Stacionární elektrické poleStacionární elektrické pole

všechny veličiny pole jsou nezávislé (konstantní) na čase

Elektrický proud ]A[dd

tQI =

uspořádaný pohyb elektrických nábojů

velikost kladného náboje prošlého průřezem vodiče za jednotku doby

• pohyb elektrických nábojů musí být vyvolán vnějšími silami

• směr proudu – pohyb kladných nábojů

Stacionární elektrické poleVektor proudové hustoty

SjIrr

dd =velikost proudu posuzujeme podle proudové hustoty

ρ … prostorováhustota náboje⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==

tQ

SSIj

dd

d1

dd

tvSlSVQ d dddddd ρ=ρ=ρ=

en0=ρ

dd v

ttvS

Sj .

ddd

d1

ρ=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ρ=

dd venvj rrr0=ρ=

tvl d dd =

Sr

d

Sd

dvj rrρ=

−−

I vd… driftová rychlost

Stacionární elektrické polePříklad: (driftová rychlost v měděném vodiči)

prostorová hustota vodivostních elektronů

počet atomů(iontů) v 1 m3

kg1066,1 27−⋅=&um

uMmn

Cu

Cu

Cu

CuV

ρ=

ρ=

3/8963 mkgCu =ρ

54,63=CuM328

0 m109 −⋅≈= Vnn V

driftová rychlost (Cu)

mm/s7,00

max ≈=eSn

Ivd

m/s106≈v

V

tvl d=

S

jr

I

−dve

2maxmax A/mm10≈=

SIj

tepelný pohyb volných elektronů

Stacionární elektrické poleZákon zachování náboje ∫∫ ∫∫∫ρ−=−==

S V

Vtt

QSjI ddd

ddd

rr),( trfj rr

=

jr

Sr

dSd

V

S

proud, který z uzavřené plochy vytéká, je roven úbytku náboje

uvnitř této plochy za jednotku času

∫∫∫ ∫∫∫ρ−=V V

Vt

Vj dddddiv

r

0divdd

=+ρ jt

rRovnice kontinuity

Stacionární elektrické pole

0d1

==∫∫ ∑=S

n

kkISj

rr

I.Kirchhoffův zákon )(rfj rr=

v případě stacionárního elektrického pole:

algebraický součet proudů, které do uzlu přitékají, je roven nule

0div0dd

=⇒=ρ jt

r

S

1I

2I3I

4I5Iuzel – místo, kde se

setkávají dva nebo více různých vodičů

Stacionární elektrické poleOhmův zákon

volné elektrony ve vodiči jsou urychlovány působením síly elektrického pole

ovtmEev rr

r+−=EeF

tvm

rrr

−==dd

tmEevvr

rr

21

21

max −==střední rychlost elektronů

EEm

tnetmEeenvj

rrr

rrγ=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=ρ=

2

21

21

γ … měrná elektrickávodivost [Ω-1m -1]

Ohmův zákon v diferenciálním tvaru

Ejrr

γ=

Stacionární elektrické poleOhmův zákon pro homogenní vodič

∫∫ ∫∫ γ=

γ===

ll

rSIrjrErEU

0

2

1 0

2

1

ddddrr

konst.=I ][d

0

Ωγ

= ∫l

SrR elektrický odpor

IRU ⋅=

S1, S2 jsou ekvipotenciální plochya integraci provádíme po siločáře

l

Er

1S2S

Ohmův zákon v integrálním tvaru

měrný odpor (rezistivita) ρ [Ωm]

konst.=γ

γ=ρ

1Sl

SlR ρ=γ

=.konst.=S

Stacionární elektrické poleMěrný odpor pro různé materiály

PUR

2

=

Stacionární elektrické poleElektromotorické napětí

pro zajištění ustáleného elektrického proudu je nutné, aby na koncích vodiče bylo přiloženo stálé napětí

pohyb nositelů náboje v případě stacionárního proudu musí být zajištěno pomocí tzv. vtištěných (elektromotorických) sil

vtištěné síly

Ohmův zákon

** EeFrr

=

( )*EEjrrr

+γ= integrujme podél proudové čáry mezi dvěma ekvipotenciálnímiplochami

rErErj rrrrrrddd1 2

1

*2

1

2

1∫∫∫ +=

γ1212 ε+=URI Ohmův zákon pro

nehomogenní vodič

l

Er

1S2S

elektromotorickénapětí

Stacionární elektrické poleII.Kirchhoffův zákon

1 3

2

1I2I

3I

1ε

3ε

2ε1R

2R

3R31333

23222

12111

ε+ϕ−ϕ=ε+ϕ−ϕ=ε+ϕ−ϕ=

RIRIRI

platí pro stacionární vedení proudu uzavřeným obvodem

− +

1 2I

012 >ε

−+

1 2I

012 <ε

V uzavřeném obvodu je součet součinů z odporů a proudů roven

součtu elektromotorických napětí v jednotlivých větvích obvodu.

