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Comportamento meccanico dei materiali Legami tra tensioni e deformazioni

© 2006 Politecnico di Torino 1

Stato di tensione e di deformazione

2

Legame tra tensioni e deformazioni

Deformazioni-tensioni, in assi principali, dei materiali isotropiDeformazioni-tensioni in assi non principali IComponenti sferica e deviatriceDeformazioni-tensioni in assi non principali IITensione piana, deformazione pianaRelazioni grafiche tra cerchi di Mohr di tensione e di deformazione




4

Assi principali: esistono sempre, per tensioni e deformazioniMateriale isotropo: comportamento indifferente alla direzione

Se l’asse 1 è principale per le tensioni: segmentidiretti secondo l’asse 1 subiscono spostamenti secondo l’asse 1; infatti, per simmetria, non ci sono spostamenti ortogonali all’asse 1…

1

23

Deformazioni sotto tensione uni-assiale (1/4)



5

…l’asse 1 è principale anche per le deformazioni:

Prima dell’applicazione della tensione:

Dopo che la tensione è stata applicata

11 dA⋅σ

1dX

1 1dXε


6

La funzione che esprime la dipendenza di dalla che la produce si trova sperimentalmente essere, per i materiali detti “lineari elastici”:

1σ1ε

( ) 111 E1

σ=σε

dove: E è il modulo di elasticità




7

Sperimentalmente si trova anche che secondo le direzioni 2 e 3:

( ) 1212 b σ=σε

( ) 1313 b σ=σε

dove deve necessariamente essere per l’isotropia del materiale, e dove si trova che si tratta di “contrazioni”, quindi negative, espresse usualmente come:

32 bb =

Ebb 32

ν−==

in cui: ν è il coefficiente di Poisson


8

( )

( )

( )

1 1 1

1 2 1 1

3 1 1

1E

E

E

ε σ σ

νσ ε σ σ

νε σ σ

⎧⎪⎪ =⎪⎪⎪⎪⎪⎪→ =−⎨⎪⎪⎪⎪⎪ =−⎪⎪⎪⎩

Per l’isotropia:

( )

( )

( )

1 2 2

2 2 2 2

3 2 2

E1E

E

νε σ σ

σ ε σ σ

νε σ σ

⎧⎪⎪ =⎪⎪⎪⎪⎪⎪→ =−⎨⎪⎪⎪⎪⎪ =−⎪⎪⎪⎩( )

( )

( )

1 3 3

3 2 3 3

3 3 3

E

E1E

νε σ σ

νσ ε σ σ

ε σ σ

⎧⎪⎪ =⎪⎪⎪⎪⎪⎪→ =−⎨⎪⎪⎪⎪⎪ =−⎪⎪⎪⎩

Effetto delle tensioni tri-dimensionali (1/3)



9

Ammettiamo ora che la deformazione dovuta all’applicazione delle tre tensioni principali sia additiva, e non dipenda quindi dall’ordine di applicazione Così stando le cose, la legge generale:

( ) kjikjii EEE1

,, σν

−σν

−σ≅σσσε

Notiamo quindi che il nostro modello del materiale isotropo dipende da due assunzioni: la linearità e l’additività. Ci accontentiamo qui del fatto che ambedue siano supportate dalla sperimentazione


10

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

σσσ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ν−ν−ν−ν−ν−ν−

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

εεε

3

2

1

3

2

1

11

1

E1

Da questa relazione lineare è agevole, invertendo, ricavare le in funzione delle Rimandiamo questa operazione

iσ kji ,, εεε

Il modello del materiale isotropo stabilisce quindi la seguente relazione (legge costitutiva)tra deformazioni e tensioni:




11

Invece, ci proponiamo ora di conoscere il legame tra tensioni e deformazioni non in assi principali (1,2,3), ma in assi qualsiasi (x1, x2, x3). Troveremo che i materiali isotropi hanno relazioni tra le σ e le ε della stessa struttura indipendentemente dai tipi di assi si riferimentoSi noti, per ora, che le relazioni ottenute in assi principali dipendono da due soli parametri: il modulo elastico “E”, detto anche “modulo di Young”, e il coefficiente ν, detto coefficiente di “Poisson”

Numero dei parametri del materiale




13

Al fine di ottenere le relazioni in assi qualsiasi, notiamo che l’equazione in assi principali si può anche scrivere come segue:

( )4434421

σ

σ+σ+σν

−σν+

=ε

1I

kjiii EE1

dove: è, come già sappiamo, un invariante del tensore della tensione al variare del sistema di riferimento, ovvero la traccia della matrice

