special relativity as an example of symmetry
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Special Relativity as an Example of Symmetry. 靜止座標系與等速運動座標系之間的變換. 以被動變換的觀點看，兩者都是緣因於觀察者的改變. 相對性變換. 地面. 車上. 觀察者無法藉由力學實驗分辨自己是靜止的，還是在等速移動！. 移動中的實驗者，他由實驗結果所歸納出來的物理定律，與靜止的觀察者所歸納的物理定律一模一樣！. 相對性變換下的 物理定律 形式上是 不變 的！. 相對性原則. 時空座標的相對性變換. 對同一事件，不同慣性坐標系測量時空值之間的關係。. 慣性座標系之間的 伽利略變換. 絕對時間. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Special Relativity as an Example of Symmetry
靜止座標系與等速運動座標系之間的變換
以被動變換的觀點看，兩者都是緣因於觀察者的改變
相對性原則
地面 車上
觀察者無法藉由力學實驗分辨自己是靜止的，還是在等速移動！
相對性變換下的物理定律形式上是不變的！
相對性變換
移動中的實驗者，他由實驗結果所歸納出來的物理定律，與靜止的觀察者所歸納的物理定律一模一樣！
tt'
x-vtx'
慣性座標系之間的伽利略變換
yy'
絕對時間
時空座標的相對性變換對同一事件，不同慣性坐標系測量時空值之間的關係。
慣性座標系之間的速度的變換
vuvdtdx
dtvtxd
dtdxu xx
'''
vuu xx '
vuu xx '
慣性座標系之間的加速度的變換
vuu xx '
x
xxxx a
dtdu
dtvud
dtdua
'''
xx aa '
jmgam ˆ' 伽利略變換 jmgFam ˆ
移動中的實驗者，他由實驗結果所歸納出來的物理定律，與靜止的觀察者所歸納的物理定律一模一樣！
jmgam ˆ' jmgam ˆ
牛頓運動定律在伽利略變換下是不變的！
ffii vmvmvmvm 22112211
動量守恆定律是否滿足相對性原則？
ffii vmvmvmvm 22112211
從 S 看 從 S′ 看
v′1i v′2i
v′1fv′2f
vvv 11'
vvv 11 '
vmmvmvmvmmvmvm ffii 212211212211 ''''
ffii vmvmvmvm 22112211 ''''
動量守恆定律在 S 成立，在 S′ 也成立，滿足相對性原則 動量守恆定律在伽利略變換下是不變的！
光速
根據伽利略變換，不同運動狀態的觀察者測到的光速似乎應該不同！' ?c c v
但光改變了一切！
'u u v
？' ?c c v
火車上的觀察者看到的光速是否與地面看到的不同。
當光源已非常遙遠，沒有電荷沒有電流，何來電場磁場？
如果
電磁場不隨時間而變化，就無法在旁邊感應出電磁場
vcc '觀察者以光速移動的，他看到電磁波靜止不動而不傳播
這樣的物理非常詭異！沒有人可以寫下簡單的物理定律。
)()( tdt
dsdtE B
)'(
'')'(' ' t
dtdsdtE B
如果 Maxwell 方程式遵守相對性不變性：
),(),,( txBtxE )','('),','(' txBtxE
翻譯表
那麼…… ..
