stato di tensione e di deformazione - corsi di...
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Comportamento meccanico dei materiali Cerchi di Mohr - approfondimenti
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Stato di tensione e di deformazione
2
Cerchi di Mohr - approfondimenti
L’algebra dei cerchi di MohrProprietà di estremo dei cerchi di MohrCostruzione inversa dei cerchi di MohrLe tensioni su piani non principali
Comportamento meccanico dei materiali Cerchi di Mohr - approfondimenti
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Cerchi di Mohr - approfondimenti
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Componenti della tensione (1/3)
In qualsiasi terna di assi, le componenti e del vettore della tensione si calcolano:
e sono ovviamente indipendenti dagli assi
{ } { }
{ } { }
{ } { }
Tnn n
T2 2 2n n n n n
T
n t n t
t t t
1 n n n n
σ
τ σ
= ⋅ ≡
+ = ≡
= ⋅ ≡
nt
nτ
n
nσ
nσ nτnt
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In assi principali:
con, in assi principali:
Componenti della tensione (2/3)
{ } { }
{ } { }
{ } { }
Tnn n
T2 2 2n n n n n
T
n t n t
t t t
1 n n n n
= ⋅ ≡
+ = ≡
= ⋅ ≡
σ
τ σ { } [ ]{ }nt σ=
n1
n2
n3
tt t
t
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
1
2
3
nn n
n
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
1
2
3
0 00 00 0
σσ σ
σ
{ } { }
{ } { }
{ } { }
T
n
T T2 2n n
T
n n
n n
1 n n n n
⎡ ⎤= ⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ = ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= ⋅ ≡
σ σ
τ σ σ σ
⇒⇒
6
Componenti della tensione (3/3)
che è un sistema lineare nelle incognite:
{ } { }
{ } { }
{ } { }
T 2 2 2n 1 1 2 2 3 3
T T2 2 2 2 2 2 2 2n n 1 1 2 2 3 3
T 2 2 21 2 3
n n n n n
n n n n n
1 n n n n n
⎡ ⎤= = + +⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ = = + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= = + +
σ σ σ σ σ
τ σ σ σ σ σ σ
2 2 21 2 3n ,n ,n
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Risolvendo rispetto a quadrati dei coseni direttori:
Direzioni su piani principali (1/11)
( )( )( )( )− − +
=− −
2n i n k n2
in j i k
nσ σ σ σ τ
σ σ σ σ
con indici da permutare ciclicamente:
k,j,i
1,3,22,1,33,2,1
⇒⇒⇒
8
( )( ) 2n 2 n 3 n 0− − + =σ σ σ σ τ
equazione di un cerchio (di Mohr) nelle variabili e nσ nτ
Direzioni su piani principali (2/11)
Tutte le direzioni con normale giacente sul piano principale (2,3), ovvero con normale sull’asse 1:
( )( )( )( )
2n 2 n 3 n2
11 2 1 3
n 0− − +
= =− −
σ σ σ σ τ
σ σ σ σ
che implica:
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Direzioni su piani principali (3/11)
0n1 =Direzione su 2-3:
2
3
1
n
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Direzioni su piani principali (4/11)
Direzioni su 2-3: 0n1 =
2
1
n
3
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Fascio di piani di asse 1:
Direzioni su piani principali (5/11)
0n1 =
2
1
α
n
3
12
Direzioni su piani principali (6/11)
nτ
3σ 2σ nσ
α
Cerchio di Mohr relativo alle direzioni :0n1 =
)(n ασ
)(n ατ
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Direzioni su piani principali (7/11)
2
1
Fascio di piani di asse 2
3
n
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Direzioni su piani principali (8/11)
2
3
1
Fascio di piani di asse 3
n
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Direzioni su piani principali (9/11)
I cerchi per le direzioni sui piani dei tre assi principali:
nτ
3σ 2σ1σ nσ
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L’approccio algebrico ci fa ritrovare i cerchi di Mohr già visti, e ce ne garantisce l’esistenza.
Direzioni su piani principali (10/11)
nτ
3σ 2σ1σ nσ
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Poiché vi compare al quadrato si perdono i versi delle Per tenere conto di questo aspetto conviene quindi riferirsi alla deduzione geometrica
Direzioni su piani principali (11/11)
nτ
ikτ
nτ
3σ 2σ1σ nσ
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Direzioni qualsiasi in assi principali
Cosa succede di e su superfici non appartenenti a nessuno dei tre fasci di asse 1, 2, 3?
