinvolgono ϕ non asupporto compatto.
Introduciamo le norme di Schwartz
‖ϕ‖(m,s) =∑|α|≤m
supx∈Rn
(1 + |x|
)s+|α||∂αf(x)| ,
in cui m ∈ N e s > 0.
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Lemma 2.3. Sia ϕ ∈ S(Rn). Allora, per ogni m, s con s > n,
Mϕf(x) ≤ Cm,s‖ϕ‖(m,s)MΦmf(x) .
Dimostrazione. Scomponiamo ϕ in una serie di funzioni a supporto compatto nel modoseguente. Sia η una funzione C∞, tale che 0 ≤ η ≤ 1, supp η ⊂ B(0, 1) e η = 1 su B(0, 1
2).
Per ogni x ∈ Rn,
1 = limk→+∞
η(2−kx) = η(x) +∞∑k=1
(η(2−kx)− η(2−k+1x)
).
Poniamo η(x) = η(x)− η(2x). Allora
ϕ(x) = ϕ(x)η(x) +∞∑k=1
ϕ(x)η(2−kx) .
Abbiamo suppϕη ⊂ B(0, 1) e, per k ≥ 1, suppϕη(2−k·) ⊂ B(0, 2k)\B(0, 2k−2). Per k ≥ 1,riscaliamo di un fattore 2k, ponendo
ψk(x) = 2nkϕ(2kx)η(x) ,
e fissiamo α con |α| ≤ m. Siccome ψk ha supporto dove 14≤ |x| ≤ 1,∣∣∂αψk(x)| ≤ Cm
∑β≤α
2k(n+|β|)|∂βϕ(2kx)||∂α−β η(x)| ≤ C ′m‖ϕ‖(m,s)2−k(s−n) .
Lo stesso tipo di stima vale ovviamente anche per ψ0 = ϕη. Quindi
Mϕf(x) ≤∞∑k=0
Mψkf(x) ≤ C ′m
∞∑k=0
2−k(s−n)‖ϕ‖(m,s) . �
Corollario 2.4. Sia2
(2.6) Sm,s = {ϕ ∈ S(Rn) : ‖ϕ‖(m,s) ≤ 1} ,con s > n. Allora
MSm,sf(x) ≤ Cm,sMΦmf(x) .
3. Confronti tra “grand maximal functions”e funzioni massimali del primo tipo
Vediamo ora come una singola funzione massimale “estremamente non centrata” M∗ϕ,Nf
(con ϕ opportuna) possa controllare puntualmente una “grand maximal function”.Iniziamo col supporre ϕ ∈ S(Rn) e imponiamo le seguenti normalizzazioni3:
(i)∫
Rn ϕ(x) dx = 1;
2Se m = s scriviamo semplicemente Sm.3Data una qualunque ϕ ∈ S con
∫ϕ 6= 0, esistono λ 6= 0 e t > 0 tali che λϕt soddisfi (i) e (ii). Ai fini
dello studio di operatori masismali, questa restrizione non e dunque sostanziale.
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(ii) ‖ϕ‖(1) ≤ 1.
La chiave del metodo sta nel seguente lemma.
Lemma 3.1. Esistono ψ0, ψ1 ∈ S(Rn), con supp ψ0 ⊂ B(0, 12), supp ψ1 ⊂ B(0, 1
2) \ B(0, 1
8),
tali che
(3.1) ψ0 ∗ ϕ+∞∑k=1
(ψ1)2−k ∗ ϕ2−k = δ0 ,
nel senso delle distribuzioni.
Dimostrazione. Passando alla trasformata di Fourier, abbiamo, per la (i), ϕ(0) = 1 e∣∣ϕ(ξ)− 1∣∣ =
∣∣∣ ∫Rnϕ(x)(e−iξ·x − 1) dx
∣∣∣ ≤ |ξ|∫Rn|ϕ(x)||x| dx ≤ |ξ| .
Quindi |ϕ(ξ)| ≥ 12
se |ξ| ≤ 12.
Sia u una funzione C∞ con supporto nella palla B(0, 12), tale che 0 ≤ u(ξ) ≤ 1 per ogni ξ
e u(ξ) = 1 per |ξ| ≤ 14. Per ogni ξ ∈ Rn,
1 = limm→∞
u(2−mξ)
= limk→∞
(u(ξ) +
m∑k=1
(u(2−kξ)− u(2−k+1ξ)
))= u(ξ) +
∞∑k=1
(u(2−kξ)− u(2−k+1ξ)
)= u(ξ) +
∞∑k=1
v(2−kξ) ,
dove si e posto v(ξ) = u(ξ) − u(2ξ). Notiamo che supp v ⊂ {ξ : 18≤ |ξ| ≤ 1
2}, per cui in
ogni punto ci sono al massimo tre addendi della serie che sono diversi da 0. Notiamo ancheche sia u che v hanno supporto dove |ϕ| ≥ 1
2. ne consegue che u
ϕ, vϕ
sono C∞ a supporto
compatto. Esistono dunque ψ0, ψ1 ∈ S(Rn) tali che
ψ0 =u
ϕ, ψ1 =
v
ϕ.
Quindi
ψ0(ξ)ϕ(ξ) +∞∑k=1
ψ1(2−kξ)ϕ(2−kξ) = 1
puntualmente e nel senso delle distribuzioni. Invertendo la trasformata di Fourier si ha latesi. �
Corollario 3.2. Siano ϕ, ψ0, ψ1 come nel Lemma 3.1. Data η ∈ S(Rn), vale l’identita
(3.2) η = (η ∗ ψ0) ∗ ϕ+∞∑k=1
(η ∗ (ψ1)2−k
)∗ ϕ2−k ,
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dove, per ogni norma di Schwartz ‖ ‖(m) e ogni N ∈ N, esiste N ′ tale che
(3.3)∥∥η ∗ (ψ1)2−k
∥∥(m)≤ Cm,N2−Nk‖η‖(N ′) .