光速的值是馬克斯威爾方程式的預測！
00
1
v c
電磁波的速度
光速的值是馬克斯威爾方程式的預測！
光速與觀察者的運動狀態無關！
馬克斯威爾方程式滿足相對性原則！馬克斯威爾方程式對所有觀察者都正確！
cc '
Michelson and Morley (1887)
光速與觀察者無關！馬克斯威爾方程式滿足相對性原則！電磁波無介質！
勝
cc '
伽利略變換必須修正
'u u v tt'yy'
vtx-x'
無論觀察者及光源的運動狀態，光速恆定！ cc '光速恆定原則
xcvt
cv
xcvt
t
vtx
cv
vtxx
2
2
2
2
2
2
1'
1'
羅倫兹變換 Lorentz Transformation
這個變換顯示絕對時間是無意義的！
要求光速恆定：tt'x-vtx'
這才是正確的慣性座標系之間時空的變換關係！
速度加成
xcvtt
tvxx
2'
'
222 11'''
cuvvu
tx
cv
vtx
cxvt
tvxtxu
21'
cuvvuu
c
cvcvc
ccvvcc
21' 光速恆定
Hermann Minkowski
4-vector
xcvtt
vtxx
2'
'
時間與空間似乎糾葛在一起時間與空間不能分開來討論移動座標觀察到的時間不只與靜止座標的時間有關，也跟空間有關
為了討論方便，應該把時空一起記載！
四個分量的物件
羅倫茲轉換
4-vector
羅倫茲轉換
因為在不同座標系測得的時空值不同，這四個分量本身沒有絕對意義，但這四個分量也不是任意的，它們在不同座標系的值由羅倫茲變換規定！
100
011
'
'
xcvxx
xcvxx
使用新的符號，羅倫茲變換可以寫成：
這又使我們聯想到旋轉
100
011
'
'
xcvxx
xcvxx
變換後的分量是變換前分量的線性組合
cossinsincos
yx'y,yx'x
z,y,x,ctx,x,x,x 3210 z,y,xx,x,x 321vector4-vector
座標軸旋轉 羅倫茲轉換
4 Vector 在羅倫茲轉換下，分量會轉換為原來分量的線性組合這與向量在座標軸旋轉後，分量的變化很像！
100
011
'
'
xcvxx
xcvxx
這是一個很有用的對應！分量只是方便的數學工具，隨時可因座標軸選取的改變而改變羅倫茲變換原來就是一個時空座標軸的更換
光的路徑Minkowski Space
一個 4 vector 的時間與空間座標可以在 Minkowski 空間圖上一點來表示羅倫茲轉換的確也是座標軸變換，但非旋轉，而是保持光路徑不變的變換！
cossinsincos
yx'y,yx'x
座標軸旋轉 羅倫茲轉換
100
011
'
'
xcvxx
xcvxx
222222 'z'y'xzyx 2222222222 'z'y'x'tczyxtc 不變量向量長度在旋轉軸旋轉下不變 類似的分量組合在羅倫茲轉換下也是不變的。
這是一個羅倫茲不變量（純量）！
Proper Time τ
222222222222 c'z'y'x'tczyxtc
它是一個羅倫茲變換下的不變量 '
2
222222222222
c-1 zyx uuu
tczyxtcc
2
2
1cut
一個粒子時空位置的 Proper time 的小變化與一座標系量得的時間成正比
此不變量可以稱為 4-vector 的“長度”
Proper time 是隨著粒子移動的時鐘量到的時間
cossinsincos
yx'y,yx'x
cossin'
,sincos'
yxy
yxx
VVV
VVV
所有的向量在坐標軸旋轉下滿足一樣的變換式
在旋轉的變換下，與位置以相同方式變換的稱為向量！
在羅倫茲變換下，與時空以相同方式變換的四組量稱為 4 vector
100
011
'
'
acvaa
acvaa
所有的 4 向量在羅倫茲變換下滿足一樣的變換式
3210 ,,, aaaa
100
011
'
'
xcvxx
xcvxx
For all 4 vectors:
100
011
'
'
xcvxx
xcvxx
由 4 vector 長度公式可以延伸定義此向量空間中的內積
在線性代數中，向量內積由一個 Metric 矩陣來定義：
ygxygxyxgyx
𝑥 ∙ 𝑦=𝑥0 𝑦 0−𝑥 ∙𝑦
向量內積被寫成兩個向量與 Metric 矩陣的矩陣乘積：
zyxctxxxx ,,,,,, 3210 4-vector
物理量可以依據他們在羅倫茲轉換下如何變化來分類
不變量 '
BE
, ',' BE
tensor F
100
011
'
'
xcvxx
xcvxx
相對性原則 The Principle of Relativity
移動中的實驗者，他由實驗結果所歸納出來的所有物理定律，與靜止的實驗者所歸納的物理定律一模一樣！相對性原則成為物理定律是否正確的一個新的檢驗標準！
所有還沒檢驗過的都要拿來確認一下！
檢驗的標準為何？
馬克斯威爾方程式在羅倫茲變換下不變
)()( t
dtdsdtE B
)'('
')'(' ' tdt
dsdtE B
兩個座標系的關係由羅倫茲變換給定：物理定律必須在羅倫茲轉換下不變！
動量與能量守恆定律在羅倫茲變換下會不會變？動量與能量守恆定律滿不滿足相對性原則？
u u
u
u’
O O’
v=u
牛頓版動量守恆
um'mu 2
um2
完全非彈性碰撞
0
0
totaltotal fi PP
totaltotal '' fi PP
牛頓版的動量守恆遵守伽利略變換下的相對性原則
vmP
u u
u
u’ ？
O O’
v=u
但？如果考慮相對性效應… ..
