tempimas ir gniuždymas

8/19/2019 Tempimas ir gniuždymas

1/17

2. TEMPIMAS IR GNIUŽDYMAS

2.1. Tempiami ir gniuždomi konstrukcij ų elementai

Konstrukcijos elementuose nuo išorinių jėgų ir kitų veiksnių atsiranda vidinės jėgos. Nuo šių jėgų priklauso, kiek elementas deformuojasi ir kiek patikima jo eksploatacija. Iš pradžių nagrinėsime paprasčiausią konstrukcijos elementą - tiesų strypą . Strypo skerspjūvyje (pjūvyje, kuris statmenas strypoišilginei ašiai) veikiančios vidinės jėgos gali būti pakeistos šešiomis į r ą žomis (žr. 1.3 posk.). Tačiau iš

pradžių verta pažinti, kas darosi su strypu, kur į veikia viena vienintelė į r ą ža.Pradedame nuo to atvejo, kai strypo skerspjūviuose nelygi nuliui tėra ašinė jėga. Ši jėga gali būti

teigiama ( N >0) arba neigiama ( N


2/17

A

N =σ . (2.1)

Įrodyti, kad σ =const, galima tik tada, kai tenkinamos šios trys są lygos (į rodymas pateiktas A.Čižoknygoje, 34psl.):

• strypo ašis deformavimo metu lieka tiesi, neišlinksta;• galioja plokščių jų pjūvių hipotezė (skerspjūviai lieka plokšti ir statmeni išilginei ašiai);• strypo medžiaga vienalytė, t. y. jos mechaninės savybės vienodos visuose skerspjūvio taškuose.

Centriškai tempiamo strypo skerspjūvyje (pjūvyje, kuris statmenas išilginei ašiai) tangentinių į tempimų nėra. Tačiau į strižame tempiamo strypo skerspjūvyje m - m, tarp kurio normalės n ir strypo ašies zyra kampas β (2.3 pav., a), veikia ir normaliniai, ir tangentiniai į tempimai:

β σ σ 2cos=n , (2.2)

β σ

τ 2sin2

=nm . (2.3)

Įrodymas knygoje 35 psl.

2.3 pav.Perpjovę strypą taip, kad pjūvio plokštuma būtų statmena nebe n ašiai, bet m ašiai, analogišku keliu

gautume to pjūvio į tempimų reikšmes:

β σ σ 2sin=m , β σ

τ 2sin2

=mn .

Atkreipkite dėmesį į tai, kad tangentiniai į tempimai abiejuose statmenuose pjūviuose yra vienodi,τ nm=τ mn (2.4 pav., b); vėliau šį vienodumą į rodysime kaip tangentinių į tempimų dualumo dėsnį .

Iš (2.2) ir (2.3) formulių nesunku rasti ekstremines į tempimų reikšmes:maksimalus σ n,max=σ , kai β =0;maksimalus τ nm,max=σ /2, kai β =π/4=45° (ši išvada labai reikšminga, į sidėmėkite ją );minimalus σ n,min=0, kai β =π/2=90° (taigi, išilginiuose centriškai tempiamo ar gniuždomo strypo pjūviuosenėra normalinių į tempimų , nėra ir tangentinių , nes ir sin2⋅π/2=sin180°=0).

2.3. Stiprumas

Bet koks konstrukcijos elementas ima irti (netenka savo stiprumo, sugebė jimo atlaikyti mechaniniusveiksnius) tada, kai jo į tempimai pasidaro pernelyg dideli, kai į tempimas kuriame nors taške viršija tam tikr ą

reikšmę . Negana užtikrinti, kad į tempimas tos reikšmės neviršytų , reikia dar ir šiokios tokios stiprumoatsargos, rezervo. Konstrukcijų projektavimo taisyklės paprastai reikalauja, kad į tempimas neviršytų tamtikro nustatyto dydžio. Jeigu taisyklės paremtos ribinių būvių metodu, tai šis dydis vadinamas medžiagos

projektiniu stipriu ir žymimas raide R (arba, pavyzdžiui, kai kuriose Europos normose, raide f ); leistinų jų į tempimų metode tai - leistinasis į tempimas σ adm. Taigi paprasčiausia konstrukcijos elemento stiprumosą lyga gali būti išreikšta tokia nelygybe:

|σ |≤R. Čia kair ė je nelygybės pusė je yra absoliutiniu didumu į tempimas, apskaičiuotas pagal nepalankiausią apkrovimą (apėmus net galimą atsitiktinį , iš anksto nenumatytą konstrukcijos perkrovimą ), o dešinė je -medžiagos stiprumo rodiklis, kuris nustatytas atsižvelgiant ir į galimą medžiagos nevienodumą ,eksploatacijos są lygas, ir į kitokios atsargos būtinybę . Plačiau apie atsargos priežastis ir konstrukcijų skaičiavimo metodus kalbėsime vėliau.

Kai medžiaga nevienodai priešinasi tempimui ir gniuždymui (pavyzdžiui, betono pasipriešinimasgniuždymui yra keliolika kartų didesnis už pasipriešinimą tempimui), medžiagos stiprumas nusakomas nebevienu rodikliu: naudojamas Rt - tempiamasis projektinis stipris, ir Rc - gniuždomasis projektinis stipris. Tadastiprumo są lyga skirtinga tempiamam ir gniuždomam elementui:


3/17

σ ≤R t ir |σ |≤R c.Išreiškus į tempimą (2.1) formule, šios stiprumo są lygos susieja projektinį stipr į su į r ą ža N (ašine

jėga) ir geometriniu skerspjūvio rodikliu A (skerspjūvio plotu):

R A

N ≤ , (2.4)

arba, modifikavus skirtingo pasipriešinimo medžiagoms:

t R A

N

≤ , (2.4a)

c R A

N ≤ . (2.4b)

Nėra reikalo tikrinti, ar (2.4) są lyga tenkinama visuose strypo taškuose, visuose skerspjūviuose.Užtenka garantuoti stiprumą ten, kur į tempimas didžiausias (|σ |max). Jeigu net didžiausias į tempimas neviršija

projektinio stiprio R, tai, suprantama, kitose vietose mažesni į tempimai irgi neviršija. Tuos skerspjūvius,kuriuose gali būti didžiausia į tempimų reikšmė, vadiname pavojingaisiais skerspjūviais. Tiesiametempiamame strype tokių stiprumo požiūriu tikrintinų skerspjūvių dažniausiai yra ne daugiau kaip du: tas,kuriame veikia maksimali ašinė jėga | N |max, ir tas, kurio plotas minimalus, Amin. Jeigu sutampa | N |max ir Amin vieta, tikrintinas pagal stiprumą lieka tas vienas skerspjūvis.

Taigi, norint nustatyti, kurie tempiamo strypo skerspjūviai yra pavojingieji, reikia visų pirma pjūviometodu apskaičiuoti visuose strypo skerspjūviuose ašines jėgas ir rasti tuos skerspjūvius, kuriuose ašinės jėgos reikšmė didžiausia. Kai apkrovimas nesudėtingas, galima iš karto, be lyginamojo skaičiavimo, pastebėti, kur yra ekstreminė į r ą ža - didžiausia N max, kai ji teigiama, arba mažiausia N min, kai ji neigiama(nes, gal būt, | N min|=| N |max). Kai medžiaga nevienodai priešinasi tempimui ir gniuždymui, tenka nagrinėti irtempiamų jų , ir gniuždomų jų ruožų stiprumą , todėl pavojingų jų pjūvių pagausė ja. Ekstreminės ašinės jėgosvietą nustatyti kiek kebliau, kai apkrovos jėgos nėra vien koncentruotos, pavyzdžiui, kai būtina į skaičiavimą į traukti ir strypo savą jį svor į .

Dažniausiai nėra sunku aptikti mažiausio ploto skerspjūvį , reikia tik nepamiršti, kad skaičiavimuiimamas materialus pjūvio plotas (plotas neto, atmetus skyles).

Tenka spr ę sti trejopus stiprumo uždavinius - priklausomai nuo to, kurie dydžiai stiprumo są lygoje(2.4) žinomi ir kuriuos reikia nustatyti: ašinę jėgą N, skerspjūvio plotą A ar projektinį stipr į R.