= tensione (normale) media

σ1I

1 m mI 3 ; σ ≡ σ σ

[ ]σ

Invariante della tensione

14

Da:

sommando per i,j,k :

( ) m

3

kji

I

kji E9

E1

m1

σν

−σ+σ+σν+

=ε+ε+ε

σε443442143421

ε1I

( ) mikjiii 3EE

1EE

1σ

ν−σ

ν+=σ+σ+σ

ν−σ

ν+=ε

dove: invariante del tensore della deformazione

= variazione relativa di volume, o dilatazione volumica

VV1 ;I εε≡ε

Invariante della deformazione



15

Dilatazione volumica:

321 dXdXdXdV

:inizialevolume

⋅⋅=

⇒ ( )33 1dX ε+

( )22 1dX ε+( )11 1dX ε+

( )( ) ( ) ( )

.......)1(

dXdXdX

111

dXdXdX1dV

:finalevolume

321

321

321

321v

+ε+ε+ε+⋅

⋅⋅⋅=

=ε+⋅ε+⋅ε+⋅

⋅⋅⋅=ε+⋅

1dX 2dX3dX

⇒( )VdV 1 + ε

⇒

Significato dell’invariante della deformazione

16

…quindi: , che sarà utile in seguito

Si noti che una dilatazione volumica nulla implica:

mentre significa dilatabilità massima (contrazione trasversale nulla in trazione semplice)

V m1 2

3E

− νε = σ

5.0

021

=ν

=ν−

0=ν

Valori estremi del coefficiente di Poisson



17

Le tre equazioni (per i=1,2,3):

i i m

1 3E E

ν νε σ σ

+= −

moltiplicate ciascuna per il suo , e sommate termine a termine:

2in

2 2 2i i i i m i

i i i

1n n 3 n

E Eν ν

ε σ σ∀ ∀ ∀∑ ∑ ∑

+⋅ = ⋅ −

Trasformazione (1/7)

18

{ovvero ovvero

nε nσ

invarianti

{ } [ ]{ } { } [ ]{ } 13E

nnE

1nn m

TT ⋅σν

−σν+

=ε

Ovvero:

quindi:

mnn E3

E1

σν

−σν+

=ε




19

{ } [ ]{ } { } [ ]{ } { } { }nn3E

nnE

1nn T

mTT σ

ν−σ

ν+=ε

Alla relazione tra invarianti si poteva arrivare anche partendo da assi non principali:

( )2z

2y

2xm

zyyzzxxzyxxy

2zzz

2yyy

2xxx

zyyzzxxzyxxy2zzz

2yyy

2xxx

nnn3E

nn2nn2nn2

nnn

E1

nnnnnnnnn

++σν

−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

τ+τ+τ

+σ+σ+σν+=

=γ+γ+γ+ε+ε+ε


20

La relazione vale per qualsiasi direzione , quindi anche per ,(cioè per le direzioni di ciascuno degli assi non principali):

n1ni = 0nn kj ==

2 2 2i ii i ii i m

1 3n n n

E Eν ν

ε σ σ+

= −

Fatto notevole: le sono legate alle sole con la stessa legge che lega tra loro deformazioni e tensioni principali

iiε iiσiε

iσ

i

j

k




21

Riorganizzata l’equazione di partenza:

( )2z

2y

2xm

zyyzzxxzyxxy

2zzz

2yyy

2xxx

zyyzzxxzyxxy2zzz

2yyy

2xxx

nnn3E

nn2nn2nn2

nnn

E1

nnnnnnnnn

++σν

−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

τ+τ+τ

+σ+σ+σν+=

=γ+γ+γ+ε+ε+ε


22

In modo da mettere il evidenza i termini prima trovati:

( ) [ ]zyyzzxxzyxxy

zyyzzxxzyxxy

z,y,xi

2imiiii

nnnnnnE

12

nnnnnn

n3EE

1

τ+τ+τν+

=

=γ+γ+γ+

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ σ

ν+σ

ν+−ε∑

=

=0




23

Che dovendo valere per tutte le direzioni e quindi anche per quelle giacenti su piani coordinati:

Si ottiene una relazione tra le sole e :

( )jkjk E

12τ

ν+=γ

;0ni = ;0nj ≠ 0nk ≠

dà le tre relazioni:

ikγ jhτ

( )[ ]zyyzzxxzyxxy

zyyzzxxzyxxy

nnnnnnE

12

nnnnnn

τ+τ+τν+

=

=γ+γ+γ

i

j

k


24

[ ]( ) ( ) ( ) ( )

