1

สถต

• คว

ามหม

าย

• ปร

ะชากร

• ตว

อยาง

•

พารามเตอ

ร •

คาทางส

ถต

• สถ

ตเชงพร

รณนา

แหลงทม

าของขอ

มล

• แห

ลงปฐ

มภม

• แห

ลงทต

ยภม

ความถข

องการแจก

แจงขอม

ล

• แห

ลงปฐ

มภม

• แห

ลงทต

ยภม

พสย,อ

นตรภ

าคชน

,ขอบ

บน-ขอบ

ลาง,ค

วามก

วาง

ของอนต

รภาคชน

,คากงกล

างขอ

งอนต

รภาคชน

การวดค

ากลางของขอ

มล

• คาเฉลยเลขค

ณต

• มธ

ยฐาน

•

ฐานน

ยม

• คาเฉลยฮารโมน

ค •

คาเฉลยเรข

าคณต

•

คากงกล

างพส

ย

การห

าคาของขอ

มลท

ตาแห

นงตางๆ

• คว

อรไท

ล •

เดไซ

ล •

เปอรเซนไ

ทล

การวดก

ารกระจายขอ

งขอม

ล

• การวดก

ารกระจายสม

บรณ

• การวดก

ารกระจายสม

พทธ

การวดก

ารกระจายสม

บรณ

• พส

ย •

สวนเบย

งเบนค

วอไท

ล •

สวนเบย

งเบนเฉล

ย •

สวนเบย

งเบนม

าตราฐาน

การวดก

ารกระจายสม

พทธ

• ส.ป.ส.ขอ

งพสย

•

ส.ป.ส.สว

นเบย

งเบนค

วอไท

ล •

ส.ป.ส.สว

นเบย

งเบนเฉล

ย •

ส.ป.ส.ขอ

งความแ

ปรผน

โคงป

กต

• คามาตร

าฐาน

โจทย

ปญหา

คาคว

ามแป

รปรวน

2

สถตเบองตน

1. ความหมาย สถต หมายถง ศาสตรทเกยวของกบหลกการและระเบยบวธการทางสถต ซงประกอบดวยกระบวนการทสาคญ 4 อยาง คอ

1) การเกบรวบรวมขอมล 2) การนาเสนอขอมล 3) การวเคราะหขอมล 4) การตความหมายขอมล

สถตนนเกยวของกบตวเลข ซงตวเลขนอาจจะเกดจากการวด คดคานวณจากขอมลทเกบรวบรวมมาตามหลกเกณฑ เชน คะแนนเฉลยของวชาคณตศาสตรในการสอบเขามหาวทยาลยปทผานมา,สดสวนของผหญงไทยทชอบใชเครองสาอาง,ยอดรวมของสนคาไทยทสงออกไปตางประเทศในป พ.ศ./2555 เปนตน ขอมลสถต หมายถง ขอความหรอตวเลขทแสดงใหเหนถงสภาพหรอลกษณะของสงทเราสนใจ สามารถจาแนกไดเปน 4 ชนด คอ

1. ขอมลจาแนกตามปรมาณ 2. ขอมลจาแนกตามคณภาพ 3. ขอมลจาแนกตามกาลเวลา 4. ขอมลจาแนกตามภมศาสตร

3

2. คาสาคญทใชในวชาสถต 1) ประชากร(Population) หมายถง เซตของสงตางๆทเราตองการศกษาทงหมด เชน ถา

เราสนใจจะศกษาเกยวกบรายไดของคนไทย ประชากรกคอคนไทยทงประเทศ,ถาเราสนใจศกษายหอของรถยนตทใชในประเทศ ประชากรกคอรถยนตในประเทศทงหมด เปนตน

2) ตวอยาง(Sample) หมายถง สวนหนงของประชากรและเปนสวนทเราจะนามาหา ขอมล ถาเราไมสามารถหาขอมลจากประชากรได

3) พารามเตอร(Parameter) หมายถงคาตางๆทแสดงถงลกษณะของประชากร ซงคา ดงกลาวไดมาจากการคานวณ โดยใชขอมลจากประชากร ซงคาดงกลาวไดมาจากการคานวณโดยใช ขอมลจากประชากร เชน จากการคานวณปรากฏผลวา “รายไดของประชากรไทยทงประเทศในป 2554 โดยเฉลยตอคนตอปเทากบ 42,000 บาท” คาพารามเตอรกคอ 42,000 บาท เปนตน

4) คาสถต(Statistic) หมายถง คาตางๆทแสดงถงลกษณะของกลมตวอยาง คาสถตจะ มลกษณะเหมอนกบพารามเตอร จะตางกนกคอคาสถตนนเปนคาทคานวณไดจากกลมตวอยาง

5) สถตเชงพรรณนา คอ สถตทเกยวของกบกระบวนการทางสถตทง 4 อยาง และผลท ไดจากการนาขอมลมาวเคราะหกจะเปนผลทจะนาไปสรปเกยวกบขอมลทนามาวเคราะหนน ไมไดนาใชทานาย หรอ ตดสนใจเกยวกบประชากร

6) สถตเชงอนมาน คอ สถตทเกยวของกบกระบวนการทางสถตทง 4 อยาง และผลทไดจาก การนาขอมลมาวเคราะหนนตองนาไปทดสอบโดยใชหลกทางสถต เพอนาผลไปคาดคะเน ทานาย หรอตดสนใจเกยวกบประชากร 3. แหลงทมาของขอมล

1) แหลงปฐมภม(Primary Source) แหลงขอมลชนดนเปนแหลงตนตอ หรอเปนแหลงของขอมลทเกดจากการไปเกบรวบรวมขอมลดวยตนเอง

2) แหลงทตยภม(Secondary Source) แหลงขอมลชนดนไดมาจากการนาขอมลจากแหลงปฐมภมอน เพอนามาใช ไมไดเปนการเกบรวบรวมขอมลดวยตนเอง

4. การแจกแจงความถของขอมล การนาขอมลทประกอบดวยคาจากการสงเกต มาแจกแจงใหเปนระเบยบ เชน การเรยงลาดบขอมลจากนอยไปมาก , การจดขอมลออกเปนชวงๆ เปนตน แบงออกเปน 2 แบบ

4

1) การแจกแจงความถแบบเดยว เชน 1 , 2 , 2 , 2 , 3 , 3 , 4 , 4 , 5 เปนตน 2) การแจกแจงความถแบบกลม เชน

เปนตน

โดยเฉพาะการแจกแจงขอมลแบบกลม มคาศพททเราตองทราบดงน

1) อนตรภาคชน คอการแบงชวงของขอมลออกเปนชนๆ เชน 30-39,40-49, 50-59,… เปนตน

2) ขอบบน ขอบบนของอนตรภาคชนใด คอ คากงกลางระหวางคาทสงสดของอนตรภาคชน นน กบคาทตาสดของอนตรภาคชนทมคาสงกวาทอยถดไป

3) ขอบลาง ขอบลางของอนตรภาคชนใด คอ คากงกลางระหวางคาทตาสดของอนตรภาคชน นน กบคาทสงสดของอนตรภาคชนทมคาตากวาทอยถดไป

4) ความกวางของอตรภาคชน ความกวางของอนตรภาคชนใด คอ ผลตางระหวางขอบบน และขอบลางของชนนน

5) คากงกลางของอนตรภาคชน เสมอนเปนตวแทนของขอมลของอนตรภาคชนนน

คากงกลางของอนตรภาคชน = ขอบบน+ขอบลาง ตวอยาง เชน

1. ขอมลทมการแจกแจงความถแบบกลมดงชวงขอมลขางลางน สามารถหา ขอบบน, ขอบลาง,ความกวางของอนตรภาคชน,คากงกลางของอนตรภาคชน ไดดงน

ชวงขอมล ความถของขอมล 1-5

6-10 11-15 16-20

4 3 2 3

2

5

คะแนน ความถ ขอบลาง ขอบบน ความกวางของอนตรภาคชน

คากงกลางของอนตรภาคชน

30-39 40-49 50-59 60-69 70-79 80-89 90-99

11 12 16 23 17 11 10

29.5 39.5 49.5 59.5 69.5 79.5 89.5

39.5 49.5 59.5 69.5 79.5 89.5 99.5

10 10 10 10 10 10 10

34.5 44.5 54.5 64.5 74.5 84.5 94.5

5. การวดคากลางของขอมล

การวดคากลางของขอมล คอ การหาคาทจะใชเปนตวแทนของขอมลชดนน คากลางของ ขอมลม 6 ชนด คอ

1) คาเฉลยเลขคณต 2) มธยฐาน 3) ฐานนยม 4) คาเฉลยฮารมอนก 5) คาเฉลยเรขาคณต 6) คากงกลางพสย

5.1) คาเฉลยเลขคณต 5.1.1) กรณการแจกแจงขอมลแบบเดยว

ให 1 2 3, , ,..., nx x x x เปนขอมล n จานวน คาเฉลยเลขคณตเขยนแทนดวย x สามารถหาคาไดดงน

1 2 3 1...