∑∑==

ε=n

iii

n

ii IR

11

Stacionární elektrické poleSériové spojení vodičů ∑

=

=n

iiRR

1∑∑==

==n

ii

n

ii IRUU

11

1R nR2R

1U 2U nU

U

IA B

L

Paralelní spojení vodičů

1R nR2R

1I 2I nI

U

B

A

L

I

∑∑∑===

====n

i i

n

i i

n

ii R

UR

URUII

111

1

∑=

=n

i iRR 1

11

Stacionární elektrické poleŘešení složených elektrických ohmických obvodů

01

=∑=

n

iiI ∑∑

==

ε=n

iii

n

ii IR

11

uzly uzavřené obvody

Kirchhoffovy zákony

zvolíme libovolně směry proudů v jednotlivých částech složeného obvodupro K uzlů složeného obvodu napíšeme (K - 1) nezávislých rovnic podle 1. Kirchhoffova zákonanapíšeme soustavu rovnic podle 2. Kirchhoffova zákona pro vybrané uzavřenéobvodysměr obcházení uzavřených obvodů volíme libovolněpři výběru obvodů postupujeme tak, aby každý nový obvod obsahoval alespoňjednu část sítě, která není částí již dříve uvažovaných obvodůvypočteme neznámé hodnoty proudu v jednotlivých částech obvodu

Postup řešení složených obvodů

Stacionární elektrické polePříklad: (řešení obvodů)

EU

1I 2I

3IG

4IGI

I

2R1R

3R 4R−+

GIII += 21 GIII += 34

EURIRI =+ 2211

EURIRI =+ 4433

EGG URIRIRI =++ 4411

EG URIIRI =−+ 2111 )(

EG URIRII =+− 4434 )(

EGG URIRIRI =++ 4411

GI

31 III +=

I.Kirchhoffův zákon

II.Kirchhoffův zákon

v případě, že znaménko některého z vypočtených proudů vyjde záporné,

znamená to, že skutečný směr proudu je právě opačný nežli jsme zvolili

Stacionární elektrické poleElektrický odpor – závislost na teplotě

u kovů se vztah odporu na teplotě dávyjádřit přibližně lineární závislostí )1(0 tRR ∆α+=

u kovů měrný odpor roste s teplotou, zatímco u polovodičů klesá

Materiál α [K-1]

stříbro 4,1·10-3

měď 4,3·10-3

hliník 4,4·10-3

konstantan 0,03·10-3

křemík -70·10-3

Stacionární elektrické poleElektrolyty -elektrolýza

látky, které vedou proud pomocí makroskopického pohybu iontů

elektrolyty mohou být kapalné, pevné i plynné látky

kapalné roztoky (H2SO4, NaCl, CuSO4, NaOH,…)

v roztocích dochází k disociaci (rozštěpení) molekul na ionty opačné

polarity, které složí k vedení el.proudu

Stacionární elektrické polepH faktor

i chemicky čistá voda (H2O) je slabě disociována (na kladné ionty H+ a záporné ionty OH–)

stupeň disociace molekul ∼ 1,7·10-9

koncentrace iontů H+ ∼ 10-7 kmol/m3

pH = 7 … neutrální látkapH < 7 … kyselá látkapH > 7 … zásaditá látka

]H[logpH +−=

Stacionární elektrické pole1.Faradayův zákon elektrolýzy

množství látky vyloučené na elektrodě závisí přímo úměrně na množství prošlého náboje Q

AItAQm == A … elektrochemický ekvivalent látkyI … elektrický proudt … čas

2.Faradayův zákon elektrolýzy

k vyloučení 1 kilovalu jakékoliv látky je potřeba tzv. Faradayovanáboje F0

FM

eNNm

emA m

A

Aii

ν=

ν=

ν=

C/mol1065222,9 7⋅== AeNF

C1065222,9 70 ⋅=F A … elektrochemický ekvivalent látky

F … Faradayova konstantaν… mocenství látkymi … hmotnost iontuMm … molární hmotnost látky

mocenstvíkmol1kval1 =

Stacionární elektrické polePříklad: (elektrolytické pokovování)

