studi mandiri integralintegral danddaanndan persamaan ... · pdf filekeseluruhan ” atau...
TRANSCRIPT
ii
Sudaryatno Sudirham
Darpublic
Studi Mandiri
IntegralIntegralIntegralIntegral dandandandan Persamaan DiferensialPersamaan DiferensialPersamaan DiferensialPersamaan Diferensial
1-1
BAB 1
Integral (1)
(Macam Integral, Pendekatan �umerik)
Dalam bab sebelumnya, kita mempelajari salah satu bagian utama
kalkulus, yaitu kalkulus diferensial. Berikut ini kita akan membahas
bagian utama kedua, yaitu kalkulus integral.
Dalam pengertian sehari-hari, kata “integral” mengandung arti
“keseluruhan”. Istilah “mengintegrasi” bisa berarti “menunjukkan
keseluruhan” atau “memberikan total”; dalam matematika berarti
“menemukan fungsi yang turunannya diketahui”.
Misalkan dari suatu fungsi f(x) yang diketahui kita diminta untuk
mencari suatu fungsi y sedemikian rupa sehingga dalam rentang nilai x
tertentu, misalnya a< x < b, dipenuhi persamaan
)(xfdx
dy= (1.1)
Persamaan seperti (1.1) ini, yang menyatakan turunan fungsi sebagai
fungsi x (dalam beberapa hal ia mungkin juga merupakan fungsi x dan y)
disebut persamaan diferensial. Sebagai contoh:
036
652
22
2
2
2
=++
++=
yxdx
dyxy
dx
yd
xxdx
dy
Pembahasan yang akan kita lakukan hanya mengenai bentuk persamaan
diferensial seperti contoh yang pertama.
1.1. Integral Tak Tentu
Suatu fungsi )(xFy = dikatakan sebagai solusi dari persamaan
diferensial (1.1) jika dalam rentang a< x < b ia dapat diturunkan dan
dapat memenuhi
)()(
xfdx
xdF= (1.2)
Perhatikan bahwa jika F(x) memenuhi (1.2) maka KxF +)( dengan K
adalah suatu nilai tetapan sembarang, juga akan memenuhi (1.2) sebab
1-2 Sudaryatno Sudirham, Integral dan Persamaan Diferensial
[ ]0
)()()(+=+=
+
dx
xdF
dx
dK
dx
xdF
dx
KxFd (1.3)
Jadi secara umum dapat kita tuliskan
KxFdxxf +=∫ )()( (1.4)
yang kita baca: integral f(x) dx adalah F(x) ditambah K.
Persamaan (1.2) dapat pula kita tulisan dalam bentuk diferensial, yaitu
dxxfxdF )()( =
yang jika integrasi dilakukan pada ruas kiri dan kanan akan memberikan
∫∫ = dxxfxdF )()( (1.5)
Jika kita bandingkan (1.5) dan (1.4), kita dapat menyimpulkan bahwa
KxFxdF +=∫ )()( (1. 6)
Jadi integral dari diferensial suatu fungsi adalah fungsi itu sendiri
ditambah suatu nilai tetapan. Integral semacam ini disebut integral tak
tentu; masih ada nilai tetapan K yang harus dicari.
Kita ambil dua contoh untuk inegrasi integrasi tak tentu ini
1) Cari solusi persamaan diferensial 45xdx
dy=
Kita tuliskan persamaan tersebut dalam bentuk diferensial
dxxdy 45=
Menurut relasi (9.4) dan (9.5) di Bab-9,
dxxxd 45 5)( =
Oleh karena itu
Kxxddxxy +=== ∫∫ 554)(5
2). Carilah solusi persamaan yxdx
dy 2=
Kita tuliskan dalam bentuk diferensial dxyxdy 2= dan kita
kelompokkan peubah dalam persamaan ini sehingga ruas kiri
1-3
mengandung hanya peubah tak bebas y dan ruas kanan hanya
mengandung peubah bebas x. Proses ini kita lakukan dengan membagi
kedua ruas dengan √y.
dxxdyy 22/1 =−
Ruas kiri memberikan diferensial ( ) dyyyd 2/12/12 −= dan ruas kanan
memberikan diferensial dxxxd23
3
1=
, sehingga
( )
= 32/1
3
12 xdyd
Jika kedua ruas diintegrasi, diperoleh
23
12/1
3
12 KxKy +=+ atau
KxKKxy +=−+= 312
32/1
3
1
3
12
Dua contoh telah kita lihat. Dalam proses integrasi seperti di atas terasa
adanya keharusan untuk memiliki kemampuan menduga jawaban.