nτ nσ
Una dimensione che non ha oppure oppure non ha sui uno dei cerchi di Mohr
n 0n1 = 0n2 =0n3 = ( )nn,τσ
1
2
3
nt
n nσnτ
20
Cerchi per direzioni sui piani principali
Ad esempio, nel caso :321 σ>σ>σ
12
3
3σ 2σ 1σ
nτ
nσ
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Direzione non ortogonale all’asse 1
1
↓
( ) ( )( ) ( )3121
2n3n2n2
1 0nσ−σ⋅σ−σ
τ+σ−σ⋅σ−σ→≥
0≥0≥↓
( ) ( ) 02n3n2n ≥τ+σ−σ⋅σ−σ→
3σ 2σ 1σnσ
nτ
22
( ) ( )( ) ( )3212
2n3n1n2
2 0nσ−σ⋅σ−σ
τ+σ−σ⋅σ−σ→≥
Direzione non ortogonale all’asse 2
3
↓0≥0≤
↓
3σ 2σ 1σ
( ) ( ) 02n3n1n ≤τ+σ−σ⋅σ−σ→
nσ
nτ
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( ) ( )( ) ( )2313
2n2n1n2
3 0nσ−σ⋅σ−σ
τ+σ−σ⋅σ−σ→≥
Direzione non ortogonale all’asse 3
0≤↓
( ) ( ) 02n2n1n ≥τ+σ−σ⋅σ−σ→
0≤↓
2
3σ 2σ 1σnσ
nτ
24
Zona delle tensioni per direzioni qualsiasi
Perciò le tre disequazioni disegnate insieme:
1 2
3
indicano che per un qualsiasi cadono entro la zona (lunella) tratteggiata
3σ 2σ 1σnσ
( )nn, τσ n
nτ
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Estremo per le ( )
Conseguenza 1: la tensione normale massima èla più grande delle tensioni principali:
nσ
nτ
minσ
maxσ
σ
26
Estremo per le ( )
Conseguenza 2: la tensione tangenziale massima è il raggio del cerchio di Mohr più grande:
nτ
nσ
minσminσ
maxσ
τ
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Conseguenza 3: la agisce sulla superficie a 45° dalla superfici principali con e :
Superficie di massima ( ) – (1/2)
max,nτmaxσ minσ
τ
45°
minσ
maxσ
nσ
max,nτnτ
2minmax σ+σ
28
Superficie di massima ( ) – (2/2)τ
maxσ maxnτ
minσ
2minmax σ+σ
45°
max minnmax 2
σ στ
−=
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Costruzione diretta
Nella costruzione diretta occorre prima possedere i valori delle tensioni principali, e poi costruire cerchi
321 ,, σσσ
3σ 2σ1σ nσ
nτ
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Trovare il cerchio (1/5)
La costruzione inversa è possibile quando si conosce già una direzione principale, qui indicata con 3:
xxσ
yyσ
yxτ
xyτ
3σ
32
Trovare il cerchio (2/5)
Si sa che tutti i piani del fascio di asse 3 hanno su un cerchio di Mohr; questo ha il centro
sull’asse , e inoltre se ne conoscono due punti di passaggio , :
Si trova il centro come , e gli estremi del diametro sono e . 2
yyxx σ+σ
( )nn,τσnσ
1σ 2σ
2σ xxσyyσ 1σnσ
xyτnτ
( )xyxx,τσ ( )xyyy,τσ
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Trovare il cerchio (3/5)
Centro Raggioxx yy
2+σ σ ⎛ ⎞− ⎟⎜ +⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
2
xx yy 2xy2
σ στ
⎛ ⎞− − ⎟⎜= ± +⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
2
xx yy xx yy 2xy2 2
σ σ σ στ
1σ
2σ
2σ xxσyyσ 1σ
xyτ
34
Trovare il cerchio (4/5)
Per via algebrica un tale problema si risolve con:
xx xy
xy yy
3
0det 0 0
0 0
⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥− =⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
σ λ ττ σ λ
σ λ
( ) ( )( )2 23 xx yy xx yy xy 0− ⋅ − + + − =σ λ λ λ σ σ σ σ τ
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Trovare il cerchio (5/5)
Le cui radici:
33 σ=λ
cioè i medesimi valori 2211 , σ=λσ=λ
⎛ ⎞− − ⎟⎜= ± +⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
2
xx yy xx yy 2xy2 2
σ σ σ στ
1λ
2λ
36
Trovare e assi principali (1/13)
( ) ( ) 02nknin =τ+σ−σ⋅σ−σ
La costruzione appena vista utilizza il valore assoluto , e quindi perde il segno della tensione tangenziale. È figlia dell’approccio algebrico che definisce il cerchio di Mohr con:
nτ
τ
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Trovare e assi principali (2/13)
Ricordando la costruzione geometrica:
2σ
1σ
2σ
2σ= +
21 σ−σ
o
2σ 1σnσ
nτ
2σnσ
nτ
21 σ−σnσ
nτ
+
τ
38
Trovare e assi principali (3/13)
Sezionando con due piani cartesiani ortogonali alla coppia di assi (x,y):
2σ
1σ
α
y2σ
1σ
α−90
xn ≡
τ
y
xn ≡
