DR. SC. NERMINA ZAIMOVI-UZUNOVI DR. SC. DUAN VUKOJEVI

DR. SC. NEDIM HODI MR. ALMA IGA

STATIKA

I izdanje

Zenica, 2007. godine

i

PREDGOVOR Sa pojavom novih tehnika i tehnologija, pripreme knjiga i uopte udbenike literature, posebno iz tehnikih disciplina, postalo je lake i kvalitetnije. Skratilo se vrijeme pripreme i pojavio daleko vei broj knjiga nego to je to bilo ranije. Iz oblasti mehanika bilo je dosta razliite literature, koja naalost nije u potpunosti odgovarala nastavnom procesu i programu po kome se radilo.

Ipak dobro rjeenje jeste postojanje udbenika koji u potpunosti slijedi i podrava sadraj koji nastavnik predaje studentima. Zbog toga smo radei dugi niz godina na predmetima Staika i Mehanika I, na prvoj godini studija mainskih i graevinskog fakulteta stekli iskustvo kako i ta predavati studentima i ta treba ispitivati studente. U skladu sa Bolonjskim procesom, nije jednostavno na prvoj godini sa teoretskim predmetom kakav je Statika uvoditi nove tehnike predavanja i vjebi. Zato kao jedina i sigurna potpora za postizanje dobrih rezultata jesu knjige, udbenici, zbirke i praktikumi.

U knjizi Statika skupili smo niz zadataka koji su se pojavljivali kao ispitni zadaci u eliminatornom dijelu ispita (pismeni dio ispita). Teorijska osnova, za rjeavanje zadataka datih u knjizi, data je na jednostavan, razumljiv nain i to je mogue u manjem obimu. Prethodne zbirke zadataka, iji je sadraj ukljuen u ovu knjigu, pokazale su se kao dobra osnova i bile su dosta korisne i traene, pa je i ovo kompletno rjeenje, teorijske osnove i pratei zadaci moda i najbolje rjeenje za studente.

Smatram da smo izdavanjem ovog ubenika za predmet Statika i Mehanika I studentima olakali pripremu i savladavanje tako vanih osnova za sve studente tehnikih fakulteta, posebno mainskih i graevinskih.

Biemo zahvalni i pozivamo sve koji pronau greke bilo koje vrste, koje su nam promakle da nam ukau na njih.

Posebnu zahvalnost dugujem recenzentima prof. dr. Avdi Voloderu i prof. dr. Daferu Kudumoviu na trudu koji su uloili da pregledaju materijal i ukau na propuste.

Mr. Samir Leme je dizajnerskim rjeenjem korica znaajno doprinio prepoznatljivosti i vizuelnom identitetu knjige zbog ega mu dugujemo zahvalnost.

Autori Zenica, oktobar 2007.

ii

iii

SADRAJ 1 UVOD U MEHANIKU...................................................1

1.1 Definicija, zadatak i podjela mehanike 1.2 Kratak istorijski pregled razvoja mehanike 1.3 Osnovni pojmovi i aksiomi mehanike 1.3.1 Kruto tijelo i materijalna taka 1.3.2 Pojam sile i vrste sile 1.3.3 Pojam mase i teine 1.3.4 Klasina mehanika i nova mehanika 1.3.5 Osnovni zakoni mehanike 1.3.6 Osnovne veliine u mehanici i njihove jedinice 1.3.7 Metodiki pristup rjeavanju zadataka u mehanici

2 UVOD U STATIKU ....................................................15

2.1 Zadatak i podjela statike 2.2 Osnovni pojmovi u statici 2.3 Aksiomi statike 2.4 Veze, vrste veza i njihove reakcije

3 SISTEM SUELJNIH SILA ........................................27

3.1 Definicija sistema sueljnih sila 3.1.1 Geometrijski uslovi ravnotee sistema sueljnih sila 3.2 Razlaganje sila na komponente 3.3 Projekcija sile na osu i na ravan 3.4 Analitiki nain definisanja sile 3.5 Analitiki uslovi ravnotee sistema sueljnih sila PRIMJERI

4 PROIZVOLJNI SISTEM SILA U RAVNI.......................59

4.1 Moment sile u odnosu na taku 4.2 Momentno pravilo (Varinjanova teorema) 4.3 Slaganje paralelnih sila u ravni 4.4 Rezultanta dvije paralelne sile 4.5 Spreg sila 4.5.1 Sistem spregova sila u ravni 4.5.2 Slaganje spregova sila 4.6 Slaganje proizvoljnog sistema sila u ravni 4.7 Paralelno premjetanje ravnog sistema sila u datu taku 4.8 Svoenje ravnog sistema sila na prostiji oblik 4.9 Uslovi ravnotee ravanskog sistema sila 4.10 Posebni uslovi ravnotee ravnog sistema sila 4.11 Vrste ravnotee tijela 4.12 Grafostatika 4.12.1 Verini poligon 4.12.2 Grafiki uslovi ravnotee ravnog sistema sila 4.12.3 Razlaganje sile na njoj dvije paralelne komponente PRIMJERI

iv

STATIKA

5 RAVNI NOSAI ......................................................148

5.1 Osnovna podjela 5.2 Grafiki postupak odreivanja reakcija oslonaca nosaa 5.3 Odreivanje transverzalne (poprene) i aksijalne (uzdune) sile i napadnog momenta na nosau 5.4 Prosti nosai 5.4.1 Prosta greda optereena konstantnim kontinualnim optereenjem 5.4.2 Prosta greda optereena trougaonim kontinualnim optereenjem 5.4.3 Prosta greda optereena vertikalnom ekscentrinom silom 5.4.4 Konzola 5.4.5 Prosta greda optereena proizvoljnim kontinuiranim optereenjem 5.4.6 Gerberova greda 5.4.7 Okvirni nosai PRIMJERI

6 REETKASTI NOSAI ............................................225

6.1 Osnovne karakteristike reetkastih nosaa 6.2 Odreivanje otpora oslonaca (reakcije veze) reetkastog nosaa 6.3 Odreivanje sila u tapovima reetkatog nosaa 6.3.1 Metoda isijecanja vorova 6.3.2 Kremonin metod 6.3.4 Riterova metoda PRIMJERI

7 TRENJE KLIZANJA I TRENJE KOTRLJANJA ..........256

7.1 Trenje klizanja 7.2 Trenje kotrljanja 7.3 Trenje ueta PRIMJERI

8 TEITE................................................................288

8.1 Koordinate teita 8.2 Poloaj teita homogenih tijela koji imaju ose simetrije 8.3 Guldinove teoreme PRIMJERI

9 PROIZVOLJNI PROSTORNI SISTEM SILA ...............303

9.1 Moment sile za osu 9.2 Projekcije sile na ose prostornog pravouglog koordinatnog sistema 9.3 Moment sile za taku 9.4 Projekcija momenta sile za taku na ose pravouglog koordinatnog sistema 9.5 Varinjonova teorema o momentu za taku rezultante sistema sueljnih sila 9.6 Spreg sila kao vektor 9.7 Sabiranje spregova 9.8 Redukcija prostornog sistema sila na taku 9.9 Uslovi ravnotee proizvoljnog prostornog sistema sila 9.9.1 Analitiki uslovi ravnotee u nekim specijalnim sluajevima prostornog sistema sila 9.10 Veze i njihove reakcije u prostornim problemima PRIMJERI

v

SADRAJ

10 LANANICE .........................................................347

10.1 Lananice optereene koncentrisanim silama 10.2 Lanaanice optereene kontinuiranim optereenjem 10.2.1 Lananice sa proizvoljno-kontinuiranim optereenjem 10.2.2 Paraboline lananice 10.2.3 Obine lananice

11 METOD VIRTUALNIH POMJERANJA ....................357

11.1 Rad sile 11.2 Rad sprega sila 11.3 Pojam stepena slobode kretanja 11.4 Princip virtualnih pomjeranja

vi

1

UVOD U MEHANIKU

1.1 Definicija, zadatak i podjela mehanike

Mehanika kao grana prirodnih nauka je nauna disciplina koja izuava zakone mirovanja (ravnotee), mehanikog kretanja, kao i uzajamnog djelovanja materijalnih tijela. Naziv mehanika dolazi od grke rijei "mehane" koja ima znaenje stroja (maine) ili orua (sprave). Nastanak mehanike bio je uslovljen ivotnim potrebama ovjeka u njegovoj borbi za opstanak. Opaanje prirodnih pojava, koje je staro koliko i ovjeanstvo, kao i odreenih slinosti i zakonitosti u tim pojavama vodilo je ka postepenom pretvaranju iste u spoznaju i konano u naunu misao. Pri tome, ovjek je uoio da na neke pojave moe utjecati i potpuno ili djelimino ih iskoristiti, odnosno podvrgnuti svojoj volji. Iz navedenog je oigledno da se mehanika temelji na opaanju, iskustvima, eksperimentu i teoriji. U okviru mehanike primjenjuju se razliite metode kao to su: eksperimentalne, metode logikog zakljuivanja i egzaktne metode matematike. Kako mehanika raspolae sa malim brojem aksioma, koji se temelje na opaanju i iskustvu, pri prouavanju mehanike uglavnom se koristi deduktivna metoda. Deduktivna metoda podrazumijeva formulisanje optih pojmova i zakona, a zatim se, logikim zakljuivanjem, primjenom matematikih metoda izvode ostali teoremi i principi mehanike. Mehanika kao osnovna i najstarija grana fizike raspolae principima i zakonitostima na kojima se zasnivaju mnoge grane fizike. Kao nauna disciplina mehanika se bavi prouavanjem najjednostavnijih prirodnih pojava, koje nazivamo mehanikim kretanjem. Pod mehanikim kretanjem podrazumijevamo pojavu promjene poloaja materijalnih tijela, koja se vri u toku vremena, jednih u odnosu na druge, kao i promjenu relativnog poloaja dijelova materijalnih tijela, to jest deformacije tijela. Svaka promjena poloaja tijela uvjetovana je djelovanjem nekog vanjskog uzroka koji nazivamo silom. Zbog toga se mehanika bavi i silama, to jest ona istrauje i uzroke kretanja. Pod pojmom materijalnog tijela podrazumijevamo prostor ispunjen materijom. Materija ili tvar je ono to ispunjava prostor i to osjeamo preko naih osjetila, odnosno ono to djeluje na naa ula. U prirodi i svuda oko sebe neprekidno opaamo bioloke, hemijske, mehanike, toplinske, elektrine i druge promjene. Openito, sve te raznovrsne i mnogobrojne promjene nisu nita drugo do razliiti oblici kretanja

2

STATIKA

materije. Za kretanje moemo rei da je to najopenitije svojstvo materije. S pojmom materije nije vezan samo pojam kretanja ve i pojmovi prostora i vremena, jer materija je u stalnom kretanju koje se zbiva u prostoru i vremenu. U nekim promjenama kao to su rast ivih bia, promjena strukture konstrukcionih materijala i slino glavnu ulogu igra vrijeme, a kod drugih dominira element prostora. Meutim, pojam kretanja materije u prostoru pri analizi bilo koje promjene u svim njenim pojedinostima ne moemo nikako odvojiti od njenog kretanja u toku vremena. Prostorno stanje materijalnog tijela definiu njegova osnovna svojstva kao to su oblik, volumen i poloaj. Promjenu oblika i volumena materijalnog tijela nazivamo deformacijom, a promjenu poloaja kretanjem. U prirodi se kretanje javlja u najraznovrsnijim oblicima pri emu jedan oblik kretanja moe da se pretvori u drugi. Najednostavniji oblik kretanja je mehaniko kretanje za koje smo rekli da se sastoji u promjeni poloaja tijela u prostoru tokom vremena. Ako tijelo ne mijenja svoj poloaj u odnosu na druga tijela koja ga okruuju, kaemo da miruje. Kretanje i mirovanje su relativni pojmovi s obzirom da u prirodi ne postoji apsolutno mirovanje. Na primjer tako nam se na prvi pogled ini da u prirodi postoje tijela koja miruju u odnosu na okolne predmete i tijela koja mijenjaju svoj poloaj u toku vremena, odnosno kreu se. Meutim, poznato je da Zemlja rotira oko svoje ose i istovremeno po eliptinoj putanji rotira oko Sunca, koje opet stalno mijenja svoj poloaj u odnosu na druge zvijezde u svemiru. Dakle, itav svemir je u stanju vjenog kretanja i zato u prirodi ne postoji tijelo koje se ne bi nalazilo u stanju kretanja. Zbog toga s pravom moemo rei da je kretanje, u najirem smislu rijei, oblik postojanja materije i ono obuhvaa sve promjene i procese koji se dogaaju u prirodi i svemiru. Vrlo esto pri kretanju materijalnog tijela dolazi i do promjene njegovog oblika i volumena (deformacije) to je prouzrokovano promjenom meusobnog poloaja njegovih sastavnih estica (na primjer kretanje vrstih tijela, kretanje tenih i plinovitih fluida). Deformacije koje nastaju pri kretanju vrstih tijela u veini sluajeva tako su male da se mogu zanemariti i zbog toga se pri prouavanju mehanikog kretanja uzima u obzir samo promjena poloaja. Osim navedenih jednostavnih pojava kretanja, koje obino moemo lako posmatrati, postoje kretanja odreena elektrikim, magnetskim, toplinskim, optikim, hemijskim i drugim procesima u materijalnom tijelu. Ta kretanja materijalnih tijela su mnogo sloenija i veoma teko ili uope se ne mogu posmatrati jer se radi o kretanju molekula i atoma,

