t ma 5: lÍmit s. ontinui a

TEMA 5: LÍMITES. CONTINUIDAD

De aquí en adelante trabajaremos con funciones reales de variable real, es decir,

funciones :f A , donde A es un subconjunto del conjunto de los números

reales.

I. LÍMITES EN UN PUNTO

1. LÍMITE FINITOS DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

Definición:

Sea A un conjunto de números reales y a un número real. Diremos que a es un

punto de acumulación de A cuando exista una sucesión na de elementos de A,

distintos de a, que converja a a. Notaremos 'A al conjunto de todos los puntos de

acumulación de A. En caso contrario diremos que es un punto aislado.

Proposición:

Sea A un conjunto de números reales y a un número real. Entonces a es un punto

de acumulación de A si y solo si, para cada número real existe un elemento x de

A tal que 0 x a .

Es decir, dado A un conjunto de números reales y a un número real, a es un punto

de acumulación de A si me puedo acercar a a tanto como yo quiera con elementos

del conjunto A.

Ejemplo:

Dado el intervalo 2,5 , x=2, es un punto de acumulación del intervalo y x=1, es

un punto aislado.

Ejemplo previo:

Sea la función 23 3 18

2

x xf x

x

. El dominio de definición de f es 2A

Aunque para x=2 la función no está definida pero es punto de acumulación de su

dominio, si calculamos 1,99 , 1,99995 , 2,00001f f f , etc. Se observa que los

valores de f x se aproximan a 15, tanto más cuanto más aproximamos el valor

de x a 2. Con un poco más de rigor, podemos decir que, fijado cualquier número

0 , por pequeño que sea, se puede conseguir que la “distancia” de f x a 15

de 23

Profesora: Almudena Casares Fernández

sea menor que , sin más que hacer la “distancia” de x a 2 menor que otro número

0 , que seremos capaz de determinar (aunque nosotros no estudiaremos su

cálculo).

x f x x f x

1 12 3 18

1,5 13,5 2,5 16,5

1,7 14,1 2,3 15,9

1,9 14,7 2,1 15,3

1,99 14,97 2,01 15,03

0 >0: 2 15x f x

Otros ejemplos:

—

2

3

3 · 26; lim 5

3 3 x

x xx xf x f x

x x

.

— 2

3 5; lim 1

x

f x x f x .

Definición:

Dada una función :f A , función real de variable real y a punto de

acumulación de A, 'a A , y L un número real, diremos que la función f tiene

límite L cuando x tiende hacia a, y escribiremos limx a

f x L

, si, y solo si, fijado

cualquier número real positivo 0 , existe otro número real positivo 0 (que

generalmente depende de ε), tal que si x cumple que 0 x a , entonces

f x L .

Simbólicamente,

lim 0 >0:x a

f x L x a f x L

Tema 5: Límites. Continuidad 2º Bach CCSS

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En la práctica:

Para calcular el límite de una función en un punto solo hay que sustituir a en la

función.

Ejemplos:

2

3

0

0

lim 2 9 2 7

lim 1

x

x

x

x

e e

Definiciones:

De una función f x se dice que es un infinitésimo para x tendiendo hacia

a si lim 0x a

f x

. Es decir, si podemos conseguir que f x tome valores tan

próximos a cero como queramos sin más que aproximar x a a suficientemente.

Si f x y g x son dos infinitésimos para x tendiendo hacia a, diremos que

son de igual orden si

lim 0x a

f xk

g x . En particular si k=1 se habla de

infinitésimos equivalentes.

Si f x y g x son dos infinitésimos para x tendiendo hacia a, diremos que

f x es un infinitésimo de menor orden que g x , si

lim 0x a

f x

g x . (Que,

para entendernos, es como decir que f x es más pequeño que g x , si tal

cosa pudiera decirse).

2. LÍMITES LATERALES FINITOS DE UNA FUNCIÓN

EN UN PUNTO.

En el ejemplo del principio, hemos considerado lo que sucede a la izquierda y a

la derecha del punto. Por ejemplo, para :f , 3f x x , si queremos

calcular el límite de f x cuando x tiende a 5,

x f x x f x

4,5 7,5 5,5 8,5

4,7 7,7 5,3 8,3

4,9 7,9 5,1 8,1

4,99 7,99 5,01 8,01

de 23


Esto es lo que se conoce los términos de límites laterales por la izquierda y por la

derecha. En nuestro ejemplo, el límite lateral por la izquierda y por la derecha de

f x cuando x tiende a 5 es 8.

