ネコでもわかるStata入門東京大学大学院経済学研究科博士課程

別所俊一郎

1 はじめに

Stataは，広く用いられている統計ソフトパッケージのひとつです．Stataのweb site1の

表現を借りれば，「Stata is used by medical researchers, biostatisticians, epidemiologists,economists, sociologists, political scientists, geographers, psychologists, social scientists,and other research professionals needing to analyze data. 」ということになります．統計や計量経済学の専門家に言わせれば，最新の推定手法等が Stata のような canned

packageに搭載されるまでには時間がかかるために，この手の統計ソフトはそれほど有用ではないそうです．しかし，応用計量経済学を専門とするわれわれからみれば，標準的な

手法がほとんど組み込まれており，複雑な収束計算等をプログラミングすることなく分析

を進めることができる，非常に使用価値の高いソフトです．このように考えると，Stataを一通り使うことができることは，研究を進めるうえで有効なスキルのひとつだといえます．

しかし，他にも統計ソフトがいろいろとあるなかで，ここでなぜ Stataを使うのか，疑問に思われるかもしれません．計量経済学の分野では，TSP，Rats，SHAZAM，E-views，LIMDEP等がありますし，SPSS，SASといったソフトもよく知られています．行列言語のOxや C，MatlabやGAUSS等もしばしば用いられます．これらのソフトはそれぞれに特色を持っています．Oxや C，あるいはMatlabやGAUSSは，行列計算や収束計算を自分でプログラミングしなければなりませんが，推定手法の自由度はもっとも高いといえま

す（もちろん，計量経済学の教育効果もあります）．TSPや Rats，E-viewsは時系列解析には非常に有効です．Stataは対照的に，個票（マイクロデータ）の処理に強みを持っています．

Stataが広く用いられ，世銀等が個票を Stataで提供している理由はこれだけではありません．第１に，Stataはサンプル数に制限がありません．変数の数も 2000程度まで用意できます2．したがって，メモリの許す限り，いくらでも大きなデータを扱うことができま

す．第２に，Stataのメインプログラムがそれほど大きくないということが挙げられます．メインプログラムが大きくない代わりに，さまざまな統計手法が adoファイルというかたちで提供され，web上で入手できます．adoファイルはサブルーチンであり，メインプログラムから呼び出されて利用されます．この仕組みにより，Stataは高い拡張性を持っています．多くの統計学者が adoファイルを作成し，Stata corp.は日々そのデータベースを更新しています．

前置きはこれくらいにしてさっそく Stataを使ってみましょう．統計ソフトは，計量経済学や統計学の問題を解き，実際に使っていくことで慣れていくものでしょう．

1http://www.stata.com/2Stata 7 special edition だと制限がありません．

1

2 インストールしたらこれはやっておこう

起動の方法は PC等の環境によって異なるので，ここでは省略します．さて，インストールして最初に起動したら，いくつかやっておくとよいことがあります．

2.1 アップデートしよう

もし PCがネットにつながっている場合には3，まずアップデートをしましょう．先に書

いたとおり，Stata本体や adoファイルは日々更新されています．これを取り込んでおかない手はありません．

メニューバーの「Help」から「Official Update」を選びましょう．開いたウィンドウの下のほうに「Recommendation : compare these dates with what is available from」とあり，その下に「http://www.stata.com/」とありますので，これをクリックしましょう．すると，しばらく経つと「update query」が出てきます．ここで，「currently installed」と「last available」が一致していないと4，一番下に再び「Recommendation」があって，インストールしなさい，というようなことが書いてあります．あとは，指示に従ってダウンロー

ドとインストールをしましょう．ダウンロードは，場合によってはかなりの量になります

から，ダイヤルアップ等でのダウンロードには気をつけましょう．本体（wstata.exe）が

アップデートされている場合には，もとのファイルの名前を変えてファイルを移動して…

とちょっと手間がかかりますが，がまんしましょう．

このようなアップデートは，インストール直後だけではなく，数ヶ月に一度は行うとよい

でしょう．もちろん，アップデートされた adoファイルをすぐに使う可能性は低いですが…．adoファイルは，Stata Corp.が公式に認定したものもありますが，それ以外にも Stata

ユーザが作成したものもあります．統計手法によっては，公式な adoファイルではなく，このようなユーザ作成の adoファイルを使うと便利なことがあります．たとえば，Box-Cox回帰などはユーザ作成の adoファイルで提供されています．さて，このような adoファイルを使うときは，メニューバーの「Help」から「STB and User-written programs」

を選びましょう．そこを適当にたどっていけば，所望のファイルを入手できるでしょう．

ユーザ作成の adoファイルなんて使うの？と思うかもしれません．たしかに，よく使用される adoファイルは公式 adoファイルとしてアップデートされています．helpで「こんなことできたらいいな」と探してコマンド名まで分かったにもかかわらず実行するとエラー

が出る場合，そのコマンドはユーザ作成 adoファイルで提供されている可能性があります．そのようなときには，上述の方法に従って adoファイルを入手する必要があります．

3つながっていない場合は……どうしましょうか？4バージョンが変わると，アップデートがとまります．02 年 5月現在，Stata 6 についてはアップデートが行

われていません．バージョンをアップするといいよ，という広告が出ます．

2

2.2 カスタマイズしよう

Stataを起動すると，４つのウィンドウが開きます．それぞれ，「Stata Results」「Review」

「Variables」「Stata Command」という名前がついています．それぞれのウィンドウが

何を意味するかはあとで述べることにしますが，気になるひとは，これらのウィンドウの

大きさを変えたり，フォントを変えたりしましょう．フォントは，それぞれのウィンドウ

の左上のボックスをクリックし，一番下の「Fonts」から変更できます．フォントやウィンドウの位置の設定は，メニューバーの「Prefs」→「Save Windowing preferences」で

保存できます．

では次に，画面の説明をしておきましょう．

3 画面の説明

Stataを起動すると，なかに４つのウィンドウが開きます．ログ（記録）やグラフはまた別のウィンドウになります．４つのウィンドウはそれぞれ以下のような役割を果たし，利

用されます．

3.1 Stata Resultsウィンドウ

起動時に右上にある大きなウィンドウです．ここには処理の結果が表示されます．昔の

バージョンではスクロールバーがなく，出力結果が多い場合にはログをとっていないと以前

の処理が見えなかったということがありましたが，いまはスクロールバーがあるため，あ

る程度なら遡って出力結果を見ることができます．ここに直接入力することはできません．

3.2 Stata Commandウィンドウ

起動時に右下にある細長いウィンドウです．Stataは基本的には対話型のソフトですから，ここにコマンドを入力します．カーソルが使えなかったりしますが，あんまり気にす

ることはありません．Stataで唯一，キーボードからのコマンド入力を受け付けてくれるウィンドウです．

3.3 Reviewウィンドウ

起動時に左上にあるウィンドウです．それまでに Stata Commandウィンドウに入力した結果が順次表示されていきます．ここに表示されている以前の入力をクリックすると，

Stata Commandウィンドウにそれが入力されます．同じ，あるいは似たような入力をするときには便利です．

3

3.4 Variablesウィンドウ

起動時に左下にあるウィンドウです．現在メモリ上にあるデータに含まれる変数の一覧

が表示されます．左が変数名，右が変数につけられるラベルです．表示されている変数を

クリックすると，Stata Commandウィンドウにそれが入力されます．変数名の入力ミスを防ぐことができます．

4 作業を始める前にやっておこう

起動してデータを読み込むまえ5に，次のようなことをやっておくとストレスがたまりま

せん．

4.1 使用メモリを確保しよう

Stataは起動時にデフォルトでは 3MBのメモリ領域を確保しますが，とくに個票などの大きなデータセットを使用するときには，これでは足りないことが往々にしてあります．自

分の使おうとするデータが大きいと思うときには，最初にメモリ領域を確保する命令を出

しておきましょう．

set mem 30m

これで，メモリを 30MB確保できます．データセットと使用するメモリ領域の大きさの正確な関係はよくわからないのですが，これくらいあればたいがいは大丈夫です．

4.2 ログを取ろう

画面の説明のところで述べたとおり，結果は Stata Resultsウィンドウに表示されますが，結果が長くなると遡って見ることができなくなります．これに対処するために，ログ

をとっておきましょう．

メニューアイコンの左から４番目，カーソルを当てると「Open Log」と表示されるアイコンをクリックしましょう．すると，ウィンドウが開くので適当な名前をつけてログファ

イルを開きましょう．もちろん，既存のログファイルを使うこともできます．そのときには

「Append（付け足していく）」か「Overwrite（上書きする）」かを選ぶことになります．

ログファイルのウィンドウが開くと，以後の結果はここに記録されていくことになりま

す．このウィンドウは Stata Resultsウィンドウと異なり，いくらでも遡って結果をみることができます．ログファイルを見るときには，さきほどのアイコンの右隣のアイコンをク

リックしましょう．もちろん，ログファイルはただのテキストファイルですから，Stataを起動させなくても，メモ帳や秀丸で見ることができます．

ログを取りたくないときには，開くときに使ったアイコンをクリックして「Close logfile」を選びましょう．

5Stata データセットと関連付けておくと，自動的に Stata が起動しますが…．

4

ログファイルウィンドウを選んだ状態で印刷アイコンをクリックすると，ログファイル

を印刷してくれます6．ほかの編集ソフトから印刷した場合と異なり，入力部分が太字にな

るなど，やや見やすく印刷を行うことができます．

4.3 画面を流れさせよう

さて，ログをとる準備ができたら，次のコマンドを入力するといいかもしれませんが，こ

れは好みによります．

set more off

Stata Resultsウィンドウでは，遡ってみることのできる量に限度がありますが，その代わり，出力が長くなるときには，いったん出力を停めて

-- more --

という表示が出ます．「ここまでの結果はいいですか？よければ次を表示しますよ」という

ことですが，いちいちこれに反応するのがめんどうなばあいなどには，さきほどのコマン

ドを打っておくと，一気に出力してくれます．ログを取っていれば，結果はそちらで確認

できるので，doファイル（後述）などを使う場合には有力です．

5 データを入力しよう

Stataは，Stata形式のデータしか処理できません．なので，データを Stata形式に変換する必要があります．Stata形式のデータは拡張子.dtaとなります．データの入力方法に

はいくつかありますが，ここではそのいくつかだけ紹介します．その前にまず，データの

形式について説明しておきましょう．

5.1 データの型

Stataは文字データも受け付けてくれるそうですが，僕が使ったことがないのと，使わなくてもそんなに不便ではないことから，データは全て小数点表示の実数とします．桁数につ