3

1- UVOD U MEHANIKU

odnosno njihovih sastavnih estica. Prouavanjem zakona tih kretanja bavi se fizika u irem smislu rijei. Ako se pri analizi procesa kretanja materijalnih tijela u obzir uzme manji broj fizikih svojstava, prouavanje kretanja tih tijela e biti daleko jednostavnije. Zbog toga je uobiajeno da se pri prouavanju zakonitosti mehanikog kretanja polazi od najjednostavnijih objekata kao to su materijalna taka i kruto tijelo, a zatim se postepeno uzimaju u obzir i druga fizika svojstva (elastinost, plastinost i sl.). Na taj nain se pribliavamo tanom poznavanju zakona kretanja stvarnih materijalnih tijela u prirodi. Izuavanje pojava kretanja isto teorijski, neovisno o njihovom znaenju u praktinom ivotu, koristei pri tome samo matematika sredstva, spada u teorijsku ili racionalnu mehaniku. Rezultati izuavanja do kojih dolazimo u okviru teorijske mehanike uporeuju se sa stvarnou pri emu pokuavamo teorijske i praktine rezultate dovesti u sklad. Na taj nain dobiveni zakljuci primjenjuju se pri proraunima i projektiranju elemenata, maina, graevina i drugih tehnikih objekata. Mehanika, kao nauna disciplina, koja primjenjuje zakone teorijske, odnosno racionalne mehanike na tehnike objekte zove se tehnika mehanika. Tehnika mehanika kao nauna disciplina predstavlja prijelaz od isto teorijskih disciplina ka praktinim tehnikim naunim disciplinama. Za rjeavanje tehnikih problema nije uvijek potrebna apsolutna tanost koja se dobije na osnovu strogih i veoma sloenih formula teorijske mehanike. Rjeavanje tehnikih problema i postizanje eljenog cilja u veini sluajeva zahtijeva jednostavne i brze metode, to kao posljedicu ima uvoenje novih hipoteza i zamjenu strogih formula teorijske mehanike empirijskim relacijama, koje se temelje na neposrednom iskustvu. Na primjer teoriju elastinosti, nauku koja izuava idealna elastina tijela, zamjenjuje u tehnikoj mehanici statika elastinih tijela ili otpornost materijala, a teorijsku hidromehaniku, nauku o kretanju idealnih tekuina, tehnika hidromehanika, odnosno primijenjena mehanika fluida ili hidraulika. Prema opoj definiciji mehanike kao naune discipline koja izuava specifine zakone mehanikih kretanja, tehnika mehanika se dijeli na statiku ili geometriju sila, kinematiku ili geometriju kretanja i na dinamiku, koja prouava odnose izmeu sila i kretanja. Statika u opem sluaju prouava samo mirovanje materijalnih tijela kao specijalni sluaj mehanikog kretanja. Razlikujemo statiku krutih tijela ili stereostatiku i statiku elastinih vrstih tijela ili nauku o vrstoi. Zadatak statike krutih tijela je da sile, koje djeluju na neko tijelo, svede na najjednostavniji mogui oblik, a statika elastinih

4

STATIKA

vrstih tijela prouava unutarnja naprezanja i deformacije materijalnih tijela. U statici operiramo sa pojmovima duine i sile. Kinematika se bavi prouavanjem kretanja materijalnih tijela, ne uzimajui u obzir uzroke koji izazivaju to kretanje. Dakle, nastoji se odgovoriti na pitanje: kako se materijalno tijelo kree pri zadanim geometrijskim uvjetima u zavisnosti od vremena. To znai da u kinematici operiramo sa pojmovima duine i vremena. Dinamika prouava zavisnost izmeu kretanja materijalnog tijela i sila koje djeluju na tijelo, uzimajui u obzir i njegovu masu. Dakle, u dinamici operiramo sa pojmovima duine, vremena, sile i mase. Za dinamiku se kae da je to nauka o ubrzanom kretanju tijela. Ubrzanje ili akceleracija postoji uvijek kada dolazi do promjene brzine ili po veliini (npr. nejednoliko pravolinijsko kretanje) ili po pravcu (npr. krivolinijsko kretanje), odnosno istovremeno po pravcu i veliini.

1.2 Kratak istorijski pregled razvoja mehanike

U pradavna vremena ovjek je, u borbi za opstanak, nastojao da svoje slabosti nadomjesti i dopuni odgovarajuim tehnikim sredstvima koja su mu bila dostupna. Ta sredstva bila su raznovrsna i imala su razliite namjene. Na primjer to su bile kamene sjekire, grnarske ploe, ureaji za mljevenje, vezenje i tkanje, alati i strojevi za dizanje i transport tereta na kopnu, vodi i u zraku, oruje za napad i odbranu itd. Posmatranjem pojava na nebu ovjek je naao mjerilo za vrijeme i objekte za orijentaciju u prostoru. Daljim razvojem i na osnovu steenih iskustava iz tehnike, astronomije i nautike ovjek je nastojao da objasni odreene zakonitosti kretanja, ravnotee i mirovanja. Tako je kao posljedica ivotnih potreba ovjeka u njegovoj borbi za opstanak nastala mehanika. Povijest mehanike kao naune discipline nerazdvojeno je vezana sa historijskim razvojem materijalne kulture ovjeanstva to se moe uoiti iz slijedeeg pregleda historijskog razvoja mehanike. Mnogi istorijski spomenici kao i porijeklo same rijei mehanika govore nam da su se ljudi bavili mehanikom jo u davnoj prolosti. Dokaz za to su piramide Egipta, kule Babilona, hramovi i luke Grke, mostovi i tvrave starog Rima itd. Iz navedenog je oigledno da su ljudi ve u starom vijeku raspolagali raznolikim i velikim znanjima iz mehanike. Poseban segment spoznaja u starom vijeku vezan je za nebesku mehaniku tj. posmatranje i prouavanje kretanja nebeskih tijela. Moemo rei da poeci mehanike padaju u poetke religije i ljudske civilizacije. Postavljanje prvih osnova iz mehanike vezano je za grke naunike i njenu najstariju granu statiku. Zato se osnivaem mehanike smatra Arhimed iz Siraxuze (287-212 god. prije n.e.), koji je postavio zakone poluge i uzgona u tekuinama, a pripisuju mu se i koloturnik, vijak i kolo na vretenu; Heron (oko 120 god. prije n.e.) koji je proirio

5

1- UVOD U MEHANIKU

zakone poluge i kolotura i razvio zakonitosti o djelovanju klina, vijka, zupanika i kola na vretenu; Ptolomej (oko 150 god. poslije n.e.), koji je dao prvu dosta potpunu teoriju kretanja planeta (gledite geocentrinog sistema oje je odgovaralo crkvenim vlastima zastupljeno u djelu "Almagest" koje je preko 15 stoljea sluilo kao glavni udbenik astronomije) i Pappus (oko 390 god.), koji je razvio nauku o teitu tijela. Nakon to je takozvana aleksandrijska kola u VII stoljeu doivjela propast nastao je dui zastoj u razvoju mehanike i nauke uope. Ponovni intenzivniji razvoj nauke poinje tek pred kraj XV stoljea. Zastoj u razvoju nauke u ovom periodu nastao je uglavnom kao posljedica nedovoljne ekonomske razvijenosti. U drugoj polovini srednjeg vijeka dolazi do poboljanja ekonomskog stanja. Razlog za to je niz tehnikih otkria koja se javljaju jedno za drugim. U IX stojeu javlja se potkivanje ekserima, a u istom periodu pronaena je i vodenica. Do racionalizacije vune snage ivotinja i njenog poveanja dolazi u X stoljeu koritenjem hama koji se ivotinjama postavlja na ramena, a ne na vrat kako se inilo ranije. Dolazi do usavravanja tehnike graenja brodova (javlja se kormilo koje olakava plovidbu). U XIV stoljeu iz Kine preko Arapa donosi se barut na Zapad, a sredinom XV stoljea otkriveno je tampanje. Povean broj tehnikih otkria dovodi do poveanja proizvodnje koja dovodi do intenzivnije razmjene dobara izmeu pojedinih zemalja ime se problem prijevoza jo vie intenzivira. Nakon otkria Amerike, proizvodne potrebe te epohe postavljaju pred nauku itav niz problema iz domena mehanike i astronomije. Neki od tih problema su: poveanje brodske teine i poboljanje upravljanja brodom, gradnja kanala u okviru rijene plovidbe, problem odreivanja poloaja broda na otvorenom moru i dr. Navedeni problemi spadaju u domen hidrostatike, hidrodinamike i astronomije. Razvoj specifinih industrijskih grana kao to je rudarstvo, takoer je mehanici postavio niz problema kao to su: gradnja maina za buenje, transport i dizanje rude, izrada rudnikih pumpi za vodu, problem provjetravanja rudnika itd. Jedan sasvim novi pokret u filozofiji, nazvan renesansa, znatno je ubrzao sve zakone ovjekovog ivota. Uticaj na razvoj mehanike kao naune discipline imale su i ratne vjetine iz kojih su proistekli problemi zakona kretanja plinova kod vatrenog oruja, pitanje akcije i reakcije, problem otpornosti materijala, problem kretanja projektila i drugo. Nagli razvoj mehanike javlja se u XVI i XVII stojeu. U tom periodu ivjeli su veliki umovi i naunici kao to su: Leonardo da Vinci (1452-1519), Kopernik (1473-1543), Galilei (1564-1642), Kepler (1571-1630),

6

STATIKA

Huygens (1629-1695) i mnogi drugi. Galilei se smatra jednim od osnivaa klasine mehanike. On je uveo eksperimentalnu metodu kao osnovu fizikalnih istraivanja. Postulirao je, izmeu ostalog, zakon slobodnog pada i zakon kretanja po kosini. Poseban znaaj ima jedan od osnovnih zakona mehanike, a to je princip tromosti ili inercije koji je on izveo. Jedan od najveih podsticanja razvoju mehanike dao je Newton (1643-1727). Svojim djelom "Matematika naela prirodne filozofije" u kome su izloene osnovne zakonitosti kretanja u otpornoj sredini on je udario temelje klasinoj mehanici kao naunoj disciplini koja se po njemu naziva Newton-ova ili klasina mehanika. Uvoenjem infinitezimalnog rauna Newton je dao podstreka matematiarima za fizikalna razmatranja problema mehanike. Veliki je broj znamenitih matematiara i fiziara kao to su Huygens, Leibnic, Bernoulli, Euler i drugi, koji su radili na problemima mehanike i doprinijeli njenom usavravanju i razvoju. Istovremeno, mehanika je s druge strane izazvala veliki razvitak matematike, postavljajui joj probleme od kojih neki jo ni danas nisu rijeeni. U XVII i XVIII stoljeu na osnovu postignutih rezultata nauka je mogla potisnuti mrane sile predrasuda, dogmatskih uenja i autoritet neprikosnovenih crkvenih vlasti. Pobijedila je Kopernik-ova (1473-1543) teorija kretanja planeta (heliocentrini sistem) ime je dolo do izuzetnog preokreta u nauci, a posebno nebeskoj mehanici. Za izuzetan razvoj mehanike u XVIII stojeu najzasluniji naunici su: Lagrange, Laplace, d'Alembert, Poisson, Hamilton, Poinsot i drugi. Nagli razvoj industrije u XIX stojeu doprinijelo je da se iz teorijske mehanike izdvoji tehnika mehanika kao posebna nauna disciplina. Osniva sistematske tehnike mehanike je Poncelet (1781-1867), a osim njega za razvoj tehnike mehanike zasluni su: Hooke, Coulomb, Prony, Navier, Coriolis, Maxwell, Weisbach, Young i mnogi drugi.