Definición:

Consideramos :aA x A x a y :aA x A x a .


acumulación de A , 'aa A , y L un número real, diremos que la función f

tiene límite L cuando x tiende hacia a por la izquierda, y escribiremos

lim ó limx ax ax a

f x L f x

, si, y solo si, fijado cualquier número real positivo 0

, existe otro número real positivo 0 (que generalmente depende de ε), tal que

si x cumple que ,x a a , entonces f x L .

Simbólicamente,

lim 0 >0: ,x a

f x L x a a f x L


acumulación de A , 'aa A , y L un número real, diremos que la función f

tiene límite L cuando x tiende hacia a por la izquierda, y escribiremos

lim ó limx ax ax a

f x L f x

, si, y solo si, fijado cualquier número real positivo 0

, existe otro número real positivo 0 (que generalmente depende de ε), tal que

si x cumple que ,x a a , entonces f x L .

Simbólicamente,

lim 0 >0: ,x a

f x L x a a f x L

Si consideramos :aA x A x a y :aA x A x a , es inmediato ver que a

es punto de acumulación de A si, y solo si, lo es de A y A . Por tanto, si tiene

sentido hablar de límite en un punto a para funciones de A en , también tiene

sentido hablar de al menos uno de los límites laterales y recíprocamente.

Proposición:


acumulación de A , 'a A , entonces:


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lim lim limx a x a x a

f x L f x f x L

Es decir, para que exista el límite de una función en un punto es condición

necesaria y suficiente que existan los límites laterales y coincidan.

Ejemplo:

:f , 1 si 4

8 si 4

x x

x x

Se puede ver que 4

lim 3x

f x

y 4

lim 4x

f x

. Por lo tanto, f x no tiene límite

en x=4, ya que aunque existen los límites laterales, estos no coinciden.

3. LÍMITES INFINITOS DE UNA FUNCIÓN EN UN

PUNTO. ASÍNTOTAS VERTICALES.

Definición:


acumulación de A , 'a A . Se dice que el límite de la función f x es +∞ cuando

x tiende hacia a (o la función diverge positivamente en el punto a) si f x es

más grande que cualquier número con tal que x se acerque suficientemente a a.

Simbólicamente,

lim , >0: si 0<x a

f x M x a f x M

de 23


Ejemplo:

2

1

7lim

1

x x

Definición:


acumulación de A , 'a A . Se dice que el límite de la función f x es -∞ cuando

x tiende hacia a (o la función diverge negativamente en el punto a) si f x es

más pequeño que cualquier número con tal que x se acerque suficientemente a a.

Simbólicamente,

lim , >0: si 0<x a

f x M x a f x M

Análogamente, considerando que 'a A o 'a A se tienen las definiciones

de límites laterales infinitos por la izquierda y por la derecha de a: limx a

f x

, limx a

f x

, limx a

f x

y limx a

f x

.

Definición:

Las asíntotas son rectas a las que se aproximan la gráfica de la función.


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La recta x a es una asíntota vertical de la función f x si existe alguno de los

siguientes límites: limx a

f x

, limx a

f x

ó limx a

f x

.

Ejemplo:

2

1

xf x

x

.

de 23


1

2 3lim [ ]

1 0

x

x

x;

1

2lim

1x

x

x

y

1

2lim

1x

x

x

.

Por lo que x=1 es una asíntota vertical de la función f x .

Nota:

Una función puede tener infinitas asíntotas verticales.

La gráfica de la función no puede cortar a las asíntotas verticales.

Los polinomios no tienen asíntotas verticales.

En las funciones racionales las asíntotas verticales se hallan en los valores x

que anulan al denominador.

4. PROPIEDADES ALGEBRAICAS DE LOS LÍMITES EN

UN PUNTO

Proposición:

Sean , :f g A , funciones reales de variable real y a punto de acumulación A

, 'a A . Si 1limx a

f x L

y 2limx a

g x L

. Entonces:

a) 1 2lim lim limx a x a x a

f x g x f x g x L L

.

b) 1 2lim · lim ·lim ·x a x a x a

f x g x f x g x L L

.

c) Si además 2lim 0x a

g x L

,

1

2

limlim

lim

x a

x a

x a

f xf x L

g x g x L

.

d) Si además 1lim 0x a

f x L

,

lim

lim limx a

g xg x

x a x af x f x

.

