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Systmes de Rglage Automatique(Signaux et Systmes Linaires pour la Rgulation Automatique)

Alexandru [email protected]

Universit Polytechnique de BucarestFacult dIngnierie en Langues Etrangres

3me anne

20122013

DiscrtisationContexteDu continu au discret (chantillonnage)Du discret au continu (extrapolation)Ralisation numrique de systmes continusDiscrtisation de procdsAnnexe

Discrtisation Contexte

Traitement numrique de signal

horloge

G(s)

AD

conversionanalogiquedigital

G [z]

filtrenumrique

DA

conversiondigitalanalogique

u(t) u[k] y [k] y(t)

t

Te

Problme : tant donne une fonction de transfert G (s), trouver uneralisation numrique G [z ].

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Rgulation continue approche

horloge

AD


C [z]

rgulateurnumrique

DA


H(s)

procd

yr (t)+

u[k] u(t) y(t)

t

Te

AD C [z]

DA

e(t) u(t)

C(s)

Problme : tant donn C (s),dterminer C [z ].

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Rgulation numrique

horloge

C [z]

rgulateurnumrique

DA


H(s)

procd

AD


yr [k]+

u[k] u(t) y(t) y [k]

t

Te

DA H(s)

AD

u[k] y [k]

H[z]

Problme : tant donn H(s),dterminer H[z ].

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Discrtisation Du continu au discret (chantillonnage)

Problmatique

AD

horloget

Te

t

f (t)

0 Te 2Te 3Te 4Te k

f [k]

0 1 2 3 4

Instants dchantillonnage : 0,Te , 2Te , 3Te , . . .

chantillons : f (0), f (Te), f (2Te), f (3Te), . . .

Signal discret : f [0] = f (0), f [1] = f (Te), f [2] = f (2Te), . . . ;

On sintresse au passage F (s) F [z ] abus= Z{F (s)}.

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Choix de la priode dchantillonnage

Phnomne de repliement : certaines composantes de haute frquencedu signal continu apparaissent comme des composantes dune frquenceplus basse dans le signal discret (obtention dinformations errones) ;

Afin dviter le phnomne de repliement : chantillonnage unefrquence

Fe > 2Fho Fh reprsente la frquence la plus haute prsente dans le signal chantillonner ;

En pratique, avant dchantillonner on utilise toujours des filtrespasse-bas afin de limiter Fh et dliminer les composantes indsirables(bruit haut frquence).

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Ide de base pour calculer Z{F (s)}f (t) F (s)

f [k] F [z]

Laplace

Z

chantillonnagepriode Te

discrtisationpriode Te

Par dfinition,

F [z ] =k=0

f [k]zk =k=0

f (kTe)zk ;

Dautre part,

f (kTe) =12pij

c+jcj

F (s)eskTe ds.

RDC deF (s)

Re s

Im s

c

c j

c + j

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RDC de F [z ]

Nous avons |f (t)| Met pour un certainM > 0, do

|f [k]| = |f (kTe)| MekTe

et

k=0

|f [k]||zk | Mk=0

ekTe |zk |

= Mk=0

eTez

k eTe .

RDC deF (s)

Re s

Im s

c

c j

c + j

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Calculs...

En insrant lexpression de f (kTe) dans lexpression de F [z ],

F [z ] =k=0

12pij

c+jcj

F (s)eskTe ds zk

=12pij

c+jcj

F (s)k=0

eskTezk ds

=12pij

c+jcj

F (s)k=0

[eskTe

z

]kds;

La somme sous lintgrale converge si et seulement siesTez < 1 eRe sTe|z | < 1 ecTe|z | < 1 |z | > ecTe (> eTe ).SRA UPB FILE 20122013 11 / 58


Expression de F [z ]

Nous avons

F [z ] =12pij

c+jcj

F (s)z

z esTe ds;

Si lims F (s) = 0, le calcul peut se faire laide du thorme desrsidus ;

I Les ples de F (s) se trouvent tous gauche de labscisse Re s = c ;

I En crivant z sous la forme z = eTe , le dnominateur de zzesTe sannule

quand

eTe = esTe 1 = e(s)Te (s )Te = j2kpi s = + jk 2piTe ;

I Puisque |z | > ecTe , nous avons Re > c et par consquent, tous le plesde z

zesTe se trouvent droite de labscisse Re s = c .