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Trovare e assi principali (4/13)
Le corrispondenti costruzioni dirette sui cerchi di Mohr, dati , :
τ
2σ1σ
yyσ2σ 1σ nσ
nτ
α
xyτ−
xxσ
2σ 1σ
nτxyτ+
nσ
α−90
xn ≡
xn ≡
y
y
40
Trovare e assi principali (5/13)
Dati, inversamente :),,( yxxyyyxx τ≡τσσ
τ
C D
BAxyτ+
nσ
xyτ−
xxσyyσ
nτ
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Per i quattro punti A,B,C,D
(bastano in realtà o la coppia A,B o la coppia C,D)passa un cerchio con centro sulle ascisse
Trovare e assi principali (6/13)τ
C D
BAxyτ+
nσ
nτ
xyτ−
xxσyyσ
42
Trovare e assi principali (7/13)
Dette sempre : la tensione principale maggiore: la tensione principale minore
il cerchio di Mohr ha le seguenti caratteristiche indipendenti dal valore assoluto della
2σ1σ
τ
nσ
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Trovare e assi principali (8/13)τ
nσ
A B
C D
2σ 1σ
2yy σ−σ
2xx σ−σ
21 σ−σ
xxσyyσ
Per :yyxx σ>σ
44
Trovare e assi principali (9/13)
Oppure :
τxxyy σ>σ
nσ
A B
C D
2σ 1σ
2xx σ−σ
2yy σ−σ
yyσxxσ
21 σ−σ
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Trovare e assi principali (10/13)
Nell’uno e nell’altro caso se è positivo allora il triangolo delle forze deve chiudersi su in modo che il vettore della forza dovuta a sia ruotata di 90° in senso antiorario rispetto all’asse x Cioè il verso di y
( )21 σ−σxyτ
xyτ
τ
2σ
1σ
α
y 2σ
1σα−90
xn ≡y
xn ≡
46
Trovare e assi principali (11/13)
2σ 1σ
2yy σ−σ
2xx σ−σ
21 σ−σ
y
x
2σ
1σ
2yy σ−σ
21 σ−σ2xx σ−σ
α
α
y
x
xxσyyσ yyσxxσ
τ…se è positivo:xyτ
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Trovare e assi principali (12/13)τ…invece se è negativo:xyτ
2σ 1σ
2yy σ−σ
2xx σ−σ
21 σ−σ
2σ 1σ
2yy σ−σ
21 σ−σ
2xx σ−σ
α
α
xxσyyσ yyσxxσ
x
xyy
48
Caratteristica comune a queste costruzioni è che i punti A,B,C,D si scelgono con ordinata negativa
quando la è positiva, e viceversa con ordinata positiva quando la è negativa
Trovare e assi principali (13/13)
xyτ
xyτ
τ
xxσyyσ yyσxxσ
x
xyy
y
x
x
y
A B
C D
A B
C D
1
2
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Cerchi di Mohr - approfondimenti
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Direzione qualsiasi, pensatacome una delle generatrici di un cono di semi-apertura γ , angolo tra e l’asse 3
Tensioni su direzioni fuori dai piani principali
1
2
3n nγ
n
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Sul piano 2-3…
3
2O
Le direzioni sul piano 2-3 …
γ−90
γ'n
n
52
…sul piano 1-3…
3
1 O
…e sul piano 1-3n ''
γ−90
γ
''n
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(intersezione della retta inclinata di 90-γ rispetto agli assi 1 e 2 e quindi, perno in , rispetto all’asse orizzontale nel piano di Mohr)
…le rispettive tensioni
…hanno la corrispondente tensione (rappresentata rispettivamente dai punti A,B sul piano di Mohr)
3σ
( )nn, τσ
1σγ−90
2σ3σ
AB
N.B.: il valore di è stato modificato per facilitare la grafica
90 - γ
54
A e B stanno sul cerchio di centro C12
Si dimostra ora che i punti A,B stanno su un cerchioavente come centro C12, centro del cerchio passanteper e :1σ 2σ
C12
1σγ−90
2σ3σ
AB
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Dimostrazione (1/4)
e sono triangoli rettangoli;siccome è comune, sono simili,perciò parallelo a AN BL
AMNMAN MBL
LNM Q
a
BP
A
a
56
Dimostrazione (2/4)
Individuato il punto P, medio tra A e B, tracciamo l’asse aa. Questo interseca NL in Q. Il triangolo è isosceleAQB
LNM Q
a
BP
A
a
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Dimostrazione (3/4)
Le congiungenti Q con A e Q con B hanno uguale lunghezza Perciò A e B stanno su un cerchio di centro Q
( )AQ BQ=
LNM Q
a
BP
A
a
58
Dimostrazione (4/4)
LNM Q
BP
A
a
a
C12
Il triangolo MPQ è simile ai MAN e MBL, perciò è parallelo a e
Per il Teorema di Talete, Ma ,quindi Perciò Q è punto medio di NL, ovvero
C.V.D.