Definición:

Si :g A y :f D son funciones reales de variable real con g A D , se

define la composición de f con g como la función :f g A , definida por

f g x f g x x A

En otras palabras, hay que sustituir en la expresión f w cada letra w por la

expresión g x . Esto se entiende mejor comprendiendo el siguiente diagrama

g f

g f

A g A D

x g x f g x

Ejemplo:

f x x y 2 16g x x , se tiene que:


Página 9 de 23


2 216 16f g x f g x f x x

Proposición:

Sea :g A y :f D funciones reales de variable real con g A D , a

punto de acumulación A y 1L punto de acumulación de D. Si 1limx a

g x L

y

1

2limx L

f x L

, entonces 2limx a

f g x L

.

5. REGLAS PRÁCTICAS PARA EL CÁLCULO DE

LÍMITES EN UN PUNTO. INDETERMINACIONES.

Utilizando las propiedades anteriores, para la mayoría de las funciones f x , el

valor del límite en el punto a coincide con f(a). Así se cumple, por ejemplo, para

las funciones polinómicas, racionales, trigonométricas, logarítmicas y

exponenciales en todos los puntos de su dominio, en los que, obviamente, se

conozca f(a). Esto es, casi siempre limx a

f x f a

.

Si la función estuviera definida a trozos, habría que comprobar que los límites

laterales existen y valen lo mismo.

Un límite presenta una indeterminación en x a , cuando al intentar calcularlo

no se pueden aplicar las propiedades de los límites, es decir, hay que hacer un

estudio particular de cada caso. Las indeterminaciones que existen son:

0 00; ; ; 1 ; 0· ; 0 ;

0

Habrá que también estudiar el caso * con 0

kk .

5.1 CASO [𝑲

𝟎] CON 𝒌 ∈ ℝ∗ ∪ {±∞}

La función va a ser divergente a izquierda y/o derecha de x a .

por tanto:

Se calculan los límites laterales: limx a

f x

y limx a

f x

.

Si ambos límites existes y coinciden entonces: lim lim limx a x a x a

f x f x f x

.

de 23


Si no existe alguno de los límites laterales o no coincide su valor, entonces, no

existe limx a

f x

.

Nota: En muchos libros se encontrará que 0

k

, queriendo indicar que existe

en este caso una asíntota vertical en x=a.

Ejemplo:

2 2

1

4 4 4lim

01 1 1x x

2

1

4lim . Para 0,9 0,9 400

1xx f

x

.

2

1

4lim . Para 1,1 1,1 400

1xx f

x

Por tanto,

21

4 4lim +

01x x

.

5.2 INDETERMINACIÓN 0

0

.

a) Funciones racionales:

0lim

0x a

P x

Q x

.

Si 0P a y 0Q a , es que tanto P como Q tienen x a como raíz. Así

pues, factorizaremos y simplificaremos para después tomar de nuevo límites.

Ejemplo:

2 2

2 21 1 1

1 22 0 0 2 0 2 3lim lim lim

1 0 1 0 1 1 1 2x x x

x xx x x

x x x x

.

b) Funciones irracionales: Si se trata de una función con raíces cuadradas en el

numerador (o en el denominador), multiplicamos numerador y denominador

por la expresión conjugada.

Ejemplo:

4 4 4

4

2 · 22 4 2 0 4lim lim lim

4 4 4 0 4 · 2 4 · 2

1 1lim

42

x x x

x

x xx x

x x x x x

x


Página 11 de 23


5.3 INDETERMINACIÓN

a) Diferencia de dos funciones racionales: Se efectúa dicha operación y luego se

halla el límite.

Ejemplo:

2

23 3

1 5 3 4 4lim lim

3 4 3 3 . 1 0x x

x x x x

x x x x x

3

limx

f x

; 429

2,9 22,5819

f

3

limx

f x

; 123

3,1 17,577

f

Por tanto, podríamos concluir que no existe limite en x=3.

5.4 INDETERMINACIÓN 0·

Se transforma esta indeterminación en una de las anteriores, generalmente

efectuando las operaciones.

5. 5 INDETERMINACIÓN 1

Para resolver este límite utilizaremos que lim · 1

lim x ag x f xg x

x af x e

.