In particolare la serie converge in ogni norma di Schwartz.
Dimostrazione. Iniziamo dimostrando la (3.3). Poiche la trasformata di Fourier e un isomor-fismo di S(Rn), basta dimostrare la (3.3) con F
((η ∗ (ψ1)2−k
)al posto di η ∗ (ψ1)2−k .
La trasformata di Fourier di η ∗ (ψ1)2−k e η(ξ)ψ1(2−kξ), quindi ha supporto dove 2k−3 ≤|ξ| ≤ 2k−1. Si ha dunque, per |α| ≤ m,∣∣∂α(η(ξ)ψ1(2−kξ)
)∣∣ ≤∑β≤α
cα,β2−k|β|∣∣∂α−β η(ξ)
∣∣∣∣(∂βψ1(2−kξ)∣∣
≤ ‖ψ1‖Cm∑β≤α
cα,β2−k|β|‖η‖(m+N)
(1 + |ξ|
)−m−N≤ C‖ψ1‖Cm‖η‖(m+N)2
−Nk(1 + |ξ|)−m
.
Quindi
‖η ψ1(2−k·)‖(m) ≤ C‖ψ1‖Cm2−Nk‖η‖(m+N) .
Il resto segue facilmente. �
Il Corollario 3.2 consente di “trasferire” stime per operatori massimali definiti in terminidi ϕ ad altri definiti in termini di altre funzioni test.
Teorema 3.3. Siano ϕ, η come nel Corollario 3.2. Per ogni t > 0 e N ∈ N, esiste N ′ percui ∣∣f ∗ ηt(x)
∣∣ ≤ C‖η‖(N ′)M∗ϕ,Nf(x) .
Dimostrazione. Per la (3.2),∣∣f ∗ ηt(x)∣∣ ≤ ∣∣f ∗ (η ∗ ψ0)t ∗ ϕt(x)
∣∣+∞∑k=1
∣∣f ∗ (η ∗ (ψ1)2−k)t∗ ϕ2−kt(x)
∣∣ .Usando la disuguaglianza f ∗ ϕt(y) ≤
(1 + |x−y|
t
)NM∗
ϕ,Nf(x), valida per ogni x, y ∈ Rn,si ha∣∣f ∗ (η ∗ (ψ1)2−k
)t∗ ϕ2−kt(x)
∣∣ ≤ ∫Rn|f ∗ ϕt(y)|
∣∣(η ∗ (ψ1)2−k)t(x− y)
∣∣ dy≤M∗
ϕ,Nf(x)
∫Rn
(1 +|x− y|t
)N ∣∣(η ∗ (ψ1)2−k)t(x− y)
∣∣ dy= M∗
ϕ,Nf(x)
∫Rn
(1 +|y|t
)N ∣∣(η ∗ (ψ1)2−k)t(y)∣∣ dy
= M∗ϕ,Nf(x)
∫Rn
(1 + |y|)N∣∣(η ∗ (ψ1)2−k
)(y)∣∣ dy .
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Per la (3.3) con m = n+ 1, segue che esiste N ′ per cui∣∣f ∗ (η ∗ (ψ1)2−k)t∗ ϕ2−kt(x)
∣∣ ≤ CN2−k‖η‖(N ′)M∗ϕ,Nf(x)
∫Rn
(1 + |y|)−n−1 dy
≤ C ′N2−k‖η‖(N ′)M∗ϕ,Nf(x) .
Sommando in k e valutando il termine contenente ψ0 alla stessa maniera, si ha la tesi. �
Corollario 3.4. Sia ϕ ∈ S(Rn) con∣∣ ∫
Rn ϕ(x) dx∣∣ = λ > 0. Per ogni N esiste N ′ tale che
MSN′f(x) ≤ Cλ−1M∗ϕ,Nf(x) .
L’ultima relazione che vogliamo introdurre riguarda il confronto tra la funzione massimale“estremamente non centrata” M∗
ϕ,Nf e le corrispondenti funzioni massimali non centrate
Mϕ,bf . In questo caso, tuttavia, non otterremo delle maggiorazioni puntuali, ma solo innorma Lp.
Dobbiamo premettere alcune considerazioni riguardanti una generica funzione misurabileu(x, t) ≥ 0 definita sul semispazio Rn+1
+ . Esse saranno poi applicate a u(x, t) = |f ∗ ϕt(x)|.Indicando con Γx,b ⊂ Rn+1
+ il cono di vertice x e apertura b > 0, definito nella (1.4),poniamo
u∗b(x) = sup(y,t)∈Γx,b
u(y, t) .
Lemma 3.5. Dato b > 0, sia
Aαb = {x ∈ Rn : u∗b(x) > α} .
Se 0 < b < b′, valgono le disuguaglianze
|Aαb | ≤ |Aαb′| ≤ C(
1 +b′
b
)n|Aαb | .
Dimostrazione. Essendo u∗b ≤ u∗b′ , Aαb ⊂ Aαb′ e la prima disuguaglianza e ovvia.
Sia ora x ∈ Aαb′ . Vuol dire che esiste (y, t) ∈ Γx,b′ tale che u(y, t) > α. Quindi, se|z − y| < bt, (y, t) ∈ Γz,b e dunque u∗b(z) > α. Cio significa che B(y, bt) ⊂ Aαb .
Poiche |y − x| < b′t, si ha anche B(y, bt) ⊂ B(x, (b+ b′)t
). Abbiamo dunque
1∣∣B(x, (b+ b′)t)∣∣ ∫
B(x,(b+b′)t
) χAαb′
(z) dz =
∣∣Aαb′ ∩B(x, (b+ b′)t)∣∣B(x, (b+ b′)t
)∣∣≥ |B(y, bt)|∣∣B(x, (b+ b′)t
)∣∣=( b
b+ b′
)n.
Indicando con M la funzione massimale di Hardy-Littlewood, si ha percio
MχAαb′
(x) ≥( b
b+ b′
)n,
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e dunque
Aαb′ ⊂{x : MχAα
b′(x) ≥
( b
b+ b′
)n}.