PQAN BL
AP NQ
PB QL= AP PB=
NQ QL=
12Q C≡
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Significato del cerchio di centro C12 (1/4)
( )( )( )( )2313
2n2n1n22
3 cosnσ−σσ−σ
τ+σ−σσ−σ=γ=
1
2
3nγ
LNM
B
A
C12
Dimostriamo che le tensioni dell’arco AB sonoquelle delle direzioni del cono di semi-apertura γ
Dall’equazione generale:
60
Significato del cerchio di centro C12 (2/4)
Segue:( ) ( )( ) γσ−σσ−σ=σσ+σ+σσ−τ+σ 2
23132121nn2
n2 cos
Da cui come è noto, per γ = 90°, , (cioè per direzioni sul piano 1,2):
( ) 02121n2
n2
n =σσ+σ+σσ−τ+σ
0cos =γ
Che è il cerchio di centro:
2C 21
12σ+σ
=
E di raggio r = 2
21 σ−σ
B
A
C12 1σ2σM
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61
Significato del cerchio di centro C12 (3/4)
Nel caso :°<γ 90
( )( )
( )( )2
2122313
221
212
2313
2cos
2cosr
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ σ−σ
+γσ−σσ−σ≡
≡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ σ+σ
+σσ−γσ−σσ−σ=
Cioè un raggio crescente con γ decrescente
( ) ( )( ) 0cos223132121nn
2n
2 =γσ−σσ−σ−σσ+σ+σσ−τ+σ
Equazione di un cerchio di centroe raggio:
221 σ+σ
62
Significato del cerchio di centro C12 (4/4)
Quando , ovvero : 0=γ
( )( )
( )
⎛ ⎞− ⎟⎜= + − − ≡⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
⎡ ⎤⎛ ⎞+ ⎟⎜⎢ ⎥≡ −⎟⎜ ⎟⎜⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
2
1 23 1 3 2
2
1 23
r2
2
σ σσ σ σ σ
σ σσ
Cioè il segmento
Quindi per γ=0 il cerchio passa per M, in cuivengono a coincidere A e B
MC12
1cosn 223 =γ=
B
A
C12 1σ2σ
M
3σ
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63
Trovare la tensione (1/9)
1
2
3nγ 3
2
1
α
n Il versore fa parte sia del cono di asse 3 sia di un cono di asse 1 e semi-apertura
n
α
Per trovare, ora, a quale punto sull’arco AB sitrovi il punto corrispondente alla direzioneoccorre un secondo angolo; per esempio l’angolo α che forma con l’asse 1n
n
64
Trovare la tensione (2/9)
Si evidenziano i coni di assi 1 e 3, con in comune:
2
3nγ 3
2
1
1
'n
α
n
n
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65
Trovare la tensione (3/9)
Ovvero, evidenziando sul piano 1-3: 'n
3
α
'n
1
1
3
2
α
n'n
66
Trovare la tensione (4/9)
La tensione corrispondente alla direzione sulpiano principale 1-3 è data dal punto R di Mohr:
R
2σ 1σ3σ
α
3
α
'n
1
'n
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67
Trovare la tensione (5/9)
Le direzioni del cono di asse 3 hanno tensioni suun arco del cerchio di centro C23 passante per R
3
R
2σ 1σ3σ
α
C23
1
2
'n
α
n
''n
S
68
Trovare la tensione (6/9)
L’analoga costruzione per il cono di asse 3:
1
2
3'''nγ
R
2σ 1σ3σ
α
C23
γ−90
γ−90
A
B
C12
S
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69
L’intersezione tra i due archi fornisce il punto Z, che rappresenta la tensione della direzione
Trovare la tensione (7/9)
n
2
R
2σ 1σ3σ C23
A
B
C12
S
1
2
3
n
Z
70
Trovare la tensione (8/9)
R
2σ 1σ3σ C23
A
B
C12
Z
γ−90
α
Notiamo che affinchél’intersezione Z esista,occorre che R stia a sinistra di B,cioè α>90°-γAl limite: α=90°-γ →→ α+γ = 90°; che si realizza quando sta sul piano 1-3
n S
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71
Le intersezioni diarchi RS e AB non possono che avere luogo all’interno della “lunella”; quindi,come già visto pervia algebrica, mostrano che le tensioni relative a tutte le direzioninello spazio stanno entro questa “lunella”
Trovare la tensione (9/9)
2σ 1σ3σ C23 C12
Z