Beberapa hal tersebut di bawah ini dapat memperingan upaya pendugaan
tersebut.
1. Integral dari suatu diferensial dy adalah y ditambah konstanta
sembarang K.
Kydy +=∫
2. Suatu konstanta yang berada di dalam tanda integral dapat
dikeluarkan
∫∫ = dyaady
3. Jika bilangan n ≠ −1, maka integral dari yndy diperoleh dengan
menambah pangkat n dengan 1 menjadi (n + 1) dan membaginya
dengan (n + 1).
1 jika ,1
1
−≠++
=+
∫ nKn
ydyy
nn
Penggunaan Integral Tak Tentu. Dalam integral tak tentu, terdapat
suatu nilai K yang merupakan bilangan nyata sembarang. Ini berarti
1-4 Sudaryatno Sudirham, Integral dan Persamaan Diferensial
bahwa integral tak tentu memberikan hasil yang tidak tunggal melainkan
banyak hasil yang tergantung dari berapa nilai yang dimiliki oleh K.
Dalam pemanfaatan integral tak tentu, nilai K diperoleh dengan
menerapkan apa yang disebut sebagai syarat awal atau kondisi awal.
Kita akan mencoba memahami melalui pengamatan kurva. Jika kita
gambarkan kurva 210xy = kita akan mendapatkan kurva bernilai
tunggal seperti Gb.1.1.a. Akan tetapi jika kita melakukan integrasi
∫ dxx
3
103
tidak hanya satu kurva yang dapat memenuhi syarat akan
tetapi banyak kurva seperti pada Gb.1.1.b; kita akan mendapatkan satu
kurva jika K dapat ditentukan.
a) b)
Gb.1.1. Integral tak tentu memberikan banyak solusi.
Sebagai contoh kita akan menentukan posisi benda yang bergerak dengan
kecepatan sebagai fungsi waktu yang diketahui. Kecepatan sebuah benda
bergerak dinyatakan sebagai tatv 3== , dengan v adalah kecepatan, a
adalah percepatan yang dalam soal ini bernilai 3, t waktu. Kalau posisi
awal benda adalah 30 =s pada waktu t = 0, tentukanlah posisi benda
pada t = 4.
Kita ingat pengertian-pengertian dalam mekanika bahwa kecepatan
adalah laju perubahan jarak, dt
dsv = ; sedangkan percepatan adalah laju
perubahan kecepatan, dt
dva = . Karena kecepatan sebagai fungsi t
diketahui, dan kita akan mencari posisi (jarak), maka kita gunakan relasi
dt
dsv = yang memberikan vdtds =
50
100
-5 -3 -1 1 3 5x
y = 10x2
50
100
-5 -3 -1 1 3 5
K1
K2
K3
y
yi = 10x2 +Ki
y
x
1-5
sehingga integrasinya memberikan
∫ +=+== KtKt
atdts2
2
5,12
3
Kita terapkan sekarang kondisi awal, yaitu 30 =s pada t = 0.
K+= 03 yang memberikan 3=K
Dengan demikian maka s sebagai fungsi t menjadi 35,12 += ts
sehingga pada t = 4 posisi benda adalah 274 =s
Luas Sebagai Suatu Integral. Kita akan mencari luas bidang yang
dibatasi oleh suatu kurva )(xfy = , sumbu-x, garis vertikal x = p, dan x
= q. Sebagai contoh pertama kita ambil fungsi tetapan 2=y seperti
terlihat pada Gb.1.2.
Gb.1.2. Mencari luas bidang di bawah y = 2.
Jika luas dari p sampai x adalah Apx, dan kita bisa mencari fungsi
pertambahan luas ∆Apx yaitu pertambahan luas jika x bertambah menjadi
x+∆x, maka kita dapat menggunakan fungsi pertambahan tersebut mulai
dari x = p sampai x = q untuk memperoleh Apq yaitu luas dari p sampai q.
Pertambahan luas yang dimaksud tentulah
xApx ∆=∆ 2 atau )(2 xfx
Apx ==∆
∆ (1.7)
Jika ∆x diperkecil menuju nol maka kita dapatkan limit
2)(lim0
===∆
∆
→∆xf
dx
dA
x
A pxpx
x (1.8)
Dari (1.8) kita peroleh
KxdxdAA pxpx +=== ∫∫ 22 (1.9)
p x x+∆x q
y
x
y = f(x) =2
0
2
∆Apx Apx
1-6 Sudaryatno Sudirham, Integral dan Persamaan Diferensial
Kondisi awal (kondisi batas) adalah Apx = 0 untuk x = p. Jika kondisi ini
kita terapkan pada (1.9) kita akan memperoleh nilai K yaitu
Kp += 20 atau pK 2−= (1.10)
sehingga
pxApx 22 −= (1.11)
Kita mendapatkan luas Apx (yang dihitung mulai dari x = p) merupakan
fungsi x. Jika perhitungan diteruskan sampai x = q kita peroleh
)(222 pqpqApq −=−= (1.12)
Inilah hasil yang kita peroleh, yang sudah kita kenal dalam planimetri
yang menyatakan bahwa luas segi empat adalah panjang kali lebar yang
dalam kasus kita ini panjang adalah (q − p) dan lebar adalah 2.