n

nn i

xx x x xx

n n=+ + + +

= =∑

ตวอยาง เชน

1. กาหนดขอมลชดหนงม 3,4,6,13,8,2 ตามลาดบ จงหาคาเฉลยเลขคณตของขอมล ชดน วธทา

6

จาก 1 2 3 ... nx x x xx

n+ + + +

=

3 4 6 13 8 26

6

x

x

+ + + + +=

=

∴คาเฉลยเลขคณตเทากบ 6 5.1.2) กรณการแจกแจงขอมลแบบกลม ในกรณของขอมลทมการแจกแจงเปนอนตรภาคชน เราสามารถหาคาเฉลยเลขคณต ไดดงน

1 1 2 2 3 3 1 1

1 2 3

1

......

k k

i i i in n i i

kn

ii

f x f xf x f x f x f xx

f f f f Nf

= =

=

+ + + += = =

+ + + +

∑ ∑

∑

เมอ ix คอคากงกลางอนตรภาคชนท i

if คอความถของขอมลในอนตรภาคชนท i k คอจานวนอนตรภาคชน N คอจานวนขอมลทงหมด ตวอยาง เชน

1. จากตารางการแจกแจงความถของอายหลอดไฟจานวน 40 ดวง จงหาคาเฉลยเลขคณตของอายของหลอดไฟฟา

อาย(ชวโมง) จานวน 118-122 123-127 128-132 133-137 138-142 143-147

2 8

15 11 3 1

7

วธทา หาคากงกลางของแตละอนตรภาคชน ตามตารางขางลางน

อาย(ชวโมง) คากงกลาง ( )ix if i if x 118-122 123-127 128-132 133-137 138-142 143-147

120 125 130 135 140 145

2 8

15 11 3 1

240 1000 1950 1485 420 145

40 5240

1

k

i ii

f xx

N==∑

524040

131

=

=

∴คาเฉลยเลขคณตของอายหลอดไฟฟา เทากบ 131 ชวโมง

2. ในการสอบวชาสถต นกเรยนหอง ก. จานวน 20 คน สอบไดคาเฉลยเลขคณตเทากบ 75 คะแนน นกเรยนหอง ข จานวน 30 คน สอบไดคาเฉลยเลขคณตเทากบ 60 คะแนน นกเรยนหอง ค จานวน 25 คน สอบไดคาเฉลยเลขคณตเทากบ 65 คะแนน จงหาคาเฉลยเลขคณตของวชาสถตของนกเรยนทง 3 หอง วธทา

1) นกเรยนหอง ก

1

11

k

i ii

f xx

N==∑

8

1

11

7520

( ) 1500

k

i ii

k

i ii

f x

f x

=

=

=

=

∑

∑

2) นกเรยนหอง ข

12

2

1

21

6030

( ) 1800

k

i ii

k

i ii

k

i ii

f xx

N

f x

f x

=

=

=

=

=

=

∑

∑

∑

3) นกเรยนหอง ค

13

3

1

31

6525

( ) 1625

k

i ii

k

i ii

k

i ii

f xx

N

f x

f x

=

=

=

=

=

=

∑

∑

∑

4) หาคาเฉลยเลขคณตรวม

จาก 1

k

i ii

f xx

N==∑

9

x

1 2 31 1 1

1 2 3

( ) ( ) ( )k k k

i i i i i ii i i

f x f x f x

N N N= = =

+ +=

+ +

∑ ∑ ∑

x 1500 1800 1625

20 30 25+ +

=+ +

x 65.67=

∴คาเฉลยเลขคณตของวชาสถตของนกเรยนทงสามหอง เทากบ 65.67 คะแนน

3. กาหนดใหอตราสวนระหวางจานวนนกเรยนชายตอจานวนนกเรยนหญงของนกเรยนหอง หนงเทากบ 3:2 ถาคาเฉลยเลขคณตและคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนหองนทงหอง เทากบ 43 คะแนน และคาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบของนกเรยนชายมากกวาคาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบของนกเรยนหญงเทากบ 5 คะแนนแลว จงหาอตราสวนระหวางคาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบของนกเรยนชายตอคาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบของนกเรยนหญง วธทา กาหนดใหจานวนนกเรยนชายเปน 3k คน และ จานวนนกเรยนหญงเทากบ 2k คน

1) จาก 1

k

i ii

f xx

N==∑

1

1

1

433 2

43(5 )

215

k

i ii

k

i ii

k

i ii

f x

k k

f x k

f x k

=

=

=

=+

=

=

∑

∑

∑

รวม

รวม

รวม

10

2) และ 1

( )k

i ii

f xx

N= =∑

1

( )

3

k

i ii

f xx

k= =∑

1

( ) 3k

i ii

f x kx=

=∑

3) และ 1

( )k

i ii

f xx

N= =∑

1

( )

2

k

i ii

f xx

k= =∑

1

( ) 2k

i ii

f x kx=

=∑

4) จาก 1), 2) และ 3)

1 1 1

( ) ( ) ( )k k k

i i i i i ii i i

f x f x f x= = =

= +∑ ∑ ∑

215 3 2k kx kx= +

3 2 215x x + = ……………….. 1

5) จากโจทย 5x x − = ……………… 2

และ จากสมการ 1 และ 2 แกสมการโดย

นา 2 x2 2 10x x⇒ − 2 = …………… นา + 5 225x⇒ =

ชาย

ชาย

ชาย

ชาย ชาย

ชาย ชาย

หญง หญง

หญง หญง

หญง

หญง

หญง

หญง ชาย รวม

ชาย หญง

ชาย หญง

ชาย หญง

ชาย หญง

ชาย

3

3 1

11

45x = แทน 45x = ลงในสมการ 40x⇒ =

45 : 40 9 :8x x∴ : = = สมบตของคาเฉลยเลขคณต กาหนดให n = จานวนขอมลทงหมด

ix = ขอมลชดท 1 ตวท i , iy = ขอมลชดท 2 ตวท i x = คาเฉลยเลขคณตของขอมลชดท 1 y = คาเฉลยเลขคณตของขอมลชดท 2

1) 1

(n

ii

x x=

− ) = 0∑

2) 2

1(

n

ii

x k=

− )∑ มคานอยทสดเมอ k x=

3) ถา i iy ax b= + เมอ ,a b R∈ จะได y ax b= +

ตวอยาง เชน

1. ถา 1 2 3 10, , ,...,x x x x เปนขอมลชดท 1 ซง

102

1( i

ix M

=

− )∑ มคานอยทสด

เมอ 15M = แลว จงหา

10

1(2 5)i

ix

=

+∑

วธทา

จาก

102

1( i

ix M

=

− )∑ มคานอยทสด เมอ M x= แสดงวา 15x =

จาก 2 5 2 5i ix x+ = +

ชาย

ชาย 2 หญง

ชาย หญง

12

(2 5)2(15) 5

10(2 5)

3510

(2 5) 350

i

i

i

x

x

x

+= +

+=

+ =

∑

∑

∑

10

1(2 5) 350i

ix

=

∴ + =∑

5.2) มธยฐาน มธยฐาน คอ คาทมตาแหนงอยกงกลางของขอมลทงหมด เมอนาขอมลนนมาเรยงจากคานอยไปหาคามาก 5.2.1) กรณการแจกแจงขอมลเดยว เมอ N = จานวนขอมลทงหมด

ตาแหนงของมธยฐาน คอ ตาแหนงท 1

2N +

ตวอยาง เชน

1. ให 3,1,15,9,7 เปนขอมลชดหนง จงหาคามธยฐาน วธทา

1) นาขอมลชดนมาเรยงจากนอยไปหามาก 1 , 3 , 7 , 9 , 15 ขอมลมทงหมด 5 ตว

13

2) ตาแหนงมธยฐาน คอ 1 5 1 3

2 2N + +

= = 1 , 3 , 7 , 9 , 15

3) มธยฐานของขอมลชดนเทากบ 3

2. ให 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 15 เปนขอมลชดหนง จงหาคามธยฐาน

วธทา 1) ขอมลเรยงลาดบจาก นอย มาก แลว

1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 15

2) ตาแหนงมธยฐาน คอ 1 6 1 3.5

2 2N + +

= = ตาแหนงท 3.5 คอ ตาแหนงกงกลางของตาแหนงท 3 และ 4

1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 15

มธยฐาน คอ 5 7 12 6

2 2+

= =

5.2.2) กรณการแจกแจงขอมลกลม เมอ N = จานวนขอมลทงหมด

ตาแหนงของมธยฐาน คอ ตาแหนงท 2N

ขอมลตาแหนงท 3

ตาแหนงท 3 และ 4 ตามลาดบ

14

และมธยฐาน 2 L

M

N fMedian L I

f

⎛ ⎞−⎜ ⎟= + ⎜ ⎟

⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

เมอ L = ขอบลางของอนตรภาคชนทมมธยฐานอย

2N

= ตาแหนงมธยฐาน

Lf =∑ ผลรวมของความถของอนตรภาคชนทมคาตากวาอนตรภาคชนทมมธยฐานอย

Mf = ความถของอนตรภาคชนทมมธยฐานอย I = ความกวางของอนตรภาคชนทมมธยฐานอย ตวอยาง เชน

1. กาหนดตารางขอมลดงน จงหาคามธยฐาน

อาย(ชวโมง) จานวน 118-122 123-127 128-132 133-137 138-142 143-147

2 8

15 11 3 1

วธทา

1) หาตาแหนงมธยฐาน 40 20

2 2N

= = =

2) สรางขอมลความถสะสมเพมในตาราง

15

อาย(ชวโมง) ความถ ความถสะสม 118-122 123-127 128-132 133-137 138-142 143-147

2 8

15 11 3 1

2 10 25 36 39 40

3) 2 L

M

N fMedian L I

f

⎛ ⎞−⎜ ⎟= + ⎜ ⎟

⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

20 10127.5 (5)15

127.5 3.33130.83

−⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎝ ⎠

= +=

∴ มธยฐานของขอมลกลมชดนเทากบ 130.83

2. กาหนดตารางแจกแจงความถของคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนหองหนงดงน

คะแนน จานวน 16-18 19-21 22-24 25-27 28-30

5 2 3 6 4

จงหามธยฐานของคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนหองน วธทา

1) หาตาแหนงมธยฐาน 20 10

2 2N

= = =

2) สรางตารางขอมลความถสะสม

16

คะแนน ความถ ความถสะสม 16-18 19-21 22-24 25-27 28-30

5 2 3 6 4

5 7

10 16 20

ตาแหนงมธยฐานในชองความถสะสมอยในอนตรภาคท 3 พอด คอ ตาแหนงท 10 จงตอบคามธยฐานเทากบ คาขอบบนของชวงคะแนนในชนท 3 ซงเทากบ 24.5 หรอหาจากสตร

2 L

M

N fMedian L I

f

⎛ ⎞−⎜ ⎟= + ⎜ ⎟

⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

10 721.5 (3)3

21.5 324.5

−⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎝ ⎠

= +=

5.3) ฐานนยม

ฐานนยม คอ คาของขอมลทมความถสงสด

5.3.1) กรณการแจกแจงขอมลเดยว ขอมลทมการแจกแจงแบบเดยวอาจจะมคาของขอมลทมความถสสดมากกวา 1 คาได

ยกตวอยาง เชน 1. จงหาฐานนยมจากขอมลตอไปน

1.1) 5 , 6 , 6 , 8 , 8 , 8 , 9 , 10 ⇒ ฐานนยม คอ คาของขอมลทมความถสงสด

ตาแหนงท 10 อยในชนน

17

5 , 6 , 6 , 8 , 8 , 8 , 9 , 10 ∴ ฐานนยมของขอมลชดนเทากบ 8 1.2) 5 , 6 , 6 , 6 , 7 , 8 , 8 , 10 , 10 , 10 , 15 5 , 6 , 6 , 6 , 7 , 8 , 8 , 10 , 10 , 10 , 15 ∴ ฐานนยมของขอมลชดนเทากบ 6 และ 10 1.3) 2 , 5 , 5 , 6 , 6 , 7 , 7 , 8 , 9 , 10 2 , 5 , 5 , 6 , 6 , 7 , 7 , 8 , 9 , 10 ⇒ ขอมลชดน มขอมลทมความถสงสดคอเทากบ 2 อย 3 คา จะถอวาขอมลชดนไมมฐานนยม เพราะขอมลทมความถสสดมคาเกนกวา 2 คา 2. จงหาฐานนยมของขอมลตอไปน

ยหอรถยนต จานวน

ดทสน โตโยตา มาสดา ซตรอง

20 35 12 3

ขอมล 8 มความถสงสด คอความถเทากบ 3

ขอมล 6 มความถเทากบ 3 ขอมล 10 มความถเทากบ 3

ขอมล 5,6 และ 7 มความถเทากบ 2

18

⇒ ขอมล โตโยตา เปนขอมลทมความถสงทสด คอเทากบ 35 ∴ ฐานนยมของขอมลชดน คอ โตโยตา 5.3.2) กรณการแจกแจงขอมลกลม สามารถใชสตรหาฐานนยม(Mode) ไดดงน

1

1 2

dMode L Id d

⎛ ⎞= + ⎜ ⎟+⎝ ⎠

L = ขอบลางของอนตรภาคชนทมความถสงสด

1d = ผลตางระหวางความถของอนตรภาคชนทมความถสงสดกบความถของอนตรภาคชนทมคาตากวาทอยถดไป

2d = ผลตางระหวางความถของอนตรภาคชนทมความถสงสดกบความถของอนตรภาคชนทมคาสงกวาทอยถดไป หรอสามารถอธบายเปนกราฟไดดงน ตวอยาง เชน

1. จงหาฐานนยมของขอมลตอไปน

1d 2d

คาฐานนยม

19

อาย(ชวโมง) จานวน 118-122 123-127 128-132 133-137 138-142 143-147

2 8

15 11 3 1

วธทา

1) หาชนทมความถสงทสด

อาย(ชวโมง) ความถ 118-122 123-127 128-132 133-137 138-142 143-147

2 8

15 11 3 1

2) แทนคาสตร

1

1 2

dMode L Id d

⎛ ⎞= + ⎜ ⎟+⎝ ⎠

(15 8)127.5 (5)(15 8) (15 11)

7127.5 (5)7 4

127.5 3.18130.68

⎛ ⎞−= + ⎜ ⎟− + −⎝ ⎠

⎛ ⎞= + ⎜ ⎟+⎝ ⎠= +=

5.4) คาเฉลยฮารมอนก เปนคากลางชนดหนง มนยามดงน

ชนทมความถสงสด

20

คาเฉลยฮารมอนก(H.M) = 1 2

1 1 1...N

N

x x x+ + +

เมอกาหนดให 1 2 3, , ,...,

Nx x x x เปนขอมลทเปนจานวนบวก

ตวอยาง เชน 1. กาหนดขอมล 1,2,3,4 จงหาคาเฉลยฮารมอนกของขอมลชดน

วธทา

คาเฉลยฮารมอนก(H.M) = 4

1 1 1 11 2 3 4

+ + +

412 6 4 3

12425124825

=+ + +

=

=

2. นาย ก. ขบรถ 10 กโลเมตรแรกดวยความเรว 30 กโลเมตร/ชวโมง และใน 10

กโลเมตร ตอมา ดวยความเรว 40 กโลเมตร/ชวโมง เฉลยแลว นาย ก. ขบรถดวยความเรวกกโลเมตร/ชวโมง วธทา ความเรวเฉลย =

1) ขอมลความเรวเปนคาอตราสวนของระยะทางและเวลา โดยทตวเศษคอ ระยะทางคงท

ระยะทาง เวลา

21

การหาความเรวเฉลยในกรณนคอ การหาคาเฉลยฮารมอนกของความเรว

2)

คาเฉลยฮารมอนก = 1 2

1 1 1...N

N

x x x+ + +

21 130 4034.29

=+

=

∴ความเรวเฉลย เทากบ 34.29 กโลเมตร/ชวโมง 5.5) คาเฉลยเรขาคณต เปนคากลางชนดหนง มนยามดงน

คาเฉลยเรขาคณต(G.M) = 1 2 3N

Nx x x x⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

เมอกาหนดให 1 2 3, , ,...,N

x x x x เปนขอมลทเปนจานวนบวก ตวอยาง เชน

1. จงหาคาเฉลยเรขาคณตของ 2,4,8 วธทา

คาเฉลยเรขาคณต(G.M) = 1 2 3N

Nx x x x⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

3

3

(2)(4)(8)

644

=

==

22

5.6) คากงกลางพสย คากงกลางพสยเปนคากลางทสามารถหาไดรวดเรว แตเปนคาทไมละเอยด โดยมนยามดงน

คากงกลางพสย = max min

2x x+

เมอ maxx = คาสงสดของขอมล

minx = คาตาสดของขอมล ตวอยาง เชน

1. จงหาคากงกลางพสยของ 2,7,9,15,22 วธทา คาสงสดของขอมล คอ 22 คาตาสดของขอมล คอ 2

คากงกลางพสย = max min

2x x+

22 22

242

12

+=

=

=

6. การหาคาของขอมลทตาแหนงตางๆ

6.1) การหาควอไทล คอ การหาคาของขอมลทตาแหนงตางๆ เมอแบงขอมลออกเปน 4 สวนเทาๆกน และเรยงขอมลจากนอยไปหามาก แบงเปนขอมลทตาแหนง

⇒ ควอไทลท 1(Q1) คอ ขอมลทตาแหนงท 14 ของขอมลทงหมด

⇒ ควอไทลท 2(Q2) คอ ขอมลทตาแหนงท 24 ของขอมลทงหมด

23

⇒ ควอไทลท 3(Q3) คอ ขอมลทตาแหนงท 34 ของขอมลทงหมด

6.1.1) กรณการแจกแจงขอมลเดยว สามารถหาตาแหนงของควอไทลไดตามสตรดงน เมอ N = จานวนขอมลทงหมด

ตาแหนงของ Q1 = 1( 1)( )4

N +

ตาแหนงของ Q2 = 2( 1)( )4

N +

ตาแหนงของ Q3 = 3( 1)( )4

N +

ตาแหนงของ Qr = ( 1)( )4rN +

ตวอยาง เชน

1. จงหา Q1 จากขอมล 10,17,13,25,26,27 วธทา

1) นาขอมลมาเรยงจากนอยไปหามาก 10 , 13 , 17 , 25 , 26 , 27

2) หาตาแหนง Q1

ตาแหนงของ Q1 = 1( 1)( )4

N +

1(6 1)( )4

741.75

= +

=

=

24

3) หา Q1 10 , 13 , 17 , 25 , 26 , 27 หาตาแหนงท 1.75 โดยการเทยบบญญตไตรยางศดงน ตาแหนงหางกน 2-1=1 ตาแหนง คาของขอมลหางกน 13-10=3