Kai konstrukcijos elementas jau padarytas, jau egzistuoja, t. y. kai žinoma, iš kokios medžiagos jis pagamintas (žinomas R) ir kokie jo matmenys (žinomas A), gali būti nustatoma, k ą gali toks elementasatlaikyti, kokia didžiausia ašinė jėga N gali jį veikti (taigi ir kokia didžiausia apkrova, sukelianti tą į r ą žą , gali

būti pridėta). Dažnai šis uždavinys vadinamas leistinosios apkrovos nustatymo uždaviniu.Kai konstrukcija dar tik projektuojama, paprastai yra žinoma, kam ji skiriama, kokią ašinę jėgą N

tur ės atlaikyti jos tas ar kitas elementas. Konstruktoriui tenka išspr ę sti projektinį uždavinį - nustatyti, kokstas elementas turi būti. Dažniausiai būna iš anksto nuspr ę sta, iš kokios medžiagos (kokio plieno, betono,

plastiko) elementą daryti (taigi, yra žinomas R), ir iš stiprumo są lygos (2.4) belieka nustatyti trečią jį dydį -reikalingą jį strypo skerspjūvio plotą A.

Beje, gali pasitaikyti ir toks projektinis uždavinys: estetiniais ar kitais sumetimais iš anksto numatytatempiamo ar gniuždomo elemento geometrinė forma (taigi ir skerspjūvio plotas A) ir reikia parinkti tokią konstrukcinę medžiagą , kurios projektinis stipris R būtų pakankamas, o pati medžiaga, žinoma, būtų kuo

pigesnė.Visų šių uždavinių sprendimas remiasi stiprumo są lyga, kuri yra nelygybė. Sprendimo eigoje

nelygybės ženklas neišnyksta, nevirsta lygybės ženklu, taigi ir atsakymą gauname nelygybės pavidalu. Nustatome, kad ašinė jėga negali būti didesnė kaip tam tikras apskaičiuotas dydis arba kad stryposkerspjūvio plotas turi būti ne mažesnis kaip apskaičiuotoji reikšmė. Projektuotojas dažniausiai savodispozicijoje turi tam tikr ą (gal būt, standartinį ) rinkinį skerspjūvių arba matmenų ir iš jų pasirenka tą , kuristenkina stiprumo są lygą ir yra ekonomiškiausias. Stiprumo są lyga dažnai yra ne tik inžinerinis, bet ir

juridinis reikalavimas (susietas su valstybės į statymais), ir jo reikia griežtai laikytis, pažeisti nevalia, net irvardan taupumo.

Inžinieriui tenka savo nuomonę pareikšti ir tokiu atveju, kai žinomi visi parametrai - N , A ir R. Jam belieka pasakyti, ar tokia ir taip apkrauta konstrukcija yra patikima stiprumo požiūriu, ar ne. Tai -tikrinamasis uždavinys. Jeigu išvada teigiama (konstrukcija yra pakankamai stipri), tuo ir pasitenkinama. Na,o jeigu išvada neigiama, tenka ko nors skubiai imtis: arba sumažinti eksploatuojamos konstrukcijos apkrovą (sumažinti N ), arba konstrukciją skubiai (kol dar nesuiro) sustiprinti, arba, jeigu ta konstrukcija darnepastatyta, nepagaminta, perprojektuoti ją (išsprendus jau projektinį uždavinį , pareikalauti kitokio A arba

R).


4/17

2.4. Deformacijos, strypo matmenų pokytis

Deformacija yra proporcinga į tempimui - tai skelbia Huko dėsnis. Iš (1.15) gauname tokią deformacijos išraišk ą :

ε =σ / E . (2.5)Kai jau žinomi strypo skerspjūvio normaliniai į tempimai (lygiagrečiai išilginei strypo ašiai), pagal

Huko dėsnį galime nustatyti ir strypo išilginę deformaciją . Pavyzdžiui, jeigu plieno strypo skerspjūvyjeσ =160 MPa ir plieno tamprumo modulis E =200 GPa, tai ε =160⋅106/200⋅109=8,0⋅104 (deformacija - bematis

dydis).Galime tempiamo strypo išilginę deformaciją išreikšti ir ašine jėga - pasinaudoję (2.5) ir (2.1)

formulėmis:

EA

N =ε . (2.6)

Vardiklyje esanti sandauga E ⋅ A (medžiagos deformuojamumo rodiklio ir skerspjūvio geometriniorodiklio sandauga) vadinama strypo skerspjūvio tempiamuoju standžiu (arba standumo moduliu). Kuodidesnis standis, tuo mažiau strypas deformuojasi, tuo standesnis ties tuo skerspjūviu jis yra. Viso strypostandumas priklauso dar ir nuo strypo ilgio: žr. (2.9) formulę .

Kai kinta strypo išilginiai matmenys, kinta ir skersiniai: strypui tį stant, ilgė jant, jo skerspjūvissiaur ė ja, ir atvirkščiai, gniuždomas strypas ne tik trumpė ja, bet ir stor ė ja. Šią priklausomybę ypač ryškiai

pastebime, deformuodami strypus, kurių medžiagos tamprumo modulis mažas (pavyzdžiui, gumos juostelę ).Yra pastebėta, kad tamprių jų medžiagų skersinę deformacija ε q yra proporcinga išilginei deformacijai ε :

ε q=-νε . (2.7)Proporcingumo koeficientas v vadinamas skersinės deformacijos koeficientu arba Puasono

koeficientu (pagerbiant prancūzų mokslinink ą Deni Poisson, 1781-1840). Plieno ir daugelio kitų konstrukcinių medžiagų Puasono koeficientas yra apie 0,25-0,35, kaučiuko - net 0,47 (minkštoms

polimerinėms medžiagoms v gali būti gerokai didesnis už 0,5!); jokios vienalytės izotropinės medžiagosPuasono koeficientas neviršija 0,5 (tai į rodysime vėliau). Reikia paminėti, kad yra šiuolaikinių polimerinių medžiagų ir su neigiamu Puasono koeficientu. Įsidėmėkite, kad šis koeficientas išreiškia proporcingumą tiktarp deformacijų (išilginės ir skersinės); tačiau, pasinaudoję Puasono koeficientu, galime rasti ir matmenų

pokyčius.Žinodami deformacijas ties į vairiais strypo taškais, ties visais jo skerspjūviais, galime nustatyti, kiek

pakinta strypo matmenys. Pavyzdžiui, strypo ilgio pokytis priklauso nuo išilginės deformacijos:

∫∫ ==∆ L L

dz EA

N dz L

00ε . (2.8)

Jeigu per visą strypo ilgį nekinta nei ašinė jėga, nei strypo skerspjūvio plotas, nei jo medžiaga (N =const, A=const, N =const), tai visi šie dydžiai (taigi ir deformacija ε ) gali būti iškelti prieš integralo ženklą , ir tada

L EA

N L L ==∆ ε . (2.9)

Būtent pagal šią formulę galima nusakyti viso strypo standumą parametru EA/L (strypo standžių )arba atvirkštinę savybę - deformatyvumą - parametru L/( EA). Kuo didesnis strypo ilgio ir skerspjūviostandžio santykis, tuo daugiau ištį sta strypas, veikiamas tokios pačios ašinės jėgos.

Dažnai deformacija būna pastovi tik atskiruose strypo ruožuose. Tada pagal (2.9) formulę apskaičiuojame tų atskir ų ruožų ilgių pokyčius, o viso strypo ilgio pokytį išreiškiame visų n ruožų pokyčių suma:

∑=

=∆n

j j j L L

1

ε . (2.10)

Nepamirškite, kad deformacija ε vienuose ruožuose (kurie gniuždomi, kurių ašinė jėga N


5/17

T EA

N α ε += , (2.11)

čia a - fizikinis strypo medžiagos rodiklis, jos šiluminio plėtimosi koeficientas. Abu (2.11) formulėsdėmenys gali būti skirtingo ženklo (pavyzdžiui, kai neigiama ašinė jėga ir teigiamas strypo temperatūros

prieaugis). Neapsirikite, kai į vertinate temperatūros į tak ą skersinei deformacijai. Mat, šiluminis plėtimasis

vienalytė je izotropiškoje medžiagoje yra vienodas visomis kryptimis, todėl iš Puasono koeficiento dauginti

reikia tik pirmą jį (2.11) formulės nar į , ir ženklą pakeičia tik pirmasis narys:T

EA

N q α υ ε +−= . (2.12)

2.5. Poslinkiai

Visam strypui ar jo atskiriems ruožams deformuojantis, kinta atstumai tarp strypo skerspjūvių , kintaskerspjūvių padėtis erdvė je, bet kurioje atskaitos sistemoje. Kelias, kur į nueina deformavimo metuskerspjūvis, vadinamas skerspjūvio poslinkiu. Paprastai poslinkiai z ašies kryptimi yra žymimi raide w. Jeiguskerspjūvis pasislinko teigiama z ašies kryptimi, jis laikomas teigiamu.