いても制限があるかもしれませんが，気にする必要があるケースはほとんどないでしょう．

データはスプレッドシート１枚に納められます．それぞれの変数に対してサンプルが対

応します．変数には「Name」と「Label」をつけることができます．Nameはいわゆる変数名で，大文字小文字のアルファベット，数字，下線で８文字以内でつけます7．変数名は

この条件内でなんでもいいのですが，以下の名前は先約があるので使いません．

_all _b byte _coef _cons double float if in int

long _n _N _pi _pred _rc _se _skip using with6希望する範囲だけ印刷する方法がよく分からないのですが…．7Stata 7 以降は８文字制限がなくなったようです．

5

一方，Labelのほうにはそのような制限はありません．スペースが入ってもかまいません．左下のVariablesウィンドウには，左側に Name，右側に Labelが表示されます．あるいは，出力結果によっては，Labelが表示されることがあります．変数はここでは小数点表示の実数ですが，欠損値は「.」で表現されます．

ではデータを入力してみましょう．

5.2 手入力するっ

メニューアイコンの右から４個目，虫眼鏡がついていないほうのアイコンをクリックす

ると Data editorが開きます．ここに直接入力するのも，もちろん，データ入力方法のひとつです．でも，ぼくは使ったことがありません．

5.3 Excelなどから貼り付ける

よく用いられる方法のひとつは，ある程度 Excel等で加工したデータを貼り付けるという方法です．このとき，一番上の行に変数名を書いておくと，自動的にこれが Nameになります．

あらかじめ Excel等で範囲を指定してコピーしておいて，Data editorを開きます．一番左上をクリックし，メニューバーの「Edit」→「Paste」とすれば，これでデータの入力は完了です．データを追加するときにも，データの一番左上になる部分をクリックして同

様の操作をすることで，データを入力することができます．

5.4 タブ，コンマ区切りのテキストデータを読み込む

insheetコマンドを使うそうです．

5.5 固定長のテキストデータを読み込む

この場合，ディクショナリファイルを作って読み込むという作業が必要になります．ディ

クショナリファイルは拡張子を.dctとします．これを次のコマンドで呼び出します．

infix using "C:\My Documents\sick.dct"

一方，ディクショナリファイルの中身は次のようになっています．

infix dictionary using "C:\My Documents\sick.dat" {

hhold 1-5

...

}

これでまとめて，固定長データであるsick.dat の１文字目から５文字目までを変数

名hholdとして読み込む，という作業が実行されることになります．

6

5.6 Labelをつけよう

ふつうは，データを読み込んだ段階ではNameはついていても Labelはついていません．そこで Labelをつけておきましょう．作業のときになにかと便利ですが，つけなければならないというものではありません．変数名が分かりやすければなくてもかまいません．

一番簡単な方法は，Data Editorの変数名の部分をダブルクリックして，「Stata Variable

Infomation」のウィンドウを開き，Labelのところに入力する方法です．しかしこれだと，Doファイルなどに対応できません．コマンドをつかってラベルをつけるには以下のようにします．

label var hhold "Household ID"

これで，変数名hholdである変数に，ラベルHousehold IDがつくことになります．

5.7 保存しよう・開こう

このようにして作成したデータを Stata形式で保存しておきましょう．Stata形式での保存では，Name，Labelなども保存されます．ただし上書きすることになるので，データに変更を加えている場合には気をつけましょう．

保存された Stata形式のデータは，一般には Stataを関連付けされているので，ダブルクリックすることによって Stataで開くことができます．しかし，Stataはデフォルトでは 3MBしかメモリを確保しないので，大きいデータセットの時には Stataだけ起動して，ファイルが開けないことがあります．そのような場合は，set memコマンドでメモリを確

保した上であらためて開きましょう（「File」→「Open」）．あるいは，デフォルトで確保

するメモリを拡張しておくという方法もあります8．

さて，いよいよデータを操作しましょう．といきたいところですが．

6 コマンドを使う前に

6.1 Helpを利用しよう

StataはHelp機能が充実しています．使いたい統計手法があれば，メニューバーの「Help」

→「Search」を用いて，コマンドの名前や使い方を調べることができます．

また，エラーメッセージが出てきたときには，その文頭にあるエラーコードを使って，エ

ラーの内容を調べることができます．たとえばエラーコードが 191だったとすると，直後に

search 191

と打てば，エラーの原因が出力されます．

8あるだろうな，というだけで僕はよく知りません．後述するように，Doファイルに，メモリを確保する，ファイルを開くという一連の作業を書いておく方法もあります．

7

6.2 Data Browserを利用しよう

Data Editorの右隣に，虫眼鏡が描いてある似たようなアイコンがあります．これをクリックすると，Data Browserが起動します．Data Browserは，その名の通り，データを眺めるウィンドウです．Data Editorでは，行った操作（とくにソート）等が保持されますが，Data Browserならそんなことはありません．つまり，間違ってデータを並び替えてしまうとか，データを消してしまう心配はありません．ただ眺めてみたい，というばあいに

は Data Browserを使いましょう．

6.3 Doファイルを利用しよう

これまで時々登場してきた Doファイルというのも，慣れてくれば使うとよいでしょう．Stataは基本的には対話型のパッケージですが，Doファイルを使えばバッチ形式で処理を行うことができます．最尤法のように一連のコマンドが長くなってしまう場合には，非常

に有効です．

Doファイルは，単にコマンドを並べていったテキストファイルです．Stataには専用のDo file editorがついていて，Do fileを部分的に実行させるなどの機能を持っているので，使ってみるとよいでしょう．ただし，editorとしてはそれほど多機能であるわけではないので，好みによるところでしょう．

Doファイルはコマンドを並べたものに過ぎませんが，Doファイルから Doファイルを呼び出すこともできます．いくつかのコマンドをまとめて実行するという行為をまとめて

おこなうことができるようになります．データの加工・推定をべつべつの Doファイルにしておき，それらを他の Doファイルから呼び出すようにすれば，ひとつひとつのDoファイルが小さくなるため，編集が楽になるかもしれません．

しかし，単にコマンドを並べておくだけでは，あとから見直したときに解読できないか

もしれません．そのときには「/* */」でコメントをはさんでおきましょう．Stataは「/*

*/」で囲まれた部分は無視してくれます．これを応用すると，長いコマンドを改行しなが

ら書いていくことができます．下の例では，最後の２行はひとつのコマンドとして認識さ

れることになります．

set mem 30m

set more off

/* Converting sick report to Stata format */

quietly infix using "C:\My Documents\2001\Ii\Intage\sicka.dct"

save "C:\My Documents\2001\Ii\Intage\sicka.dta", replace

/* generating data about 1st time to go to a doctor */

generate godoc1st = 1 if cope1n1 == 1

quietly replace godoc1st = d1d + 1 /*

*/ if cope1n1 == . & cope2n1 == 1

ではいよいよ．

8

7 簡単なコマンドを実行してみよう

どんな分析を行うときにも，必ずといっていいほど使うコマンドをいくつか紹介しましょ

う9．

7.1 標本統計量を求めよう

変数の一覧表にはいくつかの形式があります．たとえばdescribeコマンド，codebook

コマンド，listコマンド，inspectコマンドなどがあります．それぞれに出力形式や内容

が異なるので，必要に応じて使い分けるとよいでしょう．

標本統計量といってもいくつかあります．平均・分散・最小値・最大値を出力するには，

sumコマンドを使います．

sum hosd1-hosd30

とすれば，hosd1, hosd2, ..., hosd30までの平均・分散・最小値・最大値を出力し

ます．中間値などを求めるときには，centileコマンドを使います．

変数が離散的（いくつかの決まった値しか取らない）ときには，tableコマンドを用い

ると，各値の頻度を得ることができます．tableのあとに，変数名を２つ並べるとクロス

表を書くことができます．また，相対頻度・累積頻度を求めるには，tabulateコマンドを，

相関係数はcorrelateコマンドを利用します．

7.2 サンプルを限定しよう

標本統計量を求めるコマンドに限った話ではありませんが，サンプルを限定して分析を

行いたい場合があります．分析にまったく必要ないことが確信を持って言える場合には，そ

のようなサンプルを落とす（dropコマンド）方法もありますが，そうでなければ，ある条

件を満たすサンプルに限ってさしあたりコマンドを実行するという方法があります．たと

えば，

table duration godoc1st if age >= 40 & duration < 11

とすれば，変数ageの値が 40以上，変数durationの値が 11未満のサンプルに限って，変数duration, godoc1stのクロス表を書け，ということになります．if以後で用いる演

算子としては，==（等しい）， >=（以上）， <=（以下），>（より大きい）， <（より小さ

い）， ~=（等しくない）， &（かつ）， |（または）， +（和）， -（差）， /（商）， *（積），

^（べき乗）等があります．また，欠損値.は非常に大きな数とみなされるので，大小関係

で条件文を作るときには注意しましょう．

さて，条件を決めてコマンドを実行するのもよいのですが，これを繰り返したいとおも

うことがあります．たとえば，離散変数の値に応じて平均値を求めたいとおもうこともあ

9ぼく自身があまり使用しないので，グラフを描く話はしません．Helpかマニュアルでgraphを調べてください．

9

るでしょう．そのようなとき，if条件文だけだと，次のように長々と書かなければなりま

せん．

sum duration if sickname == 1

sum duration if sickname == 2

...

これはできないことはありませんが，手がかかります．このように，離散変数に応じて

コマンドを実行するときには，byオプションを用います．上の例なら，

gsort sickname

by sickname : sum duration

とすれば，変数sicknameの値ごとにコマンドを実行してくれます．もし，byのあとに

連続変数が来ると，その値ごとにコマンドを実行するので非常に長い出力になってしまい，

往々にして意味を持ちません．

byオプションは，データがその離散変数によってソートされていなければ実行してくれ

ません．先ほどの例の１行目は，データを並べ替えるコマンドです．

条件文を連続変数で定義して，コマンドを次々繰り返したいこともあるでしょう．たと

えば，年齢を 10歳幅でとって，それぞれに平均値を出してみたいとします．するとコマンドラインは，

sum duration if age <= 9 & age >=0

sum duration if age <= 19 & age >=10

...