um'mu 2
um2
u
cuuu'u 2
1 2
2
0
0
動量守恆定律在羅倫茲轉換後就不像動量守恆了！
totaltotal fi 'P'P
totaltotal fi PP
動量守恆定律在左方是正確，但在右方就不正確，反之亦然
totalftotal '' PP i
牛頓的動量守恆定律滿不滿足相對性原則！牛頓的動量守恆定律必須修正！如何修正？既然羅倫茲變換很像旋轉，我們以旋轉為例來看看有沒有一個可以保證物理定律對稱不變的原則！
FF’
a’
如果無法以物理方法分辨旋轉變換前後，旋轉前後的物理定律必須一樣！amF
'' amF
如何保證旋轉變換後，物理定律可以不變？amF
'' amF
cossinsincos
yx'y,yx'x
cossin'
sincos'
yxy
yxx
FFF
FFF
?
所有的向量分量在座標軸旋轉下滿足一樣的變換式：
注意分量等式的左右滿足同樣的轉換關係 sincos yxx FF'F sincos' yxx aaa
cossin'
sincos'
yxy
yxx
aaa
aaa
要求等式兩邊都是向量，就保證公式不隨座標軸變換而改變！
'' xx maF
'' amF
'' yy maF xx maF
amF
yy maF
注意等式兩邊都是向量。此定律可以寫成分量等式：xx maF yy maF
FF’
a’
旋轉變換後，物理定律必須不變amF
'' amF
要求物理定律等式兩邊都是向量（或純量，或張量），就保證公式在旋轉變換下不變
要求動量新定義必須：動量是一個 4-vector 的一部分
所有遵守羅倫茲轉換不變性，等式兩邊必須同時是 4-Vector ，或同時是純量
新動量在速度遠小於光速時，必須趨近於舊動量。
牛頓定義的動量顯然不是 4-Vector 。dtdxmmuP
牛頓力學中所有的物理定律，等式兩邊必須同時是向量，或同時是純量。amF
4-Vector 第二分量除以第一分量
22 11''
cvu
mvp
cvumvmu
mupx
x
x
xxx
變換式非常複雜（非線性組合）！
pppppzyxtcmzyxtcmP
3210new ,,,,,,,,,1
新的定義
動量是 4-vector 動量 P 的空間分量！
xm
txmmuP xx
以不變量 Proper Time τ 取代時間 t
),,(,, zyx vvvdtdz
dtdy
dtdx
dtrdv
因為位置是向量，時間是純量，故兩者的商，速度是向量。
P
是時空 4-vector 的空間部分，因此暗示我們將整個時空 4-vector 除以 Δτ ，x就得到一個新的 4-vector 的動量
時間是 3D 的純量，但並非 4D 的不變量。
速度小時：
2
2
1cut
t oldnew PP
新動量在速度遠小於光速時，趨近於舊動量。
一個粒子運動時的 Proper Time 滿足
新定義滿足我的兩項要求
動量 P 是 4-vector ，它在羅倫茲變換前後的關係，與時空是一樣的
100
011
'
'
xcvxx
xcvxx
zyxtcmppppp ,,,,,, 3210
如果在 O 座標系中， p1 及 p0 都守恆，在 O′ 座標系中， p′1 自然保證守恆在 O′ 中的動量，等於 O 中的動量分量的線性組合
3D 的例子暗示我們如果等式兩邊都是 4 Vector ，公式也不隨羅倫茲轉換而改變
0'0 total10
total1total ppp
在粒子碰撞時實驗中，變換後的粒子動量和與變換前，滿足：
u u
u
u’
O O’
v=u
total0
total0
total1
total1
fi
fi
pp
pp
0total
1totaltotal
1' iii vppp 0
total1
totaltotal1' fff vppp
total1
total1 '' fi pp 新定義使動量守恆定律遵守相對性原則