Skerspjūvio poslinkio didumas priklauso nuo to, kiek pakito ilgiai tų strypo ruožų , kurie yra tarpnagrinė jamojo skerspjūvio ir nejudančio, į tvirtinto (atraminio) skerspjūvio. Jeigu nagrinė jamasis skerspjūvis

yra į teigiamą (pagal z ašį ) pusę nuo atramos, tai dėl ruožo pailgė jimo (dėl ilgio teigiamo pokyčio) atsirandateigiamas poslinkis ir, atvirkščiai, neigiamoje pusė je esančio skerspjūvio poslinkis būna priešingo ženklonegu ruožo ilgio pokytis. Todėl, pavyzdžiui, parodytų jų 2.4, a paveikslėlyje strypų skerspjūvių poslinkiaiskaičiuojami taip:

wa=0, wb=ε 1 L1, wc=ε 1 L1+ε 2 L2, wd =ε 1 L1+ε 2 L2+ε 3 L3,wh=0, w g =-ε 3 L3, w f =-(ε 3 L3+ε 2 L2), we=-(ε 3 L3+ε 2 L2+ε 1 L1).

Čia turima omenyje, kad kiekvieno ruožo deformacijos ε yra vienodos per visą to ruožo ilgį irapskaičiuojamos arba (2.6), arba (2.11) formule.

Kartais būna pravartu nubraižyti nagrinė jamo strypo skerspjūvių poslinki ų diagramą, iš kuriosgalima lengvai nustatyti bet kurio skerspjūvio poslink į . Kai deformacija visame strypo ruože yra vienoda, t.y. kai ruožo ilgio pokytis apskaičiuojamas (2.9) formule, pakanka nustatyti strypų ruožų galų poslinkius; tam

naudojamės (2.9) formule ir šio poskyrio pradžioje nusakytomis taisyklėmis. Skerspjūvių , esančių bet kuriojeruožo vietoje, poslinkio prieaugis proporcingas atstumui nuo ruožo galo. Todėl diagramoje tarp ordinačių ,žyminčių ruožų galų poslinkius, br ėžiame tiesę . Tokios poslinkių diagramos sudarymo pavyzdys yra 2.4, b

paveikslėlyje. Iš poslinkių w diagramos matyti, kad konstrukcijai besideformuojant visiškai nejuda ne tikatraminis (kairysis) laiptuotojo strypo galas, bet ir dar vienas vidurinio ruožo skerspjūvis (wk =0).Skerspjūviai tarp atramos ir šio nepajudančio skerspjūvio k pasislenka į kair ę (neigiami poslinkiai), tuo tarpuvisi skerspjūviai, esantys į dešinę nuo pjūvio k , slenka į dešinę (teigiami poslinkiai).

Jeigu bet kuriame strypo ruože deformacija nėra vienoda (jeigu ji nėra pastovus dydis), tai ties tuoruožu poslinkių diagrama nėra tiesinė. Tokios diagramos kreivei nubr ėžti reikia papildomų tašk ų - reikiaapskaičiuoti ne tik to ruožo galų , bet ir dar bent vieno kito skerspjūvio poslinkius.

2.4 pav.


6/17

2.6. Standumas

Standumas yra konstrukcijos ar jos elemento savybė per daug nesideformuoti dėl mechaninių veiksnių . Ši savybė kai kurioms konstrukcijoms yra labai svarbi, nes, visų pirma, žymiai pakitusių matmenų ,

pakitusios formos konstrukcija gali nebetikti eksploatacijai, be to, didelės deformacijos dažnai yra netolimogresiančio suirimo pranašas. Todėl bet kuri konstrukcija ir jos elementai turi tenkinti vadinamą sias standumosą lygas. Šios są lygos yra deformacijų arba poslinkių apribojimai:

ε ≤ε lim, (2.13)

w≤wlim, (2.14) čia ε lim, wlim - normomis nustatyti arba technologinių , estetinių sumetimų padiktuoti dydžiai. Čia parodyti tikteigiamų deformacijų ir poslinkių apribojimai, bet lygiai taip pat gali būti apriboti ir neigiamų (gniuždomų jų )deformacijų ar neigiamos krypties poslinkių absoliutiniai didumai.

Paprasta yra spr ę sti tikrinamą j į standumo uždavinį : reikia apskaičiuoti atitinkamą konstrukcijoselemento deformaciją ar nurodyto taško poslink į ir pažiūr ėti, ar jų didumas neviršija ribinio (norminio)dydžio.

Dažniausiai tokie standumo uždaviniai ir sprendžiami, nes konstrukcijų elementai projektuojami,remiantis visų pirma stiprumo są lygomis, o suprojektuota konstrukcija po to pagal standumo są lygas tik

patikrinama. Tačiau jeigu paaišk ė ja, kad deformacijos ar poslinkiai suprojektuotoje konstrukcijoje per dideli,tenka konstrukciją projektuoti iš naujo, šį kartą remiantis nebe vien stiprumo, bet ir standumo są lygomis.Taigi, reikia mok ėti spr ę sti ir

projektinius standumo uždavinius.

2.7. Deformavimo darbas, potencinė energija

Strypui deformuoti - ištempti ar sutrumpinti - reikia į dėti darbo, reikia energijos. Deformacijaatsiranda dėl jėgų , o iš fizikos žinome, kad darbas lygus jėgos ir jos nueito kelio sandaugai. Tačiau šiuoatveju (2.5, a pav.) darbo didumas išreiškiamas puse tokios sandaugos:

W =0,5 F ∆ L. (2.15)

2.5 pav.Pamėginkime išsiaiškinti ir į rodyti, kodėl taip yra.Tempiančios tampr ų tiesų strypą jėgos didumas yra proporcingas strypo ilgio pokyčiui (2.5, b pav.):

F = EA∆ L/ L=tg β ∆ L.Proporcingumo koeficientą (tg β = EA/ L) gauname, pasinaudoję (2.9) formule, suprasdami, kad N = F ,

tuo tarpu tg β yra proporcingumą vaizduojančios tiesės krypties koeficientas. Kai jėgos didumas kuriuo norsapkrovimo proceso metu yra F (t ), jėga per trumpą laiko tarpą strypui beilgė jant nueina kartu su savo

pridėties tašku (strypo laisvuoju galu) mažą atstumą d( ∆ L). Tuo metu ji atlieka elementar ų darbą , išreiškiamą jėgos ir nueito kelio sandauga (šį darbą 2.5, b paveikslėlio diagramoje atitinka užbr ūkšniuotasis plotelis):

∆W = F (t )⋅d(∆ L)=tg β ∆ Ld(∆ L).Visą darbą gauname integruodami:

2

)(

2

)()(

**2*)(

00

** L F Ltg L Ld tg W W

L F ∆=

∆=∆∆=∆= ∫∫

∆

β β .

Šis dydis atitinka (2.15) formulę , o 2.5, b paveikslėlio diagramoje - trikampio OAB plotą .Išorinių jėgų darbas niekur nedingsta, jis susikaupia pačiame ištemptame strype potencinės

deformavimo energijos pavidalu. Būtent ši potencinė energija sugr ą žina deformuotą jį k ūną atgal į pirmykštį būvį , kai pašalinama deformavimo priežastis. Prisiminkite, kaip staiga susitraukia gumos juostelė, kai poištempimo paleidžiate ją iš pirštų . Žmogus seniai į gudo naudotis potencine deformavimo energija:

šaunamojo lanko bei arbaleto stygos, į vairios spyruoklės (pastarosiose, beje, daugiau ne tempimo, o kitokiodeformavimo energija sukaupiama).


7/17

Jeigu deformacija ε vienoda per visą strypo ilgį (t .y. jeigu ašinė jėga nekinta, N =const, medžiaga ir jos tamprumo modulis vienodi, E =const, skerspjūvio plotas irgi nekinta, A=const), potencinė ištempto strypoenergija išreiškiama taip:

EA

L N U

2

2

= . (2.16)

Jeigu konstrukcijoje deformuojamų strypų ne vienas, o n, energija sumuojama:

( )∑==

n

i i

ii

EA

L N

U 0

2

2 . (2.17)Šitokios energijos išraiškos racionalus naudojimas poslinkiui skaič iuoti demonstruojamas A.Č ižo knygoje2.6 pavyzdžiu (72 p.).

