strength of materials 1

Bµi gi¶ng søc bÒn vËt liÖu

Ph¹m thanh hïng

2

CHƢƠNG MỞ ĐẦU

§1. Nhiệm vụ và đối tƣợng nghiên cứu

I. Nhiệm vụ:

SBVL : Thiết lập các phương pháp tính bộ phận công trình về:

- Điều kiện bền (Độ bền).

- Điều kiện cứng (Độ cứng).

- Điều kiện ổn định (Độ ổn định).

Độ bền : là khả năng chống lại phá hoại của bộ phận công trình dưới tác động của ngoại

lực.

Do đó : Bộ phận công trình phải được chế tạo từ vật liệu thích hợp, phải có kích thước cần thiết.

Độ cứng : là khả năng chống lại biến dạng của bộ phận công trình dưới tác

động của ngoại lực.

Biến dạng : là sự thay đổi về hình dáng, kích thước gây cản trở sự sử dụng bình

thường của công trình, đến công nghệ sử dụng.

Độ ổn định : là khả năng công trình bảo toàn dạng cân bằng ban đầu.

Dấu hiệu của mất ổn định : là sự thay đổi bất ngờ từ dạng cân bằng này sang dạng cân bằng

khác.

Ngoài ra SBVL còn giải quyết các bài toán ngược : kiểm tra về độ bền, độ cứng, độ ổn

định của bộ phận công trình cho trước.

II. Đối tƣợng của SBVL : là vật thể thực vật rắn biến dạng.

Trong cơ lý thuyết : ta xét sự cân bằng tĩnh học, sự chuyện động của vật thể được coi

là rắn tuyệt đối không xét đến biến dạng của vật thể.

Trong SBVL : xét đến biến dạng của vật thể trong quá trình chịu tác dụng của ngoại lực.

Biến dạng << kích thước vật thể nhưng trong nhiều trường hợp vật thể bị phá hoại khi biến

dạng còn rất bé.

Vật thể thực : có nhiều tính chất cơ lý. Vậy, để đơn giản hóa ta đưa ra các giả thuyết

đưa ra các lý thuyết.

+ Để kết quả nghiên cứu lý thuyết được áp dụng vào thực tế, ta phải tiến hành phương

pháp thực nghiệm.

+ Phương pháp thực nghiệm :

- Kiểm chứng lý thuyết nêu ra.

- Thúc đẩy lý thuyết phát triển hơn làm phương pháp thực nghiệm phát triển theo.

Lý thuyết và thực nghiệm là 2 phần không thể tách rời, chúng bổ sung và thúc đẩy nhau làm

cho môn học không ngừng phát triển.

§2. Các giả thuyết

Giả thuyết 1: Vật liệu có tính chất liên tục, đồng nhất và đẳng hướng.

Liên tục : là không bị gián đoạn bởi các lỗ rỗng

Áp dụng được các tính chất của vi phân, tích phân.

Đồng nhất : Tính chất cơ lý tại mọi điểm thuộc vật thể là như nhau.

Đẳng hướng : Tính chất cơ lý theo mọi phương là như nhau.


Ph¹m thanh hïng

3

Có thể nghiên cứu 1 vật thể qua 1 phân tố nhỏ, tưởng tượng tách ra khỏi vật thể.

VD: Tre là vật liệu, không đẳng hướng

Giả thuyết 2: Vật thể có tính chất đàn hồi tuyệt đối.

Xét vật thể chịu tác dụng của các lực Pi, vật thể bị biến dạng. Bỏ lực

Pi biến dạng được khôi phục:

Khôi phục hoàn toàn đàn hồi tuyệt đối ( VD: quả bóng bay).

Không hoàn toàn (có biến dạng dư) đàn hồi không tuyệt đối

lý thuyết dẻo.

Giả thuyết 3: Chuyển vị và biến dạng của vật thể là vô cùng bé so với

kích thước của vật thể.

Xem điểm đặt lực không thay đổi khi vật thể biến dạng đơn giản sự tính toán.

Ngoài ra trong SBVL còn sử dụng nguyên lý độc lập tác dụng (Nguyên lý cộng tác dụng) :

tổng ngoại lực tác dụng lên vật thể bằng tổng của các ngoại lực riêng rẽ tác dụng lên vật

thể theo thứ tự bất kỳ.

VD: Xét dầm đơn giản chịu lực trong 3 trường hợp. Ta thấy rằng f = f1 + f2

§3. Hình dạng vật thể

Gọi kích thước vật thể theo 3 phương là lx, ly, lz.

I. Khối : lx ≈ly ≈ lz . VD: móng máy, móng cột điện.

II. Tấm và vỏ: lx, ly >> lz = chiều dày.

Mặt trung bình: + mặt phẳng tấm (bản)

+ mặt cong vỏ

VD: tháp nước vỏ cầu.

đường ống nước vỏ trụ.

tường lắp ghép bản.

III. Thanh, dây: lz lx, ly.

Đây là đối tượng được nghiên cứu chủ yếu trong SBVL.

- Giả sử có tiết diện (F) trượt trong không gian:

+ Trọng tâm O thuộc đường (C).

+ Tiết diện (F) (C).

Gọi: (F) - tiết diện mặt cắt ngang.

(C) - trục thanh.


Ph¹m thanh hïng

4

- Phân loại: + (C): cong không gian thanh cong không gian.

+ (C): đường cong phẳng thanh cong phẳng.

+ (C): đường thẳng thanh thẳng.

§4. Các hình thức chịu lực của thanh

I. Kéo nén đúng tâm: Khi chịu lực tác dụng dọc theo trục

thanh, thanh sẽ bị giãn ra hoặc co lại. Biến dạng của

thanh gọi là biến dạng dài.

Ví dụ : cột chống, dây cáp…

II. Uốn: Xảy ra khi lực tác dụng trục thanh và nằm trong

mặt phẳng chứa trục thanh.

Ví dụ: dầm giữa các tầng nhà…

III. Xoắn: Khi tác dụng lên thanh những ngẫu lực nằm trong

mặt phẳng vuông góc với trục thanh.

Ví dụ: mũi khoan, trục các tuốc bin,...

IV. Cắt: Các mặt cắt ngang của thanh có xu hướng trượt

lên nhau dưới tác dụng của ngoại lực.

Ví dụ: thân bu lông chịu cắt...

§5. Khái niệm về biến dạng và chuyển vị

I. Chuyển vị: "là sự thay đổi vị trí của phân tố thuộc vật thể

dưới tác dụng của ngoại lực".

Chuyển vị dài:

Vật thể chịu tác dụng Pi

Điểm AA’

B B’

AA’, BB’ gọi là chuyển vị dài

Chuyển vị góc: = (AA', BB')

II. Biến dạng: "là sự thay đổi hình dạng, kích thước của

vật thể dưới tác dụng của ngoại lực".

Biến dạng dài:

- Δdx: biến dạng dài tuyệt đối của dx.

- dx

dx

: biến dạng dài tỉ đối theo phương x.

Biến dạng góc:


Ph¹m thanh hïng

5

: biến dạng góc trượt hoặc góc xoay.

Ch¬ng 1 . NGOẠI LỰC VÀ NỘI LỰC

A. NGOẠI LỰC

Định nghĩa: "Ngoại lực là những lực do môi trường bên ngoài và của vật khác tác động lên

vật thể".

Ngoại lực : + Tải trọng.

+ Phản lực liên kết.

I. Tải trọng: là ngoại lực tác dụng lên vật thể đang xét có

giá trị, vị trí và tính chất đã biết.

Phân loại tải trọng:

a. Theo hình thức tác dụng:

Tải trọng phân bố:

Tải trọng phân bố trong thể tích vật thể: gọi là tải trọng phân bố thể tích (lực khối) [

kN/m3, kG/m3]. VD: trọng l ượng bản thân của vật thể...

Tải trọng phân bố trên bề mặt vật thể: gọi là tải trọng phân bố bề mặt (lực mặt) [

kN/m2, kG/m2]. VD: tải trọng trên sàn…

Gọi P(q) là lực phân bố trên 1 đơn vị thể tích hoặc 1 đơn vị diện tích.

P(q): cường độ tải trọng phân bố

Đặc biệt, nếu vật thể là thanh, thay lực khối (hoặc lực mặt) bằng tải trọng phân bố theo

chiều dài l

q: tải trọng phân bố theo chiều dài thanh [ĐV: kN/m, kG/m…]

Tải trọng tập trung;

Giả sử, tải trọng phân bố trong (ΔV) hoặc trên diện tích (ΔS) rất bé của vật thể. Để đơn

giản hoá, ta thay bằng hợp lực của nó lực tập trung: P (kN, kG)

b. Theo tính chất tác dụng:

Tải trọng tĩnh: tải trọng tác dụng có giá trị tăng từ 0 giá trị nào đó không đổi ( P = const).

a = 0 Fqt = 0

Tải trọng động: như dao động, va chạm ≠ tải trọng tĩnh

a ≠ 0 Fqt ≠ 0

II. Phản lực liên kết : là ngoại lực chưa biết, xuất hiện tại các liên kết giữa vật thể đang xét

với vật thể khác. Để tìm phản lực liên kết, ta phải xét cân bằng (CB) vật thể.

a. Các loại liên kết :

Liên kết gối di động, khớp cầu :

Gối di động: cho phép thanh xoay quanh khớp,

di động theo 1 phương nào đó.