Per il Teorema 15.5 di [AE],
|Aαb′| ≤∣∣∣{x : MχAα
b′(x) ≥
( b
b+ b′
)n}∣∣∣≤ C
(1 +
b′
b
)n‖χAα
b′‖1
= C(
1 +b′
b
)n|Aαb | . �
Proposizione 3.6. Vale la disuguaglianza∫Rnu∗b′(x) dx ≤ C
(1 +
b′
b
)n ∫Rnu∗b(x) dx .
Dimostrazione. Segue direttamente dal Teorema 8.1 in [AE]. �
Corollario 3.7. Sia ϕ ∈ S(Rn). Le norme∥∥Mϕ,bf
∥∥1
sono equivalenti fra loro al variare dib.
Se N > n, ∥∥M∗ϕ,Nf
∥∥p≤ CN
∥∥Mϕ,1f∥∥p.
Dimostrazione. Si ha
M∗ϕ,Nf(x) ≤ sup
j≥02−Nj sup
2jt≤|y−x|<2j+1t
|f ∗ ϕt(y)|
≤∞∑j=0
2−NjMϕ,2jf(x) .
Per la Proposizione 3.6, ∥∥M∗ϕ,Nf
∥∥1≤
∞∑j=0
2−Nj∥∥Mϕ,2jf
∥∥1
≤ C∞∑j=0
2−(N−n)j∥∥Mϕ,1f
∥∥1
≤ C∥∥Mϕ,1f
∥∥1. �
A conclusione di tutto quanto visto sui vari operatori massimali4, diamo un risultatoriassuntivo sulla equivalenza delle norme L1. Si noti che per p > 1 le equivalenze sono con-seguenze ovvie del fatto che ‖f‖p e equivalente a ‖Mf‖p per l’operatore di Hardy-LittlewoodM , e che ciascuna degli operatori massimali introdotti e dominato, a meno di costanti molti-plicatice, da M .
4Si rinvia al libro di E. M. Stein, Harmonic Analysis. Real-variable methods, orthogonality, and oscillatoryintegrals per l’ampliamento di questa serie di equivalenze agli operatori massimali centrati Mϕ con ϕ ∈ S eMP , dove P indica il nucleo di Poisson.
11
Teorema 3.8. Le seguenti proprieta sono equivalenti:
(i) MΦf ∈ L1, con Φ una delle famiglie (2.2), (2.3), ø(2.6) con s > n;(ii) MΦ,bf ∈ L1, con Φ come sopra;
(iii) M∗Φ,Nf ∈ L1, con Φ come sopra;
(iv) Mϕ,bf ∈ L1, con ϕ ∈ S(Rn) e b > 0;(v) M∗
ϕ,Nf ∈ L1, con ϕ ∈ S(Rn) e N > n;
Le norme L1 di tali funzioni massimali, quando sono finite, sono equivalenti fra loro.
4. Lo spazio H1(Rn) e la sua struttura atomica
Definizione 4.1. Si indica con H1(Rn) lo spazio delle funzioni f ∈ L1loc(Rn) tali che una
qualunque delle sue funzioni massimali indicate nel Teorem 3.8 sia integrabile.
Fissato, per es., un operatore “grand maximal” MΦ, poniamo
‖f‖H1 = ‖MΦf‖1 .
Lemma 4.2. H1(Rn) ⊂ L1(Rn) con inclusione continua. H1(Rn) e completo.
Dimostrazione. Sia f ∈ H1(Rn). Si prenda ϕ ∈ Φ, con∫
Rn ϕ = a > 0. Per ogni t > 0,|f ∗ ϕt| ≤ MΦf e limt→0 f ∗ ϕt(x) = af(x) quasi ovunque. Quindi |f(x)| ≤ MΦf(x) quasiovunque, per cui f ∈ L1(Rn) e ‖f‖1 ≤ ‖f‖H1 .
Sia {fm} una successione di Cauchy in H1(Rn). Esiste allora limm→∞ fm = f in norma L1.Data ϕ ∈ Φ,∣∣(f − fm) ∗ ϕt(x)
∣∣ = limk→∞
∣∣(fk − fm) ∗ ϕt(x)∣∣ ≤ sup
k>mMΦ(fk − fm)(x) .
Quindi,MΦ(f − fm)(x) ≤ sup
k>mMΦ(fk − fm)(x) .
Da cio segue che f − fm ∈ H1(Rn), e dunque f ∈ H1(Rn). Inoltre
‖f − fm‖H1 ≤ supk>m‖fk − fm‖H1 ,
per cui limm→∞ ‖f − fm‖H1 = 0. �
Individuiamo ora una speciale famiglia di elementi di H1(Rn), detti atomi.
Definizione 4.3. Sia 1 < q ≤ ∞. Si chiama (1, q)-atomo una funzione a(x), con supportoin una palla B e tale che
(i) ‖a‖q ≤ |B|−1+ 1q ;
(ii)∫Ba(x) dx = 0 .
Lemma 4.4. Un (1, q) atomo a e in H1(Rn) e ‖a‖H1 e limitata da una costante indipendenteda a.
12
(La dimostrazione ricalca l’Esempio nel paragrafo 1.)
Dimostrazione. Sia ϕ ∈ S(Rn) con supporto in B(0, 1),∫ϕ 6= 0. Allora
Mϕa(x) ≤ CϕMa(x) ,
dove Ma e la funzione massimale di Hardy-Littlewood. Per il Teorema 16.3 in [AE],
‖Mϕa‖q ≤ Cϕ,n,q‖a‖q ≤ Cϕ,n,q|B|−1+ 1q .
Se B = B(x0, r), poniamo B∗ = B(x0, 2r). Per la disuguaglianza di Holder,∫B∗Mϕa(x) dx ≤ |B∗|
1q′ ‖Mϕa‖q ≤ Cϕ,n,q2
nq′ .
