számítógéppel támogatott problémamegoldás

Számítógéppel támogatott problémamegoldás

Mire használhatjuk gépünket a tanítás folyamán

(és mire nem)?

Alkalmazások:

• Internet – böngészés

• (Speciálisan e-mail – kapcsolattartás)

• Multimédia (prof. felhasználói szoftverek)

• Amatőr programok (célfeladatok)

A repertoár átalakulása (?)

• Hagyományos eljárások, eszközök megszűnése (gyökvonás, logaritmus, szögfüggvények)

• Új lehetőségek a PC-k megjelenésével:- magasabbfokú vagy transzcendens egyenletek- függvények vizsgálata- (numerikus) analízis- valószínűségszámítás, statisztika- általában szimulációk stb.

Amatőr programok

• Amatőr és profi programok összehasonlítása• Iskolában: PC felhasználói ismeretek• A programozás középiskolai tanítása ?• Érvek:- algoritmikus gondolkodásmód fejlesztése- kevés (?) előismeret- egyszerű célfeladatok megoldása- (pl. matematika) műveltségi keret tágítása

Tárgyalt problémák - aritmetika

1. Születésnap-paradoxon

2. Prímek száma (Euklidesz IX.20.)

3. Hézagtétel

4. Prímalgoritmus keresése

5. Prímszám-polinom

6. Diofantikus egyenlet számjegyekre

Sejtés és bizonyítás

8. Független vezér- és bástyaelhelyezések

9. Sierpinski-feladat

Kitűzött feladatok:

10. Számjegyek négyzetösszegének ciklusa

11. Bolgár szoliter

1. Születésnap-paradoxon

• Feladat: Határozzuk meg annak a valószínűségét, hogy 35 ember születésnapja az év 35 különböző napjára esik (366 nappal számoljunk)!

Születésnap-paradoxon (2)

• Megoldás: Annak valószínűsége, hogy N ember mindegyike N különböző napon született, közelítőleg:

• OGYKMB.EXE

366N367

...366363

366364

366365

P

Születésnap-paradoxon (3)

- A számítógép szerepe: nagyszámú, algoritmizált műveletsor gyors elvégzése

- Alulcsordulás (és túlcsordulás) jelensége

- A gépi számábrázolás problémái

- A problémák elvi jellege

2. Prímek száma

• Már Euklidesz megmutatta, hogy a prímek száma végtelen (Elemek, IX. könyv 20. tétel).

• Gyakori helytelen gondolatmenet a következő:

• „Indirekt tegyük fel, hogy véges sok prím van:p1, p2, p3, … , pn. Az Sn = p1p2p3 … pn + 1 szám a korábbi p1, p2, p3, … , pn tényezők egyikével sem osztható, tehát Sn újabb prím. Ellentmondást kaptunk, ebből következik, hogy végtelen sok prímszám van.”

Prímek száma (2)

• Megoldás:

• A hibát ott követik el a tanulók, hogy bár Sn nem osztható a p1, p2, p3, … , pn prímekkel, de ebből még nem következik, hogy prím lenne. Elképzelhető az is, hogy Sn két (vagy több) olyan prímszám szorzata, amelyek pn-nél nagyobbak.

• A feladat ilyen tulajdonságú Sn keresése.

Prímek száma (3)

• OGYSZELM.EXE

• Mire használtuk a gépet?

• Mire nem használhattuk a gépet?

3. Hézagtétel

• Feladat: Adjunk meg olyan természetes számot, amely után 8, illetve 15 szomszédos összetett szám következik! (KöMaL F.243.)

• Módosítás: Keressük meg a fenti tulajdonságú legkisebb természetes számokat!

Hézagtétel – észrevételek (1)

• A feladat állítása szerint vannak olyan „szomszédos” prímek, amelyek távolsága 9, illetve 16.

• Ha találunk 8 szomszédos összetett számot, akkor találunk 9-et is (bővítés); elég a páros prímtávolságokat vizsgálni.

Hézagtétel – megoldások (2)

• A 9! + 1 szám megfelelő: a 23456789 + 2, 23456789 + 3, … , 23456789 + 9 számok egyike sem lehet prím.

• Ügyesebb megoldás: 2357 + 2, 2357 + 3, … , 2357 + 9.(212-től 219-ig; sőt még jó a 220 is.)

• Kérdés: vajon ez a legkisebb sorozat?• OGYSZELM.EXE

4. Prímalgoritmus keresése

• Írjuk fel a táblára: 43, 45, 47, 49, 51, 53, …- karikázzuk be a 43-at, töröljük le a következő

számot, 45-öt;- karikázzuk be a következő számot, a 47-et, s

töröljük le a következő két számot (49, 51);- karikázzuk be a következő 53-at, s töröljük le a

következő három számot (55, 57, 59);- folytassuk az eljárást (mindig eggyel több

számot törlünk le).

Prímalgoritmus keresése (2)

• Melyik az így kapott első 30 szám?

• Fogalmazzunk meg egy sejtést!

Prímalgoritmus elemzése (3)

• Megoldás:

• A kapott számok a következők:43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151, 173, 197, 223, 251, 281, 313, … , 971.