となります．このような繰り返しもいちいち書いていくのはしんどいだけです．このよ

うな場合には，forオプションを使います．上の例なら，

for num 0/9 : sum duration if age <= X9 & age >=X0

と書くことで同じコマンドを実行してくれます．これは，文字Xのところに，そのまま，

０から９までの整数を順次代入してコマンドを実行する，というオプションです．整数の

代入先はデフォルトではXですが，指定することもできます10．また，代入先が２つ以上

ある場合には，順にX, Y, Zとなります．

byやforオプションで複数のコマンドを実行したいこともあるでしょう．そのときには，

コマンドを円マークで区切っておきます．これらを応用すると次のようなコマンドを書く

こともできます．

for num 2/29 \ num 3/30 : gsort hosdcX \ by hosdcX : sum hosdY

このコマンドは以下を実行するのと同じことになります．

10このようなケースを考えると，変数名にうかつに大文字を使うのは危険かもしれません．

10

gsort hosdc2

by hosdc2 : sum hosd3

gsort hosdc3

by hosdc3 : sum hosd4

...

gsort hosdc29

by hosdc29 : sum hosd30

byやforオプションを使うと，出力結果が長くなってしまうので，ログを取っておくの

を忘れないようにしましょう．

7.3 変数を加工しよう

sum等のコマンドの引数は変数名です．したがって，ある変数を対数変換したものの平

均，とか，２つの変数の比の平均，とかいったものはそのままでは求めることができませ

ん．そこで，変数を加工する必要があります．たとえば，２つの変数の和を求めたいとき

には，

generate hosdc2 = hosd1 + hosd2

とします．このとき，generateコマンドの引数に，すでにある変数名を指定するとエ

ラーがでます．また，変数を作るもとになる変数のどれかが欠損値であるサンプルや，ゼロ

で割ることになるサンプルには，欠損値を返します．自然対数はlogで求めます．generate

コマンドには使えないいくつかの関数を使うことができるのがegenコマンドです．egen

コマンドはmax, min, sum, medianといった関数を含んだ表現を右辺に使うことができ

ます．

パネルデータで成長率データを作りたいといった場合には，「前」の観測値を含んだ計算

が必要になります．この場合には，変数名に [ n− 1]といった表現を追加します．このばあい，順序はそのときの並び順に依存するので注意してください11．たとえば，パネルデー

タである主体についてはあいだが 1回分抜けているといったことには，とくに注意を払わないと自動的に対応してくれるわけではありません．具体的なコマンドラインは以下のよ

うになります．

sort id time

by id: generate dhos = hos[_n] + hos[_n-1]

変数hosの 1階の差分系列を，idというグループごとに，dhosとして作成しています．

差分の将来値がほしいときには，

sort id time

by id: generate dhos = hos[_n+1] + hos[_n]11ts で始まるコマンド群は，時系列に対応しているので，最初に宣言していれば気にしないでも構わないようですが，ここでは触れません．

11

となります．

変数を加工するとき，他の変数の状況によって作り方を変えたいときがあります．ある

いは，取り込んだデータでは欠損値になっているところをゼロで代理させたいなんてこと

もあるかもしれません．欠損値があると，計算から外れてしまいます．

そのようなときには，replaceコマンドを使います．

generate avedoc = 0 if godoc1st ==.

for num 2/30 : quietly replace avedoc = hosdcX / duration if duration == X

quietly replace avedoc = 1 if duration == 1 & godoc1st == 1

変数avedocにより，病気が治るまでの日数のうちに病院に行った日数の比率を求めよう

としています．最初に病院に行くまでの日数godoc1stが欠損値なら，その比率はゼロです

（１行目）．治るまでの日数durationがXなら，X日目までに通院した累積日数hosdcXを，

治るまでの日数durationで除したものがその比率になります（２行目）．また，１日目に

病院に行ってその日のうちに治ってしまえば，比率は１になります（３行目）．

既存の変数を用いて新たに変数を作る場合，しばしば登場するのがダミー変数です．条件

を満たせば１，満たさなければ０の値を取る変数で，たとえば以下のようにして作ります．

generate inc700d = 1 if income >= 700 & income ~=.

replace inc700d = 0 if income < 700

このようなダミー変数を，離散変数に対応して作りたいばあいがあります．たとえば居

住県がコード化された変数prefがあるとき，その絶対値にはそれほど意味はありません．

このようなとき，ある県に住んでいるかどうかでダミー変数を県の数だけ作ります．もち

ろん，generateコマンドとreplaceコマンドを組み合わせてもよいのですが，この場合

には以下のようにして作成できます．

tabulate pref, generate(pref)

こうすると，ダミー変数pref1, pref2, ...が取りうる値の数だけ発生します．このと

き，作成されたダミー変数の labelは「pref == 1」等の注釈がつきます．

7.4 データセットを加工しよう

異なるデータセットにある変数を一度に推定に取り込んだりすることは，Stataではなかなかできません．あらかじめデータを合体させておくなどの処理が必要になります．あ

るいは，データの並べ替えなどの際にも，単なるソート以上のことをする必要があるかも

しれません．個人ベースの元データを家計ごとに作り変えるなどのケースがこれにあたり

ます．

どちらにしてもよく使うのは，変数や観測値を除去するコマンドです．

keep 変数名

drop 変数名

12

keep if 条件式

drop if 条件式

keepは変数・観測値で，条件に合うもの・並べられた変数以外の変数を全て除去します．

dropは逆に，変数・観測値で，条件に合うもの・並べられた変数を全て除去します．これ

らのコマンドで除去されたものは復元はできませんが，大量のデータを処理する場合など，

不必要な変数や観測値を残しておくと，処理速度が遅くなることがあります．

2つの異なるデータセットを合体させるには，appendコマンドかmergeコマンドを利用

します．いずれも，片方のデータセットを開いておいて，追加するデータセットをusing

オプションで指定します．追加するデータセットも Stata形式にしておいたほうが無難です．appendコマンドは観測値を追加しますから，同じ変数名のものがあれば，その下に

データが追加されます．どちらか片方にしかない変数については，もう片方の該当部分に

はmissing variableが入ります．

append using newdata

といった形式で使います．usingオプションのあとは，ダブルクォーテーション"でくくっ

てフルパスを指定することもできます．

mergeコマンドは変数を追加します．開いてあるデータセットとの合体には，観測値を

マッチングさせる変数を指定する必要があります．いくつかの変数を組み合わせることで

マッチングさせることもできます．

merge recid using ds2

この場合，マッチングの鍵となる変数はrecid，追加されるデータセットはds2となりま

す．マッチングの鍵となる変数で両方のデータセットがソートされていないと，mergeコ

マンドによるマッチングが行われないので注意しましょう．mergeコマンドを使うと，自

動的に mergeという名前の変数が作成されます．この変数は，それぞれの観測値がどちら

のデータに属していたか，すなわち，元データのみに入っていた，新データのみに入って

いた，両方に入っていた，といった情報を示します．この変数はdropコマンドで削除しな

い限り残っているので，データセットを次々に追加していくときには，新たな mergeを定

義できなくなってエラーが返ってくることになってしまいます．

これらのコマンド群を使うと，個人ベースのデータを世帯ベースに直す，といったこと

が可能になります．たとえばいま，個人ベースの夫婦のデータセットが手に入ったとしま

しょう．すると，もとのデータから夫のデータだけ抽出（keep）→保存（save）→もとの

データを呼び出して（use）妻のデータだけ抽出（keep）→保存（save）→再び夫のデー

タを呼び出し（use）妻のデータを追加（merge）という手順を取れば世帯ベースのデータ

セットに作り直すことができます．こういった手続きを踏むときの注意点としては，merge

コマンドを実行するときに，元データと新データに同じ名前の変数名があると，新データ

のほうの変数が取り込まれないという点があります．そのため，変数名をちょっと変える

（rename var）などの手続きを途中で加えておく必要があります．もちろん，ほぼ逆の手

続きをとることで，世帯ベースを個人ベースに直す，といった手続きも行うことができる

でしょう．

13

8 一発コマンドで推定しよう

では，さらに分析らしい分析に取り掛かりましょう．とはいっても，よくある分析手法を

用いる限り，コマンドも簡単です．たとえば，平均値の差の検定はttest, by(variables)

と打てばできてしまいます．また，ほとんどの回帰分析は，

コマンド名・被説明変数・説明変数

の順に並べて書いてリターンキーを押せば結果が出力されます．それゆえ，われわれの

やるべきことは，「Help→search」で行いたい分析手法を検索し，コマンドのフォーマッ

トを調べることだけです．分析手法によっては，オプションを指定する必要がありますが，

それもReference Manualに丁寧に書いてあります．なので，ここからは，使いたい分析手法に応じて Reference Manualと首っ引き，ということになります．

8.1 OLSをやってみよう

さきに述べたとおり，コマンド名・被説明変数・説明変数を順に並べれば回帰分析を行う

ことができます．最も簡単な通常の最小二乗法で，以下の式を推定することを考えましょう．

durationi = β0 + β1gender + β2inc700d + εi

このとき，Gauss-Markovの定理が成立して，係数 β0, β1, β2 の推定量が BLUEとなるためには，誤差項が強外生性を満たしていなくてはなりません．つまり，一般化して書いて

おけば以下のとおりです．

定理 1 いま，推定式が真のモデルであり，標本（サンプル）が以下の仮定を満たすとする．

1. 推定式の線形性：推定式は次式のように線形である．

yi = β1xi1 + β2xi2 + · · · + βKxiK + εi

2. 誤差項の強外生性：誤差項は全ての観測値という条件付きの期待値がゼロ．

E[εi|X ] = E[εi|x1, x2, ..., xn] = 0

3. 多重共線性がない．すなわち，n × K のデータマトリックスのランクは確率１でK．

4. 誤差項の分散が一定で，かつ，共分散がゼロ．

E[ε2i |x1, x2, ..., xn] = σ2 > 0 (i = 1, 2, ..., n)

E[εiεj |x1, x2, ..., xn] = 0 (i �= j)

このとき，OLS推定量 b = (X ′X)−1X ′yと真の係数ベクトル β は以下の性質を持つ．

1. 不偏性（unbiasedness）12：E[b|X ] = β

2. 推定値の分散：V ar(b|X) = σ2(X ′X)−1

12この性質が成立するためには誤差項の分散の仮定は必要ありません．

14

3. 最良線形不偏推定量（BLUE : Best Linear Unbiased Estimator）：bは線形不偏推定

量のなかで最も有効（efficient），すなわち最も小さい分散を持つ．4. 残差との共分散がゼロ：cov(b, e|X) = cov(b, (y − Xb)|X) = 05. 推定分散の不偏性：E[e′e/(n − K)|X] = σ2

証明の一部は次の小節にとりあえず載せておきます．さて，一般には誤差項が上の定理の

仮定を十分に満たしていることはほとんどないわけですが，それでもOLSの手法をデータにとりあえず当てはめてみるということは，理由はともかくとして，しばしば行われます．