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Calcul Im s

RDC deF (s)

Re s Re

2piTe

axe des plesde z

zesTe

c

ples de F (s)

Si lims F (s) = 0, une version du lemme de Jordan montre que

F [z ] =12pij

c+jcj

F (s)z

z esTe ds =12pij

F (s)

z

z esTe ds,

do, laide du thorme des rsidus,

F [z ] =[

Rsidus de F (s) zzesTe dans les ples de F (s)

].

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Exemples

F (s) = 1s [f (t) = 1(t)]

F [z ] = Rs(1s

z

z esTe , 0)

=z

z esTes=0

=z

z 1 ;

F (s) = 1s2

[f (t) = t1(t)]

F [z ] = Rs( 1s2

z

z esTe , 0)

=dds

z

z esTes=0

=zTe

(z 1)2 ;

F (s) = s2+2

[f (t) = sint 1(t)]

F [z ] = Rs( s2 + 2

z

z esTe , j)

+ Rs( s2 + 2

z

z esTe ,j)

=

2jz

z ejTe +

2jz

z ejTe =z sinTe

z2 2z cosTe + 1 .

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Signaux retards dans le temps

Signal g(t) retard secondes : f (t) = g(t )1(t ) ;chantillons de f [k] si retard = Te : 0, g(0), g(Te), g(2Te), . . . do

Z{f [k]} = z1Z{g [k]} = z1Z{G (s)};

Gnralisation un multiple entier d de Te : les chantillons de f [k]sont

0, . . . , 0 d chantillons

, g(0), g(1), g(2) . . .

doF [z ] = zdZ{G (s)}.

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Discrtisation Du discret au continu (extrapolation)

Reconstruction idale vs. reconstruction pratique

Problme : gnration dun signal continu f (t) partir dune squencediscrte f [k] ;

La reconstruction exacte du thorme de Shannon utilise uninterpolateur non causal ;

En pratique on fait appel lextrapolation les valeurs de f (t) le longdune priode dchantillonnage sont calcules partir des chantillonspasss.

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Extrapolation polynomiale

Approximation polynomiale sur lintervalle kTe t < (k + 1)Te :

f (kTe + ) = 0n + 1

n1 + + n1 + f [k], 0 < Te(on vrifie f (kTe) = f [k]) ;

Bloqueur (ou extrapolateur) dordre zro : f (kTe + ) = f [k]En anglais, zero-order hold (ZOH) ;

Bloqueur (ou extrapolateur) dordre un : f (kTe + ) = + f [k]En anglais, first-order hold (FOH).

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Bloqueur dordre zro (BOZ)

Relation entre-sortie :

f (t) = f [k] pour t [kTe , (k + 1)Te)

Illustration :

BOZ

k

[k]

1

0 t0Te

1

BOZ

k0 3 6 9 t0 3Te 6Te 9Te

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Bloqueur dordre un (BO1)Version non causale

Nous avons

f (kTe + ) = + f [k], [0,Te);

Afin de calculer , on exige

f (kTe + Te) = f [k + 1]

do

f [k + 1] = Te + f [k] et = (f [k + 1] f [k])/Te ;

Ainsi,

f (kTe + ) = f [k] +f [k + 1] f [k]

Te, [0,Te).

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Illustration

BO1

k

[k]

1

0 tTe 0 Te

1

BO1

k0 3 6 9 t0 3Te 6Te 9Te

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Bloqueur dordre un (BO1)Version causale retard

Tout systme non causal est ralisable... avec du retard ;

Avec un retard dune priode dchantillonnage,

f (kTe + ) = f [k 1] + f [k] f [k 1]Te

.

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Illustration

BO1

k

[k]

1

0 tTe 0 Te 2Te

1

BO1

k0 3 6 9 t0 3Te 6Te 9Te

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Bloqueur dordre un (BO1)Version causale prdiction

On utilisef (kTe + ) = + f [k], [0,Te),

avecf (kTe Te) = f [k 1]

do

f [k 1] = Te + f [k] et = (f [k] f [k 1])/Te ;

Par consquent,

f (kTe + ) = f [k] +f [k] f [k 1]

Te, [0,Te)

(prolongement de lvolution observe entre les deux dernierschantillons).

