statika

1 Dinamika mehanizama i maina - STATIKA

STAT IKA

PREDMET STATIKE

Statikom se naziva deo mehanike u kome se prouavaju zakoni slaganja sila iuslovi ravnotee materijalnih tela na koje deluje sila.

Apsolutno kruto telo je ono telo kod koga se rastojanje izmeu dve takepod dejstvom sile ne menja. To u prirodi nije ostvarivo. Kruto telo je ono telokod koga se rastojanje menja. U daljem tekstu e se pod krutim telomsmatrati apsolutno kruto telo.

Da bi kruto telo pod dejstvom nekog sistema sila bilo u ravnotei potrebno jeda se zadovolje odreeni uslovi ravnotee datog sistema sila. Da bi pronaliuslove ravnotee razliitih sistema sila neophodno je znati:

1. Slagati sile koje deluju na kruto telo2. Zamenjivati dejstvo jednog sistema sila drugim sistemom sila i3. Svoditi dati sistem na prostiji oblik.

Zadaci statike reavaju se na dva metoda:

1. Geometrijske i grafike metode2. Numerikim analitikim metodama

SILA

Veliina koje predstavlja koliinsku meru mehanikog uzajamnog delovanjaizmeu materijalnih tela u mehanici se zove sila.

Veliine koje emo koristiti su:

1. Skalarne: koje su potpuno odreene svojom brojanom vrednou intenzitet

2. Vektorske: koje osim intenziteta karakterie i pravac i smer.


Sila je vektorska veliina koju osim ove 3 osobine karakterie i napadnataka.

Sistem sila je skup svih sila koje deluju na jedno kruto telo.

Slobodno telo je ono koje nije vezano za neko drugo telo.

URAVNOTEENI SISTEM SILA

Za dva sistema sila kaemo da suekvivalentni ako se posledica dejstvajednog sistema na telo u potpunostimoe zameniti drugim sistemom, gde sepri tom nee naruiti ravnomernokretanje ili stanje tog tela.

Ako dati sistem sila ima jednuekvivalentnu silu, ta se sila nazivarezultantnom.

Sile po dejstvu mogu biti:

- Koncentrisane sile- Kontinualno rasporeene sile

AKSIOMI STATIKE

1. Ako na slobodno telo deluju dve sile, za to telo kaemo da je uravnotei ako su sile istog intenziteta i pravca ali suprotnog smera.

1 2F F G G

1 2 1 2F F F F G G G G


2. Dejstvo datog sistema sila na neko telo(F) se ne menja ako mu se dodai oduzme uravnoteeni sistem (F1 i F2) sila

Posledica prva dva aksioma: Napadnu taku sile moemo pomerati dunapadne linije sile

1 2F F G G

1F F G

Primer 1. tap u ravnotei:

a) Zategnutb) Nije zategnutc) Pritisnut

3. Dve sile koje napadaju telo u jednoj taki imaju rezultantu koja jedijagonala paralelograma konstruisanog tim silama

1 2RF F F G G G


4. Dva tela deluju jedno na drugo silama istog intenziteta i pravca alisuprotnih smerova.

'F F G G

5. Ako se bilo koje deformabilno telo nalazi u ravnotei pod dejstvom sila,ono e ostati u ravnotei i kada postane apsolutno kruto. Obratni sluajne vai.

VEZE I NJIHOVE REAKCIJE

1. Glatka povrina (ravan) ilioslonac

reakcija veze se nalazi nanormali dodirne povrine

2. Konopac

3. Cilindrini zglob leite


4. Sferni zglob leite

AKSIOM O VEZAMA

Svako vezano (neslobodno) telo moe se posmatrati kao slobodno, akouklonimo veze i njihov uticaj zamenimo uticajem veza.


SISTEMI SUELJENIH SILA

GEOMETRIJSKI NAIN SLAGANJA SISTEMA SUELJENIHSILA

Def. Sistemom sueljenih sila naziva se takav sistem ije se napadne linije sekuu jednoj taki.

Problem odreivanja rezultante sueljenih sila, svodi se prema aksiomi, naoperaciju slaganja tih sila.

1. SLAGANJE SILA

Slaganje sila po pravilu paralelograma

Slaganje sila po pravilu trougla

Rezultantni vektor ( rFG

) je geometrijski zbir polaznih vektora. Kosinusnomteoremom dolazimo do intenziteta rezultujueg vektora:

1 2rF F F G G G

2 2 2 o1 2 1 22 cos(180 )rF F F F F

2 21 2 2cosrF F F

Sinusnom teoremom dolazimo do uglova u trouglu prilikom slaganja sila popravilu trougla:

sin(180 ) sino


1 2sin sin sin

rF F F

Ukoliko se taka u kojoj se seku napadne linije sueljenih sila nalazi van tela,moemo zamisliti da je telo poveano do te dimenzije da sadri napadnutaku. Zatim prenosimo sile u taku O i konstruiemo rezultantu pravilomtrougla ili paralelograma. Rezultantu moemo smestiti u bilo kojoj taki ducele napadne linije, pa biramo da to bude neka taka koja je na

prvobitnom, ne poveanom telu.