Dažnai naudojama santykinės potencinės energijos są voka - tai energija, tenkanti strypo tūriovienetui:

2222

2

2

2

2

σε σ =====

E EA

N

AL EA

L N

V

U u . (2.18)

Visos šios išraiškos galioja tik tuo atveju, kai strypas tamprus ir deformuojasi proporcingai, pagalHuko dėsnį . Kai to nėra, pavyzdžiui, kai greta tampriosios deformacijos atsiranda ir plastinė, dalis

deformavimo energijos pereinaį šilum

ą , sunaudojama medžiagos strukt

ūrai keisti, ir tik dalis jos susikaupia potencinės energijos pavidalu.

Esame kalbė ję apie konstrukcijos element ų stiprumą , buvome įr ą žomis bei įtempimais išreišk ę stiprumo sąlygas. Ar tikrai deformuojamo k ūno (ne medžiagos, o k ūno!) stiprumo sąvoka nėra susijusi suenergija? Pavyzdžiui, pasakykite, kuris tokios pat virvė s gabalas stipresnis - ilgas ar trumpas? Tur būt, kaikas prisiminsite, kad kelių eismo taisykl ė s reikalauja sugedusį automobil į vilkti ilgu buksyru, ilga virve?

Kod ėl? Ogi tod ėl, kad ilgai virvei nutraukti reikia didesnė s energijos negu trumpai (nors jė ga, d ėl kurios abivirvė s tr ūksta, yra tokio pat didumo). Pasižiūr ėkite į (2.16) formul ę - energija priklauso ne tik nuo jė gos( įr ą žos) didumo, bet ir nuo strypo ilgio. Kai kada, ypač dinaminių apkrovų atveju, stiprumą lemia būtentenergijos kiekis. Ilgas buksyras “stipresnis”, nes sušvelnina smū ginius tr ūktel ė jimus, akumuliuodamas

smū gio energiją. Senoviniai ekipažai d ėl to būdavo prie važiuokl ė s prikabinami ilgais diržais, d ėl to ir laivų inkar ų grandinė s daromos kuo ilgesnė s. Kai jū s trauksite iš ežero užkibusią stambią žuvį , negriebkite už

vidurio valo - žuviai tada pakaks energijos nutraukti val ą su visu kabliuku; tempdami žuvį į krant ą , pasinaudokite kuo ilgesnio valo ir net paties meškerykoč io deformacijos energija.

2.8. Savojo svorio į taka vertikaliam strypui

Dažniausiai tempiamų ar gniuždomų strypų savasis svoris yra labai mažas, palyginus su kitomisapkrovų jėgomis. Todėl paprastai (daugumoje medžiagų atsparumo uždavinių ) savojo svorio nepaisoma.Tačiau yra konstrukcijų , kurių savasis svoris sudaro kaip tik pagrindinę , esminę apkrovos dalį . Čia

pažiūr ėsime, kaip skaičiuojama ašinė jėga, į tempimai bei deformacijos, atsiradę dėl savojo svorio. O kaidrauge su savuoju svoriu veiks ir kitos apkrovos, galutinį rezultatą gausite, pritaik ę superpozicijos principą .

Kai vertikalų vienodo skerspjūvio strypą veikia vien savasis svoris, ašinė jėga bet kuriame stryposkerspjūvyje, nutolusiame atstumu z nuo laisvojo galo (2.6 pav.), yra lygi strypo dalies, tariamai atpjautos

tuo nagrinė jamuoju skerspjūviu, svoriui. Šitos strypo dalies tūr į V z= Az reikia padauginti iš strypo medžiagostūrio svorio γ = ρ g ( ρ - medžiagos tankis, g - laisvojo kritimo pagreitis):

N ( z)=V zγ = ρ gAz. (2.19)Įtempimas bet kuriame to skerspjūvio taškeσ ( z)= N ( z)/ A= ρ gz, (2.20)

o išilginė deformacija ties tuo skerspjūviuε ( z)=σ ( z)/ E = ρ gz/ E . (2.21) Viso strypo ilgio pokytis apskaičiuojamas (2.8) formule:

E

gL zdz

E

g dz L

L L

2

2

00

ρ ρ ε ∫∫ ===∆ . (2.22)


8/17


9/17

2.9. Tempiamų (gniuždomų ) strypų sistemos

Pastatuose, mašinose būna ir paskir ų tempiamų ar gniuždomų strypų , bet dažniausiai naudojamoskonstrukcijos, sudarytos iš kelių ar daugelio tokių strypų , vadinamosios strypinės sistemos.

Paprasčiausios iš šių sistemų yra tos, kuriose visų strypų išilginės ašys eina viena tiese. Dažnaitokios konstrukcijos net ir vadinamos ne strypinėmis sistemomis, o tiesiog “laiptuotaisiais” ar dar kitokiaisstrypais. Daugumą tokių konstrukcijų sudaro strypai, išdėstyti nuosekliai vienas po kito (2.8, a pav.); vienasstrypas nuo kito atsiskiria tuo, kad jie gali būti skirtingo skerspjūvio, kitokios medžiagos, kad jų sandūroje

gali būti pridėtos koncentruotos apkrovos jėgos (ir todėl strypų į r ą žos - ašinės jėgos - skiriasi).Tačiau būna ir strypų , kurių ašys konstrukcijoje visiškai sutampa - koaksialūs, bendraašiai strypai

(2.8, b pav.), dažnai su koncentriškais skerspjūviais (su centrine šerdimi ir iš kitos medžiagos pagamintaisapvalkalais). Tokia konstrukcija laikytina ir gelžbetoninė kolona (2.8, c pav.) su plieno armatūros virbais

betone (šios armatūros viso ploto centras sutampa su kolonos skerspjūvio centru).

2.8 pav.Jeigu strypų ašys sistemoje eina ne viena tiese, strypai vienas su kitu (o ir su atramomis) turi būti

sujungti šarnyrais (lankstomis), o apkrovos jėgos turi būti pridėtos tik prie šitų šarnyrinių sandūr ų (mazgų ) -tik tokiu atveju strypuose neatsiranda kitų į r ą žų (išskyrus ašines jėgas), t.y. tik tuo atveju strypai yracentriškai tempiami ar gniuždomi. Tokios sistemos vadinamos šarnyrinėmis (lankstinėmis) strypinėmissistemomis. Idealių šarnyr ų retai kada būna, bet dar rečiau strypai vienas su kitu sujungiami absoliučiaistandžiai (apkrovus konstrukciją , strypų ašys vis dėlto pasisuka viena kitos atžvilgiu). Dažniausiai ir tokių

paplitusių konstrukcijų kaip santvaros mazgai, kuriuose strypai jungiami varžtais, kniedėmis (2.9 pav.) ar privirinami, laikomi šarnyriniais, ir santvaros dažniausiai nagrinė jamos kaip šarnyrinės strypinės sistemos.

2.9 pav.Šarnyrinėse strypinėse sistemose gali būti ir nesideformuojančių , absoliučiai standžių bet kokios

formos elementų , prie kurių šarnyrais prijungti deformuojamieji (tempiami ar gniuždomi) strypai. Tokieelementai skaičiuojamosiose schemose dažniausiai užbr ūkšniuojami (2.10 pav.), apkrovos jėgos gali būti

pridedamos prie bet kurio tokių elementų taško.

2.10 pavŠarnyrinės strypinės sistemos gali būti plokščiosios (kai visų strypų ašys ir apkrovos jėgos yra

vienoje plokštumoje, kaip, pavyzdžiui, 2.11, a paveikslėlio santvaroje) arba erdvinės (kai strypų ašių irapkrovos jėgų kryptys yra ne vienoje plokštumoje, 2.11 b pav.).


10/17

2.11 pav.