Stataで OLS推定を行う場合には，regコマンドを使います．さきほどの式を推定する場

合のコマンドラインは，

reg duration gender inc700d

となります．ここではdurationが被説明変数，それ以降が説明変数です．regコマンド

にもいくつかのオプションがあります．説明変数には自動的に定数項が含まれてしまうの

で，それを外すときにはnoconsオプションを指定し，

reg duration gender inc700d, nocons

とします．標準偏差の推定にWhiteの頑健推定量を用いるばあいには，

reg duration gender inc700d, robust

とオプションをつければよいことになります．不均一分散の修正方法としては，Davidsonand MacKinnon (1993, pp.554-556)13にある方法も用いることができ，オプションhc2やhc3

を指定して使うことができます．誤差項に 1階の系列相関を仮定する，Cochrane-Orcuttによる方法を用いるときは，praisコマンドにcorcオプションをつけて推定します．係数

制約の検定や非線形最小 2乗法については後で述べます．

8.1.1 Gauss-Markovの定理の証明

説明変数が k − 1個，サンプルの大きさ14が tのモデルを考えてみましょう．さしあたっ

て説明変数の選択の問題は解決されているとして，定数項を明示的に取り扱うと次の線形

連立方程式で表現されます．

Y1 = β1 + β2X21 + β3X31 + · · · + βkXk1 + u1

Y2 = β2 + β2X22 + β3X32 + · · · + βkXk2 + u2

...Yt = β1 + β2X2t + β3X3t + · · · + βkXkt + ut

(1)

13Davidson, Russell and James G. MacKinnon. 1993. Estimation and Inference in Econometrics.Oxford University Press.

14それぞれのデータのことは「観測値」といい，その集合のことを「サンプル」というらしいので，「サンプルの数」という表現はヘンだ，という妙なこだわりを持つ人も世の中にはいるらしいです．

15

これを行列で表現したいので，式をじーっと見ると，右辺の第 k項目までは係数が共通で

あることに気がつくでしょう．そこで，

y =

Y1

Y2

...Yt

,X =

1 X21 X31 · · · Xk1

1 X22 X32 · · · Xk2

......

.... . .

...1 X2t X3t · · · Xkt

, β =

β1

β2

...βk

,u =

u1

u2

...ut

(2)

とおいて，

y = Xβ + u (3)

とすれば，もとの式になります．ここで，縦ベクトル yは t × 1，Xは t× k，縦ベクトル

βは k × 1，縦ベクトル uは t× 1，ですから，行列の積であるXβの次元15は t× 1となります．行列のふつうの積は「ヨコ×タテ」で定義されますから，1行目がちゃんと

Y1 = β1 + β2X21 + β3X31 + · · · + βkXk1 + u1 (4)

となっていることを確認しましょう．

さてここで，（3）についていくつか確認しておきましょう．Xは確率変数ではないが，uのそれぞれの要素は実現値を観測できない確率変数です．観測できない β は定数ですが，

uが確率変数ベクトルなので yのそれぞれの要素も確率変数となります．ここで，（3）という式の形と，uについていくつかの仮定を置けば，それっぽい βを決めることができる，

というのが推定の手続きに他なりません．最小 2乗法とは，uのそれぞれの要素はあまり大きくないと想定して，その 2乗和を最小にするような β をもって推定値にする，という

方法です．さてそこで，（3）を用いて最小にされるべき 2乗和を計算してましょう．uを移項すると

u = y − Xβ (5)

となります．2乗和は

u21 + u2

2 + · · · + u2t = u′u =

[u1 u2 · · · ut

]

u1

u2

...ut

(6)

と書けます16から，右辺も同じように書いてみると，

u′u = (y − Xβ)′(y − Xβ) (7)15行列の縦にいくつ，横にいくつの要素が並んでいるか，ということを次元といいます（ルパン 3 世とは関係ない）．ランクとは違うものです．次元の違う行列は足したり引いたりできないですし，一般の積の場合は左の行列の横の次元と，右の行列の縦の次元が同じでないと計算できません．だから，行列のふつうの掛け算では交換則が成り立ちません．掛けられる行列のそれぞれの要素に，掛ける行列を掛けるという，積となる行列の次元がやたらと大きくなる掛け算も考えることがあって，そういうのをクロネッカー積といいますが，さしあたって使わないので気にしないことにしましょう．行列では割り算は定義されません．

16u′ は行列のタテとヨコをひっくりかえしたもので転置行列といいます．数学の人たちは uT とも書くことがあるようです．どっちにしても微分や累乗とまぎらわしい表現ですね．

16

和をとったものの転置行列は転置行列の和になるから17，

u′u = (y′ − (Xβ)′)(y − Xβ) (8)

積の転置行列は転置したものの積になるから18，

u′u = (y′ − β′X′)(y − Xβ) (9)

カッコを外す分配則はふつうに成り立つから19，

u′u = y′y − y′Xβ − β′X′y − β′X′Xβ (10)

3項目を β′X′ と yの積とみると，積の転置行列は転置したものの積だから，

u′u = y′y − y′Xβ − y′Xβ − β′X′Xβ (11)

2項目と 3項目をまとめると

u′u = y′y − 2y′Xβ − β′X′Xβ (12)

となります．適当に β の推定値 bを決めてやれば，それに応じた e = y −Xbを計算することができるので，そこから計算された e′eのことを残差平方和とよびます．つまり，残差平方和を最小にする β を見つけるのが最小 2乗法ということになります．残差平方和は推定値 bの関数ですから，残差平方和を最小にする bを見つけるには，残差平方和を bで

微分してゼロと置いて解けばよいわけです20．

「残差平方和を bで微分して」といっても，bはベクトルですからそのまま微分を考える

ことができるわけではありません．ベクトルで微分するというと難しそうですが，ベクト

ルを構成するそれぞれの要素でそれぞれ微分して，それを重ねて書き直したもののことを，

ベクトルで微分するといっているだけのことです．つまり，関数 f(x)が (x1, x2, · · · , xk)の関数であるとき21，ベクトル x = (x1, x2, · · · , xk)で微分したものは，

∂f

∂x=

∂f∂x1∂f∂x2...

∂f∂xk

(13)

です．もし，関数 f(x)が (x1, x2, · · · , xk)の線形和であれば，

f(x) = a′x =[

a1 a2 · · · ak

]

x1

x2

...xk

(14)

17ただの足し算で位置が違うだけだからです．18積を取るときの縦横をひっくりかえさないといけないからです．確認してみましょう．19(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd が成り立つということ．20最大値を見つけることになるかもしれないので，ほんとうはもうちょっとチェックが必要．21関数の値がベクトルではなくてただの数になるケースのみを考えます．ベクトル値関数の場合は横にも並べればよいだけですが．

17

と表現できて，その微分は

∂f

∂x=

a1

a2

...ak

= a (15)

となるので，まとめて書けば，

∂(a′x)∂x

= a (16)

となります．2次関数のばあいも同じようにこちゃこちゃと計算すれば，行列Aが対称行

列22なら，

∂(x′Ax)∂x

= 2Ax (17)

となることが分かっています．さて，これだけの準備をして

u′u = y′y − 2y′Xβ − β′X′Xβ (18)

を β で微分することを考えましょう．最小 2乗法で求められる推定値 bは微分をゼロにす

る23から，

∂(u′u)∂b

= −2y′X + 2X′Xb = 0 (19)

が成り立ちます．転置を書き直して移項して 2で割れば，正規方程式を得ます．

X′Xb = X′y (20)

さて，行列では割り算が定義されていませんから，正規方程式から bを求めるには，

X′Xb = X′y (21)

の両辺に左から X′Xの逆行列を掛ければよいことになります．ところが，逆行列というのはどんな行列に対しても定義されているわけではないことに注意しましょう．行列を構

成するベクトルが 1次独立でなければ逆行列は存在せず，その場合にその行列はランク落ちしている…のですが，さしあたっては，データを入れた行列Xが多重共線性をもっていれば逆行列が定義できず，あるいは多重共線に近い状況であれば逆行列の値が大きくぶれ

る，ということだけをおさえておきましょう．つまり，完全な多重共線が発生していれば，

OLS推定量は定義できないことになります．さて，多重共線が発生していなければ，両辺に左からX′Xの逆行列を掛けて，OLS推

定量を計算することができます．すなわち，

b = (X′X)−1X′y (22)

22タテとヨコの次元が同じ行列（正方行列）のうち，転置しても同じ行列のことを対称行列といいます．分散共分散行列は対称行列ですし，任意の行列 X に対して，X′X は対称行列になります．

23各要素がすべてゼロになるということ．

18

です．

このように求められた OLS推定量と真の値 β との差を考えてみましょう．まず定義に

より，

b− β = (X′X)−1X′y − β (23)

yは定義によりXβ + uに等しいから，

b− β = (X′X)−1X′(Xβ + u) − β (24)

分配則をつかってばらばらにすると，

b− β = (X′X)−1(X′X)β + (X′X)−1X′u− β (25)

逆行列の定義X−1X = I より，

b− β = β + (X′X)−1X′u − β (26)

最初の項と最後の項はおなじだから，

b− β = (X′X)−1X′u (27)

となります．これを sampling errorと呼びます．ここで，両辺の期待値をとってみましょ．

E[b − β] = E[(X′X)−1X′u] (28)

期待値には線形性があるから，確率変数ではない係数は期待値の外に出て24，

E[b] − β = (X′X)−1X′E[u] (29)

もし，真の誤差項uの全ての要素の期待値がゼロならば，右辺はゼロになるから，移項して，

E[b] = β (30)

が成り立つことになります．つまり，OLS推定量は誤差項の期待値がゼロでありさえすれ

ば不偏性を持つことがわかります．

次に，係数推定値の検定のために，OLS推定量 bの分散共分散行列25を求めてみましょ

う．まず，確率変数の分散は，定数を足しても引いても変化しないから，

var(b) = var(b − β) (31)

これは sampling errorに他ならないから，

var(b) = var((X′X)−1X′u) (32)

定数行列Aと確率変数ベクトル xが与えられたときに，共分散行列について

var(Ax) = Avar(x)A′ (33)24OLS 推定量 b は確率変数ですが，真の値 β は確率変数ではないことに注意しよう．25確率変数のベクトルが与えられたとき，それぞれの要素の確率変数の間の共分散を要素とする行列のことを共分散行列といいます．k 個の確率変数があれば，共分散行列は k × k であり，対称行列となります．

