tema 4 espacios vectoriales

7/23/2019 Tema 4 Espacios Vectoriales

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SESIN 4: ESPACIOS VECTORIALES

Un espacio vectorial sobre un campo (como el cuerpo de los nmeros reales o losnmeros complejos) es un conjunto no vaco, dotado de dos operaciones para las cualesser cerrado:

Es una operacin interna tal que:

1) tenga la propiedad conmutativa, es decir

2) tenga la propiedad asociativa, es decir

3) tenga elemento neutro , es decir

4) tenga elemento opuesto, es decir

y la operacin producto por un escalar:

Con la operacin externa tal que:

5) tenga la propiedad asociativa:

6) sea elemento neutro del producto:

7) tenga la propiedad distributiva del producto respecto a la suma de vectores:

8) tenga la propiedad distributiva del producto respecto a la suma de escalares:


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Observaciones

La denominacin de las dos operaciones no condiciona la definicin de espacio vectorialpor lo que es habitual encontrar traducciones de obras en las que se utiliza multiplicacinpara el productoy adicinpara la suma, usando las distinciones propias de la aritmtica.

Para demostrar que un conjunto es un espacio vectorial:

Lo es si sus dos operaciones, por ejemplo y admiten una redefinicin

del tipo y cumpliendo las 8 condicionesexigidas.

Si supisemos que es un grupo conmutativo respecto la suma ya tendramos probados losapartados 1, 2, 3y 4.

Si supisemos que el producto es una accin por la izquierda de tendramos probados losapartados 5y 6.

Si no se dice lo contrario:

.

Propiedades

Unicidad del vector neutro de la propiedad 3:

Supongamos que el neutro no es nico, es decir, sean y dos vectores neutros,entonces:

Unicidad del vector opuesto de la propiedad 4:

Supongamos que el opuesto no es nico, es decir, sean y dos vectoresopuestos de , entonces, como el neutro es nico:

Unicidad del elemento en el campo :

Supongamos que 1 no es nico, es decir, sean y dos unidades, entonces:


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Unicidad del elemento inverso en el campo :

Supongamos que el inverso de a, no es nico, es decir, sean y dos opuestos de, entonces, como el neutro es nico:

Producto de un escalar por el vector neutro:

Producto del escalar 0 por un vector:

Si

Si es cierto.

Si entonces:

Notacin

.

Observacin

Si

Si

Primer ejemplo con demostracin al detalle

Se quiere probar que es un espacio vectorial sobre

Si juega el papel de y el de :

Los elementos:


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son, de forma genrica:

es decir, pares de nmeros reales. Por claridad se conserva la denominacin del vector, eneste caso u, en sus coordenadas, aadiendo el subndice x o y para denominar sucomponente en el eje xo yrespectivamente

En se define la operacin suma:

donde:

y la suma de uy vsera:

donde:

esto implica que la suma de vectores es interna y bien definida.

La operacin interna suma tiene las propiedades:

1) La propiedad conmutativa, es decir:


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2) La propiedad asociativa:

3) tiene elemento neutro :

4) tenga elemento opuesto:

La operacin producto por un escalar:

El producto de ay user:

donde:

esto implica que la multiplicacin de vector por escalar es externa y aun as est biendefinida.

5) tenga la propiedad asociativa:

Esto es:


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6) sea elemento neutro en el producto:

Que resulta:

Que tiene la propiedad distributiva:

7) distributiva por la izquierda:

En este caso tenemos:

8) distributiva por la derecha:

Que en este caso tenemos:

Queda demostrado que es espacio vectorial.

Ejemplos de espacios vectoriales


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1. Los Campos

Todo cuerpo es un espacio vectorial sobre l mismo, usando como producto por escalar elproducto del campo.

es un espacio vectorial de dimensin uno sobre .Todo cuerpo es un espacio vectorial sobre su subcampo, usando como producto por escalarel producto del cuerpo.

es un espacio vectorial de dimensin 2 sobre .

es un espacio vectorial de dimensin infinita sobre .