Xuất hiện thành phần phản lực R theo phương bị

ngăn cản di chuyển.

Khớp cầu: Momen của khớp cầu bằng 0


Ph¹m thanh hïng

6

Gối cố định: thanh xoay quanh khớp

nhưng không dịch chuyển được theo

phương bất kỳ.

Ngàm:

Ngàm cố định: thanh không xoay, không dịch chuyển được theo phương bất kỳ.

Ngàm trượt: thanh không xoay, cho phép dịch chuyển theo 1 phương nào đó.

b. Các phương trình cân bằng;

Dạng 1: Dạng 2: Dạng 3:

A

X 0

Y 0

M 0

A

B

X 0

M 0

M 0

A

B

C

M 0

M 0

M 0

AB không X A, B, C không thẳng hàng.

B. NỘI LỰC

I. Khái niệm về nội lực :

Giữa các phần tử của 1 vật thể có các lực liên kết để giữ cho vật thể có hình dáng nhất

định. Khi có ngoại lực tác dụng, các lực liên kết đó tăng lên để chống lại biến dạng do ngoại lực

gây ra.

Vậy, "nội lực là độ tăng của các liên kết để chống lại biến dạng do các thành phần ngoại

lực gây nên".

II. Khái niệm ứng suất : (Sử dụng phương pháp mặt cắt để đưa ra khái niệm về ứng suất tại 1

điểm nào đó trong vật thể).

a. Các thành phần ứng suất:

Xét 1 vật thể đàn hồi chịu tác dụng của các lực P1, P2, …Pn.

Tượng tưởng 1 mp (π) chia vật thể thành 2 phần A, B.

Khảo sát sự cân bằng của phần A: phần (A) được CB trong toàn

bộ vật thể là do có hệ nội lực của phần B tác dụng lên. Hệ nội lực này

phân bố trên toàn bộ diện tích mặt cắt (F).

Lập hệ trục toạ độ Oxyz:

Mặt phẳng xOy là mặt phẳng tiết diện.

Trục z xOy, thường chọn trục z là trục thanh hoặc trục dầm.

Tại điểm A (x,y) bất kỳ:

Bao quanh A bằng diện tích khá bé F.

Hợp lực tác dụng lên F là P

.

Ứng suất trung bình tại điểm A: tb

Pp

F


Ph¹m thanh hïng

7

(Ứng suất là số đo của nội lực trên 1 đơn vị diện tích)

Ứng suất tại A: F 0

Pp lim

F

với điều kiện F luôn bao quanh điểm A.

p : ứng suất (ƯS) toàn phần được phân tích theo 2 phương:

+ Thành phần ƯS б theo phương trục z ứng suất pháp.

+ Thành phần ƯSnằm trong mặt phẳng xOy ứng suất tiếp.

2 2p ; p

Đơn vị của ƯS: kN/cm2 ; N/cm2 ; kG/cm2…

Phân tích ƯS tiếp theo 2 phương Ox, Oy :

zx

zy

theo Ox:

theo Oy:

Tại A, tách ra một phân tố hình lập phương bằng các

mặt phẳng song song với hệ trục tọa độ.

Biểu diễn các thành phần ứng suất ở trên phân tố:

Theo phương x: x, yx , zx

Theo phương y: y, zy, xy

Theo phương z: z, yz, xz

có 3 thành phần ƯS pháp: xyz.

có 6 thành phần ƯS tiếp bằng nhau theo quy luật đối

ứng:

xy= yx , zx= xz , yz= zy.

b. Các thành phần nội lực : trên mặt cắt ngang thanh.

Xét vật thể đàn hồi dạng thanh, chịu P1, P2, ….Pn

Thực hiện mặt cắt ngang theo (π) vuông góc với trục thanh

chia thành 2 phần

Xét phần A: trên diện tích F xuất hiện hệ lực {P i } để

cân bằng với ngoại lực 1 2P , P

thu { iP

} về O ( Với O là tâm của diện tích F)

Ta có: + 1 lực P

+ 1 ngẫu lực M

Phân P

làm 3 thành phần

x x

y y

z z

P QLùc c¾t

P Q

P N Lùc däc

Phân M làm 3 thành phần


Ph¹m thanh hïng

8

x

y

z

MM«men uèn

M

M M«men xo¾n

các thành phần nội lực trên mặt cắt ngang thanh

Xác định các thành phần nội lực :

Xét CB cho phần A (hoặc B):

X = Qx + Pix = 0 m x = Mx + mx ( iP

) = 0

Y = Qy + Piy = 0 m y = My + m y ( iP

) = 0

Z = Nz + Piz = 0 m z = Mz + m z ( iP

) = 0

Trong đó iP

: các ngoại lực tác dụng lên phần A (hoặc B).

Đặc biệt khi vật thể (S) là thanh thẳng và các ngoại lực

P

i yOz

Vì P

i yOz nên : Pix = 0, my (P

i) = 0, mz ( P

i) = 0

Qx = 0 ; My = Mz = 0

Vậy trên mặt cắt 1-1 chỉ Nz, Mx, Qy (yOz)

Bài toán phẳng.

Quy ước dấu:

Nz > 0 nếu làm phần A (hoặc B) chịu kéo.

Qy > 0 khi quay pháp tuyến ngoài n

thuận kim

đồng hồ 1 góc 90o trong mặt phẳng y(n,Q )

.

Mx > 0 nếu nó làm căng thớ dưới của thanh.

Xác định các thành phần Nz, Mx, Qy:

Xét cân bằng phần A hoặc B:

Z = Nz + Piz = 0

Y = Qy + Piy = 0

mo= Mx + mo(P

i) = 0 ( 0 : trọng tâm tiết diện).

III. Biểu đồ nội lực cho thanh (bài toán phẳng) : "Là đồ thị biểu diễn sự biến thiên của các

thành phần nội lực dọc theo trục thanh".

Cần biết : z y xmax max max

N , Q , M :

Có hai phương pháp:

a. Phương pháp giải tích:

Nội dung:

+ Bước 1: Lập các biểu thức nội lực:


Ph¹m thanh hïng

9

z z

y y

x x

N N (z)

Q Q (z)

M M (z)

(1.3)

Tìm được cực trị các hàm (1.3).

+ Bước 2: Vẽ biểu đồ của các hàm (1.3) Biểu đồ nội lực Nz , Qy , Mx

Ví dụ: Hãy vẽ biểu đồ nội lực cho thanh.

Bước1: Xác định phản lực và phân đoạn thanh.

Bỏ liên kết, thay bằng các phản lực liên kết VA, HA, VB

Xét cân bằng thanh AB:

m 0 B (Chiều quy ước tùy chọn)

VA.4 – P.2 + M - q.2.1 = 0

VA.4 = 10.2 - 4 + 8.2.1 VA= 8 (kN)

Y 0 (Chiều dương hướng xuống)

VA + VB - P - q.2=0

VB = 10 + 8.2 - 8 = 18 (kN)

Chia đoạn: chia làm 2 đoạn: (Tải trọng trên mỗi đoạn phải liên tục)

Bước 2: Lập biểu thức nội lực:

Đoạn 1: dùng mặt cắt 1-1 đoạn 1.

Xét cân bằng phần bên trái: (0z12)

Z =0 Nz(1) =0

Y =0 Qy(1) =VA=8

m 01=0 Mx(1) = 8z1

Đoạn 2: dùng mặt cắt 2-2 đoạn 2. Xét cân bằng phần bên phải: 0z22

Z =0 Nz(2)=0

Y =0 Qy(2)=q.z2-VB=8z2-18

m 02=0 2

(2) 22

x B 2 2 2

q.zM = - + V .z = -4z +18z

2

Bước 3: Vẽ biểu đồ : phải biết dấu biểu đồ, trị số tung độ.

Quy ước dấu :

Dấu của : Dương ở phía trên, âm ở phía dưới trục chuẩn.

Dấu của : dương ở phía dưới, âm ở phía trên trục chuẩn (nhìn biểu đồ mômen biết

được sơ đồ biến dạng).

Nhận xét :

Tải trọng tác dụng lên thanh trục z Nz=0, H=0 z.

Nơi nào trên thanh có lực tập trung P thì trên Qy có bước nhảy. Trị số bước nhảy bằng

P. Đi từ trái sang phải : khi P đi xuống thì bước nhảy đi xuống, khi P đi lên thì bước nhảy đi lên.

Nơi nào trên thanh có mômen tập trung M thì biểu đồ Mx có bước nhảy. Trị số bước

nhảy bằng M. Đi từ trái sang phải, M có chiều thuận kim đồng hồ bước nhảy đi xuống,

M có chiều ngược kim đồng hồ bước nhảy đi lên.


Ph¹m thanh hïng

10

Mối quan hệ giữa q, Q, M ( quan hệ vi phân).

2

y yx xy 2

dQ dQdM d Mq(z); Q ; q z .

dz dz dzdz (2.3)

Quy ước dấu tải trọng phân bố trên thanh q:

o q < 0 khi tải trọng đi xuống ().

o q > 0 khi tải trọng đi lên ().

Nhận xét : hệ kết cấu đối xứng, chịu tải trọng đối xứng Mx đối xứng, Qy phản xứng, hệ

kết cấu đối xứng chịu tải trọng phản xứng Mx phản xứng, Qy đối xứng.

Khi q(z)=0 Qy không đổi, Mx là bậc nhất.

q(z) = const Qy bậc nhất, Mx là bậc 2.

q(z)<0 Qy nghịch biến, q(z) >0 Qy đồng biến.