ตาแหนงหางกน 1.75-1=0.75 ตาแหนง คาของขอมลหางกน 3 0.75 2.251

× = ∴คา Q1 เทากบ 10+2.25=12.25 6.1.2) กรณการแจกแจงขอมลกลม สามารถหาตาแหนงของควอไทลไดตามสตรดงน เมอ N = จานวนขอมลทงหมด

ตาแหนงของ Q1 = 1( )( )4

N

ตาแหนงของ Q2 = 2( )( )4

N

ตาแหนงของ Q3 = 3( )( )4

N

ตาแหนงของ Qr = ( )( )4rN

และสามารถหาคาของควอไทลไดดงน

( )4

r

L

rQ

rN fQ L I

f

⎛ ⎞−⎜ ⎟= + ⎜ ⎟

⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

ตาแหนงท 1 ตาแหนงท 2

ตาแหนงท 1.75 อยระหวางตาแหนงท 1 กบตาแหนงท 2

25

เมอ rQ = คาควอไทลท r L = ขอบลางของอนตรภาคชนทตากวาชนทมตาแหนงท rQ อย ทอยตดกน

Lf =∑ ความถสะสมจนถงอนตรภาคชนทตากวาชนทมตาแหนงท rQ อย

rQf = ความถในชนทมตาแหนงท rQ อย I = ความกวางของอนตรภาคชน ตวอยาง เชน

1. คะแนนสอบวชาเคมของนกศกษากลมหนงเปนดงน

คะแนน จานวนนกศกษา 21-30 31-40 41-50 51-60 61-70 71-80 81-90

2 5 8

24 10 10 1

จงหา 3Q 1) สรางตารางความถสะสม

คะแนน ความถ ความถสะสม 21-30 31-40 41-50 51-60 61-70 71-80 81-90

2 5 8

24 10 10 1

2 7

15 39 49 59 60

ตาแหนงของ Q3 = 3(60)( ) 454

=

26

2) หา Q3

จาก 3

3

3( )4 L

Q

N fQ L I

f

⎛ ⎞−⎜ ⎟= + ⎜ ⎟

⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

45 3960.5 (10)10

60.5 666.5

−⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎝ ⎠

= +=

6.2) การหาเดไซล คอการหาคาของขอมลทตาแหนงตางๆ เมอแบงขอมลออกเปน 10 สวนเทาๆกน และเรยงขอมลจากนอยไปหามาก แบงออกเปนขอมลทตาแหนง

⇒ เดไซลท 1(D1) คอ ขอมลทตาแหนงท 1

10 ของขอมลทงหมด

⇒ เดไซลท 2(D2) คอ ขอมลทตาแหนงท 2

10 ของขอมลทงหมด

. . .

. . .

. . .

⇒ เดไซลท 9(D9) คอ ขอมลทตาแหนงท 9

10 ของขอมลทงหมด

6.2.1) กรณการแจกแจงขอมลเดยว สามารถหาตาแหนงของเดไซลไดตามสตรดงน เมอ N = จานวนขอมลทงหมด

ตาแหนงของ D1 = 1( 1)( )

10N +

ตาแหนงของ D2 = 2( 1)( )

10N +

. . .

. . .

ตาแหนงของ D9 = 9( 1)( )

10N +

27

ตาแหนงของ Dr = ( 1)( )10rN +

ตวอยาง เชน

1. จงหา D4 ของขอมล 21,23,25,27,29,31,33 วธทา

1) หาตาแหนงท D4

⇒ ตาแหนง 44( 1)( )

10D N= +

4(7 1)( )10

3.2

= +

=

2) หาคา D4

21 , 23 , 25 , 27 , 29 , 31 , 33

หาตาแหนงท 3.2 โดยการเทยบบญญตไตรยางศดงน ตาแหนงหางกน 4-3=1 ตาแหนง คาของขอมลหางกน 27-25=2

ตาแหนงหางกน 3.2-3=0.2 ตาแหนง คาของขอมลหางกน 2 0.2 0.41

× = ∴คา D4 เทากบ 25+0.4=25.4 6.2.2) กรณการแจกแจงขอมลกลม สามารถหาตาแหนงของเดไซลไดตามสตรดงน เมอ N = จานวนขอมลทงหมด

ตาแหนงท 3 ตาแหนงท 4

ตาแหนงท 3.2 อยระหวางตาแหนงท 3 กบตาแหนงท 4

28

ตาแหนงของ Dr = ( )( )10rN

และสามารถหาคาของเดไซลไดดงน

( )10

r

L

rD

rN fD L I

f

⎛ ⎞−⎜ ⎟= + ⎜ ⎟

⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

เมอ rD = คาเดไซลท r L = ขอบลางของอนตรภาคชนทตากวาชนทมตาแหนงท rD อย ทอยตดกน

Lf =∑ ความถสะสมจนถงอนตรภาคชนทตากวาชนทมตาแหนงท rD อย

rDf = ความถในชนทมตาแหนงท rD อย I = ความกวางของอนตรภาคชน ตวอยาง เชน

1. คะแนนสอบวชาเคมของนกเรยนกลมหนง

คะแนน จานวนนกศกษา 21-30 31-40 41-50 51-60 61-70 71-80 81-90

2 5 8

24 10 10 1

จงหา 9D วธทา

1) สรางตารางความถสะสม

29

คะแนน ความถ ความถสะสม 21-30 31-40 41-50 51-60 61-70 71-80 81-90

2 5 8

24 10 10 1

2 7

15 39 49 59 60

ตาแหนงของ D9 = 9(60)( ) 54

10=

2) หา D9

จาก 9

9

9( )10 L

D

N fD L I

f

⎛ ⎞−⎜ ⎟= + ⎜ ⎟

⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

54 4970.5 (10)10

70.5 575.5

−⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎝ ⎠

= +=

6.3) การหาเปอรเซนไทล คอการหาคาของขอมลทตาแหนงตางๆ เมอแบงขอมลออกเปน 100 สวนเทาๆกน และเรยงขอมลจากนอยไปหามาก แบงออกเปนขอมลทตาแหนง

⇒ เปอรเซนไทลท 1(P1) คอ ขอมลทตาแหนงท 1

100 ของขอมลทงหมด

⇒ เปอรเซนไทลท 2(P2) คอ ขอมลทตาแหนงท 2

100 ของขอมลทงหมด

. . .

. . .

. . .

⇒ เปอรเซนไทลท 99(P99) คอ ขอมลทตาแหนงท 99

100 ของขอมลทงหมด

ชนทม D9 อย

30

6.3.1) กรณการแจกแจงขอมลเดยว สามารถหาตาแหนงของเปอรเซนไทลไดตามสตรดงน เมอ N = จานวนขอมลทงหมด

ตาแหนงของ Pr = ( 1)( )100

rN + ตวอยาง เชน

1. จงหา P35 ของขอมล 21,23,25,27,29,31,33 วธทา

1) หาตาแหนงท P35

⇒ ตาแหนง 3535( 1)( )

100P N= +

35(7 1)( )100

2801002.8

= +

=

=

2) หาคา P35

21 , 23 , 25 , 27 , 29 , 31 , 33

หาตาแหนงท 2.8 โดยการเทยบบญญตไตรยางศดงน ตาแหนงหางกน 3-2=1 ตาแหนง คาของขอมลหางกน 25-23=2

ตาแหนงหางกน 2.8-2=0.8 ตาแหนง คาของขอมลหางกน 2 0.8 1.61

× =

ตาแหนงท 2 ตาแหนงท 3

ตาแหนงท 2.8 อยระหวางตาแหนงท 2 กบตาแหนงท 3

31

∴คา P35 เทากบ 23+1.6=24.6 6.3.2) กรณการแจกแจงขอมลกลม สามารถหาตาแหนงของเปอรเซนไทลไดตามสตรดงน เมอ N = จานวนขอมลทงหมด

ตาแหนงของ Pr = ( )( )100

rN และสามารถหาคาของเปอรเซนไทลไดดงน

( )100

r

L

rP

rN fP L I

f

⎛ ⎞−⎜ ⎟= + ⎜ ⎟

⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

เมอ rP = คาเปอรเซนไทลท r L = ขอบลางของอนตรภาคชนทตากวาชนทมตาแหนงท rP อย ทอยตดกน

Lf =∑ ความถสะสมจนถงอนตรภาคชนทตากวาชนทมตาแหนงท rP อย

rPf = ความถในชนทมตาแหนงท rP อย I = ความกวางของอนตรภาคชน ตวอยาง เชน

1. คะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนกลมหนง เปนดงน

คะแนน จานวนนกศกษา 30-39 40-49 50-59 60-69 70-79 80-89 90-99

2 5 6

11 11 4 1

32

จงหา 80P วธทา

1) สรางตารางความถสะสม

คะแนน ความถ ความถสะสม 30-39 40-49 50-59 60-69 70-79 80-89 90-99

2 5 6

11 11 4 1

2 7

13 24 35 39 40

ตาแหนงของ P80 = 80(40)( ) 32

100=

2) หา P80

จาก 80

80

80( )100 L

P

N fP L I

f

⎛ ⎞−⎜ ⎟= + ⎜ ⎟

⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

32 2469.5 (10)11

69.5 7.2776.77

−⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎝ ⎠

= +=

7. การวดการกระจายของขอมล การวดการกระจายของขอมล เปนการหาคาทเปนตวแทนทแสดงใหเหนถงความแตกตางของขอมลในชดนนๆ การวดการกระจายของขอมล ม 2 วธ คอ

