VJEROVATNOA-POJAMDefinicija vjerovatnoe

Aditivno i multiplikativno praviloAko su E1 i E2 sluajni dogaaji vrijedi:P(E1UE2)=P(E1)+P(E2)-P(E1E2), iliP(E1UE2)=P(E1)+P(E2), kada jeE1E2={}2. Takoe, vrijedi:P(E1E2)=P(E1).P(E2/E1)P(E1E2)=P(E1).P(E2), kada je E2/E1=E2

Osobine Ukoliko vjerovatnoa sluajnog dogaaja E iznosi P(E), tada njemu suprotan dogaaj ima vjerovatnou Q(E), pri emu vrijedi:P(E)+Q(E)=10P(E) 10Q(E) 1P(E) vjerovatnoa deavanja dogaaja EQ(E) vjerovatnoa ne deavanja dogaaja E

Teorijski rasporediBinomniPoasonovHipergeometrijskiNormalni

Binomni rasporedPrekidni rasporedOblik veze izmeu sluajne promjenljive xi i vjerovatnoe sa kojom se ista oekuje P(x=xi)Izraunava se:

Primjer 1.U toku 50 radnih dana u jednoj prodavnici elektro-opreme prodano je 113 rasvjetnih tijela. Raspored prodaje po danima izgledao je ovako:

nastavakPotrebno je:Aproksimirati dati raspored binomnim rasporedom, na osnovu prosjenog broja prodanih rasvjetnih tijelaIzraunati teorijske frekvencije broja dana u sluaju da se broj prodanih rasvjetnih tijela rasporeuje po binomnom rasporeduOdrediti najvjerovatniji broj prodanih rasvjetnih tijelaKoliki broj dana moe da se oekuje sa prodajom od 2 proizvoda dnevno?

Rjeenje Broj prodanih rasvjetnih tijela je prekidna sluajna promjenljiva, dok je broj nezavisnih pokuaja u posmatranom primjeru 5.Vjerovatnoa da se dogaaj desi u jednom pokuaju (prodaja jednog rasvjetnog tijela) iznosi:P=/n=2,26/5=0,452

Nastavak Izraunavanje vjerovatnoe za odgovarajue vrijednosti sluajne promjenljive:

Nastavak Za ostale vrijednosti sluajne promjenljive dobijamo pripadajue vjerovatnoe:P(x=1)=0,20381P(x=2)=0,33622P(x=3)=0,27732P(x=4)=0,11437P(x=5)=0,01887

Teorijske frekvencijeSvaka teorijska frekvencija se dobije kada se dobijena teorijska vjerovatnoa pomnoi sa zbirom empirijskih frekvencija (u posmatranom sluaju to je 50), a teorijske frekvencije su:

Najvjerovatniji broj pmax=P(x=2)=0,33622Najvjerovatniji broj prodanih rasvjetnih tijela je, dakle, 2.Ili isto izraunavamo pomou obrasca: np-qMonp+p, tj5x0,452 0,548 Mo 5x0,452+0,4521,712Mo2,712

Oekivani brojU toku godine moe se oekivati broj dana u kojima e se prodavati po dva rasvjetna tijela:F2*(za fi=365)=365xP(x=2)=365X0,33622F2*=122,7123 dana

Primjer 2Na jednom podruju istraivanja su pokazala da su vjerovatnoe raanja djeaka 0,516. kolika je vjerovatnoa da u porodici sa 4 djece bude:Dvije djevojiceNajvie dvije djevojiceJedna djevoicaNi jedna djevojicaNajmanje jedna djevojicaNajmanje jedna, a najvie tri djevojice?

Rjeenje

n=4; p=1- 0,516 = 0,484P(x=2)=0,37423P(x2)=P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)=1-[P(x=3)+P(x=4)]=0,07089+0,26598+0,37423=0,71110P(x=1)=0,26598P(X=0)=0,07089P(x1)=P(x=1)+P(x=2)+P(x=3)+P(x=4)=1-P(x=0)=1-0,07089=0,92911P(1x3)=P(x=1)+P(x=2)+P(x=3)=1-[P(x=0)+P(x=4)]=0,87423

Primjer 3Na podruju jednog regiona uoeno je da u zimskom periodu 80% stanovnika navedenog podruja oboljeva od gripe. Koliko iznosi vjerovatnoa da se sluajnim izborom pet stanovnika navedenog regiona izabere:Pet zdravih stanovnikaBar jedan sa simptomima gripeNajvie jedan oboljeli od gripe

Rjeenje p=0,8q=0,2a.

Nastavak b. I c.

Normalni rasporedNepreprekidni raspored

Standardizacija NRUvoenje z(norm. stand. odstupanje)

Kriva normalnog rasporeda

Osobine

=Mo=Me3=04=3Simetrija u odnosu na aritmetiku sredinuOblik zvona

Primjer 1Prema starosnoj strukturi, 80 radnika nekog pogona bili su rasporeeni kao to je prikazano u sledeoj tabeli:

Potrebno jeUporediti ovaj empirijski raspored sa normalnim rasporedom na osnovu odgovarajuih deskriptivnih mjera i poreenjem teorijskih i opaenih frekvencijaKoliki se % i broj radnika koji su stari izmeu 35 i 45 godina moe oekivati?

Radna tabela

Deskriptivne mjere=34,75Mo =33,125Me =34,423=11,61626

Koeficijent asimetrijeIzraunavamo

Koeficijent spljotenostiIzraunavamo

Teorijske frekvencijeKorak 1.

Teorijske frekvencije

Rijeenje b)Broj i procenat radnika

Primjer 2.Distribucija pakovanja kave deklarisane teine 100 g, odgovaraju normalnoj, gdje je aritmetika sredina jednaka delkarisanoj, a dozvoljeno kvadratno odstupanje 6 grama. Ako se sluajno izabere jedno pakovanje, izraunati vjerovatnou da ima teinu:Manju od 105 gramaVeu od 105 gramaManju od 95 gramaIzmeu 95 i 105 grama

Rjeenje a)