Trên Qy có điểm bằng 0 thì tại đó Mx có cực trị.

b. Phương pháp vẽ biểu đồ theo các điểm đặc biệt :

Nội dung :

+ Từ công thức (2.3) xác định dạng sơ bộ của biểu đồ :

y’’<0 biểu đồ quay bề lõm về phía âm.

y’’>0 biểu đồ quay bề lõm về phía dương.

+ Tính trị số nội lực ở 1 số mặt cắt đặc biệt.

+ Dựa vào các nhận xét ở phần a.

Vẽ biểu đồ.

Ví dụ: Hãy vẽ biểu đồ nội lực cho thanh:

Bước 1: Xác định phản lực và phân đoạn

thanh:

- Xác định phản lực: xét cân bằng AB

Z =0 HA = 0

mB=0

VA.6= q1.2.5+q2.4.2+M1-M2+P.4.

VA=1

6(12.10+6.8+16-4+12.4)= 38 (kN).

Y=0

VB= q1.2 + P + q2.4 - VA .

VB= 12.2 + 12 + 6.4 - 38 = 22 (kN).

- Phân đoạn : phân làm 3 đoạn.

Bước 2 : Vẽ biểu đồ :

- Đoạn 1 : q1(z) = const < 0 Qy(1): Bậc 1, nghịch biến.

Mx(1): Bậc 2, bề lõm quay về phía âm (về phía trên trục z).

QA(1) = VA=38 (kN).

+ Xét cân bằng AC :

QC(1) = QA

(1) q1.AC

Với : dấu (+) khi q1

dấu (-) khi q1


Ph¹m thanh hïng

11

QC(1) = 38 -12.2=14 (kN).

+ Xét Mx: M’’x=q1 <0 bề lõm quay lên trên

M’x=Qy0 không có cực trị

Mx(A)= 0, Mx(C)=Mx(A) + diện tích QAC (diện tích được lấy theo dấu biểu đồ).

Mx(C)= 0 + 38 14

2

.2=52 (kNm).

- Đoạn 2:

+ Tại C: có bước nhảy xuống = 12 kN ở Qy Qc(2)= 14-12=2 (kN).

có bước nhảy lên = 16kNm ở Mx MC(2)= 52-16 = 36 (kNm).

+ Tại D:

QD(2) = QC

(2) q2. CD = 2 -6.2= -10 (kN).

MD(2)= Mc

(2) + dtích QCD=36+1 2 1 10

.2. .10.2 6 2 6

MD(2)=

1 2536 28(kNm)

3 3 .

Biểu đồ Qy có điểm = 0 Mx có cực trị =1 2

36 .2. 36,3(kNm)2 6

.

- Đoạn 3:

+ Do qz=const biểu đồ Qy là bậc 1.

+ Tại D: Mx có bước nhảy xuống = 4 MD(3)=28+4=32(kNm).

IV. Biểu đồ nội lực cho khung phẳng:

a. Định nghĩa: "Khung phẳng là tập hợp các thanh liên kết với nhau tại các điểm nút, trục

các thanh nằm trong 1 mặt phẳng"

b. Vẽ biểu đồ nội lực cho khung phẳng:

Ta vẽ biểu đồ nội lực cho từng thanh xiên (thanh đứng là trường hợp riêng của thanh xiên),

có quy ước dấu:

+ Dấu biểu đồ N, Q như thanh ngang.

+ Mx > 0 khi làm căng các thớ trong cửa khung.

sau đó, ghép các thanh vào, kiểm tra sự cân bằng các nút

Ví dụ: Vẽ biểu đồ nội lực cho khung chịu lực như hình vẽ:


Ph¹m thanh hïng

12

Bước 1: Xác định phản lực và phân đoạn:

- Chia thành 2 đoạn: AB, BC

- Đầu C tự do.


- Đoạn 1: Lập mặt cắt 1-1 đoạn (1) , xét cân

bằng bên phải:

Z=0 Nz(1)=0.

Y=0 Qy(1) =

2

1 1

1 2qz z

2 3

m 0=0 Mx(1) =

3

1 1 1

1 1 2qz . z z

2 3 9

- Đoạn 2: Dùng mặt cắt 2-2 Є đoạn 2 và xét CB phần

phải 0z24

z=0 N2(2) =

1

2 .4.3 = -6

y=0 Qy(2)=2z2-3

m=0 Mx(2)=Pz2 - q2

2

2z

2-M1 1

1 1q 3. .3

2 3

Mx(2)=3z2-z2

2-1-2

2 2

1.4.3 z 3z 7

2

Nhận xét:

Đoạn 1: tại q2=0 Qy có cực trị.

Tại điểm có Qy=0 Mx có cực trị.

Bước 3: Vẽ biểu đồ.

Bước 4: Kiểm tra sự CB của các nút:

Tách nút B ra khỏi khung (dùng mặt cắt sát nút)

Tác dụng lên nút gồm: nội lực và ngoại lực phải CB:

X=0+Q2-P=0+3-3=0

Y=Q1-N2=6-6=0

mB=M+M1-M2=1+6-7=0

thoả mãn.

Khung cân bằng biểu đồ vẽ chính xác.


Ph¹m thanh hïng

13

c. Vẽ biểu đồ nội lực cho thanh cong:

Quy ước về dấu :

+ Dấu biểu đồ N(),Q() như thanh ngang.

+ M() > 0 khi có xu hướng làm thanh cong thêm.

Định lí: “Hợp lực của tải trọng phân bố đều q dọc theo

1 cung cong AB và vuông góc với cung đó là 1 lực đi

qua trung điểm C của dây trương AB cung và có giá

trị là : T = q. AB “.

Nhận xét : Nếu kết cấu đối xứng chịu tải trọng đối xứng thì N và M đối xứng còn Q phản đối

xứng.

Ví dụ: Vẽ biểu đồ nội lực cho thanh cong chịu tải trọng như hình vẽ:

N

Q

M

Giải :

Bước 1: Xác định phản lực liên kết:

Xét cân bằng thanh AB:

Z = 0 HA =0.

mA = 0 VB = qR.

Y = 0 VA = qR.


- Lập mặt cắt 1-1 qua O xét cân bằng phần trái:

u = VA.cos- q.z.cos + N() = 0.

v = - VA.sin+ q.z.sin + Q() = 0.

m 01 = M() + VA.z – qz2/2 = 0.

Với z = R(1-cos) ta có :

N() = qR.cos- qR(1-cos).cos = - qR.cos2

+


Ph¹m thanh hïng

14

Q() = qR.sin - qR(1-cos).sin = qR.cos.sin

M() = -qR2(1-cos) + 0,5qR2(1-cos)2 = - 0,5qR2.sin2

Để vẽ biểu đồ ta lập bảng các giá trị nội lực tại một số mặt cắt:

00 450 900

N -qR qR

2 0

Q 0 qR

2 0

M 0 2qR

4

2qR

2

Từ các giá trị đặc biệt của N, Q, M trong bảng ta vẽ được biểu đồ nọi lực cho 1 nửa

thanh cong ; nửa còn lại suy ra từ nhận xét.

BÀI TẬP CHƢƠNG 1


Ph¹m thanh hïng

15


Ph¹m thanh hïng

16

Ch¬ng 2 : THANH CHỊU KÉO (NÉN) ĐÚNG TÂM

§1: Khái niệm

Định nghĩa: thanh chịu kéo (nén) đúng tâm khi trên mọi mặt cắt ngang của thanh chỉ Nz.

Nz0 thanh chịu kéo.

Nz<0 thanh chịu nén.

Ví dụ: dây cáp, dây ròng rọc, cột gạch…

§2: Ứng suất trên mặt cắt ngang

Thí nghiệm: xét thanh có chiều dài l, mặt cắt ngang có kích thước bxh:

Khi thanh chưa chịu lực, vạch lên mặt ngoài của thanh những đường:

o Song song trục thanh tượng trưng cho thớ dọc thanh.

o Vuông góc trục thanh tượng trưng mặt cắt ngang thanh.

Giả sử thanh chịu kéo thanh có chiều dài (l+Δl), kích thước mặt cắt ngang (b-Δb)x(h-Δh)

Sau khi chịu lực, quan sát các đường kẻ ta thấy:

o Các đường // trục thanh sau biến dạng vẫn thẳng và // trục thanh.

o Các đường trục thanh tuy có thay đổi khoảng cách nhưng vẫn trục thanh.

Cho rằng biến dạng bên trong thanh cũng như bên ngoài các giả thuyết:

a. Giả thuyết về các thớ dọc: Trong quá trình biến dạng, các thớ dọc không ép lên nhau,

cũng không tách xa nhau mặt cắt dọc thanh x =0, y = 0.

b. Giả thuyết về mặt cắt ngang : Trong quá trình biến dạng, các mặt cắt ngang luôn

phẳng và trục thanh mặt cắt ngang : z 0, ƯS tiếp = 0.

Xét điểm C bất kỳ trên mặt cắt ngang nào đó :

Xác định ƯS tại C phức tạp tưởng tượng tách 1

phân tổ tại C, có các mặt // mặt phẳng toạ độ.

Phân tố tại C : không có ƯS tiếp (do mặt cắt ngang luôn

phẳng và ) chỉ z.

