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TEMA 4. TANGENCIAS

4.1 CONCEPTO DE TANGENCIA

4.1.1. Concepto

El término viene del latín TANGERE = Tocar. Se emplea en geometría para designar líneas, curvas y superficies

que se tocan, sin llegar a cortarse.

Dos elementos son tangentes cuando tienen un punto en común, denominado punto de tangencia. Los

elementos son rectas y circunferencias (o arcos de circunferencia, en algunos casos curvas cónicas).

Un enlace es la unión armónica de curvas con curvas o curvas con rectas.

4.1.2. Posiciones relativas de una recta y una circunferencia

Tres son las posiciones relativas que pueden adoptar una recta y una circunferencia:

1. Recta exterior a la circunferencia: cuando la distancia de la recta al centro de la circunferencia es

mayor que el radio de esta.

2. Recta secante a la circunferencia: cuando la distancia de la recta al centro de la circunferencia es

menor que el radio de esta.

3. Recta tangente a la circunferencia: cuando la distancia de la recta al centro de la circunferencia es

igual que el radio de esta.

Al ser la distancia de un punto a una recta la perpendicular trazada por este punto a la recta, el radio trazado

desde el centro de la circunferencia es perpendicular a la recta tangente, siendo el pie de la perpendicular el

punto de tangencia entre ambos elementos.

1. 2. 3.

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4.1.3. Posiciones relativas de dos circunferencias

Las posiciones que pueden adoptar entre sí dos circunferencias son:

1. Exteriores: No tienen ningún punto en común, la distancia entre sus centros es mayor que la suma de

sus radios.

2. Concéntricas: No tienen ningún punto en común salvo que sus radios sean idénticos, tienen el mismo

centro.

3. Secantes: Tienen dos puntos en común, la distancia entre sus centros es menor que la suma de sus

radios.

4. Tangentes: Tienen un punto común de tangencia, alineado con los centros de las dos circunferencias.

1. 2. 3. 4.

4.2 PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LAS TANGENCIAS

1. Si dos circunferencias son tangentes, el

punto de tangencia está en la recta O1 O2.

2. Si una recta es tangente a una circunferencia, el

punto de tangencia está en la perpendicular a r,

trazada por O.

3. Si una circunferencia pasa por dos puntos, el

centro está en la mediatriz.

4. Si una circunferencia es tangente a dos rectas, el

centro está en la bisectriz.

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4.3. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE TANGENCIAS

4.3.1. Circunferencia que pasa por dos puntos, dado el radio

Dados dos puntos A y B, y el radio de la circunferencia r

1. Traza un arco con radio r, con centro en el punto A. 2. Traza otro arco con el mismo radio, con centro en B y que corte al arco anterior. 3. En el punto de intersección se encuentra la solución. Dibuja la circunferencia de radio r que pasa por los puntos.

4.3.2. Circunferencia que pasa por tres puntos

Dados tres puntos A, B y C

1. Une los puntos A y B, y halla su mediatriz. 2. Une C con cualquiera de los anteriores y traza la mediatriz del nuevo segmento. 3. En el punto de intersección se encuentra la solución. Dibuja la circunferencia.

4.3.3. Circunferencia tangente a una recta

Dada la recta m, el punto de tangencia T sobre ella, y el radio de la circunferencia r

1. Traza una recta perpendicular a la recta m, por el punto de tangencia T. 2. Con centro en el punto de tangencia, traza un arco de radio r, que corte a la perpendicular. 3. En el punto de intersección se encuentra la solución. Dibuja la circunferencia.

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4.3.4. Recta tangente a una circunferencia

Dada la circunferencia con centro O y el punto de tangencia T

1. Une los puntos O y T con un segmento. 2. Con radio OT y centro en T, traza un arco a partir de O, que corte en B a la circunferencia. 3. Traza un arco con el mismo radio, desde B, que corte al arco anterior en C. 4. La mediatriz de BC dará la recta pedida, perpendicular a OT y tangente a la circunferencia.

4.3.5. Circunferencia tangente a dos rectas que se cortan, dado el punto de tangencia

Dadas las rectas m y n, y el punto de tangencia T sobre una de ellas

1. Trazamos la bisectriz del ángulo formado por las dos rectas. 2. Trazamos una perpendicular a la recta m sobre el punto de tangencia T. 3. La intersección de la bisectriz con la perpendicular O, es el centro buscado. Desde ese centro trazamos una

perpendicular a la otra recta, que nos da el otro punto de tangencia. 4. Desde O, dibujamos la circunferencia buscada.

4.3.6. Circunferencia tangente a dos rectas que se cortan, dado el radio de la circunferencia

Dadas las rectas m y n, y el radio de la circunferencia r

1. Trazamos una paralela a una distancia r de la recta m. 2. Hacemos lo mismo con la recta n, y obtenemos el punto O, de intersección de las dos paralelas obtenidas. 3. Desde el punto O, trazamos perpendiculares a las dos rectas m y n, para hallar los puntos de tangencia. 4. Con centro en O, dibujamos la circunferencia pedida.

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4.4. ENLACES

4.4.1. Enlazar por medio de arcos de circunferencia varios puntos no alineados

Dados los puntos A, B, C, D, E, F, G, H… y el radio del primer arco de enlace r

1. Une ordenadamente los puntos entre sí mediante segmentos.

2. Obtén las mediatrices de dichos segmentos.

3. Con centro en A y radio r, traza un arco que corte a la mediatriz del segmento AB. Así obtendrás O1, que es el

centro del primer arco de enlace que trazarás de A a B.

4. Une O1 con B y prolonga hasta cortar a la mediatriz del siguiente segmento BC en O2, centro del segundo arco de

enlace y de radio O2-B, que trazarás hasta C.