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Illustration

BO1

k

[k]

1

0 tTe 0 Te2Te

1

2

1

BO1

k0 3 6 9 t0 3Te 6Te 9Te

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Discrtisation Ralisation numrique de systmes continus

Ides principales

La conversion D/A nintervient quau niveau de lanalyse de la rponseen frquence du systme obtenu ;

H(s)

AD H[z]

DA

u(t)

y(t)

u[k] y [k] yd(t)

On sintresse la correspondance entre y(kTe) et y [k] ;

Mthodes :

1. quivalence dans le temps ;2. Conversion directe des ples et des zros ;3. quivalence en frquence ;

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quivalence dans le temps

Au k ime instant dchantillonnage,

y(kTe) =

kTe0

u()h(kTe ) d

k1m=0

u(mTe)h(kTe mTe)Te =k1m=0

u[m]h((k m)Te

)Te ;

Dautre part,

y [k] =k

m=0u[m]h[k m];

Pour une correspondance acceptable entre y(kTe) et y [k],

h[k m] = Teh((k m)Te

)c.--d. H[z ] = TeZ[H(s)].

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quivalence dans le tempsCommentaires

La mthode est connue sous le nom de mthode de conservation de larponse impulsionnelle ;

Puisquil sagit de lchantillonnage explicite du signal h(t), la mthodencessite dhabitude une priode dchantillonnage trs petite afindviter le phnomne de repliement (quant ce signal) ;

I Application limite des filtres pour lesquels H(j) dvient ngligeableau-del dune certaine frquence ;

Vu que les ples de H[z ] sont issus des ples de H(s) par latransformation z = eTes , le systme discret obtenu rsulte toujoursstable si le systme continu est stable.

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Conversion directe des ples et des zros

Extension de la mthode de conservation de la rponse impulsionnelle ;

On utilise la relation z = eTes pour transformer directement les ples et,par extension, galement les zros finis de H(s) ;

Les zros sont transforms en zros z = 1I Ainsi, puisque dans ce cas lim H(j) = 0, les frquences j de 0 sont transformes sur le cercle unit de z = ej0 = 1 z = ejpi = 1 ;

I Un zro de H(s) s = peut tre transform en z = afindintroduire un retard pur dune priode dchantillonnage ;

Le gain est ajust afin dobtenir le mme gain que H(s) pour unecertaine frquence dintrt.

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quivalence en frquence

On sait que la rponse du systme H(s) au signal u(t) = est est

y(t) = H(s)est , do y(kTe) = H(s)eskTe ;

Dautre part, en chantillonnant u(t) = est ,

u[k] = eskTe = zk avec z = esTe

et la rponse du systme H[z ] ce signal est

y [k] = H[z ]zkz=esTe = H[e

sTe ]eskTe ;

La correspondance entre y(kTe) et y [k] exige alors

H[esTe ] = H(s).

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quivalence en frquence approcheTransformation bilinaire

Le dveloppement en srie de esTe/2esTe/2esTe/2+esTe/2 = tanh

sTe2 est

tanhsTe2

=sTe2 1

3

(sTe2

)3+

215

(sTe2

)5 sTe2

(Te petit);

Alors

s 2Te

esTe/2 esTe/2esTe/2 + esTe/2

=2Te

esTe 1esTe + 1

et la condition devient

H[esTe ] = H( 2Te

esTe1esTe +1

)do

H[z ] = H(s)s= 2

Tez1z+1.

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Liaison avec lapproximation de lintgrationApproximation trapzodale (mthode de Tustin)

Lapplication de la transformation s = 2Tez1z+1

H(s) = 1s (intgrateur idal) conduit

Y [z ]

U[z ]= H[z ] =

Te2z + 1z 1 =

Te21 + z1

1 z1

cest--dire

y [k] = y [k 1] + Te2 (u[k 1] + u[k])

(approximation de lintgrale par la mthodedes trapzes).

k 1 k

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Dformation de la rponse frquentielle

En considrant la relation H[esTe ] = H( 2Te

esTe1esTe +1

)avec s = j,

H[ejTe ] = H( 2Te

ejTe1ejTe +1

)= H

( 2Te

ejTe/2ejTe/2ejTe/2+ejTe/2

)= H

(j 2Te tan

Te2

);

Ainsi, le comportement dsir H(j) une certaine frquence aapparat dans le filtre digital une frquence d = 2Te arctan

aTe2 ;

En fait, puisque a implique d piTe , lintervalle de frquence de0 est concentr en temps discret dans lintervalle de 0 piTe rad/s ;Il est trs courant deffectuer une prdformation (en anglais,prewarping) de la caractristique H(j) certaines frquences dintrtafin de compenser la dformation introduite par la discrtisation.