Bagaimanakah jika kurva yang kita hadapi bukan kurva dari fungsi
tetapan? Kita lihat kasus fungsi sembarang dengan syarat bahwa ia
kontinyu dalam rentang qxp ≤≤ seperti digambarkan pada Gb.1.3.
Gb.1.3. Fungsi sembarang kontinyu dalam bxa ≤≤
Dalam kasus ini, ∆Apx bisa memiliki dua nilai tergantung dari apakah
dalam menghitungnya kita memilih ∆Apx = f(x)∆x atau ∆Apx = f(x+∆x)∆x.
Namun kita akan mempunyai nilai
xxxfxxfxxfApx ∆∆+≤∆≤∆=∆ )()()( 0 (1.13)
dengan x0 adalah suatu nilai x yang terletak antara x dan x+∆x. Jika ∆x kita buat mendekati nol kita akan mempunyai
xxxfxxfxxfApx ∆∆+=∆=∆=∆ )()()( 0 (1.14)
Dengan demikian kita akan mendapatkan limit
p x x+∆x q
y
x
y = f(x)
0
∆Apx
f(x) f(x+∆x )
Apx
1-7
)(lim0
xfdx
dA
x
A pxpx
x==
∆
∆
→∆ (1.15)
Dari sini kita peroleh
KxFdxxfdAA pxpx +=== ∫∫ )()( (1.16)
Dengan memasukkan kondisi awal Apx = 0 untuk x = p dan kemudian
memasukkan nilai x = q kita akan memperoleh
] qppq xFpFqFA )()()( =−= (1.17)
1.2. Integral Tentu
Integral tentu merupakan integral yang batas-batas integrasinya jelas.
Konsep dasar integral tentu adalah luas bidang yang dipandang sebagai
suatu limit. Kita akan menghitung luas bidang yang dibatasi oleh suatu
kurva y = f(x), sumbu-x, garis x = p, dan x = q, yaitu luas bagian yang
diarsir pada Gb.1.4.a.
Sebutlah luas bidang ini Apq. Bidang ini kita bagi dalam n segmen dan
kita akan menghitung luas setiap segmen dan kemudian
menjumlahkannya untuk memperoleh Apq. Jika penjumlahan luas segmen
kita lakukan dengan menghitung luas segmen seperti tergambar pada
Gb.1.4.b, kita akan memperoleh luas yang lebih kecil dari dari luas yang
kita harapkan; sebutlah jumlah luas segmen ini Apqb (jumlah luas segmen
bawah).
Jika penjumlahan luas segmen kita lakukan dengan menghitung luas
segmen seperti tergambar pada Gb.1.4.c, kita akan memperoleh luas
yang lebih besar dari dari luas yang kita harapkan; sebutlah jumlah luas
segmen ini Apqa (jumlah luas segmen atas).
Kedua macam perhitungan tersebut di atas akan mengakibatkan
terjadinya error. Antara Apqb dan Apqa ada selisih seperti terlihat pada
Gb.1.4.d. Jika x0k adalah suatu nilai x di antara kedua batas segmen ke-k,
yaitu antara xk dan (xk+∆x), maka berlaku
)()()( 0 xxfxfxf kkk ∆+≤≤ (1.18)
1-8 Sudaryatno Sudirham, Integral dan Persamaan Diferensial
(a)
(b)
(c)
(d)
Gb.1.4. Menghitung luas bidang di bawah kurva.