1) การวดการกระจายสมบรณ เปนการวดการกระจายของขอมลเพยงชดเดยว เพอตรวจสอบ ดวา ขอมลมความแตกตางกนมากนอยเพยงใด ม 4 วธดงน

ชนทม P80 อย

33

2) การวดการกระจายสมพทธ เปนการวดการกระจายของขอมลโดยใชอตราสวนของคาท ไดจากการวดการกระจายสมบรณกบคากลางของขอมลนนๆ เพอนาไปใชเปรยบเทยบการกระจายของขอมลแตละกลมวา กลมใดมการกระจายมากนอยกวากน ม 4 วธ ดงนคอ

8. การวดการกระจายสมบรณ 8.1) พสย (range) สามารถคานวณตามสตรดงน

พสย max minX X= − เมอ maxX = คาสงสดของขอมล

minX = คาตาสดของขอมล ตวอยาง เชน

1. ถาขอมลประกอบดวย 2 , 7 , 5 , 4 , 9 จงหาพสย วธทา

การวดการกระจายสมบรณ

พสย (range)

สวนเบยงเบนควอไทล (quartile deviation)

สวนเบยงเบนเฉลย (mean deviation)

สวนเบยงเบนมาตรฐาน (standard deviation)

การวดการกระจายสมพทธ

ส.ป.ส.ของพสย (Coefficient of

range)

ส.ป.ส.สวนเบยงเบนควอไทล (Coefficient of quartile deviation)

ส.ป.ส.สวนเบยงเบนเฉลย (Coefficient of

mean deviation)

ส.ป.ส.ของการแปรผน (Coefficient of

variation)

34

พสย max minX X= −

9 27

= −=

2. ถาขอมลประกอบดวย

คะแนน ความถ 10-19 20-29 30-39 40-49

2 5 3 2

จงหาพสย วธทา

พสย max minX X= −

49.5 9.540

= −=

8.2) สวนเบยงเบนควอไทล (quartile deviation) เราใชสญลกษณ Q.D. แทนสวนเบยงเบนควอไทล สามารถหาไดจากสตรดงน

3 1. .

2Q QQ D −

=

เมอ 3Q = คาควอไทลท 3 ของขอมล

1Q = คาควอไทลท 1 ของขอมล ตวอยาง เชน

1. จงหา Q.D. จากขอมล 21 , 23 , 25 , 27 , 29 , 31 , 33 วธทา

1) หา 1Q และ 3Q

35

⇒ ตาแหนงท 11( 1)( )4

Q N= +

1(7 1)( )4

2

= +

=

21 , 23 , 25 , 27 , 29 , 31 , 33

1 23Q∴ =

⇒ ตาแหนงท 33( 1)( )4

Q N= +

3(7 1)( )4

6

= +

=

21 , 23 , 25 , 27 , 29 , 31 , 33

3 31Q∴ =

2) หา Q.D.

3 1. .

2Q QQ D −

=

1Q (ตาแหนงท 2)

3Q (ตาแหนงท 6)

36

31 232

824

−=

=

=

∴สวนเบยงเบนควอไทล เทากบ 4

2. กาหนดขอมล

คะแนน ความถ 16-18 19-21 22-24 25-27 28-30

5 2 3 6 4

จงหา Q.D. วธทา

1) หา 1Q และ 3Q

คะแนน ความถ ความถสะสม 16-18 19-21 22-24 25-27 28-30

5 2 3 6 4

5 7

10 16 20

⇒ ตาแหนงท 11( )( )4

Q N=

1(20)( )4

5

=

=

⇒ ตาแหนงท 33( )( )4

Q N=

3(20)( )4

15

=

=

1Q อยในชนน

3Q อยในชนน

37

1 18.5Q⇒ =

3

3

3( )4 L

Q

N fQ L I

f

⎛ ⎞−⎜ ⎟⇒ = + ⎜ ⎟

⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

15 1024.5 (3)6

524.52

24.5 2.527

−⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎝ ⎠

= +

= +=

2) หา Q.D.

3 1. .

2Q QQ D −

=

27 18.52

8.52

4.25

−=

=

=

∴สวนเบยงเบนควอไทล เทากบ 4.25 8.3) สวนเบยงเบนเฉลย(mean deviation) เราใชสญลกษณ M.D. แทนสวนเบยงเบนเฉลย สามารถหาไดจากสตรดงน

1. .

n

ii

x xM D

n=

−=

∑

38

เมอ n = จานวนขอมลทงหมด

ix = ขอมลตวท i x = คาเฉลยเลขคณตของขอมล ตวอยาง เชน

1. ถาขอมลประกอบดวย 2 , 4 , 5 , 7 , 12 จงหา M.D. วธทา

1) หา x

1

n

ii

xx

n==∑

2 4 5 7 125

6

+ + + +=

=

2) หา M.D.

1. .

n

ii

x xM D

n=

−=

∑

2 6 4 6 5 6 7 6 12 65

4 2 1 1 65

2.8

− + − + − + − + −=

+ + + +=

=

∴สวนเบยงเบนเฉลยเทากบ 2.8

2. จากตารางขอมลอายหลอดไฟฟา จงหา M.D.

39

อาย(ชวโมง) จานวน 118-122 123-127 128-132 133-137 138-142 143-147

2 8

15 11 3 1

วธทา สรางขอมลในตารางเพมเตมดงน

ขอมล คากงกลาง(xi) fi fixi ix x− 118-122 123-127 128-132 133-137 138-142 143-147

120 125 130 135 140 145

2 8

15 11 3 1

240 1000 1950 1485 420 145

9 6 1 4 9

14 40 5240

1

n

ii

xx

n==∑

524040

131

=

=

40

1. .

n

ii

x xM D

n=

−=

∑

(9)(2) (6)(8) (1)(15) (4)(11) (9)(3) (14)(1)40

18 48 15 44 27 1440

16640

4.15

+ + + + +=

+ + + + +=

=

=

∴สวนเบยงเบนเฉลยเทากบ 4.15 8.4) สวนเบยงเบนมาตรฐาน(standard deviation) เราใชสญลกษณ S.D. แทนสวนเบยงเบนมาตรฐาน สามารถหาไดจากสตรดงน

( )2

1. .

n

ii

x xS D

n=

−=

∑ …………(1)

2

21. . ( )

n

ii

xS D x

n== −∑

…………(2)

เมอ n = จานวนขอมลทงหมด

ix = ขอมลตวท i x = คาเฉลยเลขคณตของขอมล

41

ตวอยาง เชน 1. ถาขอมลประกอบดวย 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 จงหา S.D.

วธทา 1) หา x

1

n

ii

xx

n==∑

2 4 6 8 10 126

7

+ + + + +=

=

2) หา S.D. วธท 1

( )2

1. .

n

ii

x xS D

n=

−=

∑

2 2 2 2 2(2 7) (4 7) (8 7) (10 7) (12 7)6

25 9 1 9 256

706

3.42

− + − + − + − + −=

+ + + +=

=

=

วธท 2

2

21. . ( )

n

ii

xS D x

n== −∑

42

2 2 2 2 2 22[2 4 6 8 10 12 ] 7

6+ + + + +

= −

[4 16 36 64 100 144] 496

364 496

706

3.42

+ + + + += −

= −

=

=

2. จากตารางขอมลอายหลอดไฟฟา จงหา S.D.