19

が成り立つことが知られている26から，

var(b) = (X′X)−1X′var(u)((X′X)−1X′)′ (34)

もし，真の誤差項 uの全ての要素の期待値がゼロならば，共分散行列は

var(u) = E(uu′) (35)

と表現できるから，

var(b) = (X′X)−1X′E(uu′)((X′X)−1X′)′ (36)

共分散行列が単位行列の σ2 倍で表現できる，つまり，分散が均一で相関がないとすれば，

var(b) = (X′X)−1X′(σ2In)((X′X)−1X′)′ (37)

となります．σ2はただの実数だから，

var(b) = σ2(X′X)−1X′((X′X)−1X′)′ (38)

転置行列の性質より27，

var(b) = σ2(X′X)−1X′X(X′X)−1 = σ2(X′X)−1 (39)

それゆえ，ここまでをまとめてみると，

定理 2 推定式が線形で，誤差項の期待値がゼロで，データが多重共線を起こしていないとき，OLS推定量は不偏性を持つ．

定理 3 推定式が線形で，誤差項の期待値がゼロで，データが多重共線を起こしておらず，系列相関も分散不均一もないとき，OLS推定量の共分散行列は σ2(X′X)−1で求められる．

2番目の定理の仮定が成り立つとき，OLS推定量は，データを線形に組み合わせたような推定量の中でもっとも分散が小さいことがわかっています．これが Gauss-Markovの定理です．また，OLS残差 eとOLS推定量 bの共分散はゼロになります．

8.2 IVを使ってみよう

誤差項が強外生性を満たさないとき，操作変数法が用いられることがあります．操作変

数法は一般化積率法（GMM: Generalized Method of Moments）の特殊形と位置づけられます（Hayashi 2000, pp.226-231）28が，推定の考え方は次のようなものになります．いま，

推定式を

yi = δ1z1i + δ2z2i + · · · + δLzLi + εi

26定数倍された確率変数の分散は，もとの確率変数の分散に対して，定数の 2 乗倍になるから．27ちなみに，積の逆行列については，(AB)−1 = B−1A−1 が成り立ちます．ABB−1A−1 = I だから．28Hayashi, Fumio. 2000. Econometrics. Princeton University Press.

20

としましょう．推定したい係数は δ1, δ2, · · · , δL であり，全部で L個あります．説明変数

z1i, z2i, · · · , zLiは誤差項 εiと相関を持つかも知れず，強外生性を満たさないとしましょう．

いま，誤差項とは相関を持たず，しかし説明変数と相関を持つような変数が K 個あると

し，それらを x1i, x2i, · · · , xKiとします．このような変数を操作変数（IV: Instrumental

Variables）と呼びます．操作変数は誤差項と相関を持たないので，次の式が成り立ちます．

E

x1i

x2i

...xKi

εi

=

00...0

誤差項 εiは εi = yi − δ1z1i − δ2z2i − · · · − δLzLiと書くことができるので，代入すると，

E

x1i

x2i

...xKi

[yi − δ1z1i − δ2z2i − · · · − δLzLi]

=

00...0

ちょっと変形して，

E

x1i(yi − δ1z1i − δ2z2i − · · · − δLzLi)x2i(yi − δ1z1i − δ2z2i − · · · − δLzLi)

...xKi(yi − δ1z1i − δ2z2i − · · · − δLzLi)

=

00...0

このような条件のことを直交条件（orthogonality condition）と呼びます．この式を標本平均で書き直したものを考えると，xki, zli, yi はデータとして手許にある

わけですから，未知数 (δ1, δ2, · · · , δL)が L個，式がK 個あることになります．したがっ

て，代数の基本定理からわかるように，式の数（=操作変数の数）が未知数の数（=説明変数の数）より多いとき，すなわちK < Lのときには，未知数を求めることができません

（Not identified）．操作変数の数と説明変数の数が同じとき（Just identified）のときには未知数を 1つだけ求めることができます．操作変数の数が説明変数の数より多いとき（Overidentified）のときには，式の数のほうが多いので，うまくやらないと求めることができません．Over identifiedのときに，直交条件が成り立っているかどうかを検定する統計量を，GMM ではHansenの J統計量（Hansen’s J-statistic）（Hayashi 2000, pp.217-218）といい，特定化検定（specification test）の 1種となります．したがって，GMM推定を行うためには，すくなくとも説明変数の数よりも多くの操作

変数を用意することが必要になります（order condition）．もちろん，説明変数のなかに直交条件を満たすものがあれば，それを操作変数として用いることができます．説明変数

がすべて直交条件を満たすならば，わざわざ IVを用いなくても，OLSで推定できることになります．すなわち，説明変数のみを操作変数とし，誤差項が均一分散の仮定を満たす

とき，GMM推定量とOLS推定量は同値です．逆に，説明変数のうちに直交条件を満たさ

21

ないものがあるときには，その変数（しばしば内生変数とよばれます29）の数と同じかそ

れ以上の，説明変数に含まれないような操作変数を用意する必要があります．このような

操作変数を除外変数（excluded variables）と呼んだり，除外変数の直交条件のことを除外制約（excluded restrictions）と呼ぶこともあります．また，OLS推定の場合と同様，操作変数は多重共線を起こしてはいけません（rank con-

dition）．誤差項が操作変数の条件付きで分散一定で系列相関を持たない均一分散性を満たすとき

（conditional homoskedasticity），efficient GMM推定量は2段階最小二乗（2SLS）推定量と同値になることが知られています（Hayashi 2000. pp.226-231）．2SLS推定とは，内生変数を操作変数でOLS推定し（1段階目），その当てはめ値 zli（predicted values, fittedvalues）を内生変数に代入して再度推定を行う（2段階目）方法をいいます．2段階目の推定で求められる残差は yi − ziδ ですが，統計的検定を行うときにもちいる残差は yi − ziδ

でなければならない点には注意が必要です．

さて，「操作変数法」という場合には，狭く 2SLS推定をさすことが多いようです．ここで説明したGMMも操作変数を用いるので操作変数法の 1種ではあるのですが，GMMといった場合には，より複雑な直交条件を利用して推定を行う方法を広く指すようです．こ

れまでに述べてきた線形の 2SLS推定は，Stataではivregコマンドで行うことができま

す．コマンドラインは，

ivreg 被説明変数 外生説明変数 ( 内生変数 = 除外された操作変数)

求められた残差にWhiteの修正を加える場合には，OLS推定のときと同様，robustオ

プションを使いますし，定数項を外すnoconsオプションも有効です．また，1段階目の推定結果を表示させるにはfirstオプションを指定します．

2SLS推定量は一致性（consistency）を持つのですが，有限標本（finite-sample）では必ずしも望ましい性質を持つとは限りませんし，有限標本では不偏推定量ではありません．ま

た，操作変数が内生変数と弱い相関しか持たないとき，有限標本での近似がよくないこと

が知られています（weak instrumentsの問題; Hayashi 2000, p.229, Staiger and Stock1997）30．そのため，1段階目の F統計量や，R2を報告する傾向があるようです．

ユーザ作成の adoファイルを使うと，線形 GMMは以下のようにして推定できます．

ivgmm0 被説明変数 外生説明変数 ( 内生変数 = 除外された操作変数)

8.3 Probit分析をしてみよう

Stataは個票の処理に強みを持っているのですが，被説明変数が連続でないケースを検討することもあるでしょう．被説明変数が幾つかの限られた値を取り，またその値自身に

29計量経済学的な意味での内生性とは，単に，誤差項と説明変数が相関を持つことをさします（Wooldridge2001, pp.49-51.）．もちろんそのなかには経済学的な意味での同時性（simultaneity）を原因とするものもありますが，適切な説明変数の省略（omitted variables）や，測定誤差（measurement error）に起因するものもあり，経済学的な意味で同時性がないからといって，計量経済学的な意味での内生性がないとは限りません．

30Staiger, D. and J. Stock. 1997. Instrumental variables regression with weak instruments. Econo-metrica 65, 557-586.

22

はとくに意味のないような回帰モデルのことを質的変量モデルといいます．たとえば被説

明変数が「Yes」「No」の２種類の値を取るようなケースがこれに当たり，とりうる値が２個の被説明変数をとくに２値変数とも呼びます．

質的変量モデルの推定にあたっては，連続変数としての潜在変数（latent variable）を

想定します．すなわち，潜在変数がある範囲の値を取れば質的変数がある値を取ると考え

ます．潜在変数と説明変数の関係には，最も簡単なケースでは線形の関係を仮定します．

いま，説明変数が定数とひとつの変数 xiであるケースを考えてみましょう．観測される

質的変数を yi，潜在変数を y∗i として，潜在変数と説明変数のあいだに線形の関係を仮定

すれば，

y∗i = β0 + β1xi + εi

と表現できます．ただし，β0, β1は推定されるべき係数であり，プロビットモデルでは，εi

は互いに独立で同一の正規分布N(0, σ2)に従う誤差項であると仮定します．潜在変数がある範囲の値を取れば質的変数がある値を取ると考えますが，ここで質的変数が２値変数で

あるとすれば，潜在変数が正の時には質的変数が１，負の時には０の値を取ると仮定して

一般性を失いません．すなわち，

yi = 1 y∗ > 0のとき

yi = 0 y∗ ≤ 0のとき

となります．潜在変数は可能性として任意の実数値を取りえますが，観測される値は離散

的（ここでは２つ）となります．

さて，このような設定のもとで，観測される変数が１あるいは０である確率を求めてみ

ましょう．それぞれの観測値について質的変数が観測される確率（＝尤度）を求めること

ができれば，最尤法によって係数の推定を行うことができるからです．まず，観測される

変数が１である確率は，

P (yi = 1) = Pr(y∗ > 0) = Pr(β0 + β1xi + εi > 0)

= Pr(εi > −(β0 + β1xi)) (40)

ここで，εiは正規分布N(0, σ2)に従うと仮定されているので，さらに変形することができます．標準正規分布の累積分布関数を Φ(z)とおけば，

P (yi = 1) = Pr(εi < β0 + β1xi) = Φ(

β0 + β1xi

σ

)(41)

同様に，観測される変数が０である確率は，

P (yi = 0) = Pr(y∗ ≤ 0) = Pr(β0 + β1xi + εi ≤ 0)

= Pr(εi ≤ −(β0 + β1xi)) (42)

ここで，εiは正規分布 N(0, σ2)に従うと仮定されているから，同様に，

P (yi = 0) = Pr(εi ≤ −(β0 + β1xi))

= Φ(−β0 + β1xi

σ

)= 1 − Φ

(β0 + β1xi

σ

)(43)