5. Une O2 con C y prolonga hasta cortar a la mediatriz del siguiente segmento CD en O3, centro del tercer arco de

enlace y de radio O3-C, que trazarás hasta D.

6. De igual modo sigue trabajando para el resto de los puntos dados.

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4.5. ESPIRALES

La espiral es una curva abierta y plana generada por el movimiento de un punto que se aleja de otro u otros

fijos denominados centros.

Puede estar constituida por arcos de circunferencia enlazados entre sí y de radios gradualmente mayores. Se

denomina espira al fragmento de curva que describe el punto en una vuelta completa.

Las espiras contiguas distan entre sí una magnitud constante denominada paso.

4.5.1. Construcción de la espiral de dos centros, conocido el paso.

Dado el paso de la espiral P

1. Dibujamos una recta, que será inicio y fin de los sucesivos arcos que determinan la espiral.

2. Señalamos en una recta los puntos A y B, que tendrán una separación entre ellos igual a la mitad del

paso (La magnitud del paso es igual al doble de la magnitud del segmento AB).

3. Hacemos centro en A o B y describimos una semicircunferencia de radio AB que corta en C a la

recta.

4. Cambiamos de centro y trazamos otra semicircunferencia con el mismo sentido y a continuación de

la anterior, a partir de C, de radio BC y por tanto igual a P obteniendo en su intersección sobre la

recta el punto D.

5. Desde D trazamos otra semicircunferencia con centro en A y radio 3P/2 y así sucesivamente.

(Observaremos que el radio de las semicircunferencias aumenta P/2 en cada ocasión)

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4.5.2. Construcción de la espiral de tres centros conocido el paso.

Dado el paso de la espiral P

1. Construimos el triángulo equilátero ABC siendo la magnitud de su lado la tercera parte del paso dado

P. A, B y C serán los centros de los sucesivos arcos.

2. Prolongamos los tres lados del triángulo y hacemos centro en uno de los vértices, trazando un arco

de radio P/3 (centro en A y radio AC), que corta a una de las prolongaciones en D (la primera

prolongación interceptada BA).

3. Con centro en el vértice adyacente B, se traza otro enlazado con el anterior y por tanto a partir del

punto D hasta cortar a la prolongación siguiente y así sucesivamente.

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4.5.3. Construcción de la espiral de cuatro centros conocido el paso.

Dado el paso de la espiral P

1. Dibujamos un cuadrado ABCD de lado P/4, siendo P el paso dado.

2. Procedemos de igual forma que en el ejercicio anterior.

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4.6. ÓVALO

Es una curva cerrada y plana compuesta por un número par de arcos de circunferencia enlazados entre sí y

simétricos respecto de sus ejes mayor y menor perpendiculares entre sí.

Construcción de un óvalo conocidos sus dos ejes.

Dados el eje mayor y el eje menor del óvalo

1. Traza un arco con centro en O y radio OA que corta a la prolongación de CD en el punto P. Une A

con C.

2. Dibuja un arco de radio CP con centro en C hasta cortar al segmento AC en V.

3. Dibuja la mediatriz de AV, que corta a OD en el punto M, y al semieje mayor en el punto N.

4. Señala los puntos simétricos de M y N respecto a los ejes del óvalo, M’ y N’. Une los puntos M y M’

con N y N’, respectivamente, y prolonga las líneas.

5. Traza los arcos con centro en M y M’, con radio M’D y MC, obteniendo los puntos Q y Q’ y P y P’.

6. Por último, dibuja los arcos con centro N y N’ de radio NA y N’B hasta los puntos de tangencia

anteriormente trazados Q y Q’ y P y P’. De esta manera conseguirás el óvalo.

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Construye el óvalo, dados los ejes

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4.7. OVOIDE

El ovoide es una curva cerrada simétrica con respecto a su eje, cóncava hacia él, y conformada por cuatro arcos

de circunferencia: uno de ellos es una semicircunferencia y otros dos son iguales y simétricos.

Su nombre deriva de su parecido con la sección longitudinal de un huevo.

4.7.1. Construcción de un ovoide, conocido su eje menor.

Dado el eje menor del ovoide

1. Traza la mediatriz del eje menor del ovoide AB, que le corta en O. Prolóngala en su parte superior.

2. Dibuja una circunferencia con centro en O y radio OA. Esta corta a la mediatriz, en su parte superior,

en el punto C.

3. Desde A y B traza rectas que pasen por el punto C. Prolóngalas.

4. Con centro en A, desde B, traza un arco hasta la línea inclinada que has trazado. Repite el proceso

con centro en B.

5. Desde C dibuja un arco que una los puntos de corte obtenidos y habrás completado el ovoide.

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4.7.2. Construcción de un ovoide, conocido su eje mayor.

Dado el eje mayor del ovoide

1. Divide el eje mayor del ovoide AB en seis partes iguales. Para ello utiliza el método de división de

segmentos basado en el teorema de Tales.

2. Obtén una perpendicular que pase por la división nº2.

3. Dibuja una semicircunferencia, con centro en la división nº2, que pase por A y corte a la

perpendicular en los puntos C y D.

4. Traza dos rectas desde C y D, respectivamente, que pasen por la división nº5 y prolóngalas.

Cortarán a la circunferencia en los puntos E y F.

5. Con centro en la división nº2 y radio 2B, dibuja una semicircunferencia que comience y termine en

la perpendicular CD.

6. Tomando C como centro, dibuja un arco que enlace con la semicircunferencia hasta la recta CF.

Repite el proceso desde D hasta la recta DE.

7. Desde la división nº5, y con radio 5A, completa el ovoide.