อาย(ชวโมง) จานวน 118-122 123-127 128-132 133-137 138-142 143-147

2 8

15 11 3 1

วธทา

1) จากตวอยางทแลว 131x = 2) หา S.D. – สรางขอมลเพมเตมลงในตาราง

ขอมล คากงกลาง(xi) fi ( )2

ix x− ( )2i if x x−

118-122 123-127 128-132 133-137 138-142 143-147

120 125 130 135 140 145

2 8

15 11 3 1

81 36 1

16 81 196

162 288 15 176 243 196

1080

43

( )2

1. .

n

ii

x xS D

n=

−=

∑

108040

275.2

=

==

∴สวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 5.2

9. ความแปรปรวน ความแปรปรวน คอ สวนเบยงเบนมาตรฐานยกกาลงสอง เราใชสญลกษณ (S.D.)2 หรอ S2 แทนความแปรปรวน

2

2 1( )

. .

n

ii

x xS D

n=

−=

∑

2

2 21. .

n

ii

xS D x

n== −∑

10. การวดการกระจายสมพทธ 10.1) สมประสทธของพสย

สมประสทธของพสย max min

max min

X XX X

−=

+

44

เมอ maxX = คาสงสดของขอมล

minX = คาตาสดของขอมล 10.2) สมประสทธสวนเบยงเบนควอไทล

สมประสทธสวนเบยงเบนควอไทล 3 1

3 1

Q QQ Q

−=

+

เมอ 3Q = คาควอไทลท 3 ของขอมล

1Q = คาควอไทลท 1 ของขอมล 10.3) สมประสทธสวนเบยงเบนเฉลย

สมประสทธสวนเบยงเบนเฉลย . .M Dx

=

เมอ . .M D = สวนเบยงเบนเฉลย x = คาเฉลยเลขคณตของขอมล 10.4) สมประสทธการแปรผน

สมประสทธการแปรผน . .S Dx

=

เมอ . .S D = สวนเบยงเบนมาตรฐาน x = คาเฉลยเลขคณตของขอมล

45

11. การกระจายขอมลแบบโคงปกต

มลกษณะดงน 11.1) ลกษณะของโคงการกระจายของขอมลเปนแบบสมมาตรกบแกนตง โดยทแกน

สมมาตรนนคอ คา x เชน

11.2) เสนโคงปกตทมคาเฉลย x เทากน แตคาการกระจาย S.D. ตางกน มลกษณะกราฟดงน

11.3) เสนโคงปกตทมคาเฉลย x ตางกน แตคาการกระจายตว S.D. เทากน มลกษณะกราฟดงน

0x = 3x =

x

. .S D นอยกวา

. .S D มากกวา

1x 2x

. .S D เทากน

46

11.4) พนทใตเสนโคงปกต จะเทากบ จานวนปรมาณขอมลทงหมด 11.5) เปอรเซนตของขอมฦลทอยในชวงการกระจายตวตางๆ

11.6) โคงปกตมาตรฐาน คอ ขอมลทมการกระจายตวแบบโคงปกต และมคา 0x =

และ . . 1S D =

พนท = จานวนขอมลทงหมด

x x s+ 2x s+ 3x s+ x s+ 2x s+ 3x s+

68.27%

95.45%

99.73%

พนทใตเสนโคงปกต = 1 0 , . . 1x S D= =

0x =

47

11.7) คามาตรฐาน เขยน แทนดวยสญลกษณ z คอ ขอมลทมการกระจายแบบโคงปกต เราสามารถหาคามาตรฐาน (z) ของขอมลนนไดดงน

. .x xzS D

−=

เมอ z = คามาตรฐานของขอมลนน x = ขอมลตวทตองการหาคามาตรฐาน x = คาเฉลยเลขคณตของขอมล . .S D = สวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมล 11.8) จากคามาตรฐาน (z) เราสามารถหาพนทใตเสนโคงปกตของคา z นนๆไดจากการเปดตารางคา z ซงสามารถนาไปใชหาคาเกยวกบจานวนขอมล หรอ ตาแหนงของขอมลนนๆได ตวอยาง เชน

1. นายเอกชยสอบวชาสถตได 51 คะแนน สอบวชาเคมได 45 คะแนน สอบวชา ภาษาองกฤษได 52 คะแนน โดยทแตละวชามคะแนนเตม 100 คะแนน ถาคะแนนเฉลยเลขคณตและสวนเบยงเบนมาตรฐานของวชาสถต เคม และภาษาองกฤษ มคา 48,42,48 และ 3,2,5 ตามลาดบ จงพจารณาวาผลสอบของนายเอกชยวชาใดไดผลดกวากน วธทา

1) นาคะแนนสอบแตละวชาของนายเอกชยมาหาคา z

วชาสถต

1

1

1

48. 3

51

. .51 48

31

xS Dx

x xzS D

z

z

==

=−

=

−=

=

วชาเคม

2

2

2

42. 2

45

. .45 42

21.5

xS Dx

x xzS D

z

z

==

=−

=

−=

=

วชาภาษาองกฤษ

3

3

1

48. 5

52

. .52 48

50.8

xS Dx

x xzS D

z

z

==

=−

=

−=

=

48

2) เปรยบเทยบคา z

3 1 2z z z< < ∴นายเอกชยสอบ วชาเคม ไดดทสด รองลงมาคอ วชาสถต และ ภาษาองกฤษ ตามลาดบ

2. นกเรยนชายจานวน 500 คน มคาเฉลยเลขคณตของนาหนกเทากบ 151 ปอนด และ สวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 15 ปอนด ถาการแจกแจงขอมลนาหนกเปนเสนโคงปกต จะมนกเรยนอยเทาใดมนาหนกอยระหวาง 119.5 ปอนด ถง 155.5 ปอนด (กาหนดใหพนทใตโคงปกตระหวาง z=0 ถง z=0.30 เทากบ 0.1179 และพนทใตโคงปกตระหวาง z=0 ถง z=2.10 เทากบ 0.4821) วธทา

1) จากขอมลนาหนกท 119.5 ปอนด และ 155.5 ปอนด นามาหาคามาตรฐาน 151 , . . 15x S D= =

2) หาพนทใตโคงปกต ระหวาง z=-2.10 ถง z=0.30

นาหนก 119.5

119.5

119.5

. .119.5 151

152.10

x xzS D

z

z

−=

−=

= −

นาหนก 155.5

155.5

155.5

. .155.5 151

150.30

x xzS D

z

z

−=

−=

=

0.30 2.10−

0.1179 0.4821

49

พนทใตโคงปกตระหวาง z=-2.10 ถง z=0.30 เทากบ 0.4821+0.1179 = 0.6 ∴ มนกเรยนทมนาหนกระหวาง 119.5 ปอนด ถง 155.5 ปอนด จานวน = (0.6)(500) = 300 คน

3. นายสขสบาย ชอบคณต สอบวชาภาษาองกฤษไดเปอรเซนตไทลท 99.18 โดยทคาเฉลย เลขคณตของคะแนนสอบเทากบ 65 และสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 5 ถานกเรยนทสอบวชาภาษาองกฤษม 200 คน จงหาจานวนนกเรยนทสอบไดคะแนนมากกวา 77 คะแนน (กาหนดใหพนทใตโคงปกต ระหวาง z=0 ถง z=2.40 เทากบ 0.4918) วธทา

1) หาคามาตรฐาน z ของคะแนน 77 คะแนน

. .x xzS D−

=

77 655

125

2.4

−=

=

=

2) พจารณาพนทใตโคงปกตระหวาง z=0 ถง z=2.40

พนทใตโคงปกตท z>2.40 = 0.50-0.4918 = 0.0082

∴ มนกเรยนทไดคะแนนมากกวา 77 คะแนนจานวน = (0.0082)(200)=1.64 2≈ คน

2.40

0.4918

พนททโจทยตองการ

50

แบบฝกหด

1. จงเตมขอมลของตารางแจกแจงความถตอไปนใหสมบรณ

อนตรภาคชน

ความถ(f)

ความถสะสม

ความถสะสมสมพทธ

รอยละความถสะสมสมพทธ

ขอบลาง ขอบบน จดกงกลางชน

5-9 10-14 15-19 20-24 25-29

2 4 8 5 1

51

2. ขอมลคะแนนสอบของนกเรยน 20 คนในหอง ก และ ข ไดแก ก 158 162 164 161 150 148 180 156 145 158 ข 180 163 160 158 162 167 181 175 175 172 จงเขยนแผนภาพตน-ใบของนกเรยนหอง ก และหอง ข

3. จงเตมขอมลของตารางแจกแจงความถตอไปนใหสมบรณ อนตรภาค

ชน ความถ(f)

ความถสะสม

ความถสะสมสมพทธ

รอยละความถสะสมสมพทธ

ขอบลาง ขอบบน จดกงกลางชน

40-44 45-49 50-54 55-59 60-64 65-69

5 7 9 8 7 4

52

4. จงหาคาเฉลยเลขคณตของขอมลดบตอไปน 2 , 3 , 3 , 5 , 6 , 5 , 8 , 8

5. จากตารางแจกแจงความถของนาหนก(กโลกรม) ของนกเรยนชายหองหนง จงหานาหนกเฉลยของนกเรยนชายหองน

นาหนก(กโลกรม) จานวน(คน) 60-62 5 63-65 8 66-68 42 69-71 27 72-74 18

53

6. ผลการสอบคณตศาสตรของนกเรยนหองหนงปรากฏผลดงตาราง จงหาคะแนนสอบเฉลยของนกเรยนหองน

คะแนนสอบ จานวนนกเรยน 30-39 8 40-49 18 50-59 12 60-69 7 70-79 5

54

7. นกศกษาคนหนง ลงทะเบยนเรยนวชาตางๆ และไดผลการเรยนดงตาราง จงหาเกรดเฉลยของนกศกษาคนน

วชา หนวยกจ เกรดทได ฟสกส 4 1 เคม 4 3

ชววทยา 3 3 ภาษาองกฤษ 2 2

8. ผลการสอบวชาเคมของนกเรยน 2 กลม ปรากฏผลดงตาราง จงหาคะแนนสอบเฉลยของนกเรยนทงสองกลมน

จานวนคน คาเฉลยเลขคณต กลมท 1 5 18 กลมท 2 7 12

55

9. นกเรยนหองหนงมนกเรยนทงหมด 24 คน เปนนกเรยนชาย 16 คน โดยสวนสงเฉลย ของนกเรยนชายและนกเรยนหญง คอ 172 และ 158 เซนตเมตร ตามลาดบ จงหาสวนสงเฉลยของนกเรยนหองน