Drugi pristup reavanja ovog problema je da u takama A i B gde deluju sile1FG

i 2FG

unesemo sistem uravnoteenih sila 1 'FG

i 2 'FG

. Zatim bi traili rezultante sila

1FG

i 1 'FG

a potom 2FG

i 2 'FG

. U preseku dobijenih rezultanti nalazi se napadnataka. U nju prenosimo nae poetne sile 1F

G

i 2FG

, i konstruiemo koju ponovomoemo pomerati du njenog napadnog pravca. Uravnoteujue sile nikakone utiu na polazni sistem, jer se one kao takve u svakom sluaju moguzanemariti.

2. SLAGANJE TRI SILE KOJE NE LEE U ISTOJ RAVNI


Rezultanta tri sile 1FG

, 2FG

i 3FG

koje ne lee uistoj ravni moe se dobiti konstruisanjemparalelograma i nalaenjem njegoveglavne dijagonale (rezultanta). Do istogrezultata se moe doci i sukcesivnomprimenom pravila paralelograma ili pravilatrougla.

3. SLAGANJE SISTEMA SILA

Rezultanta proizvoljnog broja sueljenih sila jednaka je njihovomgeometrijskom zbiru sa napadnom takom u taki u kojoj se seku njihovenapadne linije.

Rezultanta koja je jedna zbirusvih sila nekog sistema naziva seglavni vektor.

Drugi nain za odreivanjerezultantnog vektora jejednostavniji i pogodniji.Konstruie se poligon sila takosto se na kraj vektora prve silenadovee druga sila a na njenkraj trea i tako se nadoveu sve sile.

1 2 3

1

...R nn

R ii

F F F F F

F R

G G G G G

G

Rezultanta je vektor koji dobijamo spajanjem poetka vektora prve sile i krajavektora poslednje sile. Intenzitet je jednak duini dui.

RAZLAGANJE SILA

Razlaganje sila je suprotan proces u kome traimo komponente tj. sistem silaija je rezultanta naa poetna sila. Razloiti silu u nekoliko komponenti jeneodreen zadatak i jednoznaan je samo ako imamo dopunske uslove.Postoje 2 najvanija posebna sluaja

RAZLAGANJE SILE NA 2 ELJENA PRAVCA

Poligonsila


Razlaemo silu FG

na dva pravca:B i D. Zadatak je da konstruiemotakav paralelogram ije e sestranice nai na pravcima B i D iija e dijagonala biti naapoetna sila F

G

. Ovo takoemoemo uraditi i pravilom trougla

RAZLAGANJE SILE U 3 PRAVCA.

Ako 3 pravca lee u istoj ravni onda razlaemo konstrukcijom trougla. Ukolikone lee u istoj ravni onda konstruiemo paralelopiped.

Sve sile uvek treba razlagati u pravcima reakcije veza

Razlaganje sila je potrebno da bi se razmotrili odnosi izmeu krutih tela i veza

PROJEKCIJA SILE NA OSU

Projekcija sile na osu je skalarna veliina i ona predstavlja proizvod intenzitetate sile i kosinus ugla koji sila zaklapa sa osom. Tom prilikom ugao se uvekrauna u pozitivnom smeru.

cosX F 1 1 1 1cos cosX F F M

Projekcija sile na osu je skalar!


cos

:cos cos cos

sin cos sin

xy

xy

xy

xy

F OB

F F

koordinateX F F

Y F F

G

G

Projekcija sile na ravan je vektor!

ANALITIKI NAIN DEFINISANJA SILE

Za analitiki nain definisanja sile neophodno je izabrati referentni koordinatnisistem Oxyz, koji je sistem desne orijentacije. Desna orijentacija znai da Y osazaklapa prav ugao sa X osom u pozitivnom smeru, a da se Z osa dobija popravilu desne zavojnice od X ka Y.

cosX F ; cosY F ;cosZ F

2 2 2cos cos cos 1 2 2 2 2F X Y Z

2 2 2F X Y Z

cos XF

; cos YF

; cos ZF

U sluaju da sve sile lee u jednoj ravni koristimo samo jednaine i kojimafiguriu X i Y (Z izbacujemo iz postojeih jednaina).


ANALITIKI NAIN SLAGANJA SILA

Projekcija vektora koja predstavlja geometrijski zbir vektora na bilo kojoj osijednaka je algebarskom zbiru projekcija komponentinih vektora na istu osu.