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Prdformation de la rponse frquentielleLe cas des frquences multiples

Supposons que lon veut un filtre qui possde les gains G1,G2, . . . ,Gmaux frquences 1, 2, . . . , m, ce qui correspondrait une fonction detransfert H(s) ;

On sait que H(ja) = H[ejdTe ] o d = 2Te arctanaTe2 ;

Au lieu de construire H(s), on construit H (s) qui possde les gainsG1,G2, . . . ,Gm aux frquences 1,

2, . . . ,

m o

i =

2Te

tan iTe2 ;

Le gain Gi apparat dans le filtre digital H[z ] = H (s)s= 2

Tez1z+1

la

frquence 2Te arctaniTe2 =

2Te

arctan(tan iTe2

)= i .

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Prdformation de la rponse frquentielleLe cas dune seule frquence

Quand il sagit dune seule frquence on peut prdformer la fonctionde transfert donne H(s) au sens o on utilise une transformationmodifie ;

On devrait avoir H (j 2Te tan

aTe2

)= H(ja), do

H (j) = H(j a2Te

tan aTe2)

ou bien H (s ) = H(

a2Te

tan aTe2s )

;

On calcule alors

H[z ] = H (s )s= 2

Tez1z+1

= H(

a2Te

tan aTe2s )

s= 2Te

z1z+1

= H(s)s= a

tan aTe2

z1z+1.

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IllustrationFiltre passe-bas Butterworth du 3ime ordre, c = 1 : H(s) = 1s3+2s2+2s+1 .

0 0,5 1 1,5 2 2,5

0

0,7

1

2

|H[ejTe]|

0

pi2

pi

3pi2 (rad/s)

argH

[ejTe]

ContinuTe = 0,1Te = 1Te = 2Te = 2 prdformation

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Remarques sur la rponse en frquence des systmeschantillonnes

On rappelle que la rponse en frquence dun systme en temps discretH[z ] est dcrite par H[ej] avec en radians par chantillon ;

La rponse est priodique de priode 2pi ; en plus, jusqu unchangement de signe dans le dphasage, la rponse sur lintervalle [0, pi]concide avec la rponse sur lintervalle [pi, 2pi] ;

Pour un systme chantillonn, les chantillons sont espacs de Tesecondes, donc pi radians par chantillon correspond pi/Te radians parseconde ;

Il suffit alors dvaluer la rponse en frquence sur lintervalle [0, pi/Te ]radians par seconde ;

La rponse pour [0, pi/Te ] est dcrite par H[ejTe ].

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quivalence en frquence approcheAutres transformations

Le dveloppement en srie de esTe est

esTe = 1 sTe + 12(sTe)2 13(sTe)3 + 1 sTe (Te petit)

dos =

1Te

(1 esTe ) = 1Te

(1 1

z

)=

z 1Tez

;

Le dveloppement en srie de esTe est

esTe = 1 + sTe + 12(sTe)2 + 13(sTe)

3 + 1 + sTe (Te petit)

dos =

1Te

(esTe 1) = z 1Te

;

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Liaison avec lapproximation de lintgrationApproximation du rectangle suprieur (backward rectangular rule)

Lapplication de la transformation s = z1Tez H(s) = 1s conduit

Y [z ]

U[z ]= H[z ] =

Tez

z 1 =Te

1 z1

cest--dire

y [k] = y [k 1] + Teu[k]

(approximation de lintgrale par la mthodedu rectangle suprieur).

k 1 k

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Liaison avec lapproximation de lintgrationApproximation du rectangle infrieur (forward rectangular rule)

Lapplication de la transformation s = z1Te H(s) = 1s conduit

Y [z ]

U[z ]= H[z ] =

Tez 1 =

Tez1

1 z1

cest--dire

y [k] = y [k 1] + Teu[k 1]

(approximation de lintgrale par la mthodedu rectangle infrieur).

k 1 k

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Transformation du DPG par les mthodes approches

Re s

Im s

Re z

Im z

1

z = 2+Te s2Te s

s = 2Te

z1z+1

Re z

Im z

1

z = 11Te s

s = z1Te z

Re z

Im z

1

z = 1 + Tes

s = z1Te

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Prsence de retard pur

On suppose quil est ncessaire de transposer en temps discret unsystme du type

H(s) = esH0(s), H0(s) fonction rationnelle;

On discrtise la rationnelle H0(s) par lune des mthodes prsentes ;

On identifie lentier d le plus proche du rapport /Te ou, si possible, onajuste Te afin que le rapport /Te donne un entier d ;

La transposition en temps discret sera donne par

H[z ] = zdH0[z ].

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Choix de la priode dchantillonnage

Les mthodes approches ne sont pas affectes par le repliement deH(j), le spectre de h(t) ;

La priode dchantillonnage est choisie exclusivement en fonction de laplus haute frquence Fh (en Hz) qui sera traite par le systme ;Ainsi,

Te

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