Theo Định luật Hooke ta có: z z = E. (2.1)

Trong đó: + E: Môđun đàn hồi khi kéo (nén) của vật liệu, phụ thuộc vào tính chất vật liệu

được xác định từ thực nghiệm

+ z : biến dạng dài tỉ đối theo phương z.


Ph¹m thanh hïng

17

Xét đoạn thanh dz tách ra bởi mặt cắt 1-1 và 2-2:

Khi biến dạng: giả sử 1-1 giữ nguyên

2-2 2’-2’: Δdz = const.

Theo Đ/N: z =dz

dz

(2.1’)

z = const.

+ Đối với mỗi loại vật liệu: E = const.

(2.1) z = E.z = const.

Theo Đ/N, ta có: Nz = z

(F)

.dF = z.F

z

z

N =

F (2.2)

Với kéo nén đúng tâm, z phân bố đều trên mặt cắt ngang.

§3 : Biến dạng của thanh khi chịu kéo (nén) đúng tâm

I. Biến dạng dọc trục : thanh giãn ra (khi chịu kéo) hoặc co (khi chịu nén) một lượng bằng

Δl. Δl : biến dạng dọc của thanh.

Xét đoạn thanh dz :

z

z(2.1') (2.1)

dz .dz dzE

l l l

z z

(2.2)0 0 0

Nl= dz dz dz

E EF.

+ EF : độ cứng của thanh (thanh càng cứng thì biến dạng càng nhỏ).

Đặc biệt : khi zN

constEF

Δl=z

N l

EF.

Khi chia ra n đoạn:

inz

ii 1 i

Nl l , const

(EF).

Ta có:

(i)nz i

ii 1 i

N ll l

(EF)

(3.3)

II. Biến dạng ngang :

Gọi biến dạng tương đối (tỷ đối) theo phương x,y tương ứng là x y, . Theo nhà toán học

người Pháp- Poison : x = y = -µz.

+ µ : hệ số Poison, phụ thuộc vật liệu (0µ0.5).

Ví dụ : Cho cấu kiện chịu lực như hình vẽ. AB là phần cứng. Các thanh 1,2,3 cùng vật liệu có

E=2,0.104 kN/cm2.

1) Tính ƯS trong các thanh.

2) Tính chuyển vị đứng của điểm A.


Ph¹m thanh hïng

18

Bước 1 : Xác định lực dọc trong các thanh

Xét cân bằng AB :

B

m 0 .

N2.2a=P.3a+q.2a.a

N2=3 3

p qa .20 40.1 70(KN)2 2

.

Dm 0 N3.2a = - Pa + q.2a.a

N3= p

2 +qa= -10 + 40.1 = 30 (kN).

Z=0 HB=0.

Xét cân bằng nút C:

Y=0 N1=N1’.

Z=0 2N1Sin300 = N2

N1=N2=70 (kN).

Bước 2: Tính ƯS trong các thanh và biến

dạng dài:

Thanh 1 : l1= 0

a

2.sin30

= a = 1m.

Δl1=2

21 1

4

1

N l 70.103,5.10 (cm)

EF 2.10 .10

; 1=

21

1

N 707(kN / cm )

F 10 .

Thanh 2:

Δl2=2

22 2

42

N l 70.101,75.10 (cm)

EF 2.10 .20

; 222

2

N 703,5(kN/ cm )

F 20 .

Thanh 3:

Δl3=2

23 3

43

N l 30.103.10 (cm)

EF 2.10 .5

; 233

3

N 306(kN/ cm )

F 5 .

Bước 3: Tính chuyển vị đứng của điểm A:

Mô tả sơ đồ biến dạng của kết cấu :

Mô tả sự dịch chuyển của điểm A, B, C, D:

Δc=1

10

l2 l

sin30

.

Tính chuyển vị điểm A :

ΔD = Δc + Δl2 = 2Δl1 + Δl2

=(2.3,5+1,75).10-2=8,75.10-2(cm).

Ta có: DD'' 2a 3 3

AA'' DD'' (DD'-BB')AA'' 3a 2 2

.

Trong đó: AA’’=AA’-A’A’’= ΔA - Δl3 ; DD’= ΔD ; BB’= Δl3 ΔA- Δl3= D 3

3( l )

2

ΔA= 2 2D 3

1 1(3 l ) (3.8,75 3).10 11,625.10 (cm)

2 2

.


Ph¹m thanh hïng

19

§4. Ứng suất trên mặt cắt nghiêng

Cho thanh chịu kéo đúng tâm như trên hình vẽ. Điểm C bất kỳ thuộc thanh. Cắt qua C bằng

mặt cắt m-m.

Tại C, tách phân tố hình hộp

Xét CB phân tố lăng trụ tam giác

=(z,).

(Phương : trục z quay ngược chiều kim đồng hồ thì >0).

Phân tố có các cạnh: dy,dx,dz

Trục u mặt phẳng nghiêng

Trục v nằm trong mph nghiêng

u z

2

u z

dy U=0 .dx .cos .dxdy 0

cos

.cos

v=0 uv.dx.

z

dysin .dx.dy 0

cos

z

uv.sin2

2

Vậy

2

u z

z

uv

cos

sin22

(4.1)

Nhận xét: (4.1)

max z

0 0z

maz

ví i 0

ví i 45 ,1352

Xét mặt cắt xiên n-n m-m: 1= +90o

(4.1)

2 2

v z 1 z

z z

vu 1 uv

cos sin

sin2 sin22 2

(4.2)

Từ (4.1) và (4.2)

u v z

uv vu

Định luật đối ứng của ƯS tiếp

Định luật đối ứng của ƯS tiếp: “nếu trên 1 mặt nào đó có ƯS tiếp thì trên mặt với nó cũng

ƯS tiếp, chúng ngược dấu nhau trị số bằng nhau" (cùng hướng vào hoặc đi ra xa giao

diện chung)

Chiều dương của : là chiều khi quay pháp tuyến ngoài thuận chiều

kim đồng hồ.

<


Ph¹m thanh hïng

20

§5: Đặc trƣng cơ bản của vật liệu

Vật liệu bao gồm: + Vật liệu tự nhiên (đất, đá..)

+ Vật liệu nhân tạo (gạch, sắt thép…)

Ta phải nghiên cứu để sử dụng hợp lý (về độ bền, tiết kiệm vật liệu, đúng mục đích sử dụng).

Nghiên cứu đặc trưng cơ học của vật liệu (thông qua các thí nghiệm).

Phân loại vật liệu:

Vật liệu dòn: bị phá hỏng ngay khi biến dạng còn rất bé (VD: gang, đá, gạch, bê tông…)

Vật liệu dẻo: Chỉ bị phá hỏng với biến dạng khá lớn (VD: thép, nhôm,..)

I. Thí nghiệm kéo:

a. Mẫu thí nghiệm: có dạng hình trụ (hình vẽ)

Mẫu được kiểm tra về độ rỗng, tạp chất, độ bóng…

mẫu phải đạt tiêu chuẩn và được chế tạo trong xưởng.

D0, F0,l0: đường kính, diện tích tiết diện ngang, chiều dài ban đầu của mẫu.

b. Thí nghiệm kéo vật liệu dẻo

Sự làm việc của mẫu chia làm 3 giai đoạn:

Giai đoạn 1: Giai đoạn đàn hồi (OA): Lực tỉ lệ với biến

dạng

Lực lớn nhất : t

P

Giới hạn tỷ lệ: t t 0

P /F

Giai đoạn 2: Giai đoạn chảy dẻo (BC): biểu đồ gần như

nằm ngang (lực không tăng nhưng biến dạng vẫn tăng)

Lực lớn nhất :ch

P

Giới hạn chảy: ch ch 0

P /F

Giai đoạn 3: Giai đoạn củng cố (CD)

P Δl . Sau đó P giảm dần nhưng Δl vẫn tăng

Nếu cho F0,l0 không đổi trong suốt quá trình chịu lực

có biểu đồ quy ước

Vậy t ch b, , là những đặc trưng cho tính bền của vật liệu

P<Pch: mặt cắt ngang như nhau

P>Pch: xuất hiện chỗ thắt lại, nếu P thì mẫu bị đứt.

P=Pch: xuất hiện các vết nứt nghiêng 450 ( do vật liệu gồm các tinh thể liên kết với nhau

mạng tinh thể. Ở giai đoạn chảy, các tinh thể trượt lên nhau xuất hiện vết nứt).

Hai đại lượng đặc trưng tính dẻo:

Độ giãn dải tỷ đối:

1 0

0

l l.100(%)

l (5.1)

(l1: chiều dài của mẫu khi bị đứt)

Độ thắt tỷ đối:

0 1

0

F F.100(%)

F (5.2)

(F1: diện tích mặt cắt ngang tại chỗ bị thắt ngang lại khi mẫu bị đứt)


Ph¹m thanh hïng

21

d. Thí nghiệm kéo vật liệu dòn:

Chỉ giới hạn bền:

bb

0

P

F

Khả năng chịu kéo kém.