Kiekvieno sistemos strypo į r ą ža (ašinė jėga) gali būti kitokia. Jeigu sistemoje yra n strypų , taiapkrautos sistemos mechaninį būvį galima nusakyti tokiu pat skaičiumi (n) į r ą žų (ašinių jėgų N j). Tiek pat (n)gali būti skirtingų deformacijų (ε j). Kiekvienas laisvas (ne atraminis) mazgas, į kur į sueina strypų galai,konstrukcijai besideformuojant, juda erdvė je; mazgo į manomo judesio laisvumas apibr ėžiamas laisvumolaipsniu. Laisvumo laipsnis lygus skaičiui parametr ų (koordinačių ), reikalingų nustatyti naujai pasislinkusiomazgo padėčiai; pavyzdžiui, plokščiosios sistemos mazgo k (2.11, c pav.) padėčiai k 1 nusakyti reikia žinotidu poslinkio sk komponentus - uk ir vk (arba patį poslink į sk ir jo krypties kampą β k ), taigi tokio mazgolaisvumo laipsnis f k =2.

Koaksialios sistemos mazgo laisvumo laipsnis f =1, erdvinės sistemos mazgo f =3 (išimčių gali būti,

kai mazgo judesys kaip nors suvaržytas). Kai sistemoje yra absoliučiai standžių , nesi deformuojančių elementų (kaip 2.10 pav.), į šiuos standžiuosius elementus dera žiūr ėti kaip į stambius mazgus. Tokių stambių jų mazgų laisvumo laipsnis plokščiojoje sistemoje būna iki 3, o erdvinė je - iki 6.

Į jungto į šarnyrinę strypinę sistemą nesideformuojančio, absoliučiai standaus elemento (laikomovienu vientisu stambiu mazgu) laisvumo laipsnis lygus, kaip ir paprasto šarnyrinio mazgo laisvumo laipsnis,skaičiui parametr ų , kurių reikia naujai elemento padėčiai nustatyti. Pavyzdžiui, tokio plokščiosios sistemosstambiojo mazgo (2.12, a pav.) naujai padėčiai nustatyti nepakanka žinoti kurio nors taško a poslinkiokomponentus (ua, va), reikia dar ir trečio parametro - arba kurio nors kito taško poslinkio bent vienokomponento, arba elemento posūkio kampo (ϕ ).

Taigi tokio mazgo laisvumo laipsnis f =3. Kai kada šių mazgų judesys būna suvaržytas: pavyzdžiui,elementas šarnyru pritvirtintas prie atramos (2.12, b pav.) ir gali tik pasisukti apie t ą atramą (užtenka žinoti

posūkio kampą , f =1). Mazgo laisvumo laipsnis sumažė ja ir tuo atveju, kai strypinė sistema (ir apkrova)

visiškai simetriška (kaip 2.13, a pav.; čia stambusis mazgas pasislenka iš anksto žinoma kryptimi - simetrijosašies kryptimi, nė kiek nepasisukdamas, todėl jo naujajai padėčiai nustatyti pakanka žinoti šį vienintelį

poslinkio komponentą , f =1) arba kai visi strypai (ir apkrovos jėgos) lygiagrečiai (kaip 2.13, b pav.; čia negali būti horizontalaus poslinkio komponento, todėl naujoji mazgo padėtis nustatoma tik vertikaliuoju kurio norstaško poslinkiu ir viso stambiojo mazgo posūkiu, f =2).

2.12 pav.

2.13 pav.Visos strypinės sistemos laisvumo laipsnis lygus visų m mazgų laisvumo laipsnių sumai:

∑==m

ii f p

1.

Deformuotos sistemos geometrinį būvį galima nusakyti jos mazgų poslinkiais, tikriau - šių poslinkių komponentais. Jeigu mazgo laisvumo laipsnis 2, tai naujai mazgo padėčiai (po deformavimo) nusakyti reikia


11/17

žinoti du šio mazgo poslinkio komponentus. Jeigu visos sistemos laisvumo laipsnis p, tai šios sistemosgeometrinis būvis po deformavimo gali būti aprašytas tokiu pat skaičiumi ( p) poslinkių komponentų .

Jeigu kalbame apie šarnyrinę strypinę sistemą , kurios visa apkrova susideda tik iš koncentruotų jėgų , pridėtų prie sistemos mazgų , tai, pakeitus apkrovos jėgas jų atstojamų jų komponentais (pavyzdžiui, projekcijomis į koordinačių ašis), tų komponentų gali būti prie kiekvieno mazgo tiek, koks mazgo laisvumolaipsnis, o iš viso - p.

Statinės pusiausvyros lygtys susieja į r ą žas su apkrovos jėgomis. Jos parašomos, pritaikius pjūviometodą . Įvairiai pjūviais suskaidę sistemą ir pasinaudoję jėgų projekcijomis į į vairias ašis bei jėgų

momentais į vairių tašk ų atžvilgiu, galime parašyti be galo daug neklaidingų pusiausvyros lygčių . Pavyzdžiui, parodytosios (2.14 pav.) sistemos mazgai a ir b gali būti išpjauti atskirai arba drauge, pusiausvyros lygtis

galima sudaryti, prilyginus nuliui sumas jėgų projekcijų (∑ = 0 x F ) į ašis x1,x2,... ,x9 ir t.t. arba sumas jėgų momentų ( ) tašk ų a, b, c, f , e ir t.t. atžvilgiu. Tačiau iš visų šių lygčių tik tam tikras skaičius tėra

tiesiškai nepriklausomos (visos kitos pasirodo besančios kelių kitų lygčių deriniai; jeigu ir jas panaudotumeuždaviniams spr ę sti, išvadas iš jų gautume trivialias - kad nulis lygus nuliui). Tiesiškai nepriklausomų

pusiausvyros lygčių būna tiek, koks yra sistemos (arba mazgo) laisvumo laipsnis. Taigi nepriklausomų sistemos statinės pusiausvyros lygčių galima parašyti p. Kad netyčia tarp šių lygčių neatsirastų tiesiškai

priklausomų , geriau yra pjūvio metodu išpjauti atskirai kiekvieną mazgą ir rašyti atskirai kiekvieno mazgo pusiausvyros lygtis.

∑ = 0k M

2.14 pav.

Konstrukcijoms (ne mechanizmams!) skirtų šarnyrinių strypinių sistemų laisvumo laipsnis p visadayra ne didesnis kaip sistemos strypų skaičius n. Kai šie du dydžiai yra lygūs, t.y. kai

n= p,žinant apkrovos jėgas, vien iš statinės pusiausvyros lygčių (kurių , kaip jau į sitikinome, parašoma p) galimanustatyti visų sistemos strypų į r ą žas (nes į ražų skaičius yra lygus turimų lygčių skaičiui). Tokios sistemostodėl vadinamos statiškai išsprendžiamomis.

Jeigu sistemos strypų skaičius didesnis, jeigu n> p, visų strypų ašinėms jėgoms rasti statinės pusiausvyros lygčių nepakanka (nes nepriklausomų lygčių skaičius p yra mažesnis kaip nežinomų jų į ražų skaičius n). Tokios sistemos vadinamos statiškai neišsprendžiamomis, o skirtumas

n- p=k , (2.24)vadinamas statinio neišsprendžiamumo laipsniu. Yra į prasta sakyti: “vieną kart statiškai neišsprendžiamasistema” (kai k =1), “triskart statiškai neišsprendžiama sistema”, “k kartų statiškai neišsprendžiama sistema”.

Reikia išmokti be klaidų nustatyti sistemos statinio neišsprendžiamumo laipsnį .Kai nepakanka statinės pusiausvyros lygčių į r ą žoms nustatyti arba kai norima rasti sistemos

deformacijas bei poslinkius, naudojamasi deformavimo lyg timis - geometrinėmis ir fizikinėmis.Geometrinės lygtys susieja deformacijas ir poslinkius, o fizikinės išreiškia deformacijų priklausomybę nuo jų

priežasčių (į r ą žų , temperatūros pokyčių ).Geometrinės deformacij ų ir poslinki ų darnos lygtys gali būti parašomos dvejopai: matematiškai išreiškiant geometrinius (trigonometrinius) ryšius tarp sistemos strypų deformacijų

ir mazgų poslinkių ; formaliai pertvarkant matricinę -vektorinę statinės pusiausvyros lygčių išraišk ą .