zyxtcmppppP ,,,,,, 3210
new
xx umtxmxmpp
1
新定義與舊定義的關係
12
2
1
t
cut
zyx mu,mu,mup,p,pcu 321 接近牛頓的定義
2
2
1cu
mup xx
cu
cmumc
cumc
cumc
cu
mcp2
2
221
2
2
2
2
0
21
2111
1
cEp 0
因此，新的守恒律其實是能量守恆定律
2
2
2
1cu
mcE
p0 是什麼？由速度小的情況去找牛頓力學中的對應。
守恆律多了一個： p0 守恆定律
動能靜止能量
mctcmp
0
2
2
21
mcEvc
For v = c, the energy is infinite. Hence you are never able to push an object faster than the speed of light!
Even at rest, an object still contain an energy due to its mass: 2E mcIt opens up the possibility to convert mass into energy or vice versa.
動量守恆與能量守恆便整合成一個定律： 4 momentum conservation 。動量與能量的分別只是表面的
動量與能量的羅倫茲變換就如時空一樣！
zyx ppp
cEpppppP ,,,,,, 3210
new
22222 xtcc
4 momentum 的長度 P2 是甚麼呢？
2222
22 cmxtcmppp
質量是一個粒子四維動量的長度，是一個羅倫茲不變量。因此質量是粒子的最重要的特徵！
2222
22 cmp
cEppp
222 cmp
2222
2
cmpcE
每一個基本粒子的 4 momentum 都必須滿足以下的 on-shell條件
能量與 3維動量大小並非獨立的變數。動量越大，能量就越大。
e
e
e
e
ppppcE
321 ,,,
為方便起見，在計算過程中，取一個單位系統使 1c如此能量、動量、質量就有一樣的單位，取為能量單位 eV 。
2E mc
但光是以光速 c 前進： 2
2
21v c
mcEvc
除非 0m
事實上曾馬克斯威爾方程式推得電磁波的能量與動量密度成正比：cpE
02
2
22 p
cEp
光子質量為零， Massless
無質量的粒子必定以光速前進。
cpE
E
khp
ck
從光子的波性來看：
02222
22
2
22 k
cp
cEp
Dispersion Relation
E
khp
從其他有質量的粒子的波性來看：
222222
22
2
22 cmk
cp
cEP
Dispersion Relation
靜止的物體因為其質量，能量亦不為零
2E mc
這個公式暗示了能量與質量可以彼此互相轉換。
質量是能量的一種形式，能量守恆蘊含質量可以轉換為其他形式的能量，其他形式的能量亦可轉換為質量，質量不再守恆。
2
2
21
mcEvc
2 +E mc K
mc2 KK mc2
質量的減少可能變為動能的增加！
u u
2
2
2
2
2
2
0total
1
2
11cu
mc
cu
mc
cu
mcpi
Mcp f 0total
m
cu
mM 21
2
2
2
質量不守恆，動能轉換成質量。
mc2K Kmc2
能量可以轉換為質量，產生新的粒子！Colliders are New Particle factories.
2E mc
63
粒子物理的反應必須滿足 4 momentum Conservation
Decay
u u2
2
2
2
2
2
0total
1
2
11cu
mc
cu
mc
cu
mcp f
Mcpi 0total
衰變產物的總質量必須小於衰變粒子的質量 !