1.3 Osnovni pojmovi i aksiomi mehanike

1.3.1 Kruto tijelo i materijalna taka Kretanje vrstih tijela u prirodi pod uticajem sila uvijek je povezano sa njihovim manjim ili veim deformacijama, koje se oituju u promjeni oblika i volumena tih tijela. Te deformacije su dosta sloene pojave pa se u mehanici uvodi pojam krutog, to jest apsolutno vrstog tijela. Pod pojmom krutog tijela podrazumijevamo tijelo koje pod djelovanjem sila, ma kako one bile velike ne mijenja oblik i volumen. To znai da se iskljuuju osobine elastinosti materijala kao i mogunost da se tijelo raskine ili zdrobi. Takva tijela su idealna tijela i ona ne postoje u prirodi. Dio mehanike koji izuava kretanje takvih tijela naziva se

7

1- UVOD U MEHANIKU

mehanikom krutih tijela ili stereomehanikom. Izuavanjem deformabilnih tijela koja se elastino ili plastino deformiraju bavi se mehanika elastinih tijela ili elastomehanika kao i mehanika plastinih tijela i mehanika loma. Da bi se lake analizirali razliiti oblici kretanja krutog tijela, koji jo uvijek predstavljaju dosta sloene pojave uveden je u mehaniku i pojam materijalne take. Pod pojmom materijalne take podrazumijevamo materijalno tijelo zanemarljivih dimenzija. Na taj nain, oduzimanjem krutom tijelu jo i svojstva oblika i volumena predodba o materijalnoj taki moe se svesti na geometrijsku taku. Uzevi u obzir navedeno, kruto tijelo se moe smatrati sistemom materijalnih taaka izmeu kojih se ne mijenja razmak. U mehanici materijalna taka moe da se posmatra kao dio nekog tijela, ali i kao samostalna materijalna taka.

1.3.2 Pojam sile i vrste sile

U svakodnevnom ivotu vrlo esto susreu se pojave koje se manifestuju kao naprezanje miia pri vrenju tjelesnog rada, na primjer dizanje nekog tereta, pokretanje nekog predmeta rukom, kretanje i slino. Naprezanje miia predstavlja subjektivni osjeaj kojim odreujemo primarni pojam sile, koja u okvirima fizike ne moe tano da se definira. Pod pojmom sile u mehanici podrazumijevamo svako djelovanje (akciju) koje nastoji promijeniti stanje mirovanja ili kretanja nekog tijela. Sile koje proizvode ili nastoje da proizvedu kretanje tijela zovu se dinamikim ili aktivnim (na primjer sila Zemljine tee, sila pritiska vjetra, sila pritiska fluida u cilindru maine itd.). Za razliku od aktivnih, sile koje nastoje sprijeiti kretanje nazivaju se pasivnim silama ili otporima (na primjer sila otpora trenja, sila otpora kretanju tijela kroz fluid itd.). Sile koje djeluju na neko tijelo izvana i ije djelovanje za posljedicu ima promjenu oblika i volumena tijela zovu se vanjskim silama, a one sile koje se odupiru djelovanju vanjskih sila i promjenama koje one izazivaju nazivaju se unutarnjim silama. Djelovanje vanjskih sila na neko tijelo moe biti dvojako. Kada se djelovanje vanjske sile na tijelo ostvaruje preko povrine tijela, tada se govori o djelovanju povrinskih sila (na primjer sila pritiska tenosti ili gasa na neko tijelo, sila pritiska jednog tijela na drugo). Ako je djelovanje vanjske sile rasporeeno po jedinici mase ili volumena nekog tijela tada govorimo o masenim ili volumenskim silama (na primjer gravitacione sile, inercijalne sile, sile magnetskog polja, sile elektrinog polja itd.). Sila u opem sluaju moe biti funkcija vremena, puta i brzine i ta e se zavisnost podrobnije izuavati u dinamici. U okviru mehanike vrlo esto

8

STATIKA

se susreemo sa: silom tee, inercijalnim silama, elastinom silom opruge, koncentrisanim silama, silom trenja klizanja, silom trenja kotrljanja i nizom drugih sila o kojima e biti vie govora u narednim poglavljima.

1.3.3 Pojam mase i teine

Veliki broj vozaa vjerovatno je mnogo puta uoio pojavu koja se oituje u tome da kada voze automobil koji je vie optereen, istom brzinom kao i manje optereen automobil, potrebno je daleko vie napora za zaustavljanje automobila. Ili ako su dvije kugle iste veliine, ali od razliitih materijala, pokrenute jednakim udarcem one e se na istoj podlozi otkotrljati na razliite udaljenosti. Iz navedenih primjera moe se zakljuiti da su sva tijela troma ili inertna, ali da mjera njihove tromosti nije ista. Mjeru tromosti ili inertnosti nekog tijela u mehanici, prema I. Newton-u, naziva se masom tijela. Za svako tijelo masa je kosntantna veliina koja je proporcionalna teini tijela koja se mijenja u zavisnosti od poloaja tijela na Zemlji. Teina tijela (uobiajena oznaka za teinu je

GG ) je sila kojom Zemlja privlai tijelo prema svom sreditu,

odnosno pritiskuje ga na horizontalnu podlogu (pri tome je G = mg, gdje je: m (kg) masa tijela, a g = 9,81 ms-2 ubrzanje Zemljine gravitacije). Na polovima Zemlje je teina tijela vea nego na ekvatoru i ona se smanjuje s visinom kako se udaljavamo od Zemljine povrine. Osim Zemljine gravitacije na svako tijelo djeluju i privlane sile drugih tijela, ali je njihovo djelovanje u poreenju sa Zemljinom privlanom silom zanemarivo. Mase tijela se mogu mjeriti i uporeivati. Izmjerenu masu tijela nazivamo tekom ili gravitacionom masom. Pri kretanju, svojom inertnou tijelo se suprostavlja svakoj promjeni stanja kretanja. Ako na dva razliita tijela djelujemo jednakom silom ta tijela e dobiti ubrzanja koja su obrnuto proporcionalna njihovim masama. Na isti nain se mogu uporediti i mase, a tako odreena masa naziva se inercijalnom masom. Ako se jednakom silom djeluje na tijela iste teine ona e se kretati jednakim ubrzanjem, a to znai da tijela jednakih gravitacionih masa imaju jednake i inercijalne mase. Prema tome obje su mase jednake. Posljedica navedenog je da sva tijela u praznom prostoru (bezvazduni prostor ili vakuum) padaju jednakom brzinom. Karakteristika prema kojoj su gravitacija i inercija u biti jedno te isto je osnova ope teorije relativnosti. Od ranije je poznata injenica da je gravitacija na razliitim mjestima Zemljine povrine razliita, a isto tako mijenja se i sa vremenom. Dakle, moemo rei da se teina mijenja u prostoru i vremenu, dok masa ostaje konstantna, to jest ona se ne mijenja nikakvim vanjskim utjecajima kao to su na primjer: mehaniki, toplinski, svjetlosni,

9

1- UVOD U MEHANIKU

elektriki i drugi. Zbog neznatne promjene Zemljine gravitacije, u praktinom ivotu se esto masa i teina zamjenjuju, a kao propratno se ne pravi razlika ni izmeu specifine teine i gustoe (specifine mase). Strogo uzevi, pojam specifine teine podrazumijeva teinu jedinice volumena, dok je gustoa masa jedinice volumena. Masa tijela je skalarna veliina, za razliku od sile tee koja je vektor.

1.3.4 Klasina mehanika i nova mehanika Intenzivan razvoj fizike krajem IX i poetkom XX stoljea imao je za posljedicu vana otkria na podruju nauke o strukturi atoma i kretanju njihovih osnovnih estica, radioaktivnosti, elektrodinamike i nizu drugih naunih disciplina. Ta otkria su pokazala da za kretanje mikroestica i za kretanje tijela ija se brzina pribliava brzini svjetlosti ne vae zakoni klasine mehanike. U prvoj etvrtini XX stoljea razvila se takozvana relativistika mehanika, koja se temelji na Einstein-ovoj teoriji relativnosti. Einstein-ova teorija relativnosti predstavlja jo jedan veliki korak u razvoju mehanike. Relativistika mehanika, odnosno takozvana "nova mehanika" unosi posve nov sadraj u okviru osnovnih pojmova mehanike kao to su prostor, vrijeme i materija. Klasina mehanika predstavlja poseban sluaj i samo se u podruju malih brzina poklapa sa novom mehanikom. Prema Einstein-ovoj teoriji relativnosti prostor i vrijeme su relativni pojmovi, a mjerenje prostora i vremena zavisi od poloaja i kretanja posmatraa. Kako su stvarne brzine tijela u prirodi i tehnici daleko manje od brzine svjetlosti, klasina mehanika je i dalje u punoj mjeri sauvala svoje znaenje za tehniku mehaniku. Razlika u rezultatima klasine i relativistike mehanike dobija na znaaju samo kada je brzina tijela priblino jednaka brzini svjetlosti. Kod kretanja tijela brzinom mnogo manjom od brzine svjetlosti klasina mehanika daje sliku stvarnosti s veoma visokim stepenom tanosti. Inercijalna masa tijela m u stanju kretanja, prema teoriji relativnosti vea je od njegove mase mo u stanju mirovanja, to jest masa se mijenja u zavisnosti od brine prema zakonu

=

2

21

ommvc

.............................................................................. .... (1.1)

gdje je: v brzina kretanja tijela, a c brzina svjetlosti. Prema jednaini (1.1) slijedi zakljuak da brzina materijalnog tijela koje u stanju mirovanja ima masu mo veu od nule nikada ne moe dostii

10

STATIKA

vrijednost brzine svjetlosti c = 300 000 km/s, jer bi za to trebalo utroiti beskonano veliki mehaniki rad. Poznata je injenica da u klasinoj mehanici, zbog brzine kretanja tijela mnogo manje od brzine svjetlosti, masu smatramo konstantnom. Opravdanost te injenice moemo pokazati kroz jedan vrlo jednostavan primjer. Uvrstimo li u formulu (1.1) podatak o obodnoj brzini Zemlje na njenoj putanji oko Sunca, koja iznosi priblino v = 30 km/s i podatak o brzini svjetlosti c = 300 000 km/s, dobit emo da je v2/c2 = 10-8, to znai da se promjena mase u tom sluaju moe posve zanemariti, a prema tome i opravdati navode na injenici da je: m = mo = const,............................................................................... (1.2) Iz navedenog primjera je oigledno da zakoni Newton-ove klasine mehanike i dalje igraju veoma veliku ulogu kao mono sredstvo za nauna istraivanja raznovrsnih tehnikih i prirodnih nauka. Dakle, u djelokrug prouavanja klasine mehanike ulaze problemi kretanja makroskopskih tijela, ija je brzina kretanja mnogo manja od brzine svjetlosti.

1.3.5 Osnovni zakoni mehanike

Klasina mehanika kao nauna disciplina temelji se na nekoliko aksioma koji proizilaze iz opaanja i iskustva. Prema Euklidu pod pojmom aksioma podrazumjevamo istine koje se ne dokazuju, nego se prihvataju kao oite istinite bez dokaza. Prve aksiome mehanike formulirao je naunik I. Newton. Veliki italijanski naunik Galilei, jedan od osnivaa klasine mehanike, je ve prije Newton-a ustanovio, na osnovu sistematskih prouavanja, da bi se tijelo, koje se nalazi u stanju mehanikog kretanja i na koje ne djeluju nikakve sile (otpori), kretalo uvijek pravolinijski i jednoliko, to jest konstantnom brzinom (inercijalno kretanje). Djelovanje sila se oituje samo u promjeni brzine tijela, odnosno tijelo bi dobilo ubrzanje ili bi se kretalo sa usporenjem. Newton je kasnije pokazao da to vrijedi i za kretanje nebeskih tijela na osnovu ega je nastala takozvana dinamika definicija sile. Prema toj definiciji, silu smatramo uzrokom koji izaziva promjenu kretanja ili promjenu brzine, odnosno ubrzanja. Doprinos Newtona se ogleda i u tome to je umjesto pojma koliine materije uveo pojam mase i svoju teoriju je postulirao sa nekoliko definicija i tri osnovna zakona mehanike:

1) Zakon tromosti ili princip inercije: Svako tijelo ostaje u stanju mirovanja ili u stanju jednolikog pravolinijskog kretanja sve dok se, djelujui na to tijelo nekom silom, to stanje ne promjeni.