Se x 6∈ B∗, occorre che t > |x− x0| − r per poter avere a ∗ϕt(x) 6= 0. Usando la proprieta(ii) di media nulla di a, si ha
a ∗ ϕt(x) =
∫B
a(y)t−nϕ(x− y
t
)dt
=
∫B
a(y)t−n(ϕ(x− y
t
)− ϕ
(x− x0
t
))dy .
Per il Teorema del valor medio,∣∣∣ϕ(x− yt
)− ϕ
(x− x0
t
)∣∣∣ ≤ Cϕ|y − x0|
t≤ Cϕ
r
t,
per cui, tenendo conto che t > |x− x0| − r > |x−x0|2
,∣∣a ∗ ϕt(x)∣∣ ≤ 2n+1Cϕ
r
|x− x0|n+1
∫B
|a(y)| dy
≤ 2n+1Cϕr
|x− x0|n+1|B|
1q′ ‖a‖q
≤ 2n+1Cϕr
|x− x0|n+1.
Di conseguenza, Mϕa(x) ≤ 2n+1Cnr|x− x0|−n−1 per x 6∈ B∗, e dunque∫Rn\B∗
Mϕa(x) dx ≤ 2n+1Cϕ
∫|x−x0|>2r
r
|x− x0|n+1dx ≤ Cn,ϕ ,
come si verifica facilmente integrando in coordinate polari con polo in x0. �
Dimostriamo ora il seguente risultato fondamentale.
Teorema 4.5. Sia f ∈ H1(Rn). Esiste allora una successione {aj} di (1,∞)-atomi e unasuccessione di scalari {λj} ∈ `1 tali che
(i) f =∑∞
j=0 λjaj ;
(ii)∑∞
j=0 |λj| ≤ Cn‖f‖H1 .
13
La dimostrazione e basata su un adattamento della decomposizione di Calderon-Zygmund(v. Teorema 16.5 in [AE]), e il suo punto di partenza e la decomposizione di Whitney delLemma 16.4.
Dimostrazione. Siano k, k′ come nell’enunciato del Lemma 16.4 in [AE], e data una pallaB = B(x0, r), siano B∗ = B(x0, kr), B
∗∗ = B(x0, k′r). Consideriamo la funzione massimale
MΦ1,b = MΦ∞1 ,b, dove b sara determinato piu avanti.
La funzione MΦ1,bf e semicontinua inferiormente. Infatti, se MΦ1,bf(x) > α, esistonoϕ ∈ Φ1, t > 0 e y con |x− y| < k′t tali che |f ∗ ϕt(y)| > α. Per la continuita di f ∗ ϕt, esisteδ > 0 tale che |f ∗ ϕt(y′)| > α per ogni y′ con |y′ − y| < δ. Di conseguenza, MΦ1,bf(x′) > αse |x− x′| < δ.
Fissato α > 0, l’insieme Aα = {x : MΦ1,bf(x) > α} e dunque aperto, e ammette perciouna decomposizione di Whitney {Bj = B(xj, rj)}, dove, posto Fα = Rn \ Aα,
(i) le palle Bj sono aperte e a due a due disgiunte;(ii)
⋃j B∗j = Aα e il raggio krj di B∗j e uguale a 1
2d(xj, Fα);
(iii) B∗∗j ∩ Fα 6= ∅.
Introduciamo anche le palle Bj = B(xj,
32krj), in modo che B∗j ⊂ Bj ⊂ Aα, e d(Bj, Fα) =
14d(xj, Fα).
Per ogni j, sia ψj una funzione C∞ con supporto in Bj, con 0 ≤ ψj ≤ 1, uguale a 1 su un
intorno di B∗j , e con |∂αψj| ≤ Cαr−|α|j per ogni α. La funzione
Ψ(x) =∑j
ψj(x)
e ben definita e C∞ in Aα perche nell’intorno di ogni punto solo un numero finito di addendi
e diverso da zero. Infatti, per la (ii) e sufficiente vedere che solo un numero finito di Bj
intersecano una data palla Bj0 . Se B(xj,
32krj)∩B(xj0 ,
32krj0) 6= ∅, devono valere le seguenti
condizioni:
d(xj, Fα) = 2krj , d(xj0 .Fα) = 2krj0 , |xj − xj0| <3
2k(rj + rj0) .
Quindi 2krj ≤ 32krj + 7
2krj0 e 2krj0 ≤ 7
2krj + 3
2krj0 , ossia 1
7rj0 ≤ rj ≤ 7rj0 . Inoltre
|xj − xj0 | ≤ 12krj0 . Ma allora la palla B = B(xj0 , (12k + 7)rj0
)contiene l’intera palla Bj.
Questa ha volume non inferiore a 7−n|Bj0| =(7(12k + 7)
)−n|B|. Siccome tali palle sono a
due a due disgiunte, il loro numero non puo superare(7(12k + 7)
)n= N .
Siccome ogni punto di Aα appartiene ad almeno una palla B∗j , abbiamo dunque 1 ≤Ψ(x) ≤ N su Aα. Ovviamente, Ψ = 0 su Fα. Poniamo
ψj(x) =ψj(x)
Ψ(x).
14
Ovviamente, supp ψj ⊂ Bj, 0 ≤ ψj ≤ 1 e∑
j ψj = χAα . Fissato j0, e indicando con Ej0
l’insieme dei j per cui Bj ∩ Bj0 6= ∅,∣∣∂αψj0∣∣ =1
Ψ2
∣∣∣Ψ∇ψj0 − ψj0 ∑j∈Ej0
∇ψj∣∣∣ ≤ ∣∣∇ψj0∣∣+
∑j∈Ej0
∣∣∇ψj∣∣ .Siccome rj ∼ rj0 per j ∈ Ej0 , esiste una costante C1 per cui
∣∣∇ψj0∣∣ ≤ C1r−1j0
.
