Funções 11 Pág.1

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Função racional é uma função que pode ser escrita na forma ( ) ( )( )

p xf x

q x= , onde p(x) e q(x)

são polinómios e q(x) 0≠ . Nota : Nas funções racionais é necessário verificar quando é que o denominador se anula, uma vez que nesses pontos a função não tem significado. Assimptota Vertical e Horizontal Definição: A recta vertical x a= é chamada assimptota vertical do gráfico da função f se ( )f x → +∞ ou se ( )f x → −∞ quando x a→ pela direita ou pela esquerda. A recta horizontal y b= é chamada assimptota horizontal do gráfico da função f se ( )f x b→ quando x → +∞ ou quando x → −∞

IGUALDADE DE DUAS FUNÇÕES DEFINIDAS NUM INTERVALO Definição : Duas funções reais de variável real f e g são iguais se:

• gfD D= ;

• ( ) ( ) , ff x g x x D= ∀ ∈ .

Seja f uma função racional definida por: ( )( )

11 2 1

1 1

...( )

...

m mm m

nn n

p x a x a x a x af x

q x bx b x b

−+

+

+ + + += =

+ + +

Considera-se que ( )p x e ( )q x não têm factores em comum. Assimptota vertical: O gráfico de f tem tantas assimptotas verticais quantos os zeros de ( )q x (do denominador). Assimptota horizontal: Se n m> , a recta 0y = é uma assimptota horizontal (a única);

Se m n= a recta 1

1

ay

b= é uma assimptota horizontal;

Se n m< , o gráfico não tem assimptota horizontal (é assimptota oblíqua); Assimptota oblíqua: Se n m< a função tem uma assimptota oblíqua: divide-se o numerador pelo denominador. O quociente é a assimptota oblíqua.

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SOMA, DIFERENÇA, PRODUTO, QUOCIENTE E COMPOSTA DE 2 FUNÇÕES

Notação Domínio Função definida por f g+ gfD D∩ ( ) ( ) ( ) ( )f g x f x g x+ = +

f g− gfD D∩ ( ) ( ) ( ) ( )f g x f x g x+ = +

f g× gfD D∩ ( ) ( ) ( ) ( )f g x f x g x+ = +

fg

( ){ }: 0gfD D x g x∩ ∩ ∈ ≠ℝ ( ) ( )

( )f xf

xg g x

=

f g� ( ){ }g fx D g x D∈ ∧ ∈ ( ) ( ) ( ) ( )f g x f x g x+ = +

RESTRIÇÃO DE UMA FUNÇÃO A UM INTERVALO Definição : Duas funções reais de variável real f e g, diz-se que f é restrição de g a fD , ou g é

um prolongamento de f a gD , se e só se:

• gfD D= ;

• ( ) ( ) , ff x g x x D= ∀ ∈ .

DIVISÃO INTEIRA DE POLINÓMIOS :

A(x) B(x) resto Quociente

Como proceder: � Ordenar os polinómios A(x) e B(x) por

ordem decrescente de potências de x.

� Multiplicar o primeiro termo do quociente

pelo divisor e subtrair este produto ao

dividendo: obtém-se o primeiro resto.

� Termina-se a divisão quando o grau do

resto é menor que o grau do divisor (B(x)).

Exemplo: 25 3

2

x xx+ +

+

Pode escrever-se ( ) ( ) ( )2 5 3 2 3 3x x x x+ + = + × + + − .

Dividindo ambos os membros por ( )2x + ,

obtém-se 2 5 3 3

32 2

x xx

x x+ + −= + +

+ +

2x + 5x + 3 x + 2

- 2x - 2x x + 3

3x + 3 - 3x - 6 �3

resto

−

Dividendo

Divisor

Quociente

Dum modo geral, tem-se ( )( ) ( ), ( ) 0

( ) ( )

A x R xQ x B x

B x B x= + ≠

Nota Se o resto se reduz a zero, diz-se que A é divisível por B ou que a divisão inteira de A por B é exacta.

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Quociente Q(x)

Resto

REGRA DE RUFFINI Outra forma de efectuar uma divisão, quando o divisor poder ser escrito na forma x α− , é usar a Regra de Ruffini.

Exemplo: 4 3 2 5

2

x x xx

− − + ++

Como ( )2 2x x+ = − − , 2α = −

Obtemos 3 2( ) 2Q x x x x= − + − + e ( ) 1R x = .

Donde resulta: 4 3 2 5x x x− − + + = 3 2( 2) ( 2) 1x x x x+ × − + − + +

-1 -1 1 0 5

-2 2 -2 2 -4

-1 1 -1 2 1