II. Thí nghiệm nén vật liệu

a. Mẫu thí nghiệm: hình hộp hoặc hình trụ tròn

(mẫu bê tông) (mẫu bằng gang, thép)

dh2d

h nhỏ: ta khó quan sát mẫu khi thí nghiệm

h lớn: mẫu dễ bị uốn khi chịu nén

b. Thí nghiệm nén vật liệu dẻo

Chỉ tồn tại giới hạn tỷ lệ và giới hạn chảy

Giới hạn bền không xác định được vì có sự phình ngang của

mẫu, mẫu cứ tiếp tục chịu lực mà không bị phá hoại.

c. Thí nghiệm nén vật liệu dòn

Chỉ giới hạn bền:

Pbnén >>Pb

kéo

VD:

Gang : + nén: Pb=10MN/m2

+ kéo: Pb=2,5 MN/m2

Bê tông : bảo vệ cốt thép, làm tăng độ cứng, tính linh hoạt

cao)

III. Hiện tƣợng biến cứng nguội

Xét biểu đồ kéo vật liệu dẻo :

P< t

p : P Δl, biểu đồ ứng với đoạn OA như cũ

P t

p (ví dụ tại điểm C)

P biểu đồ là đường CO1//AO

biến dạng OC1 chỉ khôi phục được phần 01C1 (BD đàn hồi)

OO1: biến dạng dẻo (hay BD dư)

Từ giá trị O P biểu đồ là đường O1CD

ở lần kéo thứ 2: giới hạn tỉ lệ tăng lên (từ OA’ OC’)

biến dạng dẻo giảm đi (lượng OO1)

Hiện tượng biến cứng nguội: làm tăng giới hạn tỷ lệ và giảm biến dạng dẻo được ứng

dụng để chế tạo cốt thép cường độ cao (dùng nhiều trong bê tông ứng lực trước)


Ph¹m thanh hïng

22

§6. Điều kiện bền – Các bài toán cơ bản. Ứng suất cho phép

Đ/N ứng suất nguy hiểm là ƯS 0 0, mà khi 1 điểm nào đó trong thanh đạt đến ƯS này thì

coi như thanh bị phá hoại

Điều kiện: maxchz

z 0

b

: ví i vËt liÖu dÎ oN

: ví i vËt liÖu dßnF

(*)

Thực tế, không sử dụng công thức (*) vì:

Vật liệu ở ngoài thực tế khác ở trong phòng thí nghiệm.

Tải trọng thực tế > tải trọng thiết kế.

ƯS cho phép :

0 0,n n

Với n >1 - hệ số an toàn, lấy theo quy phạm

Điều kiện bền: z

N

F (6.1)

Ý nghĩa n:

Nếu n F vật liệu tăng kinh phí tăng, ảnh hưởng đến mỹ thuật

Nếu n F

Tuy nhiên do điều kiện và mục đích sử dụng mà có hệ số n thích hợp

Từ (6.1) 3 bài toán điều kiện bền

Kiểm tra bền theo (6.1) với sai số 5%

Chọn tiết diện mặt cắt F Nz/

Xác định giá trị tải trọng cho phép P

Ví dụ:

Cho kết cấu chịu lực như hình vẽ AB, CD là dầm

cứng. Các thanh (1), (2), (3) cùng vật liệu:

E=2.104 KN/cm2, = 16KN/cm2

Xác định mặt cắt ngang các thanh và tính

chuyển vị tại điểm D.

Bước 1: Xác định lực dọc trong các thanh

Xét cân bằng dầm CD:

cm 0 N3.2a = q.2a.a + P.3a

N3=qa+3 3

P 60.1 .40 120KN2 2

Xét cân bằng dầm AB:

Am 0 N2.3a=q.2a2 + M + N3.2a

N2= 1

(60.2.1 12 240) 124(KN)3

Bm 0 N1.3a=q.2a.2a – M + N3.a


Ph¹m thanh hïng

23

N1 = 3N4 M 4 12 120q.a .60.1 116(KN)

3 3a 3 3 31 3

Bước 2: Xác định kích thước mặt cắt ngang theo điều kiện bền:

Thanh 1: F1 = F(1)

21N 1167,25(cm )

16 F(1) 7,25cm2

Thanh 2: F2 = 2,5F(2)

22N 1247,75(cm )

16 F(2) 3,1cm2

Thanh 3: F3 = 2F(3)

23N 1207,5(cm )

16

F(3) 3,75 (cm2)

Chọn F= max F(i)= 7,25 (cm2).

Bước 3: Tính chuyển vị của điểm D

Mô tả sơ đồ biến dạng của kết cấu

Tính biến dạng dài trong các thanh Δli :

Δl1=

221 1

41

N 116.2.1016.10 (cm)

EF 2.10 .7,25

Δl2= 2

22 2

42

N 124.2.106,8.10 (cm)

EF 2.10 .2,5.7,25

Δl3=

223 3

43

N 120.104,1.10 (cm)

EF 2.10 .2.7,25

Tính ΔD

ΔI = II’= 2 21 2

1 2 1 2l l 16.10 6,8.10

3 3 3 3 ΔI = 9,9.10-2(cm)

ΔK=KK’= ΔI+ Δl3=(9,9+4,1).10-2=15.10-2(cm)

ΔD= 2K

3 3.15.10 0,225(cm)

2 2

§7. Tính thanh có kể đến trọng lƣợng bản thân

Xét thanh chịu lực đúng tâm P như hình vẽ. Thanh có

chiều dài l, diện tích mặt cắt ngang F,trọng lượng riêng

Xét mặt cắt z-z bất kỳ: Z=0

Nz = P+Qz = P + .F.Z (0zl) (7.1)

zz

N P.Z

F F (7.2)

Điều kiện bền:

max

P.l

F (7.3)

Biến dạng dọc:

Δl=l l 2

z

0 0

N P z P.l .ldz ( )dz

EF EF E EF 2E

Δl=

P.l Q.l

EF 2EF với Q = .l.F

Chú ý:


Ph¹m thanh hïng

24

Từ (7.3) thanh có độ bền đều: là thanh có ƯS ở mọi mặt cắt ngang đều đạt đến ƯS

cho phép: z

Giả sử thanh có độ bền đều. Xét đoạn thanh

dz bị cắt bởi mặt cắt 1-1 và 2-2:

Z=0 (2) (1)z z zN N Q 0 (*)

Theo định nghĩa: (1)

(1) zz

(z)

N

F (1)

(2)(2) zz

(z) (z)

N

F dF

(2)

z (z)Q .F .dz (3)

Thay (1), (2) và (3) vào (*): (z) (z) (z) (z)F dF F .F .dz

(z)

(z)

dFdz

F

(z)lnF .z C

(4)

Tại Z=0: F(z)=F0 C= lnF0

(4)

(z) 0lnF .z lnF ln

(z)

0

F.z

F

F(z)=F0.

.z

e

(7.4)

Thực tế, không chế tạo được thanh có F(z) như (7.4) do đó

người ta cố gắng chế tạo (thiết kế) gần đúng: thanh bậc thang

VD: móng đơn của nhà...

§8. Bài toán siêu tĩnh

Nếu số ẩn số số phương trình cân bằng xác định được ẩn số từ các phương trình tĩnh

học bài toán tĩnh định.

Nếu số ẩn số > số phương trình cân bằng không xác định được ẩn số từ các phương

trình tĩnh học bài toán siêu tĩnh.

Gọi n là số bậc siêu tĩnh:

n = số ẩn số - số phương trình cân bằng.

đề giải bài toán, ta phải lập n phương trình bổ sung.

các phương trình biến dạng.

Ví dụ 1: Cho hệ như hình vẽ. Xác định lực dọc tại các mặt cắt.

Xét đoạn thanh giới hạn bởi mặt cắt 1-1 và 2-2, ta có

phương trình cân bằng:

Z=0 N1 = N2 + P . (1)

Phương trình biến dạng:


Ph¹m thanh hïng

25

Δl=0 1 2N a N b0

EF EF . (2)

Từ (1) và (2) : 1

P.bN

a b

; 2

P.aN

a b

.

Ví dụ 2: Cho 3 thanh phẳng mặt phẳng liên kết khớp, cùng vật liệu cùng EF. Xác định lực dọc

trong các thanh.

Xét cân bằng nút A:

X=0 -N1sin + N3sin=0

Y=0 N1cos+N2+N3cos-P=0

Tacó: (1)

Bài toán siêu tĩnh bậc n=1 phải thiết lập 1 phương trình bổ sung.


Mô tả sơ đồ biến dạng của kết cấu:


Δl1= Δl2cos

1 1 2 2N l N lcos

EF EF (*)

với l2=l, l1= l/cos

*

N1=N2. cos2 (2)

Từ (1) và (2): 2

1 3 23 3

Pcos PN N ; N

1 2cos 1 2cos

Bài toán mở rộng

I. Cho hệ chịu lực như hình vẽ (2 thanh nối tiếp nhau) có chiều dài li, độ

cứng (EF)i, chịu lực kéo P

Chuyển vị của điểm C:

ΔC = Δl1+ Δl2 = 1 1 2 2

1 2

N l N l

(EF) (EF)

Gọi C = EF

l: Độ cứng đơn vị

c

1 2

P P P

C C C với

1 2

1 1 1

C C C

Vậy ta có thể thay thế 2 thanh nối tiếp bằng 1 thanh có độ cứng đơn vị :1 2

1 1 1

C C C

II. Cho hệ chịu lực như hình vẽ (2 thanh song song)

Δc= Δl1= Δl2 ; N1+N2=P

1 3

1 2

N =N

2N cos +N =P


Ph¹m thanh hïng

26

Δc = 1 1 2 2

1 2

N l N l

(EF) (EF) Δc = 1 2

1 2

N N

C C

Δc = 1 2

1 2 1 2

N N P P

C C C C C

Vậy ta thấy hệ 2 thanh // bằng 1 thanh tương đương có độ cứng: C=C1+C2.