Esprimendo la generica ψj(x) come ϕj(x−xj
tj
), con tj = 3
2krj, il raggio di Bj, vediamo che
suppϕj ⊂ B(0, 1), ‖ϕj‖∞ ≤ 1 e ‖∇ϕj‖∞ ≤ 32kC1. Quindi ϕj ∈
(1 + 3
2kC1
)Φ∞1 .
Scomponiamo dunque f come
(4.1) f = fχFα +∑j
fψj .
Ovviamente, |f(x)| ≤ MΦ∞1 ,bf(x) ≤ α per x ∈ Fα. Scomponiamo ora
fψj = (f − cj)ψj + cjψj ,
in modo tale che∫
(f − cj)ψj = 0. Posto µj =∫ψj, cio vuol dire porre
(4.2) cj =1
µj
∫Rnf(x)ψj(x) dx .
Siccome ψj = 1 su B∗j , si ha
µj ≥|B∗j |N
= C2rnj .
Quindi
|cj| ≤ C−12 r−nj
∣∣∣ ∫Rnf(x)ϕj
(x− xjtj
)dx∣∣∣
= C−12
( tjrj
)n∣∣f ∗ (ϕj)tj(xj)∣∣
= C3
∣∣f ∗ (ϕj)tj(xj)∣∣ .
Siccome B∗∗j ∩ Fα 6= ∅, esiste y ∈ Fα tale che |y − xj| < k′rj = 2k′
3ktj. Se quindi poniamo
b = 2k′
3k, possiamo dire che
(4.3) |cj| ≤ C3
∣∣f ∗ (ϕj)tj(xj)∣∣ ≤ C3MΦ1,bf(y) ≤ C3α .
Riscriviamo dunque la scomposizione (4.1) come
(4.4)
f =(fχFα +
∑j
cjψj
)+∑j
(f − cj)ψj
= g +∑j
(f − cj)ψj ,
dove|g| ≤ Cα ,∫
(f − cj)ψj = 0 , supp (f − cj)ψj ⊂ Bj .
15
La scomposizione (4.4) dipende ovviamente da α. Poiche vogliamo ora prendere in consi-derazione valori diversi di α, precisamente α = 2m con m ∈ Z, introduciamo opportuni apici:
g(m), c(m)j , ψ
(m)j , ecc., notando che le costanti C1, C2, . . . intervenute nelle disuguaglianze non
dipendono da m.Osserviamo che
limm→−∞
g(m) = 0 , limm→+∞
g(m) = f
quasi ovunque, nel primo caso perche |g(m)| ≤ 2m, nel secondo perche∑
j b(m)j ha supporto
su A2m , e |A2m| ≤ 2−m‖MΦ1,b‖1 per la disuguaglianza di Chebichev. Quindi
(4.5) f = limm→+∞
g(m) − limm→−∞
g(m) =+∞∑−∞
(g(m+1) − g(m)) .
Per la (4.4),
g(m+1) − g(m) =∑j
(f − c(m)j )ψ
(m)j −
∑j′
(f − c(m+1)j′ )ψ
(m+1)j′ .
Lavorando sui termini a secondo membro arriveremo a costruire gli (1,∞)-atomi che com-pongono la funzione f . Osserviamo che ciascun addendo ha supporto in una palla e ha medianulla. Tuttavia non e, in generale, una funzione limitata.
Osserviamo che (f − c(m+1)j′ )ψ
(m+1)j′ ha supporto in A2m+1 ⊂ A2m . Pertanto,
(f − c(m+1)j′ )ψ
(m+1)j′ =
∑j
(f − c(m+1)j′ )ψ
(m)j ψ
(m+1)j′ ,
e dunque
g(m+1) − g(m) =∑j
(f − c(m)j )ψ
(m)j −
∑j,j′
(f − c(m+1)j′ )ψ
(m)j ψ
(m+1)j′ .
Gli addendi dell’ultima serie non hanno tuttavia media nulla, che tuttavia possiamoripristinare ponendo, in analogia con (4.2),
(4.6) d(m)j,j′ =
1
µ(m+1)j′
∫ (f(x)− c(m+1)
j′
)ψ
(m)j (x)ψ
(m+1)j′ (x) dx ,
di modo che ∫ ((f(x)− c(m+1)
j′
)ψ
(m)j (x)− d(m)
j,j′
)ψ
(m+1)j′ (x) dx = 0 .
Notiamo che, per la (4.6),∑j
d(m)j,j′ =
1
µ(m+1)j′
∫ (f(x)− c(m+1)
j′
)ψ
(m+1)j′ (x) dx = 0 .
16
Pertanto,
(4.7)
g(m+1) − g(m) =∑j
(f − c(m)j )ψ
(m)j −
∑j,j′
((f − c(m+1)
j′ )ψ(m)j − d(m)
j,j′
)ψ
(m+1)j′
=∑j
((f − c(m)
j )ψ(m)j −
∑j′
((f − c(m+1)
j′ )ψ(m)j − d(m)
j,j′
)ψ
(m+1)j′
)=∑j
b(m)j .
Vediamo ora le proprieta dei singoli termini
(4.8) b(m)j = (f − c(m)
j )ψ(m)j −
∑j′
((f − c(m+1)
j′ )ψ(m)j − d(m)
j,j′
)ψ
(m+1)j′ .
Per cominciare,∫b
(m)j = 0. Osserviamo poi che la somma e estesa ai soli j′ ∈ E(m)
j per
cui B(m)j ∩ B(m+1)
j′ 6= ∅, perche altrimenti ψ(m)j ψ
(m+1)j′ = 0 e d
(m)j,j′ = 0. Quindi
supp b(m)j ⊂ B
(m)j ∪
⋃j′∈E(m)
j
B(m+1)j′ .
Come visto sopra, i raggi r(m)j e r
(m+1)j′ delle palle B
(m)j e B
(m+1)j′ soddisfano le condizioni
2kr(m)j = d(x
(m)j , F2m) , 2kr
(m+1)j′ = d(x
(m+1)j′ , F2m+1) ≤ d(x
(m+1)j′ , F2m) .