Ejemplo:

3

2

2 2 2 2

3 23lim 1 1 lim · 1 1 lim lim3 3

2 2x

x x x x

xx x

x x

.

II. LÍMITES EN EL INFINITO

1. LÍMITES EN EL INFINITO FINITOS. ASÍNTOTAS

HORIZONTALES.

Definición

Sea A un conjunto no vacío de número reales. Diremos que un número real x es

mayorante de A si verifica que , x a a A

Si un conjunto A admite mayorante diremos que está mayorado.

Análogamente, diremos que un número real x es minorante de A si verifica que , x a a A

Si un conjunto A admite minorante diremos que está minorado.

de 23


Definición:

Sea un conjunto A de número reales no mayorado y :f A una función.

Diremos que la función f tiene límite cuando la variable diverge positivamente,

o que tiene límite en +∞, si existe un número real b que verifica la siguiente

propiedad:

0, : si con k x A x k f x b

Es decir, limx

f x b

significa que cuando x se hace suficientemente grande, f(x)

toma valores muy próximos a un número fijo b.

Definición:

Sea un conjunto A de número reales no minorado y :f A una función.

Diremos que la función f tiene límite cuando la variable diverge negativamente,

o que tiene límite en -∞, si existe un número real b que verifica la siguiente

propiedad:

0, : si con k x A x k f x b

Es decir, limx

f x b

significa que f(x) toma valores muy próximos a un número

fijo b cuando x se hace muy pequeño (negativamente grande).

En ambos caso, la función y f x tiene una asíntota horizontal que será la recta

y b . Si lim 0x

f x b

, la curva va por encima de la asíntota; en caso

contario, si lim 0x

f x b

, la curva irá por debajo de la asíntota. (La situación

es análoga si x).

Si limx

f x b

, se dice que la asíntota es por la derecha y cuando x tiene a -∞ se

dice que la asíntota es por la izquierda.


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Notas:

Una función tiene como máximo dos asíntotas horizontales.

La gráfica de la función puede cortar a las asíntotas horizontales.

Los polinomios no tienen asíntotas horizontales.

En las funciones racionales existe asíntota horizontal si el grado del

denominador es menor o igual que el grado de numerador.

2. LÍMITES EN EL INFINITO INFINITOS. ASÍNTOTAS

OBLICUAS. Definición:

Sea un conjunto A no mayorado y :f A una función real de variable real.

Diremos que la función f diverge positivamente en +∞, o que el límite cuando x

tiende a +∞ es +∞, limx

f x

si y solo si

: si y K M x A x M f x K .

Es decir, el valor de la función f se hace todo lo grande que queramos con tal de

hacer x suficientemente grande.

Análogamente se tienen el resto de límites limx

f x

, limx

f x

,

limx

f x

.

En resumen, limx

f x

significa que x y f x se hacen infinitamente grandes

a la vez.

limx

f x

limx

f x

limx

f x

limx

f x

de 23


En estos casos puede haber asíntotas oblicuas, que serán rectas de la forma

y mx n .

Para calcular m y n, se procederá a calcular los siguientes límites:

lim

lim

x

x

f xm

x

n f x mx

Para determinar la posición relativa de la curva respecto de la asíntota se harán

valores muy grandes o pequeños según corresponda, tanto a la función como a

la asíntota.

Definición:

Si limx

f x

y no existe asíntota oblicua, se dirá que la función presenta una

rama parabólica.

Notas:

Una función puede tener como máximo dos asíntotas oblicuas.

Si una función tiene asíntota oblicua no tiene asíntota horizontal y

recíprocamente.

La gráfica de la función puede cortar a las asíntotas oblicuas en uno o varios

puntos.

Los polinomios no tienen asíntotas oblicuas.

En una función racional si el grado del numerador es una unidad mayor que

el grado del denominador, habrá una asíntota oblicua.

Si en una función racional el grado del numerador es dos o más unidades,

mayor que el del denominador, no hay asíntota oblicua, en ese caso se dirá

que tiene una rama parabólica.


Página 15 de 23


2.1 COMPARACIÓN DE INFINITOS

Definición:

Si limx

f x

y limx

g x

, se dice que f x es un infinito de orden

superior a g x si:

limx

f x

g x .

Notas:

1) Dadas dos potencias de x, la de mayor exponente es un infinito de orden

superior.

2) Dadas dos funciones exponenciales de base mayor que 1, la de mayor base es

un infinito de orden superior.