Jika pertidaksamaan (1.18) dikalikan dengan ∆xk yang yang cukup kecil
dan bernilai positif, maka
kkkkkk xxxfxxfxxf ∆∆+≤∆≤∆ )()()( 0 (1.19)
Jika luas segmen di ruas kiri, tengah, dan kanan dari (1.19) kita
jumlahkan dari 1 sampai n (yaitu sebanyak jumlah segmen yang kita
buat), kita akan memperoleh
p x2 xk xk+1 xn
y
x
y = f(x)
0
p x2 xk xk+1 xn
y
x
y = f(x)
0
p x2 xk xk+1 xn
y
x
y = f(x)
0
p x2 xk xk+1 xn
y
x
y = f(x)
0
1-9
k
n
k
k
n
k
kk
n
k
kk xxxfxxfxxf ∆∆+≤∆≤∆ ∑∑∑=== 11
0
1
)()()( (1.20)
Ruas paling kiri adalah jumlah luas segmen bawah, Apqb; ruas paling
kanan adalah jumlah luas segmen atas, Apqa; ruas yang di tengah adalah
jumlah luas segmen pertengahan, kita namakan An. Jelaslah bahwa
pqanpqb AAA ≤≤ (1.21)
Nilai An dapat dipakai sebagai pendekatan pada luas bidang yang kita
cari. Error yang terjadi sangat tergantung dari jumlah segmen, n. Jika n
kita perbesar menuju tak hingga dan semua ∆xk menuju nol, maka luas
bidang yang kita cari adalah
pqax
nx
pqbx
pq AAAAkkk 000
limlimlim→∆→∆→∆
=== (1.22)
Jadi apabila kita menghitung limitnya, kita akan memperoleh nilai limit
yang sama, apakah kita menggunakan penjumlahan segmen bawah, atau
atas, atau pertengahannya. Limit yang sama ini disebut integral tertentu,
dituliskan
∫=q
ppq dxxfA )( (1.23)
Integral tertentu (1.23) ini terkait dengan integral tak tentu (9.12)
] )()()()( pFqFxFdxxfAqp
q
ppq −=== ∫ (1.24)
Jadi untuk memperoleh limit bersama dari penjumlahan segmen bawah,
penjumlahan segmen atas, maupun penjumlahan segmen pertengahan
dari fungsi f(x) dalam rentang p ≤ x ≤ q, kita cukup melakukan:
a. integrasi untuk memperoleh ∫= dxxfxF )()( ;
b. masukkan batas atas x = q untuk mendapat F(q);
c. masukkan batas bawah x = p untuk mendapat F(p);
d. kurangkan perolehan batas bawah dari batas atas, F(q) − F(p).
Walaupun dalam pembahasan di atas kita mengambil contoh fungsi yang
bernilai positif dalam rentang qxp ≤≤ , namun pembahasan itu
berlaku pula untuk fungsi yang dalam rentang qxp ≤≤ sempat
bernilai negatif. Kita hanya perlu mendefinisikan kembali apa yang
disebut dengan Apx dalam pembahasan sebelumnya. Pendefinisian yang
baru ini akan berlaku umum, yaitu
1-10 Sudaryatno Sudirham, Integral dan Persamaan Diferensial
Apx adalah luas bidang yang dibatasi oleh )(xfy = dan
sumbu-x dari p sampai x, yang merupakan jumlah luas bagian
yang berada di atas sumbu-x dikurangi dengan luas bagian
yang di bawah sumbu-x.
Agar lebih jelas kita mengambil contoh pada Gb 13.2. Kita akan
menghitung luas antara xxy 123 −= dan sumbu-x dari x = −3 sampai x
= +3. Bentuk kurva diperlihatkan pada Gb.1.5.
Di sini terlihat bahwa dari x = −3 sampai 0 kurva berada di atas sumbu-x
dan antara x = 0 sampai +3 kurva ada di bawah sumbu-x. Untuk bagian
yang di atas sumbu-x kita mempunyai luas
75,33)5425,20(064
)12(
0
3
240
3
3 =−−−=
−=−=
−−∫ x
xdxxxAa
Untuk kurva yang di bawah sumbu-x kita dapatkan
75,33)0(5425,2064
)12(
3
0
243
0
3 −=−−=
−=−= ∫ x
xdxxxAb
Luas yang kita cari adalah luas bagian yang berada di atas sumbu-x
dikurangi dengan luas bagian yang di bawah sumbu-x
5,67)755,33(75,33 =−−=−= bapq AAA
Contoh ini menunjukkan bahwa dengan pengertian yang baru mengenai
Apx, formulasi
( )))()( pFqFdxxfAq
p−== ∫
tetap berlaku untuk kurva yang memiliki bagian baik di atas maupun di
bawah sumbu-x.
Gb.1.5. Kurva xxy 123 −= - 20
- 10
0
10
20
- 4 - 3
-2
-1
0
1
2
3
4
x
xxy 123 −=
1-11
Dengan demikian maka untuk bentuk kurva seperti pada Gb.1.6. kita
dapatkan
4321 AAAAApq +−+−=
yang kita peroleh dari ( )))()( pFqFdxxfAq
ppq −== ∫
Gb.1.6. Kurva memotong sumbu-x di beberapa titik.