( )

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

τν+

=γ

=

νσ−νσ−σ=σν

−σν+

=ε

yz,xz,xyjk:perE

12

y,x,z,x,z,y,z,y,xk,j,i:perE1

E3

E1

jkjk

kkjjiimiiii

In conclusione, abbiamo trovato che per unmateriale isotropo, in assi qualsiasi le componenti di deformazione sono legate a quelle di tensione secondo le 6 equazioni:

“modulo di taglio”( ) G12E

=ν+

Relazioni deformazioni-tensioni




26

Invertire queste 6 equazioni relazioni non pone grossi problemi.

Vale tuttavia la pena di compiere uno sforzo per trovare una strada ancora più elegante, che passa attraverso l’utile introduzione di due nuovi concetti:

La parte “media” (anche detta “idrostatica”o “sferica”)La parte “deviatrice” di un tensore.

Introduzione



27

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

σ−στττσ−στττσ−σ

+⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

σσ

σ=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

στσττσ

mzzyzxz

yzmyyxy

xzxymxx

m

m

m

zz

yzyy

xzxyxx

000000

simsimsim

:parte

media, o sferica,

o idrostaticadella

tensione

: parte deviatricedella tensione

[ ]1mσ

[ ]σ′

Componenti sferica e deviatrice della tensione

28

[ ] [ ] [ ]σ′+σ=σ 1m

con:

33I zzyyxx1

mσ+σ+σ

==σσ

Analogamente per il tensore della deformazione:

[ ] [ ] [ ]ε′+ε=ε 1m

con:

zzyyxx1V I ε+ε+ε==ε ε

333I Vzzyyxx1

mε

=ε+ε+ε

==εε

Componenti sferica e deviatrice della deformazione



29

( )

iimiim

miimiim

E1

E21

E3

E1

σ′ν++σ

ν−=ε′+ε

σν

−σ′+σν+

=ε′+ε

Per le componenti a indici uguali:

iimii

iimii

σ′+σ=σ

ε′+ε=ε

che sostituite nelle equazioni del materiale:

⇓

Relazioni tra componenti deviatrici (1/2)

30

Poiché:

da:

resta:

mV

m E21

3σ

ν−=

ε≡ε

iiii E1

σ′ν+=ε′

iimiim E1

E21

σ′ν++σ

ν−=ε′+ε

Relazioni tra componenti deviatrici (2/2)




32

Ricordiamo ora che le relazioni tra γ e τ erano:( )

jkjk E12

τν+

=γ

Conviene notare che, abbandonando la notazione usuale nelle scienze applicate e adottando quella più compatta:

( )kjE

121

jkjkjk ≠σν+

=γ=ε

Notiamo anche che:,jkjk ε′≡ε ( )kjjkjk ≠σ′=σ

Forma compatta deformazione-tensione (1/2)



33

Allora le 6 equazioni del materiale hanno, per la parte deviatrice, una forma unica:

jkjk E1

σ′ν+=ε′

Mantenendo invece la notazione delle scienze applicate:

( ) ( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≠τν+

=γ

σ′ν+=ε′

kjE

12E

1

jkjk

iiii

E inoltre:

mm E21

σν−

=ε

Forma compatta deformazione-tensione (2/2)

34

A questo punto l’inversione è veramente banale:

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

γν+

=τ

ε′ν+

=σ′

jkjk

iiii

12E

1E ( )miimii 1

Eε−ε

ν+=σ−σ⇒

mm 21E

εν−

=σ

con:

Tensione-deformazione



35

dove: .

La relazione:

detta anche “forma di Lamé”, viene scritta anche:

Viiii 2 λε+ε⋅µ=σ

G≡µ

( )( )( ) ( ) ( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧

γ⋅=τ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ εν−

ν+ε

ν−ν

+εν−ν+

ν−=σ

jkjk

kkjjiiii

G

112111E

In forma espansa:

( )( ) miiii 2113

E1

Eε

ν−ν+ν

+εν+

=σ

Forma e coefficienti di Lamé

coefficienti di Lamé




37

Caso speciale: tensione piana zz 0σ =

( )( )

( )( )

zz xx yy

zz xx yy

01

1

νε ε ε

ν

νε ε ε

ν

= + + ⇒−

⇒ =− +−

che sostituita nelle altre produce:

( )