2. Sucesiones sobre un campo

El espacio vectorial ms conocido notado como , donde n>0 es un entero, tiene comoelementos n-tuplas, es decir, sucesiones finitas de de longitud ncon las operaciones:

(u1, u2, ..., un)+(v1, v2, ..., vn)=(u1+v1, u2+v2, ..., un+vn).a(u1, u2, ..., un)=(au1, au2, ..., aun).

Las sucesiones infinitas de son espacios vectoriales con las operaciones:

(u1, u2, ..., un, ...)+(v1, v2, ..., vn, ...)=(u1+v1, u2+v2, ..., un+vn, ...).a(u1, u2, ..., un, ...)=(au1, au2, ..., aun, ...).

El espacio de las matrices , , sobre , con las operaciones:

Tambin son espacios vectoriales cualquier agrupacin de elementos de en las cuales sedefina las operaciones suma y producto entre estas agrupaciones, elemento a elemento,similar al de matrices, as por ejemplo tenemos las cajas sobre queaparecen en el desarrollo de Taylor de orden 3 de una funcin genrica.

3. Espacios de aplicaciones sobre un cuerpo


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El conjunto de las aplicaciones , un cuerpo y un conjunto, tambin

forman espacios vectoriales mediante la suma y la multiplicacin habitual:

Los polinomios

Suma de f(x)=x+x2y g(x)=-x2.

El espacio vectorial K[x] formado por funciones polinmicas, vemoslo:

Expresin general: ,donde los

coeficientes , considrese .

, donde

y ,

.

Las series de potencias son similares, salvo que se permiten infinitos trminos distintos decero.

4. Funciones trigonomtricas

Las funciones trigonomtricas forman espacios vectoriales, con las siguientes operaciones:


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Expresin general:

,

.

5. Los sistemas de ecuaciones lineales homogneas

Sistema de 2 ecuaciones y 3 variables

o equivalentemente

simplificado como

Un sistema de ecuaciones lineales homogneas (ecuaciones lineales en las que es

siempre una solucin, es decir, ) posee soluciones queforman un espacio vectorial, se puede ver en sus dos operaciones:

Si

Si .

Tambin que las ecuaciones en s, filas de la matriz notadas como una matriz , es

decir, , son un espacio vectorial, como se puede ver en sus dosoperaciones:

Si


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Si .

6.1 Definicin de subespacio vectorial

Sea un espacio vectorial sobre y no vaco, es un subespacio vectorialde

si:

Consecuencias

hereda las operaciones de como aplicaciones bien definidas, es decir que no escapande , y como consecuencia tenemos que es un espacio vectorial sobre .

Con cualquier subconjunto de elementos seleccionados en los espacios vectorialesanteriores, no vaco, se pueden generar subespacios vectoriales, para ello sera tilintroducir nuevos conceptos que facilitarn el trabajo sobre estos nuevos espaciosvectoriales.

Resultados internos

Para detallar el comportamiento interno de todos los espacios vectoriales de modo generales necesario exponer una serie de herramientas cronolgicamente vinculadas entre ellas,con las cuales es posible construir resultados vlidos en cualquier estructura que seaespacio vectorial.

6.2 COMBINACIONES LINEALES


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Cada vector ues combinacin lineal de forma nica

Dado un espacio vectorial , diremos que un vector u es combinacin lineal de los

vectores de si existen escalares tales que

Notaremos como el conjunto resultante de todas las combinaciones lineales de losvectores de .

Proposicin 1

Dado un espacio vectorial y un conjunto de vectores, el conjunto esel subespacio vectorial ms pequeo contenido en y que contiene a .

Demostracin

Nota. En este caso se dice que es un sistema de generadoresque genera a .

Independencia lineal

Diremos que un conjunto de vectores es linealmente independientesi el vector 0 no se puede expresar como combinacin lineal no nula de los vectores de ,

es decir:

Si .

Diremos que un conjunto de vectores es linealmente dependiente si no es linealmenteindependiente.

Proposicin 2


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son linealmente dependientes

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