• Sejtés: ezek mind prímek (sőt a továbbiak is: 1033, 1097, 1163, 1231, 1301, …)

Prímalgoritmus – zárt alak (4)

• Az n. bekarikázott szám zárt alakban:

• an = 43 + 2·2 + 3·2 + 4·2 + … + n·2 = 43 + 2·(2 + 3 + 4 + … + n) = n2 + n + 41.

• A képlet már n = 0-tól prímeket ad.

• P(n) = n2 + n + 41 ún. prímszám-polinom.

Prímalgoritmus – kérdések (5)

1. Igaz-e, hogy az n2 + n + 41 képlet n = 0, 1, 2, … értékekre mindig prímet ad?

2. Ha nem, adjunk meg ellenpéldát adó n értéket!

3. Adjunk meg n 0-tól vagy n 40-től különböző n ellenpéldákat!

4. Melyik a legkisebb n ellenpélda?5. Hányszor kapunk prímszámot a

0 n 99 esetekben?

Prímalgoritmus – válaszok (6)

• OGYSZELM.EXE

• Válaszok:

• 4. A 0 n 99 intervallumbanP(n) = n2 + n + 41 86 esetben prímszám.

5. Diofantikus egyenlet

• Feladat: Határozzuk meg azokat a természetes számokat, amelyek eggyel nagyobbak a számjegyeik kétszeres szorzatánál!

Egyenlet megoldása (1)

• Megoldási lépések:

1. Kétjegyű ab természetes számokra:10a + b = 2ab + 1, innen(2a – 1)(b – 5) = 4.2a – 1 páratlan, tehát egyetlen megoldás van: ab = 19

2. Háromjegyű abc számokra bonyolultabb az egyenlet: 100a + 10b + c = 2abc + 1.


• Érdemes programot írni, amely a feltételtn jegyű számokra vizsgálja meg.

• OGYSZJ.EXE

• Problémák:

1. A program megírása n jegyű számokra;

2. szükséges tudni, legfeljebb mekkora lehet n értéke. (!)(Egyáltalán van-e felső korlát n-re?)


• Becslés: an10n + an-110n-1 + … + a1101 + a0

= 2anan-1…a1a0 + 1.

• Bal oldalon az első tag kivételével a többit elhagyjuk; a jobb oldalon an kivételével a többi számjegy helyére 9-est írunk.

• an10n 2an9n + 1, innen közelítőleg:

2910n

n


• Ez csak n 6 esetén teljesül (vagyisn legfeljebb hétjegyű lehet).

• Mire használtuk a gépet?

- egzisztencia és konstrukció

- előtérben a matematikai gondolkodásmód

• Mire nem tudtuk használni a gépet?

6. Független figuraelhelyezések

1. Független bástyaelhelyezések

2. Független vezérelhelyezések

3. Független bástyaelhelyezések főátló-korlátozással (n = 5 eset)

4. OGYKMB.EXE

Sejtés a 3. feladatra?

Figuraelhelyezések (2)

• Futási eredmények a 3. feladatra:

• n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

• E(n) = 0, 1, 2, 9, 44, 265, 1854

• Sejtés:

• E(n) = (n – 1)(E(n – 1) + E(n – 2))

• Bizonyítás:

• A, B, C, D, E és a, b, c, d, e párosítással:


• 1. a – B és b – A:E(n – 2)

A B C D E

a X

b X

c … … ...

d … … ...

e ... … …


• 2. a–B és b – nem A: E(n – 1)

A B C D E

a X

b … … ... ...

c … ... … ...

d … ... … ...

e … ... … ...


• Tehát: ha a – B, akkor E(n – 1) + E(n – 2) számú elhelyezés van.

• Az a – C, a – D , … szimmetria miatt összesen: E(n) = (n – 1)(E(n – 1) + E(n – 2)).

• A rekurzió megoldása:

!n1

...!41

!31

!21

!n)n(E

9. Sierpinski-feladat

• Feladat: Milyen n pozitív egész számokra osztható n-nel a K = 2n + 1 kifejezés?

• OGYSZELM.EXE

• Eredmény: ha n < 100, n = 1, 3, 9, 27.

• Sejtés: n = 3k.

Sierpinski-feladat (1)

• Bizonyítás: k-ra vonatkozó teljes indukcióval. A sejtés tehát igaz: han = 3k, akkor az oszthatóság teljesül.

• De: mi a helyzet egyéb n-ekre?


• Észrevétel: az 1, 3, 9 számokra teljesül az n 2n + 1 indukciós lépés is.

• Újabb sejtés: ha n-nel osztható a 2n + 1 kifejezés (2n + 1 = kn), akkor 2n + 1-gyel is osztható 2kn + 1.

• A sejtés teljes indukcióval bizonyítható; így a 9 osztja 29 + 1 összefüggésből513 osztja 2513 + 1 is teljesül.


• Mi a helyzet egyéb n-ekre?

• OGYSZELM.EXE

számítógéppel támogatott problémamegoldás

Documents