11

1- UVOD U MEHANIKU

2) Zakon proporcionalnosti sile i ubrzanja: Promjena ubrzanja (akceleracija)

Ga ili brzine Gv nekog tijela proporcionalna je sili

GF koja djeluje na to tijelo, a odvija se u pravcu i

smjeru djelovanja sile, to jest

= G GF m a , ......................................................................................(1.3) gdje su:

GF i Ga vektori istog pravca i smjera, a m masa tijela.

3) Princip jednakosti akcije i reakcije: Dva tijela koja se dodiruju, djeluju uvijek uzajamno jedno na drugo, silama koje su po intenzitetu i pravcu jednake, ali suprotna smjera. Krae reeno, "actio=reactio", odnosno akcija je uvijek jednaka i suprotno usmjerena reakciji. Prvi zakon je vei bio poznat Galilei-u i on je posljedica drugog aksioma prema kome je za silu

GF = 0 i ubrzanje Ga = 0, to znai da se brzina Gv

ne mijenja po pravcu i veliini. Uopteno moemo rei da je inercijalno kretanje tijela dosta sloena pojava. Drugi zakon predstavlja ustvari dinamiku definiciju sile. Prema treem zakonu je oigledno da mase tijela djeluju jedna na drugu silama koje su po veliini jednake, ali suprotnog smjera, odnosno svaka sila (akcija) proizvodi jednaku i suprotno usmjerenu silu (reakcija). I zaista posmatrajui pojave u prirodi, sile se uvijek javljaju u parovima, kao akcija i reakcija. Pri tome uopte nije bitno koju od njih smatramo akcijom, a koju reakcijom. Karakteristika tehnike mehanike je ta da su zakoni i teoreme klasine mehanike, uz primjenu pojma sile, svedeni na oblik koji je prikladan za primjenu na materijalna tijela kao to su maine, vozila, graevinske konstrukcije i slino, a koji se susreu u tehnici. Analiza i primjena pojedinih teorema mehanike odnosi se na materijalna tijela, a to znai da oni vae openito bez obzira o kakvom se obliku materijalnog tijela radi.

1.3.6 Osnovne veliine u mehanici i njihove jedinice Zakonom o mjernim jedinicama i mjerilima utvreno je da se u naoj zemlji mogu upotrebljavati samo mjerne jedinice Meunarodnog sistema mjernih jedinica SI (skraenica SI - na francuskom jeziku: Systme International d' Units). Iz niza fizikih veliina po dogovoru su izdvojene meusobno nezavisne veliine, koje nazivamo osnovnim veliinama i za njih su definisane osnovne jedinice. Pregled osnovnih veliina i njihovih jedinica dat je u tabeli 1.1.

12

STATIKA

Tabela 1.1. Osnovne veliine i njihove jedinice Osnovna mjerna jedinica

Osnovna veliina Naziv Oznaka

Duina metar m Masa kilogram kg

Vrijeme sekunda s Jaina elektrine struje amper A

Termodinamika temperatura kelvin K Svjetlosna jaina kandela (candela) cd Koliina materije

(supstance, gradiva) mol mol

Ostale fizike veliine i njihove jedinice mogu se definisati pomou osnovnih veliina i jedinica primjenom algebarskih izraza i upotrebom matematikih simbola mnoenja i dijeljenja. Na taj nain dobijene veliine i jedinice nazivamo izvedenim. Neke od izvedenih mjernih jedinica dobile su nazive i oznake po imenima poznatih naunika. Primjeri definisanja izvedenih mjernih jedinica: - jedinica za silu zove se njutn (newton) (N): Prema definiciji to je

sila koja masi od 1 kilograma daje ubrzanje od 1 m/s2, odnosno 1N = 1 kg 1 m/s2 = 1 kgms-2, a odreen je pomou formule F = ma (F sila, m masa, a akceleracija),

- jedinica za mehaniki rad (energiju) zove se dul (joule) (J): 1 J = 1 Nm, a odreena je pomou formule A = F s (A mehaniki rad, F sila, s preeni put),

- jedinica za snagu zove se vat (watt) (W): 1W = 1J/s, a odreena je pomou formule W = A/t (W snaga, A mehaniki rad, t vrijeme) itd.

Za definisanje mehanikih veliina od navedenih sedam dovoljne su tri osnovne veliine, a to su: duina, masa i vrijeme. Ostale veliine kao to su: sila, brzina, ubrzanje, pritisak i druge su izvedene veliine. Upotreba SI sistema ima niz prednosti kao to su: - univerzalnost (moe se koristiti u svim granama nauke), - jednostavan je poto je izgraen na bazi koherentnosti jedinica, - jasan je, poto su u njemu konano razlueni pojmovi mase od

teine, to jest pojam sile, - praktian je jer se koristi ve uobiajenim jedinicama kao to su

na primjer za duinu metar, za vrijeme sekunda itd.,

13

1- UVOD U MEHANIKU

- pogodan je za izvoenje novih koherentnih jedinica, kao i njihovih decimalnih i dekadnih umnoaka,

- osloboeni smo nepotrebnog zamaranja i gubljenja vremena pri raznoraznim preraunavanjima itd.,

- bolje meunarodne tehnike komunikacije. Da bi osnovne i izvedene mjerne jedinice bile pogodne za upotrebu u svim oblastima primjene vrlo je korisno da se koriste decimalni umnoci, odnosno decimalne mjerne jedinice. Decimalne mjerne jedinice su decimalni dijelovi mjernih jedinica, a obrazuju se stavljanjem meunarodno usvojenih predmetaka ispred oznake mjernih jedinica. Naziv predmetaka, njihove oznake i brojane vrijednosti sa primjerima primjene dati su u tabeli 1.2.

Tabela 1.2. Predmetci, njihove oznake i brojane vrijednosti Primjeri upotrebe predmetka Naziv

predmetka koji se stavlja ispred naziva

jedinice

Oznaka predmetka

koji se stavlja ispred oznake jedinice

inilac kojim se mnoi jedinica (vrijednost predmetka)

Primjer Izgovor

eksa E 1 000 000 000 000 000 000=1018 Em=1018m eksametar peta P 1 000 000 000 000 000=1015 Pg=1015g petagram tera T 1 000 000 000 000=1012 TJ=1012J teradul giga G 1 000 000 000=109 GN=109N giganjutn mega M 1 000 000=106 MPa=106Pa megapaskal kilo k 1 000=103 kV=103V kilovolt

hekto h 100=102 hl=102l=10-1m3 hektolitar deka da 10=101 dag=101g=10-2kg dekagram deci d 0,1=10-1 dl=10-1l=10-4m3 decilitar centi c 0,01=10-2 cm=10-2m centimetar mili m 0,001=10-3 mT=10-3T militesla

mikro 0,000001=10-6 W=10-6W mikrovat nano n 0,000000001=10-9 ns=10-9s nanosekunda piko p 0,000000000001=10-12 pF=10-12F pikofarad

femto f 0,000000000000001=10-15 fm=10-15m femtometar ato a 0,000000000000000001=10-18 aJ=10-18J atodul

14

STATIKA

1.3.7 Metodiki pristup rjeavanju zadataka u mehanici

Problemi sa kojima se inenjeri i tehniari susreu u tehnikoj praksi, kada je u pitanju mehanika, rjeavaju se primjenom razliitih zakona i metoda mehanike. Obino su to analitike, grafike i grafoanalitike metode, to jest kombinacija raunskih i geometrijskih metoda. Analitiko rjeenje zadatka podrazumijeva u prvom koraku definisanje odreene algebarske forme, odnosno oblika, a zatim uvrtavanje zadanih numerikih vrijednosti, nakon ega se dobijaju odgovarajui rezultati. Izbor metode koju emo koristiti za rjeavanje zadatka zavisi od zahtjeva u pogledu tanosti rezultata i brzine rjeavanja. Taniji rezultati dobijaju se raunskim metodama ali zahtijevaju vei utroak vremena. Grafike metode su manje tane, ali su zato bre i preglednije. Raunskim metodama se u veini sluajeva dobija funkcionalna zavisnost izmeu zadanih i traenih veliina, to se esto upravo i trai, dok se grafikim metodama ta zavisnost odreuje odgovarajuim konstrukcijama dijagrama i planova. Poeljno je da se svaki rezultat paljivo provjeri kao i to da se svaki zadatak, ako je to mogue, rijei analitiki i grafiki. Na taj nain jedna metoda je kontrola druge metode. Pri rjeavanju zadataka iz mehanike cjelokupni proces moe se uglavnom svesti na tri faze: - faza pojednostavljenja zadanog sloenog problema (definisanje

idealiziranog modela problema), - faza rjeavanja idealiziranog problema raunskom i/ili grafikom

metodom i - faza interpretacije dobijenih rezultata u zavisnosti od zadanih

veliina postavljenog zadatka. Dosljednom primjenom svih navedenih faza pri rjeavanju zadataka iz mehanike, istovremeno se stie sigurnost i iskustvo bez ega ne moemo uspjeno rjeavati probleme iz tehnike prakse. Osnovni zadatak tehnike mehanike i jeste da se budui inenjeri priviknu na jedan metodiki pristup rjeavanju postavljenog zadatka.

15

UVOD U STATIKU

2.1 Zadatak i podjela statike

Statika, kao dio mehanike, moe se definirati, kao nauka o ravnotei sila koje djeluju na materijalno tijelo, odnosno mehaniki sistem. Drugim rijeima, u okviru statike prouavaju se uslovi koji moraju biti ispunjeni da bi sile, koje djeluju na promatrano tijelo, odnosno sistem, bile u ravnotei. Razlikujemo statiku i dinamiku ravnoteu. Pod pojmom statike ravnotee podrazumijevamo sluaj kada tijelo na koje djeluju sile miruje, a kada se tijelo pod djelovanjem sila kree jednoliko i pravolinijski (v = const.) tada imamo sluaj dinamike ravnotee. U tom sluaju za kretanje tijela vrijedi zakon inercije (I aksiom), i pri tome tijelo se ponaa kao da na njega ne djeluje nikakva sila. Stanje mirovanja sa stanovita kinematike podrazumijeva sluaj kretanja kada je brzina jednaka nuli (v = 0). Prema nainu i metodama prouavanja ravnotee krutih tijela, statiku moemo podjeliti na elementarnu i analitiku statiku. U elementarnoj statici se razmatraju metode svoenja ili redukcije zadanog sistema sila na jednostavniji oblik. Kako izlaganja u ovom dijelu statike imaju geometrijski karakter, taj dio statike zove se jo i geometrijom sila. Pri rjeavanju zadataka u elementarnoj statici sluimo se analitikom, grafikom (geometrijskom) ili grafoanalitikom metodom. Pri analitikom postupku, traene veliine analiziraju se i odreuju numeriki, a pri grafikom postupku, sve veliine se zadaju grafiki i sam proces odreivanja traenih veliina izvodi se isto grafikim putem. Grafoanalitika metoda predstavlja kombinaciju dvije prethodne opisane metode. Analitika statika se zasniva na principu virtualnih radova koji predstavljaju fundamentalne principe mehanike i koji definiu opi kriterij ravnotee mehanikih sistema. Prema agregatnom stanju tijela statiku moemo podijeliti na: statiku vrstih tijela (geostatiku ili samo statiku), statiku tenog fluida (hidrostatiku) i statiku plinovitih fluida (aerostatiku). Statika vrstih tijela dijeli se na: statiku krutih tijela (stereostatika), statiku elastinih tijela (elastostatika) i statiku plastinih tijela (plastostatika).

16

STATIKA

U statiku se moe ukljuiti i nauka o odnosima izmeu prostora i mase takozvana geometrija masa. To je dio statike koji se bavi odreivanjem poloaja teita materijalnih tijela i njihovih statikih momenata, momenata inercije itd.