23

観測値間の独立性を仮定すれば，全体の尤度は各観測値の尤度の積で表現することができ

るので，尤度 Lは，

L =n∏

i=1

[Φ(

β0 + β1xi

σ

)]y∗i[1 − Φ

(β0 + β1xi

σ

)]1−y∗i

lnL =n∑

i=1

y∗i ln

[Φ(

β0 + β1xi

σ

)]+ (1 − y∗

i ) ln[1 − Φ

(β0 + β1xi

σ

)]

となります．ここで，関数形から分かるとおり，対数尤度を最大化する係数推定値 b0, b1の

値は誤差項の分散 σに依存しないことになります．そこで，σ = 1と置いて最大化を行います．

さて，推定された係数 b0, b1の値はどのような意味を持っているのでしょうか．プロビッ

トモデルでは，

P (yi = 1) = Φ (b0 + b1xi)

であるから，b0, b1の値が示す意味は分かりやすいとはいえないでしょう．むしろ，説明変

数が 1単位大きくなったときの確率 P (yi = 1)の変化分を示したほうが分かりやすいときもあります．そこで，データの平均値 xでのこの確率の変分の大きさ，すなわち，

∂

∂xP (yi = 1) = φ (b0 + b1x) b1

を推定結果として報告することもあります．この値のことをマージナル効果といい，マージ

ナル効果は確率の変化分であるので，その大きさは％ポイントで表します．たとえば，説明

変数に平均値を代入したときの確率 P (yi = 1)が 70％であるときにある説明変数のマージナル効果が 5％ポイントである，とは，説明変数の値が 1増加したときに，確率 P (yi = 1)が 70％から 75％に変化する，ということをいいます．さて，ここでは 2値選択モデルのうち，プロビットモデルのみを取り上げてきました．プ

ロビットモデルでは確率分布として正規分布を用いてきましたが，ロジスティック分布を

用いる推定法もしばしば用いられ，ロジットモデルと呼ばれます．また，被説明変数が取

りうる値の数が 2よりも大きいようなモデルを考えることもできます．たとえば，被説明変数が「病院へ通う・市販薬を飲む・何もしない」という 3つの選択枝を表しているケースがこれに当たります．3つ以上の値を取りうる場合，それぞれの値に順序をつけることが可能である場合と，そうでない場合があるでしょう．先程の「病院へ通う・市販薬を飲

む・何もしない」という選択の場合には，明確な順序を定めることは難しいと思われます．

このようなモデルに確率分布として正規分布を用いたものを多項プロビットモデルといい

ます．また，「年間所得が 500万円以下なら 0，500～1000万円なら 1，1000万円以上なら2」といった場合は，明確な順序が存在する質的変数モデルといえます．このようなモデルで正規分布を利用するものは順序プロビットモデルと呼ばれます．これらのモデルについ

ても潜在変数を想定し，最尤法で推定を行います．

容易に想像がつくとはおもいますが，プロビットモデル・ロジットモデルは以下のよう

なコマンドラインで推定することができます．

24

probit 被説明変数 説明変数

logit 被説明変数 説明変数

マージナル効果を求める場合，プロビットモデルではprobitのところをdprobitとすれ

ば求めることができます．また，順序プロビットのばあいは．

oprobit depvar variables

となります．

8.4 Heckmanの 2段階推定をしてみよう

個票の場合，サンプル設計のためにいくつかの特定の主体の被説明変数を観測できない

ことがあります．古典的な例では，女性の賃金です．働いている女性の賃金は観測するこ

とができますが，働いていない女性の賃金は観測することができません．そのような場合

に，Heckmanの 2段階推定という手法を用いることがあります．いま被説明変数 yiは外

生性を満たす説明変数ベクトル xiと誤差項 uiの線形関数として表現できると仮定します．

すなわち，

yi = β′xi + ui

と書けるとします．ただし，被説明変数 yi は条件

π′zi + εi ≥ 0

が満たされなければ観測できないとしましょう．ここで，説明変数ベクトル zi は外生で，

その係数ベクトルを π，誤差項を εi とおきます．また，誤差項 εi の分散を σ2ε，もとの推

定式の誤差項 ui との共分散を σuε とし，εi と uiが 2変量正規分布に従っていると仮定しましょう．すなわち，(

ui

εi

)= N

[(00

),

(σ2

u σuε

σuε σ2ε

)].

さて，被説明変数 yiが入手できた観測値についてだけ最小２乗推定を行うと，Gauss-Markovの定理が成立せず，推定量が一致性を持たない可能性があります．そこでまず，観測でき

たという条件付きの期待値を取ってみましょう．

E[yi|xi, zi, π′zi + εi ≥ 0] = β′xi + E[ui|εi ≥ −π′zi]

この条件付き期待値の期待誤差を ηi とおくと期待値をはずすことができて，π′zi + εi ≥ 0なる観測されたサンプルについて

yi = β′xi + E[ui|εi ≥ −π′zi] + ηi.

ここで，E[ui|εi ≥ −π′zi] を求めるために，εi と ui の分散共分散行列をコレスキ分解

（Choleski decomposition）しましょう（Greene 1997, p.44, p.179）．(σ2

ε σuε

σuε σ2u

)=

(σε 0

σuε/σε σu

)(σε σuε/σε

0 σu

)

25

このコレスキ分解を用いると，互いに独立に標準正規分布 N(0, 1)に従う確率変数 x1, x2

を使って εiと uiを表現することができ，(εi

ui

)=

(00

)+

(σε 0

σuε/σε σu

)(x1

x2

)=

(σεx1

(σuε/σε)x1 + σux2

)

これを代入すれば，期待値の線形性より，

E[ui|εi ≥ −π′zi] = E

[σuε

σεx1 + σux2

∣∣∣∣∣σεx1 ≥ −π′zi

]

=σuε

σεE

[x1

∣∣∣∣∣x1 ≥ −π′zi

σε

]

標準正規分布の密度関数を φ(·)，分布関数をΦ(·)とおけば，密度関数は φ′(m) = −mφ(m),φ(m) = φ(−m)を満たしますから，

E[ui|εi < −π′zi] =σuε

σε

∫ ∞

−π′ziσε

x1φ(x1)1 − Φ(−π′zi/σε)

dx1

= −σuε

σε

1Φ(π′zi/σε)

∫ ∞

−π′ziσε

−x1φ(x1) dx1

= −σuε

σε

1Φ(π′zi/σε)

∫ ∞

−π′ziσε

φ′(x1) dx1

= −σuε

σε

1Φ(π′zi/σε)

φ

(π′zi

σε

)

= λφ (π′zi/σε)Φ(π′zi/σε)

ここで，λ = −σuε/σεとおいています．もとの式に代入すると，観測されたサンプルにつ

いて

yi = β′xi + λφ (π′zi/σε)Φ(π′zi/σε)

+ ηi

となります．期待誤差 ηiがwell-behavedだと仮定すれば，２段階推定を用いることができます．Heckmanの２段階推定法（Heckit）とは，第１段階として Probitモデルを用いてπを推定し，第２段階として πの推定量から φ(π′zi/σε)/Φ(π′zi/σε)（逆ミルズ比（Inverse

Mill’s Ratio））の一致推定量を求めて OLS推定を行う方法です．この推定量は一致性を持ちますが効率性を持たないので，最近では全体を最尤推定することのほうが多いよう

です．

ここまで扱ってきたモデルは，Type 2 Tobitモデルと呼ばれますが，これはType 5

Tobitモデルと呼ばれるより一般的なモデルの特殊形とみなすことができます（Amemiya1995）．

yi = β′xi + ui

β = β1 if Pi = π′zi + εi < 0

β = β2 if Pi = π′zi + εi ≥ 0

26

このモデルでは，Pi の値によって βがスイッチするので，switching regressionとも呼ばれます．あるいは，Piによってレジームが選択されるとも解釈できるのでself-selection

modelと呼ばれることもあります．さらに，Piが観察できないときには未知レジームのス

イッチング回帰と呼ばれるようです．

さて，最初のほうに述べた Heckmanの 2段階推定法は，以下のようなコマンドラインで推定することができます．

heckman 被説明変数 説明変数, select( 選択変数 )

上の表現を使えば，説明変数は xi，選択変数は ziのことです．heckmanコマンドは，デ

フォルトでは最尤法を用いた推定をするので，あえて Heckmanの 2段階推定を行う場合には，twostepオプションを，select( )のあとに加える必要があります．

8.5 パネルデータを使ってみよう

同一主体を時系列的に追ったデータセットをパネルデータといいます31．そのようなデー

タセットを用いるのも簡単です．パネルデータを扱う場合には，主体・時点ごとにひとつ

の観測値としてデータセットを構築しておくのが普通ですが，random effect modelの複雑なものなどを扱う場合には，主体ごとに１つの観測値として「横に長い」データセットに

しておくほうが扱いやすい場合もあるようです．ここでは，主体時点ごとにひとつの観測

値としてデータセットを構築しておくとしましょう．その場合，

xtdes, i(主体変数) t(時間変数)

xtsum, i(主体変数) t(時間変数)

とすることで，バランスパネルになっているかどうか，時点別平均値など，データのお

おまかな分布をみることができます．説明変数が全て強外生性を満たすときの固定効果モ

デル・変量効果モデルの推定は以下のようになります．

xtreg depvar variables, fe i(主体変数)

xtreg depvar variables, re i(主体変数)

また，変量効果モデルの推定の直後にxthausと入力すると，固定効果モデルと変量効果

モデルについての Hausman検定を行うことができます．パネルデータを扱っているときに，説明変数に内生性の疑いがあり（説明変数と誤差項の

あいだに直交条件が成り立たない），操作変数法を併用したい場合には，xtivregというコ

マンドを使います32．xtivregは連立方程式アプローチを採っているわけではありません．

説明変数に強外生性（strict exogeneity）が仮定されないときの推定方法についてはさまざまな方法があるようですが33，xtivregでは，GLS random-effect model，Between-effects

31Stata 8 の Referenceには「Cross-Sectional Time-Series」と名づけられた分冊があり，ここでパネルデータを対象とするコマンド群の解説が行われています．

32Stata 8 から導入されたものかもしれません．33パネルデータの扱い方については，Baltagi, Badi H. 2001. Econometric Analysis of Panel Data 2nd

edition. John Wiley and Sons. などを参照のこと．また，より実践的なものとして，応用計量経済学の観点からの良書，Wooldridge, Jeffrey M. 2001. Econometric Analysis of Cross Section and Panel Data. MITPress. の第 10 章，11 章を参照のこと．