( )

xx xx yy2

yy yy xx2

E

1

E

1

σ ε νεν

σ ε νεν

⎧⎪ ⎡ ⎤⎪ = +⎪ ⎣ ⎦⎪ +⎪⎪⎨⎪⎪ ⎡ ⎤= +⎪ ⎣ ⎦⎪ +⎪⎪⎩

xy xy

con inoltre :Gτ γ=

Tensione piana (1/2)

38

Mentre la relazione inversa si ottiene direttamente dalle ponendo:( )ii ii ii jj kk, ,ε ε σ σ σ= zz 0σ =

( )

( )

( )

xx xx yy

yy yy xx

zz yy xx

1E1E

e :

E

ε σ νσ

ε σ νσ

νε σ σ

⎧⎪⎪ = −⎪⎪⎪⎨⎪⎪ = −⎪⎪⎪⎩

=− +xy xy

con inoltre :1G

γ τ=

Tensione piana (2/2)



39

( )2xx xx yy xx yy

2

xx xx yy

2

yy yy xx

1E1

E 1

1E 1

ε σ νσ ν σ σ

ν νε σ σ

ν

ν νε σ σ

ν

⎡ ⎤= − − + =⎢ ⎥⎣ ⎦

⎛ ⎞− ⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠−⎛ ⎞− ⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠−

Dalla terza delle : zz 0ε =Caso speciale: deformazione piana

( ) ( )zz xx yy zz xx yy0 σ ν σ σ σ ν σ σ= − + ⇒ = +

( )ii ii ii jj kk, ,ε ε σ σ σ=

che sostituita nelle due altre produce:

xy xy

con inoltre:1

Gγ = τ

Deformazione piana (1/4)

40

…che ha la medesima struttura del caso di tensione piana:

( )

( )

xx xx yy

yy yy xx

1E1E

ε σ νσ

ε σ νσ

⎧⎪⎪ = −⎪⎪⎪⎨⎪⎪ = −⎪⎪⎪⎩

%%

%%

ν−ν

=νν−

=1

~;1

EE~ 2

avendo posto:




41

Quindi la relazione inversa è della stessa forma già trovata per la tensione piana:

( )

( )

xx xx yy2

yy yy xx2

E1

E1

σ ε νεν

σ ε νεν

⎧⎪⎪ = +⎪⎪ −⎪⎨⎪⎪⎪ = +⎪ −⎪⎩

%%

%%

%%

che sostituendo:

( )

2

22

EE

1

11 2

11

νν

νν

νν

ν

⎧⎪⎪⎪ =⎪ −⎪⎪⎪⎪⎪ =⎨⎪ −⎪⎪⎪ −⎪ − =⎪⎪ −⎪⎪⎩

%

%

%


42

( )( )( ) ( )

( )( )( ) ( )

xx xx yy

yy yy xx

E 11 1 2 1

E 11 1 2 1

ν νσ ε ε

ν ν ν

ν νσ ε ε

ν ν ν

⎧ ⎡ ⎤⎪ −⎪ ⎢ ⎥= +⎪⎪ ⎢ ⎥+ − −⎪ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎪⎨⎪ ⎡ ⎤−⎪ ⎢ ⎥⎪ = +⎪ ⎢ ⎥⎪ + − −⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎩

…produce infine:

xy xy

con inoltre :Gτ γ=





44

Il passaggio tra tensioni e deformazioni sui cerchi di Mohr è facile se si considerano le componenti media, o sferica, e deviatrici:

mm E21

σν−

=ε⎩⎨⎧

σ−σ=σ′

ε−ε=ε′

miiii

miiii

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

τν+

=γ

σ′ν+=ε′

jkjk

iiii

E12

E1

Componenti media e deviatrici



45

nτ

3σ 2σ 1σ

1'σ2'σ

nσ

mσ3'σ

Cerchi di Mohr della tensione

0

46

nn 21

γ≡ϕ

nε

mm E21

σν−

=ε

11 'E

1' σ

ν+=ε

...'3 =ε

...'2 =ε

nn E1

21

τν+

=γ

( )3,0=ν

Cerchi di Mohr della deformazione

0



47

nτ

032 =σ=σ

2σ 1σ

11 32

' σ=σ2'σ

nσ

3/1m σ=σ3'σ

0

Caso della trazione 1-assiale(1/2)

1'32 3

1' σ−=σ=σ

48

nε

3E21 1

mσν−

=ε

11 32

E1' σ

ν+=ε

3'ε

2'ε

0

Caso della trazione 1-assiale(2/2)

131

E1... σ

ν+−=

E1σ

E1σ

ν−

nn 21

γ≡ϕ

( )3,0=ν

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