Pirmuoju (geometrinio nagrinė jimo) keliu naudotis pravartu ir į manoma tik nesudėtingoms (kelių strypų ) sistemoms aprašyti. Šios lygtys parašomos vienu iš dviejų būdų :

vienoje (toje pačioje) schemoje parodoma sistemos strypų ir mazgų padėtis ir priešdeformavimą , ir po jo, pažymimi strypų ilgių pokyčiai (∆ L=ε L) ir mazgų poslinkių komponentai; po to belieka nustatyti geometrines (trigonometrines) priklausomybes tarp šių visų dydžių (schemoje pažymėtų atkarpų );

pasinaudojama bendra kiekvieno strypo ilgio pokyčio išraiška mazgų poslinkių komponentais

(2.15, a pav.):(v b-va)sin β +(u b-ua)cos β =ε j L j, (2.25)

čia kampas β atskaitomas nuo x (arba u) teigiamos krypties iki strypo j ašies krypties (nuo galo a link galob); šios išraiškos dar paprastesnės, kai vienas kuris strypo galas šarnyru prijungtas prie atramos ir todėl jo


12/17

poslinkio abu komponentai lygūs nuliui, pavyzdžiui, kai šarnyriškai į tvirtintas strypo galas a (2.15, b pav.),šios lygties pavidalas toks:

v bsin β +u bcos β =ε j L j.

2.15 pav.Abu būdai paprastiems deformacijų ir poslinkių santykiams nagrinėti iliustruojami A.Čižo knygoje

2.5 pavyzdžiu (2.10 poskyryje).Geometrinę lygtį , kuri (2.25) išraiškos pavidalu susieja strypo j deformaciją ε j su mazgų a ir b (prie

kurių prijungtas strypas j) poslinkių komponentais u ir v, galima parašyti kiekvienam deformuojamam(tempiamam ar gniuždomam) sistemos strypui. Taigi iš viso geometrinės deformacijų ir poslinkių darnoslygčių gali būti tiek, kiek yra strypų - n. Šios lygtys susieja n deformacijų ir p poslinkių komponentų . Kain> p, iš šių lygčių galima eliminuoti poslinkių komponentus (tam eliminavimui sunaudojus p lygčių ); tokiu

būdu lieka n- p=k lygčių , kurios sieja tik deformacijas. Tokios lygtys vadinamos geometrinės deformacij ų darnos lygtimis. Kai sistemos nesudėtingos, šias lygtis nesunku parašyti tiesiog pagal geometrinesdeformavimo schemas (visiškai nesinaudojant poslinkių komponentais); verta į gusti tokias paprastas lygtissudarinėti, nes jų dažnai prireikia.

Paprastas deformacijų darnos lygtis dažnai tenka parašyti sistemai, sudarytai iš strypų , išdėstytų vienoje tiesė je (2.16, a pav.). Akivaizdu, kad tokios sistemos viso ilgio pokytis lygus nuliui, nes abu sistemosgalai remiasi į standžias atramas. Todėl deformacijų darnos lygtis tokia:

01

=∑=

n

j j j Lε . (2.26)

Jeigu tarp visų sistemos ruožų yra ruožas su dviem koaksialiais strypais (pavyzdžiui, 2.16, b paveikslėlyje toks yra viršutinis ruožas), negalima sumuoti abiejų tokių strypų ilgių pokyčių ; šiuo atveju

(2.16, b pav.) galima rašyti:arba ε 1a+ε 3b+ε 4c=0,arba ε 2a+ε 3b+ε 4c=0,arba ε 1=ε 2.

(pastaroji lygtis išreiškia tą faktą , kad strypai 1 ir 2 deformuojasi drauge ir jų deformacijos lygios). Kadangisistema dukart statiškai neišsprendžiama (k =2), tai ir nepriklausomų deformacijų darnos lygčių gali būti tikdvi (bet kurios dvi iš parašytų trijų ), t.y. iš bet kurių dviejų parašytų jų lygčių galima gauti likusią , trečią .


13/17

2.16 pav.

Fizikinės deformavimo lygtys yra ne kas kita kaip strypų deformacijų išraiškos (2.6) formulė, kuri pagr į sta deformacijų ir į tempimų proporcingumo dėsniu (Huko dėsniu):

j j

j j A E

N =ε . (2.27)

Tačiau jeigu deformacijos priežastis yra ne tik vidinės jėgos, bet ir strypų temperatūros pokytis, tailygtį formuoti reikia pagal (2.11) formulę :

j j j j

j

j T A E

N

α ε += , (2.28)

čia α j - strypo medžiagos šiluminio plėtimosi koeficientas, T 3 - strypo temperatūros pokytis (teigiamas arbaneigiamas).

Fizikinių deformavimo lygčių parašoma po vieną kiekvienam strypui, iš viso jų būna n. Taigi bet kuri strypinė tempiama bei gniuždoma sistema aprašoma trimis grupėmis lygčių , kurių

skaičius ir kintamų jų skaičius surašytas lentelė je:Kintamų jų skačius

Lygtys N j ε j u j

Lygčių skaičius

Pusiausvyros n - - PGeometrinės - n P nFizikinės n n - n

Viso 2n+ p 2n+ p Lentelės matyti, kad visada lygčių skaičius lygus kintamų jų skaičiui. Todėl, pasinaudoję visomis

šiomis lygtimis, galime surasti bet kurios (kiek kartų statiškai neišsprendžiama bebūtų ) sistemos į r ą žas,deformacijas ir poslinkius.

Beje, kai sistema statiškai neišsprendžiama, jos strypuose į r ą žos gali atsirasti ir be apkrovos. Pirmojitokių į r ą žų (ir į tempimų ) atsiradimo priežastis yra bent vieno strypo (arba ir visų strypų ) temperatūros

pokytis (kai strypas konstrukcijoje į kaista arba atvėsta). Tokios į r ą žos vadinamos temperatūrinėmis, su jomissusiję į tempimai - temperat ūriniais į tempimais. Jas nustatyti nesudėtinga, kai skaičiavimui panaudojamafizikinių deformavimo lygčių (2.28) išraiška.

Jeigu sistema statiškai išsprendžiama (kaip, pavyzdžiui, 2.17, a pav.), pakitus strypų temperatūrai, pakinta ir jų ilgis - jie sutrumpė ja ar pailgė ja. Strypų deformacijos proporcingos temperatūros pokyčiui,strypų skerspjūvių poslinkiai priklauso nuo šių deformacijų . Pakinta strypų geometrinė forma, bet jokių į r ą žų

ar į tempimų neatsiranda - tai akivaizdžiai matyti, pritaikius sistemos mazgams pjūvio metodą .Kitaip yra, kai sistema statiškai neišsprendžiama. Čia strypų ilgių kitimas, temperatūrai veikiant, yra

suvaržytas. Pavyzdžiui, jeigu vieną kart statiškai neišsprendžiamoje sistemoje (2.17, b pav.) pakyla bent


14/17

vieno strypo temperatūra, strypas, besistengdamas ilgėti, spaudžia savo galais atramą ir kitą strypą , o šie priešinasi tokiam deformavimui, išauga reakcijos jėgos, o drauge ir į r ą žos, į tempimai.

2.17 pav.Antroji priežastis atsirasti į r ą žoms (ir į tempimams) dar neapkrautoje sistemoje - tai sistemos

montavimo netikslumai. Kai statiškai neišsprendžiamos sistemos bent vienas strypas pagamintas netiksliai(per ilgas, per trumpas) arba kai jis netiksliai sujungiamas su kitais strypais, montavimo metu tenka kaikuriuos strypus patempti į ar į sprausti tarp atramų , tarp mazgų . Dėl tokių poveikių atsiranda į reakcijos, odrauge ir į r ą žos, į tempimai strypuose. Tokios į r ą žos vadinamos montažinėmis, su jomis susiję į tempimai -

montažiniais į tempimais. Į montavimo netikslumus atsižvelgiame, sudarydami geometrines deformavimolygtis.Jeigu statiškai išsprendžiamoje sistemoje (pavyzdžiui, kaip 2.17, a pav.) vienas kuris strypas

padarytas kiek per trumpas ar per ilgas, jokių keblumų montavimo metu nebūna, o nedidutis strypų geometrijos pokytis akimi net nepastebimas; dėl šio geometrinio netikslumo, aišku, neatsiranda nei į r ą žų , neiį tempimų . Tačiau jeigu sistema statiškai neišsprendžiama (kaip, pavyzdžiui, 2.17, b pav.), bent vienasnetiksliai pagamintas strypas trukdo normalų sistemos montavimą . Tarkime, kad vienas kuris strypas buvo

pagamintas truputėlį (atkarpėle e) per trumpas ir todėl tarp strypų iš pradžių atsirado tarpelis (2.18 pav.). Šistarpelis gali išnykti trejopai:

a) montavimo metu (strypus patempus ir sujungus); b) pakitus temperatūrai ir dėl to strypams pailgė jus;c) apkrovimo metu (kai dėl pridėtų apkrovos jėgų strypai keičia savo ilgį ir pagaliau galais į siremia

vienas į kitą ).Pastaraisiais dviem atvejais reikia visų pirma į sitikinti, ar tikrai temperatūros bei apkrovos jėgų poveikis toks, kad tarpelis e išnyksta (t.y. reikia apskaičiuoti pagal 2.18 pav. schemą abiejų strypų laisvų jų galų poslinkius ir pažiūr ėti, ar jų atitinkama suma nėra mažesnė už tarpelio plotį ). Jeigu sistemosdeformavimo metu tarpelis išnyk ę s, tai visoje skaičiavimo procedūroje pasikeičia tik geometrinėsdeformavimo lygtys (lyginant su tokios sistemos skaičiavimu, kurioje tarpelio nė nebuvo). Nagrinė jamuatveju geometrinė lygtis yra jau ne (2.26) pavidalo, bet štai tokia:

e Ln

j j j =∑

=1

ε , (2.29)

t.y. konstatuojama, kad visų strypų ilgių bendras pokytis lygus susidariusio tarpelio pločiui. Parodytai 2.18 paveikslėlyje sistemai ši lygtis tokia:

ε 1a+ε 2b=e.

2.18 pav.Jeigu kuris nors strypas būtų buvę s per ilgas ir jį į sistemą tektų sprauste į sprausti, tokioje pat

geometrinė je lygtyje ilgio perteklius e būtų į rašomas su minuso ženklu.


15/17

Tiek temperatūrinės, tiek montažinės į r ą žos yra visai nesusijusios su sistemai skirta apkrova. Jossudaro papildomą ir dažniausiai nepageidautiną poveik į sistemai. Sistemos k ūr ė jas, konstruktorius turi tonepamiršti, turi pagalvoti, ar negali pakisti strypų temperatūra (kaip ji gali pakisti būsimos konstrukcijosaplinkoje, paprastai būna žinoma iš anksto), turi atidžiai prižiūr ėti konstrukcijos montavimo procesą - kadviskas būtų sujungiama tiksliai. Kai šitokios papildomos į r ą žos strypuose atsiranda nelauktai, netik ėtai, josdrauge su į ražomis nuo apkrovos kai kur gali sukelti tokius į tempimus, kurių konstrukcija nebeatlaiko. Užtatreikia gerai mok ėti šis į r ą žas ir į tempimus apskaičiuoti.

Jau esame išsiaiškinę , kad ir temperatūrinės, ir montažinės į r ą žos atsiranda tiktai statiškai

neišsprendžiamose sistemose. Nesunku į sitikinti, kad šiose sistemose į r ą žų pasiskirstymą veikia dar vienaaplinkybė - atskir ų strypų standžių santykiai. Kuo strypas standesnis, t.y. kuo didesnis jo skerspjūvio plotas

bei tamprumo modulis ir kuo mažesnis ilgis (kuo didesnis santykis E j A j/ L j ), tuo didesnė (absoliutiniudidumu) ašinė jėga jam tenka. Kai kur į nors statiškai neišsprendžiamos sistemos strypą pastoriname, tuo

pačiu padidiname jo ašinę jėgą ; tačiau į tempimai šio strypo skerspjūviuose nepadidė ja, nes σ = N / A, oskerspjūvio ploto prieaugis kompensuoja su kaupu ašinės jėgos prieaugį . Kitaip yra, kai strypo standį

padidiname, sutrumpindami jo ilgį arba padidindami tamprumo modulį (paėmę kitos, standesnės medžiagosstrypą ): šiuo atveju padidė ja ne tik ašinė jėga, bet ir į tempimai strypo skerspjūviuose, o padidė jusių į tempimų strypas, ko gero, gali nebeatlaikyti. Būkime atsargūs, taip keisdami statiškai neišsprendžiamos sistemosstrypus!

Natūraliai kyla klausimas - kodėlgi praktikoje naudojamos statiškai neišsprendžiamos sistemos, jeigu jas ir apskaičiuoti sunkiau (nepakanka pusiausvyros lygčių ), ir jose slypi “neprašytų ” į tempimų pavojus?Paminėtas neigiamas ypatybes kompensuoja daug svarbesnės teigiamos statiškai neišsprendžiamų sistemų ypatybės:

statiškai neišsprendžiamos sistemos yra standesnės, mažiau deformuojasi; jos yra patikimesnės (nes, pavyzdžiui, nutr ūkus ar kitaip iš rikiuotės išė jus vienam strypui, visa

sistema dažnai dar nepraranda eksploatacinio pajėgumo, lieka laiko remontuoti, pakeisti strypą ;tuo tarpu statiškai išsprendžiamos sistemos bent vienam strypui nutr ūkus, sistema staiga virstamechanizmu, nebelaikančiu apkrovos).


16/17

2.10. Statiškai išsprendžiamų sistemų skai č iavimas (nereikia!)

Svarbiausias deformuojamų sistemų skaičiavimo tikslas yra - garantuoti patikimą konstrukcijos eksploataciją , t.y.konstrukcijos stiprumą , standumą , stabilumą . Jau buvo kalbėta, kaip užtikrinamas paskiro konstrukcijos elemento, tempiamo (argniuždomo) strypo stiprumas. Dabar metas aptarti, kaip tvarkytis su visu tokių strypų kompleksu, su strypine sistema.

Kai inžinierius kuria konstrukciją , skirtą kokioms nors apkrovoms atlaikyti, jis pats nustato, iš kelių elementų ir kaipišdėliotų erdvė je ta konstrukcija susidės. Dažniausiai jis tai sprendžia, remdamasis ilgamete inžinierių patirtimi ir savo patiesintuicija. Be abejo, šiuolaikinis matematinis aparatas ir kompiuteriai gali padėti ir optimalią konstrukcijos struktūr ą nustatyti

(išspr ę sti vadinamą jį deformuojamos sistemos sintezės uždavinį ), bet dažniausiai pakankamai ger ą konstrukcijos schemą padiktuoja būtent inžinerinė patirtis, projektavimo tradicijos. Todėl tarsime, kad mūsų skaičiuojamų sistemų strypų ilgius ir padėtį erdvė jevisada žinome iš anksto.

Visos sistemos stiprumas ir standumas priklauso visų pirma nuo paskir ų strypų stiprumo ir standumo. Nutr ūkus bet kuriamvienam strypui, visa sistema arba suyra, arba bent jau pasidaro mažiau patikima. Kai paskiri strypai yra nestandūs, kai jie daugdeformuojasi, ir visa sistema, ko gero, per daug pakeičia savo formą , t. y. būna nepakankamai standi. Mes visiškai nekalbėsime apiedeformuojamos sistemos stabilumą . Net ir garantavus kiekvieno paskiro strypo stabilumą , dar nėra garantijos, kad eksploatacijosmetu strypinė sistema nepraras savo bendrojo stabilumo. Paliksime šias problemas atitinkamiems konstrukcijų mechanikos(statybinės mechanikos) skyriams. R ū pinsimės, kad strypinės sistemos tenkintų tik stiprumo ir standumo są lygas.Vieni dydžiaistiprumo (ar standumo) są lygose yra žinomi iš anksto, kiti būtent iš šių są lygų nustatomi. Priklausomai nuo to, kurie dydžiai žinomiir kurie nustatomi, strypinių sistemų skaičiavimo uždaviniai būna arba leistinosios apkrovos nustatymo, arba projektiniai. Dažnaisprendžiami ir tikrinamieji uždaviniai: kai visi konstrukcijos ir apkrovos parametrai žinomi, o belieka pasakyti, ar jie tenkina visassą lygas (tok į uždavinį sprendžiame ir tikrindami išspr ę sto projektinio uždavinio rezultatus).

Statiškai išsprendžiamų tempiamų bei gniuždomų strypinių sistemų stiprumo skaičiavimo algoritmas yra toks: •

Pjūvio metodu (sudar ę statinės pusiausvyros lygtis) apskaičiuojame į r ą žas - ašines jėgas. Jeigu apkrovos jėgų didumasnežinomas ir, pavyzdžiui, tik išreikštas kokiu nors vienu parametru, tai pasinaudoję pusiausvyros lygtimis, ašines jėgas išreiškiame taip pat tuo parametru.