27

model，Fixed-effects model，First-differenced estimatorの 4種類の推定を行うことができます．コマンドラインはほぼ共通で，

xtivreg 被説明変数 強外生変数 ( 内生変数 = 操作変数 ), 推定方法オプション

となります．推定方法オプションの部分は，先に述べた順に，re be fe fdと書き，First-differenced estimator以外の推定を行うときには，xtregコマンドと同じく，i(主体変数)

による変数指定が必要です．First-differenced estimatorを用いるときは，tssetコマンド

による時間変数・主体変数指定を事前に行う必要があります．また，いずれの推定方法を

用いるにしても，firstオプションを指定することで，1段階目の推定結果を表示させることができます．さらに，GLS random-effect modelを用いる場合，Baltagiによる EC2SLSをオプション指定することもできます．

説明変数に被説明変数の過去値が入っているモデルをダイナミックパネルと呼ぶことが

ありますが，Arellano and Bond (1991, RES)によるダイナミックパネルの推定はxtabond

コマンドで行うことができますし，説明変数と個別効果が相関を持つ場合のAmemiya andMcCurdy (1986, Econometrica)や Hausman and Taylor (1981, Econometrica)による推定はxthtaylorコマンドに組み込まれています．さらに，パネルデータによる質的変数モ

デル（xtlogit，xtprobit）といったコマンド群も用意されています．Stata 8以降は，いくつかのパネルデータコマンドは，tssetコマンドによる事前の時間変数・主体変数指定

を必要としています．いずれにせよ，これらの詳細については，マニュアルを参照してく

ださい．

8.6 サバイバル分析をやってみよう

もっとも簡単なかたちでのサバイバル分析を行うためには，期間を表す変数と，打ち切

られたかどうかのダミー変数，時間に依存しないかたちの説明変数を用意します．まず，期

間を表す変数（ここではdurac），打ち切りダミーを表す変数（ここではfaildoc）を指定

し，サバイバル分析を行うのだ，ということを Stataに認識させます．

stset durac, failure( faildoc)

あとはさきほどとほとんど同じです．ただしここでは，被説明変数を認識させているの

でこれを指定する必要はありません．たとえば Cox比例ハザードモデルを推定するばあいには

stcox gender hcon2-hcon6 inc700d copay2-copay7

ワイブル分布を仮定したパラメトリックな比例ハザードモデルでは，

streg gender hcon2-hcon6 inc700d copay2-copay7, d(weibull)

ノンパラメトリックに Kaplan-Meier分析のグラフを描くためには，

sts graph

sts graph , na

２行目のコマンドでは累積ハザード関数を書くことができます．

28

8.7 ノンパラメトリック推定に挑戦しよう

パラメトリック推定は関数形に強い制約を置くので，情報処理技術の進展にともない，ノ

ンパラメトリック推定もしばしば利用されるようになってきています．とくに多くのデータ

が手許にあるときには，ノンパラメトリック推定は視覚的にも興味深い結果をもたらすこ

とがあります．ノンパラメトリック推定は，(1)データセットの特徴を示し，パラメトリック推定への手がかりを与える，(2)推定されたパラメトリックモデルの診断を行う，(3)弱い制約のもとでのなんらかの統計的推測を行う，(4)セミパラメトリックモデルの推定を行う，等の目的で使用されます．一般に，大量のマイクロデータを必要とします．

Density Estimation

ここでは，サンプルが独立に同一の未知の確率分布から発生している（i.i.d., identicallyand independently distributed）と仮定しましょう．まず，一変数Xが密度関数 f(X)から発生しているとします．f(x)が存在してなめらか（smooth）であるとすれば，中間値の定理より，十分小さな実数 h > 0に対して以下の近似が成立するとしてよいことになります．

2h · f(x) =∫ x+h

x−h

f(u) du = Pr(X ∈ [x − h, x + h])

これを十分多くの xについて行うことにより，密度関数 f(X)を推定することができます34．

つまり，密度関数の推定量 fh(X)は，

fh(x) =12h

Pr(X ∈ [x − h, x + h])

で与えられます．ところで，Pr(X ∈ [x−h, x+h])すなわち確率変数Xが区間 [x−h, x+h]の値を取る確率はどのように推定すればよいのでしょうか？最も簡単な方法としては，幅

2hのこの区間 [x − h, x + h]に入っているサンプルの数を数え，全サンプル数 N で除し

た相対頻度を用いることが考えられます．定義域に入る条件が真なら１，偽なら０を取る

Indicator function I を用いれば以下のように表現できることになります．

fh(x) =12h

1N

N∑i=1

I(|Xi − x| ≤ h)

=1N

N∑i=1

1h

12I(|Xi − x|/h ≤ 1) =

1N

N∑i=1

1h

K((x − Xi)/h) =1N

N∑i=1

Kh(x − Xi)

この推定量のことを，kernel を K(u) = 12I(|u| ≤ 1)， bindwidth を h とする f(x)

のkernel density estimatorと呼びます．

このような kernelをstep function kernelと呼びますが，ここでは区間 [x − h, x + h]に入っている観測値には全て同じウェイトが与えられているし，そのために推定量が不連続

になりやすい傾向があります．これらの問題を解決するためには，点 xより離れた観測値

に与える重みを連続的に小さくした kernelを用いる方法があります．このようなwindow

34大げさに言えばこういうことですが，棒グラフの高級なもの，といったものとも言えましょうか．

29

function K を kernelとする方法として，２次・３次関数を用いる方法のほか，Gaussiankernelと呼ばれるものがあります．具体的には以下の関数を用いることになります．

K(u) = (2π)−1/2 exp(−u2/2)

一般に，kernelは連続（piecewise continuous）で，有界，０について対称，積分値が１になる関数が用いられ，kernelを表す関数K(u)は以下を満たします．

K(u) = K(−u),∫

K(u) du = 1

さて，大量のデータがあるときには，ある変数の密度関数をノンパラメトリックに推定

することがあるかもしれません．その場合，

kdensity 変数名, kernelオプション

とします．Kernelとしては，Gaussian kernelや triangle kernelなどを用いることができます．Kernelの種類によっては，さらにオプション指定をする必要があることがあります．デフォルトでは，コマンドを実行するとグラフが描かれますが，それぞれの点と推定

された密度の数値情報のデータgenerate( , )オプションで作成することもできます．

Regression Estimation

ここまで述べてきたのは 1変数の密度関数をノンパラメトリックに推定する方法でしたが，2変数の関係についてノンパラメトリックに検討する方法について考えてみましょう．つまり，条件付き期待値の関数m(x) = E(Y |X = x)を推定することを考えてみましょう．先の例と同様，２変数の確率変数の観測値ベクトル (X, Y )は独立に同一の未知の確率分布f(x, y)から発生していると仮定します．条件付き期待値の定義より，

m(x) = E(Y |X = x) =∫

yf(x, y) dy∫f(x, y) dy

２変数の確率分布についての kernel density estimatorも１変数と同様に考えることができ，次のように与えられます．

fh(x, y) =1N

N∑i=1

Kh(x − Xi)Kh(y − Yi)

両辺を yについて積分して，kernelの性質を考慮すると，∫fh(x, y) dy =

∫1N

N∑i=1

Kh(x − Xi)Kh(y − Yi) dy

=1N

N∑i=1

Kh(x − Xi)∫

Kh(y − Yi) dy =1N

N∑i=1

Kh(x − Xi)

∫yfh(x, y) dy =

∫1N

N∑i=1

YiKh(x − Xi)Kh(y − Yi) dy

=1N

N∑i=1

Kh(x − Xi)Yi

∫Kh(y − Yi) dy =

1N

N∑i=1

Kh(x − Xi)Yi

30

代入すれば，この推定量から条件付き期待値の推定量を得ることができます．

mh(x) =∫

yfh(x, y) dy∫fh(x, y) dy

=1N

∑Ni=1 Kh(x − Xi)Yi

1N

∑Ni=1 Kh(x − Xi)

この推定量はNadaraya-Watson kernel estimateと呼ばれ，一致性を持ち，漸近的に正規分布に従うことが知られています．Nadaraya-Watson kernel estimateは，以下のコマンドで推定することができます．

kernreg Y軸変数 X軸変数, bwidth(数値) kercode(数値) npoint(数値)

bwidthオプションは smoothing parameterと呼ばれるもので，kernelのパラメタを決定します，kercodeは kernelの種類を指定し，1～7の値をとります．npointは，推定を

行うポイントの数を指定します．

9 検定してみよう

計量経済学で重要なのは推定ですが，しばしば統計的有意性を問う仮説検定を行う必要

があることがあります．ある変数の係数についての単純な検定，たとえば係数がゼロと等

しいかどうかといった検定は，出力結果にある係数推定値と標準偏差を用いれば t検定することができます．しかし，その他の形を採る場合には係数推定値の分散共分散行列が必

要となるためもう１ステップ必要になります．

9.1 推定のあとに

推定を行って，ちょっとややこしい仮説検定を行ったり，あるいは，係数推定値を使って

新たな変数を定義したりしたいこともあるでしょう．Stataは推定を行うと，いくつかの関連する推定値などを一時変数として保存しています．たとえば，係数推定値は b[変数名]で

すし，とくに定数項の推定値は b[ cons]といったぐあいです．これらの表現とgenerate,

replaceコマンドを併用すれば，新たな変数を定義することもできます．とくに当てはめ

値（predicted value, fitted value）の系列を作る場合には，

predict 新変数名, xb

とすれば，直前の推定から得られる当てはめ値を計算できます．predictはほとんどの

推定コマンドに対応する post estimation commandですが，プロビットやロジットのような非線形な推定を行う場合には，何が生成されるのか注意してください．一般には，説明

変数の線形結合としての潜在変数あるいは被説明変数の当てはめ値が計算されます．また，

オプションstdpをxbのかわりに指定すると，標準偏差系列を得ることができます．当て

はめ値の計算は，すべての観測値について行われますが，推定に用いられた観測値につい

てのみ当てはめ値を計算したいときには，直前の推定に用いられたことを示すe(sample)

変数を用いて，

31

predict 新変数名 if e(sample), xb

とすればよいことになります．また，新変数名が既存の変数名と同じになると，エラー

が返ってきますので注意しましょう．

9.2 線形制約のばあい

線形制約の仮説検定では F検定か χ2 分布を使った検定を行います．Stataでは，係数は b[変数名]という一時変数に保存されていますから，これを使って線形制約を表現して