Essendo d(x(m+1)j′ , F2m) ≤ |x(m+1)
j′ − x(m)j |+ d(x
(m)j , F2m), segue che
2kr(m+1)j′ ≤ 3
2k(r
(m+1)j′ + r
(m)j ) + 2kr
(m)j ,
e dunque che r(m+1)j′ ≤ 7r
(m)j . In conclusione,
supp b(m)j ⊂ B(x
(m)j , 15r
(m)j ) .
Mostriamo ora che b(m)j e limitata. Raggruppando i termini contenenti f nella (4.8), si ha
b(m)j = f
(1−
∑j′
ψ(m+1)j′
)ψ
(m)j − c(m)
j ψ(m)j +
∑j′
(c
(m+1)j′ ψ
(m)j + d
(m)j,j′
)ψ
(m+1)j′
= fχF2m+1 ψ(m)j − c(m)
j ψ(m)j +
∑j′
(c
(m+1)j′ ψ
(m)j + d
(m)j,j′
)ψ
(m+1)j′ .
Su F2m+1 , |f | ≤ 2m+1. Per la (4.3), |c(m)j | ≤ C32m e |c(m+1)
j′ | ≤ C32m+1. Quanto a d(m)j,j′ , si
ha, per la (4.6),
|d(m)j,j′ | ≤
1
µ(m+1)j′
∣∣∣ ∫ f(x)ψ(m)j (x)ψ
(m+1)j′ (x) dx
∣∣∣+ |c(m+1)j′ | .
17
Per stimare l’integrale, possiamo ripetere l’argomento usato per dimostrare la (4.3), con
µ(m+1)j′ , ψ
(m)j ψ
(m+1)j′ e B
(m+1)j′ al posto di µj, ψj e Bj rispettivamente. Cio e possibile perche,
per la regola di Leibniz,∣∣∇(ψ(m)j ψ
(m+1)j′ )
∣∣ ≤ C1
r(m)j
+C1
r(m+1)j′
≤ 8C1
r(m+1)j′
.
In questo modo si ottiene che |d(m)j,j′ | ≤ C42m. Pertanto,∣∣∣∑
j′
(c
(m+1)j′ ψ
(m)j + d
(m)j,j′
)ψ
(m+1)j′
∣∣∣ ≤∑j′
(2C32m + C42m)ψ(m+1)j′ ≤ (2C3 + C4)2m .
In conclusione, |b(m)j | ≤ C52m, e dunque
b(m)j = C52m
∣∣B(m)j
∣∣ a(m)j ,
dove a(m)j e un (1,∞)-atomo.
Per la (4.5) e la (4.7),
f =∑m∈Z
∑j
λ(m)j a
(m)j ,
con λ(m)j = C52m
∣∣B(m)j
∣∣.Poiche, per m fissato, le palle B
(m)j sono a due a due disgiunte e contenute in A2m ,∑
j,m
λ(m)j ≤ C5
∑m∈Z
2m|A2m |
≤ 2C5
∑m∈Z
∫ 2m
2m−1
|Aα| dα
= 2C5
∫ ∞0
|Aα| dα
= 2C5
∫RnMΦ1,bf(x) dx
≤ C6‖f‖H1 . �
Si noti che la scomposizione atomica di una funzione f ∈ H1(Rn) fornita dal Teorema 4.5non e unica. Tenendo conto di cio, si ottiene il seguente corollario.
Corollario 4.6. Per q ∈ (1,∞], sia H1,q(Rn) lo spazio delle funzioni f ∈ L1(Rn) rappre-sentabili come somme di (1, q)-atomi
(4.9) f(x) =∞∑j=0
λj aj(x) ,
con∑∞
j=0 |λj| <∞. Si ponga su H1,q(Rn) la norma
‖f‖H1,q = inf{ ∞∑
j=0
|λj| : f =∞∑j=0
λj aj , aj (1, q)-atomi}.
18
Allora H1,q(Rn) = H1(Rn) per ogni q e le rispettive norme sono equivalenti.
Dimostrazione. Poiche gli (1,∞)-atomi sono anche (1, q)-atomi per 1 < q < ∞, si ha evi-dentemente che H1,∞ ⊂ H1,q e ‖f‖H1,q ≤ ‖f‖H1,∞ . Il Lemma 4.4 implica che H1,q ⊂ H1 e‖f‖H1 ≤ Cn,q‖f‖H1,q . Il Teorema 4.5 implica che H1 ⊂ H1,∞ e ‖f‖H1,∞ ≤ C6‖f‖H1 . �
Osserviamo infine che la serie (4.9) converge a f in norma H1. Infatti, essendo
f(x)−N∑j=0
λj aj(x) =∞∑
j=N+1
λj aj(x) ,
si ha
(4.10)∥∥∥f − N∑
j=0
λj aj
∥∥∥H1,q≤
∞∑j=N+1
|λj| .
5. BMO(Rn) come spazio duale di H1(Rn)
Siccome ogni singolo atomo ha media nulla,
f ∈ H1(Rn) =⇒∫
Rnf(x) dx = 0 .
Tuttavia l’implicazione inversa non vale. Si possono esibire esempi espliciti, ma si puoanche osservare che se fosse H1(Rn) = L1
0(Rn) = {f ∈ L1 :∫f = 0}, allora lo spazio duale
di H1(Rn) sarebbe L∞(Rn)/{costanti}.Vediamo ora che invece lo spazio duale consiste delle funzioni con oscillazione media limi-
tata.Sia f ∈ L1
loc(Rn). Se B e una palla, indichiamo con fB la media di F su B,
fb =1
|B|
∫B
f(x) dx .
Si chiama oscillazione media di ordine q di f su una palla B il numero
moq(f,B) =( 1
|B|
∫B
∣∣f(x)− fB∣∣q dx) 1
q.
Definizione 5.1. Dato q, 1 ≤ q <∞, si pone
‖f‖BMOq = supB
moq(f,B) .