Ph¹m thanh hïng

27


Ph¹m thanh hïng

28

CHƢƠNG 3. TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT


Ph¹m thanh hïng

29

§1. Khái niệm

Xét vật thể cân bằng dưới tác dụng của iP lấy điểm C bất kỳ

vật thể (S) tách 1 phân tố tại C trên các mặt của phân

tố tồn tại σ,

Qua điểm C: Có rất nhiều mặt cắt (vô số mặt cắt) có các

ƯS khác nhau (ƯS trên các mặt cắt nghiêng)

Định nghĩa: trạng thái ứng suất (TTƯS) tại 1 điểm là tập hợp tất

cả các thành phần ứng suất σ, trên những mặt vô cùng bé dF

đi qua điểm đó.

TTƯS đặc trưng cho tình trạng chịu lực tại 1 điểm.

TTƯS tại điểm C: được xác định và có thể được đặc trưng bởi (σ,) trên 3 mặt cắt vuông

góc với nhau tại điểm đó.

Biết được TTƯS: tìm được các đặc trưng

Quy luật thay đổi ƯS khi n

(pháp tuyến mặt cắt) thay đổi.

Một số định nghĩa khác:

Mặt chính, phương chính và ƯS chính:

Mặt chính là mặt chỉ tồn tại ứng suất pháp σ, ứng suất tiếp =0.

Phương chính là phương của mặt chính.

ƯS chính: là ƯS pháp ở trên mặt chính.

tại điểm C có : - 3 mặt chính vuông góc,

- 3 phương chính vuông góc,

- 3 ứng suất chính σi (σ1 σ2 σ3).

Phân tố chính: là phân tố tách ra tại điểm đang xét với mọi mặt đều là mặt chính

Phân loại TTƯS: có 3 loại.

Trạng thái ƯS khối Trạng thái ƯS phẳng Trạng thái ƯS đơn

σ1 , σ2 , σ3 0 σ1 , σ2 > 0; σ3=0 σ1 > 0, σ2 = σ3 =0

σ2 , σ3 < 0; σ1=0 σ3 < 0, σ1 = σ2 =0

σ1>0, σ3<0; σ2=0

§2. Trạng thái ứng suất phẳng


Ph¹m thanh hïng

30

Định nghĩa: Trạng thái ứng suất (TTƯS) phẳng là TTƯS có 2 ứng suất chính khác không và

1 ứng suất chính = 0.

Giả sử tại C thuộc vật thể (S) có TTƯS là TTƯS phẳng, tách ra 1 phân tố hình hộp vuông

góc có các cạnh dx, dy, dz với các mặt phẳng vuông góc Z là mặt chính (với z = 0), các

mặt còn lại là bất kỳ (không phải là mặt chính)

I. Định luật đối ứng của ứng suất tiếp

Từ điều kiện cân bằng của phân tố:

zm 0 (xy.dy.dz).dx - (yx.dx.dz).dy = 0

xy = yx (1)

II. Ứng suất trên mặt cắt nghiêng

Lập mặt cắt xiên (). Xét cân bằng phân tố lăng trụ tam giác:

u x y xy yxu .dz.ds .dy.dz.cos .dz.dx.sin .dy.dzsin .dx.dz.cos 0

uv x y xy yxv .dz.ds .dy.dz.sin .dz.dx.cos .dy.dz.cos .dx.dz.sin 0

với dx=ds.sinα, dy =ds.cosα

x y x y

u xy

x y

uv xy

cos2 .sin2 (a)2 2

sin2 cos2 (b)2

(2)

Nhận xét: -2 uv ud / d

III. Mặt chính, phƣơng chính, và ứng suất chính

Gọi mặt chính xác định bởi góc định vị 0 uv: 0

Từ (2) x y

uv 0 xy 0sin2 cos2 02


Ph¹m thanh hïng

31

xy

0

x y

2tg2

1 0

02 0 90

(3)

+ Có 2 mặt chính // z và vuông góc với nhau.

+ Có ƯS chính là các ƯS cực trị: σmax; σmin u

uv

d( 2 0)

d

.

Từ (2a) và (3) σmax,min=x y 2 2

x y xy

1( ) 4

2 2

(4)

Nhận xét: σmax+σmin= σx + σy

IV. Ứng suất tiếp cực trị

Giả sử các mặt có ƯS tiếp đạt cực trị max min( , ) là mặt xác định bởi

uvd0

d

x y

xy

tg22

(5)

(3,5) 0tg2 2cot g2 00 k45 (k 1,3)

Mặt có ứng suất tiếp cực trị tạo với mặt chính một góc 450

Từ (5) và (2b) 2 2max,min x y xy

1( ) 4

2 (6)

Chú ý: góc α>0 khi trục nằm ngang x quay ngược chiều kim đồng hồ trục u

§3. Nghiên cứu trạng thái ứng suất phẳng bằng phƣơng pháp đồ thị

(Vòng tròn MO ứng suất)

Xét phân tố phẳng như hình vẽ:

Lập hệ trục toạ độ ( , )với σ//x, //y.

Lập mặt cắt nghiêng () trên mặt cắt nghiêng xuất

hiện u uv, được xác định theo (2).

Ta thấy: u uvf( ), g( ) giữa σu và uv có mối liên hệ.

I. Vòng tròng M0 ứng suất

x y x y2 2u xy

x y2 2uv xy

2

x y x y2 2 2 2u uv xy

( ) ( cos2 sin2 )2 2

(2)

( sin2 cos2 )2

( ) R2 2

Là phương trình đường tròn bán kính R, tâm Cx y

( ,0)2

với

2

x y 2xyR

2


Ph¹m thanh hïng

32

(σ,) của các mặt //z của phân tố được biểu thị

bằng tọa độ những điểm trên vòng tròn vòng

tròn ứng suất (vòng tròn MO ứng suất) được kỹ sư

người Đức Otto Morh đưa ra.

II. Vẽ vòng tròn M0

Trong hệ trục (σ0), lấy điểm E (σx,0) ; F(σy,0) ;

điểm cực D y xy( , ) .

Vẽ vòng tròn tâm C (là điểm giữa của EF), bán

kính CD vòng tròn ứng suất.

III. Ứng dụng

Xác định u, u : từ điểm cực D, kẻ pháp

tuyến ngoài góc α, cắt đường tròn tại M(u,u)

u uvGM ; OG

Xác định ứng suất chính và phương chính:

max 1 min 2OB ; OA

Nối DA phương chính

DB phương chính

Mặt phẳng DA, hoặc DB mặt chính

Xác định ứng suất tiếp cực trị :

max CJ ; min CI

Mặt có ƯS tiếp cực trị : là mặt phẳng

DJ hoặc DI.

Ví dụ: Cho phân bố phẳng như hình vẽ, = -30o :

Hãy xác định : + ƯS trên mặt cắt xiên.

+ ƯS chính và phương chính.

+ max,min

Giải:

Ta có: = -30o ; x = 6kN/cm2 ; y = -2kN/cm2 ; xy = -4kN/cm2.

a. Theo phương pháp giải tích:

x y x y

u xycos2 sin22 2

0 0 26 2 6 ( 2)cos( 60 ) ( 4)sin( 60 ) 4 2 3 0,6(KN/cm )

2 2

x y 2uv xy

6 ( 2)sin2 cos2 sin( 60) ( 4)cos( 60) -5,4(kN/cm )

2 2

Ứng suất chính :

x y 2 2 2 2max,min x y xy

2max

2min

1 6 2 1( ) 4 (6 2 ) 4( 4)

2 2 2 2

7,48KN/ cm

3,48KN/ cm


Ph¹m thanh hïng

33

Phương chính :

0xy

0 0 0x y

2 22,52.( 4)tg2 1

6 ( 2) 115,5

2max2 2

max,min x y xy 2min

5,48KN/cm1( ) 4

2 5,48KN/cm

b. Theo phương pháp đồ thị: Vẽ vòng tròn ứng suất

Trên hệ trục (σ,), lấy:

E(6,0), F(-2,0)

Điểm cực D(-2,-4)

Vẽ vòng tròn tâm C(2,0) giữa EF và bán kính

CD

Từ D, kẻ đường thẳng tạo bởi phương ngang

300, cắt đường tròn tại M

u uvOG , GM

Ứng suất chính

max minOB , OA

Ứng suất tiếp cực trị

max minCI , CJ

§4. Định luật Hooke

Định luật Hooke: do nhà bác học người Anh Robert Hooke khám phá ra dựa vào thực

nghiệm. Định luật nêu lên mối quan hệ bậc nhất giữa lực tác dụng và biến dạng.