產物粒子的能量等於
這些能量都可以用 3D 動量大小來表示 :
And Remember that for any real particles: 222 cmp
由此可以進一步定義也是四個分量組成的 Covariant Vector
g 是用來 lower indices
在羅倫茲變換下也有固定的變換方式，與相關但不同
xxx 2
ygxygx
ygxygxyxgyx
𝑦 𝜇≡𝑔𝜇𝜈 𝑦𝜈
如此 g 就不需要出現了
,
以上的定義可以推廣到所有 4 vector
Covariant Vectors can be formed by the lowering matrix g:
Vectors can in reverse be formed from Covariant Vectors by a raising g:
ggg 1
但上足標與下足標對齊求和後，就為一不變量，
足標 contract 殆盡就得到不變量。
只要有足標，在羅倫茲變換下就會跟著變換！
這種消滅足標的行為，稱為 contraction 。
注意在以上的不變量中上下足標正好配對並求和！
將一系列的 4 vector 及 covariant vector 乘在一起即是張量 Tensor:
𝑥𝜈 ∙ 𝑦𝜇≡𝑇𝜇❑𝜈 𝑥𝜈 ∙ 𝑦𝜇≡𝑠𝜇𝜈𝑥𝜇∙ 𝑦 𝜈≡𝑢𝜇𝜈
張量在羅倫茲變換下的變換，可以很容易由 vector 的變換得出：
𝑢 ′𝜇𝜈≡ Λ𝜇𝛼❑ Λ𝜈
𝛽❑𝑢𝛼𝛽
這個轉換關係可以推廣到其他的物件，即使不是由向量的乘積得出：
因此只要遵守這個轉換關係就稱為同類的張量。
當所有的足標完全 Contract殆盡，你就得到羅倫茲不變量！
3
0
t
Contraction 可以減少足標的數量 :
對 4 vector 微分是一個 Covariant Vector
,tx
43
0
xx
xxx 是不變量
對時空的微分，與時空進行 contract ，如同一個 Covariant Vector 一樣得到一個不變量！
運動方程式可以由 Hamiltonian導出如果運動方程式在變換下形式不變，變換後以相同形式寫下的Hamiltonian 一定相等！（如此才能得出形式一樣的運動方程式）
用物理定律或運動方程式的不變來討論對稱實在不方便
在一個點質量的重力影響下，物體的 Hamiltonian 可以寫成r
GMmpm
H 2
21
座標軸旋轉變換
cossinsincos
yx'y,yx'x
cossin'
,sincos'
yxy
yxx
ppp
ppp
因為所有向量長度在旋轉下都是不變的，所以兩個量永遠相等。
H 在座標軸旋轉變換下是不變的！
''
21' 2
rGMmp
mH
拿變換後的 r’, p’ 以同樣形式寫下 H’(r’, p’)
在座標軸旋轉變換後的 H
''
'21
21 22 H
rGMmp
mrGMmp
mH
以同樣形式寫下的 H’ 與原來的 H 相等！H 所得出的運動方程式與相同形式的 H’ 所得出的運動方程式是相同的！
H 在座標軸旋轉變換下的不變性會要求位能只能是距離大小即純量的函數例如以下的位能就不允許：
HH '
H 的不變性對 H 有很強的限制。
FF’
a’
由旋轉不變的 H 所推導出來的物理定律在旋轉變化下是不變的。和具體物件的對稱不同，在物理定律的對稱中所觀察到的事物及觀察量是會前後不一樣的！但連接這些物理觀察量的物理定律不變。
Symmetry
H is invariant under transformation
但以 Hamiltonian 來看， H 如同具體物件的對稱般，的確在對稱變換下是不變！
1
UU
dcba
U
Isospin SU(2) Symmetry 對稱
在 Isospin SU(2) 變換之後，強交互作用的 H 不變！
du
Udu
''
sc
Usc''
e
Ue
ee ''
1
UU
dcba
U
Isospin SU(2) Symmetry 對稱
在 Isospin SU(2) 變換之後，強交互作用的 H 不變！
du
Udu
''
sc
Usc''
e
Ue
ee ''
以變換後的 u’ 等以同樣形式寫下的 H’(u’….) 等於變換前的 H(u….)
,...)(,...)'(' uHuH
Continuous Symmetry
invariant under continous transformation Conservation Law
Translation invariance
Momentum Conservation
Rotation invariance
Angular Momentum Conservation