Luas Bidang Di Antara Dua Kurva. Kita akan menghitung luas bidang
di antara kurva )(11 xfy = dan )(22 xfy = pada batas antara x = p dan x
= q . Kurva yang kita hadapi sudah barang tentu harus kontinyu dalam
rentang qxp ≤≤ . Kita tetapkan bahwa kurva )(11 xfy = berada di atas
)(22 xfy = meskipun mungkin mereka memiliki bagian-bagian yang
berada di bawah sumbu-x. Perhatikan Gb.1.7.
Gb.1.7. Menghitung luas bidang antara dua kurva.
Rentang qxp ≤≤ kita bagi dalam n segmen, yang salah satunya
diperlihatkan pada Gb.1.7. dengan batas kiri x dan batas kanan (x+∆x),
dimana npqx /)( −=∆ .
p
q
y
x 0
y1
y2
x x+∆x
p
q
y
x
A4
A1
A2
A3
y = f(x)
1-12 Sudaryatno Sudirham, Integral dan Persamaan Diferensial
Luas segmen dapat didekati dengan
{ } xxfxfAsegmen ∆−= )()( 21 (1.25)
yang jika kita jumlahkan seluruh segmen akan kita peroleh
{ }∑∑∆−=
=
∆−=xqx
px
n
segmen xxfxfA )()( 21
1
(1.25)
Dengan membuat n menuju tak hingga sehingga ∆x menuju nol kita
sampai pada suatu limit
{ }∫∑ −==∞→ q
p
n
segmenpq dxxfxfAA )()(lim 21
1
(1.26)
Kita lihat beberapa contoh.
1). Jika 41 =y dan 22 −=y berapakah luas bidang antara y1 dan y2
dari x1 = p = −2 sampai x2 = q = +3.
{ } ] 30)12(186)2(4(32
3
2=−−==−−= +
−+
−∫ xdxApq
Hasil ini dengan mudah dijakinkan menggunakan planimetri. Luas
yang dicari adalah luas persegi panjang dengan lebar 621 =− yy
dan panjang 512 =− xx .
2). Jika 21 xy = dan 42 =y berpakah luas bidang yang dibatasi oleh y1
dan y2.
Terlebih dulu kita cari batas-batas integrasi yaitu nilai x pada
perpotongan antara y1 dan y2.
2 ,2 4 212
21 ==−==⇒=→= qxpxxyy
Perhatikan bahwa y1 adalah fungsi pangkat dua dengan titik puncak
minimum yang berada pada posisi [0,0]. Oleh karena itu bagian
kurva y1 yang membatasi bidang yang akan kita cari luasnya, berada
di di bawah y2 = 4.
3
32
3
16
3
16
3
88
3
88
34)4(
2
2-
32
2
2 =−
−=
−−−−
−=
−=−= ∫−
xxdxxApq
Jika kita terbalik dalam memandang posisi y1 terhadap y2 kita akan
melakukan kesalahan:
1-13
03
16
3
168
3
88
3
84
3)4(*
2
2-
32
2
2 =+
−−
=
+
−−
−=
−=−= ∫−
xx
dxxApq
3). Jika 221 +−= xy dan xy −=2 berapakah luas bidang yang
dibatasi oleh y1 dan y2.
Terlebih dulu kita perhatikan karakter fungsi-fungsi ini. Fungsi
y1 adalah fungsi kuadrat dengan titik puncak maksimum yang
memotong sumbu-y di y = 2. Fungsi y2 adalah garis lurus
melalui titik asal [0,0] dengan kemiringan negatif −1, yang
berarti ia menurun pada arah x positif. Dengan demikian maka
bagian kurva y1 yang membatasi bidang yang akan kita cari
luasnya berada di atas y2.
Batas integrasi adalah nilai x pada perpotongan kedua kurva.
22
811 ; 1
2
811
02atau 2
2
2
2
1
2221
=−
+−−==−=
−
++−==
=++−−=+−⇒=
qxpx
xxxxyy
5,4 22
1
3
142
3
8
223
)2(
2
1
232
1
2
=
−+
−−−
++−=
++−=++−=
−−∫ x
xxdxxxApq
Penerapan Integral Tentu. Pembahasan di atas terfokus pada
penghitungan luas bidang di bawah suatu kurva. Dalam praktik kita tidak
selalu menghitung luas melainkan menghitung berbagai besaran fisis,
yang berubah terhadap waktu misalnya. Perubahan besaran fisis ini dapat
pula divisualisasi dengan membuat absis dengan satuan waktu dan
ordinat dengan satuan besaran fisis yang dimaksud. Dengan demikian
seolah-olah kita menghitung luas bidang di bawah kurva. Berikut ini dua
contoh dalam kelistrikan.