Neka je:1 2 3 4s a a a a

G G G G G

Tada je:1xa ab ; 2xa bc ;

3xa cd ; 4xa de ;

xs ae

Ako sada redomsaberemo prve 4 projekcije dobiemo:

1 2 3 4x x x x xa a a a ae s ime je prethodna teorema dokazana.

Ako uzmemo za isti sluaj za vei broj komponenata bie:

1

n

ii

s a

G G pa je onda1

n

ixi

s a

Sada ovu metodu moemo primeniti na sistem sila. Neka sistem sila1 2 3 4, , , ... nF F F F FG G G G G

bude odreen svojim projekcijama na koordinatne ose.

Glavni vektor tih sila je1

n

R ii

F F

G G pa prema prethodnom pravilu sledi:

1

n

R ii

X X

;1

n

R ii

Y Y

i1

n

R ii

Z Z

Kada znamo , ,R R RX Y Z onda znamo imamo:

2 2 2R R R RF X Z Z

cos RR

XF

; cos RR

YF

; cos RR

ZF


RAVNOTEA SISTEMA SUELJENIH SILA

Da bi telo bilo u ravnotei na njega je potrebno da deluje sistemuravnoteenih sila i da se telo prethodno nije kretalo.

GEOMETRIJSKI USLOVI RAVNOTEE

Da bi telo ostalo u ravnotei njegova rezultanta mora biti jednaka nuli, tj.poligon sila mora zavriti u poetnoj taki (da poligon bude zatvoren).

ANALITIKI USLOVI RAVNOTEE

Intenzitet rezultante sueljenih sila je 2 2 2R R R RF X Z Z . Da bi on ostaojednak nuli, svaki od sabiraka pod korenom mora biti jednak nuli.

0RX ; 0RY i 0RZ

A da bi svaki od ovih lanova bio jednak nuli onda

10

n

ii

X

;1

0n

ii

Y

i1

0n

ii

Z

Za ravnoteu prostornog sistema sueljenih sila, potrebno je i dovoljno, dasuma projekcija tih sila na svaku od 3 koordinatne ose bude jednaka nuli

Teorema o 3 sile: Ako se slobodno, kruto telo nalazi u ravnotei pod dejstvom3 neparalelnih sila koje lee u jednoj ravni onda napadne linije tih sila morajuda se seku u 1 taki

Ako u taki A deluju 2 sile, F1 i F2, da bisistem ostao u ravnotei, trea sila mora dadeluje na pravcu rezultujue sile prve dve,istim intenzitetom a suprotnim smerom.

MOMENT SILE


Kruto telo, pod dejstvom nekih sila, moe pored translatornog da ima irotaciono kretanje. Veliina koja karakterie obrtno dejstvo neke sile nazivase moment. Moment sile je proizvod sile i njenog kraka.

Neka sila FFFF deluje u taki A. Pretpostavimoda ova sila tezi da zaokrene telo oko neketake O. Normala h, sputena iz take O nanapadni pravac sile FFFF naziva se krakomsile.

U ovom sluaju moment je skalarna veliina.

Znak momenta odreuje se u po pravilu pozitivnog smera.

Osobine momenta:

1. Moment sile se ne menja pri pomeranjunapadne take du napadne linije.

2. Moment sile za neku taku je jednak nuliukoliko je1) 0F i/ili2) 0h

3. Brojna vrednost momenta ima vrednostdvostruke povrine trougla OAB

1 12 2

OABP AB h F h +

2 OABFoM P rG

+

Pozitivna orijentacija je suprotna od smerakazaljke na satu. Moment na donjoj slici je negativan.

VARINJONOVA TEOREMA

Moment rezultante ravnog sistema sueljenih sila za proizvoljnu taku jednakje algebarskoj sumi momenata komponenti za istu taku.


Moment sile F na taku O (zapisuje se kao FOMG

)jednak je dvostrukoj povrini osenenog trougla.

12 OABFOM P OA X G

+

1 1

n n

r i r ii i

F F X X

G

r iOA X X OA Pa se za moment rezultante Fr u taki o dobija:

F FiO OM M G G

MOMENTNE JEDNAINE ZA RAVAN SISTEM SUELJENIHSILA

Potrebni i dovoljni uslovi ravnotee ravnog sistema sueljenih sila su da sumamomenata u taki B svih sila Fi, kao i suma momenata u taki C svih sila Fi,bude jednaka nuli, pri emu su B i C bilo koje 2 take tela koje nisu na pravojkoja prolazi kroz napadnu taku(nisu na napadnoj liniji). Ukoliko nije ispunjenbar jedan od navedenih uslova sistem nije u ravnotei.

0FBM G

i 0FCM G

Ako bi se B i C nale na napadnom pravcu rezultantne sile moment bi u njimasvakako bio nula(krak sile bi bio jednak nuli a samim tim i moment) te ondane moemo govoriti o ravnotei tela.