2.2 Osnovni pojmovi u statici

Da bi kvalitetno mogli pratiti izlaganje materije i rjeavati odreene probleme iz statike, potrebno je da se prvo upoznamo sa nekim osnovnim pojmovima, kao to su: sila, sistem sila, sistem tijela itd. Sila. U poglavlju 1.3 ve smo definisali pojam sile i napravili odgovarajuu klasifikaciju sila. Oigledno je da se u mehanici susreemo sa raznim vrstama sila. Meutim, sve te sile imaju odreena zajednika obiljeja, koja se mogu uoiti na slici 2.1.a. Za silu

GF

kaemo da je potpuno odreena ako su poznate njene karakteristike: intenzitet (apsolutna veliina), pravac, smjer i napadna taka (hvatite) A. Oigledno je da navedene karakteristike predstavljaju obiljeja vektorskih veliina. Dakle, za silu moemo rei da je vektorska veliina. Napadna taka ili hvatite sile je taka u kojoj se prenosi djelovanje sile na tijelo. Intenzitet pravac i smjer sile u prostoru odreen je njenim trima pravouglima komponentama. Tako je na primjer sila

GF ,

prikazana na slici 2.1.b, odreena komponentama G G G

, , .x y zF F F

a) b)

Slika 2.1 Sila kao vektorska veliina

Pravac i smjer sile moemo definisati kao pravac i smjer pravolinijskog kretanja kojim bi se kretalo slobodno tijelo, kada bi ta sila djelovala na njega. Na primjer sila tee ima pravac paralelan vertikalnoj z osi i usmjerena je prema dolje. Sila

GF u uetu AB, na slici 2.1.a, iji je jedan

kraj vezan za tijelo u taki A, djeluje u pravcu AB i ima smjer od A prema B. Pravac du kojeg djeluje neka sila

GF u jednom ili drugom

smjeru zove se pravac ili linija djelovanja sile. Intenzitet sile =GF F odreuje se poreenjem sile

GF sa silom koja je uzeta za jedinicu.

17

2- UVOD U STATIKU

Osnovna jedinica za mjerenje intenziteta sile je newton (njutn). Newton (N) je sila koja masi od 1 kilograma daje ubrzanje od 1 m/s2, (1N = 1 kg1m/s2 = 1 kgm/s2), Pri prouavanju djelovanja sila na tijelo, obino se sluimo pravouglim koordinatnim sistemom (slika 2.1.b), i odreujemo poloaj napadne take (hvatita) A sile

GF pomou vektora poloaja Gr , odnosno pomou

projekcija X, Y i Z, vektora Gr na ose koordinatnog sistema. U tom sluaju sila

GF , kao vektorska veliina, odreena je ako je poznat njen

intenzitet =GF F i tri ugla, koje vektor GF zatvara sa pozitivnim smjerovima koordinatnih osa.

Projekcije vektora GF na koordinatne ose odreene su relacijama:

X = Fx = F cos , ........................................................................... (2.1.) Y = Fy = F cos .................................................................................. (2.2.) Z = Fz = F cos . ............................................................................ (2.3.) Intenzitet sile

GF izraunavamo na osnovu intenziteta komponenti

pomou poznate relacije:

= = + +G 2 2 2F F X Y Z , ............................................................... (2.4.) a pravac djelovanja pomou relacija:

=cos XF

, ................................................................................... (2.5.)

=cos YF

,.................................................................................... (2.6.)

=cos ZF

..................................................................................... (2.7.)

U praksi se intenzitet sile najee mjeri dinamometrima ili vagom. Sistem sila. Sistem sila definiemo kao skup sila koje djeluju na neko tijelo. Uravnoteeni sistem sila. Uravnoteeni sistem sila je onaj pri ijem dejstvu tijelo ili sistem tijela se nalazi u ravnotei (ne kree se, odnosno miruje). Sistem tijela. Sistem tijela predstavlja skup materijalnih tijela koja uzajamno djeluju jedno na drugo, tako da ravnotea bilo kojeg tijela zavisi od dejstva drugih tijela. Sile meusobnog djelovanja tijela unutar sistema nazivamo unutranjim, a sile koje potiu od tijela van sistema nazivamo spoljanjim silama sistema.

18

STATIKA

Slobodno tijelo. Pod slobodnim tijelom podrazumijevamo tijelo koje nije vezano za druga tijela i moe da zauzme bilo koji poloaj u prostoru (npr. hitac u zraku). Vezano tijelo. Za neko tijelo kaemo da je vezano ako je njegovo pomjeranje u prostoru ogranieno drugim tijelima. Ekvivalentni sistem sila. Ekvivalentni sistem sila je onaj koji moe zamijeniti posmatrani sistem sila, koji djeluje na tijelo, a da se pri tom dejstvo na tijelo ne promijeni. Rezultanta sila. Rezultanta datog sistema sila je sila koja je evivalentna posmatranom sistemu sila, odnosno ona zamjenjuje dejstvo svih tih sila na kruto tijelo. Uravnoteavajua sila. Uravnoteavajua sila je sila koja je jednaka rezultanti po intenzitetu i pravcu, a suprotnog je smjera. Koncentrisana sila. Koncentrisana sila je sila koja djeluje u jednoj taki tijela (ako se moe smatrati da se mehaniko dejstvo prenosi u taku). Kontinuirana sila. Kontinuirana sila je sila ije se dejstvo prenosi na vie taaka tijela kontinuirano (po duini, povrini ili volumenu datog tijela). Apsolutno kruto tijelo. Apsolutno kruto ili kruto tijelo moemo definisati kao tijelo kod koga se pri mehanikom dejstvu drugih tijela, ne mijenja rastojanje izmeu bilo koje dvije njegove take. Materijalna taka. Pojam materijalne take definisali smo takoer u poglavlju 1.1, znamo da pod tim pojmom podrazumijevamo materijalno tijelo ije su dimenzije zanemarive. Princip solidifikacije. Poznato nam je da prirodno vrsta tijela nisu apsolutno vrsta (kruta) i da se radi toga ona pod djelovanjem vanjskih sila deformiu. Kada se takvo, deformisano tijelo nalazi u stanju mirovanja, za vanjske sile, koje na to tijelo djeluju, vrijede isti uslovi ravnotee kao i za sile koje djeluju na kruto tijelo. Ako se prirodno vrsto tijelo nalazi u poloaju ravnotee, ono e ostati u ravnotei i u sluaju kada bi cijelo tijelo ili bilo koji njegov dio postao krut. Navedeno predstavlja takozvani princip solidifikacije ili ukruivanja. Prema tome, sva prirodna vrsta tijela, kada miruju, moemo pri prouavanju ravnotee sila koje na njih djeluju smatrati krutim tijelima. To vai i za fluide, odnosno tekuine i plinove s tim da moramo uvesti i neke dopunske uslove ravnotee.

2.3. Aksiomi statike

Rije aksiom potie od grke rijei axioma koja ima viestruko znaenje: ugled, autoritet sam po sebi, sama sobom vidljiva nauna istina,

19

2- UVOD U STATIKU

oigledna istina, nedokaziva istina, istina koja se ne moe dokazati itd. Shodno navedenom i u statici postoje oigledne istine koje su nastale kao rezultat iskustva i dugotrajnog eksperimentisanja, ispitivanja i opaanja. Te istine definisane su kao aksiomi statike i usvajaju se bez matematikih dokaza. Aksiomi statike izraunavaju neke fundamentalne odnose u vezi sa ravnoteom tijela.

Prvi aksiom: Slobodno kruto tijelo na koje djeluje dvije sile, G1F i

G2F ,

bie u ravnotei pod dejstvom tih sila samo ako djeluju du iste napadne linije (nalaze se na istom pravcu), imaju isti intenzitet (F1 = F2), a suprotnog su smjera, slika 2.2.

Slika 2.2. Uravnoteeno djelovanje dviju sila na slobodno kruto tijelo

Drugi aksiom: Dejstvo datog sistema sila na kruto tijelo nee se promijeniti, ako se datom sistemu doda ili oduzme uravnoteeni sistem sila. Kao posljedica prvog i drugog aksioma proizlazi konstatacija da silu koja djeluje na kruto tijelo moemo pomjerati du napadne linije, a da se pri tom njezino dejstvo na tijelo ne promjeni, slika 2.3.

20

STATIKA

Slika 2.3. Dodavanje uravnoteenog sistema sila postojeem sistemu

Ako na kruto tijelo djeluje sila GF u taki A, na osnovu drugog aksioma,

u taki B moemo dodati uravnoteeni sistem sila, a pri tome ukupno dejstvo sila na sistem nee biti promjenjeno. Na osnovu prvog aksioma, sila

GF u takama A i B moe se ukloniti, tako da ostaje samo sila

GF u

taki B, slika 2.3. Ova konstatacija o pomjeranju sile du napadne linije vai samo za kruto tijelo, dok se za deformabilno tijelo ovaj stav ne bi mogao prihvatiti. Trei aksiom: Rezultanta dvije sile koje djeluju na tijelo u jednoj taki, odreena je dijagonalom paralelograma, konstruisanog nad silama kao njegovim stranicama, slika 2.4.

Slika 2.4. Definisanje rezultante sila primjenom paralelograma sila

Drugi postupak za odreivanje rezultante dvije sile koje djeluju u jednoj taki svodi se na, takozvano, pravilo trougla sila, slika 2.5.

21

2- UVOD U STATIKU

Slika 2.5. Definisanje rezultante sila primjenom pravila trougla sila

Na kraj sile G1F , nanosi se sila

G2F , a vektor koji spaja poetak sile

G1F i

kraj sile G2F , pretstavlja rezultantu

GRF sila

G1F i G2F .

Pored ove dvije grafike metode, za odreivanje rezultante sila koristi se i analitika metoda. Primjenom kosinusne teoreme, prema slici 2.5, intenzitet rezultante odreen je sljedeim izrazom:

= + +2 21 2 1 22 cosRF F F F F ........................................................ (2.8.) etvrti aksiom: Nastao je iz treeg zakona mehanike i glasi: Sile sa kojim dva tijela djeluju jedno na drugo jednake su po intenzitetu i pravcu, a usmjerene su suprotno, slika 2.6.

Slika 2.6. Djelovanje uravnoteenog sistema dvije sile suprotnog smjera

Kod ovih razmatranja posmatramo samo spoljanje sile, poto su unutranje sile izmeu djelia krutog tijela meusobno uravnoteene. Peti aksiom: Ako se deformabilno tijelo nalazi u ravnotei, ravnoteno stanje e se zadrati, ako to tijelo postane kruto (princip solidifikacije). esti aksiom (aksiom o vezama): Za neko tijelo kaemo da je vezano ako je njegovo pomjeranje u prostoru ogranieno drugim tijelima. Svako vezano tijelo moe se posmatrati kao slobodno (tijelo ije pomjeranje u

22

STATIKA

prostoru nije ogranieno drugim tijelima), ako se uklone veze i njihov utjecaj na tijelo zamjeni odgovarajuim silama reakcijama veze, slika 2.7.