I. Định luật Hooke dạng tổng quát

Xét phân tố hình hộp có các cạnh =1

Theo nguyên lý cộng tác dụng:

x xx xy xz (1)

x : Biến dạng tương đối của phân tố theo phương x.

x x, x y, x z : Biến dạng tương đối của phân tố theo

phương x, y, z do σx, σy, σz gây ra.

yPoissonx zxx xy xz;

E E E

(Các ứng suất tiếp không gây ra biến dạng dài)

1

x x y z

y y z x

z z x y

1( )

E

1( ) (2)

E

1( )

E

Định luật Hooke tổng quát


Ph¹m thanh hïng

34

Khi các mặt của phân tố là mặt chính : σx, σy, σz sẽ là σ1, σ2, σ3

Biến dạng theo phương chính :

1 1 2 3

2 2 3 1

3 3 1 2

1( )

E

1( )

E

1(

E

Trường hợp trạng thái ứng suất phẳng: giả sử σz=0

x x y y y x z x y

1 1; ;

E E E

II. Định luật Hooke khối

Đặt S= σx+σy+ σz S= σx+σy+ σz = σ1+ σ2+ σ3 : lượng bất biến thứ 1 của TTƯS

Phân tố có các cạnh: dx,dy,dz thể tích: dV=dx.dy.dz

Sau khi biến dạng, các cạnh: dx + xdx, dy + ydy, dz + zdz

thể tích: dV1= (dx + xdx). (dy + dy).(dz + zdz)

Biến dạng thể tích tương đối: 1dV dVV

V dV

x y z

(1 )(1 )(1 ) 1

Bỏ qua các vô cùng bé bậc 2 ta có

c/m ® î c

x y z 1 2 3 (2)

(1) x y z x y z x y z

1( ) 2 ( )

E =

1 2S

E

(2) 1 2

SE

(3)

Khi = 0,5 = 0 Vật liệu có tính chất đàn hồi gần giống với chất lỏng không chịu nén

( ví dụ: cao su, parafin)

III. Định luật Hooke về trƣợt

Xét phân tố ở trạng thái trượt thuần tuý: phân tố chỉ có ƯS

Góc trượt tương đối :

xy

xy

yz

yz

zxzx

G

G

G

(4)

Với G =E

2(1 ) - mô đun đàn hồi trượt của vật liệu.

G: phụ thuộc tính chất vật liệu, được xác định từ thực nghiệm (Ứng suất tiếp không

gây ra biến dạng góc trong các mặt phẳng vuông góc với nó).


Ph¹m thanh hïng

35

Vẽ vòng tròn Mo : Cho phân tố ở trạng thái trượt thuần tuý (TTƯS phẳng) phân tố chỉ có

ứng suất (σ=0)

Ta có hệ trục (σ, ) : C0

Cực D : (0, xy). Vẽ đường tròn (C,CD)

min xy 3

max xy 1

OB

OA

(σz=0 : phương chính)

Ví dụ: Cho phân tố phẳng như hình vẽ. Hãy xác định biến

dạng dài tuyệt đối của AB nếu biết:E=2.104KN/cm2, =0,25.

Giải:

Ta có: σx= -10kN/cm2, σy= 0

xy= 4KN/cm2,

Biến dạng tuyệt đối của AB

AB u u.AB .5

Theo định luật Hooke

u u v z

1( )

E (1)

(Với z= 0)

Mặt khác : u v x y

v x y u u10 (2)

Từ (1) và (2) u u u

1( 10 )

E

Ta có: x y x y

u xycos2 sin22 2

(3)

sin 3/5 ; cos 4/5 o36 52' sin2 0,96; cos2 0,28.

2u

10 0 10 0.0,28 4.0,96 10,24kN/cm

2 2

.

2v u10 10 ( 10,24) 0,24kN/cm

Biến dạng tuyệt đối của AB

4AB u 4

1.5 10,24 0,25.(0,24 0) .5 25,75.10 (cm)

2.10

.


Ph¹m thanh hïng

36



Ph¹m thanh hïng

37

CHƢƠNG 4. ĐẶC TRƢNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG

§1. Khái niệm

Khi nghiên cứu thanh chịu kéo (nén) đúng tâm : z

N

F ứng suất trong thanh chỉ phụ thuộc

1 đặc trưng hình học của thanh đó là diện tích F.

Với thanh chịu uốn, xoắn … ƯS trong thanh không những chỉ phụ thuộc vào F mà còn phụ

thuộc hình dáng của thanh, vị trí đặt lực ( vị trí tác dụng của ngoại lực đối với mặt cắt).

Xét 2 thanh có cùng kích thước (bxhxl) chịu lực P tác dụng trong 2 trường hợp (a) và (b).

Bằng trực giác ta thấy thanh trong trường hợp (a) có khả năng chịu lực lớn hơn thanh trong

trường hợp (b).

Vậy, ngoài diện tích ta cần xét thêm 1 số đặc trưng hình học khác nữa của mặt cắt ngang.

§2. Mô men tĩnh và các mômen quán tính

Giả sử F(xOy) ; A(x,y)F, bao quanh A diện tích bé dF

I. Mômen tĩnh :

a) Định nghĩa : Mômen tĩnh của diện tích (F) đối với

các trục x,y là lượng đại số Sx, Sy được xác định như

sau :

x y

(F) (F)

S ydF ; S xdF (1)

Đơn vị : cm3, m3...

Nhận xét :

x y

0

S ,S 0

0

Nếu Sx0 = Sy0 =0 x0, y0 gọi là trục trung tâm.

C = x0 x y0 C là trọng tâm của mặt cắt F (diện tích F).

Tính chất của trọng tâm: mọi trục u đi qua trọng tâm C đều là trục trung tâm: Su=0


Ph¹m thanh hïng

38

b) Công thức xác định trọng tâm :

Giả sử x0,y0 là trục trung tâm của mặt cắt.

Gọi : (xC,yC) là tọa độ của C trong (xOy).

(x,y) là tọa độ của A trong (xOy).

(x0,y0) là tọa độ của A trong (x0Oy0).

C(xC,yC) là trọng tâm của mặt cắt F: y x

c c

S Sx ; y

F F

Giả sử vật thể chia làm n phần: phần i có diện tích Fi, trọng tâm Ci(xi, yi)

Ta có: i

y y i iS = S x.F ;

i

x x i iS = S y.F

i i i i

c c

i i

xF y Fx , y

F F

(2)

II. Mômen quán tính đối với 1 trục

Định nghĩa: Mômen quán tính của diện tích (F) đối với các trục x,y là lượng đại số Jx, Jy

được xác định như sau :

2 2x y

(F) (F)

J y dF ; J x dF (3)


Nhận xét : Jx, Jy >0

III. Mômen quán tính đối với 1 điểm (mômen quán tính độc cực)

Định nghĩa: Mômen quán tính của diện tích (F) đối với tâm O là lượng đại số J được xác định

như sau :

2

PJ dF với

2 2x y OA (4)

Từ (3), (4) 2 2

x yJ (x y )dF J J

(5)


Nhận xét : J > 0.

IV. Mômen quán tính li tâm (Mômen tĩnh quán tính)

Định nghĩa: Mômen quán tính li tâm của diện tích (F) đối với hệ trục (xOy) là lượng đại số Jxy

được xác định như sau :

Jxy=F

x.y.dF (Jxy>0 hoặc 0) (6)


Nhận xét : Jxy>0 hoặc 0.

Nếu : 0 0x y

J 0 hệ trục (x0,y0) là hệ trục quán tính chính.

x0×y0 ≡ trọng tâm C 0 0x y

(C ) hệ trục quán tính chính trung tâm.

Chú ý: Giả sử, nếu diện tích F tồn tại trục đối xứng y, lấy x bất

kỳ y (x,y) là hệ trục quán tính chính.

Để xác định hệ trục quán tính chính trung tâm ta làm như sau :

- Xác định trọng tâm C.

- Kẻ trục x y hệ trục xCy là hệ trục quán tính chính trung tâm.


Ph¹m thanh hïng

39

§3. Mô men quán tính của 1 số hình phẳng

I. Hình chữ nhật

Xét hình chữ nhật kích thước bxh. x và y là trục đối

xứng nên các trục này là các trục quán tính chính trung

tâm .

Tại vị trí có tạo độ y lấy phân tố diện tích dF có bề rộng

b, chiều dày dy dF = b.dy

Theo định nghĩa :

h/ 2 3

2 2x

(F) h/ 2

bhJ y dF y bdy

12

Tương tự 3

y

hbJ

12

II. Hình tam giác

Xét hình tam giác kích thước bxh. Trục x cạnh

đáy, trục x0 // x và đi qua tâm C. Tại vị trí có tạo độ y

lấy phân tố diện tích dF có bề rộng cạnh đáy by,

chiều dày dy.

Ta có y

h yb .b

h

Vì dF nhỏ nên y

h ydF b .dy .b.dy

h

Theo định nghĩa h 3

2 2x

(F) 0

h y bhJ y dF y .b.dy

h 12

Tương tự 0

2h/ 3 32 2

x

(F) h/ 3

2h y

bh3J y dF y .b.dyh 36

III. Hình tròn

Xét hình tròn đường kính D. Lấy phân tố diện tích dF, vì

dF nhỏ nên dF = .d.d

Theo định nghĩa :

4 4R 22 2

P

0 0

R DJ dF . .d .d

4 32

Các trục đi qua tâm O đều là trục đối xứng nên :

4 4

x y P

1 R DJ J J

2 8 64

Với hình vành khăn : với d

D

4 4

4 4

x y P

1 R DJ J J (1 ) (1 )

2 8 64


Ph¹m thanh hïng

40

§4. Công thức chuyển trục song song của các mômen quán tính

Diện tích (F) thuộc mặt phẳng xOy biết Sx, Sy, Jx, Jy, Jxy

Lập (uO’v) với : u//x, v//y Tính Ju, Jv, Juv

Toạ độ O của hệ (Oxy) trong (uO’v) là (a,b)

Lấy điểm A bất kỳ (F): A(x,y) trong (xOy)

A(u,v) trong (uO’v)

Xung quanh A lấy diện tích vô cùng bé dF

2 2 2 2u

(F) (F) (F)

J v dF (b y) dF (y 2by b )dF

2 2u

(F) (F) (F)

J y dF 2b ydF b dF

2u x x

2v y y

uv xy x y

J J 2bS b F

J J 2aS a F

J = J + aS +bS +abF

(11) Công thức chuyển trục song song

Trường hợp đặc biệt: xOy là hệ trục trung tâm (0 trọng tâm diện tích F): Sx=Sy=0

2u x

2v y

uv xy

J J b F

J J a F

J J abF

Ví dụ 1 : Tính mômen quán tính chính trung tâm cho mặt cắt có hình vẽ :

Chia mặt cắt thành 3 hình: (1) : 12cm x 20cm.

