1

Szimmetriával rendelkező mechanikai rendszerek

Horváth Ákos

ELTE Atomfizikai Tanszék

2011. Október 18.

2

Szimmetriák és megmaradási tételekImpulzus megmaradásaFennáll (pl.) ha a külső erők összege 0

Másképpen is megfogalmazhatjuk: eltolásinvariáns a rendszer

0),,( zyxUgradUFdt

dI

00 det benkezvégén IIFdt

dI

Szimmetria: eltolás Megmaradási tétel: impulzus

3

P. 4277. Feladat

Az ábra szerinti =30o-os hajlásszögű, M tömegű ék súrlódásmentesen csúszhat a vízszintes asztalon. Az éken súrlódásmentesen csúszik le egy m tömegű test, ennek pályája a talajjal =60o-os szöget zár be.

4

Megoldás

N

–N

mg

Mg

K

+

+

5

P. 4330. Feladat

Vékony, L=2 m hosszúságú, m tömegű pálca áll függőlegesen egy vízszintes, súrlódásmentes síkon. Az alsó (A) végpontjával érintkezve mellette nyugszik egy ugyancsak m tömegű, pontszerű test. A pálca kidől labilis egyensúlyi helyzetéből úgy, hogy a pálca és a kis test pályája végig egy közös síkban marad.

Maximálisan mekkora sebességre tesz szert a kis test?

6

Szimmetriák és megmaradási tételekPerdület megmaradásaFennáll (pl.) ha a külső forgatónyomatékok összege 0

Másképpen is megfogalmazhatjuk: Forgásszimmetrikus a rendszer

0centrális erő),',(),,( MzrUzrU

00 det benkezvégén LLMdt

dL

Szimmetria: forgatás Megmaradási tétel: perdület

7

P. 4294. feladat

Vízszintes síkon egy kezdetben nyugvó, töltött, pontszerű test mozoghat súrlódásmentesen. A testtől nem messze egy függőleges tengelyű, hosszú szolenoid helyezkedik el. A tekercsben folyó áram erősségét a kezdeti nulla értékről időben egyenletesen egy adott értékig növeljük, majd szintén egyenletesen újra zérusra csökkentjük.

Az ábrán látható P pont irányához képest merre fog mozogni a töltött test a folyamat végén?

TT

qErdtMdtLLL2

0

2

0

12

8

4. feladat

Egy 45o hajlásszögű kúpon H=1 m magasságban egy súrlódásmentesen mozgó tömegpontot indítunk el érintő irányban (nem túl nagy) v0 sebességgel.

Mekkora v0 sebességgel indítsuk el, hogy a fele magasságig ereszkedjen le?

9

Egy másik szimmetria

Szimmetria: tértükrözés Megmaradás: paritás