1). Sebuah piranti menyerap daya 100 W pada tegangan konstan
200V. Berapakah energi yang diserap oleh piranti ini selama 8
jam ?
1-14 Sudaryatno Sudirham, Integral dan Persamaan Diferensial
Daya adalah laju perubahan energi. Jika daya diberi simbol p
dan energi diberi simbol w, maka
dt
dwp = yang memberikan ∫= pdtw
Perhatikan bahwa peubah bebas di sini adalah waktu, t. Kalau
batas bawah dari wktu kita buat 0, maka batas atasnya adalah 8,
dengan satuan jam. Dengan demikian maka energi yang diserap
selama 8 jam adalah
[kWh]hour Watt kilo 8,0
[Wh]r Watt.hou800100 1008
0
8
0
8
0
=
==== ∫∫ tdtpdtw
2). Arus yang melalui suatu piranti berubah terhadap waktu sebagai
i(t) = 0,05 t ampere. Berapakah jumlah muatan yang
dipindahkan melalui piranti ini antara t = 0 sampai t = 5 detik ?
Arus i adalah laju perubahan transfer muatan, q.
dt
dqi = sehingga ∫= idtq
Jumlah muatan yang dipindahkan dalam 5 detik adalah
coulomb 625,02
25,1
2
05,005,0
5
0
5
0
25
0===== ∫∫ ttdtidtq
Pendekatan �umerik. Dalam pembahasan mengenai integral tentu, kita
fahami bahwa langkah-langkah dalam menghitung suatu integral adalah:
1. Membagi rentang f(x) ke dalam n segmen; agar proses
perhitungan menjadi sederhana buat segmen yang sama lebar,
∆x.
2. Integral dalam rentang p ≤ x ≤ q dari f(x) dihitung sebagai
∑∫=
→∆∆=
n
k
kkx
q
pxxfdxxf
10
)(lim)(
dengan f(xk) adalah nilai f(x) dalam interval ∆xk yang
besarnya akan sama dengan nilai terendah dan tertinggi
dalam segmen ∆xk jika ∆x menuju nol.
1-15
Dalam aplikasi praktis, kita tentu bisa menetapkan suatu nilai ∆x
sedemikian rupa sehingga jika kita mengambil f(xk) sama dengan nilai
terendah ataupun tertinggi dalam ∆xk, hasil perhitungan akan lebih rendah
ataupun lebih tinggi dari nilai yang diharapkan. Namun error yang terjadi
masih berada dalam batas-batas toleransi yang dapat kita terima. Dengan
cara ini kita mendekati secara numerik perhitungan suatu integral, dan
kita dapat menghitung dengan bantuan komputer.
Sebagai ilustrasi kita akan menghitung kembali luas bidang yang dibatasi
oleh kurva xxy 123 −= dengan sumbu-x antara x = −3 dan x = +3. Luas
ini telah dihitung dan menghasilkan 5,67=pqA . Kali ini perhitungan
∫−−=
3
3
3)12( dxxxApq akan kita lakukan dengan pendekatan numerik
dengan bantuan komputer. Karena yang akan kita hitung adalah luas
antara kurva dan sumbu-x, maka bagian kurva yang berada di bawah
sumbu-x harus dihitung sebagai positif. Jika kita mengambil nilai ∆x =
0,15 maka rentang 33 ≤≤≤≤≤≤≤≤−−−− x akan terbagi dalam 40 segmen.
Perhitungan menghasilkan
4,6739875,67)12(
40
1
3 ≈=−= ∑=k
kkpq xxA
Error yang terjadi adalah sekitar 0,15%.
Jika kita mengambil ∆x = 0,05 maka rentang 33 ≤≤− x akan terbagi
dalam 120 segmen. Perhitungan menghasilkan
5,6748875,67)12(
120
1
3 ≈=−= ∑=k
kkpq xxA
Error yang terjadi adalah sekitar 0,02%.
Jika kita masih mau menerima hasil perhitungan dengan error 0,2%,
maka hasil pendekatan numerik sebesar 67,4 cukup memadai.