Si chiama BMOq(Rn) lo spazio delle classi di equivalenza, modulo funzioni costanti, difunzioni tali che ‖f‖BMOq <∞.
Per q = ∞, la condizione supB mo∞(f,B) < ∞ equivale alla limitatezza di f . Invece,per q < ∞, BMOq contiene (classi di equivalenza di) funzioni illimitate. Premettiamo unlemma.
19
Lemma 5.2. Sia f ∈ Lqloc(Rn), 1 ≤ q < ∞. Supponiamo che per ogni palla B esista unacostante cB tale che
supB
( 1
|B|
∫B
∣∣f(x)− cB∣∣q dx) 1
q<∞ .
Allora f ∈ BMOq(Rn) e ‖f‖BMOq ≤ 2 supB
(1|B|
∫B
∣∣f(x)− cB∣∣q dx) 1
q.
Dimostrazione. Per ogni palla B ha
|fB − cB| =∣∣∣ 1
|B|
∫B
f(x) dx− cB∣∣∣
=∣∣∣ 1
|B|
∫B
(f(x)− cb
)dx∣∣∣
≤( 1
|B|
∫B
∣∣f(x)− cB∣∣q dx) 1
q.
Quindi
moq(f,B) ≤ 2( 1
|B|
∫B
∣∣f(x)− cB∣∣q dx) 1
q. �
Esempio.La funzione f(x) = log |x| ha norma BMO1 finita. Sia B = B(x0, r) una palla. Se|x0| > 2r, si ha 1
2|x0| ≤ |x| ≤ 3
2|x0| per ogni x ∈ B, e dunque
∣∣ log |x| − log |x0|∣∣ ≤ log 2.
Posto cB = log |x0|, si ha dunque
mo1(f,B) ≤ 2
|B|
∫B
∣∣ log |x| − log |x0|∣∣ dx ≤ C .
Se |x0| ≤ 2r, B ⊂ B′ = B(0, |x0| + r) e |B′| ≤ 3n|B|. Quindi, con cB = log(|x0| + r
), il
cambio di variabile x =(|x0|+ r
)y da
mo1(f,B) ≤ 2 3n
|B′|
∫B′
∣∣ log |x| − log(|x0|+ r
)∣∣ dx= C
∫|y|<1
∣∣ log |y|∣∣ dy .
Teorema 5.3. Siano q ∈ [1,∞), f ∈ H1(Rn) e f =∑
j λj aj una sua decomposizione in
(1, q′)-atomi. Data b ∈ BMOq, la serie
(5.1)∑j
λj
∫Rnaj(x)b(x) dx
e assolutamente convergente e il suo valore non dipende ne dalla scelta del rappresentantedella classe di equivalenza b ∈ BMOq, ne dalla decomposizione atomica di f . Chiamando`(f) tale valore, ` e un funzionale lineare continuo su H1(Rn) e
(5.2) |`(f)| ≤ ‖b‖BMOq‖f‖H1,q′ .
20
Viceversa, dati ` funzionale lineare continuo su H1 e q ∈ [1,∞), esiste una e una solab ∈ BMOq con ‖b‖BMOq ≤ Cq‖`‖ per cui valga (5.1).
Come immediata conseguenza si ha:
Corollario 5.4. Gli spazi BMOq(Rn), con q ∈ [1,∞), coincidono tra loro, con equivalenzadelle rispettive norme.
Indicheremo tale spazio con BMO(Rn).
Dobbiamo premettere un lemma alla dimostrazione del Teorema 5.3. Si noti che l’enunciatocontiene un abuso di notazione: le funzioni |b| e bα sono diverse a seconda del particolarerappresentante scelto nella classe di equivalenza in BMOq.
Lemma 5.5. Se b ∈ BMOq, anche |b| ∈ BMOq e∥∥ |b|∥∥
BMOq≤ 2‖b‖BMOq . Dato α > 0,
bα(x) =
b(x) se |b(x)| ≤ α
αb(x)
|b(x)|se |b(x)| > α
e in BMOq e ‖bα‖BMOq ≤ 2‖b‖BMOq .
Dimostrazione. La prima parte dell’enunciato segue dalla disuguaglianza( 1
|B|
∫B
∣∣|b(x)| − |bB|∣∣q dx) 1
q ≤( 1
|B|
∫B
∣∣b(x)− bB∣∣q dx) 1
q,
e dal Lemma 5.2.Per quanto riguarda bα, sia B una palla. Se |bB| ≤ α, vale la disuguaglianza( 1
|B|
∫B
∣∣bα(x)− bB∣∣q dx) 1
q ≤( 1
|B|
∫B
∣∣b(x)− bB∣∣q dx) 1
q,
perche, se |b(x)| > α, una semplice considerazione geometrica mostra che∣∣bα(x) − bB
∣∣ <∣∣b(x)− bB∣∣, essendo bα(x) la proeizione di b(x) sul cerchio di raggio α.
Se |bB| > α, vale la disuguaglianza( 1
|B|
∫B
∣∣∣bα(x)− α bB|bB|
∣∣∣q dx) 1q ≤
( 1
|B|
∫B
∣∣b(x)− bB∣∣q dx) 1
q,
come pure segue da semplici considerazioni geometriche. �
Dimostrazione del Teorema 5.3. Se a e un (1, q′)-atomo con supporto in una palla B, si ha
(5.3)
∣∣∣ ∫Rna(x)b(x) dx
∣∣∣ =∣∣∣ ∫
Rna(x)
(b(x)− bB) dx
∣∣∣≤ ‖a‖q′
(∫Rn
∣∣b(x)− bB|q dx) 1q
≤( 1
|B|
∫Rn
∣∣b(x)− bB|q dx) 1q
≤ ‖b‖BMOq .
21
Quindi la serie (5.1) e assolutamente convergente e
(5.4)∑j
|λj|∣∣∣ ∫
Rnaj(x)b(x) dx
∣∣∣ ≤ (∑j
|λj|)‖b‖BMOq .