Slika 2.7. Vezano tijelo

2.4. Veze, vrste veza i njihove reakcije

Vezama nazivamo mehanika ili fizika tijela koja ograniavaju slobodu kretanja materijalne take (tijela) ili sistema materijalnih taaka (tijela). U okviru statike, veze predstavljaju razliita tijela koja su na odreeni nain vezana s posmatranim materijalnim tijelom ili sistemom i koja ograniavaju slobodu kretanja istih. Ako vezama ograniavamo promjene poloaja materijalnog tijela (sistema) u prostoru, veze su geometrijske, a ako se postave ogranienja i na kinematike elemente (npr. brzinu) veze su kinematike. Veze mogu biti postojane ili nepostojane. Postojane veze podrazumijevaju nemogunost odvajanja materijalne take ili tijela od veze (npr. kliza na voici). Nepostojane veze dozvoljavaju mogunost odvajanja materijalne take ili tijela, odreenim pomakom, od veze (npr. knjigu na stolu moemo premjetati po povrini stola ne prekidajui vezu, ali knjigu moemo i podii sa povrine stola ime se veza prekida). Zavisno od vremena, veze mogu biti stacionarne (skleronomne) ili nestacionarne (reonomne). Stacionarne veze su veze nezavisne o vremenu, a nestacionarne veze su veze zavisne o vremenu. Na primjer: kretanje ovjeka po palubi nepokretnog broda predstavlja stacionarnu vezu, a ako bi se brod kretao veza bi bila nestacionarna. Veze se mogu definisati kao unutranje i vanjske veze sistema. Unutranje veze sistema postavljaju ogranienja samo u pogledu meusobnog poloaja sastavnih dijelova sistema, a posmatrajui sistem kao cjelinu, one ne spreavaju njegov slobodni pomak. U suprotnom sluaju, veze su vanjske. Dakle, ako ulogu veza vre tijela koja pripadaju posmatranom sistemu, onda se ispoljava djelovanje

23

2- UVOD U STATIKU

unutranjih veza, i obratno. Ako u okviru materijalnog sistema dominiraju samo unutranje veze tada se on naziva slobodnim. Kada bi sistem bio slobodan, djelovanje veza bi se oitovalo u tome to bi one spreavale odnosno mijenjale kretanje koje bi priloene vanjske sile izazivale. Moemo smatrati da veze proizvode isto djelovanje kao i sile pa se zbog toga u mehanici djelovanje veza zamjenjuje silama koje nazivamo reakcijama veza. Dakle, djelovanje veza svodi se na sile-reakcije veza koje ove proizvode. Na osnovu navedenog moemo zakljuiti da pri odreivanju ravnotee neslobodne materijalne take ili tijela, veze treba zamIjeniti njihovim reakcijama, to jest osloboditi taku, odnosno tijelo njihovih veza. Drugim rijeima ako silama koje djeluju na materijalnu taku ili tijelo dodamo reakcije veza moemo posmatrani materijalni sistem smatrati slobodnim. Meutim, treba imati u vidu da se reakcije veza razlikuju od obinih sila, prvenstveno zbog toga to reakcije veza nisu odreene samom vezom, nego zavise od sila koje djeluju na sistem kao i od kretanja sistema. Obine sile, naprotiv, ne zavise od drugih sila niti od kretanja sistema. Osim toga djelovanje obinih sila moe izazvati kretanje sistema, dok reakcije veza ne mogu izazvati nikakvo kretanje. Zbog toga reakcije veza nazivamo pasivnim silama, dok su obine sile aktivne. U veini sluajeva reakcije veza su nepoznate kako po pravcu i smjeru djelovanja tako i po intenzitetu. Razmotrit emo nekoliko jednostavnijih sluajeva veza kada moemo odrediti pravac reakcije. 1. Veza ostvarena pomou ueta, lanca i sl. Reakcija ima pravac ose zategnutog ueta, lanca i sl (slika 2.8). Takve veze mogu prenositi samo sile zatezanja, to jest sile koje nastoje prouzrokovati naprezanje na zatezanje tih elemenata.

Slika 2.8. Veza ostvarena pomou ueta, lanca ili na slian nain

2. Veza ostvarena pomou krutog tapa zanemarive teine. U sluaju veze ostvarene pomou krutog tapa zanemarive teine i uz zanemareno trenje u zglobovima tapa, reakcija tapa ima pravac njegove uzdune ose, odnosno pravac koji spaja njegove krajnje take (slika 2.9). Takva veza moe prenositi sile zatezanja i pritiska.

a) b)

24

STATIKA

a) b)

Slika 2.9. Veza ostvarena pomou krutog tapa zanemarive teine

3. Glatka povrina. U sluaju kada materijalna taka ili tijelo moe da klizi po nepominoj povrini tijela ili materijalnoj liniji bez trenja, reakcija veze ima pravac okomit na povrinu ili liniju, ili tanije pravac okomit na tangencijalnu ravan kroz dodirnu taku (slika 2.10.a). Ako povrina tijela ili materijalna linija mogu kliziti bez trenja po nepominoj taki ili tijelu, odnosno ako se u stanju mirovanja na njih oslanjaju, pravac reakcije veze okomit je na pominu povrinu ili materijalnu liniju (slika 2.10.b).

a) b)

Slika 2.10. Glatka povrina kao veza

4. Cilindrini zglob, cilindrini leaj. U sluaju veze pomou cilindrinog zgloba ili cilindrinog leaja, pravac reakcije je, zanemarimo li trenje, okomit na osu zgloba, odnosno leaja (slika 2.11). Ako je veza ostvarena pomou nepominog cilindrinog zgloba, pravac reakcije je nepoznat, odnosno to moe biti bilo koji pravac okomit na osu zgloba, to zavisi od poloaja vezanog tijela i sila koje na njega djeluju. Tipian primjer takve veze je nepomini oslonac nosaa (punih linijskih, reetkastih, okvirnih i dr.). Obino se reakcija cilindrinog zgloba ili leaja, radi lakeg izuavanja problema razlae u dvije komponente.

25

2- UVOD U STATIKU

a) b) c) .. d)

Slika 2.11. Cilindrini zglob ili leaj kao veza

5. Sferni zglob, sferni leaj. Veza pomou sfernog zgloba ili leaja ne dozvoljava pomjeranje ni u jednom pravcu (slika 2.12). Jedino je mogua rotacija tijela oko bilo koje ose koja prolazi kroz nepominu taku O. Reakcija ove veze odreena je trima meusobno okomitim komponentama, iji je pravac, smjer i intenzitet ovisan o silama koje djeluju na tijelo.

a) b) c)

Slika 2.12. Sferni zglob ili leaj kao veza

6. Ukljetenje. Otpor ukljetenja kao veze svodi se na silu i moment sprega sila (moment ukljetenja). Za sistem u ravni, sila i moment kao reakcije na djelovanje spoljanjeg optereenja, lee u ravni dejstva sila koje predstavljaju spoljanje optereenje (slika 2.13). Obino se reakcija ove veze, radi jednostavnijeg izuavanja problema, razlae na komponente. Ako se radi o ravanskom sistemu sila onda se sila razlae na dvije komponente, a ako se radi o prostornom sistemu sila onda i silu i moment razlaemo na komponente.

26

STATIKA

Slika 2.13. Ukljetenje kao veza

Za razliku od navedenih veza koje zbog zanemarivanja odreenih karakteristika, kao to su trenje ili sopstvena teina, nazivamo idealnim vezama, u stvarnosti su to veze kod kojih se javlja i trenje. U tom sluaju se ukupna reakcija definie preko komponente normalne i tangencijalne reakcije. Tangencijalna komponenta reakcije lei u tangencijalnoj ravni postavljenoj kroz taku, liniju ili povrinu dodira dva tijela i naziva se silom trenja. Primjer takve veze prikazan je na slici 2.14.

Slika 2.14. Reakcija veze razloena na normalnu i tangencijalnu komponentu realna veza

Iz navedenog se moe zakljuiti da je reakcija veze uvijek usmjerena suprotno pravcu i smjeru kretanja tijela.

27

SISTEM SUELJNIH SILA

3.1 Definicija sistema sueljnih sila Sistem sueljnih sila definiemo kao sistem sila koje djeluju na tijelo u jednoj taki ili u razliitim takama krutog tijela, pri emu mora biti zadovoljen uvjet da se produene napadne linije tih sila sijeku u jednoj taki. Ako sve sile koje djeluju na tijelo lee u jednoj ravni onda govorimo o ravanskom sistemu sueljnih sila, slika 3.1a, ako sueljne sile, koje djeluju na tijelo, ne lee u istoj ravni onda govorimo o prostornom sistemu sueljnih sila, slika 3.1b. Kao specijalan sluaj ravanskog sistema sueljnih sila je sistem kolinearnih sila, slika 3.1c.

a) b) c)

Slika 3.1 Sueljni sistem sila

Odreivanje rezultante, njezinog pravca, smjera i intenziteta analitikim i grafikim putem za sueljni sistem sila, ve je prezentirano u prethodnim poglavljima. Ukoliko imamo vie sila njihovu rezultantu najjednostavnije moemo odrediti vektorskim sabiranjem svih komponenti sila.

= + + +G G G G"1 2R nF F F F ,...................................................................... (3.1)

== G G

1

n

R ii

F F ...................................................................................... (3.2)

28

STATIKA

3.1.1 Geometrijski uvjeti ravnotee sistema sueljnih sila

Da bi sistem sueljnih sila koje djeluju na jedno tijelo bio u ravnotei potreban i dovoljan uslov je da vektorski zbir svih sila bude jednak nuli, slika 3.2.

Slika 3.2 Uravnoteeni sistem sueljnih sila

Sile G1F i

G2F djeluju na prikazano materijalno tijelo. Dodavanjem ovom

sistemu sile -GRF , sistem sueljnih sila postaje uravnoteen, odnosno:

( )+ + =G G G1 2 0RF F F ..........................................................................(3.3) Ukoliko na kruto tijelo djeluju tri sueljne sile u tom sluaju potreban i dovoljan uslov za ravnoteu sistema sila je da trougao koje formiraju ove sile bude zatvoren, slika 3.3. Ako je ispunjen ovaj uslov onda je njihova rezultanta jednaka nuli, pa se zadatak svodi na osnovnu postavku o ravnotei sueljnih sila.

Slika 3.3 Uravnoteeni sistem tri sueljne sile

3.2 Razlaganje sila na komponente

Razloiti silu na komponente (dvije ili vie) znai nai sueljne sile za koje je zadata sila rezultanta. Ako posmatramo postavljeni zadatak u ravni, tada zadatu silu GF moemo razloiti na komponente samo u slijedea etiri sluaja:

29

3- SUELJNI SISTEM SILA

a) Ako su zadani pravci razlaganja sile

Ako su poznati pravci AB i AC, silu GF moemo razloiti po pravilu

paralelograma na komponente G1F i G2F , slika 3.4.

Slika 3.4 Razlaganje sile na komponente primjenom pravila paralelograma sila

b) Ako je zadat intenzitet komponenti U ovom sluaju postupamo na isti nain kao kod konstrukcije trougla, kada su poznate veliine sve tri stranice. Dakle u ovom sluaju nad datom silom konstruiemo trougao sila, pri tome se vrh rezultante mora sueljavati sa vrhom jedne od komponenti. c) Ako je poznat pravac jedne komponente i intenzitet druge komponente Isto tako i ovaj zadatak se rjeava konstrukcijom trougla, tako to se od poetka date sile

GF povue pravac zadate komponente, a estarom se iz

kraja sile GF opie krunica iji poluprenik odgovara intenzitetu druge

komponente. Presjekom ove krunice sa zadatim pravcem odreuje se veliina, pravac i smjer obje komponente na koje se razlae sila

GF .

d) Ako je zadat pravac, smjer i intenzitet jedne komponente U ovom sluaju, primjenom pravila o paralelogramu sila, bez ikakvih problema moe se zadata sila

GF razloiti na pripadajue komponente,

poto je jedna od komponenti potpuno definisana. U konkretnom sluaju kod rjeavanja zadataka, odnosno postavljenih problema sueljnih sila u ravni, mogue je odrediti najvie dvije nepoznate komponente, odnosno reakcije veza, slika 3.5. Ovo proizilazi iz pravila o trouglu sila.

30

STATIKA

Slika 3.5 Razlaganje sila poznatog pravca, smjera i intenziteta na komponente u konkretnim sluajevima djelovanja sueljnog sistema sila

U oba zadatka, slika 3.5a i 3.5b prvo su definisane reakcije veza, a zatim je izvreno slaganje komponentnih sila u zatvoreni poligon-trougao, ime je potvren uslov ravnotee.

3.3 Projekcije sile na osu i na ravan

Sila GF , kao vektorska veliina, moe se rastaviti na komponente,

odnosno moe se projektovati na osu ili na ravan. Projekcija sile GF na

osu je skalarna veliina, slika 3.6.

Slika 3.6 Projekcija sile na osu

Ortogonalna projekcija sile GF na osu Ox odreena je duinom ' 'A B ,

koja moe biti pozitivna, negativna i jednaka nuli; zavisno od poloaja i orijentacije ose Ox u odnosu na silu

GF .

' 'A B = X = Fx = F cos ..................................................................(3.4) Ova konstatacija je proistekla iz vektorske algebre gdje projekciju sile

GF

na osu Ox definiemo skalarnim proizvodom vektora GF i jedininog

vektora Gi .