Perhitungan numerik di atas dilakukan dengan menghitung luas setiap
segmen sebagai hasilkali nilai minimum ataupun nilai maksimum
masing-masing segmen dengan ∆x. Satu alternatif lain untuk menghitung
luas segmen adalah dengan melihatnya sebagai sebuah trapesium. Luas
setiap segmen menjadi
1-16 Sudaryatno Sudirham, Integral dan Persamaan Diferensial
( ) 2/)()( min xxfxfA kmaksksegmen ∆×+= (1.27)
Perhitungan pendekatan numerik ini kita lakukan dengan bantuan
komputer. Kita bisa memanfaatkan program aplikasi yang ada, ataupun
menggunakan spread sheet jika fungsi yang kita hadapi cukup sederhana.
Soal-Soal:
1. Carilah titik-titik perpotongan fungsi-fungsi berikut dengan
sumbu-x kemudian cari luas bidang yang dibatasi oleh kurva
fungsi dengan sumbu-x.
xyyxxy =−−= 322 ; 2
2. Carilah luas bidang yang dibatasi oleh kurva dan garis berikut.
3 garisdan 2 kurva antara Luas
4 garisdan kurva antara Luas
2
2
−=−=
==
xxxy
xxy
3. Carilah luas bidang yang dibatasi oleh dua kurva berikut.
24 2xxy −= dan 22xy =
52 2 −= xy dan 52 2 +−= xy
1.3. Volume Sebagai Suatu Integral
Di sub-bab sebelumnya kita menghitung luas bidang sebagai suatu
integral. Berikut ini kita akan melihat penggunaan integral untuk
menghitung volume.
Balok. Kita ambil contoh sebuah balok
seperti tergambar pada Gb.1.8. Balok ini
dibatasi oleh dua bidang datar paralel di p
dan q. Balok ini diiris tipis-tipis dengan tebal
irisan ∆x sehingga volume balok, V,
merupakan jumlah dari volume semua irisan.
Gb.1.8. Balok
Jika A(x) adalah luas irisan di sebelah kiri dan A(x+∆x) adalah luas irisan
di sebelah kanan maka volume irisan ∆V adalah
xxxAVxxA ∆∆+≤∆≤∆ )()(
Volume balok V adalah
∆x
1-17
∑ ∆=q
p
xxAV )(
dengan )(xA adalah luas rata-rata irisan antara A(x) dan A(x+∆x).
Apabila ∆x cukup tipis dan kita mengambil A(x) sebagai pengganti )(xA
maka kita memperoleh pendekatan dari nilai V, yaitu
∑ ∆≈q
p
xxAV )(
Jika ∆x menuju nol dan A(x) kontinyu antara p dan q maka
∫∑ =∆=→∆
q
p
q
pox
dxxAxxAV )()(lim (1.28)
Rotasi Bidang Segitiga Pada Sumbu-x.
Satu kerucut dapat dibayangkan sebagai
segitiga yang berputar sekitar salah satu
sisinya. Sigitiga ini akan menyapu satu
volume kerucut seperti terlihat pada Gb.1.9.
Segitiga OPQ, dengan OQ berimpit dengan
sumbu-x, berputar mengelilingi sumbu-x.
Gb.1.9. Rotasi Segitiga OPQ
mengelilingi sumbu-x
Formula (1.28) dapat kita terapkan disini. Dalam hal ini A(x) adalah luas
lingkaran dengan jari-jari r(x); sedangkan r(x) memiliki persamaan garis
OP.
[ ] ∫∫∫ π=π==hhh
dxxmdxxrdxxAV0
22
0
2
0)()( (1.29)
dengan m adalah kemiringan garis OP dan h adalah jarak O-Q. Formula
(1.29) akan memberikan volume kerucut
3
3
PQ/OQ)(
3
23232
kerucuth
rhhm
V π=π
=π
= (1.30)
dengan OQ = h dan r adalah nilai PQ pada x = h.
Bagaimanakah jika OQ tidak berimpit dengan sumbu-x? Kita akan
memiliki kerucut yang terpotong di bagian puncak. Volume kerucut
terporong demikian ini diperoleh dengan menyesuaikan persamaan garis
y
x
∆x
x O Q
P
1-18 Sudaryatno Sudirham, Integral dan Persamaan Diferensial
OP. Jika semula persamaan garis ini berbentuk mxy = berubah menjadi
bmxy += dengan b adalah perpotongan garis OP dengan sumbu-y.
Rotasi Bidang Sembarang. Jika f(x)
kontinyu pada bxa ≤≤ , rotasi bidang
antara kurva fungsi ini dengan sumbu-x
antara bxa ≤≤ sekeliling sumbu-x akan
membangun suatu volume benda yang
dapat dihitung menggunakan relasi (1.10).
Gb.1.10. Rotasi bidang
mengelilingi sumbu-x
Dalam menghitung integral (1.28) penyesuaian harus dilakukan pada
A(x) dan batas-batas integrasi.