3) Cualquier función exponencial de base mayor que 1, es un infinito de orden

superior a cualquier potencia.

4) Tanto las funciones exponenciales de base mayor que 1 como las potencias de

x son infinitos de orden superior a cualquier función logarítmica.

5) Dos polinomios del mismo grado o dos potencias de la misma base son

infinitos del mismo orden.

6) Si en una suma hay varios sumandos infinitos, el orden de la suma es el del

sumando de mayor orden.

3. REGLAS PRÁCTICAS PARA EL CÁLCULO DE

LÍMITES EN EL INFINITO. INDETERMINACIONES.

3.1 FUNCIONES POLINÓMICAS.

Si 1 2

1 2 1 0

n n

n nP x a x a x a x a x a

es un polinomio, entonces

lim

x

P x . Y el signo sólo depende del término principal n

na x .

3.2 INDETERMINACIÓN DE LA FORMA

Esta indeterminación suele resolverse dividiendo el numerador y el

denominador de la función por la variable elevada a la mayor potencia que tenga

la expresión. Si hubiera radicales se divide por la potencia más alta de x que esté

fuera del radical.

Funciones racionales

Para el caso más simple de funciones racionales el valor de límite será:

de 23


si grado grado . El signo depende de

lim si grado =grado . y coeficientes principales.

0 si grado <grado

n mn

b

nn n

xn

aP x Q x x

b

P x aP x Q x a b

Q x b

P x Q x

Ejemplo: 3

3 3

4 4 4

3 6

1 1lim lim lim

01 1 1x x x

x

x x

x x x

x x

3.3 INDETERMINACIÓN

Para resolver esta indeterminación se transformará en un cociente. Si hubiera

raíces, esto se puede conseguir multiplicando y dividiendo por su expresión

conjugada.

Ejemplo:

2lim 1x

x x

2 2

2 22

2 2 2

1 · 1 1 1lim 1 lim lim lim

1 1 1

10.

x x x x

x x x x x xx x

x x x x x x

Cuando las expresiones cuya diferencia se nos propone son infinitos de orden

distinto, podemos atribuirles directamente el límite +∞ o -∞.

Ejemplo:

2

3 3 7 2lim 5

2 1x

x xx x

x

porque el minuendo tiene “grado 3/2” y el

sustraendo es de “grado 1”.


Página 17 de 23


4

2

5lim 1,5

1

x

x

x

x

porque una exponencial con base mayor que 1 es un

infinitésimo de orden superior a una potencia.

Ejemplo: Cálculo de asíntota oblicua

2 3

2 1

xf x

x

. lim y lim

x xf x f x

.

2

2

2

3

3 12 1lim lim lim2 2x x x

xf x xxm

x x x x

2 2 23 1 2 6 2 6 1

lim lim lim lim2 1 2 4 2 4 2 4x x x x

x x x x xn f x mx x

x x x

Análogamente, 1

lim2x

f xm

x y

1lim

4xn f x mx

.

La recta 1 1

2 4y x es asíntota oblicua de la función.

de 23


RESUMEN DE LOS POSIBLES CASOS QUE SE PUEDEN PRESENTAR EN EL CÁLCULO DE LÍMITES

SUMA

Si flim A +∞ -∞ +∞ +∞ -∞

Si glim B B B +∞ -∞ -∞

Si gflim A+B +∞ -∞ +∞ [¿?] +∞

PRODUCTO

Si flim A 0A 0 +∞ +∞ -∞ -∞

Si glim B ±∞ ±∞ +∞ -∞ -∞ +∞

Si gf ·lim A·B ±∞ [¿?] +∞ -∞ +∞ -∞

COCIENTE

Si flim A 0A ±∞ A ±∞

Si glim B 0 B ±∞ ±∞

Si gf /lim A/B “∞” ±∞ 0 [¿?]

POTENCIA

10 si 0

1 si

A

AA

0 si 1

si 0 1

AA

A

0 si 0

0 si

k

kk

0 si 0

0 si 0

kk

k

0

00 0

00 = [¿?] 1 = [¿?] 0 = [¿?]


Página 19 de 23


III. CONTINUIDAD

Definición:

Dado un número real a y un número real positivo , se llama entorno de centro

a y radio , al intervalo abierto de extremos ,a a

, , :E a a a x a x a

Definición:

Dada :f A , función real de variable real y a A y f definida en un entorno

de a entonces, f es continua en a si:

0, 0 : x a f x f a

En caso de que f x no se continua en a se dice que es discontinua.

