TEOREMA E TALESIT

KUSH ËSHTË TALESI?

Talesi është i pari që dha vërtetimin e teoremës (përveç Babilonasit dhe Egjiptianëve të vjetër të cilët e përdornin pa e vërtetuar) kështu që për nder të tij u quajt Teorema e Talesit.

TEOREMA E TALESIT

Teorema e Talesit thotë se nëse A, B dhe C janë pika të një vijërrethore të tilla që segmenti AC është diametër i vijës rrethore, atëherë këndi ABC është kënd i drejtë

Çdo kënd i brendashkruar te gjysmëvija

rrethore është kënd i drejtë

Teorema e anasjelltë e Talesit thotë se: Hipotenuza e trekëndëshit kënddrejt është diametër i rrethit të jashtashkruar.

Nëse e kombinojmë teoremën e Talesit me të anasjelltën e saj atëherë kemi teoremën vijuese: Qendra e rrethit të jashtashkruar të trekëndëshit shtrihet në njërën prej brinjëve të trekëndëshit atëherë dhe vetëm atëherë nëse trekëndëshi është kënddrejt.

Vërtetimi konsiston në atë që trekëndëshi këndrejt të plotësohet deri katërkëndësh këndrejt duke vërejtur se qendra e tij është njësoj e larguar nga kulmet e tij dhe është njëkohësisht qendër e rrethit të jashtashkruar. Kemi parasysh këto fakte:Këndet e kundërta të paralelogramit janë suplementar pra shuma e tyre është 180° dhe diagonalet e kënddrejtit janë të barabarta dhe priten në mesin e tyre.Le të jetë ABC një kënd i drejtë, r një drejtëzë paralele me BC e cila kalon nëpër A dhe s një drejtëzë paralele me AB që kalon nëpër pikën C. Le të jetë D pika ku priten drejtëzat r dhe s (Vërejmë se ne ende nuk kemi vërtetuar se pika D i takon rrethit)Katërkëndëshi ABCD sipas mënyrës si e konstruktuam është paralelogram. Pra këndet e kundërta japin shumën 180° dhe këndi ABC është i drejtë (90°) atëherë këndet BAD, BCD, dhe ADC janë të drejta (90°); rrjedhimisht katërkëndëshi ABCD është kënddrejt.Le të jetë O pikëprerja e diagonaleve AC dhe BD. Atëherë pika O, sipas fakteve që përmendëm më sipër është njësoj e larguar nga pikat A,B, dhe C. Pra ajo është qendër e rrethit të jashtashkruar dhe hipotenuza AC është diametër i tij

ZBATIMI I TEOREMËS SË TALESIT

Teorema e Talesit përdoret për konstruktimin e tangjentës së rrethit nga një pikë e dhënë Le të jetë dhënë rrethi k, me qendër në pikën O, dhe pika P jashtë rrethit, të konstruktohet tangjenta (s) e rrethit k(në të kuqe) e cila kalon nëpër pikën P. Supozojmë se tangjenta që e kërkojmë t e prek rrethin në pikën T. Nga simetria është e qartë se rrezja OT është normale me tangjentën. Pra duhet të caktjmë pikën e mesit të segmentitHO dhe pikën P, pastaj konstruktojmë një rreth me qendër në H në mes O dhe P. Sipas teoremës së Talesit pika e njohur T është prerja e këtij rrethi me rrethin e dhënë k, pasi ajo është pika në rrethin k e cila formon trekëndëshin kënddrejt OTP.

Pasi dy rrathët priten në dy pika të ndryshme kjo do të thotë se nga një pikë jashtë rrethit të dhënë mund të tërhiqen dy tangjenta të rrethit.

Kemi parasysh se shuma e këndeve të trekëndëshit

është sa dy kënde të drejta dhe këndet te baza e një

trekëndëshi barakrahës janë të barabarta.

Le të jetë O qendra e trekëndëshit. Pasi

OA=OB=OC përfundojmë se trekëndëshat OAB dhe OBC

janë trekëndësha barakrahës prandaj OBC=OCB dhe BAO=ABO. Shënojmë γ=BAO dhe δ=OBC

A C

Pasi shuma e këndeve është 180° themi se: 2γ '+ γ = 180° dhe

2δ ' + δ = 180° e dimë se γ ' + δ ' = 180°

Duke i mbledhur dy barazimet e para prej të cilës shumë e zbresim barazimin e tretë

fitojmë:

2γ +γ ' + 2δ + δ ' – ( γ+ δ)= 180°

Pas anullimit të γ ' dhe δ ' vërtetojmë se

γ+δ=90°

A C

PUNOI: BESJONA JUSUFI VIII-5

2016