( ) ( )22)()()( xfxrxA π=π=
sehingga ( )∫ π=b
adxxfV
2)( (1.31)
Gabungan Fungsi Linier. Jika f(x) pada
(1.31) merupakan gabungan fungsi linier,
kita akan mendapatkan situasi seperti pada
Gb.1.11.
Gb.1.11. Fungsi f(x) merupakan
gabungan fungsi linier.
Fungsi f(x) kontinyu bagian demi bagian. Pada Gb.1.11. terdapat tiga
rentang x dimana fungsi linier kontinyu. Kita dapat menghitung volume
total sebagai jumlah volume dari tiga bagian.
Fungsi f(x) Memotong Sumbu-x. Formula (1.29) menunjukkan bahwa
dalam menghitung volume, f(x) dikuadratkan. Oleh karena itu jika ada
bagian fungsi yang bernilai negatif, dalam penghitungan volume bagian
ini akan menjadi positif.
1.4. Panjang Kurva Pada Bidang Datar
Jika kurva )(xfy = kita bagi dalam n segmen masing-masing selebar
∆x, maka ∆l dalam segmen tersebut adalah
y
x
∆x
x 0 a b
f(x)
y
x
∆x
x 0 a b
2000
1-19
22 yxPQl ∆+∆==∆
Salah satu segmen diperlihatkan pada Gb.1.12.
Ada satu titik P′ yang terletak pada kurva di segmen ini yang terletak
antara P dan Q di mana turunan fungsi )(Py ′′ , yang merupakan garis
singgung di P′, sejajar dengan PQ. Menggunakan pengertian )(Py ′′ ini,
∆l dapat dinyatakan sebagai
( )[ ] ( ) xyxyxl ∆′′+=∆′′+∆=∆ 222 )P(1)P(
Gb.1.12. Salah satu segmen pada kurva )(xfy = .
Setiap segmen memiliki )(Py ′′ masing-masing yaitu ky′ , dan ∆l
masing-masing yaitu ∆lk . Jika n dibuat menuju ∞, panjang kurva dari x =
a ke x = b adalah
( ) ( ) xyxyll
n
k
kx
n
k
kn
n
k
kn
ab ∆′+=∆′+=∆= ∑∑∑=
→∆=
∞→=
∞→1
2
01
2
1
1lim 1limlim
atau dxdx
dyl
b
aab ∫
+=
2
1 (1.32)
Perlu kita ingat bahwa panjang suatu kurva tidak tergantung dari posisi
sumbu koordinat. Oleh karena itu (1.32) dapat ditulis juga sebagai
dydy
dxl
b
aab ∫
′
′
+=
2
1 dengan a′ dan b′ adalah batas-batas peubah
bebas.
P ∆y
∆x
x
y
Q
y = f(x)
∆l
a b
1-20 Sudaryatno Sudirham, Integral dan Persamaan Diferensial
1.5. �ilai Rata-Rata Suatu Fungsi
Untuk fungsi )(xfy = yang kontinyu dalam rentang qxp ≤≤ nilai
rata-rata fungsi ini didefinisikan sebagai
∫−=
q
pxrr dxxf
pqy )(
1)( (1.33)
(Penulisan (yrr)x untuk menyatakan nilai rata-rata fungsi x)
Definisi (1.33) dapat kita tuliskan
∫=−⋅q
pxrr dxxfpqy )()()( (1.34)
Ruas kanan (1.34) adalah luas bidang antara kurva fungsi )(xfy =
dengan sumbu-x mulai dari x = p sampai x = q. Ruas kiri (1.34) dapat
ditafsirkan sebagai luas segi empat dengan panjang (q − p) dan lebar
(yrr)x. Namun kita perlu hati-hati sebab dalam menghitung ruas kanan
(1.34) sebagai luas bidang antara kurva fungsi )(xfy = dengan sumbu-x
bagian kurva yang berada di bawah sumbu-x memberi kontribusi positif
pada luas bidang yang dihitung; sedangkan dalam menghitung nilai rata-
rata (1.33) kontibusi tersebut adalah negatif.
Sebagai contoh, kita ambil fungsi xxy 123 −= . Luas bidang antara
xxy 123 −= dengan sumbu-x dari x = −3 sampai x = +3 adalah positif,
5,67=pqA (telah pernah kita hitung). Sementara itu jika kita
menghitung nilai rata-rata fungsi ini dari x = −3 sampai x = +3 hasilnya
adalah (yrr)x = 0 karena bagian kurva yang berada di atas dan di bawah
sumbu-x akan saling meniadakan.
1-21