- určete přibližně, jaká vrstvička stříbra se vyloučí při elektrolytickém postříbření na elektrodě o ploše S , jestliže elektrolytem protéká proud Ipo dobu τ

stříbro: 9,107=&rA C/mol106485,9 4⋅=F3kg/m10500=ρ

hod10=τA5=I2cm001=S

kg201,010 3

=ν⋅

=ν

==−

ItF

AItF

MAItm rm

mm92,1)/( =ρ= &Smd

Stacionární elektrické poleRozsah ampérmetru a

voltmetru

VVR 2R I

2UVU

U

1R

AAR I

1I

0I

U 111 −

==nR

IUR A

01 )1( InI −=

0nII =0IRU A=

VV nUUUU =+= 2

VV IRU =

VUnIRU )1(22 −==

VRnR )1(2 −=

bočník

předřadný odpor

Stacionární elektrické poleJouleův zákon

trESjrEQrFA ddddddd rrrrrrrr===

tUIrESjtAKS

t

∫∫∫∫ =⋅⋅=rrrr

ddd0

práce A, kterou vykonají elektrické síly se při srážkách volných elektronů s částicemi kovové mřížky transformuje na teplo

tAP

dd

=R

URIUIP2

2.. ===výkon el.proudu

ld

Er

Sd

energie dodaná elektrickým proudem za dobu t∫∫ ==

tt

tUItPW00

dd

teplo WQ vyvinuté při průchodu elektrického

proudu I vodičem s odporem R za dobu t

konst.=U tIRtIUWQ2==

konst.=I

Stacionární elektrické poleVyužití Jouleova tepla pro ohřev, tepelné zdroje světla

tIRtIUWQ2==

Stacionární elektrické polePříklad: (výpočet Jouleova tepla)

- určete, za jak dlouho se uvaří m = 1 kg vody o teplotě t0 = 20°C s pomocí spirálového vařiče, jehož spirála má odpor R = 20 Ω, vařičmá tepelnou účinnost η = 35 % a je připojen na napětí U = 220 V.

s36min62 ≈η∆

=τ

=τU

tRmcPQ

RUtmc

PQ

/2τ∆

=τ

=η

Stacionární elektrické polePříklad: (žárovka – odpor vlákna)

- určete, jak je velký nárazový proud I0 v okamžiku rozsvícení 60 W žárovky (při teplotě t0 = 20°C), je-li teplotní součinitel odporu wolframového vlákna α=0,0045 K-1, žárovka je zapojena na síť 220 V a teplota rozžhaveného vlákna je t1 = 2500°C

Ω=== 7,8062

11 P

UIURA27,01 ==

UPI

[ ] Ω=−α+

= 3,66)(1 01

10 tt

RR[ ])(1 0101 ttRR −α+=

nárazový proud

A3,30

0 ==RUI

Stacionární elektrické poleTermoelektrické jevy

v určitých zvláštních případech lze uskutečnit přeměnu tepla na elektrický proud (termoelektrické jevy)

využívá teplotní závislosti kontaktního napětí mezi dvěma různými kovy (popř. kovu a polovodiče), které mají různou teplotu

Seebeckův jev

při nerovnoměrné teplotě na kontaktní ploše vzniká termoelektrické napětí(používá se např. při měření teploty)

Peltierův jev

inverzní jev k jevu Seebeckovu, kontakt se zahřívá resp. ochlazuje při průchodu elektrického proudu

Thomsonův jevvznik termoelektrického napětí v objemu vodiče nebo polovodiče s teplotním spádem (mezi dvěma místy s různou teplotou)

Stacionární elektrické poleProudy volné

Proudy vázané

Proud posuvný

Proudy kondukční - náboje se přemisťují v látkovém prostředí pod vlivem elektrického poleProudy konvekční - náboje se přemisťují ve vakuu jako proud nabitých částic nebo jsou vázány na makroskopická tělesa

elektrický proud

náboje vykonávajímakroskopický pohyb

v prostoru

Ejrr

γ=

náboje vykonávají mikroskopický, prostorově omezený pohyb(např.polarizační proud v dielektriku)

není zprostředkován pohybem nábojů, ale proměnným elektromagnetickým polem

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛== ∫∫

Sp SD

ttQI

rrd

dd

dd

polMop jjtP

tE

tDj

rrrrr

r+=

∂∂

+∂∂

ε=∂∂

=

posuvný proud

polMc jjjjrrrr

++=Celkový proud

Stacionární elektrické poleR-C obvod

vybíjeníkondenzátoru

nabíjeníkondenzátoru

Stacionární elektrické poleVybíjení kondenzátoru

tQI

dd

=0=+ CR UU

0dd

=+CQ

tQR

RCteQQ /0

−=

RCteRCQ

tQI /0

dd −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−==

Stacionární elektrické poleNabíjení kondenzátoru

tQI

dd

=ε=+ CR UU

ε=+CQRI

ε=+CQ

tQR

dd

( )RCteCQ /1 −−ε=

RCteRt

QI /

dd −ε

==

( )RCtC eU /1 −−ε=