Neophodnost ovih uslova se lako dokazuje.Recimo ako je 0FiBM z

G

to znaci da je i

0FrBM G

a to znaci da je 0rF z pa ne moebiti ni ravnotee.


RAVANI SISTEMI PARALELNIH SILA I SPREGOVA

SLAGANJE I RAZLAGANJE PARALELNIH SILA

Zadatak je da odredimo rezultantu paralelnih sila koje deluju na kruto telo.Ovde mogu da nastanu 2 sluaja: kada su obe sile usmerene u istu stranu ikada su sile usmerene u suprotne strane.

SLAGANJE DVEJU PARALELNIH SILA USMERENIH U ISTU STRANU

Kada imamo neparalelne sile u ravni onda se u preseku napadnih pravacanalazi taka kroz koji prolazi napadni pravac rezultante. U sluajuneparalelnih sila (iji se pravci ne seku) uvodimo sistem uravnoteujui sila(uravnoteeni sistem sila).

Ako imamo sistem paralelnih sila 1FG

i 2FG

koje deluju u istom pravcu i istomsmeru, rezultantnu silu nalazimo tako sto najpre uvedemo uravnoteeni sistemsila 1 'FG

i 2 'FG

, zatim izraunamo rezultantne sile( 1 ''FG

i 2 ''FG

) za sisteme 1FG

1 'FG

i

2FG

2 'FG

respektivno. U preseku napadnih linija rezultantnih sila 1 ''FG

i 2 ''FG

nalazi se taka kroz koju prolazi napadna linija rezultante poetnih sila 1FG

i 2FG

.

sa slike je lako uoljivo da je sila 2FG

vea od 1FG

te je i napadni pravac

rezultante blii 2FG

. Da bismo doli do tog podatka polazimo od slinostitrouglova:


1

1

'FACFOC

G

G i 2

2

'FBCFOC

G

G

znamo da je: 1 2' 'F F G G

te zakljuujemo : 1 2AC ' 'F BC F G G

Kako je AC BC AB i 1 2 rF F F onda dobijamo odnos

2 1 r

AC BC ABF F F

Zakljuak: Rezultanta dveju paralelnih sila koje deluju na kruto telo i koje suusmerene u istu stranu, jednaka je po intenzitetu zbiru intenziteta njenihkomponenti, paralelna im je i usmerena u istu stranu. Napadna linijarezultante prolazi izmeu napadnih taaka komponenata, a na rastojanju odtih taaka koja su obrnuto proporcionalna silama.

SLAGANJE DVEJU PARALELNIH SILA USMERENIH U SUPROTNE STRANE

Procedura je veoma slina pa emo samo zakljuiti da: rezultanta dvejuparalelnih sila koje deluju na kruto telo i koje su usmerene u suprotne strane jepo intenzitetu jednaka razlici intenziteta njenih komponenata, paralelna im jei usmerena je u stranu sile veeg intenziteta; napadna linija rezultante prolaziizvan pravolinijskog odseka koji spaja napadne linije sila koje slaemo, a narastojanjima od tih taaka obrnuto proporcionalno intenzitetima sila.

Ovde se moe desiti jedan specijalansluaj, da su paralelne sile jednake pointenzitetu a suprotne po smeru o emue biti vise reci u sledeem tekstu.

Razlaganje sila se vrsi na isti nain aliobrnutim procesom.

SPREG SILA

STATIKAPREDMET STATIKESILAURAVNOTEENI SISTEM SILA

AKSIOMI STATIKEVEZE I NJIHOVE REAKCIJEAKSIOM O VEZAMA

SISTEMI SUELJENIH SILAGEOMETRIJSKI NAIN SLAGANJA SISTEMA SUELJENIH SILA1. SLAGANJE SILA2. SLAGANJE TRI SILE KOJE NE LEE U ISTOJ RAVNI3. SLAGANJE SISTEMA SILA

RAZLAGANJE SILARAZLAGANJE SILE NA 2 ELJENA PRAVCARAZLAGANJE SILE U 3 PRAVCA.

PROJEKCIJA SILE NA OSUANALITIKI NAIN DEFINISANJA SILEANALITIKI NAIN SLAGANJA SILARAVNOTEA SISTEMA SUELJENIH SILAGEOMETRIJSKI USLOVI RAVNOTEEANALITIKI USLOVI RAVNOTEE

MOMENT SILEVARINJONOVA TEOREMAMOMENTNE JEDNAINE ZA RAVAN SISTEM SUELJENIH SILA

RAVANI SISTEMI PARALELNIH SILA I SPREGOVASLAGANJE I RAZLAGANJE PARALELNIH SILASLAGANJE DVEJU PARALELNIH SILA USMERENIH U ISTU STRANUSLAGANJE DVEJU PARALELNIH SILA USMERENIH U SUPROTNE STRANE

SPREG SILA

statika

Documents