GF - sila Gi - jedinini vektor

X=Fx projekcija sileGF na osu 0x

(skalarna veliina)

31

3- SUELJNI SISTEM SILA

( ) ( ) =G G GG G Gcos ,F i F i F i .............................................................. (3.5) Kako je vektor

Gi jedinini vektor, a ugao izmeu vektora

GF i vektora G

i je , to imamo da je: ( ) = =GG 1 cos cosF i F F .................................................... (3.6) Meutim kod projekcije sile

GF na ravan, slika 3.7, gornja konstatacija

ne vai. Projekcija sile GF na ravan je vektorska veliina i u ovom sluaju

oznaena je sa GxyF .

Slika 3.7 Projekcija sile na ravan

Ako silu GxyF projektujemo na pripadajue ose Ox i Oy, prema izrazu

(3.6), projekcije X = Fx i Y = Fy bie skalarne veliine odreene sljedeim izrazima: X = Fx = Fxy cos = F cos cos , ................................................... (3.7) Y = Fy = Fxy sin = F cos sin . .................................................... (3.8)

3.4 Analitiki nain definisanja sile

Na osnovu poznavanja samo projekcije sile GF na jednu osu, na primjer

osu Ox, ne moemo jednoznano odrediti vrijednost te sile. Naime, to proizilazi iz konstatacije da vei broj sila razliitog pravca i razliitog intenziteta moe imati istu projekciju na datu osu, slika 3.8a.

32

STATIKA

Slika 3.8 Projekcija sile na ose pravokutnog koordinatnog sistema u ravni

Prema tome, za jednoznano odreivanje sile GF moramo poznavati

njezine dvije projekcije slika 3.8b (sluaj da sila djeluje u ravni). Prema slici 3.8b, sila

GF definisana je paralelogramom konstruisanim nad

projekcijama Fx i Fy. Intenzitet sile GF odreen je slijedeim izrazom:

= = + = +G 2 2 2 2x yF F F F X Y ........................................................(3.9) Poloaj pravca napadne linije sile

GF u ravni Oxy odreen je uglom

koji je definisan izrazima:

= = =+ +2 2 2 2

cos x x

x y

F F XF F F X Y

, ................................................(3.10)

= = =+ +2 2 2 2

sin y y

x y

F F YF F F X Y

. ................................................(3.11)

U sluaju da sila GF ne lei u jednoj ravni, to je za njeno definisanje

pravca, smjera i intenziteta u Dekartovom koordinatnom sistemu neophodno poznavati tri komponente, slika 3.9.

33

3- SUELJNI SISTEM SILA

Slika 3.9 Razlaganje sile na tri komponente

Fx= = =, y zac F ad i F ae su ortogonalne projekcije sile GF na ose

koordinatnog sistema Oxyz.

U ovom sluaju intenzitet sile GF je:

= = + + = + +G 2 2 2 2 2 2x y zF F F F F X Y Z . ........................................ (3.12) a pravac sile

GF je definisan uglovima , , .

= = cos arccosx xF Fili

F F................................................... (3.13)

= = cos arccosy y

F Fili

F F................................................... (3.14)

= = cos arccosz zF Fili

F F.................................................... (3.15)

pri tome je:

+ + =2 2 2cos cos cos 1 ............................................................. (3.16)

3.5 Analitiki uslovi ravnotee sistema sueljnih sila

Da bi sistem sueljnih sila bio u ravnotei, potreban i dovoljan uslov je da rezultanta sistema bude jednaka nuli. a) Sluaj ravnog sistema sueljnih sila Ravnotea ravnog sistema sueljnih sila odreena je izrazima:

==

1

0n

xii

F ...................................................................................... (3.17)

34

STATIKA

==

1

0n

yii

F .......................................................................................(3.18)

ili

= = =

= = + = G G 2 2

1 1 10

n n n

R i xi yii i i

F F F F . ..........................................(3.19)

b) Sluaj prostornog sistema sueljnih sila Ravnotea prostornog sistema sueljnih sila odreena je izrazima:

==

1

0n

xii

F .......................................................................................(3.20)

==

1

0n

yii

F .......................................................................................(3.21)

==

1

0n

zii

F .......................................................................................(3.22)

ili

= = = =

= = + + = G G 2 2 2

1 1 1 10

n n n n

R i xi yi zii i i i

F F F F F ...........................(3.23)

Primjena izloenih teoretskih razmatranja prezentirana je na sljedeim primjeri.

35

3- SUELJNI SISTEM SILA

Slika 3.10 Sueljni sistem sila u ravnikoji djeluje na taku M

Primjeri:

Zadatak 3.1. Za dati sistem sueljnih sila, prikazan na slici 3.10, analitiki i grafiki odrediti rezultantu ako je: F1=100 N, F2=200 N, F3=320 N, F4=450 N, 1=450, 2=1200, 3=2100, 4=3000. Rjeenje: a) Analitiko rjeenje Projekcije datih sila na ose koordinatnog sistema xOy definisane su izrazima: - osa x X1 = F1 cos 1= 100cos 45 = 1000,7071 X1 = 70,71 N X2 = F2 cos 2 = 200cos 120 = 200(-0,5) X2 = -100 N X3 = F3 cos 3 = 320cos 210 = 320(-0,8660) X3 = -277,12 N X4 = F4 cos 4 = 450cos 300 = 3000,5 X4 = 225 N - osa y Y1 = F1 sin 1 = 100sin 45 = 1000,7071 Y1 = 70,71 N Y2 = F2 sin 2 = 200sin 120 = 2000,8660 Y2 = 173,20 N Y3 = F3 sin 3 = 320sin 210 = 320(-0,5) Y3 = -160 N Y4 = F2 cos 4 = 450sin 300 = 450(-0,8660) Y4 = -389,70 N Komponente rezultante datog sistema sueljnih sila definisane su izrazima:

=

=

= = + + + = += = = + + + = + =

4

1 2 3 41

4

1 2 3 41

70,71 100 277,12 225

81,41 N

70,71 173,20 160 389,70

305,79 N

R ii

R

R ii

R

X X X X X X

X

Y Y Y Y Y Y

Y

Intenzitet rezultujue sile definisan je izrazom:

( ) ( )= + = + =22 2 81,41 305,78 316,44 NR R R R RF X Y F F

36

STATIKA

S obzirom da je XR < 0 i YR < 0, rezultujua sila FR nalazi se u treem kvadrantu, a njen pravac odreen je izrazima:

( )( )

= = = = = + = + = =

G G

0 ' 0 0 0

81,41cos ' cos , cos ' 0,257316,44

180 180 arc cos 0,257 255,09 255 54'

RR R R

R

R R

Xi F

F

a) Grafiko rjeenje: Da bi zadatak rjeili grafiki, prvo moramo usvojiti razmjeru za silu, naprimjer UF = 100 N/1 cm, a zatim na osnovu plana poloaja (slika 3.11a) nacrtati plan sila nadovezujui redom sile

G G G G1 2 3 4, , iF F F F kako je

prikazano na slici 3.11b.

Slika 3.11 Grafiko rjeenje zadatka 3.1.

Rezultanta GRF , datog sistema sueljnih sila, definisana je duinom ae u

okviru plana sila. Intenzitet rezultujue sile definisan je izrazom:

== = == = =

= == =

1

2

3

4

100 N1 cm

' / 1 cm

' / 2 cm

/ 3,2 cm

/ 4,5 cm

F

F

F

F

F

U

ab c c F U

bc ac F U

cd F U

de F U

37

3- SUELJNI SISTEM SILA

Slika 3.12 Djelovanje kolinearnog sistema sila na tijelo M

= = = 100N3,15cm 315N 316,44N1cmR F R R

F ae U F F

a pravac i smjer definisani su na osnovu plana sila (slika 3.11b).

Komponente rezultante GRF prema istoj slici odreene su duima

af i fe , na osnovu ega slijedi:

= = =

= = =

100N0,8cm 80N 81,41N

1cm100N

3,05cm 305N 305,79N1cm

R F R R

R F R R

X fe U X X

Y af U Y Y

Istu rezultantu GRF dobili bi bez obzira na red nanoenja sila u poligonu,

to je prikazano na slici 3.11b, isprekidanom linijom (redoslijed nanoenja sila

G G G G2 1 3 4, ,F F F i F ).

Zadatak smo grafiki mogli rijeiti i na drugi nain. Na slici 3.11a, prikazano je rjeenje pomou paralelograma sila. Sa slike je oito da je:

= += +

= +

JJJJJG G GJJJJJG G GJJG JJJJJG JJJJJG

14 1 4

23 2 3

14 23

,

,

.

R

R

R R R

F F F

F F F

F F F

Zadatak 3.2. Za dati sistem kolinearnih sila, koje djeluju na tijelo M u taki A, analitiki i grafiki odrediti rezultujuu silu G

RF ako je: F1 = 150 N, F2 = 200 N i F3 = 300 N. Rjeenje: a) Analitiko rjeenje

Za usvojenu osu x prema slici 3.13, intenzitet rezultujue sile GRF

moemo izraunati na osnovu izraza:

=

= = = + + = + += + + = + +

3 1 2 3 1 1 2 2 3 31

0 0 01 2 3 1 2 3

cos cos cos

cos180 cos0 cos0

R R ii

R

F X X X X X F F F

F F F F F F F

= + + =150 200 300 350 NRF

38

STATIKA

Slika 3.13 Djelovanje kolinearnog sistema sila du ose x

Pravac rezultante GRF je definisan osom x odnosno poklapa se sa

pravcima sila G G G1 2 3,F F i F , a smjer odgovara pozitivnom smjeru ose x.

Napadna taka rezultante GRF je taka A.

b) Grafiko rjeenje

Slika 3.14 Grafiko rjeenje zadatka 3.2.

Na osnovu usvojene razmjene za silu UF = 100 N/1 cm i plana poloaja (slika 3.14a), crtamo plan sila (slika 3.14b), u razmjeri, crtajui sile redom

G G G2 3 1, iF F F , na osnovu ega spajajui poetak prve sile

G2F i kraj

posljednje sile G1F , sa smjerom ka kraju posljednje sile, dobijamo

rezultantu GRF iji je intenzitet definisan izrazom:

= = =100N3,5cm 350N1cmR F R R

F ad U F F

== == == =

2

3

1

100N1cm

/ 2cm

/ 3cm

/ 1,5cm

F

F

F

F

U

ab F U

bc F U

cd F U

39

3- SUELJNI SISTEM SILA

Slika 3.15 Zrani balon za mjerenje brzine vjetra

Slika 3.16 Balon osloboen veza

Zadatak 3.3. Zrani balon sfernog oblika i prenika = 2 2D m, napunjen helijem, koristi se za mjerenje brzine vjetra. Balon je vezan za tlo pomou ueta AB zanemarljive teine i duine

= 49 2L m. Pod dejstvom vjetra balon se pomjeri tako da mu je rastojanje od tla OC = h = 50 m. Odrediti silu u uetu i silu vjetra, ako je ukupna teina balona G = 1,85 N i ako na balon djeluje sila potiska intenziteta Fp = 6,3 N. Smatrati da je sila vjetra horizontalna. Rjeenje: a) Analitiko rjeenje

Neka je GF sila kojom vjetar djeluje na

balon, a GuF sila u uetu. Ako zamislimo

da smo uklonili ue, a njegov uticaj zamijenili silom

GuF , onda se balon A

nalazi u ravnotei pod dejstvom etiri sile, koje djeluju u istoj ravni i sijeku se u jednoj taki, taki O (slika 3.16). Dakle imamo ravanski sistem sueljnih sila. Statiki uslovi ravnotee za usvojeni koordinatni sistem, prema slici, definisani su jednainama: X = 0 F Fu cos = 0.................................................................................. (a) Y = 0 Fp G - Fu sin = 0 ........................................................................... (b) Ugao moemo odrediti pomou izraza:

= + sin

2

hDL

............................................................................... (c)

40

STATIKA

( ) = = = =+50 50 1 2 2sin

250 2 2 249 2 2

= = 02arcsin . 452

Iz jednaine (b) slijedi:

=

sinp

u

F GF ...................................................................................... (b')

= = =06,3 1,85 4,45 6,29 N

0,70711sin45uF

Iz jednaine (a) moemo odrediti silu kojom vjetar djeluje na balon prema izrazu: F = Fu cos .................................................................................... (a') F = 6,29cos 450 = 6,29 0,70711 = 4,45 N b) Grafiko rjeenje:

Slika 3.17 Grafiko rjeenje zadatka 3.3

Na osnovu usvojene razmjere za silu UF = 1 N/cm i plana poloaja (slika 3.17a), crtamo plan sila (slika 3.17b), u razmjeri, crtajui prvo poznate sile

G Gi pG F . Zatim kroz poetak sile

GG povlaimo pravac nepoznate

sile GuF , a kroz kraj sile

GpF povlaimo pravac nepoznate sile

GF .