Per dimostrare che la sua somma non dipende dalla decomposizione atomica di f , bastadimostrare che se
∑j λj aj = 0, allora la somma (5.1) da 0.
Cio e vero se b e limitata. Infatti, essendo g =∑
j |λj| |aj| ∈ L1(Rn), per il teorema diconvergenza dominata si ha∑
j
λj
∫Rnaj(x)b(x) dx =
∫Rn
(∑j
λj aj(x))b(x) dx = 0 .
Per una generica b ∈ BMOq, le funzioni bα introdotte nel Lemma 5.5 sono limitate edunque ∑
j
λj
∫Rnaj(x)bα(x) dx = 0 ,
per ogni α. Per ogni j, detta Bj la palla su cui ha supporto aj, si ha
limα→=∞
∫Rnaj(x)bα(x) dx =
∫Rnaj(x)b(x) dx ,
perche bα → b in Lq(Bj). Inoltre,∣∣ ∫Rnaj(x)bα(x) dx
∣∣ ≤ ‖bα‖BMOq ≤ 2‖b‖BMOq ,
per la (5.3) e per il Lemma 5.5. Applicando dunque il teorema di convergenza dominata allaserie, ∑
j
λj
∫Rnaj(x)b(x) dx = lim
α→+∞
∑j
λj
∫Rnaj(x)bα(x) dx = 0 .
Il funzionale ` e dunque ben definito. Dalla (5.4), passando all’inf sulle decomposizioni in(1, q′)-atomi di f , si ottiene la (5.2).
Sia ora ` un funzionale lineare continuo su H1(Rn), e sia 1 < q < ∞ (il caso q = 1 saradiscusso dopo).
Fissata una palla B, consideriamo lo spazio Lq′
0 (B) delle funzioni g ∈ Lq′(B) con∫Bg = 0.
Esso e ovviamente un sottospazio chiuso di Lq′(B) di codimensione 1 (uno spazio comple-
mentare essendo costituito dalle funzioni costanti su B). Se 0 6= g ∈ Lq′
0 (B), la funzione
a(x) =1
|B|1q ‖g‖q′
g(x)
e un (1, q′)-atomo. Quindi g ∈ H1(Rn) e ‖g‖H1,q′ ≤ |B|1q ‖g‖q′ . Di conseguenza, ` definisce
un funzionale lineare continuo `q′,B su Lq′
0 (B), con norma
(5.5) ‖`q′,B‖ ≤ |B|1q ‖`‖ .
22
Essendo q′ <∞, (stiamo supponendo q > 1), lo spazio duale di Lq′
0 (B) si identifica con ilquoziente Lq(B)/{costanti}, nel senso che
(i) esiste b(B) ∈ Lq(B) tale che `q′,B(g) =∫Bg(x)b(B)(x) dx per ogni g ∈ Lq
′
0 (B);
(ii) tale funzione b(B) e unica a meno di costanti additive;(iii) infc∈C ‖b(B) − c‖q = ‖`q′,B‖ .
Per la (5.5), la (iii) equivale a
infc∈C
( 1
|B|
∫B
∣∣b(B)(x)− c∣∣ dx) 1
q ≤ ‖`‖ .
Sia ora B′ un’altra palla, contenente B. Esiste allora b(B′) ∈ Lq(B′) soddisfacente (i), (ii),
(iii). Siccome Lq′
0 (B) ⊂ Lq′
0 (B′) e `q′,B e la restrizione di `q′,B′ , segue dall’unicita di b(B) che
{b(B) − c : c ∈ C} ={
(b(B′) − c)|B : c ∈ C}.
Consideriamo allora la successione di palle Bk di centro l’origine e raggio k. Fissata b(B1)
che rappresenti il funzionale `q′,B1 , possiamo induttivamente determinare rappresentanti b(Bk)
dei funzionali `q′,Bk in modo che b(Bk)|Bk−1
= b(Bk−1).
Si ottiene cosı un’unica funzione b ∈ Lqloc(Rn) tale che
(i) `(a) =∫
Rn a(x)b(x) dx per ogni (1, q′)-atomo a;(ii) per ogni palla B ⊂ Rn,
infc∈C
( 1
|B|
∫B
∣∣b(B)(x)− c∣∣ dx) 1
q ≤ ‖`‖ .
Per il Lemma 5.2, la (ii) equivale a dire che b ∈ BMOq(Rn) e ‖b‖BMOq ≤ 2‖`‖.Rimane da dimostrare che, per una generica f ∈ H1(Rn), f =
∑j λj aj con aj (1, q′)-atomi,
`(f) e dato dalla (5.1).Per la (4.10), f = limN→∞
∑j≤N λj aj in norma H1, per cui
`(f) = limN→∞
∑j≤N
λj
∫Rnaj(x)b(x) dx ,
dove la serie converge per la (5.4).Abbiamo dunque dimostrato che per ogni q ∈ (1,∞), la corrispondenza
(5.6) b 7−→ `(f) =∑j
λj
∫Rnaj(x)b(x) dx
e biunivoca tra BMOq(Rn) e H1(Rn)∗ e che ‖b‖BMOq∼= ‖`‖. Siccome la funzione b a secondo
membro della (5.6) e unica a meno di costanti additive, si conclude che, per 1 < q < ∞,BMOq(Rn) non dipende da q e che le norme ‖ ‖BMOq sono tra loro equivalenti.
Rimane da discutere il caso q = 1. Segue immediatamente dalla definizione di BMOq cheBMOq ⊂ BMO1 per ogni q > 1 e che ‖b‖BMO1 ≤ ‖b‖BMOq . Inoltre la prima parte delladimostrazione (che vale anche per q = 1) mostra che ogni b ∈ BMO1 induce un funzionale` ∈ H1(Rn)∗ attraverso la (5.6), e che ‖`‖ ≤ ‖b‖BMO1 per la (5.4). Si ha dunque l’inclusionecontinua BMO1(Rn) ⊂ BMOq(Rn) per 1 < q <∞. �