やれば仮説検定を行うことができます．たとえば，次のような推定式と線形の帰無仮説を

考えてみましょう．

hoursi = β0 + β1lnwi + β2asseti + εi

β1 = β2

Stataは線形の仮説検定のためにtestコマンドを用意しています．testのあとに線形制約

式を書けば検定をしてくれます．OLSを使った場合には F検定をしますが，そのコマンドラインは以下のようになります．

reg hours lnw asset

test _b[lnw] = _b[asset]

係数の和が１に等しい，といった規模の経済性の検定などで使われそうな線形仮説の場

合は，

test _b[lnw] + _b[asset] = 1

となります．この場合，推定された係数の和自体は出力されないことに注意しましょう．

出力させたいときにはdisplayコマンドを使えばよいので，まとめると次のようなコマン

ドラインになるはずです．

reg hours lnw asset

display _b[lnw] + _b[asset]

test _b[lnw] + _b[asset] = 1

仮説が幾つかの式から成る場合にはaccumulateオプションを使うことになります．直

前の例で，さらに β1 = 0.5という仮説を組み合わせる場合には以下のようになります．

test _b[lnw] + _b[asset] = 1

test _b[lnw] = 0.5, accumulate

もちろん，2行目でaccumulateオプションを使わなければ，別々の検定をしてくれるこ

とになります．

32

9.3 非線形制約のばあい

testコマンドは便利ですが，非線形制約の検定はしてくれません．Non-Linearな仮説検定をしたい場合には，testnlコマンドを使います．使い方はtestコマンドとほとんど

同じです（testコマンドではいくつかの表現を省略できますが，testnlコマンドではで

きません，など）．たとえば，先ほどの推定式で以下のような非線形制約を検定したいと

します．

11 + exp(β0/β1)

= 0.3

左辺の値をいったん出力させて検定するには次のようにすればいいことになります．

display 1/[1+exp(_b[_cons]/_b[lnw])]

testnl 1/[1+exp(_b[_cons]/_b[lnw])] =0.3

この場合，Wald検定が行われます．2つ以上の仮説をまとめて検定するときには，式を(

)でくくって並べればいいだけです．

10 ちょっと進んで

いつもいつも単純な推定式になるとは限りません．制約つきの式を推定することもある

でしょうし，非線形になっているかもしれません．最小 2乗法だけを使うとも限りません．ここではそのような場面に対応する最も単純なケースを扱います．

10.1 非線形最小 2乗推定をしよう

まずは非線形最小 2乗推定です．非線形最小 2乗法を使う場合には，まず式を定義してから，被説明変数を指定して推定するという順序を踏みます．推定式の右辺に当たる部分

を定義するにはprogram defineではじまり，endで終わる形式を使います．一般的には

program define nl式名

version 6.0

if "‘1’" == "?" {

global S_1 " パラメタ名 "

パラメタの初期化

exit

}

replace ‘1’ = 数式

end

で定義します．式の名前は必ずnlで始めます．推定は被説明変数を指定するだけです．

nl 式名 被説明変数名

33

たとえば，推定式が

hoursi = −ε ln(

1 − α

αwi

)+ ui

であるとしましょう．このとき推定したいパラメタは εと αで，説明変数は定数項と wi，

被説明変数は hoursiです．さきほどの形式にしたがって式を定義して推定するには以下の

ようにします．ここでは式の名前をnlsbstとしましょう．

program define nlsbst

version 6.0

if "‘1’" == "?" {

global S_1 "alpha epsilon"

global alpha = 0.001

global epsilon = 0.4

exit

}

replace ‘1’ = -$epsilon * ln((1-$alpha)*w/$alpha)

end

nl sbst hours

非線形最小 2乗法は収束計算をともなうので，初期値の設定が必要です．また，replaceのあとの表現では，パラメタの前には$をつける必要があり，この時点で説明変数を指定し

ておく必要があります．なので，いったん式を定義したあとで説明変数を変形したりする

ときには注意が必要です．非線形最小 2乗法の場合も b[w]などの表現を使って検定を行

うことができます．

10.2 最尤法に挑戦してみよう

Stataはマイクロデータの処理に優れているのですが，マイクロデータを使うとさまざまな推定を行うことが可能になります．サンプルが多い場合には自分で尤度関数を書いて

最尤法を使って推定することもあるかもしれません．もちろん，Stataでも自分で最尤法を使って推定することができます（収束計算の方法がすくないとの指摘もありますが…）．こ

こでは，全体の対数尤度がそれぞれの観測値の対数尤度の和で表現できるような，もっと

も簡単な場合の最尤法の，もっとも初歩的な使い方を紹介します．それゆえ，パネルデー

タの random effectのような，ちょっとややこしいケースは除きます．Stataの最尤法プログラムとしては，lf, d0, d1, d2の 4通りが用意されていますが，

使いやすさと計算の正確さ・速さから，lfの使用が推奨されています．もっとも，lfは全

体の対数尤度が観測値の対数尤度の和で表現できる場合にしか対応していません．いくつ

かの観測値間に相関があるようなケースでは，それらをまとめてひとつの観測値としてし

まい（つまり横に並べてしまい），対数尤度の定義の仕方を工夫したほうが楽かもしれま

せん．

34

最尤法の使い方はさきほどの非線形最小 2乗法とよく似ています．ただし，ここでは説明変数の指定はあとで，関数の指定・被説明変数と説明変数の指定・推定，という順序を

採ります．ここで扱うような，観測値間の独立性が仮定されているケースではlfオプショ

ンを使います．まず一般形を書いておくと次のようになります．

program define 式名

args lnf theta1 theta2 ...

tempvar 一時変数名

対数尤度関数の定義

quietly replace ‘lnf’ = ...

end

ml model lf 式名 (被説明変数 = 説明変数名)...

ml check

ml maximize

これらの途中で初期値の設定などのオプション指定もできますがここでは省略します．

最尤法では式の名前に特に制限はありませんが，コマンド名になっているものは避けるべ

きです．lnfは対数尤度です．programの定義文の最後でquietly replace ‘lnf’ = の

形で締めくくることになります．theta1, theta2,... は説明変数（と定数項）の線形和を表します．推定されるのは，thetaたちの係数になります．標準偏差など，定数を推定す

るばあいにもこれを使います．推定は収束計算をともなうので，推定される値の域が実数

全体になるように工夫します．被説明変数とは，ここでは係数が付かない変数を指します．

対数尤度関数を定義するときには$ML y1, $ML y2,... といった形で表現されます．一時変数とは，対数尤度関数を定義するためだけに一時的に定義する変数です．対数尤度関数が

複雑な形をとるとき，一時変数を使って見通しをよくすることができます．対数尤度関数

を定義したあと，被説明変数と説明変数を指定します． = でつながれていますが，これに特に意味はない（最も簡単なケースでは意味がありそうに見える）だけなので気にしない

でください．

最尤法の使い方はやってみないとわかりにくいところがあるのですが，ここでひとつ例

をだします（Stataでの最尤法の入門書，Gould and Sribney 1999, 27ページ35）．Weibull分布を仮定したサバイバル分析を行うケースです．この場合，対数尤度関数は以下のよう

にかけます．

ln fi = (ti exp(xiβ))exp(s) + di(s − xiβ + (exp(s) − 1)(ln ti − xiβ))

ここで推定したいのは，説明変数の線形結合の係数 β，Weibull分布のパラメタ sです．ま

た，ti, diは係数が付かないのでここでは被説明変数と呼べます．いま，説明変数の線形結

合 xiβ をtheta1，パラメタ sをtheta2とし，ti を１つめの被説明変数，di を２つめの被

説明変数と考えてやれば，Stataで対数尤度関数を定義することができます．推定される係数はいずれも（sも），すべての実数値を取りうることに注意してください．exp(s)に一時

35Gould, William and William Sribney. 1999. Maximum likelihood estimation with STATA. StataPress, Texas.

35

変数p，右辺第 1項に一時変数M，ln ti − xiβ に一時変数Rを割り当てて，式を読みやすく

してやると，Stataによる尤度関数の定義はつぎのようになります．

program define myweib

version 6.0

args lnf theta1 theta2

tempvar p M R

quietly generate double ‘p’ = exp(‘theta2’)

quietly generate double ‘M’ = ($ML_y1*exp(-‘theta1’))^‘p’

quietly generate double ‘R’ = ln($ML_y1)-‘theta1’

quietly replace ‘lnf’ = -‘M’+$ML_y2*(‘theta2’-‘theta1’+(‘p’-1)*‘R’)

end

対数尤度関数を定義するときにはgenerate, replaceはよく使いますが，いずれもオプ

ションquietlyとdoubleを使っていることに注意してください．これらがないと出力がひ

どくなったり，収束計算の精度が非常に落ちたりします．また，パラメタや一時変数はシ

ングルクォーテーションでくくっていることにも注意しましょう．ここではまだ説明変数

はなんでもいいことになっています．

次に説明変数と被説明変数を指定します．変数名は ti がtime，di がdied，xi として定

数項とageであるとしましょう．すると，

ml model lf myweib (time died = age) ()

となります．2個目のカッコはtheta2に対応していますので省略はできません．コロン

を使ってそれぞれに式の名前をつけることもでき，その場合には，

ml model lf myweib (timeeq: time died = age) (sigma: )

などとなります．被説明変数・説明変数の順序は，対数尤度関数の定義のときの$ML y1,

$ML y2,..., theta1, theta2,..., の順序に従います．被説明変数は = の左側，説明変数は右側に来ますが，説明変数だけをカッコのなかにいれることもできます．被説明変数だけ

をカッコのなかにいれることはできません．被説明変数をいれるカッコは順序をまちがわ

なければどこでもいいことにはなっていますが，よくわからなければ，すべて最初のカッ

コの等号の左側に書いておけばよいでしょう．もし，説明変数の線形結合が定数項を含ま

ない場合には次のようになります．

ml model lf myweib (timeeq: time died = age, nocons) (sigma: )

ここまで書けば対数尤度の定義は終わりです．あとは最大化する命令を書けばいいこと

になります．

ml check

ml maximize

36

ここは決め打ちなので，深く考えないほうがいいです．最尤法では，最大化の収束計算

を始める前に，対数尤度がきちんと定義されているかどうかのチェックをしてくれます．そ

のチェックを通れば，とりあえずプログラムとしては間違いがないということになるよう

です．

11 おわりに

これまで，いくつかの分析手法についてのもっともベーシックな形でのコマンドライン

を紹介してきました．しかしもちろん，いろいろなオプションを指定できますし，これ以

上のさまざまな分析手法を Stataは用意しています．あとは自分で Reference Manualと（計量経済学や統計学の教科書と）格闘するしかないのかもしれません．

37