10. นกเรยนหองหนงสอบวชาคณตศาสตรไดคะแนนเฉลยเลขคณตเทากบ 40 คะแนน ถานกเรยนชายสอบไดคะแนนเฉลยเลขคณต 35 คะแนน และนกเรยนหญงสอบไดคะแนนเฉลยเลขคณต 50 คะแนน อตราสวนของนกเรยนชายตอนกเรยนหญงเทากบเทาใด

56

11. ตารางแจกแจงความถสะสมของคะแนนสอบของนกเรยน 100 คน เปนดงน

คะแนน จานวนนกเรยนสะสม 20-29 2 30-39 11 40-49 24 50-59 44 60-69 74 70-79 89 80-89 99 90-99 100

จงหา คาเฉลยเลขคณต มธยฐาน และฐานนยมของคะแนนสอบ

57

12. ขอมลนาหนก(กก) ของนกเรยน 9 คน เปนดงน 40 , 45 , 46 , 46 , 50 , 51 , 49 , 52 , 42

ใหหาคาเฉลยเลขคณต มธยฐาน และฐานนยมของขอมลชดดงกลาว

13. ขอมลนาหนก(กก) ของนกเรยน 10 คน เปนดงน 40 , 45 , 46 , 46 , 50 , 51 , 49 , 52 , 42 , 50

ใหหาคาเฉลยเลขคณต มธยฐาน และฐานนยมของขอมลชดดงกลาว

58

14. ตารางแจกแจงความถของคะแนนสอบของนกเรยนจานวน 100 คน เปนดงน

คะแนน จานวนนกเรยน 20-29 30-39 40-49 50-59 60-69 70-79 80-89 90-99

2 9

13 20 30 15 10 1

จงหาคาเฉลยเลขคณต มธยฐาน และฐานนยมของคะแนนสอบ

59

15. นกเรยน 3 คน มความสงเฉลย 156 เซนตเมตร มธยฐาน 155 เซนตเมตร และพสยเทากบ 11 นกเรยนคนทสทสดมสวนสงเทาใด

16. ขอมลชดหนงเปนดงน 5 , 5 , 5 , x , 8 , 8 , 8 , 15 , 15 และ 15

ถาคาเฉลยของขอมลชดนเทากบ 8.9 ฐานนยมของขอมลชดนเทากบเทาใด

60

17. นกเรยนกลมหนงเปนนกเรยนหญง 30 คน นกเรยนชาย 20 คน พบวานาหนกเฉลยของนกเรยนหญงเปน 42 กโลกรม แตทราบภายหลงวาเจาหนาทชงนาหนกจดบนทกนาหนกของนดและเอกผดพลาดดงน จดนาหนกของนดขาดไป 5 กโลกรมและจดนาหนกของเอกเกนไป 3 กโลกรม นาหนกเฉลยทแทจรงของนกเรยนทงหมดเปนเทาใด

18. นาหนกของนกเรยน 20 คน เปนดงน 45 48 50 52 49 51 53 47 60 56 55 62 49 58 51 65 44 46 50 52

18.1) พสยของนาหนกมคาเทากบเทาใด 18.2) อนตรภาคชนท 44-50 มความถเทากบเทาใด 18.3) ถาสรางตารางแจกแจงความถใหอนตรภาคชนแรกเปน 44-48 จะมทงหมดกอนตรภาคชน

61

19. ขอมลชดหนงเรยงคาจากมากไปหานอยดงน 20 , 20 , x , 15 , 15 , 12 , 10 , 10 , 10 , 8 , 8 , 4 ถาคาเฉลยเลจคณตมากกวามธยฐานอย 1.5 แลวคา x มคาเทาใด

21. ขอมลชดหนงเรยงคาจากมากไปหานอยดงน 3 , 3 , 3 , 3 , a , 5 , 5 , 5 , 6 , 6 , 6 , b ถาฐานนยมม 2 คา และไมเทากบ 6 คาเฉลยเลขคณตเทากบ 5 จงหาคาของ a และ b

62

22. ผลการสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนชนมธยมศกษาปท 5 ดงน

คะแนน ความถ(คน) 50-59 60-69 70-79 80-89 90-99

4 7

15 8 6

22.1) จงหาคา Q2

22.2) จงหาคา D7

22.3) จงหาคา P90

63

23. คาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบของนกเรยน 10 คน เปน 65 คะแนน ถานกเรยน 7 คนแรก มคะแนนสอบดงน 55 , 43 , 67 , 80 , 85 , 74 , 38 คะแนน สวนอก 3 คน มคนไดคะแนนเทากน 2 คน และมากกวาอกคนหนงอย 11 คะแนน จงหามธยฐาน และฐานนยมของคะแนนสอบของนกเรยน 10 คนน 24. ครอบครวหนงมบตร 5 คน คนโตอาย 15 ป คนสดทองอาย 4 ป คาเฉลยอายบตรทกคนเปน 11 ป มธยฐานเปน 12 ป หากบตรคนท 4 อายนอยกวาคนท 2 อย 4 ป ใหหาคาเฉลยของอายบตรในอก 3 ปขางหนา

64

25. ความสมพนธระหวางกาไร(y) และราคาทน(x) ของสนคาชนดหนงเปน y=7+0.25x ถาราคาทนของสนคา 5 ชน เปน 32 , 48 , 40 , 56 , 44 บาทแลวใหหาคาเฉลยเลขคณตของกาไรของสนคา 5 ชนน 26. ขอมลชดหนงม 11x = ถามขอมลคา 29 เพมอกตว จะทาให 13x = ใหหาวาเดมมขอมลกตว

65

27. ขอมล N จานวน มคาเฉลยเลขคณตเปน 15 ภายหลงพบวาอานขอมลผดคอจาก 21 อานผดเปน 12 จงทาการหาคาเฉลยเลขคณตใหมไดเปน 16 ใหหาจานวนขอมล 28. นาหนกเฉลยของนกเรยนชายเปน 70 กก. นกเรยนหญงเปน 55 กก. และนาหนกเฉลยขงนกเรยนทงหมด 150 คน เปน 60 กก. ใหหาจานวนนกเรยนชายและจานวนนกเรยนหญง

66

29. อายของเดกกลมหนงมการแจกแจงดงน ถามธยฐานเปน 7 ป แลว a มคาเทาใด อาย(ป) 1-3 4-6 7-9 10-12 จานวนเดก 3 a 6 4 30. ตารางตอไปนแสดงรายจายตอเดอนของครอบครวจานวน 100 ครวเรอน หากมธยฐานเปน 49.5 แลว คาของ f1 และ f2 เปนเทาใด รายจาย(รอยบาท) 0-19 20-39 40-59 60-79 80-99 จานวนครวเรอน 14 f1 28 f2 15

67

31. จากตารางแจกแจงความถจงหาฐานนยม

อนตรภาคชน ความถ 5-9

10-14 15-19 20-24 25-29 30-34

3 7 6 7 4 3

32. จากตารางแจกแจงความถจงหาฐานนยม

อนตรภาคชน ความถ 2-5 6-9

10-13 14-17 18-21

2 6 6 4 2

68

33. ขอมลนาหนก(กก.) ของนกเรยน 9 คนเปนดงน 40 , 45 , 46 , 46 , 50 , 51 , 49 , 52 , 42 ใหหาคามธยฐาน ควอไทลท 3 และเปอรเซนไทลท 14 ของขอมลชดดงกลาว 34. จากการสารวจนาหนกของนกเรยนไดผลดงตารางใหหาเดไซลท 6 และเปอรเซนไทลท 92

นาหนก(กก.) จานวน(คน) 31-40 41-50 51-60 61-70 71-80 81-90

3 7

24 10 5 1

69

35. ผลการสอบของนกเรยน 40 คน เปนดงตาราง หากอาจารยตองการตดเกรดเพยง 3 เกรด คอ A,B และ F โดยตองการใหเกรด A มจานวนนกเรยน 20% เกรด B มจานวน 40% และทเหลอไดเกรด F ถามวาจะตองตดเกรดทคะแนนเทาใด และหากได 71 คะแนนจะไดเกรดใด

คะแนน จานวนคน 30-39 40-49 50-59 60-69 70-79 80-89 90-99

2 5 6

11 11 4 1

70

36. กาหนดคาจางรายวนของคนงานกลมหนงมการแจกแจงดงตาราง ถาขอมลชดนมคาเปอรเซนไทลท 25 เปน 100.5 บาท และควอไทลท 3 เปน 110.5 บาทแลว จานวนคนงานทไดคาจางรายวนตากวา 105.5 บาท เทากบเทาใด