• Įrašę kiekvieno strypo ašinės jėgos reikšmę į stiprumo są lygą (2.4), iš šios nelygybės padarome vieną iš trijų išvadų :1) leistinosios apkrovos nustatymo uždavinyje, kai žinome strypo skerspjūvio plotą ( A) ir medžiagos stipr į ( R), - kad

nustatinė jama sis apkrovos parametras turi būti ne didesnis kaip tam tikras iš šios są lygos išreikštas dydis

( F

* j F

j≤ ); kadangi tokių to paties apkrovos parametro apribojimų gauname tiek, kiek yra strypų , iš visų

parenkame griežčiausią - t.y. tą , kuriame mažiausias;

* j F

* j F

2) projektiniame uždavinyje, kai žinome apkrovą , o kartu ir strypo ašinę jėgą , - kad iš žinomos medžiagos (su žinomu R) pagaminto strypo skerspjūvio plotas turi būti ne mažesnis kaip tam tikras iš šios są lygos išreikštas dydis A j

( A≤ ); iš savo resursų (iš pramonės tiekiamų gaminių asortimento arba tik iš to, k ą turime savo dispozicijoje,

savo sandėlyje) pasirenkame kiekvieno strypo A

* j A

j - tok į , kad būtų ne mažesnis kaip A j, bet ir ne per daug didelis(taupome medžiagą , savo išteklius!);

3) tikrinamajame uždavinyje, kai žinome ir apkrovos didumą , ir skerspjūvių plotus, - kad strypo stiprumo są lygatenkinama arba netenkinama (pastaruoju atveju strypui, o tuo pačiu ir visai sistemai gresia suirimo pavojus);

beje, šiame uždavinyje nedera iš anksto rašyti nelygybės ženklo, visų pirma reikia apskaičiuoti kairią ją stiprumo są lygos pusę ir nustatyti, ar ji didesnė (>), ar lygi (=), ar mažesnė (


17/17

Kai deformavimas netiesinis, jokiu būdu negalima naudotis superpozicijos principu, o atskirais atvejais net reikia žinoti,kuria tvarka, kuria eile pridedamos apkrovos (reikia žinoti apkrovimo priešistor ę ). Geometrini jautrumas labai priklauso ir nuo pradinės sistemos schemos, nuo strypų ir apkrovų išdėstymo.

Pavyzdžiui, jei ant gana ilgos vielos arba virvė s ties viduriu (ties pjūviu k) pakabintume krovinį , kuris, nors ir skersaiveikdamas, sukelia ašines jė gas, o šios strypą (mū sų atveju virvę , viel ą ) tempia, ilgina, d ėl to sistemos geometrija pakinta. Strypas yra liaunas, praktiškai nesipriešina lenkimui, tod ėl galima į sivaizduoti, kad ties tašku k yra šarnyras. Tuo būdu deformuotos sistemos schemą sudaro tarytum du šarnyrais sujungti tiesū s strypai. Dėl simetrijos abiejuose strypuose ašinė s jė gos vienodos (jeigu krovinysant vielos užkabinamas taip, kad gali slinkti, jis visada nuslinks būtent į šią , vidurinę , simetrišk ą poziciją; jeigu krovinys prie vielos pritvirtinamas nejudamai ir ne ties viduriu, ašinė s jė gos abiejuose vielos ruožuose nebėra vienodos).

Taigi, pusiausvyros lygtis, nors ir su vienu nežinomuoju, bet netiesinė ir nelengvai išsprendžiama.

Galima būtų išreikšti ir apytikslę priklausomybę tarp jėgos F ir poslinkio s (kol tas poslinkis gana mažas):

33

s L

EA F = .

Verta žinoti, kad kai poslinkis s ir kampas β (kampas tarp horizontalės ir strypo ašies) tampa pakankamai dideli, tarp papildomų jėgos, į r ą žos ir poslinkio prieaugių priklausomybės būna beveik tiesinės.

Labai dažnai panašūs tarp dviejų atramų nutiesti liaunieji strypai nagrinė jami, kai juos veikia ne koks nors pakabintaskrovinys, bet pačių strypų (pvz. elektros laidų , kabamojo kelio lynų ) savasis svoris. Būtent šis savasis svoris (prisidė jus vė joapkrovai, o žiemos metu dar ir apledė jimui bei laidų traukimuisi dėl temperatūros kritimo) lemia gana didelius į tempimus, dėl kurių laidai net nutr ūksta. Todėl pravartu žinoti formules, išreiškiančias tokių liaunų jų strypų būvį . Kai abiejų atramų lygis yra vienodas, ostrypo apkrovos intensyvumas c, didžiausias strypo į sviris a, didžiausia ašinė jėga (2.23 pav.)

s

qL N

8

2

max ≈ . (2.30)

Iš šios formulės akivaizdu, kad tokio strypo neį manoma ištempti iki visiškai tiesios horizontalios padėties: kai s=0, į r ą ža N =∞, o tokios (be galo didelės) ašinės jėgos neatlaikytų joks strypas. Jeigu žinomas pradinis strypo ilgis Lo (prieš pakabinimą ; aišku,kad Lo didesnis už atstumą L tarp atramų ), tai į svirimą s galima rasti iš kubinės lygties:

( ) 064

3

8

3 40

3 =−−− EA

qL Ls L L s . (2.31)

2.23 pav.

2.11. Statiškai neišsprendžiamų sistemų skai č iavimas (nereikia!)

Kai sistema, sudaryta iš tempiamų bei gniuždomų strypų , yra statiškai neišsprendžiama, t.y. kai strypų skaičius n didesnisuž sistemos laisvumo laipsnį p, strypų į r ą žoms (ašinėms jėgoms) apskaičiuoti nepakanka statinės pusiausvyros lygčių , todėl ir 2.10

poskyryje aprašytojo algoritmo pradžia (pirmoji dalis) turi būti kitokia. Statiškai neišsprendžiamos sistemos strypų į r ą žas nustatytigalime keliais būdais: išsprendę bendr ą statinės pusiausvyros lygčių , geometrinių ir fizikinių deformavimo lygčių sistemą ; kaip buvo

parodyta 2.9 poskyryje, tokių lygčių iš viso parašoma 2n+ p, o nežinomų jų būna irgi tiek pat; kuriuo nors populiariu ir patogiu (skaičiuoti be kompiuterio) statybinės mechanikos metodu - jėgų metodu, poslinkių

metodu, mišriuoju metodu (vieno iš jų - jėgų metodo principai - aiškinami A.Čižo knygoje,10 skyriuje); panaudodami kur į nors ekstreminį energetinį mechanikos principą ir šiuolaikinės matematikos (ekstr ėminių uždavinių

sprendimo) aparatą drauge su kompiuterine technika; šitokio kelio išsiaiškinti čia nemėginsime, paliksime taikonstrukcijų mechanikos (statybinės mechanikos) kursui.

Minėtų jų 2n+p lygčių sudarymo technologija aprašyta 2.9 poskyryje. O parankiausias lygčių sistemos sprendimo kelias yratoks:

♦ deformacijų ε j reikšmes, gautas iš fizikinių deformavimo lygčių , į rašome į geometrines deformavimo lygtis, kurių yran ir kuriose dabar lieka n+p nežinomų jų (n į r ą žų ir p poslinkių komponentų ); jeigu naudojame geometrinesdeformacijų darnos lygtis (be poslinkių ), jų yra tik k , o nežinomų jų - tik n (tik į r ą žos);

♦ jeigu buvo naudotos geometrinės deformacijų ir poslinkių darnos lygtys, pasinaudoję keliomis ( p) jų , iš likusių n- p (=k) geometrinių deformavimo lygčių eliminuojame visus poslinkių komponentus; šiose k lygtyse belieka vienintelė nežinomų jų grupė - į r ą žos (ašinės jėgos);

♦ tas pertvarkytą sias k geometrines lygtis (išreikštas į r ą žomis) sprendžiame drauge su statinės pusiausvyros lygtimis,kurių yra p; taigi, iš viso turime k + p=n lygčių , o jose nežinomos bėra tiktai ašinės jėgos (jų taip pat yra n).

Iš tarpinių sprendimo veiksmų , kuriais buvo iš lygčių eliminuojamos deformacijos ir poslinkiai, lieka išraiškos, kurios praver čia vėliau, kai, nustatę į r ą žas, norime apskaičiuoti ir deformacijas bei poslinkius, t.y. tuos parametrus, nuo kurių priklausokonstrukcijos standumas.

tempimas ir gniuždymas

Documents