(2) : 12cm x 12cm (khuyết).

(3) : 4cm x 12cm.

(xOy) là hệ trục quán tính chính trung tâm của các hình:

(1) (2) (3) 3 3 3 4x x x x

3 3 3 4y

1 1 1J =J J J .12.20 .12.12 .4.12 8432(cm ).

12 12 12

1 1 1J = .20.12 .12.12 .12.4 1216(cm ).

12 12 12

Ví dụ 2: Tính mômen quán tính chính trung tâm cho mặt cắt có hình vẽ :

Chia mặt cắt thành 2 hình :

Hình 1 : b1xh1 = 4x12, x1O1y1 là hệ trục quán tính chính trung tâm.

Hình 2 : b2xh2 = 12x4, x2O2y2 là hệ trục quán tính chính trung tâm.

Xác định trọng tâm O trong (x1O1y1)

do mặt cắt đối xứng nên y ≡ y1 ≡ y2 x1,0=0

i i 1 21,0 1,0

1 2i

y F 0.F 8.F 0.4.12 8.12.4y y 4(cm)

F F 4.12 12.4F

(x0y) là hệ trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt.

Trong (xOy) : O1(0,4) ; O2(0,-4).

1 2

1 2

(1) (2) 2 2 3 2 3 2 4x x x x 1 1 x 2 2

(1) (2) 3 3 4y y y y y

1 1J J J (J y F ) (J y F ) ( .4.12 4 .4.12) [ .12.4 ( 4) .4.12] 2176(cm )

12 12

1 1J J J J J .12.4 .4.12 640(cm ).

12 12


Ph¹m thanh hïng

41

§5. Công thức xoay trục của các mômen quán tính

Xét diện tích F bất kỳ thuộc hệ trục (x0y): biết Jx, Jy, Jxy

Lập hệ trục (u0v)

quy ước: α>0 khi quay trục x trục u theo ngược

chiều kim đồng hồ

Tính Ju, Jv, Juv

I. Công thức xoay trục

Lấy điểm A bất kỳ diện tích F:

A(x,y) trong x0y

A(u,v) trong u0v

Ta có: u x.cos ysin

v ycos xsin

đ/n Ju=2 2

(F) (F)

v dF (ycos xsin ) dF

2 2 2 2 2 2

u x xy y

(F) (F) (F)

J y cos dF 2sin cos .xy.dF x sin dF cos .J sin2 .J sin .J

x y x y

u xy

x y x y

v xy

x y

uv xy

J J J JJ cos2 J .sin2

2 2

J J J JT ¬ng tù: J cos2 J sin2

2 2

J JJ sin2 J cos2

2

(12): Công thức xoay trục của các mômen quán tính

II. Hệ trục quán tính chính và các mômen quán tính chính

Giả sử hệ trực quán tính chính xác định bởi 0

x y

uv 0 xy 0

J JJ sin2 J cos2 0

2

xy

0x y

2Jtg2

J J

(13)

1 0

2 0

(trôc u)

90 (trôc v)

x y 2 2

max.min x y xy

J J 1J (J J ) 4J

2 2

(14)

Chú ý:

Ju+Jv = Jx + Jy Jmax+Jmin = const

Quan hệ giữa Ju và Juv với Jx, Jy, Jxy, giống quan hệ ở ƯS trên mặt cắt xiên: u,uv, với

x,y, xy, .

Phương pháp vòng tròn MO quán tính.


Ph¹m thanh hïng

42

Ví dụ 1:

Tính các mômen quán tính chính trung tâm của mặt cắt.

Giải :

Chia mặt cắt thành 2 hình :

Hình 1 : b1xh1 = 12x4, x1O1y1 là hệ trục quán tính chính

trung tâm.

Hình 2 : b2xh2 = 4x12, x2O2y2 là hệ trục quán tính chính

trung tâm.

Xác định trọng tâm O trong (x1O1y1) :

i i 1 21,0 1,0

1 2i

i i 1 21,0 1,0

1 2i

x F 0.F ( 4).F 0.12.4 4.4.12x x 2(cm).

F F 12.4 4.12F

y F 0.F 8.F 0.12.4 8.4.12y y 4(cm).

F F 12.4 4.12F

Lập hệ trục trung tâm (0xy).

Toạ độ 01, 02 trong hệ trục (0xy) : 1

1

1

x 20

y 4

;

2

2

2

x 20

y 4

- Tính Jx, Jy, Jxy:

1 2

1 2

(1) (2) 2 2 3 2 3 2 4x x x x 1 1 x 2 2

(1) (2) 2 2 3 2 3 2 4y y y y 1 1 y 2 2

(1) (2xy xy xy

1 1J J J (J y F) (J y F ) [ .12.4 ( 4) .12.4] ( .4.12 4 .4.12) 2176(cm ).

12 12

1 1J J J (J x F) (J x F ) ( .4.12 2 .12.4) [ .12.4 ( 2) .4.12] 1024(cm ).

12 12

J J J

1 1 2 2

) 4x y 1 1 1 x y 2 2 2(J x y F) (J x y F ) [0 2.( 4).12.4] [0 ( 2).4.4.12] = 768(cm ).

Xác định trục quán tính chính trung tâm Ouv và các mômen quán tính chính trung tâm.

0

1xy

0 0x y 2

53,12J 2.( 768)tg2 1.33

J J 2176 1024 143,1

- Mômen quán tính chính trung tâm :

x y 2 2 2 2

max.min x y xy

J J 1 2176 1024 1J (J J ) 4J (2176 1024) 4( 768)

2 2 2 2

Jmax = 2560cm4 = Ju

Jmin = 640cm4 = Jv

Ví dụ 2:

Tính các mômen quán tính chính trung tâm của mặt cắt.

Giải :

Chia mặt cắt thành 2 hình (1) và (2)

Bước 1: tra bảng

[0N 20a :

11

211 1

44y0 x

F 25cmh 20cm b 8cm

J 137cmz 2,27cm J 1660cm


Ph¹m thanh hïng

43

L 100 x 63 x 10: B2= 10cm, b2=6,3cm F2=15,5cm2, x0=1,58cm;

y0=3,4cm; Jx2=154cm4, Jy2= 47,1cm4 Ju2=28,3cm4

Bước 2: Xác định toạ độ trọng tâm 0 của mặt cắt trong (01x1y1)

i i1,0

i

i i1,0

i

xF 0 (2,27 1,58).15,5x 1,4(cm)

F 25 15,5

y F 0 (10 3,4).15,5y 2,52(cm)

25 15,5F

Lập hệ trục trung tâm (0xy). Trong (Oxy) :

1

1

1

x 1,40

y 2,52 ;

22

2

x 2,27 1,58 1,4 2,450

y (10 3,4 2,52) 4,08

- Tính Jx, Jy, Jxy:

1 2

(1) (2) 2 2x x x x 1 1 x 2 2J J J (J y F) (J y F )

22 41660 2,52 .25 (134 4,08 .15,5) 2230,8(cm )

1 2

(1) (2) 2 2y y y y 1 1 y 2 2J J J (J x F) (J x F )

2 2 4(137 1,4 .25) (47,1 2,45 .15,5) 326,1(cm )

1 1 2 2

2 2 2 2

(1) (2)xy xy xy x y 1 1 1 x y 2 2 2

x y x y

J J J (J x y F) (J x y F )

(0 [-1,4].2,52.25) (J 2,45.[-4,08].15,5) J 243,1

- Tính 2 2x y

J : 2 2

2 2 2 2 2

x y 2 2min u x y x y

J J 1J J (J J ) 4J

2 2

2 2 2 2 2 2x y x u y uJ (J J ).(J J )

Từ vòng tròn Mo quán tính, xác định dấu của 2 2x yJ : Từ điểm B có:

2min uJ J , Kẻ tia song song

u2, cắt vòng tròn tại D(2 2 2y x yJ ,J )

2 2x yJ <0

Nhận xét:

Từ trái phải : + Trục u đi lên Jxy>0.

+ Trục u đi xuống Jxy <0.

2 2

4

x yJ (154 28,3)(47,1 28,3) 48,6cm

4

xyJ 48,6 243,1 291,7cm

Bước 3: Xác định trục quán tính chính trung tâm Ouv và các mômen quán tính chính trung tâm.

0xy 1

0 0x y 2

2J 8,52.( 291,7)tg2 0,306

J J 2230,8 326,1 98,5

- Mômen quán tính chính trung tâm :

x y 2 2 2 2

max.min x y xy

J J 1 2230,8 326,1 1J (J J ) 4J (2230,8 326,1) 4(291,7)

2 2 2 2

Jmax = 2274,6cm4 = Ju ; Jmin = 282,3cm4 = Jv


Ph¹m thanh hïng

44


strength of materials 1

Education