คาจาง(บาท) จานวนคน 81-85 86-90 91-95

96-100 101-105 106-110 111-115 116-120

1 3 X 5 8 Y 10 4

71

37. จากตารางแจกแจงความถตอไปน จงหาคาขอมลทตรงกบตาแหนง P60

คะแนนสอบ จานวน

40-49 8 50-59 12 60-69 40 70-79 48 80-89 8 90-99 4

38. ตารางตอไปน แสดงคะแนนสอบของนกเรยน 30 คน จงหา P40

คะแนน จานวนนกเรยน 10-14 15-19 20-24 25-29 30-34

3 7

10 8 2

72

39. อายของสมาชกในครอบครวหนงซงม 5 คน ไดแก 15 , 35 , 35 , 35 , 55 ป ใหหาคาการกระจายของขอมลชดน 35.1) พสย 35.2) สวนเบยงเบนควอไทล 35.3) สวนเบยงเบนเฉลย 35.4) สวนเบยงเบนมาตรฐาน

73

40. จากตารางแจกแจงความถตอไปน จงหา คะแนน ความถ 10-14 15-19 20-24 25-29 30-34

3 7 10 8 2

40.1) พสย 40.2) สวนเบยงเบนควอไทล 40.3) สวนเบยงเบนเฉลย 40.4) สวนเบยงเบนมาตรฐาน

74

41. กาหนดขอมลเปน 3 , 5 , 7 , 9 , 11 จงหาความแปรปรวนของขอมลชดน 42. ขอมลชดหนงมทงหมด 6 จานวน มคาเฉลยเลขคณตเทากบ 5 และสวนเบยงเบนมาตรฐาน

มคาเทากบ 5 จงหาผลรวมของกาลงสองของขอมลทกตว

75

43. คาเฉลยเลขคณตของอายคนกลมหนงเปน 27 ป สวนเบยงเบนมาตรฐานของอายคนกลมนมคา 3.75 ป อยากทราบวก 5 ปขางหนา สวนเบยงเบนมาตรฐานของอายคนกลมนจะมคาเทากบเทาใด 44. กาหนดขอมล 2 ชด ดงน ชดท 1: 6 , 12 , 9 , 10 , 6 , 8 ชดท 2: 60 , 64 , 56 , 70 , 52 , 63 จงเปรยบเทยบการกระจายของขอมล 2 ชดน

76

45. ขอมล 2 ชด มคาเฉลยเลขคณต และสวนเบยงเบนมาตรฐาน ดงน ชดท 1 มคาเฉลยเลขคณตเทากบ 15 , มสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 3 ชดท 2 มคาเฉลยเลขคณตเทากบ 20 , มสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 5 อยากทราบวาขอมลชดใดมการกระจายนอยกวา 46. ในการทดสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนกลมหนง สมประสทธของการแปรผนเปน 30% และความแปรปรวนของคะแนนสอบเปน 81 คะแนน จงหาคาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบน

77

47. ในขอมลชดหนง ถาสมประสทธของพสยมคาเทากบ 0.2 และขอมลทมคานอยทสดเทากบ 30 แลว ขอมลทมคามากทสดมคาเทาใด 48. ขอมลชดหนงมสมประสทธการแปรผนเทากบ 28% ความแปรปรวนเทากบ 49 สวนเบยงเบนเฉลยเทากบ 4.5 แลว สมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลยมคาเทาใด

78

49. ในการสอบครงหนง คาเฉลยเลขคณตและความแปรปรวนของคะแนนสอบของนกเรยนเปน 14 คะแนน และ 1.4 คะแนน2 ตามลาดบ จงหาคาเฉลยเลขคณตและความแปรปรวนเมอ 49.1) ผสอนเพมคะแนนเกบใหกบทกคน คนละ 5 คะแนน 49.2) หากผสอนปรบคะแนนเตมจากเดม 20 คะแนน เปน 60 คะแนน

79

50. ถาคะแนนสอบวชาเคมมการแจกแจงแบบปกต โดยมคะแนนเฉลยและความแปรปรวนเปน 60 และ 25 ตามลาดบ และผสอบผานตองไดไมนอยกวา 54 คะแนน สมมตวา นาย ก ข และ ค ทราบวาตนเองไดคะแนนอยในเปอรเซนไทลท 10 , 15 และ 33 ตามลาดบ จงหาวานาย ค สอบไดคะแนนเทาใด และนกเรยนทงสามคนนใครสอบผานบาง กาหนดใหตารางแสดงพนทใตโคงปกตตงแตคามาตรฐาน 0 ถง z ดงน z 0.35 0.40 0.44 1.20 พนท 0.1368 0.1554 0.1700 0.3849

80

51. ในการสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนหองหนง ปรากฏวาคาเฉลยเลขคณตและสวนเบยงเบนมาตรฐาน เปน 60 และ 10 คะแนน ตามลาดบ โดยทนาย ก ไดคะแนนคดเปนคามาตรฐานกบ 1.3 และนาย ข ไดคะแนนนอยกวานาย ก อย 8 คะแนน นาย ข สอบไดกคะแนน 52. คะแนนสอบวชาคณตศาสตรมคาเฉลยเลขคณตเทากบ 64 คะแนน และการแจกแจงเปนรปปโคงระฆง ถามนกเรยนสอบไดมากกวา 80 คะแนนอย 15.87% และพนทใตโคงปกตระหวาง z=0 ถง 1 เทากบ 0.3413 แลวสมประสทธการแปรผนของคะแนนสอบนเปนเทาใด

81

53. จากตารางคา z z A z A z A z A

0.00 0.44 0.50 0.67 0.71

0.0000 0.1700 0.1915 0.2500 0.2612

0.72 0.84 1.00 1.12 1.19

0.26420.30000.34130.36860.3830

1.20 1.25 1.29 1.50 1.56

0.38490.39440.40000.43300.4400

1.96 2.00 2.03 2.50 3.00

0.47500.47730.47880.49380.4987

ใหหาพนทใตโคงปกตมาตรฐาน ในชวงคา z ตอไปน 53.1) z=0 ถง 1.12 53.2) z=0 ถง -2.03 53.3) z=-1.19 ถง 2 53.4) z=2 ถง 3 53.5) z<-1.19

82

54. ขอมลความสงของนกเรยนชน ม.6 ของโรงเรยนแหงหนงมการแจกแจงปกต ถาจานวนนกเรยนทมความสงนอยกวา 140.6 เซนตเมตร มอย 3.01% และจานวนนกเรยนทมความสงมากกวาคามธยฐานแตนอยกวา 159.4 เซนตเมตร มอย 46.99% แลวจานวนนกเรยนทมความสงไมนอยกวา 155 เซนตเมตร แตไมเกน 160 เซนตเมตร มเปอรเซนตเทากบเทาใด เมอกาหนดตารางแสดงพนทใตเสนโคงปกต มาตรฐานระหวาง 0 ถง z เปนดงน

z 1.00 1.12 1.88 2.00 พนทใตเสนโคง 0.3413 0.3686 0.4699 0.4772

83

55. การแจกแจงความสงของนกเรยนกลมหนงเปนแบบปกต ถานกเรยนทมความสงมากกวา 149.4 เซนตเมตร มอย 3% และนกเรยนทมความสงนอยกวาฐานนยมแตมากกวา 136.5 เซนตเมตร มอย 25.8% แลว จงหาคาฐานนยมและความแปรปรวนของความสงของนกเรยนกลมน กาหนดตารางแสดงพนทใตเสนโคงปกตมาตรฐานทอยระหวาง 0 ถง z ดงน

z 0.3 0.7 1.49 1.88 พนท 0.1179 0.2580 0.4139 0.4700

84

56. ในการสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนหองหนง ซงมคะแนนเตม 70 คะแนน ม

สมประสทธของการแปรผนของคะแนนเทากบ 27 ถานายบณฑตสอบได 65 คะแนน ซงคดเปน

คะแนนมาตรฐานเทากบ 3 และนางสาวบงอรสอบไดคะแนนซงคดเปนคามาตรฐานกบ 1.9 แลว นางสาวบงอรสอบไดคะแนนเทากบเทาใด 57. คะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนหองหนง มคาเฉลยเลขคณตและสวนเบยงเบนมาตรฐานเปน 73 และ 16 คะแนน ตามลาดบ ถาคามาตรฐานของคะแนนสอบวชานของนกเรยนคนหนงในหองนคอ 0.2 อยากทราบวานกเรยนคนนสอบไดกคะแนน

85

58. ในการสอบครงหนงถอเกณฑการตดสนวา ผทสอบไดคามาตรฐานตงแต -2 ขนไป ถอวาสอบได ในการสอบครงนนปรากฏวาคาเฉลยเลขคณตและสวนเบยงเบนมาตรฐาน เทากบ 450 และ 25 คะแนน ตามลาดบ ถานางสาวนดดาสอบได 412 คะแนน แลวนดดาสอบไดหรอสอบตก 59. การทดสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยน ม.6 ของโรงเรยนหนง มคะแนนเฉลยและสมประสทธการแปรผนเทากบ 60 คะแนน และ 25% ตามลาดบ กลยาสอบไดคะแนนเมอคดเปนคะแนนมาตรฐานเทากบ 2 อยากทราบวากลยาสอบไดกคะแนน

86

60. ราคาขายบานในหมบานจดสรรขนาดใหญแหงหนง มการแจกแจงปกต ทมคาเฉลยเลขคณตและสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 1.5 และ 0.25 ลานบาท ตามลาดบ บานทมราคานอยกวา 1 ลานบาท มกเปอรเซนต (กาหนดใหพนทใตเสนโคงปกตระหวาง z=0 และ z=2 มคาเทากบ 0.4772)