1N1cm

1,85cm

6,3cm

F

F

p

F

U

GabUF

bcU

=

= =

= =

41

3- SUELJNI SISTEM SILA

Slika 3.18 ematski prikaz homogenog cilindra oslonjenog

na glatke stjenke

Presjekom pravaca nepoznatih sila GuF i

GF dobijamo taku d ime je uz

take a i c definisan intezitet tih sila, odnosno slijedi:

= = =

= = =

1N6,29cm 6,29N1cm

1N4,45cm 4,45N1cm

u F u u

F

F da U F F

F cd U F F

Smjerove odreujemo tako da dobijemo zatvoren plan sila.

Zadatak 3.4. Homogeni cilindar teine G = 60 N oslanja se u taki A na glatku kosu ravan koja zaklapa ugao = 600 u odnosu na horizontalu, a u taki B, koja se nalazi na itoj horizontali sa takom A, oslanja se na ispust (slika 3.18). Analitiki i grafiki odrediti reakcije kose ravni i ispusta. Rjeenje: a) Analitiko rjeenje Na slici 3.19 prikazan je cilindar O osloboen veza, pri emu je uticaj veza zamjenjen silama FA i FB (reakcijama veze). Sa slike je vidljivo da na cilindar djeluje ravanski sueljni sistem sila, za koje, uz prikazani usvojeni koordinatni sistem, moemo definisati statike uslove ravnotee u obliku:

0sin sin 0B A

XF F

= =

(a) (a) 0Y =

FB cos + FA cos - G =0 (b)

Iz jednaine (a) slijedi: FB sin = FA sin .............................................................................. (a') odnosno: FA = FB............................................................................................... (c)

Slika 3.19 Homogeni cilindar osloboen veza

42

STATIKA

Ako izraz (c) uvrstimo u jednainu (b) slijedi: FA cos + FB cos - G = 0 ................................................................ (d) odnosno:

= 2cosBGF ...................................................................................... (d')

Uvrtavanjem brojanih vrijednosti dobijamo:

= = = =40 40N 40N

2 0,5B A BF F F

b) Grafiko rjeenje Na osnovu usvojene razmjere za silu UF = 10 N/cm i plana poloaja (slika 3.20a), crtamo plan sila (slika 3.20b), u razmjeri, polazei od poznate sile

GG . Zatim kroz poetak sile

GG povlaimo pravac nepoznate

sile GAF , a kroz kraj sile

GG povlaimo pravac nepoznate sile

GBF . Presjek

pravaca a i b definie intenzitet sila GAF i

GBF . U ovom sluaju grafiko

rjeenje je definisano pomou trokuta sila.

a) Plan poloaja b) Plan sila

Slika 3.20 Grafiko rjeenje zadatka 3.4.

Intenzitet sila veze definisan je izrazima:

= = =

= = =

10N4cm 40N1cm10N4cm 40N1cm

A F A

B F B

F ca U F

F bc U F

Smjer sila GAF i

GBF odreujemo na osnovu grafikog uslova ravnotee iz

koga slijedi da poligon sila mora biti zatvoren.

=

=

10 N1 cmF

F

U

GabU

43

3- SUELJNI SISTEM SILA

Zadatak 3.5. Teret mase m = 150 kg preko tapova AB, AC i AD objeen je o strop i dva zida, kako je prikazano na slici 3.21. Veza izmeu tapova i mjesta uvrenja na stropu i zidovima ostvarena je preko dinamometara 1, 2 i 3. Na dinamometru 1 registrovana je sila inteziteta F1 = 850 N. Kolika su pokazivanja dinamometara 2 i 3. Teinu tapova i dinamometara zanemariti.

a) Analitiko rjeenje Ako sistem oslobodimo veza, uz pretpostavku da su tapovi AB, AC i AD optereeni na zatezanje, dobit emo ravanski sueljni sistem sila, koje djeluju u taki A, prikazan na slici 3.22. Za usvojeni koordinatni sistem xOy statiki uslovi ravnotee definisani su jednainama:

X = 0 F3 sin 60 F2 = 0 (a) Y = 0 F1 + F3 cos 60 G = 0 (b)

Iz jednaine (b) uz jednainu G = mg slijedi:

= =1 13 0 0cos60 cos60G F m g F

F .................................................................... (c)

= =3 150 9,81 850 1243 N0,5F

Iz jednaine (a) slijedi: F2 = F3 sin 600 ................................................................................... (a') F2 = 1243 0,86 = 1076,44 N b) Grafiko rjeenje Usvajanjem razmjere za silu UF = 500 N/cm na osnovu plana poloaja (slika 3.33a), crtamo plan sila (slika 3.33b) crtajui prvo poznate sile GG

1 iF G . Povlaenjem pravca nepoznate sile G2F iz poetka sile

GG , a

pravca nepoznate sile G3F kroz kraj sile

G1F u presjeku dobijamo taku d,

Slika 3.21 Teret vezan za strop izidove pomou tapova

Slika 3.22 Uravnoteenisistem sueljnih sila koji

djeluje u taki A

44

STATIKA

koja sa takama a i c definie intenzitet sila G2F i

G3F . Smjer sila

G2F i

G3F

slijedi iz uslova da poligon sila mora biti zatvoren.

Slika 3.23 Grafiko rjeenje zadatka 3.5.

Intezitet sila G2F i G3F definisan je izrazima:

= = =

= = = 2 2 2

3 3 3

500N2,1cm 1050 N 1076,44 N1cm500N2,45cm 1225 N 1243 N1cm

F

F

F da U F F

F cd U F F

Zadatak 3.6. Dizalica ABO odrava se u ravnotei pomou ueta BC (slika 3.24). Analitiki i grafiki odrediti silu u uetu kao i veliinu, pravac i smjer reakcije u zglobu O, ako je teina objeenog tereta M u taki A jednaka

GG . Dio OB dizalice je vertikalan, a ue BC ima pravac

AB.

Slika 3.24 ematski prikaz dizalice

1

5001 cm

2,95 cm

1,7 cm

F

F

F

NU

GabUFab

U

=

= =

= =

45

3- SUELJNI SISTEM SILA

Dati su podaci: = = = = = = =25,98 m, 20 m, 39,93 m, 40 kNAB a OB b AO c G = 060 .i Teinu dizalice zanemariti.

Rjeenje: a) Analitiko rjeenje Na slici 3.25 prikazana je dizalica osloboena veza, pri emu je uticaj veza zamijenjen silama

G GiO BF F (reakcije veze).

G GiO OX Y predstavljaju

komponente sile GOF . U ovom sluaju veoma je korisno iskoristiti

teoremu o tri sile koja glasi: ako se slobodno kruto tijelo nalazi u ravnotei pod dejstvom triju neparalelnih sila, koje lee u jednoj ravni onda se napadne linije tih sila moraju sjei u jednoj taki. Osnovne postavke teoreme predoene su na slici 3.25. Sa slike je oigledno da imamo tri nepoznate veliine:

G GO BF i F i , ili u drugoj varijanti G G

iO OX Y i GBF . Da bi odredili nepoznate veliine potrebno je postaviti tri

jednaine koje definiu statike uslove ravnotee. Za usvojeni koordinatni sistem xOy uslovi ravnotee glase: X = 0 - XO + FB sin = 0 ............................................................................. (a) Y = 0 YO G - FB cos = 0 .......................................................................... (b) MO = 0 G m - FB n = 0................................................................................. (c)

Slika 3.25 Dizalica ABO osloboena veza

46

STATIKA

Iz jednaine (a) slijedi: XO = FB sin ..................................................................................... (a') XO = 51,960,86603 = 45 kN a iz jednaine (b): YO = G + FB cos .............................................................................. (b') YO = 40 + 51,960,5 = 65,98 kN Iz jednaine (c) slijedi:

= =

sinsinB

amF G Gn b

..................................................................... (d)

= =40 25,98 51,96 kN20B

F

Reakciju u zglobu O izraunavamo prema izrazu:

= +2 2O O OF X Y .................................................................................. (e) = +=

2 245 65,9879,86 kN

O

O

FF

a pravac djelovanja reakcije GOF definisan je uglom koji izraunavamo

prema izrazu:

=tg OO

YX

......................................................................................... (f)

odnosno:

= arc tg OO

YX

.................................................................................... (g)

= = =0 065,98arc tg 55,71 55 42'36"45

ili

Zadatak smo mogli rijeiti i na drugi nain, odnosno, primjenom sinusne teoreme. Na osnovu slike 3.25, slijedi:

= =sin sin sinO BF FG .................................................................. (h)

i = =sin sin sinb c a ................................................................... (i)

Iz jednaine (h) slijedi:

47

3- SUELJNI SISTEM SILA

=

sinsino

F G te, .............................................................................. (j)

=

sinsinB

F G ...................................................................................... (k)

Iz jednaine (i) slijedi:

=

sinsin

cb

te, .................................................................................. (l)

=

sinsin

ab

.......................................................................................... (m)

Ako jednaine (l) i (m) uvrstimo u jednainu (j) i (k) dobijamo:

=o cF G b ............................................................................................ (n)

= =39,9340 79,86 kN20o

F

=B aF G b ........................................................................................... (o)

= =25,9840 51,96 kN.20B

F

b) Grafiko rjeenje: Usvojivi razmjeru za duinu UL = 5m/1cm i razmjeru za silu UF = 20 kN/cm, na osnovu plana poloaja (slika 3.26a), crtamo plan sila (slika 3.26b). Povlaenjem pravca nepoznate sile

GOF kroz poetak poznate sile G

G , a pravca nepoznate sile GBF kroz kraj sile

GG , u presjeku dobijamo

taku c koja definie trokut sila abc, na osnovu koga su definisani intenziteti sila

GBF i

GOF . Smjer sila

GBF i

GoF definiemo zatvaranjem

poligona, odnosno, trokuta sila. Na planu sila su definisane i komponente sile

GOF (trougao acd) povlaenjem pravaca komponenti G G

iO OX Y kroz kraj, odnosno poetak sile GOF .

48

STATIKA

Slika 3.26 Grafiko rjeenje zadatka 3.6.

Intezitet sila GBF i

GOF kao i komponenti

G GiO OX Y definisan je izrazima:

= = =

= = =

= = =

= = =

20kN, 2,6cm 52 kN

1cm20kN

, 4cm 80 kN1cm

20kN, 2,25cm 45 kN

1cm20kN

3,3cm 66 kN1cm

B F B B

O F o O

O F o O

O F o O

F bc U F F

F ca U F F

X da U x X

Y cd U y Y

Zadatak 3.7. Glatka lopta poluprenika R = 1 m i teine G = 250 N, dodirujui vertikalni zid, miruje na horizontalnom podu (slika 3.27). Kolikom silom

GF

treba pritiskivati na nju preko grede visine h = 0,5 m, da bi se lopta malo izdignula iznad poda? Sva trenja i teinu grede zanemariti.

a) Analitiko rjeenje:

Silu GF moemo odrediti ako dati sistem rastavimo na dva podsistema

(podsistem I-lopta i podsistem II-greda).

=

= =

20 N1 cm

2 cm

F

F

U

GabU

= 5 m1 cml

U

Slika 3.27 ematski prikaz sistema lopta-greda

49

3- SUELJNI SISTEM SILA

- Lopta Na slici 3.28 prikazana je lopta O na koju djeluje ravanski sistem sueljnih sila

G G G, iC BG F F . Prema uslovu

zadatka reakcija poda, odnosno, sila GAF jednaka je nuli. Za usvojeni

koordinatni sistem xOy prema slici statiki uslovi ravnotee glase: X = 0 FC cos - FB = 0 (a) Y= 0 FC sin - G = 0. (b) Iz jednaine (b) slijedi:

= sinCGF ......................................................................................... (b')

a na osnovu jednaine (a) dobijamo: = = = =

coscos ctgsin tgB C

GF F G G ................................