El siguiente enunciado permite analizar la continuidad de una función en un

punto mediante el concepto de límite funcional y nos dará una primera

clasificación de las discontinuidades.

Proposición:

Sea :f A , función real de variable real y a A .

i) Si a es un punto aislado de A, entonces f es continua en el punto a.

ii) Si a es un punto de acumulación de A, entonces f es continúan en a si, y solo si

limx a

f x f a

.

Nota:

Para que una función sea continua en un punto, dicho punto ha de pertenecer a

su dominio de definición. En otro caso, no tiene sentido hablar de continuidad.

La proposición anterior se aplica solo a puntos del conjunto de definición de la

función. Para puntos de acumulación que no pertenezcan al mismo, la existencia

de límite de una función equivale a la posibilidad de extender de forma que se

obtenga una función continua.

Ejemplo:

2 si 2

4 si 2

x xf x

x

de 23


No podríamos hablar de continuidad en x=2, sin embargo, la extensión de f,

2 si 2ˆ

4 si 2

x xf x

x

, si es continua.

1. DISCONTINUIDADES. CLASIFICACIÓN

1.1 DISCONTINUIDAD EVITABLE

Se produce cuando existe el límite finito cuando x tiende a a, pero no coincide

con el valor de la función en a.

lim (finito)x a

f x f a


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O cuando existe el límite finito cuando x tiende a a, pero la función no está

definida en 𝑎.

lim (finito)x a

f x

y ∄ f a

Si definiéramos f a como limx a

f x

, se evitaría la discontinuidad pues se

cumplirían todas las condiciones requeridas.

1.2 DISCONTINUIDADES INEVITABLES

Se producen cuando no existe limx a

f x

, por lo que es imposible completar las

condiciones de discontinuidad. Se puede a su vez clasificar en dos tipos.

a) Discontinuidad inevitable de primera especie o salto finito: Existen los

límites laterales, pero no coinciden.

Definiremos como el salto a la diferencia en valor absoluto de los límites laterales.

de 23


Salto = lim limx a x a

f x f x

b) Discontinuidad inevitable de segunda especie o salto infinito: Cuando al

menos alguno los límites laterales sea infinito.

NOTA MUY IMPORTANTE

Aunque la definición de función discontinua en un punto es clara, no todos los

autores usan la misma definición de discontinuidad.

En la PEvAU, se tienen los siguientes criterios:

Una función es discontinua en un punto cuando falla alguna de las tres

condiciones de la definición de función continua en un punto, esto es:

a) Discontinuidad evitable: limx a

f x f a

o limx a

f x

y ∄ f a .

b) Discontinuidad inevitable de salto finito: Existen los límites laterales, pero no

coinciden. (Exista f a o no)

c) Discontinuidad inevitable de salto infinito: Al menos uno de los límites

laterales es infinito. (Exista f a o no)

2. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS

Proposición:

Sean , :f g A funciones reales de variable real continuas en a A . Entonces:

a) f g es continua en x a .

b) ·f g es continua en x a .

c) f es continua en x a .

d) Si 0g a , entonces f

g es continua en x a .


Página 23 de 23


e) Si :f A y :g B son funciones reales de variable real y f A B . Si

f es continua en a A y g es continua en f a B , entonces la composición g f

es continua en a A .

3. CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES USUALES

Podemos concretar a partir de las propiedades anteriormente citadas que:

1) Las funciones polinómicas son continuas en todo punto.

2) Las funciones racionales son continuas en todo punto en donde estén

definidas, esto es, en todo punto que no anule el denominador.

3) Las funciones radicales y f x son continuas en todo punto donde

0f x y f x lo sea.

4) Las funciones exponenciales son continuas. En consecuencia, la función f x

y e es continua en todo punto donde f x lo sea.

5) La función logarítmica es continua. En consecuencia, la función logy f x

es continua en todo punto tal que 0f x y f x lo sea.

6) Las funciones trigonométricas sen y x y cosy x son continuas. La función

tg y x , es continua en ,2

k k .

7) Las funciones definidas a trozos serán continuas si lo son en sus intervalos

respectivos y en los puntos de unión. En estos puntos habrá que ver que la

función está definida y que los límites laterales existan, sean finitos e iguales.

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